rèn luyện kĩ năng giải toán ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sih lớp 12 hệ giáo dục thường xuyên tỉnh sơn la

1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, môn toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa hết
sức quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu giáo dục. Đây là môn học giúp cho
học sinh phát triển nhân cách, kiến tạo tri thức và rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo. Sơn La
là một tỉnh miền núi, do điều kiện kinh tế khó khăn, có những đặc điểm khác so với
miền xuôi, khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh còn nhiều hạn chế, đặc biệt là
học sinh Trung tâm giáo dục thường xuyên. Chính vì vậy hoạt động dạy học môn
toán cần hướng vào việc trang bị và củng cố tri thức, rèn luyện kỹ năng giải toán
cho học sinh.
Tuy nhiên, thực tiễn dạy học ở các các trung tâm giáo dục thường xuyên cho
thấy việc dạy học toán còn chưa sát với thực tế, bởi việc rèn luyện kĩ năng giải toán
của học sinh còn rất nhiều hạn chế cần phải khắc phục, bên cạnh đó một phần do
giáo viên chưa trang bị đầy đủ các kĩ năng cần thiết cho học sinh, giáo viên phải
hiểu học sinh và biết khả năng của từng lớp, từng đối tượng học sinh, sau đó dần
trang bị cho học sinh kiến thức và kĩ năng cơ bản để học môn toán và các môn khác.
Trong toán học việc giải bài tập toán có một vai trò rất quan trọng, thông qua
việc giải bài tập toán tạo điều kiện cho học sinh hoạt động qua đó học sinh phải
thực hiện một số hành độnh nhất định bao gồm: Nhận dạng và thể hiện định nghĩa,
định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp những hoạt
động trí tuệ phổ biến như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa và
những hoạt động ngôn ngữ khác. Chính vì vậy rèn luyện kĩ năng giải toán cho học
sinh là một vấn đề vô cùng quan trọng trong dạy học ở các trung tâm hiện nay phải
được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống bền bỉ dựa vào trình độ học
sinh.
Một trong những nhiệm vụ của đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu hiện
nay là lấy người học là trung tâm với phương châm “ Học tập trong hoạt động và
bằng hoạt động”. Chính vì vậy rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS là một yêu cầu
của đổi mới phương pháp dạy học hiện nay cần được quan tâm.

2
Trong chương trình toán lớp 12, chương “Ứng dụng của đạo hàm để khảo
sát và vẽ đồ thị của hàm số” có vai trò và vị trí quan trong không chỉ trong môn
toán mà còn trong các môn học khác. Đây là một nội dung được các giáo viên Toán
đặc biệt quan tâm, có mặt trong chương trình ôn thi tốt nghiệp, luyện thi Đại học
hàng năm và cũng là một nội dung khó đối với học sinh hệ GDTX.
Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán, đề tài
nghiên cứu luận văn của được chọn là:
“ Rèn luyện kĩ năng giải toán ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số cho học sinh lớp 12 hệ giáo dục thƣờng xuyên tỉnh Sơn La”
2. Đối tƣợng nghiên cứu
Quá trình dạy học chương “Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số” cho học sinh lớp 12 hệ giáo dục thường xuyên.
3. Mục đích nghiên cứu
Đề ra các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh lớp 12 hệ giáo
dục thường xuyên trong dạy học chương “Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số” góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về kĩ năng và kĩ năng giải bài tập toán.
- Nghiên cứu thực tế dạy học và rèn luyện kĩ năng cho học sinh trong dạy
học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 hệ
GDTX.
- Xây dựng hệ thống bài toán và đề xuất các biện pháp rèn luyện kĩ năng cho
học sinh trong dạy học Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho
học sinh lớp 12 hệ GDTX.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu
quả của phương án dạy học đã đề xuất.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu

3
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về lí luận dạy học
môn toán, kĩ năng giải toán.
+ Phương pháp điều tra, quan sát: Tiến hành tìm hiểu, điều tra thực tiễn dạy
học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của HS lớp 12 hệ
GDTX.
+ Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một số giáo án tại một số
Trung tâm GDTX nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
6. Giả thiết khoa học
Nếu khai thác được hệ thống bài toán và vận dụng được các biện pháp đã đề
xuất trong luận văn vào dạy học ở lớp 12 hệ giáo dục thường xuyên thì học sinh sẽ
có kĩ năng tốt hơn để giải toán về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán.
7. Cấu trúc luận văn
Mở đầu
Chương I: Cơ sở lý luận
Chương II: Các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát
và vẽ đồ thị hàm số
Chương III. Thực nghiệm sư phạm
Kết luận
Tài liệu tham khảo

