SKKN một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức để nâng cao hiệu quả giải các bài toán trong chương trình

MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………….
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………..
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………….
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………
1.5. Những điểm mới của SKKN…………………………………..………….
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài…………………………………………………....
2.2. Thực trạng của đề tài………………………………………………….......
2.3. Giải pháp thực hiện đề tài………………………………………………...
2.3.1.Cách giải các bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất khi tập
hợp các số phức là đường tròn……………………………………………
2.3.2 Cách giải các bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất khi tập
hợp các số phức là đường thẳng…………………………………………..
2.3.3. Ví dụ áp dụng…………………………………………………………...
2.3.4. Một số dạng toán liên quan……………………………………………..
2.4. Kết quả thực nghiệm……………………………………………………...
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận…………………………………………………………………...
3.2. Kiến nghị …….…………………………………………………………...
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………...

Trang
2
2
2
2
3
4
4

5
5
5
6
7
16
20
22
22
23

1


PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nếu văn học là môn học với những lí lẽ sâu sắc, những cảm xúc mạnh mẽ.
Vật lí nghiên cứu những vấn đề thực tế thì toán học lại cần công thức, lí luận và
cả thực tiễn nữa. Thực tiễn dạy học nói chung và dạy toán nói riêng đòi hỏi
người thầy phải là người thực sự dẫn dắt, định hướng và khơi dạy trong học sinh
niềm đam mê, hứng thứ học tập để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và
giải quyết vấn đề.
Năm học 2016-2017, do yêu cầu của thực tiễn, bộ giáo dục đã đổi mới hình
thức thi THPT quốc gia, chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm. Vì vậy người
giáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp. Trong
mỗi tiết dạy cần dạy cho học sinh học được vấn đề gì, chứ không phải giáo viên
dạy được gì. Hiện nay chương trình SGK giải tích lớp 12, chương vI: Chương
số phức chỉ nêu phần lí thuyết và một số dạng toán cơ bản về số phức mà có rất
ít ví dụ về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức. Trong khi
cấu trúc đề thi THPT quốc gia và các đề thi thử của các trường, các sở giáo dục

thường xuyên có câu hỏi về dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
mô đun số phức. Là một giáo viên dạy toán, nhằm cung cấp cho học sinh có
được cơ sở để giải các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô
đun số phức, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Một số phương pháp tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức để nâng cao hiệu quả giải
các bài toán trong chương trình THPT”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa kiến thức và kỹ năng, giới thiệu một số dạng toán về tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức nhằm phát huy năng lực của
học sinh góp phần phát triển năng lực tư duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết
các vấn đề thực tế thi THPT quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khối lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy năm học
2017-2018. Cụ thể là lớp 12C1, 12C6.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thử
THPT
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 10, 12 (phần tam
thức bậc hai, số phức).
2. Phương pháp chuyên gia
- Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến
làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
2


3. Phương pháp thống kê toán học
- Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được
sau khi tiến hành nghiên cứu.
4. Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài

tập, củng cố bài học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra, đánh
giá).
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến kinh nghiệm đã nêu bật được cách dạy học sinh trung bình, học
sinh yếu cách làm bài tập trắc ngiệm dạng các bài toán về tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức. Học sinh được dạy cách xây dựng lý
thuyết, làm chắc tự luận để củng cố lại lý thuyết, và cách làm bài tập trắc
nghiệm sao cho đúng và nhanh nhất.

3


PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lý luận
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “ Nâng cao dân trí,đào tạo
nhân lực,bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thông, đặc biệt là môn toán, môn học rất cần thiết và không thể thiếu được trong
đời sống con người.
Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian
trong chương trình học của học sinh. Môn toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là
bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự
nhiên của con người. Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện
phương pháp tư duy, phương pháp suy luận logic, hình thành nhân cách tốt đẹp
cho người lao động trong thời đại mới.
Học sinh THPT đang ở lứa tuổi gần như hoàn thiện, có sức khỏe dẻo dai,
rất hiếu động và thích thể hiện mình. Các em nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng
sẽ quên ngay khi chúng không tập trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo
ra hứng thứ trong học tập và thường xuyên được tập luyện. Người dạy cần phải
chắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh.

Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 12 từ khi được chỉnh sửa bổ sung
vào năm 2006 – 2007, nội dung có phần thay đổi, có phần được đưa thêm các
kiến thức mới, các bài toán thực tế được đưa vào cũng nhiều hơn đã đem lại
những chuyển biến nhất định trong kết quả dạy và học, làm cho học sinh hứng
thú chú ý hơn vào nội dung bài học. Nhất là trong thời đại ngày nay, thông tin
bùng nổ với tốc độ chóng mặt, việc dạy học theo hướng thực tiễn là việc làm
cần thiết.
Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp
cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp loại bài toán
về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức.
2.2. Thực trạng của đề tài
Năm học 2016-2017 bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của
môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và
học cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Trong các đề thi thử của bộ GD-ĐT và các đề thi thử của các trường THPT,
học sinh thường gặp một câu về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến
mô đun số phức như: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện nào đó (điều kiện có thể là
đường thẳng hay đường tròn) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môdun số phức z.
Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường
THPT Nguyễn Hoàng nói riêng (chất lượng đầu vào thấp),tư duy hệ thống, logic và
khái quát của các em còn hạn chế, điều kiện kinh tế của gia đình còn nhiều khó
4


khăn, rất nhiều sinh viên học đại học ra trường không xin được việc làm. Vì vậy 75%
số học sinh trong trường không có nhu cầu học đại học, các em chủ yếu lựa chọn học
nghề vừa mất ít thời gian, lại có tay nghề tốt, xin việc lại dễ hơn. Vì vậy khi dạy học,
giáo viên cần phải phân dạng rất rõ và cho và cho các em luyện tập để tăng tính tập
trung và các em vận dụng kiến thức tốt hơn. Có thể làm bài tốt trong kỳ thi THPT
quốc gia.

