Chinh phục bài tập vật lý chương 1 dao động cơ học gv nguyễn xuân trịfile 07 CHU DE 4 TONG HOP DAO DONG image marked

CHỦ ĐỀ 4
TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tổng hợp dao dộng đều hòa bằng giản đồ véctơ
a. Độ lệch pha trong hai dao động cùng tần số
Cho hai dao động x1 = A1cos(t + 1) và
(x)
x2 = A2cos(t + 2) ta được x = x1 + x2 là
P
một dao động điều hoà cùng phương cùng
tần số x = Acos (t + ). Trong đó:
P2
Biên độ:
2
2
2
A = A 2 + A1  2A 2 A1cos(φ 2  φ1 ) ;

A1 sin φ1  A 2sinφ 2
A1cosφ1  A 2 cosφ 2
với 1 ≤  ≤ 2 (nếu 1 ≤ 2 )
Pha ban đầu: tan φ =

P1


A


A2

2
1

O

- Độ lệch pha giữa hai dao động x1 và
x2 : φ = φ1 - φ 2




A1

()
P’

+ Nếu φ > 0  φ1  φ 2 thì x1 nhanh pha hơn x2
+ Nếu φ < 0  φ1 < φ 2 thì x1 chậm pha hơn x2
- Các giá trị đặt biệt của độ lệch pha:
+ φ = k2π với k  Z : hai dao động cùng pha.
+ φ = (2k + 1)π với k  Z : hai dao động ngược pha.
π
+ φ = (2k + 1) với k  Z : hai dao động vuông pha.
2
b. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x1 = A1cos(t + 1)
và x2 = A2cos(t + 2) được một dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số x =
Acos(t + ).
Trong đó: A 2 = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos(φ 2 - φ1 )

A1sinφ1 + A 2sinφ 2

với 1 ≤  ≤ 2 (nếu 1 ≤ 2)
A1cosφ1 + A 2 cosφ 2
* Nếu  = 2kπ (x1, x2 cùng pha)
 AMax = A1 + A2
* Nếu  = (2k + 1)π (x1, x2 ngược pha)  AMin = A1 - A2
 A1 - A2 ≤ A ≤ A1 + A2


A  2A1 cos 2
* Nếu A1 = A2 thì 
  1  2

2
tanφ =

`

Trang 276


Chú ý: Khi viết được phương trình dao động x = Acos(t + ) thì việc xác định
vận tốc, gia tốc của vật như với một vật dao động điều hòa bình thường.
c. Khi biết một dao động thành phần x1 = A1cos(t + 1) và dao động tổng hợp
x = Acos(t + ) thì dao động thành phần còn lại là x2 = A2cos(t + 2).
Trong đó: A 22 = A 2 + A12  2AA1cos(φ  φ1 )

tanφ 2 =

Asinφ - A1sinφ1
với 1 ≤  ≤ 2 ( nếu 1 ≤ 2 )

Acosφ - A1cosφ1

d. Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số có phương trình x1 = A1cos(t + 1); x2 = A2cos(t + 2); … thì dao
động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x = Acos(t +
).
Chiếu lên trục Ox và trục Oy  Ox .
Ta được:
A x = Acosφ = A1cosφ1 + A 2 cosφ 2 + ...

A y = Asinφ = A1sinφ1 + A 2sinφ 2 + ...
Ay

với φ   φ min ; φ Max 
Ax
e. Trường hợp tổng hợp nhiều dao động điều cùng phương, cùng tần số: x1;
x2; …; xn thì x = x1 + x2 + … + xn = Acos(t + )
- Tìm biên độ A:
Chiếu xuống trục Ox : A x = Acosφ = A1cosφ1 + A 2 cosφ 2 + ...
 A = A 2x + A 2y và tanφ =

Chiếu xuống trục Oy : A y = Asinφ = A1sinφ1 + A 2sinφ 2 + ...
 Biên độ tổng hợp : A =

A 2x + A 2y

- Pha ban đầu của dao động: tanφ =

Ay
Ax

 φ

Nhưng phải lưu ý đến dấu của A x và A y để lấy nghiệm đúng của .
A
+ Nếu  x
A y
phần tư thứ nhất.
A
+ Nếu  x
A y
phần tư thứ hai.
A
+ Nếu  x
A y
phần tư thứ ba.

0
0
0
0
0
0

thì  thuộc góc
A x  0

A y  0

thì  thuộc góc

thì  thuộc góc

Trang 277

-A
A x  0

A y  0


I

II
O

III

IV

A x  0

A y  0

A
x

A x  0

A y  0

A  0
+ Nếu  x
thì  thuộc góc phần tư thứ tư.
A

0
y

Chú ý : + Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có thể áp
dụng trường hợp tổng quát nói trên.
+ Ngoài phương pháp nói trên, nếu A1 = A2 = A, thì ta có thể cộng lượng
giác và tìm được phương trình dao động tổng hợp:
φ - φ2
φ + φ2  .

x = x1 + x 2 = A1cos(ωt + φ1 ) + A 2 cos(ωt + φ 2 ) = 2Acos 1
cos  ωt  1

2
2 

Tùy theo từng bài toán và sở trường của từng người, ta có thể dùng giãn đồ véctơ
hoặc công thức lượng giác để giải các bài tập loại này.
Lưu ý: Nếu có một phương trình dao động thành phần dạng sin thì phải đổi phương
trình này sang dạng cos rồi mới tính toán hoặc vẽ giãn đồ véctơ.
2. Tổng hợp hai dao động nhờ số phức:
2.1. Cơ sở lý thuyết:


Dao động điều hoà x = Acos(t + ) có thể được biểu diễn bằng vectơ quay A
có độ dài tỉ lệ với biên độ A và tạo với trục hoành một góc bằng góc pha ban đầu .
Hoặc cũng có thể biểu diễn bằng số phức dưới dạng: z = a + bi.

