skkn khắc phục những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LƯU ĐÌNH CHẤT
**************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM KHI HỌC CHƯƠNG
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện: Trần Thị Hương
Chức vụ : Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018


MỤC LỤC
Nội dung
Trang
Phần 1: Mở đầu ……………………….………………………..………
1
I. Lý do chọn đề tài…………………………………………………
1
II. Mục đích nghiên cứu của đề tài ………………………..………….....
1
III. Đối tượng nghiên cứu của đề tài …………………….………………
1
IV. Phương pháp nghiên cứu…………………………………….
1

Phần 2. Nội dung đề tài ……….…………………………………………
2
I. Cơ sở lý luận của đề tài ……………………………………………..
2
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng đề tài …………………..….…
4
III. Giải pháp đã thực hiện và kết quả thực hiện ……………………….
5
Phần 3. Kết luận và kiến nghị …………………………………………
19
I. Kết luận …………………………………………………………….
19
II. Kiến nghị………………………………………………………
20
Tài liệu tham khảo……………………………………………………



PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình giải tích 12, nội dung " ứng dụng đạo hàm để khảo sát
và vẽ đồ thị của hàm số" có một vị trí đặc biệt quan trọng. Là một công cụ rất
"mạnh" để giải quyết nhiều bài toán từ dễ đến khó trong các đề thi Trung học
phổ thông quốc gia. Nhiều bài toán có hướng giải khó nếu học sinh biết vận
dụng kết hợp phương pháp đạo hàm thì bài toán trở nên đơn giản hơn. Trong quá
trình giảng dạy và ôn thi kì thi trung học phổ thông quốc gia, tôi nhận thấy các
em học sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng
đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những lỗi sai
mà bản thân học sinh không biết là mình sai . Vì vậy mà các em không tự mình
khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của thầy, cô giáo.

Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng
dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài
"Khắc phục những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và
vẽ đồ thị của hàm số "
II. Mục đích nghiên cứu
- Phân tích cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh
hiểu đúng bản chất của vấn đề, vận dụng giải đúng bài toán.
- Bồi dưỡng cho học sinh thêm về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12. Từ đó phân tích những sai lầm học
sinh thường mắc phải và biện pháp khắc phục.
IV. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin .
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
- Phương pháp thông kê, xử lí số liệu.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
1


PHẦN 2: NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
1. Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và
phạm vi nghiên cứu của đề tài)
1.1.

Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:

K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f(x) xác định

trên K
+ Hàm số y  f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1; x2 thuộc K ,
x1  x2 � f(x1)  f(x2 ) .

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1; x2 thuộc K ,
x1  x2 � f(x1)  f(x2 ) .

1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:
+ Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên
D thì tổng f(x)  g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D . Tính

chất này nói chung không đúng với hiệu f(x)  g(x) .
+ Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch
biến) trên D thì tích f(x).g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên
D . Tính chất này nói chung không đúng với tích f(x).g(x) khi f(x) và g(x) là hai

hàm số không cùng dương trên D
1.3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số dựa trên định lí sau:
+ Định lí: Cho hàm số y  f(x) có đạo hàm trong khoảng K .
(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
(x)  0 với x�K thì hàm số f(x) đồng biến trên K .
a. Nếu f�
(x)  0 với x�K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K .
b. Nếu f�
(x)  0 với x�K thì hàm số f(x) không đổi trên K .
c. Nếu f�

- Quy tắc để xét tính đơn điệu của hàm số( SGK- giải tích 12) là điều kiện đủ

chứ không phải điều kiện cần.
2


1.4. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:
+ Định lí 1: Giả sử hàm số y  f(x) liên tục trên khoảng K  (x0  h; x0  h) và có
đạo hàm trên K hoặc trên K \  x0 , với h  0 .
(x)  0 trên khoảng (x0  h; x0 ) và f�
(x)  0 trên khoảng (x0; x0  h) thì
a. Nếu f�
x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) .
(x)  0 trên khoảng (x0  h; x0 ) và f�
(x)  0 trên khoảng (x0; x0  h) thì
b. Nếu f�
x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