Đặc biệt, hiện nay trong SGK chỉ có định nghĩa và một vài bài tập về tìm
môdun theo định nghĩa, không có bài tập nào về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
môdun số phức cả, khiến học sinh vô cùng lúng túng khi gặp các bài toán này trong
các đề thi thử THPT quốc gia. Phần này thậm chí còn mới đối với giáo viên. Vì vậy
cần có phương pháp phù hợp để học sinh có thể tiếp thu và vận dụng, sau đó là làn
nhanh ,chính xác đáp án. Trong cấu trúc đề thi THPT quốc gia thường có một
vài câu về chương số phức,câu về lãi suất ngân hàng, dạng này được các sở GDĐT, các trường THPT liên tục ra trong đề thi thử. Vì vậy cần phải rèn luyện
thành kỹ năng dạng toán này cho các em học sinh.
Tuy nhiên với đối tượng học sinh như trường THPT Nguyễn Hoàng tôi
không dạy hết các dạng tìm giá trị max, min của mô đun số phức mà chỉ tập
trung vào hai dạng chính (chiếm 2/3 số bài toán tìm giá trị max, min của các đề
thi) để học sinh đi sâu và thành thạo dạng bài tập này.
2.3. Giải pháp thực hiện
Để hiểu và vận dụng được bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của môdun số phức vào làm đề thi THPT quốc gia, trước hết giáo viên
cần xây dựng các dạng bài thường gặp.
2.3.1. Bài toán 1: ( Tập hợp các số phức z là một đường tròn) Cho số phức
z = x + yi thỏa mãn z + a + bi = k . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
z + c + di = P .
Bài giải
Cách 1: Dùng phương pháp lượng giác hóa.
2
2
2
Từ đề bài ta có z + a + bi = k ⇔ x + yi + a + bi = k ⇔ ( x + a) + ( y + b) = k (1)
 x = −a + k sin t
t ∈ [ 0; 2π ] , x, y thỏa mãn điều kiện (1)
 y = −b + k cos t

Đặt 

Ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
P 2 = ( x + c) 2 + ( y + d ) 2 = (− a + c + k sin t ) 2 + ( −b + d + k cos t ) 2
P 2 = (−a + c) 2 + (−b + d ) 2 + k 2 + 2k ((−a + c) sin t + (−b + d ) cos t )
P 2 = (−a + c) 2 + (−b + d ) 2 + k 2 + 2k (−a + c) 2 + (−b + d ) 2 sin(t + ϕ )
(−a + c)
( −b + d )
sin ϕ =
Với cos ϕ =
;
;
( − a + c ) 2 + ( −b + d ) 2
( − a + c ) 2 + ( −b + d ) 2
P 2 max = (− a + c ) 2 + (−b + d ) 2 + k 2 + 2k (−a + c) 2 + (−b + d ) 2 khi sin(t + ϕ ) = 1

5


P 2 min = (− a + c ) 2 + (−b + d ) 2 + k 2 − 2k (− a + c ) 2 + (−b + d ) 2 khi sin(t + ϕ ) = −1

Cách 2: Dùng phương pháp hình học
Từ đề bài ta có z + a + bi = k ⇔ x + yi + a + bi = k ⇔ ( x + a) + ( y + b) = k (1)
Đây là phương trình đường tròn tâm I (−a; −b) bán kính bằng k
z + c + di = P ⇔ P 2 = ( x + c) 2 + ( y + d ) 2 (2)
Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (−c; −d ) bán kính bằng P
Yêu cầu bài toán là tìm bán kính Pmax ; Pmin để hai đường tròn trên có giao điểm
chung
Pmax = II1 + k khi hai đường tròn tiếp xúc trong
2

2

2

Pmin = II1 − k khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài

Cách này thường được dùng nhiều trong các dạng tính nhanh của bài tập trắc
nghiệm
Chú ý: Bài toán trên còn có thể mở rộng thành Cho số phức z = x + yi thỏa
mãn mz + a + bi = k . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nz + c + di = P .
Ngoài hai cách giải trên còn có thể dùng nhiều cách khác như dùng bất đẳng
thức, tuy nhiên với đối tượng học sinh như trường tôi thì cần hình thành phương
pháp ổn định và thành thạo cho các em ứng dụng.
2.3.2. Bài toán 2: ( Tập hợp các số phức z là một đường thẳng)
Cho số phức z = x + yi thỏa mãn z + a + bi = z + c + di . Tìm giá giá trị nhỏ nhất
của z + c + di = P .
Bài giải
Từ điều kiện của đề bài ta có tập hợp các cố phức z thỏa mãn
z + a + bi = z + c + di là một đường thẳng Ax + By + C = 0 ( ∆ )
−C − By
+ C ) 2 + ( y + d ) 2 đây là tam thức bậc hai
A
−n
n 2 − 4mr
2
2
m
my + ny + r = 0 với hệ sô
dương. P min = −
; Pmin khi y =

2m
4m
Chú ý: Học sinh có thể tính nhanh Pmin = d ( I1; ∆) khi đường thẳng ∆ tiếp xúc
với đường tròn tâm I1

Ta có : P 2 = ( x + c)2 + ( y + d )2 = (

2.3.3. Ví dụ áp dụng
Sau khi xây dựng công thức xong, giáo viên cho học sinh những bài tập
vận dụng, dạng tự luận để các em ghi nhớ công thức.
Bài 1: Số phức z thay đổi sao cho |z| = 1 tìm giá trị bé nhất m và giá trị lớn nhất
M của |z – i |
Bài giải

6


Những ví dụ đầu tiên này tôi cho học sinh làm cả hai cách đề các em vận dụng
thành thạo lí thuyết.
Cách 1
2
2
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) . Ta có: z = 1⇔ x + y = 1.
Đặt x = sin t; y = cost; t ∈ 0;2π  .
⇒ z − i = ( sin t ) + ( cost − 1) = 2− 2cost ⇒ 0 ≤ z − i ≤ 2 ⇒ z − i max = 2; z − i min = 0
2

Cách 2

2

2

Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) .

