Hình học 10: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

CHƯƠNG II  TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA
HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
(từ 00 đến 1800)
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. ĐỊNH NGHĨA

Với mỗi góc  (00    1800), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
MOx = . Giả sử điểm M có toạ độ (x; y). Khi đó:
Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc , kí hiệu là sin.
Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc , kí hiệu là cos.
y
Tỉ số (với x  0) gọi là tang của góc , kí hiệu là tan.
x
x
Tỉ số (với y  0) gọi là côtang của góc , kí hiệu là cot.
y
Các số sin, cos, tan, cot gọi là các giá trị lượng giác của góc .
Ta có:
cos 
sin 
x
y
sin = y, cos = x, tan = =
, cot =
=

.
cos 
sin 
y
x
Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
a. sin(1800  ) = sin.
b. cos(1800  ) = cos.

c. tan(1800  ) =  tan.
d. cot(1800  ) =  cot.

Hàm số lượng giác của hai góc phụ nhau
a. sin(900  ) = cos.
b. cos(900  ) = sin.

c. tan(900  ) = cot.
d. cot(900  ) = tan.

2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT

Góc

00

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2

2

1
2

0

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

1

tan

0

1

3

||



3

cot

||

0



1

1
3

3

1

1
3

2

 236 

3



2
2

1

1
1

3
2



0

3



1

3

||

HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
3. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

a. sin2 + cos2 = 1.
cos 
sin 
và cot =
.
cos 
sin 

b. tan =

c. tan.cot = 1.
d.

1
1
= 1 + tan2 và
= 1 + cot2.
2
cos 
sin 2 

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giá trị cos450  3sin450 bằng:
A. 0
B. 1

C.

D.  2

2

Câu 2. Giá trị của các biểu thức A = 3a.cos360 + b.sin(270 ) + a.cos1800 bằng:
A. a + b
B. 2a + b
C. 2a  b
D. a  b
2
2 0
0 2
Câu 3. Giá trị của các biểu thức B = 4a .sin 45  3(a.tan45 ) + (2a.cos450)2 bằng:
A. a2
B. 2a2
C. 3a2
D. 4a2
0

Câu 4. Giá trị của các biểu thức A =
A. a2  ab

C. a2 ab + b2

D. ab + b2

a 2 .sin180 0  b 3 2.sin135 0  2ab 2 .cos150 0

bằng:
a.cot150 0  b.cos 0 0  2a tan 60 0

B. a  b

A. a2
Câu 6. Biểu thức A 

8a 3 cos3 60 0  b3 cot 3 450  (12ab.sin 0 0 )2
bằng:
(25a.cos90 0 )3  2a.sin30 0  2b.cos2 450

B. a2  ab + b2

Câu 5. Giá trị của các biểu thức B =

0

D. b2

C. a + b

1  sin   (1  sin )2 
. 1 
 được rút gọn thành:
cos  
cos2  

A. tan
Câu 7. Biểu thức H 

B. 2tan

C. 2cot

D. cot

cot   cot 
được rút gọn thành:
tan   tan 

A. tan.tan
B. tan.cot
C. cot.tan
D. cot.cot
6
6
4
4
Câu 8. Biểu thức A = 2(sin  + cos )  3(sin  + cos ) được rút gọn thành:
A. 1
B. 2
C.  
D. 1
Câu 9. Biểu thức A  (1  tan ).cos2   (1  cot ).sin 2  với   (0;
A.
C.


)

4

2 cos(  )
4
2 sin( +

Câu 10. Biểu thức A 
A.

1
| sin  |

B.
D.


) được rút gọn thành:
2


)
4

2 cos( + )
4

2 sin( 

1  sin 
1  sin 

được rút gọn thành:

1  sin 
1  sin 

B.

2
| sin  |

C.

 237 

2
| cos  |

D.

1
| cos  |


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Câu 11. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai ?
A. sin00 + cos00 = 0
B. sin900 + cos900 = 1
C. sin1800 + cos1800 = 1

D. sin300 + cos300 =

3 1
2

Câu 12. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào không đúng ?
A. (sin + cos)2 = 1 + 2sin.cos
B. (sin  cos)2 = 1  2sin.cos
C. sin4  cos4 = sin2  cos2

D. sin4 + cos4 = 1

Câu 13. Biểu thức A = (tan + cot)2  (tan  cot)2 được rút gọn thành:
A. A = 1
B. A = 2
C. A = 3
D. A = 4
2

 1  cos 
1  cos  

Câu 14. Cho biểu thức A  
 . Lựa chọn đẳng thức đúng:
1  cos  
 1  cos 

A. A = 4cot2

B. A = 2cot2

Câu 15. Cho các biểu thức A =
A. A < B

D. A = 4tan2

1
và B = tan2 + cot2 + 2. Lựa chọn biểu thức đúng:
sin2  cos2 

B. A > B

Câu 16. Cho các biểu thức A 
thức đúng:
A. A < B

C. A = 2tan2

D. A ≠ B

C. A = B

tan  1  cot 
1  tan 
.
,B
 1 . Lựa chọn biểu
2
2
1  tan  cot 
tan 2   cot 2 

2

2

B. A > B

4

C. A = B

D. A ≠ B

ab
. Biểu thức a4.sin10 + b4.cos10 có giá trị:
ab
a2  b2
a4b4
a2 b2
B.
C.
D.
(a  b)4
(a  b)2
(a  b)2

Câu 17. Cho a.sin4 + b.cos4 =
A.

a4  b4
(a  b)4

Câu 18. Cho:
3
2

a.sin   3a.sin .cos   p

3
2

a.cos   3a.sin .cos   q
Lựa chọn đẳng thức đúng:

A.

3

(p  q)2  3 (p  q)2  3 a 2

B.

3

(p  q)2  3 (p  q)2  2 3 a 2

C.

3

(p  q)2  3 (p  q)2  3 3 a 2

D.