4
CHƢƠNG I
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Có nhiều quan niệm khác nhau về kĩ năng.
Theo giáo trình Tâm lí học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các
dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện
những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ
lí luận hay thực hành xác định” ([19], Tr.149).
Theo từ điển Tiếng Việt thì : “ Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thức tế. Trong đó, khả năng được
hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì”.([23], Tr.462)
“ Kĩ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh hoạt sáng
tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau”[10].
Theo từ điển trên mạng Wikipedia: Kĩ năng là sự thành thạo, sự dễ dàng hoặc
khéo léo có được thông qua đào tạo hoặc trải nghiệm. Có ba thành tố cơ bản của kĩ
năng là kết quả sự chắc chắn/ ổn định và hiệu quả.
Từ những quan niệm trên có thể hiểu: Kĩ năng là sự thực hiện thành thạo và thực
hiện có kết quả một hành động nào đó bằng cách vận dụng những tri thức, những kinh
nghiệm đã có để hành động phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện cụ thể.
Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các
hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán
Do sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện
cho HS những kĩ năng trên những bình diện khác nhau:
+) Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán
+) Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau
+) Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống.

5

Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức
Toán học. Không thể hình dung một người hiểu những tri thức Toán học mà lại
không biết vận dụng chúng để làm toán.
Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với
những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn học
trong nhà trường và đòi hỏi người GV dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong
việc dạy học bộ môn.
Kĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn Toán. Nó
cũng cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống
1.1.2. Kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để giải các bài
tập toán học ( tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh…)
Đối với HS trung học phổ thông, kĩ năng giải Toán thường thể hiện ở khả
năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán. Việc lựa chọn một
cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm
vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ
chặt chẽ giữa các chương, các phân môn của toán học, các môn học khác trong
chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài
toán đặt ra.
Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: tri thức sự
vật, tri thức giá trị, tri thức phương pháp. HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá
trình tập luyện, củng cố đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát triển
đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức toán học.
Ví dụ 1.1. Cho hàm số:
32
3 2 1y x x  
.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến này đi
qua điểm
 

1; 9A 
.
Nhiều học sinh nhận xét: Vì điểm M thuộc đồ thị hàm số nên đã vận dụng
phương pháp viết phương trình tiếp tuyến bởi công thức:
  
0 0 0
'y y y x x x  
.

6
Với
0
1x 
và
0
9y 
,
 
' 1 13y 
. Phương trình tiếp tuyến tìm được là
13 4yx
.
Như vậy các đã hiểu sai bản chất của bài toán, mặc dù điểm M nằm trên đồ
thị hàm số nhưng yếu cầu bài toán là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
đi qua điểm M chứ không phải là tiếp tuyến tại điểm M.
Để giải quyết bài toán này yêu cầu các em phải có kĩ năng phân tích. Muốn
tìm phương trình tiếp tuyến rõ ràng là
phải tìm tiếp điểm? Ở đây điểm M
thuộc đồ thị chỉ gợi cho ta một tiếp
điểm, liệu còn tiếp điểm nào nữa

không?
Như vậy thầy giáo có thể mô tả
cho HS qua đồ thị hàm bậc 3. Lúc này
chúng ta lại phải yêu cầu các em có kĩ
năng đọc đồ thị, kĩ năng phân tích suy luận …
1.1.3. Các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
1.1.3.1. Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải
toán cho học sinh THPT
Dựa theo tài liệu của Nguyễn Bá Kim các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải
toán cho HS dựa trên cơ sở lí luận và có những giải pháp sau:
a. Cơ sở tâm lý, giáo dục
Quá trình học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy
và các hoạt động của học trò, do đó các biện pháp sư phạm phải thông qua hoạt
động dạy tác động vào hoạt động học của HS, làm cho HS có động cơ hoàn thiện tri
thức và kĩ năng. Nhân cách của HS trong đó có kết quả học tập, chính là chất lượng
sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho xã hội. Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học,
các biện pháp tập trung vào rèn luyện và phát triển các dạng hoạt động của HS, rèn
luyện kĩ năng học tập của HS: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ
chức hoạt động, kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá “ Cơ sở tâm lý của kĩ năng là sự thông
y
x
0




Hình1

7
hiểu mối quan hệ qua lại giữa mục đích hoạt động, các điều kiện và cách thức hoạt

động ấy ” [5].
b. Cơ sở phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Phương pháp dạy học Toán ở trường THPT phải luôn gắn liền với việc
truyền thụ tri thức, kĩ năng với việc phát triển các năng lực của HS. Căn cứ vào
nhiệm vụ của việc dạy học bộ môn, bên cạnh việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ
năng thực hành Toán học, HS cần được rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học vào
việc học tập bộ môn khác, vào thực tiễn cuộc sống. Do đó cần thiết và có thể xây
dựng các biện pháp nhằm rèn luyện các kĩ năng giải toán cho HS, góp phần thực
hiện các nhiệm vụ bộ môn đồng thời đảm bảo tính liên môn trong dạy học.
1.1.3.2. Giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS
Để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho HS ta cần phải có một giải pháp
đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:
a. Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của
HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng
Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập là đảm
bảo cho HS nắm một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thức quy định trong
chương trình. Căn cứ vào chương trình, người GV cần phải xác định và chọn lọc
các kiến thức, kĩ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành, phát triển cho HS.
Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi mới phương pháp dạy học, trong
quá trình dạy học, người GV cần tổ chức các hoạt động học tập để HS tham gia, cụ
thể là:
- Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung và
mục tiêu dạy học.
- HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có sự giao lưu giữa HS
với HS, giữa GV với HS.
- GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: Giúp đỡ HS vượt
qua những khó khăn bằng cách phân tách một hoạt động thành những phần đơn giản

