Chinh phục bài tập vật lý chương 1 dao động cơ học gv nguyễn xuân trịfile 06 CHU DE 3 CON LAC DON image marked

CHỦ ĐỀ 3
CON LẮC ĐƠN
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cấu tạo của con lắc đơn: Vật nặng m gắn vào sợi dây có chiều dài l.
Điều kiện để con lắc đơn dao động điều hòa:
Bỏ qua ma sát, lực cản, dây không giãn và rất nhẹ,
C
vật coi là chất điểm và 0 << 1 rad hay s0 << l.
2. Tần số, chu kì của con lắc đơn dao động điều

hòa

T

g
0
+ Tần số góc: ω 


l

Pt

2π
l
+ Chu kỳ: T 
 2π
ω
g
+ Tần số: f 

O

1 ω
1 g


T 2π 2π l



M


Pn

(+) P

s
3. Lực kéo về (hồi phục): F  mgsinα  mgα  mg  mω2s
l
Lưu ý: + Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng.
+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng.
4. Phương trình dao động:
s = s0cos(t + ) (m; cm) hoặc α = α0cos(t + ) (rad) với s = αl, s0 = α0l.
 v = s’ = – s0sin(t + ) = – lα0sin(t + )
 a = v’ = s’’ = – 2s0cos(t + ) = – 2lα0cos(t + ) = – 2s = – 2αl
Lưu ý: s0 đóng vai trò như A, còn s đóng vai trò như x.
2

v2

v
s  s    α 02  α 2 
gl
ω
9. Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l1 có chu kỳ T1 , con lắc đơn chiều dài
l2 có chu kỳ T2 , con lắc đơn chiều dài l1 + l2 có chu kỳ T2 ,con lắc đơn chiều dài l1
- l2 (l1 > l2) có chu kỳ T4.
Thì ta có: T32  T12  T22 và T42  T12  T22
5. Hệ thức độc lập: a = – 2s = – 2αl

2
0

2

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vấn đề 1: Dạng bài toán tính chu kỳ, tần số, tần số góc
+ Chu kỳ T =

2π 1
l
 = 2π
ω f
g

+ Tần số góc ω 

Trang 227

g

l


BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1 (ĐH Khối A, 2008): Phát biểu nào sau đây là sai khi nói về dao động của
con lắc đơn (bỏ qua lực cản của môi trường)?
A. Khi vật nặng ở vị trí biên, cơ năng của con lắc bằng thế năng của nó.
B. Chuyển động của con lắc từ vị trí biên về vị trí cân bằng là nhanh dần.
C. Khi vật nặng đi qua vị trí cân bằng, thì trọng lực tác dụng lên nó cân bằng với
lực căng của dây.
D. Với dao động nhỏ thì dao động của con lắc là dao động điều hòa.
Hướng dẫn giải:
mv 2
Tại vị trí cân bằng: T  mg 
 0  T  mg . Suy ra, khi vật nặng đi qua vị
l
trí cân bằng, thì trọng lực tác dụng lên nó cân bằng với lực căng của dây.
Chọn đáp án C
Câu 2: Một con lắc đơn quay tròn theo một hình nón và quả cầu chuyển động theo
đường tròn có bán kính r. Chứng minh rằng chuyển động của con lắc là một dao
động điều hòa với biên độ là r, biết chiều dài sợi dây là l .
Hướng dẫn giải:
Khi quả cầu chuyển động theo vòng tròn bán kính r thì hợp
lực của trọng lực và lực căng dây treo sẽ tạo ra gia tốc
hướng tâm cho nó.
Ta có:

mv 2
 mgtanα  v  g.r.tanα
r


l

Chu kì quay của quả cầu theo quỹ đạo tròn là:

T

2πr
r
 2π
v
gtanα


T

r

Vì góc  rất nhỏ (do r rất nhỏ so với l ) nên ta có:

r
tan   sin   . Thay kết quả vào biểu thức trên ta
l


mg

nhận được biểu thức chu kì dao động điều hòa của con lắc đơn

T  2π

l
.
g

Chú ý: Nếu chiếu một chùm sáng song song nằm ngang lên mặt phẳng vuông góc
với mặt đáy của hình nón ta sẽ nhận được bóng của quả cầu dao động điều hòa như
con lắc đơn với biên độ bằng bán kính của đường tròn.
Câu 3: Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, con lắc đơn dao động điều hoà với
2π
chu kì
s. Tính chiều dài, tần số và tần số góc của dao động của con lắc.
7
Hướng dẫn giải:

Trang 228


2

 2π 
9,8.  
2
l
gT
 7   0,2 m.
Chiều dài của con lắc: T  2π
 l 2 
g

4π
4π 2

2π
1 7
= 7 rad/s.

 1,1 Hz . Tần số góc của con lắc  =
T
T 2π
Câu 4 (Chuyên Nguyễn Tất Thành lần 4 – 2016): Một con lắc đơn đang dao động
nhỏ được chiếu sáng bằng những chớp sáng ngắn cách đều nhau 2s. Quan sát
chuyển động biểu kiến của con lắc, người ta thấy con lắc dao động rất chậm. Tại
mỗi thời điểm, dao động biểu kiến luôn cùng chiều với dao động thật. Sau 31 chớp
sáng, con lắc đã dịch chuyển biểu kiến được 2,355mm, kể từ vị trí cân bằng. Biết
biên độ dao động là 1cm. Chu kì dao động của con lắc gần giá trị nào nhất sau
đây?
A. 2,15s.
B. 1,57s.
C. 1,86s.
D. 1,95s.
Hướng dẫn giải:
Tần số của con lắc: f 


 2
t   mm (chọn gốc thời
2
 T

Phương trình dao động của con lắc là x  10 cos 

gian lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều âm).
Chu kì của chớp sáng là T0 = 2s, chu kì của con lắc là T. Vì chiều dao động biểu
kiến trùng với chiều dao động thực nên trong khoảng thời gian giữa hai chớp sáng,
con lắc đã về vị trí cũ và đi thêm một đoạn nhỏ, do đó T < T0.
Độ dịch chuyển biểu kiến của con lắc giữa hai lần chớp sáng là độ dịch chuyển thực
trong thời gian T0 – T. Thời gian dịch chuyển biểu kiến của con lắc sau 31 chớp
sáng (30T0) là t = 30(T0 – T).
Thế vào phương trình dao động:


 2
 2

x  10 cos  .30  T0  T     10sin  .30  T0  T   mm
2
T
T

 2

Theo đề ta có 10sin  .30  T0  T    2,355mm
T

Áp dụng với góc nhỏ có α nhỏ có sin    (rad):
T  T 0, 2355
60
 0, 00125
 T0  T   0, 2355  0 