3

(p  q)2  3 (p  q)2  4 3 a 2

Câu 19. Biểu thức A 

(1  cot 2 )2
1
được rút gọn thành:
 2
2
cot 
sin .cos2 

A. A = 4
B. A = 2
C. A = 2
4
2
2
2
Câu 20. Biểu thức A = cos  + sin .cos  + sin  được rút gọn thành:
A. A = 4
B. A = 3
C. A = 2

D. A = 4

D. A = 

Câu 21. Biểu thức A = sin 4   4cos2  + cos4   4sin 2  được rút gọn thành:
A. A = 4
B. A = 3
C. A = 2
D. A = 
8
8
6
6
4
Câu 22. Biểu thức A = 3(sin   cos ) + 4(cos   2sin ) + 6sin  được rút gọn thành:
A. A = 4
B. A = 3
C. A = 2
D. A = 
 238 


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Câu 23. Cho a.sin.sin  b.cos.cos = 0, cos.cos ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức:
1
1
A

2
2
2
a.sin   b.cos  a.sin   b.cos2 

ab
ab
ab
ab
A. A 
B. A 
C. A 
D. A 
ab
2ab
3ab
4ab
Câu 24. Xác định m để A = sin6 + cos6 + m(sin4 + cos4) không phụ thuộc vào .
A. m =

3
2

B. m =

1
2

C. m = 

1
2

D. m = 

4
và 0o <  < 90o. Giá trị của sin bằng:
5
1
3
3
4
A.
B. 
C.
D.
5
5
5
5
4
Câu 26. Biết cos = và 0o <  < 90o. Giá trị của tan bằng:
5
5
3
3
4
A.
B.
C.
D.
5
3
4
3

4
Câu 27. Biết cos = và 0o <  < 90o. Giá trị của cot bằng:
5
5
3
3
4
A.
B.
C.
D.
5
3
4
3
cot   tan 
4
Câu 28. Biết cos = và 0o <  < 90o. Giá trị của A 
bằng:
5
cot   tan 
25
5
25
5
A.
B.
C. 
D. 
7

7
7
7
5
Câu 29. Biết sin =
và 90o <  < 180o. Giá trị của cos bằng:
13
12
12
11
A.
B.
C. 
D.
13
13
13
5
Câu 30. Biết sin =
và 90o <  < 180o. Giá trị của tan bằng:
13
12
12
5
A. 
B. 
C.
D.
5
12

5
5
Câu 31. Biết sin =
và 90o <  < 180o. Giá trị của cot bằng:
13
12
12
5
A. 
B. 
C.
D.
5
12
5
cot   cos 
5
Câu 32. Biết sin =
và 90o <  < 180o. Giá trị của B 
bằng:
13
cos3 

3
2

Câu 25. Biết cos =

19
169

169
19
B.
C. 
D. 
90
90
90
90
Câu 33. Biết tan = 2, với  là góc của một tam giác. Giá trị của cos bằng:
1
2
2
1
A.
B.
C. 
D. 
5
5
5
5

A.

 239 



11

13

5
12

5
12


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Câu 34. Biết tan = 2, với  là góc của một tam giác. Giá trị của sin bằng:
2
1
3
4
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
sin   2 cos 
Câu 35. Biết tan = 2, với  là góc của một tam giác. Giá trị của C 
bằng:
sin   2 cos 
A. 0

B.

1
5

C.

2
5

Câu 36. Biết cot = 3. Giá trị của sin bằng:
1
3
A.
B.
10
10
Câu 37. Biết cot = 3. Giá trị của cos bằng:
1
3
A.
B.
10
10

D. 2

C.

2

D.

10
1

C. 

10
1
Câu 38. Biết cot = 3. Giá trị của D 
bằng:
cos2   cos .sin   sin 2 
10
12
A. 1
B.
C.
D. 2
7
7
Câu 39. Cho tan + cot = 2. Giá trị của cos bằng:
1
3
C.
2
2
Câu 40. Cho tan + cot = 2. Giá trị của sin bằng:

A. 1

D.

2
2

D.

2
2

3

D.

3
2

3

D.

3
2

B.

1
3
C.
2

2
Câu 41. Cho tan + cot = 2. Giá trị của tan bằng:

A. 1

B.

1
C.
3
Câu 42. Cho tan + cot = 2. Giá trị của cot bằng:

A. 1

B.

A. 1

B.

1
3

C.

sin .cos 
bằng:
tan 2   cot 2 
3
1

1
A. 1
B.
C.
D.
4
2
4
Câu 44. Cho sin + cos = 2 . Giá trị của cos bằng:
1
3
2
A. 1
B.
C.
D.
2
2
2
Câu 45. Cho tan + cot = 2. Giá trị của sin bằng:
1
3
2
A. 1
B.
C.
D.
2
2
2

Câu 43. Cho tan + cot = 2. Giá trị của E 

 240 

D. 

4
10

3
10


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

2 . Giá trị của tan bằng:
1
3
A. 1
B.
C. 3
D.
2
3
Câu 47. Cho sin + cos = 2 . Giá trị của cot bằng:
1
3
A. 1
B.

C. 3
D.
2
3
Câu 48. Cho sin + cos = 2 . Giá trị của F = sin5 + cos5 bằng:
2
2
A. 1
B.
C.
D.
2
3
1
Câu 49. Cho 3sin4  cos4 = . Giá trị của biểu thức A = sin4 + 3cos4 bằng:
2
1
2
3
A. 1
B.
C.
D.
2
2
2
Câu 46. Cho sin + cos =

Câu 50. Biểu thức A 

1
2sin 2910 0.cos(172 0 )

được rút gọn thành:
tan1880
2 cos2780  cos980

A. A = 0
Câu 51. Biểu thức B =

B. A = 1

C. A = 2

D. A = 3

1  cos (90  )
 cot(900  ).tan(  900) được rút gọn thành:
1  sin 2 (90 0  )
2

0

1  sin .cos 
sin 2 
1  sin .cos 
C. B 
co s2 
Câu 52. Hãy lựa chọn đẳng thức đúng:
A. cos(A + B + 2C) = cosC

C. cos(A + B + 2C) = cosC
Câu 53. Hãy lựa chọn đẳng thức đúng:

1
sin 2 
1
D. B 
co s2 

A. B 

B. B 

B. cos(A + B  2C) = cosC
D. cos(A + B  2C) = cosC
A  B  2C
3C
= cot
2
2
A  B  2C
3C
D. tan
= cot
2
2

A  B  2C
3C
= tan

2
2
A  B  2C
3C
C. tan
= tan
2
2

A. tan

B. tan

Câu 54. Giá trị của tổng S1 = cos100 + cos300 + ... + cos1500 + cos1700 bằng:
A. 0
B. 2
C. 3
D.
2 0
2 0
2 0
Câu 55. Giá trị của tổng S2 = sin 10 + sin 20 + ... + sin 90 bằng:
A. 0
B. 2
C. 3
D.
0
0
0
0