Ta có z = 1⇔ x + y = 1.
. Đây là phương trình đường tròn tâm I (0;0) bán kính bằng 1
2
z − i = P ⇔ x2 + ( y − 1) = P 2 .
2

2

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (0; 2) bán kính bằng P
II1 = 1 nên Pmax = II1 + k = 1 + 1 = 2; Pmin = 1 − 1 = 0
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 1+ 2i = 3. Tìm môđun lớn nhất của số phức
z − 2i.

A. 26 + 6 17.
B. 26 − 6 17.
C. 26 + 8 17.
D. 26 − 4 17.
|
Bài giải
Cách 1
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2i = x + ( y − 2) i . Ta có:
z − 1+ 2i = 3 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 9.
2

2

Đặt x = 1+ 3sin t; y = −2+ 3cost; t ∈ 0;2π  .

⇒ z − 2i = ( 1+ 3sin t ) + ( −4 + 3cost ) = 26+ 6( sin t − 4cost ) = 26+ 6 17 sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡ ) .
2

2

2

⇒ 26− 6 17 ≤ z − 2i ≤ 26+ 6 17 ⇒ z − 2i max = 26+ 6 17.

Cách 2

Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2i = x + ( y − 2) i .

z − 1+ 2i = 3 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 9.
Ta có:
Đây là phương trình đường tròn tâm I (1; −2) bán kính bằng 3
2

2

z − 2i = P ⇔ x2 + ( y − 2) = P 2 .
2

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (0; 2) bán kính bằng P
II1 = 17 nên Pmax = II1 + k = 17 + 3 = 26 + 6 17 ⇒ Chọn đáp án A.
Bài 3:
: Cho số phức z thỏa mãn z − 12 − 5i = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của |z|

A. 9
B. 12
C. 16
D. 10
7


Bài giải
Bài tập này tôi không yêu cầu học sinh làm cả hai cách, mà cho các em lựa
chọn một trong hai cách làm. Sau đó tôi trình bày cả hai cách lên bảng để các
em đối chiếu với cách làm của mình.
Cách 1
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 12 − 5i = x − 12+ ( y − 5) i . Ta có:
z − 12 − 5i = 3 ⇔ ( x − 12) + ( y − 5) = 9 .
2

2

Đặt x = 12+ 3sin t; y = 5+ 3cost; t ∈ 0;2π  .

⇒ z = ( 12+ 3sin t ) + ( 5+ 3cost ) = 178 + 6( 12sin t + 5cost ) = 178 + 6.13sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡ ) .
2

2

2

⇒ 10 ≤ z ≤ 16 ⇒ z max = 16.

Cách 2

Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2i = x + ( y − 2) i .

z − 12 − 5i = 3 ⇔ ( x − 12) + ( y − 5) = 9 .
Ta có:
Đây là phương trình đường tròn tâm I (12;5) bán kính bằng 3
z = P ⇔ x2 + y2 = P 2 .
2

2

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (0;0) bán kính bằng P
II1 = 13 nên Pmax = II1 + k = 13 + 3 = 16 ⇒ Chọn đáp án C.
Bài 4: (Để thi thử trường THPT Phan Bội Châu) Cho số phức z thỏa mãn
z − 2 − 3i = 1 . Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là

A. 13 + 2 .
Cách 1

B. 4 .
Bài giải

C. 6 .

D. 13 + 1 .

Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2− 3i = x − 2 + ( y − 3) i . Ta có:
z − 2 − 3i = 1 ⇔ ( x − 2) + ( y − 3) = 1.
2

2

Đặt x = 2 + sin t; y = 3+ cost; t ∈ 0;2π  .
2

⇒ z + 1+ i = ( 3+ sin t ) + ( 2+ cost ) = 14+ 2( 3sin t + 2cost ) = 14+ 2. 13sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡ ) .
2

2

⇒ 14− 2 13 ≤ z + 1+ i ≤ 14+ 2 13 = 13 + 1⇒ z + 1+ i

max

= 13 + 1.

Cách 2
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2 − 3i = x − 2 + ( y − 3) i .
Ta có: z − 2− 3i = 1⇔ ( x − 2) + ( y − 3) = 1
Đây là phương trình đường tròn tâm I (2;3) bán kính bằng 1
z + 1+ i = P ⇔ (x + 1)2 + (y − 1)2 = P 2 .
2

2

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (−1;1) bán kính bằng P
II1 = 13 nên Pmax = II1 + 1 = 13 + 1 ⇒ Chọn đáp án D.
8

Bài 5:
Cho số phức z thỏa mãn z − 1+ 2i = 2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
A. 9+ 4 5.

B. 11+ 4 5
C. 6+ 4 5
D. 5+ 6 5
Bài giải
2
2
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) . Ta có: z − 1+ 2i = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 4.
Đặt x = 1+ 2sin t; y = −2 + 2cost; t ∈ 0;2π  .
Lúc đó:

z = ( 1+ 2sin t ) + ( −2+ 2cost ) = 9 + ( 4sin t − 8cost ) = 9+ 42 + 82 sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡
2

2

2

)

2
⇒ z = 9 + 4 5sin ( t + α ) ⇒ z ∈  − 9 + 4 5; 9 + 4 5 



⇒ z max = 9 + 4 5

đạt được khi z =

⇒ Chọn đáp án A.

5+ 2 5 −10 + 4 5
+
i.
5
5

Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn ( 1− i ) z − 6 − 2i = 10 . Tìm môđun lớn nhất của
số phức z.
A. 4 5

B. 3 5.

C. 3.

D. 3+ 5

Bài giải
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) .
Ta có:

( 1− i ) z − 6− 2i =

10 ⇔ ( 1− i ) . z +

2
2

−6 − 2i
= 10 ⇔ z − 2 − 4i = 5 ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = 5.
1− i

Đặt x = 2+ 5sin t; y = 4+ 5cost; t ∈ 0;2π  .
Lúc đó:
2

(

) (
2

z = 2+ 5sin t + 4 + 5cost

)

2

(

)

= 25+ 4 5sin t + 8 5cost = 25 +

(

) (
2

)

2

4 5 + 8 5 sin

2
⇒ z = 25+ 20sin ( t + α ) ⇒ z ∈  5;3 5



⇒ z max = 3 5 đạt được khi z = 3+ 6i.
⇒ Chọn đáp án B.

