Rèn luyện năng lực giải các bài toán chuyển động đều cho học sinh tiểu học (2018)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

ĐẶNG THỊ THANH NGA

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI CÁC BÀI TOÁN
CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU CHO HỌC SINH TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán và phƣơng pháp dạy học Toán

Giảng viên hƣớng dẫn:

Th.S. Nguyễn Văn Đệ

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn
Văn Đệ – người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo giúp em trong suốt
thời gian thực hiện khóa luận.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy giáo, cô giáo trong khoa
Giáo dục Tiểu học đã giúp đỡ nhiệt tình và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong
quá trình làm khóa luận.
Khóa luận đã được hoàn thành, song do thời gian và năng lực có hạn nên
không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự
tham gia, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của em hoàn
thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Đặng Thị Thanh Nga


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài: “Rèn luyện năng lực giải các bài toán chuyển
động đều cho học sinh Tiểu học” là kết quả em trực tiếp nghiên cứu và tìm tòi
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn Đệ.
Trong quá trình nghiên cứu, em có sử dụng tài liệu của một số nhà nghiên
cứu và một số tác giả đã được trích dẫn đầy đủ nhưng đó chỉ là cơ sở để em rút
ra những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình.
Kết quả em thu được là hoàn toàn trung thực và không trùng với kết quả
nghiên cứu của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Đặng Thị Thanh Nga


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Giả thuyết khoa học ...................................................................................... 3
5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................... 3
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................. 3
7. Cấu trúc khóa luận ....................................................................................... 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN
NĂNG LỰC GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU CHO HỌC
SINH LỚP 5 ......................................................................................................... 4
1.1. Cơ sở lý luận ................................................................................................. 4
1.1.1. Vị trí, vai trò của dạy học giải các bài toán chuyển động đều ở Tiểu học
............................................................................................................................... 4
1.1.2. Các khái niệm cơ bản................................................................................. 6
1.1.3. Phương pháp dạy học giải các bài toán chuyển động đều....................... 8
1.2. Thực trạng của việc dạy và học giải toán chuyển động đều ở lớp 5...... 23
1.2.1. Thực trạng khả năng giải toán chuyển động đều của học sinh lớp 5 ... 23
1.2.2. Thực trạng của việc dạy toán chuyển động đều ở lớp 5......................... 25
Chƣơng 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP NHẰM RÈN LUYỆN
NĂNG LỰC GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU CHO HỌC
SINH LỚP 5 ....................................................................................................... 28
2.1. Nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập ..................................................... 28
2.1.1. Nguyên tắc đảm bảo nội dung chương trình .......................................... 28
2.1.2. Nguyên tắc đảm bảo tính vừa sức ........................................................... 28


2.1.3. Nguyên tắc đảm bảo tính hệ thống.......................................................... 29
2.2. Hệ thống bài tập chuyển động đều để hình thành và phát triển năng lực
giải các bài toán chuyển động đều cho học sinh lớp 5 ................................... 30
2.2.1. Các bài toán chỉ có một chuyển động tham gia ...................................... 30
2.2.2. Các bài toán có hai chuyển động cùng chiều ......................................... 39
2.2.3. Các bài toán có hai chuyển động ngược chiều ....................................... 46

2.2.4. Các bài toán về vật chuyển động trên dòng nước................................... 53
2.2.5. Các bài toán về vật chuyển động có chiều dài đáng kể .......................... 61
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 68
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 69


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

Th.S:

Thạc sĩ

QĐ:

Quãng đường


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mục đích của quá trình dạy học ở bậc Tiểu học nhằm cung cấp tới học
sinh những kiến thức cơ bản, toàn diện về tự nhiên và xã hội. Không chỉ vậy, nó
còn giúp học sinh từng bước hình thành nhân cách, để từ đó trang bị cho học
sinh các phương pháp ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn.
Trong 9 môn học, môn Toán đóng vai trò rất quan trọng. Nó cung cấp
những kiến thức cơ bản về số học, đo đại lượng, các yếu tố hình học, và giải
những bài toán có ứng dụng thiết thực của cuộc sống. Bên cạnh đó, khả năng