Câu 56. Giá trị của tổng S3 = cot15 + cot30 + ... + cot150 + cot165 bằng:
A. 0
B. 2
C. 3
D.
0
0
0
0
Câu 57. Giá trị của tích P = tan1 .tan2 ...tan88 .tan89 bằng:
A. 0
B. 1
C. 3
D.
Câu 58. Giá trị của A =
A. 4

2
4

5
5
5
5

[1  cot (90  )]
1
bằng:
 2
2

0
0
cot (  90 )
sin (180  ).sin 2 (90 0  )
2

0

2

C. 1

B. 1

 241 

D. 4


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

§2

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Cho hai vectơ a và b ( a , b  0 ). Từ điểm O nào đó vẽ các vectơ OA  a , OB  b . Khi
đó sô đo góc AOB được gọi là số đó góc giữa hai vectơ a và b hoặc đơn giản là góc giữa

hai vectơ a và b .
Câu 59. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC đều. Góc nào sau đây bằng 1200 ?
A. AB, BC
B. AO, OB
C. AB, OC
D. AB, AC

















 Chú ý: Trong thực tế các kết quả trên có được nhờ trực quan với phép nhẩm.
2. ĐỊNH NGHĨA

Tích vô hướng của hai vectơ a và b ( a , b  0 ) ký hiệu là a . b là một số thực được xác
định bởi:
a . b = | a |.| b |.cos, với  = ( a , b ).
Từ định nghĩa ta có các kết quả:

a. a 2 = a . a = | a |2.
b. a . b > 0  cos > 0  00   < 900.
c. a . b = 0  cos = 0   = 900  a  b
d. a . b < 0  cos < 0  900 <   1800.
Nếu một trong hai vectơ bằng 0 thì ta quy ước:
a . 0 = b . 0 = 0.
3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Với mọi vectơ a , b , c và với mọi số thực k ta đều có:
Tính chất 1 . (Tính chất giao hoán) Ta có:
a .b = b .a .
Tính chất 2 . (Tính chất phân phối) Ta có:
a .( b + c ) = a . b + a . c
Tính chất 3 . Ta có:
m( a ). b = m( a . b ).
Câu 60. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng ?
A. a.b  a . b

B.

2

a a

C.

2

a a

D. a   a

Câu 61. Cho bốn điểm tùy ý M, N, P, Q. Trong các hệ thức sau hệ thức nào sai ?





A. MN NP  PQ  MN.NP  MN.PQ

B. MP.MN  MN.MP

C. MN.PQ  PQ.MN

D.
 242 

 MN  PQ MN  PQ  MN

2

 PQ2


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
4. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG

( a + b )2 = | a |2 + | b |2 + 2 a . b .
( a  b )2 = | a |2 + | b |2  2 a . b .
( a + b )( a  b ) = | a |2  | b |2.

5. CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU
a. Nếu 4 điểm A, B, C, D cùng ở trên một trục thì:
AB . CD = AB . CD .

b. Nếu A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của CD thì:
AB . CD = A' B' . CD .

6. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Nếu a (a1; a2) và b (b1; b2) thì:
a . b = a1.b1 + a2.b2.
Góc  giữa hai vectơ a và b xác định bởi:
cos =

a1 .b1  a 2 .b 2
a  a 22 . b12  b 22
2
1

.

Câu 62. Trong không gian Oxy, cho a(3; 4), b(4;  3) . Kết quả nào sau đây là sai ?
A. a.b  0

C. a.b  0

B. a  b

D. a . b  0

Câu 63. Trong không gian Oxy, cho a(9; 3). Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ a ?
A. b (1; 3)

B. b (2; 6)

C. b (1; 3)

D. b (1; 3)

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 64. Cho ABC vuông cân có AB = AC = a. Tích vô hướng AB.AC bằng:
A. 0
B. a
C. a 2
D. a2
Câu 65. Cho ABC vuông cân có AB = AC = a. Tích vô hướng AB.CB bằng:
A. 0

B. a

C. a 2

D. a2

Câu 66. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng, biết OB = b và OA = a. Tích vô hướng OA.OB
khi điểm O nằm ngoài đoạn AB bằng:
A. 0
B. ab
C. ab
D. a + b

Câu 67. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng, biết OB = b và OA = a. Tích vô hướng OA.OB
khi điểm O nằm trong đoạn AB bằng:
A. 0
B. ab
C. ab
D. a + b
Câu 68. Cho ABC đều cạnh a. Tích vô hướng AB.AC bằng:
1
2

A.  a2

C. a2

B. a2

 243 

D.

1 2
a
2


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Câu 69. Cho ABC đều cạnh a. Tích vô hướng AB.BC bằng:
1 2
a
2

Câu 70. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là điểm thoả mãn IA  2 IB + 4 IC = 0 . Tích vô
hướng IA ( AB + AC ) bằng:
17a 2
5a 2
1
A.  a2
B.
C. a2
D.
6
24
2
Câu 71. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là điểm thoả mãn IA  2 IB + 4 IC = 0 . Tích vô
hướng IB . IC bằng:
17a 2
5a 2
1
A.  a2
B.
C. a2
D.
6
24
2
Câu 72. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là điểm thoả mãn IA  2 IB + 4 IC = 0 . Tích vô
hướng IA . IB bằng:
17a 2
5a 2
1
A.  a2

B.
C. a2
D.
6
24
2
Câu 73. Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c. Tích vô hướng AB.AC bằng:
1
1
1
1
A. (b2 + c2 + a2) B.  (a2 + c2  b2) C.  (a2 + c2 + b2) D. (b2 +c2  a2)
2
2
2
2
Câu 74. Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c. Tích vô hướng AB . BC + BC . CA + CA AB
1
2

A.  a2

C. a2

B. a2

D.

bằng:
A.

1 2
1
(b + c2 + a2) B.  (a2 + c2  b2)
2
2

1
2

C.  (a2 + c2 + b2) D.

1 2
(b + c2  a2)
2

Câu 75. Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c. Gọi M là trung điểm BC, độ dài AM bằng:
A.