+ Định lí 2: Giả sử hàm số y  f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng
(x0  h;x0  h) , với h  0 . Khi đó:
�
(x0 )  0; f�
(x0 )  0 thì x0 là điểm cực tiểu
a. Nếu f�
�
(x0 )  0; f�
(x0 )  0 thì x0 là điểm cực đại.
b. Nếu f�

Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều
kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng.
1.5. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D :

f(x) �m , x�D
f(x) �M , x�D
�
�
M  max f(x) � �
,
D
x0 �D : f(x0 )  m
x0 �D : f(x0 )  M
�
�

m min
f(x) � �
D

Nếu f(x) �m , x�D (hay f(x) �M , x�D ) nhưng không x0 �D : f(x0)  m
(hay không x0 �D : f(x0)  M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, không tồn tại
giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D .
Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà
chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép
đặt ẩn phụ t  u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.
1.6. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y  f(x)
(x0 )(x  x0 )  y0 .
+ Tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) �(C) có phương trình: y  f�

+ Đường thẳng d có hệ số góc k , đi qua điểm M(x1; y1) có phương trình:
y  k(x  x1)  y1

f(x)  k(x x1)  y1

�
d là tiếp tuyến của (C) nếu hệ có nghiệm : �
(1)
f '(x)  k
�

3


Nếu điểm M(x1; y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (1).
Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.
2. Sai lầm thường gặp khi giải toán
1.1. Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững
định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn
của hàm số
1.2. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận
dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên
khoảng (a;b).
1.3. Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác
tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm
đồng biến, nghịch biến.
1.4. Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
số trên một miền D , khi chuyển đổi bài toán không tương đương.
1.5. Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số.
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:
- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,
không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0 .
- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
trên một miền D
- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ
thị hàm số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
Qua số liệu thống kê kết quả giải bài tập chương 1- giải tích 12 (trước khi chưa
áp dụng sáng kiến kinh nghiệm như sau)
4


Lớp 12 A2 (sĩ số 40)
Số lượng
10

Phần trăm
25 %

Giải sai phương pháp

24

60 %

Giải đúng phương pháp

6

15 %

Không giải được

Lớp 12 A3 (sĩ số 42)
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp

Số lượng
11
23
8

Phần trăm
26,2 %
54,8 %
19 %

III: Các giải pháp đã thực hiện và kết quả thực hiện
I. Giải pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên
cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, các khái niệm, định nghĩa, định lí, để học sinh nắm được bản
chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phân tích các ví dụ cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và
khác nhau giữa chúng.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải và hướng khắc phục các sai
lầm đó .
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, tổng hợp ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, tính toán .
- Phương pháp: phương pháp gợi mở , vấn đáp.
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp học nhóm
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
5


- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học Chẳng hạn sử dụng bảng
phụ, phiếu học tập, kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình
động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 4 mức độ nhận thức:
nhận biết - thông hiểu - vận dụng thấp – vận dụng cao.
- Giáo viên đánh giá học sinh.
- Học sinh đánh giá học sinh.
5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học
Giáo viên phải lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp với từng loại đối tượng
học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường mắc phải khi giải các bài
toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan .
Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tự vận dụng, bài tập nâng cao.
II. Nghiên cứu thực tế
1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ
1.1. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo

hàm
xét tính đơn điệu, cực trị của hàm số
Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn
điệu của hàm số.
Ví dụ 1:
Xét tính đơn điệu của hàm số: y  f(x) 

x 2
x 1

[2]

Một số học sinh giải như sau:
Tập xác định: D = �\ { - 1}
3

Ta có: y'  (x 1)2  0,x�D
Bảng biến thiên:
- �

-1

+�

6


x
y'