8
hơn, hoặc cung cấp cho HS một số tri thức phương pháp và nói chung là điều chỉnh

mức độ khó khăn của nhiệm vụ dựa vào sự phân bậc hoạt động.
- GV giúp HS xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt động,
đưa ra những bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức đó một cách sâu sắc, đầy đủ
hơn.
b. Trang bị các tri thức về phƣơng pháp giải toán cho HS
Trước hết GV cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy định 4 bước
của polya rồi từ đó hình thành kĩ năng giải toán theo quy trình này.
Khi đã có một quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng với những tri
thức phương pháp về những nội dung toán học cụ thể HS có thể tìm tòi, khám phá
để tìm đến lời giải bài toán.
- Đối với những bài toán đã có thuật giải: GV cần căn cứ vào yêu cầu chung
của chương trình cũng như tình hình thực tế để, hoặc thông báo tường minh thuật
giải hoặc có thể cho HS thực hiện các hoạt động học tập ăn khớp với tri thức
phương pháp đó.
- Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: GV cần hướng
HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Qua đó trang bị cho HS một số tri thức về phương
pháp giải toán. Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể mà dần dần cho HS
cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật giải một lớp các bài toán có dạng quen
thuộc. Từ đó hình thành kĩ năng giải quyết loại bài toán đó.
c. Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập
Cấu tạo của SGK ở phổ thông theo nguyên tắc: Mỗi nội dung Toán học mới
đều dựa vào những nội dung đã được học trước kia. Vì vậy việc củng cố tri thức kĩ
năng một cách có định hướng và có hệ thống có ý nghĩa to lớn trong việc dạy học
toán. Củng cố cần được thực hiện không chỉ đối với tri thức mà còn đối với cả kĩ
năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ.
Trong môn toán củng cố diễn ra dưới các hình thức: luyện tập, đào sâu, ứng
dụng, hệ thống hoá và ôn.

9
Luyện tập: trước hết nhằm mục tiêu rèn luyện kĩ năng kĩ xảo. Luyện tập

không phải chỉ đối với tính toán mà còn cả đối với việc dựng hình, vẽ đồ thị của
hàm số, giải phương trình, bất phương trình, sử dụng thước, máy tính
Đào sâu: Đào sâu trước hết nhằm vào việc phát hiện và giải quyết những vấn
đề liên quan đến những phương diện khác nhau, những khía cạnh khác nhau của tri
thức, bổ sung, mở rộng và hoàn chỉnh tri thức.
Những cách đặt vấn đề điển hình để đào sâu tri thức là: nghiên cứu sự tồn tại
và duy nhất, xem xét những trường hợp mở rộng, những trường hợp đặc biệt hoặc
suy biến, nghiên cứu những mối liên hệ và phụ thuộc, lật ngược vấn đề, thay đổi
hình thức phát biểu.
Ứng dụng: được hiểu là vận dụng những tri thức và kĩ năng được lĩnh hội
vào việc giải quyết những vấn đề mới trong nội bộ môn toán cũng như trong thực
tiễn. Trong khâu ứng dụng cần rèn luyện cho HS năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề, lựa chọn bộ phận tri thức và kĩ năng thích hợp, tìm kiếm con đường giải
quyết, lí giải và trình bày lời giải, kiểm tra đánh giá kết quả và sắp xếp kiến thức đạt
được vào hệ thống tri thức đã có.
Hệ thống hoá: nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đã đạt được,
nghiên cứu những điểm giống nhau và khác nhau, làm rõ những mối quan hệ giữa
chúng. Nhờ đó người học đạt được không chỉ những tri thức riêng lẻ mà còn cả hệ
thống tri thức.
Ôn: tức là nhắc lại tri thức, luyện lại kĩ năng đã có. Ôn giữ một vị trí đặc biệt
so với bốn hình thức khác nhau của củng cố, bởi vì nó thường được kết hợp với các
hình thức đó, thậm trí đan kết, hoà nhập vào các hình thức đó. Ôn lại không phải chỉ
là những gì lĩnh hội được trong bài lý thuyết mà khi cần thiết có thể nhắc lại cả tri
thức đã đạt được trong các khâu của củng cố.
1.2. Bài tập toán và phƣơng pháp dạy học giải bài tập toán
1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là giá mang hoạt
động của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định,