Học sinh trường THPT Nguyễn hoàng khả năng tư duy chậm, nhanh quên
nên khi các em nhớ được công thức rồi, tôi sẽ cho các em làm các đề thi thử
trắc ngiệm , một số đề cần vài bước biến đổi mới về dạng quen thuộc để các em
phân dạng được bài toán và áp dụng công thức thành thạo.
Bài 7: (Để thi thử trường THPT Hậu Lộc 3)

9


2
2
Gọi z = x + yi  ( x, y ∈ R ) là số phức thỏa mãn hai điều kiện z − 2 + z + 2 = 26 và

z−

3

2

−

3
2

i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.
9
4

A. xy = .

B. xy =

13
.
2

C. xy =

16
.
9

9
2

D. xy = .

Bài giải
Học sinh cần xác định được đây là bài toán dạng 1
Đặt z = x + iy ( x, y ∈ R ) . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2 + y2 = 36.
Đặt x = 3cost, y = 3sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có
P = z−

3
2

−

 π
i = 18− 18sin  t + ÷ ≤ 6.
4
2


3



π

3π

3 2 3 2

−
i.
Dấu bằng xảy ra khi sin  t + ÷ = −1⇒ t = − ⇒ z = −

4
4
2
2

⇒ Chọn đáp án D.

Bài 8: (Để thi thử trường THPT Bỉm Sơn)
Trong các số phức z thỏa z + 3 + 4i = 2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất.
Khi đó
A. Không tồn tại số phức z0 .
B. z0 = 2 .
C. z0 = 7 .

D. z0 = 3 .

Bài giải
2
2
Đặt z = x + yi ( x, y Î ¡ ) . Khi đó z + 3 + 4i = 2 Û ( x + 3) + ( y + 4) = 4 .
Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn tâm I ( −3; −4 )
và bán kính R = 2 .
z = P ⇔ x2 + y2 = P 2 .
Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (0;0) bán kính bằng P
II1 = 5 nên Pmin = II1 − 2 = 5 − 2 = 3 ⇒ Chọn đáp án D.
Bài 9: (Để thi thử trường THPT chuyên KHTN)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z − 1 + 2i = 5 và w = z + 1 + i có môđun lớn
nhất. Số phức z có môđun bằng:
A. 2 5 .
B. 3 2 .

C. 6 .
D. 5 2 .
Bài giải
Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z − 1 + 2i = ( x − 1) + ( y + 2 ) i
Ta có: z − 1 + 2i = 5 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = 5 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = 5
2

2

2

2

10


Đặt x = 1+ 5sin t; y = −2 + 5cost; t ∈ 0;2π  .
Lúc đó:

(

2

) (
2

w = 2+ 5sin t + −1+ 5cost
2

w = 10+ 10(

cosα =

2
5

2
5

sin t −

;sin α =

1
5

)

2

(

)

= 10 + 4 5sin t − 2 5cost =

cost) = 10 + 10sin(t − α );

1
5

2

⇒ w ≤ 20 ⇒ w max = 20

⇒ w max = 20 đạt được khi sin(t − α ) = 1⇒ t =

Ta có:
2

(

) (
2

z = 1+ 5sin t + −2 + 5cost

)

2

(

π
+α
2

)

= 10 + 2 5sin t − 4 5cost =


π

π
10 + 2 5sin  α + ÷− 4 5cos α + ÷ = 18; ( α ∈ ¡
2
2



)

⇒ z = 3 2 ⇒ Chọn đáp án B

Có rất nhiều bài toán nhìn đề bài rất phức tạp, giáo viên cần hướng dẫn học
sinh cách nhận dạng bài toán để biến đổi về dạng quen thuộc.
Bài 10: (Để thi thử sở GD-ĐT Thanh Hóa)
Cho số phức z thoả mãn

3 − 3 2i
z − 1 − 2i = 3 . Gọi M và m lần lượt là giá
1 + 2 2i

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z − 3 − 3i . Tính M.m
A. M .n = 25
B. M .n = 20
C. M .n = 24
D. M .n = 30
Bài giải

Học sinh cần xác định bài toán này vẫn thuộc dạng 1
Đặt z = x + yi ( x, y Î ¡ ) . Khi đó

3 − 3 2i
z − 1 − 2i = 3
1 + 2 2i

( x +1) 2 + y 2 = 1

Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn tâm I ( −1;0 ) và
bán kính R = 1 .
z − 3− 3i = P ⇔ (x − 3)2 + ( y − 3)2 = P 2 .
Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (3;3) bán kính bằng P
II1 = 5 nên M = 5 + 1 = 6; m = 5 − 1 = 4; M .m = 24 ⇒ Chọn đáp án C.
Bài 11: (Để thi thử trường THPT Hàm Rồng)

11


Cho số phức z thoả mãn z − 2 − 3i = 1 . Gọi M = max z + 1 + i , m = min z + 1 + i .
2
2
Tính giá trị của biểu thức ( M + n ) .

C. M 2 + m 2 = 26
D. M 2 + m2 = 20

2
2
A. M + m = 28

2
2
B. M + m = 24

Bài giải
Theo bài ra

z − 2 − 3i = 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 3) = 1
2

2

Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn tâm I ( 2;3) và bán kính
R = 1.
2
2
2
Đặt P = z + 1 + i ⇒ ( x + 1) + ( y − 1) = P
Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn tâm I1 ( −1;1) và bán kính
P
II1 = 13 nên M = 13 + 1; m = 13 − 1; M 2 + m 2 = 28 ⇒ Chọn đáp án A.

Bài 12: (Để thi thử trường THPT Cẩm thủy 3)
Xét các số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Tính P = a + b khi
2

2

2

Q = z + 2 − 2i + 2 z − 4 + i + 3 z + 2i đạt giá trị lớn nhất.

A. P = 14 .
P = 13 .

B. P = 12 .

C. P = 11 .

D.