T
T
60
T
T0
 0  1, 00125  T 
 1,9975s.
T
1, 00125
Chọn đáp án D
Câu 5: Tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s2, một con lắc đơn và một con lắc
lò xo dao động điều hòa với cùng tần số. Biết con lắc đơn có chiều dài 49 cm, lò xo
có độ cứng 10 N/m. Tính khối lượng vật nhỏ của con lắc lò xo.
Hướng dẫn giải:
Theo giả thuyết, con lắc đơn và con lắc lò xo dao động cùng tần số nên ta có:
Trang 229


g
k
l.k 0, 49.10

 m

 0,5 kg  500 g.
l
m
g
9,8
Câu 6 (ĐH Khối A, 2009): Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động

điều hòa. Trong khoảng thời gian t, con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần. Thay
đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời gian t ấy, nó thực
hiện 50 dao động toàn phần. Chiều dài ban đầu của con lắc là:
A. 144 cm.
B. 60 cm.
C. 80 cm.
D. 100 cm.
Hướng dẫn giải:
Theo giả thuyết, trong cùng một thời gian t thì:
(1)
l  1, 44l0  l0
T
l
t  60T0  50T 
 1, 2 

(2)
T0
l0
l  l0  44 cm
Từ (1) và (2) suy ra: l0  100 cm.
Chọn đáp án D
Câu 7: Một con lắc đơn gồm 1 vật nhỏ được treo vào đầu dưới của 1 sợi dây không
dãn, đầu trên của sợi dây được buộc cố định. Bỏ qua ma sát của lực cản của không
khí. Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ. Tỉ số độ
lớn gia tốc của vật tại VTCB và độ lớn gia tốc tại vị trí biên bằng:
A. 0,1.
B. 0.
C. 10.
D. 1.

Hướng dẫn giải:
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là .
C
Vận tốc của vật tại M:
v2 = 2gl( cos – cos0)


 v = 2gl (cosα  cos α 0 )
a ht

0
Gia tốc của con lắc: a = a  a 2ht  a 2tt

a
M
tt
v2
Với: aht =
= 2g(cos – cos0);
l
O

Ftt
Psinα
a
(+)
att =
=
= g
m

m
α0
Tại VTCB:  = 0  att = 0 nên a0 = aht = 2g(1 – cos0) = 2g.2sin2
= g α 02
2
Tại biên:  = 0 nên aht = 0  aB = att = g0

a0
gα 02
Suy ra:
=
= 0 = 0,1.
aB
gα 0
Chọn đáp án A
Câu 8: Một con lắc đơn có chu kì 2 s. Nếu tăng chiều dài con lắc thêm 20,5 cm thì
chu kì dao động là 2,2 s. Tìm gia tốc trọng trường nơi làm thí nghiệm.
Hướng dẫn giải:

Trang 230


Con lắc có chiều dài l1 dao động với chu kì

l1
T12 g g
T1  2π
 0, 2 s  l1  2  2
g
4π

π
Con lắc có chiều dài l 2 dao động với chu kì
l2
T 2 g 1,21g
 2, 2 s  l2  2 2  2
g
4π
π
1,21g g
Mà l2  l1  0, 205 
 2  0, 205
π2
π
T2  2π

(1)

(2)
(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: g  9, 625 m/s 2 .
Câu 9: Một con lắc đơn chiều dài 99 cm có chu kì dao động 2 s tại A.
a. Tính gia tốc trọng trường tại A.
b. Đem con lắc đến B, ta thấy con lắc thực hiện 100 dao động mất 199 s. Hỏi gia
tốc trọng trường tại B tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với gia tốc trọng
trường tại A.
c. Muốn con lắc dao động tại B với chu kì 2 s thì ta phải làm như thế nào?
Hướng dẫn giải:
a. l  0,99 m; TA  2 s; g A  ?

4π 2l 4π 2 .0,99
 gA  2 
 9,76 m/s 2
2
TA
4
t 199
b. Chu kì con lắc tại B: TB  
 1,99 s . Khi đó:
n 100
4π 2l 4π 2 .0,99
gB  2 
 9,86 m/s 2
2
TB
1,99
Δg g B  g A

 0, 01 . Vậy gia tốc trọng trường tại B tăng 1% so với gia
Suy ra:
gA
gA
Ta có: TA  2π

l
gA

tốc trọng trường tại A.

lg

l'
l
0,99.9,86

 l' B 
 1 m.
gB gA
gA
9, 76
Vậy cần tăng chiều dây thêm đoạn: l  l ' l  1  0,99  0,01 m  1 cm.
c. Để TB'  TA 

Vấn đề 2: Dạng bài toán liên quan đến sự thay đổi chiều dài l, chu kỳ và tần số
của con lắc đơn
Theo định nghĩa về tần số và chu kì của dao động điều hòa ta có: f  N . Gọi l1,
t
l2, N1 và N2 lần lượt là chiều dài và số dao động của vật 1 và vật 2. Khi đó, trong
cùng một khoảng thời gian t ta có:
Trang 231


2

g
g
2
l2  N1 
 2πN 

 ω2   2πf   


 

l
l
l1  N 2 
 t 

ω=

2

2

2

ω  f  l
l  l
Tăng, giảm khối lượng của lò xo một lượng Δm :  1    1   2  1
l1
l1
 ω2   f 2 
Gọi T1 và T2 lần lượt là chu kì của con lắc đơn có chiều dài dây treo lần lượt là l1 và
l2. Chu kì của con lắc đơn khi thêm hoặc bớt chiều dài dây treo:
 l = l1 + l2 là T 2 = T12 + T22  T =
 l = l1 - l2 là T 2 = T12 - T22  T =

T12 + T22
T12 - T22

(với l1 > l2)

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1 (CĐ Khối A, 2010): Tại một nơi trên mặt đất, con lắc đơn có chiều dài l
đang dao động điều hòa với chu kì 2 s. Khi tăng chiều dài của con lắc thêm 21 cm
thì chu kì dao động điều hòa của nó là 2,2 s. Chiều dài l bằng:
A. 2 m.
B. 1 m.
C. 2,5 m.
D. 1,5 m.
Hướng dẫn giải:
l  l T22
l  0, 21 2, 22
Ta có:
 2 
 2
 l  1 m.
l
T1
l
2
Chọn đáp án B
Câu 2: Trong cùng một khoảng thời gian và ở cùng một nơi trên Trái Đất một con
lắc đơn thực hiện được 60 dao động. Tăng chiều dài của nó thêm 44 cm thì trong
khoảng thời gian đó, con lắc thực hiện được 50 dao động. Tính chiều dài và chu kỳ
dao động ban đầu của con lắc.
Hướng dẫn giải:
Ta có: t = 60.2
Chu kì: T = 2

l
l  0, 44
= 50.2
 36l = 25(l + 0,44)  l = 1 m.
g
g

l
= 2 s.
g

Câu 3 (Chuyên ĐHSP Hà Nội lần 4 – 2016): Hai con lắc đơn được treo ở trần một
căn phòng, dao động điều hòa với chu kì 1,6 s và 1,8 s, trong hai mặt phẳng song song
với nhau. Tại thời điểm t = 0, hai con lắc đi qua vị trí cân bằng theo cùng chiều. Khoảng
thời gian ngắn nhất kể từ t = 0 đến thời điểm hai con lắc cùng đi qua vị trí cân bằng lần
kế tiếp là
A. 12,8 s.
B. 7,2 s.
C. 14,4 s.
D. 6,4 s.
Hướng dẫn giải:
Vì lúc t = 0 hai con lắc cùng đi qua VTCB theo cùng một chiều nên ta có thể chọn đi
theo chiều dương nên phương trình dao động của các con lắc là:

Trang 232



 2  
  cm

 x1  A1 cos 
T

 1 2

 x  A cos  2    cm


2
 2
 T2 2 

Khi chúng qua VTCB thì: x1  x 2  0

2  

 x1  0  T  2  2  k1 2 
 t  0,8  0,8k1

1

 1
 x  0  2      k 2  t 2  0,9  0,9k 2
2
 2
T2 2 2
Thay các đáp án, giá trị nào đồng thời cho k1 và k2 nguyên và min thì chọn.
Chọn đáp án B
Câu 4: Con lắc lò xo có chiều dài l1 dao động điều hòa với chu kì T1 = 1,5 s, con

lắc có chiều dài l 2 dao động điều hòa với chu kì T2 = 0,9 s.. Tính chu kì của con lắc
chiều dài l 2  l1 tại nơi đó.
Hướng dẫn giải:
Con lắc chiều dài l1 có: T1  2π

l1
g

l
Con lắc chiều dài l 2 có: T2  2π 2
g
Con lắc có chiều dài l có: T  2π

T12 g
 l1  2 .
4π
T22 g
 l2  2 .
4π
T 2g
l
 l 2 .
g
4π

Mà l  l1  l2 . Suy ra:

T 2 g T12 g T22 g
 2  2  T  T12  T22  1,52  0,92  1,2 s.
2

4π
4π
4π
Câu 5 (CĐ Khối A – A1, 2012): Tại một vị trí trên Trái Đất, con lắc đơn có chiều
dài l1 dao động điều hòa với chu kì T1; con lắc đơn có chiều dài l2 ( l2 < l1 ) dao
động điều hòa với chu kì T2. Cũng tại vị trí đó, con lắc đơn có chiều dài l1 – l2 dao
động điều hòa với chu kì là
A.

T1T2
.
T1  T2

B.

T12  T22 .

C.

T1T2
T1  T2

Hướng dẫn giải:
l
gT 2
Áp dụng công thức: T  2π
 l 2
g
4π
Trang 233

D.

T12  T22 .



gT12
l

 1 4π 2
Suy ra: 

2
l  gT2
 1 4π 2

 l '  l1  l2 

g  T12  T22 
4π

 T'  T12  T22

2

Chọn đáp án B
Câu 6: Khi con lắc đơn có chiều dài l1, l2 (l1 > l2) có chu kỳ dao động tương ứng là
T1, T2 tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Biết tại nơi đó, con lắc đơn có
chiều dài l1 + l2 có chu kỳ dao động là 2,7; con lắc đơn có chiều dài l1 – l2 có chu kỳ

dao động là 0,9 s. Tính T1, T2 và l1, l2.
Hướng dẫn giải:

l1  l2
= T 12 + T 22
g
l l
T 2 = 42 1 2 = T 12 – T 22
g

Ta có: T 2 = 42

(1)
(2)

T2  T2
T2  T2
= 2 s; T2 =
= 1,8 s;
2
2
gT 2
gT 2
l1 = 12 = 1 m; l2 = 22 = 0,81 m.
4
4

Từ (1) và (2)  T1 =

Câu 7: Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong khoảng

thời gian t, con lắc thực hiện được 60 dao động toàn phần, thay đổi chiều dài con
lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời gian t, nó thực hiện 50 dao động
toàn phần. Tìm chiều dài ban đầu của con lắc.
Hướng dẫn giải:
Chu kì con lắc đơn ban đầu: T1  2π

l1 Δt

g N1

(1)

Chu kì con lắc khi thay đổi: T2  2π

l2 Δt

g N2

(2)
2

2

l  N   50 
(1)
25
(3)
 1  2    
(2)
l2  N1   60  36

Từ (3)  l2  l1  l2  l1  44
(4)
Giải hệ (3) và (4) ta được l1  100 cm và l2  144 cm .
Câu 8: Sợi dây chiều dài l ,được cắt ra làm hai đoạn l1 = l2 = 20 cm dùng làm hai
con lắc đơn. Biết li độ con lắc đơn có chiều dài l1 khi động năng bằng thế năng bằng
li độ của con lắc có chiều dài l2 khi động năng bằng hai lần thế năng. Vận tốc cực
đại của con lắc l1 bằng hai lần vận tốc cực đại của con lắc l2. Tìm chiều dài l ban
đầu.
Hướng dẫn giải:
Lấy (1) chia (2) theo từng vế

Trang 234


Giả sử phương trình dao động của con lắc đơn có dạng:  = 0cost.
Cơ năng của con lắc tại thời điểm có li độ :
mv 2
W=
+ mgl(1 – cos) = mgl(1 – cos0).
2
α2
α2
α2
Với Wt = mgl(1– cos) = mgl.2sin2 α  mgl.2
= mgl ; W = W0 = mgl .
4
2
2
2
2

2
α
α
2
2
Khi Wđ = Wt  α1 = 01 . Khi Wđ = 2Wt  α 2 = 02 .
3
2
α
α
Ta có: 1 = 2  01 = 02
(*)
2
3
Vận tốc cực đại của con lắc đơn: vmax = l0 = 0 gl .
2
2
2
2
 l1 α 01
Suy ra: v1max = 2v2max  gl1 α 01
= 4gl2 α 02
= 4l2 α 02
(**)
Từ (*) và (**) suy ra:
l1 = 4l2 3  l1 = 2 6 l2  l = (1 + 2 6 ) l2 = 20.(1 + 2 6 ) cm.
2
Câu 9 (CĐ Khối A – A1, 2012): Hai con lắc đơn dao động điều hòa tại cùng một vị
trí trên Trái Đất. Chiều dài và chu kì dao động của con lắc đơn lần lượt là l1, l2 và
T1, T2. Biết T1  1 . Hệ thức đúng là:

T2 2

A.

l1
2
l2

Ta có: T1 = 2

B.

l1
l 1
C. 1 
4
l2
l2 4
Hướng dẫn giải:

D.

l1 1

l2 2

T2
l
1
l1

l
và T2 = 2 2 . Suy ra: 1 = 12 =
l2 T2
4
g
g

Chọn đáp án C
Câu 10: Hai con lắc đơn dao động trên cùng mặt phẳng có hiệu chiều dài là 14 cm.
Trong cùng một khoảng thời gian: khi con lắc I thực hiện được 15 dao động thì con
lắc II thực hiện được 20 dao động.
a. Tính chiều dài và chu kì của hai con lắc. Lấy g  9,86 m/s 2 .
b. Giả sử tại thời điểm t hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều thì
sau đó bao lâu cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều như trên.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có:

t  15T1  20T2  3.2π

l1
l
16
 4.2π 2  9l1  16l2  l1  l2
g
g
9

Mặt khác ta có: l1  l2  14  l1  32 cm. Suy ra: l2  18 cm.