Trong tọa độ cực: z = A(sin + icos) (với môđun: A = a 2  b 2 ) hay Z =
Aej(t + ).
Vì các dao động có cùng tần số góc  nên thường viết quy ước z = AeJ. Trong
các máy tính CASIO FX - 570ES, 570ES Plus kí hiệu dưới dạng là: r   (ta hiểu
là: A  ).
Đặc biệt giác số  trong phạm vi : - 1800 <  < 1800 hay -  <  <  rất phù hợp
với bài toán tổng hợp dao động trên. Vậy tổng hợp các dao động điều hoà cùng
phương, cùng tần số bằng phương pháp Frexnen đồng nghĩa với việc cộng các số
phức biểu diễn của các dao động đó.
2.2. Giải pháp thực hiện phép công và trừ số phức:
Cộng các số phức: A1φ1  A 2 φ 2  Aφ
Trừ các số phức: Aφ  A 2 φ 2  A1φ1 và Aφ  A1φ1  A 2 φ 2
2.3. Các dạng bài tập liên quan máy tính CASIO FX - 570ES, 570ES Plus:
Các bài toán liên quan tới biên độ dao động tổng hợp, pha ban đầu :
+ Bước đầu tiên hãy tính nhanh 
+ Dựa vào  để áp dụng tính toán nhanh cho phù hợp với các trường hợp
đặc biệt, cuối cùng mới sử dụng công thức tổng quát khi mà  không lọt vào
trường hợp đặc biệt nào.
2.3.1 Tìm dao động tổng hợp xác định A và  bằng cách dùng máy tính thực
hiện phép cộng:
a.Chọn chế độ thực hiện phép tính về số phức của máy tính: CASIO FX –
570ES, 570ES Plus
Các bước Chọn chế độ

Nút lệnh
Trang 278

Ý nghĩa- Kết quả


Chỉ định dạng nhập / xuất
toán

Bấm: SHIFT
MODE 1

Màn hình xuất hiện Math

Thực hiện phép tính về số
phức

Bấm: MODE 2

Màn hình xuất hiện CMPLX

Dạng tọa độ cực: r   (ta
hiểu: A  )

Bấm: SHIFT
MODE  3 2

Hiển thị số phức kiểu r  

Chọn đơn vị đo góc là độ
(D)

Bấm: SHIFT
MODE 3

Màn hình hiển thị chữ D

Chọn đơn vị đo góc là Rad
(R)

Bấm: SHIFT
MODE 4

Màn hình hiển thị chữ R

Để nhập ký hiệu góc 

Bấm SHIFT (-)

Màn hình hiển thị ký hiệu 

Kinh nghiệm: Nhập với đơn vị độ nhanh hơn đơn vị rad nhưng kết quả sau cùng
cần phải chuyển sang đơn vị rad
cho những bài toán theo đơn vị rad. (Vì nhập theo đơn vị rad phải có dấu ngoặc
đơn ‘(‘‘)’ nên thao tác nhập lâu hơn,
ví dụ: Nhập 900 thì nhanh hơn nhập ( π ), lời khuyên là nên nhập đơn vị rad.
2
Bảng chuyển đổi đơn vị góc: φ (Rad)  α(D).π
180
Đơ 15
30 45 60 75
90 105 12 135 15 165 18 36

n vị
0
0
0
0
góc
(Độ
)
Đơ
1
1
1
1
5
1
7
2
9
5
11  2
n vị 12 π 6 π 4 π 3 π 12 π 2 π 12 π 3 π 12 π 6 π 12 π
góc
(Ra
d)
Lưu ý : Khi thực hiện phép tính kết quả được hiển thị dạng đại số: a + bi (hoặc
dạng tọa độ cực: A  ).
 Chuyển từ dạng : a + bi sang dạng: A  , bấm SHIFT 2 3 =
Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) π  Nếu hiển thị: 4 + 4 3 i . Ta bấm SHIFT 2 3 = .
3
Kết quả: 8 π

3
 Chuyển từ dạng A  sang dạng : a + bi : bấm SHIFT 2 4 =

Trang 279


Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) π  Nếu hiển thị: 8 π . Ta bấm SHIFT 2 4 = . Kết
3
3
quả: 4 + 4 3 i
Bấm SHIFT 2 . Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng cực (r   ). Nếu bấm tiếp
phím 4 = kết quả dạng phức (a + bi).
b. Tìm dao động tổng hợp xác định A và  bằng cách dùng máy tính thực hiện
phép cộng:
 Với máy FX570ES: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX.
Chọn đơn vị đo góc là độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D
(hoặc Chọn đơn vị góc là Rad bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R).
Thực hiện phép cộng số phức: A1φ1  A 2 φ 2  Aφ . Ta làm như sau:
Nhập A1 SHIFT (-) φ1 + A2 SHIFT (-) φ2 = hiển thị kết quả ...
(Nếu hiển thị số phức dạng: a + bi thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả:
A)
 Lưu ý Chế độ hiển thị màn hình kết quả:
Sau khi nhập ta ấn dấu = có thể hiển thị kết quả dưới dạng số vô tỉ, muốn
kết quả dưới dạng thập phân ta ấn SHIFT = (hoặc dùng phím SD ) để chuyển
đổi kết quả Hiển thị.
2.3.2. Tìm dao động thành phần( xác định A2 và 2 ) bằng cách dùng máy tính
thực hiện phép trừ:   
  
+ Trừ các véctơ: A1  A  A 2 và A 2  A  A1
+ Trừ các số phức: Aφ  A 2 φ 2  A1φ1 và Aφ  A1φ1  A 2 φ 2

Ví dụ tìm dao động thành phần x2: x2 = x - x1 với: x2 = A2cos(t + 2). Xác định
A2 và 2?
Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện : CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là Độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị D
(hoặc Chọn đơn vị đo góc là Radian ta bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị
chữ R )
Thực hiện phép trừ số phức: Aφ  A1φ1  A 2 φ 2 hoặc Aφ  A 2 φ 2  A1φ1
Nhập A SHIFT (-) φ - (chú ý dấu trừ). Nhập A1 SHIFT (-) φ1 = kết quả.
(Nếu hiển thị số phức thì bấm SHIFT 2 3 = kết quả trên màn hình: A2  2
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Nhận xét nào sau đây về biên độ dao động tổng hợp là không đúng? Dao
động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số
A. có biên độ phụ thuộc vào biên độ của dao động hợp thành thứ nhất.
B. có biên độ phụ thuộc vào biên độ của dao động hợp thành thứ hai.
C. có biên độ phụ thuộc vào tần số chung của hai dao động hợp thành.
D. có biên độ phụ thuộc vào độ lệch pha giữa hai dao động hợp thành.
Trang 280