+

+
+�

y

1
- �

1

( 1; +�)
Vậy: Hàm số đồng biến trên (- �; - 1) �-

Phân tích sai lầm:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài
toán ! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1; x2
thuộc D , x1  x2 � f(x1)  f(x2 ) .
Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 4 �D và x2 = 0 �D thì x1 < x 2
nhưng f(x1)  2  2  f(x2 )
Vậy sai lầm ở đâu ?
Lời giải đúng là:
Tập xác định: D = �\ { - 1}
3

Ta có: y'  (x 1)2  0,x�D
Bảng biến thiên:

x - �

y'

+�

-1

+

+
+�

y

1

1
- �

Vậy: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- �; - 1) và (- 1; +�) .
Bài tập vận dụng.
Bài 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
2x + 5
2- x

b. y =

c. y = cosx – sinx

d. y =

a. y =

x 2 - 5x + 3
x- 2

[2]

2x
x - 9
2

7


4
3

3
2
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y   x  mx  x  1 nghịch biến trên trên �. [5]

Một số học sinh giải như sau:
Tập xác định: D  �
y�
 4 x 2  2mx  1

a0
�
 0
�

4  0
�

 0, x ��� �
��2
Hàm số nghịch biến trên � � y�
�

m 40
�

� 2  m  2

Trong lời giải trên học sinh sai ở đâu ?
Phân tích sai lầm:
Khi giải như trên học sinh quên định lý mở rộng: Hàm số y = f(x) xác định trên
(a;b),
f�
�0 , x �(a; b) và dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b) thì hàm số f(x)
nghịch biến trên (a;b).
Lời giải đúng:
Tập xác định: D  �
a0
�
 �0
�

4  0
�

Hàm số nghịch biến trên � ۣ y� 0 , x ��� � � � � 2
Vậy với m � 2; 2 hàm số nghịch biến trên �

m  4 �0
�

 2 �m �2

Bài tập vận dụng.
1
3

3
2
Bài 1. Tìm m để hàm số y   x  2x  (2m  1) x  3m  2 nghịch biến trên

trên �.
[3]
Bài 2. Tìm m để hàm số y  x 3  3x 2  3mx  3m  4 đồng biến trên trên �.[4]
m 1 3
x  mx 2  (3m  2)x đồng biến trên trên �.
3
1 3
2
Bài 4. Tìm m để hàm số y   x  (m  1)x  ( m  3)x-4 đồng biến trên trên
3

Bài 3. Tìm m để hàm số y 

khoảng  0;3 .
- Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, học sinh thường quên
đó chỉ là điều kiện đủ chứ chưa phải điều kiện cần.
Quy tắc:
( x0 )  0
�f �
� x  x0 là điểm cực tiểu.
�
�
�
f
(
x
)

0
� o
( x0 )  0
�f �
� x  x0 là điểm cực đại.
�
�
( xo )  0
�f �

Điều ngược lại trong một số trường hợp không đúng.
8


Ví dụ 3: Cho hàm số y  mx 4 . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đạt cực đại

tại x  0
[6]
Một số học sinh giải như sau:
�
f�
( x )  4mx 3 ; f �
( x)  12mx 2
(0)  0
�y�
�4m.0  0
��
� m ��
12m.0  0
�y (0)  0
�

Hàm số đạt cực đại tại x  0 � � �
�

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x  0 .
Phân tích sai lầm: Giả sử khi m=-1, ta có:
y   x 4 , y�
 4 x3 =0 � x=0
Bảng biến thiên

x -∞
y’
y

0

+

0
0

-�

+∞

-�

Vậy hàm đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
( x0 )  0
�f �

� x0 là điểm cực đại của hàm số.
Ta có �
�
( xo )  0
�f �

Còn điều ngược lại chưa chắc đúng vì x  x0 là điểm cực đại thì cũng có thể
�
f�
( x0 )  0 .
Lời giải đúng:
Xét 3 trường hợp (m 0; m 0; m 0)
+ m  0; y  0 � Hàm số không có cực trị