Trang 235

l
0,18
l1
0,32
 0,85 s .
 2π
 1,13 s và T2  2π 2  2π
g
9,86
g
9,86
b. Gọi thời gian cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều (còn gọi
là khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp), ta có: t  N1T1  N 2 T2 (với
N1 và N2 số dao động con lắc I và II thực hiện trong thời gian t). Mà
Suy ra: T1  2π

4
4
T2  N 2  N1 . Ta thấy khi con lắc I thực hiện được 4 dao động thì con
3
3
lắc 2 thực hiện được 3 dao động. Suy ra: t  4T1  4.1,13  4,52 s.
T1 

Câu 11 (ĐH Khối A – A1, 2013): Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81 cm và
64 cm được treo ở trần một căn phòng. Khi các vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí
cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc cùng hướng sao cho hai con lắc
dao động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song song với nhau.

Gọi t là khoảng thời gian ngắn nhất kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo
song song nhau. Giá trị t gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 8,12s.
B. 2,36s.
C.7,20s.
D. 0,45s.
Hướng dẫn giải:
Cách giải 1:
Phương trình dao động của 2 con lắc so với điều kiện đầu:

π
 π
t   cm
α1  α 0 cos 
2

 0,9

α  α cos  π t  π  cm
0
 0,8
 2
2 

π
π
 π
 π
Khi hai dây song song nhau khi x1 = x2 : cos 
t    cos 

t 
2
2
 0,8
 0,9

 π
π
 π π
t   
   k2π  t min  1, 27 s

2
 0,8
 0,9 2 
 
 π t  π    π t  π   k2π  t  0, 42 s
min
 0,9
 0,8
2
2 

Chọn đáp án D
Cách giải 2:

l
l1
 1,8 s và T2  2π 2  1, 2 s .
g

g
Con lắc 1 chuyển động từ vị trí cân bằng đến vị trí biên lần đầu mất thời gian
T
T
t1   0, 45 s , còn con lắc thứ 2 mất thời gian t 2   0,3 s . Như vậy, con
4
4
lắc 2 đến vị trí biên trước và quay lại gặp con lắc 1 (hai sợi dây song song) khí con
lắc 1 chưa đến vị trí biên lần thứ nhất. Vậy, thời gian cần tìm t  0, 45 s .
Chọn đáp án D
Chu kì dao động của 2 con lắc: T1  2π

Trang 236


Vấn đề 3: Dạng bài toán tính vận tốc, lực căng dây của con lắc đơn
1. Vận tốc của con lắc đơn
a. Khi biên độ góc  bất kì
+ Khi qua li độ góc  bất kì: v   2 gl  cos – cos 0 
+ Khi qua vị trí cân bằng:   0 => cos   1
 vVTCB   vmax   2 gl 1 – cos 0 
+ Khi qua vị trí biên:     0
b. Nếu  0  100 ta có thể dùng:

 cos   cos  0 => vbiên = 0
1  cos  0  2sin 2

0
2



v   gl  02 –  2 



vmax   0 gl   s0



v  s '   s0 sin(t   )



 02
2

2. Lực căng dây của con lắc đơn
a. Khi biên độ góc  0 bất kì

+ Khi biên độ góc  bất kì:    mg  3cos – 2cos 0 
+ Khi qua vị trí cân bằng:   0 => cos   1

  VTCB   max  mg  3 – 2cos 0 

+ Khi qua vị trí biên:     0  cos   cos  0
=> biên   min  mg cos  0

b. Nếu  0  100 ta có thể dùng:

 max  mg (1   02 )

 
1  cos  0  2sin

 02
2
2
 min  mg (1  )

2
2 0

 02

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Một con lắc đơn có chiều dài 1m, đầu trên cố định đầu dưới gắn với vật
nặng có khối lượng m. Điểm cố định cách mặt đất 2,5 m. Ở thời điểm ban đầu đưa
con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc ( = 0,09 rad (góc nhỏ) rồi thả nhẹ khi con
lắc vừa qua vị trí cân bằng thì sợi dây bị đứt. Bỏ qua mọi sức cản, lấy g = 2 = 10
m/s2. Tốc độ của vật nặng ở thời điểm t = 0,55 s có giá trị gần bằng:
A. 5,5 m/s
B. 0,5743 m/s
C. 0,2826 m/s
D. 1 m/s
Hướng dẫn giải:

Trang 237

Chu kì dao động của con lắc đơn T = 2 l = 2 s. Thời gian từ lúc thả đến vị trí
g
T
cân bằng là  0,5 s.
4
Khi qua vị trí cân bằng sợi dây đứt, chuyển động của vật là chuyển động ném ngang
từ độ cao h0 = 1,5 m với vận tốc ban đầu xác định theo công thức:
α2
mv 02
 v0 = .
= mgl(1 – cos) = mgl2sin2 = mgl
2
2
Thời gian vật chuyển động sau khi dây đứt là t = 0,05 s. Khi đó vật ở độ cao:
gt 2
gt 2
 h0  h 
h  h0 
2
2
Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:
mv 02
mv 2
gt 2
mgh 0 
 mgh 
 v 2  v 02  2 g  h 0  h   v 02  2 g
2
2
2

2
2
2 2
2 2
2 2
Suy ra: v  v 0  g t  π α  g t  0,5753 m/s.

Chọn đáp án B
Câu 2: Một con lắc đơn treo một vật nặng có khối lượng 100 g, chiều dài dây treo
là 1 m, treo tại nơi có g  9,86 m/s 2 . Bỏ qua mọi ma sát. Kéo con lắc lệch khỏi vị
trí cân bằng góc α 0 rồi thả không vận tốc đầu. Biết con lắc dao động điều hòa với
năng lượng W  8.104 J. Lực căng dây khi vật nặng qua vị trí cân bằng:
A. 2,70 N
B. 2,72 N
C. 2,74 N
D. 2,76 N
Hướng dẫn giải:
Lực căng dây: T  mg  3cosα  2cosα 0 
Ở vị trí cân bằng: α  0  Tmax  mg  3  2cosα 0  ,

S0 0, 04

 0, 04 rad  2,3 . Biên độ dao động S0 :
l
1
mω2S02
2W
2.8.104
Từ: W 
 S0 


 0,04 m  4 cm
2
mω2
0,1. 2
Suy ra: Tmax  3.0,1.9,86  2.0,1.cos 2,3  2,76 N.
với α 0 