10

bao gồm cả nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc, phương pháp, những
hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động phổ biến trong toán học, những hoạt
động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ. Vai trò của bài tập thể hiện trên 3 bình
diện:
+) Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là
giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt
mục đích. Mặt khác những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau cụ thể:
- Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn .
- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành những phẩm chất
đạo đức của người lao động mới.
+) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang
những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập đó trở thành
một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng những tri thức hoàn chỉnh hay
những yếu tố bổ xung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý
thuyết.
+) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang
những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở
đó thực hiện các mục đích dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ
góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau về
phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội
dung mới, củng cố kiến thức ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của HS, giúp
GV nắm bắt được thông tin hai chiều trong quá trình dạy và học.
1.2.2. Những yêu cầu của một lời giải bài toán

11

Lời giải của một bài toán cần phải đúng và tốt. Cụ thể hơn lời giải bài toán
cần phải đáp ứng các yêu cầu sau:
- Kết quả đúng kể cả các bước trung gian: Lời giải không thể chứa những sai
lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi, lập luận,…
- Lập luận chặt chẽ: Cụ thể lời giải phải có luận đề nhất quán, luận cứ phải
đúng, luận chứng phải hợp lôgic.
- Lời giải đầy đủ: Không được thiếu trường hợp, thiếu nghiệm, một chi tiết
cần thiết nào.
- Ngôn ngữ chính xác.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật: yêu cầu này đặt ra đối với lời văn, chữ
viết, hình vẽ, các sắp xếp các yếu tố (số, hình, kí hiệu,…) trong lời giải.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Ví dụ 1.2. Cho hàm số
21
2
x
y
x



có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
Ở bài toán này người thầy không những phải chỉ cho HS phương pháp giải, kĩ
năng tính toán, kĩ năng trình bày lời giải mà cần cho học sinh biết mô tả tính chất
của hàm số qua đồ thị. Ngược lại qua đồ thị HS cũng nhìn nhận, phán đoán được
cách giải.
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm

 
00
;M x y
có dạng
  
0 0 0
'y y f x x x  
, để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
 
00
;M x y
ta phải
biết được 1 trong 3 yếu tố
 
0 0 0
; ; 'x y f x
nếu biết 1 trong 3 yếu tố này ta sẽ dựa vào
giả thiết để tìm các yếu tố còn lại.
H.D giải: Gọi
 
0
;1 ,Mx
vì
MC
nên ta có
0
0 0 0
0
21
1 2 1 2 1

2
x
x x x
x

      


Ta có
 
 
2
0
31
' ' 1
3
2
yy
x
  

.

12
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm
 
1;1M
có dạng:
 
1 1 2

11
3 3 3
y x y x     

1.2.3. Phƣơng pháp chung để giải bài toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya về
cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu
phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Phát biểu đề bài dưới những hình thức khác nhau (bằng lời, bằng kí tự, ) để
hiểu rõ nội dung; phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; Có thể dùng
công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Trả lời câu hỏi: đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Hãy vẽ hình và sử dụng điều
kiện thích hợp? phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn các điều
kiện đó thành công thức hay không.
Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc
cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ
tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó
có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng
minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết
quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan…
Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được kết quả hợp lí
nhất.
Trả lời cho các câu hỏi hướng dẫn như: đã gặp bài toán này lần nào chưa? Xét
kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái chưa biết hay có
cái cho biết tương tự? Có thể áp dụng một định lí nào đó? Có thể phát biểu bài toán

13
một cách khác hay không? Nếu không giải được hãy thử giải một bài toán liên quan
dễ hơn hay không? Hãy chọn một lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất…
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Ví dụ 1.3. Tìm tham số m để hàm số
32
3y x x mx m   
đồng biến trên R
Bước 1: Tìm hiểu đề bài
(?) Bài toán đưa ra yêu cầu gì?
(!) Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến trên R.
Bước 2: Tìm lời giải:
GV đưa ra các câu hỏi:
(?) Em đã gặp bài toán này bao giờ chưa? em có biết thuật giải của nó
không?
Vì HS mới chỉ được cách chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến
khi hàm số không chứa tham số nên HS sẽ thấy rằng bài toán này chưa gặp bao giờ
và cũng không biết được thuật giải của nó.
(?) Vậy làm thế nào để chứng minh được hàm số luôn đồng biến trên R khi
có tham số m?
Do chưa có thuật giải nên GV có thể gợi ý cho học sinh cách chứng minh
hàm số luôn đồng biến trên R ta cần sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc 2.
Hàm số bậc ba có đạo hàm là hàm số bậc hai. Vậy để hàm số luôn đồng biến trên
R thì ta có :
'

0
'0
y
a 





(?) Từ giả thiết em có thể tính được
'y
và
'
'
y

?
(!)
2
'
' 3 6 ' 9 3
y
y x x m m      


14
(?) Vì
10a 
nên để hàm số luôn luôn đồng biến trên R thì
'y


phải thỏa
mãn điều gì?
(!)
'
'0
y


(?) Vậy ta có tìm được m không?
(!)
9 3 0 3mm   

Bước 3: Trình bày lời giải:
GV yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán hoàn chỉnh
Tập xác định
DR