Bài giải
2
Ta có z − 4 − 3i = 5 ⇔ (a − 4) + (b − 3) = 25
2

Đặt x = 4 + 5sin t; y = 3+ 5cost; t ∈ 0;2π  .
Theo bài ra:
Q = (a+ 2)2 + (b− 2)2 + 2(a− 4)2 + (b+ 1)2] + 3[(a2 + (b+ 2)2 ]
Q = 6a2 + 6b2 − 12a+ 12b+ 54
Q
− 7 = (a− 1)2 + (b+ 1)2
6

Khi đó:
2
2
Q
3
4


− 7 = ( 3+ 5sin t ) ( 4 + 5cost ) = 50 + 50 sin t + cost ÷
6
5
5


Q
− 7 = 50 + 50sin(t + α )
6

3
4
cosα = ;sin α =
5
5

Qmax

3

a = 4 + 5. = 7

π

5
⇔ sin(t + α ) = 1 ⇒ t = − α ⇒ 
2
 b = 3 + 5. 4 = 7


5

12


Vậy a + b = 14 ⇒ Chọn đáp án A.
Sau khi học sinh làm thật thành thạo và chính xác dạng 1 rồi, giáo viên mới
chuyển sang dạng 2 ( Tập hợp các số phức z là một đường thẳng).
Bài 13 Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + 2 − i . Tìm số phức có
môđun nhỏ nhất?
1
5

2
5

1 2
5 5

B. z = − + i .

A. z = 1 − 2i .

C. z = − i .

D. z = −1 + 2i .

Bài giải
Những bài đầu của dạng toán tôi luôn yêu vầu học sinh làm tự luận.

Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )

z + 3i = z + 2 − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + 2 ) + ( y − 1) i ⇔ x 2 + ( y + 3 ) = ( x + 2 ) + ( y − 1)
2

2

2

⇔ 6 y + 9 = 4x + 4 − 2 y +1 ⇔ 4x − 8 y − 4 = 0 ⇔ x − 2 y −1 = 0 ⇔ x = 2 y +1
2

2
1
5
2
( 2 y + 1) + y 2 = 5 y 2 + 4 y + 1 = 5  y + ÷ + ≥
5 5
5

2
1
5
Suy ra z min =
khi y = − ⇒ x =
5
5
5
1 2
Vậy z = − i.

5 5
z = x2 + y 2 =

Sau khi làm xong tự luận thì tôi hướng dẫn gọc sinh cách làm trắc nghiệm.
Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z + 3i = z + 2 − i là
đường thẳng d : x − 2 y − 1 = 0 .
Phương án A: z = 1 − 2i có điểm biểu diễn ( 1; − 2 ) ∉ d nên loại A.
1 2


Phương án B: z = − + i có điểm biểu diễn  − 5 ; 5 ÷∉ d nên loại B.
5 5


Phương án D: z = −1 + 2i có điểm biểu diễn ( −1;2 ) ∉ d nên loại B.
1 2

1 2
1 2
Phương án C: z = − i có điểm biểu diễn  5 ; − 5 ÷∈ d
5 5


⇒ Chọn đáp án C.

Bài 14:
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z − 2− 4i = z − 2i . Tìm môđun nhỏ nhất
của số phức z + 2i.
A. 5

B. 3 5.
Bài giải
Gọi z = x + yi ; ( x∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) .
Ta có:

( x − 2) + ( y − 4) =
+ ( y + 2) = x + ( 6− x)
2

z − 2 − 4i = z − 2i ⇔
2

Ta có: z + 2i = x2

C. 3 2

2

x2 + ( y − 2) ⇔ x + y − 4 = 0 ⇔ y = 4− x.

2

2

D. 3+ 2

2

2

= 2x2 − 12x + 36 = 2( x − 3) + 18 ≥ 18
2

13


⇒ z + 2i min = 18 = 3 2 khi z = 3+ i.
⇒ Chọn đáp án C.

Bài 15: (Sở GD-ĐT hà tĩnh)
Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z + 2i −1 = z + i . Tìm số phức
z

được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A ( 1,3) .
A. 3 + i .
B.1 + 3i .
C. 2 − 3i .
Bài giải
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ; M (x; y) .
Ta có:
z + 2i − 1 = z + i ⇔

( x − 1) + ( y + 2)
2

2

D. −2 + 3i .

= x2 + ( y + 1) ⇔ x + y − 4 = 0 ⇔ x = y + 2.

2

AM 2 = ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 2 y 2 − 4 y + 10
AM min ⇔ y = 1; x = 3
⇒ Chọn đáp án A

Bài 16: (Đề thi Lương Thế Vinh L3)
2
Cho số phức z thỏa mãn z − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i ) ( z + 3i − 1) .

Tính min | w | , với w = z − 2 + 2i .
3
2

A. min | w |= .

B. min | w |= 2

C. min | w |= 1 .

1
2

D. min | w |= .

Bài giải
Bài toán này cần sự biến đổi khéo léo thì tập hợp các số phức mới là phương
trình đường thẳng được.
Ta có

z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i ) ( z + 3i − 1) ⇔ ( z − 1 + 2i ) ( z − 1 − 2i ) = ( z − 1 + 2i ) ( z + 3i − 1)

 z − 1 + 2i = 0
⇔
.
 ( z − 1 − 2i ) = ( z + 3i − 1)
Trường hợp 1 : z − 1 + 2i = 0 ⇒ w = −1 ⇒ w = 1 ( *) .