giáo dục của môn Toán rất phong phú. Nó giúp học sinh phát triển tư duy, khả
năng suy luận, trau dồi trí nhớ, giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, chính xác.
Môn Toán còn giúp học sinh phát triển trí thông minh, tư duy độc lập sáng tạo,
kích thích óc tò mò, tự khám phá và rèn luyện cho học sinh một phong cách làm
việc khoa học. Yêu cầu đó rất cần thiết cho mọi người, góp phần giáo dục ý chí,
đức tính tốt, chịu khó, nhẫn nại, cần cù trong học tập.
Từ vị trí và nhiệm vụ quan trọng của môn Toán, vấn đề đặt ra cho người
giáo viên là làm thế nào để giờ dạy – học Toán có hiệu quả cao, học sinh phát
triển tính tích cực, chủ động và sáng tạo trong việc chiếm lĩnh tri thức. Để đạt
được yêu cầu đó, người giáo viên phải có phương pháp và hình thức dạy học
sao cho vừa nâng cao hiệu quả cho học sinh, vừa phù hợp với đặc điểm tâm sinh
lý lứa tuổi Tiểu học và trình độ nhận thức của học sinh.
Là một sinh viên sư phạm đang ngồi trên ghế giảng đường Đại học, bản
thân tôi cũng luôn suy nghĩ và tìm tòi cho mình phương pháp hiệu quả và những
vấn đề khó trong giảng dạy. Thực tế cho thấy khi giảng dạy có rất nhiều học
sinh nắm lí thuyết một cách máy móc nhưng khi vận dụng vào thực hành lại gặp
nhiều lúng túng, khó khăn.

1


Trong chương trình Toán lớp 5, học sinh được học một dạng toán mới đó là
Toán chuyển động đều. Bài toán chuyển động đều là bài toán có chứa 3 đại
lượng: quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t), liên hệ với nhau bởi các mối
quan hệ. Đây là loại toán khó, phức tạp, phong phú và đa dạng đồng thời có
nhiều kiến thức áp dụng vào thực tiễn cuộc sống. Những dạng bài toán về
chuyển động đều trong chương trình học ở trên lớp rất đơn thuần, chỉ mới ở
dạng cơ bản, vận dụng công thức tính một cách đơn giản và các em chưa thể
hiện được bản chất thực tế của bài toán. Mặt khác, việc hình thành, củng cố và
rèn luyện các kỹ năng giải toán chuyển động đều gần như là chưa có nên học

sinh không thể tránh khỏi những khó khăn và sai lầm khi giải loại toán này.
Không có một thành công nào mà không trải qua sự rèn luyện, kiên trì. Giải
các bài toán chuyển động đều cũng vậy. Muốn học sinh giải thành công dạng
toán này, giáo viên cần phải có phương pháp cụ thể để trang bị cho các em
những kiến thức cần thiết đồng thời rèn luyện học sinh giải nhiều bài tập khác
nhau đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp… nhằm nâng cao khả năng tư
duy linh hoạt và óc sáng tạo của học sinh, tạo cho các em lòng say mê ham học
Toán.
Trước ý nghĩa lý luận và thực tiễn của vấn đề nêu trên, tôi xin lựa chọn đề tài:
“Rèn luyện năng lực giải các bài toán chuyển động đều cho học sinh Tiểu
học”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng hệ thống bài tập rèn luyện năng lực giải các bài toán chuyển
động đều cho học sinh lớp 5 nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học nói
chung và môn Toán nói riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Nghiên cứu cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của việc rèn luyện năng lực giải
các bài toán chuyển động đều cho học sinh Tiểu học.
2


-

Xây dựng hệ thống bài tập các bài toán chuyển động đều có trong chương
trình Tiểu học và phương pháp giải cho các dạng toán đó.

-

Tìm hiểu thực trạng về việc dạy và học giải các bài toán chuyển động đều ở
lớp 5.

4. Giả thuyết khoa học
Nếu tôi xây dựng được hệ thống các bài tập toán chuyển động đều có
trong chương trình Tiểu học sẽ góp phần nâng cao được chất lượng dạy và học
môn Toán, đặc biệt là rèn luyện và phát triển được năng lực giải toán chuyển
động đều cho học sinh Tiểu học.
5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
5.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Việc rèn luyện năng lực giải các bài toán chuyển động đều cho học sinh lớp 5.
5.2. Phạm vi nghiên cứu
Các bài toán chuyển động đều ở Tiểu học.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận;
- Phương pháp quan sát;
- Phương pháp điều tra;
- Phương pháp thống kê toán học.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai
chương:
- Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực giải
các bài toán chuyển động đều cho học sinh Tiểu học
- Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện năng lực giải các
bài toán chuyển động đều cho học sinh lớp 5