Chọn đáp án D
Câu 3 (ĐH Khối A, 2011): Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ
góc α 0 , tại nơi có gia tốc trọng trường g, Biết lực căng dây cực đại bằng 1,02 lần
lực căng dây cực tiểu. Khi đó góc α 0 có giá trị:
A. 6,50
B. 6,60
C. 6,80
D. 6,70
Hướng dẫn giải:
Lực căng dây cực đại: Tmax  3mg  2mgcosα 0  mg  3  2cosα 0 
Trang 238

(1)


Lực căng dây cực tiểu: Tmin  mgcosα 0
(2)
Lực căng dây cực đại bằng 1,02 lần lực căng dây cực tiểu, suy ra:
(3)
Tmax  1, 02Tmin
Từ (1), (2) và (3) ta có:

mg  3  2cosα 0   1, 02mgcosα 0  3  2 cos α 0  1, 02 cos α 0  α 0  6, 6

Chọn đáp án B
Câu 4: Một con lắc đơn chiều dài l , vật nặng có khối lượng m . Kéo con lắc ra
khỏi vị trí cân bằng góc  0 rồi thả không vận tốc đầu. Bỏ qua ma sát.
a. Thiết lập biểu thức tính lực căng dây ứng với góc lệch α .
b. Với α 0  60 , hãy tìm tỉ số của lực căng dây lớn nhất và nhỏ nhất của dây
treo.
Hướng dẫn giải:
a. Thiết lập biểu thức tính lực căng dây:
C
T  3mgcosα  2mgcosα 0 .
Ta bố trí hệ như hình vẽ.


b. Ở vị trí cân bằng:
T
α  0  Tmax  3mg  2mgcosα 0 .
0

α  α 0  Tmin  mgcosα 0
Ở vị trí biên:

.
T
3  2cosα 0
 max 
4
Tmin
cosα 0

O

A
(+)


Pt

B


P


Pn

Câu 5: Treo một vật trong lượng 10 N vào một đầu sợi dây nhẹ, không co dãn rồi
kéo vật khỏi phương thẳng đứng một góc 0 và thả nhẹ cho vật dao động. Biết dây
treo chỉ chịu được lực căng lớn nhất là 20 N. Để dây không bị đứt, góc 0 không thể
vượt quá:
A. 150.
B.300.
C. 450.
D. 600.
Hướng dẫn giải:
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là 
Vận tốc của vật tại M: v2 = 2gl( cos - cos0).
0
Lực căng của dây treo khi vật ở M

2
 
mv
T = mgcos +
= mg(3cos - 2cos0).
T
l
A’
A
T = Tmax khi  = 0
Tmax = P(3 – 2cos0) = 10(3 – 2cos0) ≤ 20
M
O 
Suy ra:
2cos0 ≥ 1  cos0 ≥ 0,5  0 ≤ 600 .
P
Chọn đáp án D
Trang 239


Câu 6: Một con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình li độ dài s = 2cos7t
cm, tại nơi có gia tốc trọng trường g  9,8 m/s 2 . Tỷ số giữa lực căng dây và trọng
lực tác dụng lên quả cầu ở vị trí cân bằng là
A. 1,08
B. 0,95
C. 1,01
D. 1,05
Hướng dẫn giải:

Smax ω2Smax

α


 0,1 rad
F
Ta có:  max
l
g
 c  3  2 cos(0,1)  1,01.
mg
F  mg  3cos α  2 cos α 
max
 c
Chọn đáp án C
Vấn đề 4: Dạng bài toán viết phương trình dao động s  s0 cos(t   ) hay

   0 cos(t   )
+ Tính s 0 =

s2 

v2
ω2

+ Thường chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì

0

+ Tìm  từ điều kiện ban đầu:

s 0  A cos  và v 0  A sin   tan φ  

v0
s0ω

Thường dùng s0 và v0 > 0 (hay v0 < 0)
Phương trình dao động của con lắc đơn: s = S0cos(t + ).
2

2

2

s
v
a
v
g
Trong đó:  =
; S0 = s 2    =
.
 4 ; cos =
2
S0
ω ω
l
ω
(lấy nghiệm " – " khi v > 0; lấy nghiệm "+" khi v < 0); với s = l ( tính ra rad); v
là li độ; vận tốc tại thời điểm t = 0.
+ Phương trình dao động của con lắc đơn có thể viết dưới dạng li độ góc:  =

0cos(t + ); với s = l; S0 = 0l ( và 0 tính ra rad).
* Phương pháp giải: Dựa vào các điều kiện bài toán cho và các công thức liên
quan để tìm ra các giá trị cụ thể của tần số góc, biên độ và pha ban đầu rồi thay vào
phương trình dao động.
Lưu ý: Sau khi giải một số bài toán cơ bản về dạng này ta rút ra một số kết luận
dùng để giải nhanh một số câu trắc nghiệm dạng viết phương trình dao động:
+ Nếu kéo vật ra cách vị trí cân bằng một khoảng nào đó rồi thả nhẹ thì khoảng
cách đó chính là biên độ dao động. Nếu chọn gốc thời gian lúc thả vật thì:  = 0
nếu kéo vật ra theo chiều dương;  =  nếu kéo vật ra theo chiều âm.
+ Nếu từ vị trí cân bằng truyền cho vật một vận tốc để nó dao động điều hòa thì
vận tốc đó chính là vận tốc cực đại, khi đó: A =
Trang 240

v max
v
, (con lắc đơn S0 = max ).
ω
ω


Chọn gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật thì:  = –
tốc cùng chiều với chiều dương;  =

π
nếu chiều truyền vận
2

π
nếu chiều truyền vận tốc ngược chiều
2

dương.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân
bằng một góc 90 rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s2, 2 = 10. Chọn gốc
thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu của
vật. Viết phương trình dao động theo li độ góc tính ra rad.
Hướng dẫn giải:
g
Ta có:  =
= 2,5 rad/s; 0 = 90 = 0,157 rad.
l
cos =

  0

= - 1 = cos   = .
0 0

Vậy:  = 0,157cos(2,5 + ) rad.
Câu 2: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Lấy g = 10 m/s2, 2 =
10. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài. Biết rằng tại thời điểm
ban đầu vật có li độ góc  = 0,05 rad và vận tốc v = - 15,7 cm/s.
Hướng dẫn giải:

2π
g
v2
2
Ta có:  =

= ; l = 2 = 1 m = 100 cm; S0 = (l)  2 = 5 2 cm;
T
ω
ω
π
π
1
αl
cos =
=
= cos( ); vì v < 0 nên  = .
4
4
S0
2
π
Vậy: s = 5 2 cos(t + ) cm.
4
Câu 3: Một con lắc đơn treo một vật nặng có khối lượng 100 g, chiều dài dây treo
là 1 m, treo tại nơi có g  9,86 m/s 2 . Bỏ qua mọi ma sát. Kéo con lắc lệch khỏi vị
trí cân bằng góc  0 rồi thả không vận tốc đầu. Biết con lắc dao động điều hòa với
năng lượng W  8.104 J. Lập phương trình dao động điều hòa của con lắc, chọn
gốc thời gian lức vật nặng có li độ cực đại dương. Lấy π 2  10
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động: s  S0 cos  t    .
Tần số góc: ω 

g
 9,86   rad .
l

Trang 241


Từ W 
S0 

mω2S02
suy ra biên độ dao động S0 :
2

2W
2.8.104

 0, 04 m  4 cm
m2
0,1.2

Tìm  : t  0 , s  S0  cos   1    0 . Vậy s  4cosπt cm.
Câu 4: Một con lắc đơn dài l = 20 cm treo tại một điểm có định. Kéo con lắc khỏi
phương thẳng đứng một góc bằn 0,1 rad về phía bên phải rồi chuyền cho một vận
tốc 14 cm/s theo phương vuông góc với dây về phía vi trí cân bằng. Coi con lắc dao
động điều hòa, viết phương trình dao động đối với li độ dài của con lắc. Chọn gốc
tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng từ vị trí cân bằng sang phía bên phải,
gốc thời gian là lúc con lắc đi qua vị trí cân bằng lần thứ nhất. Cho gia tốc trọng
trường g  9,8 m / s 2 .
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động: s  S0 cos  t    .
Tần số góc: ω 

g


l

Từ W  Wđ  Wt 

9,8
 7 rad/s .
0, 2

m2S02 m2s 2 mv 2
v2


 S02  s 2  2
2
2
2


Với s  αl , v  14 cm/s  S0  2 2 cm .
Tại thời điểm t  0 lúc con lắc qua vị trí cân bằng lần thứ nhất nên s  0, v  0 :

s  S0 cos   0
cos   0




2
sin   0

 v  S0 sin   0



Vậy phương trình dao động của con lắc là: s  2 2 cos  7t 

π
 cm .
2

Câu 5: Một con lắc đơn đang nằm yên tại vị trí cân bằng, truyền cho nó một vận tốc
v0 = 40 cm/s theo phương ngang thì con lắc đơn dao động điều hòa. Biết rằng tại vị
trí có li độ góc  = 0,1 3 rad thì nó có vận tốc v = 20 cm/s. Lấy g  10 m/s 2 .
Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật, chiều dương cùng chiều với vận
tốc ban đầu. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài.
Hướng dẫn giải:
Ta có:

S 02

 =

v 02 2 v 2
v2
α 2g 2
v2
2
2
= 2 =s + 2 =l + 2 =
+ 2

ω
ω
ω
ω4
ω
v
s
π
αg
= 5 rad/s; S0 = 0 = 8 cm; cos =
= 0 = cos( );
2
2
S0
ω
2
v0  v

Trang 242


vì v > 0 nên  = -

π
π
. Vậy: s = 8cos(5t - ) cm.
2
2

Câu 6: Con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T =

π
s. Biết rằng ở thời điểm
5

ban đầu con lắc ở vị trí biên, có biên độ góc 0 với cos0 = 0,98. Lấy g = 10 m/s2.
Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ góc.
Hướng dẫn giải:

2π
Ta có:  =
= 10 rad/s; cos0 = 0,98 = cos11,480  0 = 11,480 = 0,2 rad;
T
cos =



= 0 = 1 = cos0   = 0. Vậy:  = 0,2cos10t rad.
0 0

Câu 7: Một con lắc đơn gồm quả cầu nặng 200 g, treo vào đầu sợi dây dài l . Tại
nơi có g  9,86 m/s 2 con lắc dao động với biên độ nhỏ và khi qua vị trí cân bằng
có vận tốc v 0  6,28 cm/s và khi vật nặng đi từ vị trí cân bằng đến li độ

1
s . Viết phương trình dao động của con lắc,
6
biết tại t = 0 thì    0 , đồng thời quả cầu đang chuyển động ra xa vị trí cân bằng.
Bỏ qua ma sát và sức cản không khí
Hướng dẫn giải:

Dùng liên hệ chuyển động tròn đều và dao động điều hòa ta tính được thời gian vật
nặng đi từ vị trí câng bằng đến li độ   0,5 0 (hay s  0,5S0 ) mất hời gian ngắn
T 1
nhất là
 T2 s.
12 6

  0,5 0 mất thời gian ngắn nhất là

T 2 g 22.9,86

 1 m.
42 2.3,142
Phương trình dao động của con lắc là s  S0 cos  t    .
Tần số góc: ω   rad/s .
Vận tốc con lắc khi qua vị trí cân bằng v max  S0  6, 28  S0  2 cm.
Tại thời điểm t = 0,   0,5 0  s  0,5S0 , quả cầu đang chuyển động ra xa vị trí
1

s  2 cos   0,5S0  1 cos  

cân bằng: v  0  

2
3
 v  S0 sin   0
sin   0


Vậy phương trình dao động của con lắc s  2 cos  t   cm

3

Chiều dài của con lắc l 

Trang 243


Vấn đề 5: Dạng bài toán tính thế năng, động năng và năng lượng của con lắc
đơn
a. Khi biên độ góc  0 bất kì

1
mv α2  mgl (cos   cos  0 )
2
+ Thế năng: Wt  mgh  mgl (1  cos  )
+ Động năng: Wđα 

W  Wđα  Wtα  mgl (1  cos  0 )  Wđmax  Wtmax .
h α  l (1  cos  )

+ Cơ năng:
Với

b. Nếu  0  100 ta có thể dùng:

 W

1  cos  0  2 cos 2

0

2



 02
2

mgl 2 mg 2 1
0 
s 0  mω2l 2 02  const
2
2l
2

Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi 0 có giá trị lớn
- Khi con lắc đơn dao động điều hoà (0 << 1 rad) thì:
1
3
W  mgl 02 ; v 2  gl ( 02   2 );  C  mg(1   2   02 ) (đã có ở trên)
2
2
Chú ý: Năng lượng Wđ và Wt có tần số góc dao động là 2 ω chu kì

T
. Trong 1
2

1
mω2 A 2 hai lần (dùng đồ thị xác định thời điểm gặp nhau).
4

T
Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp mà động năng bằng thế năng là .
4
chu kì Wđ  Wt 

* Phương pháp giải:
Để tìm các đại lượng liên quan đến năng lượng của con lắc ta viết biểu thức liên
quan đến các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng
cần tìm.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên
độ góc α0 nhỏ (α0 < 100). Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Xác định vị trí (li độ góc
α) mà ở đó thế năng bằng động năng khi:
a. Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương về vị trí cân bằng.
b. Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương về phía vị trí biên.
Hướng dẫn giải:
Khi Wđ = Wt thì W = 2Wt 


1
1
ml 02 = 2 ml2   =  0 .
2
2
2

Trang 244


a. Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương từ vị trí biên  = - 0 đến vị trí

cân bằng  = 0:  = -

0

2

.

b. Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương từ vị trí cân bằng  = 0 đến vị
trí biên  = 0:  =

0

2

.