Hướng dẫn giải:
Dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có biên độ
không phụ thuộc vào tần số chung của hai dao động hợp thành.
Chọn đáp án C
Câu 2 (CĐ khối A, 2011): Một vật nhỏ có chuyển động là tổng hợp của hai dao
động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình là x1  A1cosωt và

π

x 2  A 2 cos  ωt   . Gọi E là cơ năng của vật. Khối lượng của vật bằng:
2


2E
E
A.
B.
ω2 A12 + A 22
ω2 A12 + A 22
2E
E
C.
D.
2
2
2
2
ω  A12 + A 22 
ω  A1 +A 2 
Hướng dẫn giải:
Hai dao động vuông pha nên:

A  A12 +A 22

E

1
1
mω2 A 2  mω2  A12 +A 22  
2
2

m

2E
ω  A12 + A 22 
2

Chọn đáp án D
Câu 3: Cho hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số góc   5 rad/s với
π
các biên độ A1 = 3 cm; A2 = 4 cm, các pha ban đầu tương ứng là 1  0 và 2  .
2
Hãy biểu diễn hai dao động bằng giản đồ véctơ và tìm phương trình của dao động
tổng hợp.
Hướng dẫn giải:
Biểu diễn dao động như trên hình vẽ.
Từ hình vẽ ta có:
A2 = A12 + A 22 + 2A1A2 cos( 2  1 )

y
A2

A

= 3  4 = 25 => A = 5 cm.
2

2

Pha ban đầu: tan  

A1 sin 1  A 2 sin 2 4

A1cos1  A 2 cos2 3

=>   0,29  .
x = 5cos(5  t + 0,29  ) cm.

Trang 281

O

A1

x


Câu 4 (ĐH Khối A – A1, 2013): Hai dao động đều hòa cùng phương, cùng tần số
có biên độ lần lượt là A1 = 8cm, A2 = 15 cm và lệch pha nhau


. Dao động tổng
2

hợp của hai dao động này có biên độ bằng
A. 7 cm.
B. 11 cm.
C. 17 cm.

D. 23 cm.

Hướng dẫn giải:
Vì 2 dao động vuông pha nên: A  A12  A 22  82  152  17 cm.
Chọn đáp án D
Câu 5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
π
số có phương trình lần lượt là: x1  5cos  πt   cm và x 2  5cosπt cm. Dao động
3

tổng hợp của vật có phương trình
π
π
A. x  5 3cos  πt   cm
B. x  5 3cos  πt   cm
4
6


π
π
C. x  5cos  πt   cm
D. x  5 3cos  πt   cm
4
6



Hướng dẫn giải:
Cách giải 1: Phương pháp giản đồ Fresnel
Giản đồ véctơ của bài toán như hình vẽ
bên. Vì x1 và x2 là 2 dao động cùng tần số x

và cùng biên độ, nhận thấy tứ giác
OA1AA2 là hình thoi. Xét ΔOA1A2 cân tại
O và OI là đường cao.
Suy ra pha ban đầu:

  IOA1  π
φ  IOA
2
2
6
Biên độ dao động: A = 2OI.
O
5 3
Ta có : OI  OA 2 .tanφ 
cm. Biên
2
độ: A  5 3 cm.


A1


A
I

1 





A2

Chọn đáp án B
Cách giải 2: Phương pháp đại số
Biên độ:

A 2  A 22 + A12  2A 2 A1cos(φ 2  φ1 )  A  A 22 + A12  2A 2 A1cos(φ 2  φ1 )

 A  52 + 52  2.5.5cos

π
 5 3 cm .
3

Trang 282


π
5sin  5sin0
π
π
3
Pha ban đầu φ : tan φ 
 tan  φ  .
π
6
6
5cos  5cos0
3
π

Dao động tổng hợp của vật có phương trình x  5 3cos  πt   cm.
6

Chọn đáp án B
Cách giải 3: Phương pháp số phức – Dùng máy tính CASIO FX - 570ES, 570ES
Plus
Với máy FX570ES: Bấm: MODE 2 . Đơn vị đo góc là độ (D) bấm: SHIFT
MODE 3 .
Nhập: 5 SHIFT (-) (60) + 5 SHIFT (-)  0 = . Hiển thị kết quả: 5 330 .
(Nếu Hiển thị dạng Đềcác:

15 5 3

i thì bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị 5 330 ).
2
2

π
Dao động tổng hợp của vật có phương trình x  5 3cos  πt   cm.
6


Dùng đơn vị đo góc là Rad (R): SHIFT MODE 4 . Bấm MODE 2 màn hình
xuất hiện: CMPLX. Tìm dao động tổng hợp:
π
Nhập: 5 SHIFT (-)  π + 5 SHIFT (-)  0 = Hiển thị: 5 3 .
6
3
π
Dao động tổng hợp của vật có phương trình x  5 3cos  πt   cm.

6


Chọn đáp án B
Chú ý: Nhược điểm của phương pháp Fresnel khi làm trắc nghiệm: Mất nhiều
thời gian để biểu diễn giản đồ véctơ, đôi khi khó biểu diễn được với những bài toán
tổng hợp từ 3 dao động trở lên, hay đi tìm dao động thành phần. Nên việc xác định
biên độ A và pha ban đầu  của dao động tổng hợp theo phương pháp Fresnel là
phức tạp, mất thời gian và dễ nhầm lẫn cho học sinh, thậm chí ngay cả với giáo
viên.
Việc xác định góc  hay 2 thật sự khó khăn đối với học sinh bởi vì cùng một
giá trị tan luôn tồn tại hai giá trị của  (ví dụ: tan = 1 thì  = π hoặc  3π ),
4
4
vậy chọn giá trị nào cho phù hợp với bài toán.
Ví thế, tùy vào kiến thức và hiểu biết của bản thân mình để lựa chọn phương
pháp giải phù hợp.
Trang 283


Câu 6 (Chuyên Hà Tĩnh lần 5 – 2016): Hai vật dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = A1cos(ωt +φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2).
Gọi x(+) = x1 + x2 và x(−) = x1 – x2. Biết rằng biên độ dao động của x(+) gấp 3 lần biên
độ dao động của x(−). Độ lệch pha cực đại giữa x1 và x2 gần nhất với giá trị nào sau
đây ?
A. 500
B. 400
C. 300
D. 600
Hướng dẫn giải:

Biên độ dao động của x(+) là A (  )  A12  A 22  2A1A 2 cos 
Biên độ dao động của x(-) là A (  )  A12  A 22  2A1A 2 cos 
Theo bài ta có A (  )  3A (  )

 A12  A 22  2A1A 2 cos   9  A12  A 22  2A1A 2 cos  

 cos  

2  A12  A 22 
5A1A 2

.