3


NỘI DUNG

Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN NĂNG LỰC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU CHO HỌC SINH LỚP 5
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Vị trí, vai trò của dạy học giải các bài toán chuyển động đều ở Tiểu học
Toán chuyển động luôn bao gồm: Vật chuyển động, thời gian, vận tốc,
quãng đường. Là dạng toán dùng lời văn.
Toán chuyển động đều là dạng toán có liên quan và ứng dụng trong thực
tế. Học sinh phải tư duy, phải có óc suy diễn và phải có đôi chút hiểu biết về
thực tế cuộc sống.Nằm trong xu thế đó, toán chuyển động đều không chỉ giúp
học sinh đào sâu, củng cố kiến thức cơ bản về loại toán này mà nó còn cũng cố
nhiều kiến thức, kỹ năng cơ bản khác như kiến thức đại lượng tỉ lệ thuận và đại
lượng tỉ lệ nghịch, kỹ năng tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng, kỹ năng diễn
đạt, tính toán...
Là một bộ phận của môn toán ở Tiểu học, Toán chuyển động đều có vị trí
và vai trò chung cũng như vị trí, vai trò riêng của nó, biểu hiện ở những đặc
điểm cụ thể sau:
- Giải các bài toán chuyển động đều góp phần bồi dưỡng và phát triển
năng lực trí tuệ một cách toàn diện. Mỗi bài toán đưa ra là một lần học sinh phải
sử dụng rất nhiều các thao tác trí tuệ nhằm giải quyết các tình huống có vấn đề
xảy ra trong bài toán. Toán chuyển động đều là một trong những loại toán khá
phức tạp gồm nhiều dạng toán khác nhau rất phong phú và đa dạng. Vì thế đứng
trước một bài toán chuyển động, học sinh phải phát huy cao độ tính năng động
của các thao tác tư duy. Qua đó giúp học sinh giải quyết được các yêu cầu của

4


bài toán, đồng thời các em thấy được ý nghĩa của bài toán so với hệ thống kinh
nghiệm, kiến thức của bản thân.

- Giải các bài toán chuyển động góp phần hình thành kiến thức, kĩ năng cơ
bản. Toán chuyển động đều không chỉ giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức
cơ bản về loại toán này như các đại lượng về thời gian, độ dài, vận tốc mà nó
còn củng cố nhiều kiến thức, kĩ năng cơ bản khác. Biểu hiện rõ nhất của toán
chuyển động đều là kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch,
kĩ năng tóm tắt bài toán bằng sơ đồ,kĩ năng tính toán và đổi đơn vị đo…
- Giải các bài toán chuyển động đều góp phần bồi dưỡng năng khiếu toán
học. Là một trong những thể loại toán điển hình có tính mũi nhọn, bài toán
chuyển động đều đặc biệt quan trọng. Nó góp phần không nhỏ trong việc phát
hiện học sinh có năng khiếu qua các kì thi. Bởi vì đi sâu tìm hiểu bản chất của
loại toán này, ta thấy nó là loại toán phức tạp và chứa đựng nhiều từ ngữ gây
nhiễu đối với học sinh, kiến thức tuy không nặng nhưng có nhiều bất ngờ ở từng
bước giải. Gần đây, loại toán này được sử dụng khá rộng rãi trong việc ra các đề
thi và các tài liệu bồi dưỡng cho giáo viên và học sinh.
- Giải các bài toán chuyển động đều gây hứng thú toán học, giáo dục tư
tưởng, tình cảm và nhân cách cho học sinh. Ở bậc tiểu học nói chung và học
sinh lớp 5 nói riêng, do đặc điểm nhận thức lứa tuổi này, các em chỉ hay làm
những việc mình thích và những việc nhanh thấy kết quả. Trong quá trình hệ
thống hóa các bài toán chuyển động đều, tôi thấy để đi được đến bước đưa về
dạng toán điển hình dùng công thức cơ bản để tìm đáp số của bài toán, học sinh
phải xử lý rất nhiều chi tiết phụ nhưng rất quan trọng của bài toán. Ở mỗi bài lại
có các bước phân tích, tìm lời giải khác nhau. Điều này đòi hỏi mỗi học sinh
phải suy nghĩ logic, tích cực, chủ động và sáng tạo. Các tình huống của bài toán
phải xử lý linh hoạt, chính xác để cuối cùng đưa bài toán về dạng đơn giản, điển
hình.
5


- Giải toán chuyển động đều không những tạo được sự hứng thú say mê ở
mỗi học sinh mà còn tạo cho các em một phong cách làm việc khoa học chính