Đạo hàm
22
' 3 6 , ' 0 3 6 0y x x m y x x m       

Ta có
'
' 9 3
y
m  
. Hàm số luôn luông đồng biến trên R
'
' 0,

y
mR    

9 3 0 3mm    

Vậy
3m 
hàm số luôn đồng biến trên R.
Bước 4: Đào sâu, khai thác.
GV yêu cầu HS kiểm tra kết quả, lời giải của mình, tìm ra sai lầm (nếu có)
trong bài toán và hướng dẫn khắc phục.
Trong ví dụ trên ta thấy yêu cầu đề ra là tìm giá trị của tham số m để hàm số đồng
biến trên R. Vì là hàm số bậc ba nên đạo hàm là hàm số bậc hai nên chủ yếu ta sử dụng
định l í về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của y’ ta có:
2
'
0
' 3 2 , ' 0
0
y
a
y ax bx c y


    



từ đó suy ra hàm số đồng biến. Thông qua bài toán
GV có thể hướng dẫn cho học sinh cách chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến

hoặc tìm điều kiện của tham số m để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến trên một
khoảng K cho trước.
Sau đó GV có thể cho học sinh giải bài toán sau:
Bài toán: Cho hàm số
 
32
2 3 3.y x m x mx    
Tìm m để:
a. Hàm số đồng biến trên R.
b. Hàm số đồng biến trên khoảng


0;
.

15
c. Hàm số nghịch biến trên đoạn
11
;
22




.
1.3. Thực tiễn dạy học chƣơng “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số” lớp 12 hệ giáo dục thƣờng xuyên
1.3.1 Mục đích yêu cầu dạy học của chƣơng
1.3.1.1 Mục đích
Trình bày các định lí sử dụng đạo hàm để nghiên cứu các vấn đề quan trọng

nhất trong khảo sát sự biến thiên của hàm số như đồng biến, nghịch biến, cực đại,
cực tiểu.
Giới thiệu các công cụ đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
một số hàm số thường gặp:
- Hàm đa thức (bậc ba, bậc bốn trùng phương)
- Hàm phân thức.
Nêu cách giải một số bài toán đơn giản, liên quan đến khảo sát hàm số (sự
tương giao và sự tiếp xúc của các đường, biện luận số nghiệm của phương trình
bằng đồ thi, )
1.3.1.2 Yêu cầu về kiến thức và kĩ năng
- Về kiến thức:
+) Biết tính đơn điệu của hàm số, biết mối liên hệ giữa tính đồng biến,
nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp 1 của nó.
+) Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số,
biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số.
+) Biết các khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một
tập hợp số.
+) Biết khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số.
+) Biết sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến
thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).
- Về kĩ năng:

16
+) Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng
dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó.
+) Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số.
+) Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên
trên một đoạn, một khoảng.
+) Tìm được đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Biết khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số
 
32
0,y ax bx cx d a    

 
42
0,y ax bx c a   

 
0, 0
ax b
y c ad bc
cx d

   


+) Biết cách biện luận số nghiệm của một phương trình bằng đồ thị.
+) Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
thuộc đồ thị hàm số.
1.3.2. Đặc điểm của học sinh hệ giáo dục thƣờng xuyên
Như chúng đã, biết đối tượng học sinh của trung tâm GDTX bao gồm những
học sinh không thi đỗ vào THPT, chuyển sang đăng kí học tại trung tâm GDTX, và
những học sinh có hoàn cảnh khó khăn, dù hoàn cảnh khách quan hay chủ quan mà
lỡ nhịp học bình thường tại các trường THPT khác. Đó có thể là những học sinh
vùng sâu, vùng xa, dân tộc thiểu số, bộ độ xuất ngũ, cán bộ xã và cả giáo viên do
chưa hoàn thiện chương trình học đến nay tiếp tục đăng kí tại trung tâm GDTX. Với
chương trình học tương đối nhẹ nhàng chỉ những môn cơ bản như: Toán, Lí, Hóa,
Sinh, Văn, Sử, Địa thời gian học rút ngắn đối với lớp cán bộ thì một tháng học hai

tuần, đối với lớp tự học có hướng dẫn thì một tháng chỉ học bốn buổi vào thứ 7 và
chủ nhật, còn đối với lớp học sinh thì chỉ học từ thứ hai đến thứ sáu. Chính vì vậy
việc tiếp thu kiến thức của học sinh tương đối là ít so với các học sinh THPT, thực
tế dạy học cho thấy các em đều thiếu các kiến thức cơ bản về môn toán những phép
tính cộng, trừ, nhân, chia hoặc đơn giản là giải phương trình bậc nhất còn yếu thậm
chí khả năng đọc của các em cũng yếu. Do đa số các em là người dân tộc thiểu số
nên khả năng giao tiếp bằng tiến phổ thông chưa được sõi ở một số em, vì thế việc
rèn luyện cho học sinh những kiến thức cơ bản là rất quan trọng.