Trường hợp 2: z − 1 − 2i = z + 3i − 1
Gọi z = a + bi (với a, b ∈ ¡ ) khi đó ta được
1
2
2
a − 1 + ( b − 2 ) i = ( a − 1) + ( b + 3) i ⇔ ( b − 2 ) = ( b + 3) ⇔ b = − .
2
3
9 3
2
Suy ra w = z − 2 + 2i = a − 2 + i ⇒ w = ( a − 2 ) + ≥ ( **) .
2
4 2
Từ ( *) , ( **) suy ra min | w |= 1 .
⇒ Chọn đáp án C

Như vậy muốn dạy học tốt toán trắc nghiệm, giáo viên phải dạy học sinh
cách xây dựng công thức, nêu ví dụ vận dụng, rèn luyện thành kỹ năng để làm
bài đúng và nhanh nhất.
14

Khi học sinh đã có tư duy tốt, có kỹ năng thành thạo thì khi gặp một số
dạng tương tự các em có thể tự lập công thức và giải bài toán một cách nhanh
chóng .
Bài 17: (Đề thi thử trường dân tộc nội trú tỉnh Thanh Hóa)
Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) thoả mãn z − 2 − 4i = z − 2i và m = min z . Tính
module số phức w = m − ( x + y )i.
A. w = 2 3
B. w = 3 2

C. w = 5

D. w = 2 6

Bài giải
Ta có
z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ y = 4 − x
z = x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x) 2 = 2( x − 2)2 + 8 ≥ 2 2

min z = 2 2 . Dấu “=” xảy ra khi

x + y = 4
x = 2
⇔
⇒ w = 2 2 − 4i ⇒ w = 2 6

y = 2
x = 2

Ngoài cách làm quen thuộc này ra tôi còn nêu thêm một cacgs làm khác nhanh,
chính xác để một số em học tốt hơn tham khảo.

Theo đề ra:
z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ x + y = 4
z = x +y ≥
2

2

( x + y)
2

2

=

42
=2 2
2

min z = 2 2 , Dấu “=” xảy ra khi

x + y = 4
x = 2
⇔
⇒ w = 2 2 − 4i ⇒ w = 2 6

y = 2
x = y
⇒ Chọn đáp án D

Bài 18: (Đề thi thử trường Quảng Xương 1 Thanh Hóa)

Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) thoả mãn z + i + 1 = z − 2i . Tìm môđun nhỏ nhất
của z.
A. min z = 2

B. min z = 1

C. min z = 0

D. min z = 1

2

Bài giải
z + i + 1 = z − 2i ⇔ y = x − 1

15


2

1 1
1
1

z = x 2 + y 2 = x 2 + ( x − 1)2 = 2  x − ÷ + ≥
=
2 2
2
2


1
Vậy min z =
2

⇒ Chọn đáp án D

2.3.4. Một số dạng toán liên quan
Bài 19: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)
Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất z . Khi đó M + m bằng
A. 4 − 7.

B. 4 + 7.
C. 7.
Bài giải
Gọi z = x + yi với x; y ∈ ¡ .
Ta có 8 = z − 3 + z + 3 ≥ z − 3 + z + 3 = 2 z ⇔ z ≤ 4 .
Do đó M = max z = 4 .
Mà

D. 4 + 5.

( x − 3)

z − 3 + z + 3 = 8 ⇔ x − 3 + yi + x + 3 + yi = 8 ⇔

2

+ y2 +

( x + 3)

2

+ y2 = 8 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8 = 1.

( x − 3)

2

+ y 2 + 1.

( x + 3)

2

+ y2 ≤

(1

2

+ 12 ) ( x − 3 ) + y 2 + ( x + 3) + y 2 


2

2

⇔ 8 ≤ 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 + 18 ) ⇔ 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 + 18 ) ≥ 64

⇔ x2 + y 2 ≥ 7 ⇔ x2 + y 2 ≥ 7 ⇔ z ≥ 7 .

Do đó M = min z = 7 .
Vậy M + m = 4 + 7 . ⇒ Chọn đáp án B
Bài 20: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)
Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z − 3− 4i = 5 và biểu thức
2

M = z+ 2 − z− i

2

đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.

A. z + i = 2 41

B. z + i = 3 5.

C. z + i = 5 2

D. z + i = 41.

Bài giải
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) . Ta có:
z − 3− 4i = 5 ⇔ ( C ) : ( x − 3) + ( y − 4) = 5 :
2

Mặt khác:

2

tâm I ( 3;4) và R = 5.

( )

2
2
2
2
M = z + 2 − z − i = ( x + 2) + y2 −  x2 + ( y − 1)  = 4x + 2y + 3 ⇔ d :4x + 2y + 3− M = 0.



16


Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và ( C ) có điểm
chung
⇔ d( I ; d) ≤ R ⇔

23− M

≤ 5 ⇔ 23− M ≤ 10 ⇔ 13 ≤ M ≤ 33
2 5

x = 5

4x + 2y − 30 = 0
⇒ M max = 33 ⇔ 
⇔
⇒ z + i = 5− 4i ⇒ z + i = 41.
2
2
( x − 3) + ( y − 4) = 5  y = −5
⇒ Chọn đáp án D.

Bài 21: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của
T = z +i + z − 2−i .

A. max T = 8 2 .
max T = 8 .

B. max T = 4 .

C. max T = 4 2 .

D.

Bài giải
Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z − 1 = ( x − 1) + yi
Ta có: z − 1 = 2 ⇔ ( x − 1) + y 2 = 2 ⇔ ( x − 1) + y 2 = 2 ⇔ x 2 + y 2 − 2 x = 1
2

2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

T = x 2 + ( y + 1) 2 + ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2
T 2 ≤ (12 + 12 )(2 x 2 + 2 y 2 − 4 x + 6) = 4.4 = 16
T2 ≤ 4
Vậy Tmax = 4 ⇒ Chọn đáp án B.

Bài 22: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)
Cho số phức z thoả mãn z − 3 − 4i = 5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị
2

2

nhỉ nhất của biểu thức P = z + 2 − z − i . Tính module số phức w = M + mi.
A. w = 2 314
B. w = 1258
C. w = 3 137
D. w = 2 309
Bài giải

z − 3 − 4i = 5 ⇔ ( x − 3) + ( y − 4 ) = 5 : (C )
2

2

( ∆ ) : 4x + 2 y + 3 − P = 0

Tìm P sao cho dường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung
⇔ d ( I ; ∆ ) ≤ R ⇔ 23 − P ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33

Vậy MaxP = 33; MinP = 13
w = 33 + 13i ⇒ w = 1258 ⇒ Chọn đáp án B.