xác, cần mẫn và sáng tạo.
- Giải các bài toán chuyển động đều góp phần cung cấp vốn hiểu biết về
cuộc sống thực tế cho học sinh tiểu học. Các kiến thức trong toán chuyển động
đều rất thực tế và gần gũi với cuộc sống hàng ngày như: quãng đường, thời gian,
vận tốc…sẽ được tính toán như thế nào và áp dụng ra sao. Chính những bài toán
chuyển động đều sẽ đáp ứng được yêu cầu đó cho các em.
1.1.2. Các khái niệm cơ bản
1.1.2.1. Năng lực
Đã có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực và do vậy, cũng có nhiều
khái niệm khác nhau. Có thể xem xét khái niệm năng lực từ nhiều phương diện:
- Theo quan điểm của những nhà tâm lí học, năng lực là tổng hợp các đặc
điểm, thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt
động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.
- Theo tác giả Nguyễn Huy Tú: “…năng lực tự nhiên là loại năng lực được
sinh ra trên cơ sở những tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động của
giáo dục và đào tạo, nó cho phép con người giải quyết được những yêu cầu tối
thiểu, quen thuộc đặt ra cho mình trong cuộc sống”.
- X.L.Rubinxtein cho rằng: “…năng lực là khả năng làm việc tốt, nhờ có
phẩm chất đạo đức và trình độ chuyên môn.”
Song song với năng lực là tri thức, kĩ năng kĩ xảo. Tri thức, kĩ năng kĩ xảo
là điều kiện cần thiết để hình thành năng lực song không đồng nhất với năng lực;
năng lực góp phần làm cho quá trình lĩnh hội tri thức, kĩ năng kĩ xảo trong lĩnh
vực hoạt động nhất định được nhanh chóng thuận lợi và dễ dàng hơn. Có năng
lực hoạt động tức là có tri thức, kĩ năng, kĩ xảo.

6


1.1.2.2. Năng lực toán học
Theo V.A. Krutexxki, khái niệm năng lực toán học được giải thích trên hai

bình diện:
- Như là các năng lực sáng tạo (khoa học) – các năng lực hoạt động toán
học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá.
- Như là các năng lực học tập giáo trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanh
chóng và có kết quả cao các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là
các đặc điểm hoạt động trí tuệ), đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán
và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học
tương đối nhanh chóng, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau.
1.1.2.3. Năng lực giải toán
Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặc điểm
tâm lí cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và là
điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó. Từ góc độ phát hiện
và giải quyết vấn đề, ta có thể hiểu năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến
trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy
động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo nhằm đạt được kết quả sau một số
bước thực hiện.
1.1.2.4. Năng lực giải các bài toán chuyển động đều
Năng lực giải các bài toán chuyển động đều của học sinh tiểu học là các
thuộc tính cá nhân, cho phép cá nhân đó thực hiện thành công những hoạt động
giải các bài toán chuyển động đều đạt được kết quả mong muốn trong điều kiện,
hoàn cảnh cụ thể.
Biểu hiện của năng lực giải các bài toán chuyển động đều:
a) Giải các bài toán ở không có sẵn hoặc phải biến đổi về dạng toán điển
hình, vận dụng các kiến thức một cách linh hoạt sáng tạo.
7


b) Bộc lộ sự nhanh nhẹn, linh hoạt, mềm dẻo, biết cách khai thác bài toán
như giải bài toán bằng nhiều cách hay phát biểu được bài toán mới.

1.1.2.5. Hình thành năng lực giải các bài toán chuyển động đều
Năng lực giải các bài toán chuyển động đều của học sinh được hình thành
và phát triển trong quá trình học toán chuyển động. Vì vậy, khi dạy dạng toán
này, giáo viên cần chú trọng việc phát triển năng lực giải toán cho người học,
coi đây là yếu tố quan trọng hàng đầu góp phần tích cực trong quá trình phát
triển tư duy toán học của học sinh. Để hình thành năng lực giải toán chuyển
động đều thông qua dạy toán chuyển động, người giáo viên cần phải phân loại
các bài toán chuyển động đều thành từng dạng theo một hệ thống nhất định. Đặc
biệt, người giáo viên cần phải nhìn bài toán chuyển động đều dưới góc độ khai
thác bài toán. Khai thác bài toán chính là tìm nhiều lời giải khác nhau cho bài
toán, sau đó phân tích để đưa ra được cách giải hợp lí nhất. Không chỉ vậy,
người giáo viên còn cần khai thác bài toán bằng cách biến điến đổi bài toán đó
thành các bài toán mới như: thay đổi số liệu đã cho thay đổi các đối tượng trong
đề toán, thay đổi các quan hệ trong đề toán, tăng hoặc giảm số đối tượng trong
đề toán, thay đổi câu hỏi của bài toán bằng một câu hỏi khó hơn, phát biểu bài
toán ngược với bài toán ban đầu.
1.1.3. Phương pháp dạy học giải các bài toán chuyển động đều
Để có thể giải được một bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức làm
công cụ thì còn cần có khả năng lựa chọn các phương pháp thích hợp cho từng
bài toán và phối hợp các phương pháp đó trong khi giải. Khi giải các bài toán có
nội dung về chuyển động đều ta có thể sử dụng hầu hết các phương pháp giải
toán. Trong đó có một số phương pháp thường được sử dụng nhiều như: phương
pháp sơ đồ đoạn thẳng, phương pháp rút về đơn vị, phương pháp giả thiết tạm,
phương pháp khử, phương pháp suy luận, phương pháp diện tích.