A1
2x 2  2
 x , suy ra cos  
.
Đặt
A2
5x

 2x 2  2 
'  0
 5x 

Khi đó:  cos  min  

2
2
 2  0  x  1   cos  min  0,8.

5 5x
   max  36,80.


Chọn đáp án B
Câu 7: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương có phương trình dao
π
π
động: x1  2 3cos  5πt   cm, x 2  4cos  5πt   cm và x 3  8cos  5πt  π 
6
3


cm. Giá trị vận tốc cực đại của vật và pha ban đầu của dao động là:

π
rad.
6
π
C. - 15 cm/s và  rad.
6
A. 15π cm/s và

B. - 30π cm/s và

2π
rad.
3

D. 30π cm/s và rad.

Hướng dẫn giải:
Cách giải 1: Phương pháp đại số
Tìm biên độ A:
+ Chiếu xuống trục Ox :

Trang 284


 π
 π
A x  A1cosφ1  A 2 cosφ 2  A 3cosφ3  2 3cos     4cos     8cos   π 
 6
 3

3
1
 4.  8.  1  3
2
2
+ Chiếu xuống trục Oy :
 2 3.

 π
 π
A y  A1sinφ1  A 2sinφ 2  A 2sinφ 2  2 3 sin     4sin     8sin   π 
 6
 3

3

 1
 2 3.     4.  
  8.0  3 3
 2
 2 
Suy ra biên độ tổng hợp: A  A 2x + A 2y 

 3

2



 3 3



2

 6 cm.

A x  3  0
Pha ban đầu của dao động: Vì 
thì  thuộc góc phần tư thứ ba.
A y  3 3  0
A
3 3
2π
Ta có: tanφ  y 
.

 3  φ
Ax
3
3

2π
Dao động tổng hợp của vật có phương trình x  6cos  5πt   cm.
3 

Vận tốc cực đại của vật: v max  ωA  5π.6  30π cm/s.

Chọn đáp án D
Chú ý: Với cách giải 1 ta cũng có thể tìm dao động tổng hợp của hai trong ba dao
động trước, sau đó tổng hợp với dao động còn lại thi cũng cho ta kết quả tương tự.
Cách giải 2: Phương pháp số phức – Dùng máy tính CASIO FX - 570ES, 570ES
Plus
Với máy FX570ES: Bấm: MODE 2 .
Đơn vị đo góc là độ (D) bấm: SHIFT MODE 3
Nhập: 2

3  SHIFT (-) - 30 + 4 SHIFT (-)  - 60 + 8 SHIFT (-)  -

180 = Hiển thị kết quả: 3  3 3i
Ta bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 6  - 120. Suy ra φ  
Vận tốc cực đại của vật: v max  ωA  5π.6  30π cm/s.

2π
.
3

Chọn đáp án D
Câu 8: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có
π
π
phương trình dao động: x1  2 3cos 10πt   cm, x 2  4cos 10πt   cm và
3
6


Trang 285


x 3  A 3cos 10πt  φ3  cm.

Phương

trình

dao

động

tổng

hợp

có

dạng

π

x  6cos  πt   cm. Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành
6

phần thứ 3:

π
.
2
π
C. 8cm và  .
2

B. 6cm và 

A. 8cm và

D. 8cm và

π
.
3

π
.
3

Hướng dẫn giải:
Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX

Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 .
Tìm dao động thành phần thứ 3: x3 = x – (x1 + x2)
Nhập máy:
6 SHIFT(-)   π  2 3  SHIFT(-)  π  4  SHIFT(-)  π =
6
3
6
Hiển thị: 8  π .
2
Chọn đáp án C
Câu 9 (ĐH khối A, 2011): Dao động của một chất điểm có khối lượng 100 g là
tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là
x1 = 5cos10t và x2 = 10cos10t (x1 và x2 tính bằng cm, t tính bằng s). Mốc thế năng ở
vị trí cân bằng. Cơ năng của chất điểm bằng
A. 0,1125 J.

B. 225 J.

C. 112,5 J.

D. 0,225 J.

Hướng dẫn giải:
Vì 2 dao động cùng pha nên A = A1 + A2 = 15 cm = 0,15 m.
Cơ năng của chất điểm là : W 

1
1
mω2 A 2  .0,1.102.0,152  0,1125 J .
2

2

Chọn đáp án A
Câu 10 (ĐH khối A, 2010): Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
5π 

phương, cùng tần số có phương trình li độ x  3cos  πt   (cm). Biết dao động
6 

π
thứ nhất có phương trình li độ x1  5cos  πt   (cm). Dao động thứ hai có
6

phương trình li độ là
π
π


A. x 2  8cos  πt   (cm).
B. x 2  2 cos  πt   (cm).
6
6



Trang 286


5π
D. x 2  8cos  πt   (cm).

6 


5π
C. x 2  2 cos  πt   (cm).
6 


Hướng dẫn giải:
Cách giải 1: Ta có dao động thành phần x2 có biểu thức:
x2 = x - x1 => x 2  A 2 cos  πt + φ 2  . Trong đó:
5π π
Biên độ: A 22 = 32 + 52  2.3.5.cos     suy ra A = 8 cm.
 6 6

 5π 
π
3sin     5sin  
 6 
 6   φ   5π
Pha dao động: tanφ 2 =
2
6
 5π 
π
Acos     5cos  
 6 
6
5π
Vậy dao động thành phần x2 có phương trình: x 2  8cos  πt   (cm).