Câu 2: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m = 100 g, treo vào đầu
sợi dây dài l = 50 cm, ở một nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Bỏ qua mọi
ma sát. Con lắc dao động điều hòa với biên độ góc 0 = 100 = 0,1745 rad. Chọn gốc
thế năng tại vị trí cân bằng. Tính thế năng, động năng, vận tốc và sức căng của sợi
dây tại:
a. Vị trí biên.
b. Vị trí cân bằng.
Hướng dẫn giải:
a. Tại vị trí biên:
Wt = W =

2
1

mgl  02 = 0,0076 J; Wđ = 0; v = 0; T = mg(1 - o ) = 0,985 N.
2
2

b. Tại vị trí cân bằng:

Wđ
= 0,39 m/s; T = mg(1 +  02 ) = 1,03 N.
m

Wt = 0; Wđ = W = 0,0076 J; v =

Câu 3 (ĐH Khối A, 2010): Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao
động điều hòa với biên độ góc 0 nhỏ. Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi con
lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng thế năng
thì li độ góc  của con lắc bằng
A. 

0

3

B. 

0

C.

2

0

D.

2

0

3

Hướng dẫn giải:
Ta có: Wđ = Wt s  

S0 2
l 2

 l   0
   0
2
2
2

Chọn đáp án B
Câu 4: Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng 200 g treo tại nơi có
g  9,86 m/s 2  2 m/s 2 . Bỏ qua mọi ma sát. Con lắc dao động điều hòa theo




phương trình   0, 05cos  2t 


 rad
3

a. Tính chiều dài dây treo và năng lượng dao động của con lắc.
b. Tại t = 0 vật có vận tốc và li độ bằng bao nhiêu.
c. Tính vận tốc và gia tốc vật khi dây treo có góc lệch  
Trang 245

0

3

rad .


d. Tìm thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí mà tại đó động năng cực đại
đến vị trí mà tại đó động năng bằng 3 thế năng.
Hướng dẫn giải:




a. Từ phương trình   0, 05cos  2t 
và   2π rad/s
Chu kì dao động

T


 rad   0  0,05 rad
3

2π
l
l
2
 2π
 2π
1 l 
m , S0   0l  0.035 m  35 cm
ω
g
g
2

Năng lượng dao động điều hòa của con lắc đơn:
2
2
0, 2.2 .
 0,05
mω2S02 mgl 02
2
W


 1, 47.103 J.
2
2

2




b. Phương trình dao động của con lắc s  3,5cos  2πt 


 cm .
3


 
s  3,5cos   3   1,75 cm



Tại t  0  
 v  3,5.2.sin      19 cm/s



 3

S
c. Vận tốc và gia tốc khi   0 rad  s  0 ;
3
3
2
v

2
Từ S02  s 2  2  v   S02  s 2  v  ωS0
 10,36 cm/s .
ω
3
S
3,5
Gia tốc a  2s  2 0  (2) 2 
 79.78 cm/s 2 .
3
3
d. Thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị
trí Wđmax đến vị trí Wđ  3Wt .

M2

Khi Wđmax thì vật ở vị trí cân bằng

s0
Khi Wđ  3Wt  W  4Wt

S0
2

O
S0

mω2S02
S
mω2s 2


4
s 0
2
2
2
Thời gian ngắn nhất để vật đi rừ vị trí cân

S
S
bằng đến vị trí có s   0 hoặc s  0
2
2
là như nhau.
Trang 246


M0

M1

S0 s


cos   0


2
sin   0

Chọn t  0 khi s  0, v  0  




Phương trình dao động: s  S0 cos  t 



2

S0
 1
 

 cos  t     t min   
2
2 2
3 2

T
1
(do 0  t  )  t min  s.
4
6

Khi s 

Chú ý: Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa tìm
khoảng thời gian ngắn nhất của con lắc khi đi từ vị trí cân bằng đến s 

Khoảng thời gian ngắn nhất khi vật đi từ M 0 đến M1 . Góc quét  

đó t min

S0
.
2

π
rad. Khi
6


 6 1
   s. (hoặc có thể dùng phương trình đề cho để tìm thời gian
  6

ngắn nhất).
Câu 5: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng m = 200 g, chiều dài dây
l  0,25 m treo tại nơi có g  10 m/s 2 . Bỏ qua ma sát.
a. Tính cơ năng của con lắc.
b. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc  0  90 rồi thả không vận tốc đầu.
Tính vận tốc vật khi vật qua vị trí cân bằng và khi góc lệch dây treo là 60 .
c. Tính góc lệch  khi động năng bằng 3 thế năng.
d. Giả sử khi con lắc đi đến vị trí có góc lệch 60 thì dây treo tuột ra. Lập phương
trình quỹ đạo của vật.
Hướng dẫn giải:
a. Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng.
C
Cơ năng:


T

E  mgl 1  cos  0 

600

 0, 2.10.0, 25. 1  cos 90   0,5 J
b. Chứng minh để có:

v   2gl  cos   cos  0 
Ở vị trí cân bằng:

  0  cos   cos 0  1

O

Trang 247

(+)

M


Pt


P


Pn


v 0   2gl 1  cos  0    2.10.0, 25 1  cos 90    5 m/s
Khi góc   60 ta có:

1

v   2gl  cos   cos  0    2.10.0, 25   0    2,5 m/s
2

c. Khi động năng bằng ba lần thế năng: Wđ  3Wt

W  Wđ  Wt  W  4Wt  mgl 1  cos  0   4mgl 1  cos  
 cos  

3  cos  0
 0, 75    41, 4
4

d. Khi con lắc đi lên vị trí có góc lệch 60 thì lúc này vận tốc của vật là

v  2,5 m/s ; dây treo tuột ra; chuyển động tiếp theo của vật là chuyển động của
vật được coi như ném xiên góc   60 so với phương ngang. Chọn gốc tọa độ
O'xy với O'x nằm ngang, O'y thẳng đứng hướng lên. Chuyển động của vật là tổng
hợp của hai chuyển động:

 v O'x  v cos 
(1)

 x  v O'x t  vt cos 

Thẳng đều theo phương ngang O'x , với: 

 v O'y  v sin 

Biến đổi đều theo phương thẳng đứng O'y , với a  g với: 
gt 2
 y  vt sin  

2
(2)

x
; thế vào (3) ta được:
v cos 
g
10
y  tan   2 2 x 2  3 
x 2  3  8x 2 (3)
2
2v cos α
2.2,5.cos 60

Từ (1)  t 

Phương trình (3) là phương trình quỹ đạo chuyển động của vật.
Vấn đề 6: Dạng bài toán tính số lần con lắc đi qua vị trí đã biết x* (hoặc v, a, Wt ,
Wđ )
BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Một con lắc đơn dao động điều hoà theo phương trình li độ góc  =
0,1cos(2t +


) rad. Trong khoảng thời gian 5,25 s tính từ thời điểm con lắc bắt
4

Trang 248


đầu dao động, có bao nhiêu lần con lắc có độ lớn vận tốc bằng
của nó?
A. 11 lần.