8


1.1.3.1. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
Khi phân tích đề bài cần lập được mối liên hệ và sự phụ thuộc lẫn nhau

giữa các đại lượng đã cho trong bài toán. Muốn làm được việc này ta thường sử
dụng các đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm) trong các bài toán
để minh họa các mối quan hệ đó.
Ta cần phải chọn độ dài của các đoạn thẳng và cần phải sắp xếp các đoạn
thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối liên hệ và phụ
thuộc giữa các đại lượng. Thông qua sơ đồ, tạo một hình ảnh cụ thể giúp ta suy
nghĩ, tìm tòi cách giải bài toán. Nhờ có sơ đồ đoạn thẳng mà các các khái niệm
và các quan hệ trừu tượng của số học như các phép tính và các quan hệ được
biểu thị trực quan hơn. Sơ đồ đoạn thẳng giúp chúng ta “trực quan hóa” các suy
luận về bài toán. Sự ưu thế về tính trực quan khiến cho các sơ đồ trở thành một
phương tiện giải toán thường xuyên được sở dụng ở tiểu học đặc biệt là ở dạng
toán chuyển động đều.
Ví dụ:
Bác Hưng đi xe đạp từ nhà lên thị trấn (phải qua xã A và xã B) hết 2 giờ.
Quãng đường từ nhà bác đến xã A dài 10 km và thời gian bác đi từ nhà đến xã A
lâu hơn thời gian bác đi từ xã A đến xã B là 25 phút và ít hơn thời gian đi từ xã
B đến thị trấn là 25 phút. Tính vận tốc của bác Hưng.
Phân tích:
Ta vẽ sơ đồ thể hiện mối quan hệ về thời gian đi của bác Hưng trên 3 quãng
đường (từ nhà đến xã A, từ nhà đến xã B, từ xã B đến thị trấn) và tổng thời gian đi.
Sau đó tính thời gian đi từ xã A đến xã B (thời gian ít nhất). Dựa vào cách tính của
dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó. Khi đó, ta sẽ tính được thời
gian đi từ nhà đến xã A và tìm được vận tốc của bác Hưng.

9


Bài giải:
Thời gian đi từ nhà đến xã A:
15 phút

Thời gian đi từ xã A đến xã B:

120 phút

Thời gian đi từ xã B đến thị trấn:
30 phút
Đổi 2 giờ = 120 phút
Thời gian đi từ xã A đến xã B là:
(120 – 15 – 15  2) : 3 = 25 (phút)
Thời gian từ nhà đến xã A là:
25 + 15 = 40 (phút)
Đổi 40 phút =

2
giờ
3

Vận tốc của bác Hưng là:
10 :

2
= 15 (km/giờ)
3
Đáp số: 15 km/giờ.

1.1.3.2. Phương pháp giả thiết tạm
Phương pháp này thường sử dụng đối với bài toán trong đó đề cập tới hai
đối tượng có tính chất biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau, ví dụ như hai
chuyển động có vận tốc khác nhau. Khi giải bài toán bằng phương pháp này ta

sẽ thử đặt ra một trường hợp không phù hợp với điều kiện và không xảy ra trong
bài toán, một khả năng không có thật, thậm chí một tình huống vô lí. Do đó mà
phương pháp này đòi hỏi người giải toán phải có óc tưởng tượng phong phú, óc
suy luận linh hoạt. Tất nhiên giả thiết ấy chỉ tạm thời nhưng giả thiết ấy sẽ giúp
ta đưa bài toán về một tình huống quen thuộc, đã biết cách giải hoặc dựa trên cơ
sở đó để tiến hành lập luận mà suy ra được cái phải tìm. Để giải bài toán bằng
phương pháp này ta tiến hành như sau:
10


- Thay một giả thiết bằng một giả thiết tạm vượt ra ngoài dữ kiện nào đó
của bài toán nhưng vẫn có ích trong dữ kiện khác của bài toán.
- Từ dữ kiện hay giả thiết thay đổi đó dẫn đến các dữ kiện liên quan tới nó.
- Phân tích sự thay đổi đó rồi đối chiếu với dữ kiện của bài toán đồng thời
phát hiện nguyên nhân của sự thay đổi và tìm ra phương pháp của sự thay đổi
thích hợp để đáp ứng toàn bộ điều kiện của bài toán.
- Đối với các bài toán chuyển động nhiều khi giả thiết mới đưa ra không
những không vượt ra ngoài dữ kiện nào của bài toán, không làm thay đổi dự
kiện mà còn phù hợp rất tốt với giả thiết được thay thế.
Ví dụ:
Lúc 7 giờ sáng, một ô tô khởi hành từ A đi về phía B. Lúc 9 giờ sáng, một
người đi xe máy từ B về A và gặp ô tô lúc 12 giờ trưa trên đường đi. Tìm vận tốc
của ô tô và xe máy, biết rằng trong một giờ cả ô tô và xe máy đi được quãng
đường 86 km và quãng đường AB dài 358 km.
Bài giải:
Giả sử hai xe cùng xuất phát lúc 7 giờ thì quãng đường họ cách nhau sau 3 giờ
chính là quãng đường mà ô tô đi được trong hai giờ đầu.
Thời gian để xe máy đi đến chỗ gặp nhau là:
12 – 9 = 3 (giờ)
Nếu hai xe cùng xuất phát lúc 7 giờ thì sau 3 giờ, họ cách nhau quãng đường là:

358 – 86  3 = 100 (km)
Khoảng cách trên chính là quãng đường mà ô tô đi được trong hai giờ đầu
Vận tốc của ô tô là :
100 : 2 = 50 (km/giờ)
Vận tốc của xe máy là :
86 – 50 = 36 (km/giờ)
Đáp số: 50 km/giờ; 36 km/giờ.
11


1.1.3.3. Phương pháp rút về đơn vị
Trong các bài toán chuyển động, các yếu tố đã cho và các yếu tố cần tìm
thường xoay quanh mối quan hệ giữa ba đại lượng: vận tốc, thời gian, quãng
đường. Ba đại lượng này đôi một có quan hệ tỉ lệ với nhau (tỉ lệ thuận, hoặc tỉ lệ
nghịch).
Một số bài toán này người ta cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất và
một giá trị của đại lượng thứ hai. Bài toán đòi hỏi phải tìm giá trị chưa biết của
đại lượng thứ hai. Để tìm được giá trị đó, ở tiểu học thường sở dụng phương
pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số.
Khi giải bài toán theo phương pháp rút về đơn vị ta thực hiện lần lượt theo
hai bước:
- Bước 1: Ta tìm xem một đơn vị của đại lượng thứ nhất ứng với giá trị
nào của đại lượng thứ hai (hay ngược lại), ta thực hiện phép nhân hoặc phép
chia (nhân khi hai đại lượng tỉ lệ nghịch và chia khi hai đại lượng tỉ lệ thuận).
- Bước 2: Có bao nhiêu đơn vị của đại lượng thứ nhất thì sẽ có bấy nhiêu
lần giá trị tương ứng vừa tìm được của đại lượng thứ hai, ta tiến hành phép nhân
hoặc phép chia (nhân khi hai đại lượng tỉ lệ nghịch và chia khi hai đại lượng tỉ lệ
thuận).
Ví dụ:
Lúc 7 giờ kém 10 phút sáng, một người đi xe máy từ A với vận tốc 36

km/giờ đến B lúc 10 giờ sáng. Hỏi người đi ô tô với vận tốc 72 km/giờ xuất phát
từ A lúc mấy giờ để tới B cùng lúc với người đi xe máy?
Phân tích:
Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng:
- Một đại lượng không đổi là độ dài quãng đường AB.
- Hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ nghịch là vận tốc và thời
gian.
12


Bài giải:
Ta có: 7 giờ kém 10 phút = 6 giờ 50 phút
Thời gian người đi xe máy từ A là:
10 giờ – 6 giờ 50 phút = 3 giờ 10 phút =

19
giờ
6

Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 1 km/giờ là:

19
 36 = 114 (giờ)
6
Thời gian để người đi ô tô từ A đến B là:
114 : 72 =
Đổi

19
(giờ)

12

19
giờ = 1 giờ 35 phút
12

Thời điểm người đi ô tô xuất phát từ A để tới B cùng lúc với người đi xe máy là:
10 giờ – 1 giờ 35 phút = 8 giờ 25 phút
Đáp số: 8 giờ 25 phút.
1.1.3.4. Phương pháp tỉ số:
Khi giải bài toán theo phương pháp này ta thực hiện lần lượt theo hai
bước:
- Bước 1: So sánh hai giá trị của đại lượng thứ nhất (hoặc hai giá trị của
đại lượng thứ hai) xem số này gấp số kia mấy lần bằng cách thực hiện phép chia.
- Bước 2: Giá trị đã biết của đại lượng thứ hai (hoặc thứ nhất) cũng được
tăng hay giảm đúng bằng số lần vừa tìm được ở bước thứ nhất. Kết quả tìm được
đúng là số phải tìm trong bài toán.
Ví dụ:
Xe máy đi từ A đến B với vận tốc 50 km/giờ thì hết 2 giờ. Nếu đi từ A đến
B hết 4 giờ thì xe máy đi với vận tốc bao nhiêu km/giờ?