17
1.3.3. Thực tiễn dạy học giải bài tập toán cho học sinh hệ GDTX
1.3.3.1 Tình hình dạy học
Để biết được tình hình thực tế của việc rèn luyện kĩ năng khảo sát hàm số
cho HS lớp 12 chúng tôi đã thiết kế và gửi phiếu thăm dò đến 4 thầy cô giáo trong
tổ toán của Trung tâm GDTX Mai Sơn – Sơn la , 3 thầy cô ở Trung tâm GDTX
Yên Châu - Sơn La với nội dung phiếu thăm dò như sau:
Câu hỏi 1: Theo thầy cô giáo dạng toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
hàm số là dạng toán quan trọng hay không? Vì sao ?
Trả lời
A. Bình thường

B. Quan trọng

C. Rất quan trọng


Câu hỏi 2: Theo thầy cô để giúp học sinh làm tốt dạng toán khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị hàm số có cần ôn lại cho học sinh những kĩ năng cơ bản
hay không?
Trả lời

A. có

B. không


Câu hỏi 3: Theo Thầy cô chỉ rèn luyện kĩ năng khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị hàm số cho HS theo mức độ sách giáo khoa, sách bài tập thì HS có đủ
kĩ năng làm bài thi tốt nghiệp THPT và Đại học không?
Trả lời
A. Chưa đủ

B. Đã đủ


Câu hỏi 4: Theo thầy cô với số tiết quy định trong chương trình thì HS của
thầy cô những dạng toán liên quan đến khảo sát ở mức độ nào?
Trả lời
A. Chưa biết

B. Chỉ thành thạo những dạng toán đơn giản

C. Bắt đầu biết tính toán những bài có trong đề


18
thi Đại Học
D. Tính thành thạo những bài toán kể cả những bài
khó trong quá trình tính toán.

Câu hỏi 5: Theo thầy cô những khó khăn nào sau đây được thể hiện nhiều
nhất ở HS?
Trả lời
A. không xác định được lời giải

B. Không tính toán được.

C. không vẽ được đồ thị.

Trong câu hỏi 1 : 4,5% chọn đáp án A; 7,8% chọn đáp án B; 87,7% chọn đáp án
C vì: Thứ nhất giúp HS củng cố và khắc sâu kiến thức dễ dàng. Thứ hai giúp HS có kĩ
năng giải các bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số kì thi tốt nghiệp
THPT và thi tuyển sinh vào Cao Đẳng và Đại Học.
Trong câu hỏi 2: Phần lớn thầy cô trả lời có vì HS sinh không nắm vững các
kiến thức cơ bản, chính vì vậy phải trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản đã
học.
Trong câu hỏi 3: phần lớn thầy cô trả lời đã đủ kĩ năng làm bài thi tốt nghiệp
THPT và Đại học.
Trong câu hỏi 4: Đa số thầy cô trả lời số tiết theo quy định trong chương
trình thì những dạng toán liên quan đến khảo sát ở mức độ biết làm ít HS làm được
bài một cách thành thạo.
Trong câu hỏi 5: 48% chọn đáp án A, 32% chọn đáp án B, 25% chọn đáp án C.
Trước tình hình thực tế như vậy, tôi nghĩ chúng ta nên xây dựng một hệ
thống bài tập đa dạng, hợp lí theo từng chủ đề kiến thức để rèn luyện kĩ năng khảo
sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số cho HS lớp 12 hệ GDTX nhằm góp phần nâng
cao hiệu quả dạy học.
1.3.3.2. Điều tra đánh giá năng lực giải toán khảo sát sự biến thiến và vẽ đồ thị
hàm số của HS

19

Để xây dựng hệ thống bài tập hợp lí tôi đã phát một để kiểm tra 45 phút đến
75 HS lớp 12A, 12B của Trung tâm GDTX Mai Sơn – Sơn La với nội dung phiếu
như sau:
Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3
31y x x  

Bài 2: Cho hàm số
2
1
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại
điểm
 
0;2A
.
Bài 3: Cho hàm số
 
32
( ) 3 1 1y f x mx mx m x     
, m là tham số. Xác
định các giá trị của m để hàm số
()y f x
có cực trị.
Phân tích:

Bài toán 1: mức độ rất dễ HS chỉ cần áp dụng các bước khảo sát đồ thị hàm
số là có thể khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Hƣớng dẫn và lời giải
1. Tập xác định
DR