6 

Chọn đáp án D
Cách giải 2: Xác định A2 và 2 nhờ bấm máy tính FX 570ES
Bấm chọn MODE 2 trên màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
+ Nếu chọn đơn vị đo góc là R (radian): SHIFT MODE 4
Nhập máy: 3 SHIFT (-).  (-5/6) - 5 SHIFT (-).  (/6 = Hiển thị: 8  
+ Nếu chọn đơn vị đo góc là độ D (Degre): SHIFT MODE 3
Nhập máy: 3 SHIFT (-).  (-5/6) - 5 SHIFT (-).  (/6
 4 3  4i .
5π
Sau đó bấm tiếp SHIFT 2 3 = thì cho kết quả: 8  
6

=

5π
6

Hiển thị:

Chọn đáp án D
Câu 11: Hai vật dao động điều hòa trên hai đoạn thẳng cạnh nhau, song song với
nhau, cùng một vị trí cân bằng trùng với gốc tọa độ, cùng một trục tọa độ song song
với hai đoạn thẳng đó, với các phương trình li độ lần lượt là
5π 
2π 
 5π
 20π
x1  3cos  t   cm và x 2  5cos 

t   cm . Thời điểm đầu tiên (kể
6 
3 
 3
 3
từ thời điểm t = 0) khoảng cách giữa hai vật lớn nhất là
A. 0,1s.
B. 0,05s.
C. 0,5s.
D. 2s.
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách giữa hai chất điểm sẽ là x  x1  x 2 nếu chúng ở hai bên đường tròn
hoặc x  x1  x 2 nếu chúng ở cùng bên đường tròn. Vì li độ cực đại bằng biên độ
nên có thể suy đoán xmax = A1 + A2.
Điều này xảy ra trong hai trường hợp:
Trang 287


+ Vật 1 ở biên dương, ứng với pha của nó bằng 0, vật 2 ở biên âm ứng với pha
bằng π.
+ Vật 2 ở biên dương, ứng với pha của nó bằng 0, vật 1 ở biên âm ứng với pha
bằng π.
5π 
 5π
Pha của vật 1 ở thời điểm t là:  t 
 , pha vật 2 ở thời điểm t là
6 
 3
2π 
 20π

t  .

3 
 3
Xét vật 1 ở biên dương, ứng với pha của nó bằng 0, vật 2 ở biên âm ứng với pha
 5π 5πt
  3  0
bằng π:  6
hệ này ra vô nghiệm.
20πt
2π


π
 3
3
Xét vật 2 ở biên dương, ứng với pha của nó bằng 0, vật 1 ở biên âm ứng với pha
 5π 5πt
 6  3  π
bằng π: 
hệ có nghiệm t = 0,1 s.
 20πt  2π  0
 3
3
Vậy sau 0,1s thì khoảng cách giữa chúng lớn nhất và bằng 8cm.
Câu 12 (ĐH – 2014): Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương
trình lần lượt là x1 = A1cos(ωt + 0,35) (cm) và x2 = A2cos(ωt – 1,57) (cm). Dao
động tổng hợp của hai dao động này có phương trình là x = 20cos(ωt + φ) (cm). Giá
trị cực đại của (A1 + A2) gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 40 cm.

B. 20 cm.
C. 25 cm.
D. 35 cm.
Hướng dẫn giải:
Biên độ tổng hợp của dao động: 202  A12  A 22  2A1A 2 cos(0,35  1,57) .
Sử dụng bất đẳng thức

 x  y
xy 
4

2

, ta có:

202  A12  A 22  2A1A 2 cos(0,35  1,57)
 202   A1  A 2   2, 68A1A 2
2

  A1  A 2 

2

 A  A2 
 2, 68 1
4

2

 0,329.  A1  A 2 

2

 A1  A 2  34,87cm   A1  A 2 max  34,87cm .
Chọn đáp án D

Trang 288


Câu 13: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
2π
π
phương, có phương trình li độ lần lượt là x1  3cos 
t   cm và
2
 3
2π
x1  3 3 cos t cm . Tại các thời điểm x1 = x2, li độ của dao động tổng hợp là
3
A. ± 5,79 cm.
B. ± 5,19 cm
C. ± 6 cm.
D. ± 3 cm.
Hướng dẫn giải:
2π
π
2π
Ta có x1  3cos 
t    3sin t . Tại thời điểm x1 = x2 thì:
2

3
 3

3sin

2π
2π
2π
t  3 3cos t  tan
t 3
3
3
3

2π
π
1 3k
t   kπ  t  
(k  Z)
3
3
2 2
Phương trình dao động tổng hợp x1 vuông pha với x2 nên ta có:


A  A 2  A 2  6 cm
1
2



A1
1
π

φ
 tan φ  
A2
6
3


π
 2π
t   cm.
6
 3

Phương trình dao động tổng hợp: x  6 cos 
Thay t vào ta được x = ± 5,19 cm.

Chọn đáp án D
Câu 14: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
số có biên độ và pha ban đầu là A1 = 10 cm, 1 =

π
π
, A2 (thay đổi được), 2 =  .
6
2

Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị nhỏ nhất là
A. 10 cm.
B.5 3 cm.
C. 0.
Hướng dẫn giải:
Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ.
Theo định lí hàm số sin ta có:
A
A
A
π
 1  A  1 .sin
π sinα
sinα
3
sin
3
Ta nhận thấy A = Amin khi sin = 1.

π
Khi đó: Amin = A1sin
= 5 3 cm.
3

D. 5 cm

A1
π
3

O

φ

x

A


A2

Chọn đáp án B
Trang 289


Câu 15: Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình dao
π
động x1  A1cos  ωt   cm và x 2  A 2 cos  ωt  π  cm . Phương trình dao động
3
2


tổng hợp của hai dao động này là: x  6cos  ωt  α  cm . Biên độ A1 thay đổi được.
Thay đổi A1 để A2 có giá trị lớn nhất. Biên độ A2max có giá trị là
A. 16 cm.
B. 14 cm.
C. 18 cm.
D. 12 cm.
Hướng dẫn giải:


Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ.
A
2
Áp dụng định lí hàm số sin:
π
A2
A

 A 2  2Asinα
6
sinα sin300
α
Ta có A2max khi sinα = 1
O
Khi đó: A2 = 2A = 12 cm.