B. 21 lần.

C. 20 lần.
Hướng dẫn giải:

Trong một chu kì dao động có 4 lần v =

1
vận tốc cực đại
2

D. 22 lần.

v max
2

1
3
0
W  Wt = Wtmax tức là lúc
4
4

3
li độ  = ± max
.
A
2
2π
Chu kì của con lắc đơn đã cho T =
= 1 s.
O
M0
ω
T
Suy ra t = 5,25 s = 5T +
4
2
 
Khi t = 0 :  0  0,1cos   = max
, vật chuyển động theo chiều âm về
2
4
T
VTCB. Sau 5 chu kì vật trở lại vị trí ban đầu, sau
tiếp vật chưa qua được vị trí

4

3
 = - max
. Do đó: Trong khoảng thời gian 5,25 s tính từ thời điểm con lắc bắt
2
1
đầu dao động, con lắc có độ lớn vận tốc bằng
vận tốc cực đại của nó 20 lần.
2
tại vị trí Wđ =

Chọn đáp án C
Câu 2: Con lắc đơn dao động trong môi trường không khí. Kéo con lắc lệch phương
thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ.biết lực căn của không khí tác dụng lên con
lắc là không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật. Coi biên độ giảm đều trong
từng chu kỳ.số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là:
A. 25
B. 50
C. 100
D. 200
Hướng dẫn giải:
Gọi ∆ là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB. (∆ < 0,1)
Cơ năng ban đầu: W0 = mgl(1 - cos) = 2mglsin2



2

 mgl

2
2

Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB:
∆W =

mgl 2
mgl
[  (   ) 2 ] 
[2 .  ( ) 2 ] (1)
2
2

Công của lực cản trong thời gian trên: Acản = Fc s = 0,001mg(2 - ∆)l
Từ (1) và (2), theo ĐL bảo toàn năng lượng:
Trang 249

(2)


mgl
[2 .  ( ) 2 ] = 0,001.mg(2 - ∆)l
2
Suy ra (∆)2 – 0,202∆ + 0,0004 = 0  ∆ = 0,101  0,099. Loại nghiệm 0,2 ta

0,1
có ∆ = 0,002. Số lần vật qua VTCB N =

 50 .

 0,002
∆W = Ac 

Chọn đáp án B.
Vấn đề 7: Dạng bài toán về con lắc vướng đinh, liên kết con lắc đơn và con lắc lò xo

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ bằng thép, khối lượng m treo vào
đầu một sợi dây mềm, nhẹ, không giãn, chiều dài l  1 m. Phía dưới điểm treo O,
trên phương thẳng đứng có một chiếc đinh được đóng chắc vào điểm O' cách O
một đoạn OO'  40 cm sao cho con lắc vấp vào đinh khi dao động. Kéo con lắc lệch
khỏi phương thẳng đứng một góc   5 rồi thả ra. Bỏ qua mọi ma sát.
a. Tính chu kì dao động của quả cầu. Lấy g  10 m/s 2 .
b. Tìm tỉ số biên độ dao động của quả cầu hai bên vị trí cân bằng.
Hướng dẫn giải:
a. Gọi l  OA  1 m là chiều dài của dây
treo, l '  O'A  OA  OO'  1  0, 4  0, 6 m
O
là phần chiều dài phần dây tính từ đinh đến quả
cầu. Dao động của con lắc gồm hai giai đoạn:

Nửa dao động với chu kì

T  2π

l
1
 2.3,14.
 1,986 s
g

10

O'

Nửa dao động với chu kì

l'
0, 6
T'  2π
 2.3,14.
 1,538 s
g
10
 Chu kì con lắc:



B'
A

B

1
1
 T  T'  1,986  1,538  1,762 s b. Ta có WB  WB'
2
2
2
mglα 0 mgl 'β 02
β

β
l
1


 lα 02  l 'β 02  0 
 0 
 1, 29.
2
2
α0
l'
α0
0, 6

T0 

Câu 2: Một con lắc đơn có chiều dài 1m, đầu trên cố định đầu dưới gắn với vật
nặng có khối lượng m. Điểm cố định cách mặt đất 2,5m. Ở thời điểm ban đầu đưa
con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc ( = 0,09 rad (góc nhỏ) rồi thả nhẹ khi con
Trang 250


lắc vừa qua vị trí cân bằng thì sợi dây bị đứt. Bỏ qua mọi sức cản, lấy g = 2 = 10
m/s2. Tốc độ của vật nặng ở thời điểm t = 0,55s có giá trị gần bằng:
A. 5,5 m/s
B. 0,5743 m/s
C. 0,2826 m/s
D. 1 m/s
Hướng dẫn giải:

Chu kì dao động của con lắc đơn T = 2

l
= 2 s.
g

Khi qua VTCB sợi dây đứt chuyển động của vật là CĐ ném ngang từ độ cao h0 =
1,5m với vận tốc ban đầu xác định theo công thức:



mv 02
 v0 = 
= mgl(1 – cos) = mgl2sin2 = mgl
2
2
2
2

Thời gian vật CĐ sau khi dây đứt là t = 0,05s. Khi đó vật ở độ cao:
2
gt 2
 h0 – h = gt
h = h0 –
2
2
2
2
gt 2
mv 0

mgh0 +
= mgh + mv  v2 = v02 + 2g(h0 – h) = v02 + 2g
2
2
2
v2 = v02 + (gt)2  v2 = ()2 + (gt)2  v = 0,5753 m/s.

Chọn đáp án B.
Câu 3: Một con lắc đơn: có khối lượng m1 = 400 g, có chiều dài 160 cm. Ban đầu
người ta kéo vật lệch khỏi VTCB một góc 600 rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật
đi qua VTCB vật va chạm mềm với vật m2 = 100 g đang đứng yên, lấy g = 10 m/s2.
Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi va chạm là
A. 53,130.
B. 47,160.
C. 77,360.
D.530 .
Hướng dẫn giải:
Cách giải 1: Gọi v0 vận tốc của m1 trước khi va chạm với
m2; v vận tốc của hai vật ngay au va chạm
O
Theo định luật bảo toàn động lượng ta có:
m1v0 = (m1 + m2)v  v =

m1
4
v0 = v0
m1  m 2
5

Theo ĐL bảo toàn cơ năng cho hai trường hợp:

m1v 02
= m1gl(1 – cos0)
(2)
2
(m1  m 2 )v 2
= (m1 + m2)gl(1 – cos)
2

(1)

O'

0 l

 0'

(3)

Từ (2) và (3):

1  cos
16
16 1 8
v 2 16
= 2 =
(1 – cos0) =
=
= 0,32.
 (1 – cos) =

1  cos 0
25
25
25 2 25
v0
Suy ra : cos = 0,68   = 47,1560 = 47,160.
Chọn đáp án B
Trang 251