2. Sự biến thiên
Ta có
2
' 3 3, ' 0 1y x y x     

Hàm số đồng biến trên các khoảng
 
1;
và
 
;1
, Hàm số nghịch
biến trên khoảng
 
1;1

Hàm số đạt đạt cực đại tại
  
C§
x 1;y 3
, cực tiểu tại
1; 1
CT
xy  

,
* Giới hạn tại vô cực:
 
lim
x
fx

 
:
 


xf
x
lim

* Bảng biến thiên:
x -∞ -1 1 +∞
y’ + 0 - 0 +
y 3 +∞
-∞ - 1
3. Đồ thị:
* Điểm uốn:
'' 6yx
, các điểm uốn là:
 
0;1U

20

* Giao điểm với trục Oy tại :
 
0;1U


* Đồ thị:


Trong bài toán 2: mức độ dễ HS chỉ cần tính y’ và thay vào phương trình
tiếp tuyến là có thể tìm được kết quả.
Hƣớng dẫn và lời giải
Tập xác định
DR

Ta có:
 
 
2
3
' ' 0 3
1
yy
x
  


Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm
 

0;2A
có dạng:

 
2 3 0 3 2y x y x     

Trong bài toán 3: mức độ khó khăn của bài toán khó hơn bài toán 1 học sinh
cần có kĩ năng về tam thức bậc hai, kĩ năng xét tính đồng biến và nghịch biến của
hàm số.
Hƣớng dẫn và lời giải
+ Khi
01m y x   
, y’ không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.
+ Khi
0m 

 
2
' 3 6 1y mx mx m    

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi
'0y 
có nghiệm hoặc có nghiệm kép
 
22
' 9 3 1 12 3 0m m m m m       
1
0
4
mm   

Vậy để hàm số có cực trị thì
1
0
4
mm  

Sau đó tôi thu được kết quả như sau: Trong bài 1 có 53,8% HS làm được,
Bài 2 có 45,5% không làm được bài và trong bài 3 có 77% không giải được bài như
vậy ta có thể thấy HS còn rất rập khuân chưa nhìn hình một cách linh hoạt, kĩ năng
tính toán và vận dụng các kiến thức cũ còn khá yếu.Trong khi đó dạng toán khảo sát
2
-2
-1
1
2
x
1
3
-1
-2
y
O

21
sự biến thiến và vẽ đồ thị hàm số rất quan trọng: đó là dạng bài tập trọng tâm của kì
một chương trình lớp 12 THPT, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp
và thi tuyển sinh vào Cao Đẳng và Đại Học. Thực tế đó cho thấy nhu cầu rất lớn cần
phải rèn luyện cho HS kĩ năng khảo sát sự biến thiến và vẽ đồ thị hàm số.

KẾT LUẬN CHƢƠNG I

Trong chương I chúng tôi đã trình bày những nét chính về kĩ năng, kĩ năng
toán học và kĩ năng giải toán có những nhận xét về tình hình dạy toán ở các Trung
tâm GDTX tỉnh Sơn La và việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS cần trang bị cho
HS những kĩ năng cơ bản thông qua các ví dụ cụ thể cho HS giải toán. Trong quá
trình dạy học môn toán, ngoài việc yêu cầu học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản,
làm được tốt các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, học sinh còn được học
hỏi, ôn lại các kiến thức đã học và tìm tòi khám phá các kiến thức khác. Vẫn dựa
trên các kiến thức cơ bản, song lí thuyết được giáo viên giảng kĩ hơn, học sinh được
làm thử nhiều ví dụ, cho học sinh rèn luyện các kĩ năng giải toán đặc biệt hệ thống
lại các kiến thức học sinh còn thiếu. Phân tích tỉ mỉ từng khâu trong bước thực hành
gắn liền với lí thuyết. Từng động tác trong thực hành là biện pháp tốt nhất để học
sinh hiểu lí thuyết và từ đó có cơ sở để rèn luyện kĩ năng. Từ đó, ta có thể thấy rằng,
việc cung cấp tri thức và cho người học luyện tập, chúng góp phần tích cực rèn
luyện kĩ năng giải toán cho người học: thiếu tri thức thì không thể luyện tập được,
còn nếu đã có tri thức mà không luyện tập thì cũng không thể có những kĩ năng
tương ứng. Từ đó chúng tôi đề xuất hệ thống các bài toán cụ thể và biện pháp rèn
luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở chương sau.




CHƢƠNG II

22
CÁC BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG
ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
Để rèn luyện cho HS kĩ năng giải toán thường được tiến hành theo trình tự: kiến
thức, PP giải toán, luyện tập, thành thạo cho nên chúng tôi đề xuất quy trình rèn luyện

kĩ năng giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
Bước 1: GV yêu cầu HS nhắc lại các kiến thức, công thức liên quan đến nội
dung dạy học.
Bước 2: GV minh họa qua các VD, chỉ rõ từng bước thực hiện, những lưu ý
cần thiết để tránh những sai lầm.
Bước 3: Cho HS luyện tập qua một hệ thống các bài toán từ dễ đến khó, đủ
các dạng, chú ý sửa các sai lầm HS có thể mắc phải.
Bước 4: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận dụng
phối hợp, linh hoạt các thao tác giải Toán. Các bài tập dạng này thường được sắp
xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp HS hình thành và phát triển các kĩ
năng ngày một tốt hơn.
2.1. Rèn luyện cho học sinh các kĩ năng cơ bản của chƣơng
2.1.1. Kĩ năng tìm tập xác định của hàm số
2.1.1.1. Kĩ năng tìm tập xác định của hàm số đa thức, phân thức
Cho hàm số
:f X R
,
X
là tập xác định của hàm số.
+ Hàm đa thức
 