1
3

2c2  2b 2  a 2

B.

1
2

2c2  2b 2  a 2

2
3
2c2  2b 2  a 2
2c2  2b 2  a 2
D.
3
2
Câu 76. Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c. Gọi G là trọng tâm ABC, độ dài AG bằng:

C.

A.

1
3

2c2  2b 2  a 2

B.

1
2

2c2  2b 2  a 2

C.

2
3

2c2  2b 2  a 2

D.

3
2

2c2  2b 2  a 2

Câu 77. Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c. Gọi G là trọng tâm ABC, cosin góc nhọn
tạo bởi AG và BC bằng:
A.
C.

| a 2  c2 |

B.

a. 2c2  2b 2  a 2
| b 2  c2 |

D.

a. 2c2  2b 2  a 2

b2  a2
a. 2c2  2b 2  a 2
b 2  c2
a. 2c2  2b 2  a 2

Câu 78. Cho MM1 là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R. A là điểm cố
định và OA = d. Tích vô hướng AM.AM1 bằng:
A. d2 + R2

B. d2  R2

C. d  R
 244 

D. d + R


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Câu 79. Cho MM1 là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R. A là điểm cố
định và OA = d. Giả sử AM cắt (O) tại N. Tích AM.AN bằng:
A. d2 + R2
B. d2  R2
C. d  R
D. d + R
Câu 80. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. M là điểm tuỳ ý trên đường tròn nội tiếp
hình vuông. Tích vô hướng MA . MB + MC . MD bằng:
A. a2

B.

1 2
a
4

C.

1 2
a
2

D. a2

Câu 81. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. M là điểm tuỳ ý trên đường tròn nội tiếp
hình vuông và N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Tích vô hướng NA . AB bằng:
A. a2

B.

1 2
a
4

C.

1 2
a
4

C.

1 2
a
2

D. a2

1 2
a
2

D. a2

Câu 82. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. M là điểm tuỳ ý trên đường tròn nội tiếp
hình vuông và N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Tích vô hướng NO . BA bằng:
A. a2

B.

Câu 83. Cho ba vectơ a , b , c , thoả mãn | a | = a, | b | = b, | c | = c và a + b + 3 c = 0 . Tích
vô hướng A = a . b + b . c + c . a bằng:
1
(3c2  a2 + b2)
2
1
D. A = (3c2 + a2 + b2)
2

1
(3c2 + a2  b2)
2
1
C. A = (3c2  a2  b2)
2

A. A =

B. A =

Câu 84. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc
nửa đường tròn sao cho hai dây cùng AM và BN cắt nhau tại I.. Tích vô hướng
AI.AM + BI.BM bằng:
A. R2
B. 2R2
C. 3R2
D. 4R2
Câu 85. Cho ABC, H là trực tâm, M là trung điểm của BC. Tích vô hướng MH . MA bằng:
1
1
1
A. BC2
B. BC2
C.
BC2
D. BC2
4
3
2
Câu 86. Cho ABC đều tâm O, cạnh bằng a. Tập hợp những điểm M sao cho:
a2
MA.MB  MB.MC  MC.MA 
là:
4
A. Đường tròn tâm O bán kính R = a
C. Đường tròn tâm O bán kính R =

a
3

a
2
a
D. Đường tròn tâm O bán kính R =
4

B. Đường tròn tâm O bán kính R =

Câu 87. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3) và B(4; 2). Tìm toạ độ điểm D nằm trên
trục Ox sao cho DA = DB.
7
5
1
A. D( ; 0)
B. D( ; 0)
C. D(1; 0)
D. D( ; 0)
3
3
3
Câu 88. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3) và B(4; 2). Tính chu vi OAB.
A. 10 (2  2 ) B. 10 ( 2  1)
C. 10 ( 2 + 1)
D. 10 (2 + 2 )
Câu 89. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3) và B(4; 2). Tính diện tích OAB
A. 1

B. 2
C. 10
D. 5
 245 


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Câu 90. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho 4 điểm A(7; 3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; 2). Lựa
chọn kết quả đúng nhất.
A. ABCD là hình bình hành
B. ABCD là hình thoi
C. ABCD là hình chữ nhật
D. ABCD là hình vuông
Câu 91. Cho hai vectơ a (1; 1) và b (2; 1). Tính cos góc giữa hai vectơ a và b .
1

A.

2

B.

10

3

C.

10

4

D.

10

10

Câu 92. Cho hai vectơ a (1; 1) và b (2; 1). Tính sin góc giữa hai vectơ a và b .
1

A.

2

B.

10

3

C.

10

4

D.

10

10

Câu 93. Cho hai vectơ a (1; 1) và b (2; 1). Biết rằng ( a + b ) c = 1 và ( a + 2 c ) b = 1 hãy
xác định toạ độ của vectơ c .
A. c (1; 1)
B. c (1; 1)
C. c (1; 1)
D. c (1; 1)
Câu 94. Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với A qua gốc
toạ độ. Tìm toạ độ điểm C có tung độ bằng 2 sao cho ABC vuông tại C.
A. C1(1; 2) hay C2(2; 2)
B. C1(1; 2) hay C2(1; 2)
C. C1(2; 2) hay C2(2; 2)
D. C1(2; 2) hay C2(1; 2)
Câu 95. Cho ba điểm A(7; 4), B(0; 3), C(4; 0). Tìm toạ độ điểm A1 là điểm đối xứng với A
qua BC.
A. A1(1; 4)
B. A1(1; 4)
C. A1(1; 4)
D. A1(1; 4)
Câu 96. Cho bốn điểm A(0; 1), B(2; 3), E(1; 6), F(3; 4). Tìm điểm M trên AB sao cho
vectơ EM + FM có độ dài nhỏ nhất.
3
5

A. M( ;

1
)

5

3
5

B. M( ;

1
)
5

3
5

1
5

C. M( ;  )

3
5

1
5

D. M( ;  )

Câu 97. Cho ABC vuông cân tại A. Tính cosin góc giữa 2 trung tuyến BE, CF.
A.

1
5

B.

2
5

C.

3
5

D.