Bài 23: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)

17


Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = z + 1 + 2 z −1

A. Pmax = 2 5

B. Pmax = 2 10

C. Pmax = 3 5

D. Pmax = 3 2

Bài giải
Theo BĐT Bunhiacopxki:

(

2

P = z + 1 + 2 z − 1 ≤ (12 + 2 2 ) z + 1 + z − 1

2

) = 10 ( z + 1) = 2
2

5

⇒ Chọn đáp án A.
Bài 24 Cho số phức z = x + yi với x, y là các số thực không âm thoả mãn

(

)

2
2
z −3
= 1 và biểu thức P = z 2 − z + i z 2 − z  z (1 − i ) + z (1 + i )  . Giá trị lớn nhất
z − 1 + 2i

và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:
A. 0 và -1
B. 3 và -1

C. 3 và 0
D. 2 và 0

Bài giải
z −3
= 1 ⇔ z − 3 = z − 1 + 2i ⇔ x + y = 1
z − 1 + 2i
2

1

 x+ y
P = 16 x 2 y 2 − 8 xy , Đặt t = xy ⇒ 0 ≤ t ≤ 
÷ =
4
 2 
 1
P = 16t 2 − 8t , t ∈ 0;  ⇒ MaxP = 0; MinP = −1
 4

Để tăng kỹ năng tính toán nhanh, chính xác, tôi cho học sinh một số bài tự luyện
Câu 25: Cho số phức z thoả mãn z − 2 + 2i = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M .m
A. M .n = 7
B. M .n = 5
Câu 26: Cho số phức z thoả mãn

C. M .n = 2

1 + 2i
z − 2 = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị
1− i

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z + i . Tính M .m
A. M .n = 1
B. M .n = 1
C. M .n = 1
4

Câu 27: Cho số phức z thoả mãn

D. M .n = 4

3

10

D. M .n = 1

5

z
− i 4 n +1 = i 4 n với n ∈ ¥ . Gọi M và m lần
i+2

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z − 3 + i . Tính M .m
18


A. M .n = 20
B. M .n = 15
C. M .n = 24
D. M .n = 30
Câu 28: : Cho số phức z thảo mãn z + 1 + z − 1 = 4 . Gọi m = min z và M = max z
, khi đó M .n bằng:
A. 2

C. 2 3

B. 2 3

D. 3

3

Câu 29. : Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thoả mãn
z + 1 + i = 2 z + z − 5 − 3i sao cho biểu thức P = z − 2 − 2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm

phần thực của số phức z đó.
A. ℜ( z ) = 8 + 7

C. ℜ( z ) = 4 + 6

2
B. ℜ( z ) = 8 + 2
2

2
D. ℜ( z ) = 12 + 2
2

Câu 30: : Cho số phức z thoả mãn z − 1 = 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + i + z − 2 − i . Tính môđun của số
phức ω = M + mi .
A. ω = 2 6

C. ω = 3 5

B. ω = 4 2

D. ω = 4

Đáp án bài tập tự luyện là: 25A 26D 27A 28B 29C 30A.
2.4. Kết quả thực nghiệm
2.4.1. Tổ chức thực nghiệm
Tổ chức thực nghiệm tại trường THPT Nguyễn Hoàng, huyện Hà Trung
Gồm: Lớp thực nghiệm 12C1
Lớp đối chứng 12C6
Trình độ hai lớp tương đương nhau, lớp 12C1 có 40 học sinh, lớp 12C3 có
38 học sinh, thời gian tiến hành thực nghiệm từ tháng 10 năm 2017 đến thánh 5
năm 2018.
2.4.2. Kết quả định lượng
- Lớp đối chứng (ĐC): 12C6
- Lớp thực nghiệm (TN): 12C1
Điểm 1
Lớp

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Số
bài

TN
12C1

0

1

2

6

6

8

8

6

3

40

0

19


ĐC
12C6

0

3

4

6

5

5

7

5

2

1

38

Kết quả lớp thực nghiệm có 36/40 ( chiếm 90%) đạt trung bình trở lên,
trong đó có 27/40 (chiếm 62,5%) đạt khá giỏi.
Lớp đối chứng có 25/38 (chiếm 65,8%) đạt trung bình trở lên, trong đó có
15/38 (chiếm 39,4%) đạt khá giỏi.
Qua kết quả nghiên cứu ta thấy rằng, ở các lớp thực nghiệm tỷ lệ đạt điểm
khá giỏi đều cao hơn các lớp đối chứng. Ngược lại, tỷ lệ điểm trung bình và
dưới trung bình của các lớp đối chứng lại cao hơn. Điều đó phần nào cho thấy
học sinh các lớp thực nghiệm tiếp thu kiến thức nhiều hơn và tốt hơn. Một trong
những nguyên nhân đó là: Ở lớp thực nghiệm, lớp học diễn ra nghiêm túc, học
sinh hứng thú học tập, tích cực, chủ động “đóng vai”, số lượng học sinh tham
gia xây dựng bài nhiều làm cho không khí lớp học sôi nổi kích thích sự sáng tạo,
chủ động nên khả năng hiểu và nhớ bài tốt hơn.
Còn ở lớp đối chứng, lớp học vẫn diễn ra nghiêm túc, học sinh vẫn chăm
chú nghe giảng, nhưng các em tiếp thu kiến thức chủ yếu thông qua cô giáo.
Giáo viên sử dụng phương pháp như thông báo, giải thích nên quá trình làm việc
thường nghiêng về giáo viên.
2.4.3. Kết quả định tính
Qua quá trình phân tích bài kiểm tra ở các lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng và theo dõi trong suốt quá trình giảng dạy, tôi có những nhận xét sau:
- Ở các lớp đối chứng:
+ Phần lớn học sinh chỉ dừng lại ở mức độ nhớ và tái hiện kiến thức. Tính
độc lập nhận thức không thể hiện rõ, cách trình bày rập khuôn trong SGK hoặc
vở ghi của giáo viên.
+ Nhiều khái niệm các em chưa hiểu sâu nên khi tính toán còn gặp nhiều
sai sót, dẫn đến kết quả sai, phải tính lại nhều lần, mất nhiều thời gian
+ Việc vận dụng kiến thức đối với đa số các em còn khó khăn, khả năng
khái quát hóa và hệ thống hóa bài học chưa cao.
+ Giờ học trầm lắng, kém hứng thú, các em vẫn trả lời câu hỏi nhưng chưa
nhiệt tình.
Tuy nhiên, vẫn có một số học sinh hiểu bài khá tốt,vận dụng đúng công thức,