13


Phân tích:
Ta so sánh hai giá trị của đại lượng thứ nhất xem chúng gấp kém nhau bao
nhiêu lần (4 giờ gấp 2 giờ mấy lần). Khi ấy giá trị đã biết của đại lượng thứ hai
(50 km/giờ) giảm đi đúng bằng số lần tìm được ở trên.
Bài giải:
4 giờ gấp 2 giờ số lần là:

4 : 2 = 2 (lần)
Nếu đi từ A đến B hết 2 giờ thì xe máy phải đi với vận tốc là:
50 : 2 = 25 (km/giờ)
Đáp số: 25 km/giờ.
1.1.3.5. Phương pháp suy luận logic
Là phương pháp giải toán mà học sinh phải biết suy luận chặt chẽ, đúng
đắn dựa trên cơ sở vận dụng những kiến thức cơ bản và kinh nghiệm sống đa
dạng của mình.
Để giải các bài toán bằng phương pháp này, học sinh cần tập luyện cách
lập luận, cách xem xét vấn đề, khả năng bao quát tất cả các trường hợp xảy ra
của vấn đề và vận dụng kiến thức đã học vào trong những tình huống cụ thể. Đôi
khi chỉ cần kiến thức toán học đơn giản để giải những bài toán này nhưng lại đòi
hỏi khả năng chọn lọc trường hợp và suy luận chính xác, chặt chẽ.
Ví dụ:
Hai người một trẻ, một già, một đi xe đạp, một đi xe máy. Họ khởi hành
cùng một lúc từ địa điểm A để đến địa điểm B. Sau khi đi được một thời gian,
người già nhận thấy rằng: nếu mình đi được một quãng đường lớn gấp ba
quãng đường đã đi thì chỉ còn phải đi một nửa quãng đường còn lại. Người trẻ
tuổi nhận thấy rằng nếu mình đi một quãng đường bằng nửa quãng đường đã đi
thì còn phải đi một quãng đường dài gấp ba lần quãng đường còn lại. Bạn hãy
đoán xem ai là người đi xe đạp, ai là người đi xe máy?
14


Bài giải
Người già đi:
QĐ đã đi

QĐ còn lại

QĐ nếu đi gấp ba lần QĐ đã đi QĐ còn lại bằng nửa QĐ thực tế còn lại
Người trẻ tuổi đi :
QĐ còn lại

QĐ đã đi

QĐ nếu đi bằng ½ QĐ đã đi QĐ còn lại gấp 3 lần QĐ thực tế còn lại
Quan sát sơ đồ ta thấy:
Người già đi được

1
quãng đường
5

4
Người trẻ đi được
quãng đường
5
Do đi xe đạp chậm hơn đi xe máy nên ai đi chậm hơn thì người đó đi xe đạp,
còn lại là đi xe máy
Vậy người già là người đi xe đạp, người trẻ là người đi xe máy.

15


1.1.3.6. Phương pháp khử
Là phương pháp giải các bài toán chuyển động đều nói về mối quan hệ
giữa nhiều đại lượng mà mỗi cặp gồm hai giá trị tương ứng của một đại lượng
giống nhau và ta phải tìm một giá trị chưa biết.
Để giải bài toán bằng phương pháp khử, ta cần điều chỉnh cho hai giá trị

của một đại lượng trong hai cặp là như nhau. Dựa vào sự chênh lệch giữa hai đại
lượng còn lại, ta sẽ tìm được giá trị tương ứng với một đơn vị của đại lượng này.
Ví dụ:
Hai đoàn khách đi du lịch từ A đến B. Đoàn thứ nhất đi ô tô trong 5 giờ
đầu và sau đó chuyển sang đi tàu hỏa 8 giờ nữa thì tới B. Đoàn thứ hai đi tàu
hỏa trong 4 giờ đầu và sau đó chuyển sang đi ô tô 10 giờ nữa thì đến B. Tính
vận tốc của ô tô, vận tốc của tàu hỏa. Biết rằng quãng đường AB dài 600 km.
Phân tích :
Trong bài toán trên ta thấy quãng đường mà cả hai đoàn đi là như nhau
Bài toán có thể tóm tắt như sau :
Đoàn 1 đi hết quãng đường 600 km: 5 giờ bằng ô tô và 8 giờ bằng tàu hỏa
Đoàn 2 đi hết quãng đường 600 km: 4 giờ bằng tàu hỏa và 10 giờ bằng ô tô
Bây giờ ta giả sử thời gian và quãng đường mà đoàn 1 đi bằng ô tô và tàu
hỏa tăng gấp đôi thì bài toán được tóm tắt như sau :
Đoàn 1 đi hết quảng đường 1200 km: 10 giờ bằng ô tô và 16 giờ bằng tàu hỏa
Đoàn 2 đi hết quãng đường 600 km: 10 giờ bằng ô tô và 4 giờ bằng tàu hỏa
Bài giải:
Ta giả sử thời gian và quãng đường mà đoàn 1 đi bằng ô tô và tàu hỏa tăng gấp
đôi thì :
Thời gian đoàn 1 đi bằng ô tô là :
5  2 = 10 (giờ)
Thời gian đoàn 1 đi bằng tàu hỏa là :
16