A2

x

A
A

Chọn đáp án B
Câu 16 (ĐH khối A, 2009): Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động
điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là

3 



x1  4 cos 10t   cm và x 2  3cos 10t   cm. Độ lớn vận tốc của vật ở vị
4
4 


trí cân bằng là
A. 10 cm/s.
B. 80 cm/s.
C. 50 cm/s.
D. 100 cm/s.
Hướng dẫn giải:
Độ lệch pha giữa hai dao động x1 và x2 :   1  2 

 3

 .
4 4

Suy ra 2 dao động ngược pha nhau nên biên độ tổng hợp

A min  A1  A 2  1 cm  v max  ωA  10 cm/s.
Chọn đáp án A
Câu 17: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có
phương trình dao động lần lượt là: x1  A1 cos(ωt  φ1 ) và x 2  A 2 cos(ωt  φ 2 ) .
Cho biết: 4 x12  x 22 = 13 cm2. Khi chất điểm thứ nhất có li độ x1 = 1 cm thì tốc độ
của nó bằng 6 cm/s. Khi đó tốc độ của chất điểm thứ hai là
A. 9 cm/s.
B. 6 cm/s.

C. 8 cm/s.
D. 12 cm/s.
Hướng dẫn giải:

Trang 290


Từ biểu thức 4 x12  x 22 = 13 cm2, đạo hàm hai vế theo thời gian ta có:

8x1v1  2x 2 v 2  0  v 2  

4x1v1
x2

Khi x1 = 1 cm thì x2 = ± 3 cm. Vậy v2 = ± 8 cm/s.
Tốc độ của chất điểm thứ hai là 8 cm/s.
Chọn đáp án C
Chú ý :
- Xuất phát từ giả thuyết αx12  βx 22  γ , ta sử dụng kĩ thuật đạo hàm làm xuất hiện
các mối liên hệ mới và suy ra các đại lượng cần tìm:
αx12  βx 22  γ
 x2  ?


cho x1 , v1
'
'

  v2  ?
2αx1x1  2βx 2 x 2  0  αx1v1  βx 2 v 2  0



'
'
 a2  ?
2αx1 x1 ' 2βx 2 x 2 '  0  αx1a1  βx 2 a 2  0
Từ đó sử dụng các phương trình độc lập theo thời gian tìm các đại lượng còn lại:
, A, f, T.
- Phương pháp giải trên chúng ta cũng có thể áp dụng cho dạng bài tập tương tự ở
chương ‘‘Dao Động Điện Từ’’.
Câu 18: Cho ba chất điểm dao động điều hòa cùng phương, cùng biên độ A, với tần
số khác nhau, vị trí cân bằng là gốc tọa độ. Biết rằng, tại mọi thời điểm li độ và vận

 

 

tốc của các vật liên hệ với nhau qua biểu thức

x1 x 2 x 3


. Tại thời điểm t, khi
v1 v 2 v3

chất điểm 3 cách vị trí cân bằng một đoạn x 0 3 thì đúng lúc này hai chất điểm còn
2
lại nằm đối xứng nhau qua gốc tọa độ và chúng cách nhau một đoạn x 0 . Khi đó
2
biểu thức biên độ A được xác định bởi :

17x 0
.
2
17x 0
C. A 
.
3

17x 0
.
5
17x 0
D. A 
.
7

A. A 

B. A 

Hướng dẫn giải:

x
x x
Từ biểu thức 1  2  3 , đạo hàm hai vế theo thời gian ta có:
v1 v 2 v3

x1' v1  x1v1' x '2 v 2  x 2 v '2 x 3' v3  x 3 v3'



v12
v 22
v32


v12  x1a1 v 22  x 2 a 2 v32  x 3a 3


v12
v 22
v32
Trang 291


 x ' v  v 2  ω2  A 2  x 2 
Thay 
, khi đó:
2 2
 xv '  xa  ω x
ω12  A 2  x12   ω12 x12 ω22  A 2  x 22   ω22 x 22 ω32  A 2  x 32   ω32 x 32


ω12  A 2  x12 
ω22  A 2  x 22 
ω32  A 2  x 32 

A




2

 x12   x12

A 2  x12

A


2

 x 22   x 22

A 2  x 22

A


2

 x 32   x 32

A 2  x 32

1
1
1
A2

A2
A2
 2
 2
 2


2
2
2
2
2
2
2
2
A  x1 A  x 2 A  x 32
A  x1 A  x 2 A  x 3
2

 x 3  9x 02
x 32  0

 2 
4


2
x 02
2
2  x0 

x1  x 2   
4
 2 




1

1



x
4

A2 

2
0



1

x
9x 2
A2  0
4
4

2
9x 0
x 02
2
1
2
2


 2A 
A 
x 02
9x 02
2
4
2
2
A 
A 
4
4
2
17x 0
17x 0
 A2 
A
.
4
2
A2 

2
0

Chọn đáp án A
Câu 19: Cho ba con lắc lò xo giống nhau dao động điều hòa với biên độ A, và cơ
năng W. Tại thời điểm t, li độ và động năng của ba con lắc lò xo thỏa mãn các hệ
thức:

 2 2 2 n 2
x1  x 2  x 3  4 A

W + W  W = 1 W
ñ2
ñ3
 ñ1
2
Gọi nmax và nmin lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của n. Khi đó biểu
thức


1
3
 nmax  nmin  có giá trị:
2
4


A.

17
.
2

B.

17
.
2

C.

17
.
4

Hướng dẫn giải:
Ta có:

Trang 292

D.

17
.
4


 2 2 2 n 2


n
x1  x 2  x 3  4 A
 Wt1  Wt2  Wt3  4 W


1
W + W  W = W
W + W  W = 1 W
ñ1
ñ2
ñ3
ñ2
ñ3

2
 ñ1
2

n6
n2
W
 Wt1  Wñ1  Wt2 + Wñ2  Wt3  Wñ3 
W  Wt3  Wñ3 

 

4
4
W

W

 WW  W W

t3
ñ3

 1 

Khi đó:

n  10
n6
.
 1  2  n  10   max
4
nmin  2

 1
1
3
3  17
 nmax  nmin    10  .2   .
2
4
4  4
 2

Chọn đáp án D
Câu 20 (CĐ khối A, 2010): Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động

điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x1 = 3cos10t
π

cm và x 2  4sin 10t   cm. Gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng
2

A. 7 m/s2.
B. 1 m/s2.
C. 0,7 m/s2.
D. 5 m/s2.
Hướng dẫn giải:




Ta có: x 2  4sin 10t 

π
  4 cos10t .
2

Hai dao động cùng pha khi: A = A1 + A2 = 7 cm.
Khi đó gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng
ω  10 rad/s