làm bài nhanh, chính xác.
- Ở các lớp thực nghiệm:
+ Phần lớn học sinh hiểu bài tương đối chính xác và đầy đủ
+ Lập luận rõ ràng, chặt chẽ
+ Đa số các em có khả năng vận dụng những kiến thức đã học và kiến thức
thực tế .
+ Các em, đặt câu hỏi và trả lời câu hỏi với tinh thần say mê, hào hứng,
không khí giờ học thoải mái.
+ Tuy nhiên, vẫn còn một số ít học sinh chưa nắm vững nội dung bài học,
khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa và vận dụng kiến thức chưa tốt.

20


2.4.4. Kết luận chung về thực nghiệm
Với kết quả thực nghiệm này, tôi có thêm cơ sở thực tiễn để tin tưởng vào
khả năng ứng dụng phương pháp dạy học gắn liền với thực tiễn.
Qua thực nghiệm dạy học, tôi nhận thấy:
- Hứng thú học tập của học sinh cao hơn, hoạt động thảo luận sôi nổi hơn
và hiệu quả cao hơn, HS tập trung để quan sát và phân tích, phát biểu xây dựng
bài tốt hơn.
- Tăng cường thêm một số kỹ năng hoạt động học tập cho HS như quan sát,
phân tích, tổng hợp, so sánh, kỹ năng làm việc độc lập
- Hoạt động của giáo viên nhẹ nhàng, thuận lợi hơn để có thể tập trung vào
việc đưa HS vào trung tâm của hoạt động dạy học.
- HS trong nhóm và giữa các nhóm phát biểu ý kiến, tranh luận, bổ sung ý
kiến tạo không khí học tập rất tích cực, nâng cao hiệu quả tiếp thu, lĩnh hội tri
thức của HS.
- Kiến thức được cung cấp thêm, bổ sung và làm rõ SGK, đồng thời gắn với
thực tiễn nhiều hơn.

Do giới hạn về thời gian cũng như các điều kiện khác nên tôi chưa thực
hiện thực nghiệm được trên quy mô lớn hơn. Chính vì thế mà kết quả thực
nghiệm chắc chắn chưa phải là tốt nhất.
Mặc dù vậy, qua thời gian giảng dạy, tôi nhận thấy rằng, việc sử dụng
phương pháp dạy học trắc nghiệm kết hợp với ứng dụng công nghệ thông tin là
điều rất cần thiết, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy, phát huy năng lực của
học sinh, đáp ứng được yêu cầu đổi mới về nội dung và phương pháp trong dạy
học hiện nay.

PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Từ những kết quả nghiên cứu tôi rút ra những kết luận chính sau:
- Bước đầu hệ thống hóa được cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng
phương pháp dạy học trắc nghiệm gắn với thực tiễn. Nhằm phát huy tính tích
cực, chủ động sáng tạo của học sinh.
- Xây dựng được quy trình dạy học trắc nghiệm: xây dựng lý thuyết, bài tập
vận dụng dạng tự luận để ghi nhớ công thức, bài tập trắc nghiệm và bài tập tự
luận.
21


- Tiến hành thực nghiệm ở một số lớp, những kết quả bước đầu đã đánh giá
được hiệu quả của phương pháp dạy trong dạy học. Từ đó kết luận được phương
pháp.
- Giúp học sinh có cơ hội vừa được tiếp thu kiến thức mới vừa có điều kiện
để thể hiện năng lực của bản thân trong gia đình.
3.2. Kiến nghị
Qua nghiên cứu đề tài này, tôi rút ra một số kiến nghị sau:
- Cần phát huy tối đa vai trò của phương pháp dạy học trắc nghiệm gắn liền
với thực tiễn.

- Giáo viên cần có biện pháp cụ thể để rèn luyện kỹ năng làm bài tập dạng
trắc nghiệm đối với từng đối tượng học sinh (trình độ trung bình hay khá, giỏi).
- Do số lượng HS ở lớp nghiên cứu đông nên hiệu quả chưa cao, do đó cần
nghiên cứu thêm phương pháp này ở các lớp có số lượng HS ít hơn.
- Để góp phần nâng cao hiệu quả sử dụng phương pháp dạy học trắc
nghiệm gắn liền với thực tiễn. đòi hỏi giáo viên phải có sự đầu tư thiết kế
để tạo cho học sinh hứng thú và học tập tốt hơn.
- Ngoài ra cần bố trí phòng máy chiếu hợp lí để học sinh không mất nhiều
thời gian di chuyển cũng như ổn định trật tự thời gian đầu giờ.
Do khả năng và thời gian có hạn nên kết quả nghiên cứu mới chỉ dừng lại ở
những kết luận ban đầu và nhiều vấn đề chưa đi sâu. Vì vậy không thể tránh
khỏi những thiếu sót, do đó kính mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô
đồng nghiệp để đề tài dần hoàn thiện hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuẩn kiến thức kĩ năng môn Toán THPT, Bộ Giáo dục và Đào tạo.
2. Luyện thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017, Nhà xuất bản giáo dục.
3. Giáo trình Đại số và giải tích lớp 11, Nhà xuất bản giáo dục năm 2006.
4. Giáo trình Đại số và giải tích lớp 12, Nhà xuất bản giáo dục năm 2006
5. Tạp chí toán học và tuổ trẻ số 294,370.
6. Một số tài liệu, chuyên đề ôn thi đại học.

22


7. Tuyển tập đề thi OLYMPIC toán THPT Việt Nam (1990-2006), Nhà xuất bản
giáo dục năm 2007.
8. Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục năm
2003.
9. Tuyển tập 5 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục năm

2007.

23


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh hoá ; ngày 20 tháng 5 năm 2018
CAM KẾT KHÔNG COPY
Người viết

Nguyễn Thị Tình

24