8  2 = 16 (giờ)
Quãng đường mà đoàn 1 đi được là :
600  2 = 1200 (km)
Thời gian đoàn 1 đi bằng tàu hỏa nhiều hơn thời gian đoàn 2 đi bằng tàu hỏa là :
16 – 4 = 12 (giờ)

Quãng đường mà đoàn 1 đi hơn đoàn 2 là :
1200 – 600 = 600 (km)
Vận tốc của tàu hỏa là :
600 : 12 = 50 (km/giờ)
Vận tốc của ô tô là :
(600 – 8  50) : 5 = 40 (km/giờ)
Đáp số: 40 km/giờ; 50 km/giờ.
1.1.3.7. Phương pháp diện tích
Phương pháp sơ đồ diện tích được dùng để giải các bài toán có nội dung
đề cập đến ba đại lượng: quãng đường, vận tốc và thời gian. Giá trị của một
trong ba đại lượng bằng tích các giá trị của hai đại lượng còn lại. Dùng phương
pháp sơ đồ diện tích, chúng ta giải được các bài toán đó một cách nhanh chóng
vì đã đưa về bài toán trực quan là bài toán diện tích hình chữ nhật.
Quãng đường = vận tốc  thời gian
Vì vậy, ta có thể sử dụng phương pháp sơ đồ diện tích để giải một số bài
toán về chuyển động.
Ví dụ:
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ, sau đó đi từ B quay về A với
vận tốc 40 km/giờ. Thời gian đi từ B về A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 40
phút. Tính độ dài quãng đường AB.

17


Phân tích:
Vì quãng đường AB (s = v  t) không đổi, nên ta có thể xem như vận tốc
(v) là chiều rộng của hình chữ nhật và thời gian (t) là chiều dài của hình chữ
nhật đó. Từ đó ta vẽ được sơ đồ:

N

40
N‟

P
S1

10

I

P
‟

30
k

S2

M
S3

Q‟

Q

Do quãng đường AB bằng vận tốc nhân thời gian, trên hình vẽ số đo
quãng đường AB được biểu thị bằng số đo diện tích của hình chữ nhật MNPQ
hay MN‟P‟Q‟. Vì quãng đường AB không đổi và dựa vào sự biểu diễn ở trên
nên ta có: diện tích MNPQ bằng diện tích MN‟P‟Q‟.
Vì hai hình chữ nhật MNPQ và MN‟P‟Q‟ có chung phần MNIQ có diện

tích là S3 nên S1= S2. Ta dễ dàng tính được diện tích S2. Dựa vào đó ta tính được
cạnh NP của hình chữ nhật NPIN‟ có diện tích bằng S1, NP có giá trị bằng thời
gian đi hết quãng đường AB với vận tốc 40km/giờ, từ đó ta tìm được đáp số của
bài toán.
Bài giải:
Đổi: 40 phút =

2
giờ
3

Nếu ô tô đi từ B về A với vận tốc 30km/giờ thì sau khoảng thời gian dự định đi
từ B về A, ô tô còn cách A một quãng đường là:

18


30 

2
= 20 (km)
3

Sở dĩ có khoảng cách này là vì vận tốc xe đã giảm đi:
40 – 30 = 10 (km/giờ)
Thời gian dự định ô tô đi từ B về A là:
20 : 10 = 2 (giờ)
Quãng đường AB dài là:
40  2 = 80 (km)
Đáp số: 80 km.

1.1.4. Quy trình giải một bài toán
Trong lí luận về giải toán tùy theo mục đích nghiên cứu, người ta đưa ra
những quy trình giải toán khác nhau. Nhưng một trong những quy trình được sử
dụng nhiều nhất đó là giải toán theo bốn bước:
- Bước 1: Tìm hiểu bài toán.
- Bước 2: Lập kế hoạch giải.
- Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải.
- Bước 4: Kiểm tra, đánh giá cách giải.
1.1.4.1. Tìm hiểu bài toán
Thực chất đây là bước học sinh đọc thật kĩ đề bài toán, xác định đâu là cái
đã cho và đâu là cái phải tìm. Giáo viên cần tập cho học sinh thói quen tự tìm
hiểu đề bài toán, từ nào chưa hiểu hết ý nghĩa thì phải tìm hiểu hết ý nghĩa của
nó. Học sinh cũng cần phân biệt rõ những gì thuộc về bản chất của đề toán,
những gì không thuộc về bản chất của đề toán để hướng sự chú ý của mình vào
những chỗ cần thiết. Để từ đó học sinh có thể làm rõ mối liên hệ giữa cái đã cho
và cái phải tìm, có thể tóm tắt bằng sơ đồ, hình vẽ hoặc ngôn ngữ, kí hiệu ngắn
gọn.

19