+ m  0; y�
 4mx 3 ; y �
 0 � x  0 , lập bảng biến thiên từ đó � x  0 là điểm
cực tiểu của hàm số.
 4mx3 ; y�
 0 � x  0 , lập bảng biến thiên từ đó � x  0 là điểm
+ m  0; y�
cực đại của hàm số.
Vậy m 0 thì hàm số đạt cực đại tại x  0.
Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
[4]
x2  mx  1
Bài 2. Xác định giá trị của tham số m để hàm số y 
đạt cực đại x = 2
x m

Ví dụ 4: Xét tính đơn điệu của hàm số: f(x)  x  1 4  x2

[3]

Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = [- 2; 2 ]
9


�
x  2
 0 � 4  x2  x � 4 x2  x2 � �

4 x
x 2
�
x

(x)  1
Ta có: f�

2

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0)
> 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
-2
- 2
x

y'

-

0

+

0

-3

y

2

2

-

2 2- 1
-1

1

Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên các khoảng
(- 2; -

2) và ( 2; 2) .

Lời giải trên sai ở đâu ?
Phân tích sai lầm: Thực ra ở đây - 2 không phải là điểm tới hạn của hàm số, vì
khi tìm điểm tới hạn học sinh quên điều kiện tương đương của phương trình
chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.
Lời giải đúng là:
Tập xác định: D = [- 2; 2 ] .
Ta có: y'  1
x
y'
y

�x � 0
 0 � 4  x2  x � �
� x 2

4  x2  x2
4  x2
�
x

-2

2

2

+

0

-

2 2- 1
-3

1

Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên khoảng
( 2; 2) .

Bài tập vận dụng
Bài 1. Xét tính đơn điệu của hàm số: y  x 

4
x

[3]

Bài 2. Xét tính đơn điệu của hàm số: y   x  x2  8

10


x2  2mx  5
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y 
có cực đại và cực tiểu nằm về
x1
hai phía của đường thẳng y=2x

[4]

Một số học sinh giải như sau:
Đặt g(x)  x2  2mx  5
Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=2x
g(1)  2m 6 �0
�
� 2
� � x  2mx  5  2x vô nghiệm
�
�
x1
�m�3

� �
'

2
�  m  2m 14  0

�  1 15  m   1 15
y

Phân tích sai lầm:
(∆): y = 2x

Từ trực quan của hình vẽ học sinh nghĩ rằng
cực đại , cực tiểu nằm về hai phía của một

A

đường thẳng nghĩa là, đồ thị hàm số không cắt
đường thẳng y=2x.Nhưng thực ra đường
thẳng y=2x có thể cắt đồ thị tại hai điểm phân

B
0

biệt mà điểm cực đại, cực tiểu vẫn nằm khắc

x1

1

x

x2

phía so với đường thẳng y=2x.
Lời giải đúng là:
0
Hàm số có cực đại và cực tiểu tương đương với y�
có hai nghiệm phân biệt x �1 � m 3. Gọi A(x1;y1) , B(x2;y2) là các điểm cực
trị của hàm số. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
y  2x  2m, khi đó y1  2x1  2m; y2  2x2  2m.Để A và B nằm về hai
phía của đường thẳng y=2x cần và đủ là

11


 2x1  y1   2x2  y2   0 � (4x1  2m)(4x2  2m)  0 �
2  2 6  m 2  2 6 (thỏa mãn điều kiện m 3)
Vậy với 2  2 6  m 2  2 6 là giá trị cần tìm.
Bài tập vận dụng

[4]

3m 2
x  m có các điểm cực đại và cực tiểu
2
nằm về hai phía của đường thẳng y  x
Bài 1. Tìm m để hàm số y  x3 

x2  (m 1)x  m 1
Bài 2. Tìm m để hàm số f(x) 
có cực đại và cực tiểu nằm

x m
về cùng phía của trục Ox
Bài 3. Tìm m để hàm số f(x)  2x3  3(m 1)x2  6m(1 2m)x có cực đại và
cực tiểu nằm trên đường thẳng  : y  4x
1.2. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm
để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
2 x3
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x) 
trên đoạn
x4

 3;0

Một số học sinh giải như sau:

[5]

x0
�
4 x 2 ( x  6)
 0 � x 2 ( x  6)  0 � �
2
x  6
( x  4)
�
f (6)  216 ;
f (0)  0 ; f ( 3)  54

( x) 
Ta có : f �

� max f ( x)  f (6)  216;
 3;0

min f ( x)  f ( 3)  54
 3;0

Phân tích sai lầm: Học sinh không loại nghiệm x =- 6 vì x  6 � 3;0
Lời giải đúng:
4 x 2 ( x  6)
( x) 
0
Ta có : f �
( x  4) 2
f (0)  0 ;

�

x0
�
� x 2 ( x  6)  0 � �
x  6 � 3;0
�

f (3)  54

max f ( x)  f (0)  0;
 3;0

Bài tập vận dụng

min f ( x)  f ( 3)  54
 3;0

[2]

12


Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x3  3x 2  9x  7 trên
đoạn  2;3
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

 1; 4

f ( x)  25  x 2 trên đoạn

2
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x  3x  2 trên đoạn

 10;10
- Nhiều học sinh không hiểu đúng định nghĩa nên dẫn đến kết luận sai chẳng hạn
như:
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x  1  x  3
Một số học sinh giải như sau:
[6]

�x �1
۳ x 3
Điều kiện xác định của hàm số: �

�x �3
Ta có
1
1
f�
( x) 

2 x 1 2 x  3
lim f ( x)  0
x ��

Bảng biến thiên:
3

x
f’(x
)

+∞

-

f(x)

2
0

� max f ( x)  2; min f ( x )  0
 3;�

 3;�

f ( x) , thì phải x0 �K sao
Phân tích sai lầm: Học sinh quên khái niệm min
K
cho f ( x0 )  m dẫn đến kết luận sai.
Lời giải đúng:
Giải như trên nhưng kết luận max f ( x )  f (3)  2; không tồn tại min f ( x)
 3;�

[3; �)

Bài tập vận dụng
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x) 
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
khoảng  1; �

1
1  x4

[2]

f ( x)  x  2 

1
trên
x 1

[3]
13

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  2 x  1  x  4
[6]
1
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x  trên khoảng
x
 0; � [2]
- Một số học sinh nhầm lẫn giữa khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và
giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số:
Ví dụ 7:
4
3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)   x3  2 x 2  1 trên
đoạn  2; 2

[3]

Một số học sinh giải như sau:
x0
�
x 1
�

( x)  4x 2  4x=0 � �
Trên đoạn  2; 2 ta có f �

Bảng biến thiên:
x

-∞

f�
( x)

-2

0

-

0

1

+

0


f ( x)

-

2

+�

1

3

-1
1
max f ( x)   ;
[  2;2]
3

min f ( x)  1

[  2;2]

Phân tích sai lầm: Học sinh đã nhầm lẫn giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với
bài toán tìm cực đại, cực tiểu, của hàm số học sinh quên tính f (2); f (2) để so
sánh.
Lời giải đúng:
53
11
f (2)  ; f (2)  
3
3
53
11
max f ( x)  f (2)  ; min f ( x)  f (2)  
[  2;2]
[  2;2]
3
3
Bài tập vận dụng
[3]

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x 3  3x 2  9x  1
trên đoạn  4; 4
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x 4  8x 2  16
trên đoạn  1;3
- Một số sai lầm khi học sinh chuyển đổi từ biến này sang biến khác mà không
tìm miền giá trị của biến mới.

14


cos x  1
2 cos x  3
[5]
5
3
g '(t ) 

0

t
�

(2t  3) 2
2

Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 
Một số học sinh giải như sau:
Đặt t  cos x ; hàm số viết lại g (t ) 

t 1

,
2t  3

Bảng biến thiên:
t

-∞

g’(t
)
g(t)



3
2

+∞

+

+
+∞

1
2

-∞

1

2

Dựa vào bảng biến thiên � không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số.
Phân tích sai lầm: Học sinh đã chuyển về bài toán không tương đương cho
rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trùng với giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của g(t), t �� nên sau khi đổi biến đã không tìm tập xác định của
g(t).
Lời giải đúng:
Đặt t  cos x ; t � 1;1
t 1
; t �[  1;1]
2t  3
5
g '(t ) 
 0 t �[  1;1]; g (1)  0 ; g (1)  2
(2t  3)2
� max f ( x )  0; min f ( x )  2
g (t ) 

�

�

Bài tập vận dụng
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x)  cos3 x - 6 cos 2 x  9 cos x  5 .