2
2
2
2
a max  ω A  10 .7  700 cm/s  7 m/s

Chọn đáp án A
Câu 21: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa. x1 = A1cos ω t cm và x2
= 2,5 2 cos ( ω t + 2). Biên độ dao động tổng hợp là 2,5 cm. Biết A2 đạt giá trị cực
đại. Tìm 2.
Hướng dẫn giải:
Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ.
Khi A2 đạt giá trị cực đại, theo ĐL hàm số
A1
O
A2
A

sin ta có:
x

sin

π
2

sin 

A
2,5
2
 sin  


A 2 2,5 2
2

2

A2


A

Trang 293



, suy ra tam giác OAA2 vuông cân tại A nên ta có:
4
3
 
2        .
4
2 4

Hay  

Câu 22: Hai phương trình dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
π

trình x1  A1sin  t   cm và x 2  A 2sin  t  π  cm. Dao động tổng hợp có
6

phương trình x  9sin  t    cm. Để biên độ A2 có giá trị cực đại thì A1 có giá
trị là:

A. 15 3 cm

B. 9 3 cm
C. 7 cm
D. 18 3 cm
Hướng dẫn giải:
Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ.
y
Khi A2 đạt giá trị cực đại,

x
theo ĐL hàm số sin ta có:
O
A2
A2
A
/3
/6
 1
/6

sin

π
2

 A2 

sin

π
3

2
A1
3


A1


A

(1)

Tam giác OAA2 vuông tại A nên ta có: A12  92  A 22

(2)

4
3

Thế (1) vào (2) Ta có: A12  92  A12 => A1 = 9 3 cm.
Chọn đáp án A
Câu 23: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có
phương trình dao động: x1 = 2 3 cos(2πt +



) cm, x2 = 4cos(2πt + ) cm và

3
6

x 3  A 3 cos(t  3 ) cm. Phương trình dao động tổng hợp có dạng

x  6 cos(2t  ) cm. Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành
6
phần thứ 3:
A. 8cm và 
C. 8cm và


.
2


.
6


.
3

D. 8cm và .
2
B. 6cm và

Hướng dẫn giải:
Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 .

Trang 294


Tìm dao động thành phần thứ 3: x3 = x – x1 – x2
Nhập: 6 SHIFT(-)  (-/6) - 2 3  SHIFT(-)  (/3) - 4 SHIFT(-)  (/6 =
Hiển thị: 8  


.
2

Chọn đáp án A
Câu 24: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số
có phương trình: x1 = 3cos(ωt +
động tổng hợp:


) cm
3
5
C. x = 2cos(ωt +
) cm
6
A. x = 2cos(ωt -


) cm, x2 = cos(ωt + ) cm. Phương trình dao
2
2
) cm

3

D. x = 2cos(ωt - ) cm
6
B. x = 2cos(ωt +

Hướng dẫn giải:
Cách giải 1: Ta có:

A  A 2  A 2  2A A cos       2 cm
1
2
1 2
2
1



3 sin  1.sin    3

A1 sin 1  A 2 sin 2
2

 tan  

A
cos


A

cos

1
1
2
2

3 cos  1.cos 

2
2

  3
2


.
2

3
  

3
Chọn đáp án B
Cách giải 2:
Dùng máy tính: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ:
CMPLX
Chọn chế độ máy tính theo độ: SHIFT MODE 3
Tìm dao động tổng hợp:
Nhập máy: 3  SHIFT (-). (90) + 1 SHIFT (-).  180 = Hiển thị:2120

Chọn đáp án B
Câu 25: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần




số x1= cos(2t + ) cm, x 2  3 cos  2t 
tổng hợp
A. x = 2cos(2t -

2
) cm
3


 cm. Phương trình của dao động
2

B. x = 4cos(2t +
Trang 295


) cm
3



) cm
3

C. x = 2cos(2t +

D. x = 4cos(2t +

4
) cm
3

Hướng dẫn giải:
Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4
Nhập máy: 1 SHIFT(-)   +

3  SHIFT(-)  (-/2 = Hiển thị 2-

2
.
3

Chọn đáp án A
Câu 26: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng dọc theo trục x’Ox

4
 4



cos  2t   
cos  2t   cm. Biên độ và pha ban đầu
6

2
3
3



có li độ x 2 

của dao động là:


rad
3

rad
C. 4 3 cm,
3
A. 4 cm,


rad
6
8

cm,
rad
D.
6
3
B. 2 cm,

Hướng dẫn giải:
Cách giải 1:
Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là radian(R): SHIFT MODE 4
Nhập máy:

4

3

Hiển thị: 4  .
3

4

 SHIFT (-).  (/6) +

3

 SHIFT (-).  (/2 =

Chọn đáp án A
Cách giải 2:
Với máy FX570ES : Chọn đơn vị đo góc là độ Degre(D): SHIFT MODE 3
Nhập máy:

4
3

 SHIFT (-).  30 +

Hiển thị: 4  60

4
3

 SHIFT (-).  90 =

Chọn đáp án A
Câu 27: Ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt




là x1  4 cos  t 




 cm, x 2  6 cos  t   cm và x3 = 2cost cm. Dao động
2
2


tổng hợp của 3 dao động này có biên độ và pha ban đầu là
A. 2 2 cm,


rad

4

B. 2 3 cm, 

Trang 296


rad
4


C. 12 cm,


rad
2

D. 8 cm, 


rad
2

Hướng dẫn giải:
Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị góc tính rad (R). SHIFT MODE 4 Tìm dao động tổng hợp, nhập máy:
4 SHIFT(-) (- /2) + 6 SHIFT(-) (/2) + 2 SHIFT(-) 0 =
Hiển thị: 2 2 



.
4

Chọn đáp án A
Câu 28: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số



x1  a 2 cos  t   cm và x 2  a cos  t    cm có phương trình dao động
4

tổng hợp là




A. x  a 2 cos  t 
C. x 

2 
 cm
3 

3a


cos  t   cm
2
4



 cm
2
2a


cos  t   cm
D. x 
3
6




B. x  a cos  t 

Hướng dẫn giải:
Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
chọn đơn vị góc tính theo độ (D) Bấm : SHIFT MODE 3 (Lưu ý: Không nhập a)
Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy : 2  SHIFT(-)45 + 1 SHIFT(-)180 =
Hiển thị: 1 90,
Chọn đáp án B
Câu 29: Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình dao động tổng hợp

5 

x  5 2 cos  t   cm với các dao động thành phần cùng phương, cùng tần số
12 



là x1 = A1 cos(t + 1) và x2 = 5cos(t + ) cm, Biên độ và pha ban đầu của dao
6
động 1 là:

2
3

C.5 2 cm; 1 =
4
A. 5 cm; 1 =


2

D. 5 cm; 1 =
3
B.10 cm; 1=

Hướng dẫn giải:
Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần:
Nhập máy : 5 2  SHIFT(-)  (5/12) – 5 SHIFT(-)  (/6 =
Trang 297


Hiển thị: 5 

2
.