4
5

Câu 98. Cho ABC vuông, có cạnh huyển BC = a 3 , M là trung điểm BC. Biết rằng
AM . BC =

a2
. Tính độ dài AB.
2

A. a 2
B. a
C. 2a
D. a 3
Câu 99. Cho ABC vuông, có cạnh huyển BC = a 3 , M là trung điểm BC. Biết rằng

AM . BC =

a2
. Tính độ dài AC.
2

A. a 2
B. a
C. 2a
D. a 3
Câu 100. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB, biết rằng AB . AC = 4, CA . CB = 9,
CB . CD = 6. Tính độ dài các cạnh của hình thang.
A. AB = 2, CB = 3, CD = 2 2 , AD = 1

B. AB = 2, CB = 3, CD =

2 , AD = 1

C. AB = 2, CB = 3, CD = 2 2 , AD = 2 D. AB=2, CB = 2 , CD =2 2 , AD = 1

 246 


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Câu 101. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB, biết rằng AB . AC = 4, CA . CB = 9,
CB . CD = 6. Gọi EF là đường trung bình của hình thang Độ dài hình chiếu của EF
lên BD bằng:
1
2
3

4
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
Câu 102. Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có:
MA2 + MC2 = MB2 + MD2.
Lựa chọn khẳng định đúng nhất.
A. ABCD là hình bình hành
B. ABCD là hình thoi
C. ABCD là hình chữ nhật
D. ABCD là hình vuông
Câu 103. Cho ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, các đường cao AA1, BB1, CC1 cắt nhau
tại H. Giá trị tổng AH . AA1 + BH . BB1 + CH . CC 1 bằng:
A.

1 2
(a + b2 + c2)
4

B.

1 2
(a + b2 + c2)
3

C.

1 2
(a + b2 + c2)
2

D. a2 + b2 + c2

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

§3

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC

Định lí: Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có:
a2 = b2 + c2  2bccosA.
b2 = a2 + c2  2accosB.
c2 = a2 + b2  2abcosC.
Hệ quả: Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có:
cos A 

a 2  c2  b 2
a 2  b 2  c2
b 2  c2  a 2
, cos B 
, cosC 
.
2ab
2bc

2ac

Câu 104. Cho ABC có AB = 2, AC = 1, Â = 600. Khi đó độ dài BC là:
A. 1

B. 2

C.

3cm

D.

5cm

Câu 105. Cho ABC có a = 5, b = 3, c = 5. Khi đó số đo của góc  là:
A. Â = 450
B. Â = 300
C. Â > 600

D. Â = 900

Câu 106. Cho ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + b + c)(a + b  c) = 3ab. Khi
đó số đo góc C bằng:
A. 1200
B. 300
C. 450
D. 600
2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC

Định lí: Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác ta có:
a
b
c


 2R .
sin A sin B sin C

 247 


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
3. TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI CẠNH VÀ ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đường trung tuyến tương ứng là m a, mb,
mc, ta có:
b2 + c2 = 2 m2a +

b2
a2
c2
, c2 + a2 = 2 m2b +
, a2 + b2 = 2 m2c + .
2
2
2

Câu 107. Cho ABC có AB = 8, BC = 10, CA = 6. Đường trung tuyến AM của tam giác có

độ dài bằng:
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đường cao tương ứng là ha, hb, hc, ta có:
1
1
1
aha = bhb = chc.
2
2
2
1
1
1
S = bcsinA = acsinB = absinC.
2
2
2
abc
S=
.
4R

S=

S = pr =

p(p  a)(p  b)(p  c) .

với p là nửa chu vi tam giác, r bán kính đường tròn nội tiếp).
Câu 108. Cho ABC vuông tại A có AB = 6, BC = 10. Đường tròn nội tiếp tam giác có bán
kính r bằng:
A. 1
B. 2cm
C. 2
D. 3
Câu 109. Cho ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 4. Diện tích của ABC bằng:
A. 132
B. 13 2cm 2
C. 12 3cm2
D. 152

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 110. Cho ABC vuông tại A, tanC =
A. 2 13

B. 4

Câu 111. Cho ABC vuông tại A, tanC =
A. 2 13

2
và đường cao AH = 6. Độ dài đoạn thẳng HB, bằng:
3

C. 9

D. 3 13

2
và đường cao AH = 6. Độ dài đoạn thẳng HC bằng:
3

B. 4

C. 9

D. 3 13

2
và đường cao AH = 6. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:
3
A. 2 13
B. 4
C. 9
D. 3 13
2
Câu 113. Cho ABC vuông tại A, tanC = và đường cao AH = 6. Độ dài đoạn thẳng AC bằng:
3
A. 2 13
B. 4
C. 9
D. 3 13

Câu 112. Cho ABC vuông tại A, tanC =

 248 


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
3
. Độ dài đường cao ha của tam giác bằng:
5
3 2
5 2
7 2
2
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2
3
Câu 115. Cho ABC, biết b = 7, c = 5, cosA = . Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R
5
của tam giác bằng:
3 2
5 2
7 2
2
A.
B.
C.

D.
2
2
2
2
Câu 116. Cho ABC, biết a = 6 , b = 2, c = 3 + 1. Số đo ba góc A, B, C của tam giác là:
A. A = 600, B = 450, C = 750
B. A = 450, B = 600, C = 750
C. A = 600, B = 750, C = 450
D. A = 750, B = 450, C = 600

Câu 114. Cho ABC, biết b = 7, c = 5, cosA =

Câu 117. Cho ABC, biết a =

6 , b = 2, c =

3 + 1. Độ dài đường cao ha của tam giác bằng:

3
32
3 1
3 1
B.
C.
D.
2
2
2
2

Câu 118. Cho ABC, biết a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm. Khi đó:
A. ABC góc A tù B. ABC góc B tù
C. ABC góc C tù D. ABC vuông
Câu 119. Cho ABC, biết a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm. Độ dài trung tuyến AM nhận giá trị:
A. AM  10,59
B. AM  10,69
C. AM  10,79
D. AM  10,89
Câu 120. Cho ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3 3 . Độ dài BC là:
A. BC = 13 hoặc BC = 31
B. BC = 37 hoặc BC = 31
C. BC = 13 hoặc BC = 37
D. BC = 31 hoặc BC = 15
Câu 121. Cho ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Gọi M là trung điểm AC. Bán kính
đường tròn ngoại tiếp MBC có độ dài bằng:

A.

A.

13
6

B.

13
2

C.

5 13
6

D.