[3]

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x)  2sin 2 x  2sin x -1 .
2
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = cos x +

�
1
1 �
�
+ 2�
cosx
+
- 1 .[4]
�
�
2
�
�
�
cos x
cosx �

1.3. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm
chứng minh các bất đẳng thức.

15


* Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh
thường mắc sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

để vận dụng.
��
0; �
Ví dụ 9: Chứng minh rằng: tan x  x x ��
[1]
� 2�
Một số học sinh giải như sau:
Xét hàm số :
f�
( x) 



� �
f(x) = tanx – x với x ��0; �
� 2�

1
��
 1  tan 2 x  0; x ��
0; �=> hàm số đồng biến trên
2
cos x
� 2�

��
0; �
�
� 2�

��
Từ x  0 � f ( x)  f (0) � tan x  x  tan 0  0 � tan x  x; x ��0; �
� 2�

Phân tích sai lầm: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây rất khó phát
��

hiện. Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng �0; �thì vì sao từ x  0 �
� 2�
��
f ( x)  f (0) Sai lầm ở đây là 0 ��
0; �
� 2�

Nhớ rằng: nếu f(x) đồng biến trên đoạn [a; b ] (tức là f(x) liên tục trên [a; b ] và
f�
(x) > 0 với " x �( a; b) ) thì với " x1 , x 2 �[a; b ], x1 > x 2 � f (x1 ) > f (x 2 )

Lời giải đúng là:
�p�

0; �
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x ��
.
�
�
�
�2�

�p �

1
( x) =
- 1 = tan 2 x �0 , " x ��
0; �
Ta có: f �
, dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy ra
2
�
� �
�
cos x

�2

�p �

0; �
hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng �
.
�
�2�
�
�

� p�
�
.
�
�
2�

0;
Từ x > 0 � f(x) > f(0) � tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với " x ��
�
�
�

Vậy tan x  x

��
x ��
0; �
� 2�

Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức tan x  x +

x3
3

��
x ��
0; �
� 2�

[1]
16


��

x ��
0; �
� 2�

Bài 2. Chứng minh bất đẳng thức 2sin x  tan x  3 x

[3]

��
x ��
0; � [2]
� 2�

1
x2
Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức 1  x   1  x
2
8

Bài 4. Chứng minh rằng nếu với " x ��, x > - 1 thì x.ex > -

1
.
e

[4]

1.4. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm
để viết phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 10. Cho hàm số y  f ( x)   x 3  3x 2 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp

tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1; 4)

[4]

Một số học sinh trình bày như sau:

y

f�
( x)  3x 2  6x

Ta có điểm A(1; 4) �đồ thị (C) .
A

4

hx = 4

suy ra phương trình tiếp tuyến là:
y =f �
(- 1)(x +1) + 4 � y =- 9(x +1) + 4
2

-1

� y =- 9x - 5 .

x

Phân tích:

Phương trình tiếp tuyến y =- 9x - 5 là
tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)

O

3

qx = -9x-5

tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng ngoài ra vẫn có

fx = -x3 +3x2

-5

tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 4)
và có hệ số góc k là: y = k (x +1) + 4
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
�
- x3 + 3x 2 = k (x +1) + 4
�
�
�
(I).
�
=- 3x 2 + 6x
� k
�

�
x3 - 3x - 2 = 0
x = 2, k = 0
�
�
�
�
�
Hệ (I) �
�
�
x =- 1, k =- 9
k =- 3x 2 + 6x
�
�

17


Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 4; y =- 9x - 5 .
Bài tập vận dụng

[4]
1
2

3
2

Bài tập 1. Cho hàm số y = f (x) = x 4 - 3x 2 + , có đồ thị (C) . Viết phương trình

� 3�

0; �
tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M �
�
�
�
� 2�
�
x +2
, có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của
x- 2
(C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm N ( 3;5)

Bài tâp 2. Cho hàm số y =

Bài tập 3. Cho hàm số y = (x + 1) 2 (2 - x) , có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;0)
III. Kết quả nghiên cứu
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy chất
lượng học tập của học sinh khi học chương 1 giải tích 12, tốt hơn nhiều, các em
đã nắm được bản chất của các định nghĩa, định lí và vận dụng đúng, làm bài
toán nhanh hơn và đạt kết quả cao hơn. Cụ thể qua kết quả thu hoạch được khi
khảo sát tình hình giải bài tập toán chuong 1, giải tích12 ở 2 lớp 12A2 và 12A3
như sau:
Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
Lớp 12 A2 (sĩ số 40)
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp

Lớp 12 A3 (sĩ số 42)

Số lượng
4
4
32

Phần trăm
10 %
10 %
80 %

Số lượng
Phần trăm
Không giải được
4
9.5 %
Giải sai phương pháp
2
4.8 %
Giải đúng phương pháp
36
85.7 %
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của
học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng
đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số; đề tài đã góp phần nâng cao chất
lượng học toán chương 1 giải tích 12 của học sinh và đem lại hiệu quả cao.
Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy
18

trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt như đã từng đạt được
trong quá trình thực nghiệm.
PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
I – Kết luận
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh
như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các
bài toán ứng dụng liên quan đến đạo hàm, giúp các em học sinh sẽ có cái nhìn
sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua
những sai lầm ấy mà các em có thể rút ra cho mình những kinh nghiệm và
phương pháp giải toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của
chương 1 ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụ
rất "mạnh" để giải quyết rất nhiều bài toán như giải phương trình, bất phương
trình, tìm điều kiện của tham số để bất phương trình, hệ bất phương trình có
nghiệm, nghiệm đúng... hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạo
hàm thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn, đơn giản hơn.
Đối với học sinh THPT thì những kiến thức về đạo hàm là tương đối khó,
nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống. Các em thường quen
với việc vận dụng công thức một cách máy móc hơn là hiểu rõ bản chất của các
khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học.
Trong khuôn khổ sáng kiến này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được
hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót. Vì
vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường
Trung học phổ thông Lưu Đình Chất, của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và
Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy cô.
II. Kiến nghị
Những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực là tài liệu tham
khảo cho các thầy cô giáo và các em học sinh trong việc dạy và học, sẽ được hội

19

đồng khoa học của Sở GD và ĐT tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh được
tham khảo và vận dụng.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết không sao chép nội dung của
người khác
(Ký và ghi rõ họ tên)

Trần Thị Hương

Tài liệu tham khảo
[1]. SGK Giải tích 12 – Nhà XB Giáo Dục
[2]. Bài tập Giải tích 12 ( Cơ bản), Chủ biên Vũ Tuấn – NXB Giáo Dục.
[3]. Bài tập Giải tích 12 ( Nâng cao), Chủ biên Nguyễn Huy Đoan – NXBGD
[4]. Chuyên đề hàm số của Trần Phương – NXB Hà Nội
20


[5]. Phương pháp giải toán giải tích của Lê Hồng Đức, Đào Thiên Khải, Lê Bích
Ngọc – NXB Giáo Dục
[6]. Sai lầm phổ biến khi giải toán của Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thông Nhất.

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC

CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trần Thị Hương
Chức vụ : Giáo viên
21


Đơn vị công tác: Trường THPT Lưu Đình Chất

TT

1.

Tên đề tài SKKN

Khắc phục một số sai lầm khi

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc C)

C

Năm học
đánh giá xếp
loại

2013-2014

tính tích phân

22