3

Chọn đáp án A
Câu 30: Cho hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số: x1 = 2 cos (4t + 1 )
cm và x2 = 2 cos( 4t + 2 ) cm. Với 0  2  1   . Biết phương trình dao động

π
) cm. Pha ban đầu 1 là :
6
π
π
B. C.
3
6

tổng hợp x = 2 cos (4t +
A.

π
2

D. -

π
6

Hướng dẫn giải:

φ  φ2 
φ




Ta có: x  x1  x 2  2.2 cos
cos  4t  1
  2 cos  4t   cm.
2
2 
6


  2 
φ 1


Vì 0  2  1   . Nên φ 2  φ1 . Suy ra cos
  cos và 1
2
6
2 2
3
2  1 
1  2 
π

 và
 . Giải ra φ1   .
2
3
2

6
6
Chọn đáp án D
Câu 31: Dao động tổng hợp của 2 trong 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần
số: x12 = 2cos(2πt +

π
5π
) cm, x23 = 2 3 cos(2πt +
) cm, x31 = 2cos(2πt + π) cm.
3
6

Biên độ dao động của thành phần thứ 2?
Hướng dẫn giải:

A23

2A

A2

1

A
600

300
A3

A12

O

A31

A1

Chọn trục Ox như hình vẽ.

Vẽ các giản đồ véctơ A12 =2; A23 = 2 3 , A31 = 2. Vẽ véctơ A

 

A  A12  A 31 . Ta thấy A = A12 = 2
 

   
A  A12  A 31  A1  A 2  A1  A 3

  
 
A  2A1  A 2  A 3  2A1  A 23

Từ giản đồ ta tính được A1 = 1.

Trang 298

x



Véctơ A1 trùng với trục Ox. Từ đó suy ra A2 =
A3 = 3, ta có thể viết được biểu thức x1, x2, x3.

2 . Mặt khác ta có thể tính được

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa



x1  10 cos  t  1  và x 2  A 2 cos  t   , phương trình dao động tổng hợp
2



của vật là x  A cos  t   . Để vật dao động với biên độ bằng một nửa giá trị
3

cực đại của biên độ thì A2 bằng bao nhiêu?
A. 10 3 cm

B. 20cm

C.

20
cm

3

D.

10
cm
3

Câu 2: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên cùng một trục
Ox có phương trình: x1  2 3 sin t cm và x 2  A 2 cos  t  2  cm. Phương
trình dao động tổng hợp x  2 cos  t    cm. Biết 2   
của A2 và 2 sau đây là đúng?
A. 4cm và


3

C. 4 3 cm và

B. 2 3 cm và


2

D. 6 cm và


6



. Cặp giá trị nào
3


4

Câu 3: Hai phương trình dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương



 cm và x 2  A 2 cos  t    cm. Dao động tổng hợp
6

có phương trình x  9 cos  t    cm. Để biên độ A2 có giá trị cực đại thì A1 có
trình x1  A1 cos  t 

giá trị là:
A. 15 3 cm
B. 9 3 cm
C. 7 cm
D. 18 3 cm
Câu 4: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động 1 có biên độ A1
= 10 cm, pha ban đầu



và dao động 2 có biên độ A2, pha ban đầu  . Biên độ
6
2

A2 thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. A = 2 3 cm
B. A= 5 3 cm
C. A = 2,5 3 cm

D. A=

3 cm

Trang 299


Câu 5: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cung phương:





x1  A1 cos  t   cm và x 2  A 2 cos  t   cm. Phương trình dao động
3
2


tổng hợp là: x = 5cos(t + ) cm. Biên dộ dao động A2 có giá trị lớn nhất khi 
bằng bao nhiêu? Tính A2max?
A. 


; 8 cm
3

B. 


; 10 cm
6

C.


; 10 cm
6

D. B hoặc C

Câu 6: Hai chất điểm dao động điều hoà trên cùng một trục tọa độ Ox, coi trong
quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao
động của hai chất điểm lần lượt là: x1 = 4cos(4t +



) cm và x2 = 4 2 cos(4t + )
3
12

cm. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là:
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. (4 2 – 4) cm

Câu 7: Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động



x1  A1 cos  t   cm và x 2  A 2 cos  t   cm. Phương trình dao động
3
2


tổng hợp của hai dao động này là: x = 6cos(t + ) cm. Biên độ A1 thay đổi được.
Thay đổi A1 để A2 có giá trị lớn nhất. Tìm A2max?
A. 16 cm.
B. 14 cm.
C. 18 cm.
D. 12 cm
Câu 8: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên trục Ox có
phương trình x1 = A1cos10t và x 2  A 2 cos 10t  2  . Phương trình dao động
tổng hợp x = A1 3 cos(10t + ), trong đó có 2   

3
1
hoặc
2
4
3
2
C.
hoặc
4
5

A.



. Tỉ số
bằng
2
6

1
2
hoặc
3
3
2
4
D.
hoặc
3
3

B.

Câu 9: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng

phương cùng tần số có các phương trình: x1  4 cos(10t  ) cm và
4
3 

x 2  3cos 10t   . Xác định vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật.

4 

A. 50 cm/s; 10 m/s2.
B. 7 cm/s; 5 m/s2.
2
C. 20 cm/s; 10 m/s .
D. 50 cm/s; 5 m/s2.
Câu 10: Dao động của một chất điểm có khối lượng 10g là tổng hợp của hai dao
động điều hòa cùng phương có phương trình li độ lần lượt là x1 = 5cos(10  t) cm,
x2=10cos(10  t) cm (t tính bằng s). Chọn mốc thế năng ở VTCB. Lấy 2 = 10. Cơ
năng của chất điểm bằng:
Trang 300