7 13
6

Câu 122. Cho ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Gọi trung điểm của AC là M. Bán kính
đường tròn ngoại tiếp ABM có độ dài bằng:
5 42
5 22
7 42
7 22
A.
B.
C.
D.
12
12
12
12
Câu 123. Cho ABC cân tại A. Đường cao BH = a, ABC = . Độ dài cạnh BC bằng:
a
a
D.
2sin .cos 
cos 
Câu 124. Cho ABC cân tại A. Đường cao BH = a, ABC = . Độ dài cạnh AB bằng:
a

a
a
a
A.
B.
C.
D.
sin 
2 cos
2sin .cos 
cos 
Câu 125. Cho ABC cân tại A. Đường cao BH = a, ABC = . Độ dài cạnh đường cao kẻ từ

A.

a
sin 

B.

a
2 cos

C.

B.

a
2 cos

C.

định A bằng:
A.

a
sin 

 249 

a
cos 

D.

a
2sin .cos 


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Câu 126. Cho ABC cân tại A. Đường cao BH = a, ABC = . Độ dài bán kính đường tròn
ngoại tiếp ABC bằng:
A.

a
4sin .cos 
2

B.

a
4sin .cos2 

C.

a
2(1  sin  )

D.

a
2(1  cos )

Câu 127. Cho ABC cân tại A. Đường cao BH = a, ABC = . Độ dài bán kính đường tròn
nội tiếp ABC bằng:
A.

a
4sin .cos 
2

B.

a
4sin .cos2 

C.

a
2(1  sin  )

D.

a
2(1  cos )

Câu 128. Cho ABC, biết AB + AC = 13, AB > AC, A = 600 và bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác bằng 3 . Độ dài các cạnh của ABC là:
A. a = 7, b = 5, c = 8
B. a = 8, b = 5, c = 7
C. a = 7, b = 8, c = 5
D. a = 5, b = 7, c = 8
Câu 129. Cho hai đường tròn (I1), (I2) có bán kính bằng 2, 8 tiếp xúc trong với nhau tại A.
Nửa đường thẳng vuông góc với I1I2 cắt (I1), (I2) theo thứ tự tại B, C. Bán kính
đường tròn ngoại tiếp ABC có độ dài là:
A. R = 1
B. R = 2
C. R = 3
D. R = 4
0
Câu 130. Cho ABC, có AB = 3, AC = 6, Â = 60 . Tính bán kính đường tròn cắt cả 3 cạnh của
ABC và chắn trên mỗi cạnh 1 dây có độ dài bằng 2.
A. R =

40  18 3
2

B. R =

20  9 3

2

20  9 3
40  18 3
D. R =
4
4
Câu 131. Cho ABC, biết BC = 6. Lấy E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho EF song song
với BC và tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ABC. Tính chu ABC, biết EF = 2.
A. 9
B. 18
C. 28
D. 32
Câu 132. Cho ABC. Góc A nhọn khi và chỉ khi:
A. a2 = b2 + c2
B. a2 < b2 + c2
C. a2 > b2 + c2
D. a2 ≠ b2 + c2
Câu 133. Cho ABC. Góc A tù khi và chỉ khi:
A. a2 = b2 + c2
B. a2 < b2 + c2
C. a2 > b2 + c2
D. a2 ≠ b2 + c2
Câu 134. Cho ABC. Góc A vuông khi và chỉ khi:
A. a2 = b2 + c2
B. a2 < b2 + c2
C. a2 > b2 + c2
D. a2 ≠ b2 + c2
C. R =

Câu 135. Cho ABC, có AB = a 2  b 2 , BC = b 2  c2 , AC = a 2  c2 với a, b, c là ba độ
dài cho trước. Khi đó:
A. ABC nhọn
B. ABC tù
C. ABC vuông
D. ABC đều
4
4
4
Câu 136. Cho ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn a = b + c . Khi đó:
A. ABC nhọn
B. ABC tù
C. ABC vuông
D. ABC đều
Câu 137. Cho ABC nhọn, đường cao AH và trung tuyến BE thoả mãn AH = BE. Số đo góc
CBE bằng:
A. CBE = 300
B. CBE = 450
C. CBE = 600
D. CBE = 900

 250 


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Câu 138. Cho ABC nhọn, đường cao AH và trung tuyến BE thoả mãn AH = BE. Giả sử
AH là đường cao lớn nhất của ABC và B  600 . Khi đó:
A. ABC nhọn
B. ABC tù
C. ABC vuông

D. ABC đều
Câu 139. Cho ABC, biết:
C.sinC  A.sin A
A.sin A  B.sin B
B.sin B  C.sin C
+
+
= sinA + sinB + sinC.
CA
AB
BC

Khi đó:
A. ABC nhọn

B. ABC tù
C. ABC vuông
D. ABC đều
1
Câu 140. Cho ABC, biết S = (a + b  c)(a  b + c). Khi đó:
4
A. ABC nhọn
B. ABC tù
C. ABC vuông
D. ABC đều
1
Câu 141. Cho ABC, biết S = (a.hb + b.hc + c.ha). Khi đó:
6
A. ABC nhọn
B. ABC tù

C. ABC vuông
D. ABC đều
Câu 142. Cho ABC, cạnh a, b, c và Â = 600. Lựa chọn đẳng thức đúng:
A. b(b2 a2) = c(a2  c2)
B. b(b2  a2) = c(a2  c2)
C. b(b2  a2) = c(a2 c2)
D. b(b2 a2) = c(a2 c2)
Câu 143. Cho ABC đều cạnh bằng a. M là điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp ABC.
Đặt S = MA2 + MB2 + MC2. Lựa chọn đẳng thức đúng:
A. S = a2
B. S = 2a2
C. S = 3a2
D. S = 4a2
Câu 144. Cho ABC cân tại A, biết góc B = C = , AI = m với I là đường tròn nội tiếp tam
giác. Độ dài cạnh BC bằng:

.cos
2

D. BC = 2m.cot .sin
2


.cos
2

C. BC = m.cot .sin
2

A. BC = m.cot

B. BC = 2m.cot

Câu 145. Cho ABC cân tại A, biết góc B = C = , AI = m với I là đường tròn nội tiếp tam
giác. Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC. Lựa chọn đẳng thức đúng:


A. R.sin = m.cot
B. 2R.sin = m.cot
2
2


C. R.sin = m.tan
D. 2R.sin = m.tan
2
2
Câu 146. Từ điểm M tuỳ ý trong ABC, các đường thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt BC,
MA1 MB1 MC1


. Lựa chọn đẳng thức đúng:
CA, AB tại A1, B1, C1. Đặt S =
AA1 BB1 CC1
1
1
1
A. S =
B. S =
C. S =

D. S = 1
3
4
2
Câu 147. Cho ABC không cân tại đỉnh A, trung tuyến BD và CE, có các cạnh a, b, c. Đặt
S = AB2.CE2  AC 2  BD2. Lựa chọn đẳng thức đúng:
(c2  b 2 )(c2  b 2  a 2 )
(c2  b 2 )(c2  b 2  a 2 )
A. S =
B. S =
4
4
2
2
2
2
2
2
2
(c  b )(c  b  2a )
(c  b )(c2  b 2  2a 2 )
C. S =
D. S =
4
4
 251 


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Câu 148. Cho ABC không cân tại đỉnh A, trung tuyến BD và CE, có các cạnh a, b, c. Biết

AB.CE = AC.BD. Lựa chọn đẳng thức đúng:
A. b2 + c2 = 4a2
B. b2 + c2 = 3a2
C. b2 + c2 = 2a2
D. b2 + c2 = a2
Câu 149. Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao. HE, HF lần lượt là các đường cao của
AHB, AHC. Đặt S = 3AH2 + BE2 + CF2. Lựa chọn đẳng thức đúng:
A. S = BC2
B. S = AB2
C. S = AC2
D. S = 2BC2
Câu 150. Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao. HE, HF lần lượt là các đường cao của
AHB, AHC. Đặt S =

3

BE2  3 CF2 . Lựa chọn đẳng thức đúng:

A. S = 3 BC2
B. S = 3 AB 2
C.
Câu 151. Cho hai tam giác vuông ABC và A1B1C1
nhau. Lựa chọn đẳng thức đúng:
A. bb1 + cc1 = aa1 B. bb1 + cc1 = 2aa1 C.
Câu 152. Cho hai tam giác vuông ABC và A1B1C1
nhau. Lựa chọn đẳng thức đúng:
2
1
1
A.

B.


hh1 bb1 cc1
C.

1
2
2


hh1 bb1 cc1

D.

S = 3 AC2
D. S = 2 3 BC 2
vuông tại A và A1 và đồng dạng với
bb1 + cc1 = 3aa1 D. bb1 + cc1 = 4aa1
vuông tại A và A1 và đồng dạng với

1
1
1


hh1 bb1 cc1
4
1
1



hh1 bb1 cc1

Câu 153. Cho đoạn AB = a cố định có trung điểm I. Tập hợp các điểm M thoả mãn:
5a 2
MA + MB =
là:
2
2

2

a
2
3a
C. Đường tròn tâm I, bán kính R =
2

A. Đường tròn tâm I, bán kính R =

B. Đường tròn tâm I, bán kính R = a
D. Đường tròn tâm I, bán kính R = 2a

ÔN TẬP CHƯƠNG II
Bài 1. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng ?
3
3
A. sin1500  
B. cos1500 

2
2
1
0
0
C. ta n150  
D. cot150  3
3
Bài 2. Giá trị cos450 + sin450 bằng:
A. 0.

B. 1.

C.

1
.
2

D.

2.

C.

1
.
2

D.

2.

Bài 3. Giá trị cos450 + sin1350 bằng:
A. 0.

B. 1.

Bài 4. Giá trị tan450 + cot450 bằng:
A. 0.
B. 1.

C. 2.

 252 

D. 2 3 .


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Bài 5. Giá trị tan1350 + cot450 bằng:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 2 3 .
Bài 6. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng ?
A. sin(1800  ) = sin.
C. sin(1800  ) = cos.
B. sin(1800  ) = sin.
D. sin(1800  ) = cos.

Bài 7. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng ?
A. cos(1800  ) = sin.
C. cos(1800  ) = cos.
B. cos(1800  ) = sin.
D. cos(1800  ) = cos.
Bài 8. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng ?
A. tan(1800  ) = tan.
C. tan(1800  ) = cot.
B. tan(1800  ) = tan.
D. tan(1800  ) = cot.
Bài 9. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng ?
A. cot(1800  ) = cot.
C. cot(1800  ) = tan.
B. cot(1800  ) = cot.
D. cot(1800  ) = tan.
Bài 10. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai ?

A. sin 450  cos 450 B. cos 450  sin1350 C. cos300  sin1200 D. cos1200  sin 600
Bài 11. Cho hai góc nhọn  và  biết  < . Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. cos < cos
B. sin < sin
0
C. cos = sin   +  = 90
D. tan + tan > 0
Bài 12. Cho ABC vuông tại A và có góc B  300. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai ?
1
1
3
C. sin C 
D. cosC 

2
2
3
Bài 13. Cho ABC đều có đường cao AH. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng ?

A. sin B 

1
2

B. cos B 

1
3
3
B. cos BAH 
C. sin ABC 
2
2
3
Bài 14. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. cos350 > cos100
B. sin600 < sin800
0
0
C. tan45 < tan60
D. cos450 = sin450
Bài 15. Cho ABC, trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng ?
A. sin(A + B) = sinC.
C. sin(A + B) = sinC.

B. sin(A + B) = cosC.
D. sin(A + B) = cosC.
Bài 16. Cho ABC, trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng ?
A. cos(A + B) = sinC.
C. cos(A + B) = sinC.
B. cos(A + B) = cosC.
D. cos(A + B) = cosC.
Bài 17. Cho ABC, trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng ?
A. tan(A + B) = tanC.
C. tan(A + B) = tanC.
B. tan(A + B) = cotC.
D. tan(A + B) = cotC.
Bài 18. Cho ABC, trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng ?
A. cot(A + B) = tanC.
C. cot(A + B) = tanC.
B. cot(A + B) = cotC.
D. cot(A + B) = cotC.

A. sin BAH 

 253 

D. sin AHC 

1
2


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
1

. Giá trị của biểu thức P = 3sin2 + cos2 bằng:
3
16
25
1
8
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
9
9
9
cot   tan 
4
Bài 20. Biết cos = . Giá trị của biểu thức A =
bằng:
cot   tan 
5
16
25
4
A.
.
B.