y f x
xác định
xR
.
+ Hàm phân thức
 
 
fx
y

gx

xác định với điều kiện
 
0gx
.
Ví dụ 2.1. Tìm tập xác định của các hàm số sau.
a,
32
41y x x x   
b,
1
23
x
y
x




Giải
a,
32
41y x x x   

Tập xác định
DR
.
b,
1

23
x
y
x





23
Ta có:
3
2 3 0
2
xx   
vậy tập xác định của hàm số là
3
\
2
DR




.
2.1.1.2. Kĩ năng tìm tập xác định của một số hàm số khác
+ Hàm số
 
2n
y f x

xác định với điều kiện
 
0fx
.
+ Hàm số
 
tany f x


xác định với điều kiện
 
2
f x k



.
+ Hàm số
 
coty f x


xác định với điều kiện
 
f x k


.
Ví dụ 2.2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a,

2
32y x x  
b,
1
sin 1
y
x



Giải
a, Hàm số xác định khi
2
1
3 2 0
2
x
xx
x


   



nên tập xác định của hàm số là:

 

;1 2;D    

.
b, Hàm số xác định khi
sin 1 0 sin 1 2
2
x x x k


        
do đó tập xác định
của hàm số là:
\2
2
D R k



  


.
2.1. Kĩ năng tính đạo hàm và xét dấu của biểu thức
2.1.2.1. Kĩ năng tính đạo hàm
a. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Định nghĩa:
Cho hàm số
 
y f x
xác định trên khoảng
( ; )ab
và điểm

);(
0
bax 
nếu
tồn tại giới hạn (hữu hạn):
0
0
)()(
lim
0
xx
xfxf
xx



thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm
của hàm số
 
y f x
tại
0
x
.
Ký hiệu:
0
0
)()(
lim'
0

xx
xfxf
y
xx




.
b. Các quy tắc tính đạo hàm

24
 
/
//
u v u v  

   
//
/ / /
. à kuu v u v v u v ku  

2
,
'.'.
v
uvvu
v
u 









- Đạo hàm của hàm số hợp: Ta thừa nhận định lí sau.
Định lí 4:
Nếu hàm số
 
u g x
có đạo hàm tại
x
là
'
x
u
và hàm số
 
y f u
có đạo hàm
tại u là
'
u
y
thì hàm hợp
 
 
y f g x

có đạo hàm tại
x
là

' '. '.
x u x
y y u

- Đạo hàm của các hàm số thƣờng gặp :
 
u u x

 
'0C 
( C là hằng số )
 
'1x 

 
1
'.
nn
x n x


với (n
2
; nN)
/
2

11
x
x




với
0x 

 
/
1
2
x
x

với (x > 0)
 
1
' . . '
nn
u nu u



/
/
2
1 u

u
u




với u

0
 
/
/
2
u
u
u



Ví dụ 2.3. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a.
32
11
32
32
y x x x   
b.
42
34y x x  

c.
23
1
x
y
x



d.
2
32y x x  

Giải
a.
3 2 3 2 2
1 1 1 1
3 2 ' 3 2 ' 3
3 2 3 2
y x x x y x x x x x

           



b.
 
4 2 3
' 3 4 ' 4 6y x x x x    

c.
23
1
x
y
x





25
cách 1:
      
 
   
   
2 2 2
2 3 ' 1 2 3 1 ' 2 1 2 3
2 3 5
''
1
1 1 1
x x x x x x
x
y
x
x x x
       



   



  

Cách 2: Áp dụng công thức
 
2
''
ax b ax b ad bc
yy
cx d cx d
cx d
  

   





Ta có:
 
   
22
2.1 1 3
2 3 2 3 5
''

11
11
xx
yy
xx
xx



    





d.


 
2
22
22
3 2 '
23
3 2 ' 3 2 '
2 3 2 2 3 2
xx
x
y x x y x x
x x x x



        
   

2.1.2.2 Kĩ năng xét dấu
a. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất
Định lý:
Nhị thức
 
f x ax b
có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị
trong khoảng
;
b
a

 


, trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng
;
b
a

 


.
Bảng xét dấu :

x



a
b




 
fx

Trái dấu với hệ số a 0 Cùng dấu với hệ số a

Ví dụ 2.4. Xét dấu nhị thức
 
43f x x
.
Giải
Ta có
 
3
4 0, 0 4 3 0
4
a f x x x        

Bảng xét dấu
x


-
3
4



 
43f x x

- 0 +