.
D.
.
C. 1.
5
7
7

Bài 19. Cho góc x với cosx =

Bài 21. Cho ABC vuông cân có AB = AC = a. Tính AB . AC bằng:
A. 0.
B. a.
D. a2.
C. a.
Bài 22. Cho ABC vuông cân có AB = AC = a. Tính AB . CB bằng:
C. a.
D. a2.
A. a2.
B. a.
Bài 23. Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c. Tích AB . AC bằng:
1
1
A. AB . AC = (b2 + c2  a2).
C. AB . AC = (a2 + b2  c2).
2
2
1 2
1
B. AB . AC = (a + c2  b2).

D. AB . AC = (b2 + c2 + a2).
2
2
Bài 24. Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c. Tích AB . BC + BC . CA + CA AB bằng:
1
1 2
A.  (a2 + b2 + c2).
C.
(a + b2 + c2).
2
2
2
2
2
2
D.
2(a
+ b2 + c2).
B. 2(a + b + c ).
Bài 25. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, biết OB = b. Tích vô hướng OA . OB
trong hai trường hợp điểm O nằm ngoài đoạn AB bằng:
A. a.
B. b.
C. ab.
D. ab.
Bài 26. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, biết OB = b. Tích vô hướng OA . OB
trong hai trường hợp điểm O nằm trong đoạn AB bằng:
A. a.
B. b.
C. ab.

D. ab.
Bài 27. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc
nửa đường tròn sao cho hai dây cùng AM và BN cắt nhau tại I. Giá trị của biểu thức
AI.AM + BI.BM bằng:
A. R2.
B. 2R2.
C. 3R2.
D. 4R2.
Bài 28. Cho a (2; 3) và b (6 ; 4). Số đo góc giữa hai vectơ a và b bằng:
A. 0.
B. 450.
C. 900.
D. 1500.
Bài 29. Cho a (3; 2) và b (5 ; 1). Số đo góc giữa hai vectơ a và b bằng:
A. 0.
B. 450.
C. 900.
D. 1500.
Bài 30. Cho a (2;  3 ) và b (3 ;
A. 0.
B. 450.

3 ). Số đo góc giữa hai vectơ a và b bằng:
C. 900.
D. 1500.

Bài 31: Cho ABC có a  3cm, b  2cm , c = 1. Đường trung tuyến ma của tam giác có độ
dài bằng:
A. 1

B. 1,5

C.

 254 

3
cm
2

D. 2,5


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Bài 32: Cho ABC vuông cân tại A và AB = a. Đường tròn nội tiếp tam giác có bán kính r bằng:
A.

a
2

B.

a
2

C.

a
2 2

D.

a
3

Bài 33: Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c. Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm
ABC, độ dài các đoạn AM và AG là:
1
2
1
B. AM =
2
1
C. AM =
2
1
D. AM =
2

A. AM =

a 2  b 2  c2 và AG =

1
3

1
3
1
2

2
2
2a  2c  b và AG =
3
1
2a 2  2b 2  c2 và AG =
3

2c2  2b 2  a 2 và AG =

a 2  b 2  c2 .
2c2  2b 2  a 2 .
2a 2  2c2  b 2 .
2a 2  2b 2  c2 .

Bài 34: Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c. Gọi G là trọng tâm ABC, giá trị cosin góc
nhọn tạo bởi AG và BC bằng:
A.
B.

| b 2  c2 |
a. 2c2  2b 2  a 2
| b2  a2 |
c. 2a 2  2b 2  c2

.

C.

.

D.

| a 2  c2 |
b. 2a 2  2c 2  b 2
ab

c. a 2  b 2  c2

.

.

Bài 35: Cho ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Diện tích S của tam giác bằng:
A. S =

1
.
2

B. S =

3
.
2

C. S=

3 15
.

2

D. S =

3 15
.
4

Bài 36: Diện tích S của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12 là:
B.
A. S  31,3.
C. S  21,3.
D. S  11,3. E. S  41,3.
Bài 37: Cho ABC có góc A nhọn, AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3 3 . Độ dài BC là:
A. 13 .
B. 31 .
C. 35 .
D. 37 .
Bài 38: Cho ABC có góc A tù, AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3 3 . Độ dài BC là:
A.

13 .

B.

31 .

C.

35 .

D.

37 .

Bài 39: Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC  a 2 và BAD  450. Khi đó hình bình
hành có diện tích bằng:
A. 2a2
C. a2
B. a 2 2
D. a 2 3
Bài 40: Cho ABC, biết  = 1200, AC = m và AB = n. Độ dài cạnh BC bằng
C. m + n.
A. m  n .
B.

m2  n 2  mn .

D.

m2  n 2  mn .

Bài 41: Cho ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Các đường cao ha, hb, hc có độ dài là:
1
1
1
, hb = và hc = .
4
3
2

3
3
3
B. ha =
, hb =
và hc =
.
4
3
2
A. ha =

3 15
, hb =
4
3 15
D. ha =
, hb =
8

C. ha =

 255 

3 15
.
2
3 15
15
và hc =

.
4
2

15 và hc =


HÌNH HỌC 10  Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Bài 42: Cho ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Các bán kính R, r là:
A. R = 6 và r =

1
.
9

B. R = 4 3 và r =

4 15
3 15
và r =
.
15
9
8 15
15
D. R =
và r =
.
15
6

C. R =
3
.
9

Bài 43: Cho ABC, biết AB = 2, BC = 3, CA = 4, đường cao AD. Độ dài đoạn CD bằng:
A.

1
.
2

B.

3
.
2

C.

5
.
2

D.

7
.
2

Bài 44: Cho ABC đều cạnh a nội tiếp đường tròn bán kính R. Khi đó bán kính R bằng:
a 2
a 3
a 3
a 3
A.
D.
B.
C.
3
3
2
4
Bài 45: Cho hai đường tròn (I1), (I2) có bán kính bằng 2, 8 tiếp xúc trong với nhau tại A.
Nửa đường thẳng vuông góc với I1I2 cắt (I1), (I2) theo thứ tự tại B, C. Bán kính
đường tròn ngoại tiếp ABC là:
A. R = 1.
B. R = 2.
C. R = 3.
D. R = 4.

 256 