Sử dụng nghiệm của đa thức để phân tích đa thức đó thành nhân tử

Sáng Kiến kinh nghiệm
I – ĐẶT VẤN ĐỀ:
1) Lý do chọn đề tài:
Phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng, toán học nói chung là một môn
khoa học cơ bản trong chương trình trung học phổ thông. Việc học toán và giải
toán là một việc làm thường ngày đối với cả người học và người dạy. Đặc biệt
quan trọng đối với học sinh lớp 8, bao gồm cả học sinh trung bình, học sinh
khá, học sinh giỏi toán và giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
Là một giáo viên dạy toán, tôi luôn tự học tập và nâng cao năng lực chuyên
môn, học hỏi kinh nghiệm của những người thầy có tuổi nghề đáng kính, học
bằng nhiều kênh khác nhau, kể cả qua những thế hệ học sinh giỏi toán, qua
nhiều năm tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi toán tôi tự nhận thấy rằng: Vấn đề
nâng cao chất lượng học sinh giỏi toán, bồi dưỡng học sinh có khả năng tư duy
sáng tạo, vận dụng tốt các kiến thức lí thuyết đã học, phát huy tốt năng lực bản
thân trong giải toán và học toán là một vấn đề không hề đơn giản.
Giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, công việc quan trọng nhất
là định hướng để tìm ra cách giải, có nhiều bài toán khó đòi hỏi người giải phải
tìm ra nhiều phương án, nhiều thao tác, huy động nhiều kiến thức trung gian.
Với học sinh lớp 8 vừa mới làm quen với chủ đề “ Phân tích đa thức thành
nhân tử ” thì đây là vấn đề khó khăn thực sự, mà trong thực tế phân tích đa
thức thành nhân tử là một dạng toán khá phổ biến, phạm vi ứng dụng khá rộng
( Thi chọn học sinh giỏi các cấp, thi khảo sát chất lượng cuối kỳ lớp 8, thi vào
THPH và THPT chuyên) và tỉ lệ học sinh làm được trong các nhà trường nhìn
chung và trường bản thân tôi đang dạy nói riêng là còn chậm chạp và chưa tốt.
Vậy làm thế nào để có thể định hướng được tốt cho các em học sinh tìm ra
được lời giải cho từng bài toán, dạng toán cụ thể về phân tích một đa thức
thành nhân tử, là điều tôi băn khoăn trăn trở trong suốt một năm qua khi tham
gia dạy toán học sinh lớp 8 và bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8.

1

Sáng Kiến kinh nghiệm
Nay tôi đưa ra một cách mà tôi đã làm, gọi đó là: Sử dụng nghiệm của đa
thức để phân tích đa thức đó thành nhân tử, đã góp phần giúp các em định
hướng tốt hơn khi phân tích tìm lời giải cho bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử.
2) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Tôi đã tiến hành chọn đối tượng học sinh khá giỏi toán trong khối học sinh
lớp 8 của nhà trường với số lượng 10 em, tiến hành khảo sát chất lượng trước
khi tiến hành đề tài.
3) Mục tiêu của đề tài:
Rèn luyện kỹ năng phân tích tìm ra lời giải bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử, phát hiện ra những sai lầm trong quá trình sử dụng phương pháp đó;
kỹ năng trình bày lời giải một bài toán; kỹ năng tìm nghiệm của đa thức; lớn
hơn là phát triển tư duy toán học; tư duy nghiên cứu khoa học.
4) Giả thiết khoa học của đề tài:
Thực hiện tốt đề tài này trước hết là tạo ra hứng thú học và làm toán phân
tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và nâng cao chất lượng học bộ môn
toán trong nhà trường đặc biệt là học sinh giỏi toán, tạo ra một thế hệ học sinh
giỏi toán trong tương lai cho học sinh THPT.
5) Phương pháp nghiên cứu:
- Điều tra khảo sát chất lượng học sinh giỏi toán.
- Phân tích các nguyên nhân dẫn tới chất lượng học sinh làm bài còn thấp.
- Tổng hợp các nguyên nhân, đánh giá cụ thể và tiến hành đề tài.
- Khảo sát điều tra cụ thể sau khi tiến hành đề tài.
- Đánh giá lại hiệu quả của đề tài , khái quát và nhân rộng đề tài.
6) Đóng góp về mặt khoa học của đề tài.
Thực hiện tốt đề tài này sẻ góp phần nâng cao chất lượng học toán cho học
sinh trường THCS, góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi toán , phát
2

Sáng Kiến kinh nghiệm
triển tư duy toán học; tư duy trừu tượng cho học sinh.Tạo ra một thế hệ học
sinh giỏi toán cho hiện tại và tương lai.
II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: :
1) Cơ sở lý luận:
Đảng và nhà nước ta luôn coi trọng việc phát triển giáo dục và đào tạo và
coi đó là quấc sách hàng đầu, phát triển giáo dục và đào tạo làm nền tảng cho
sự phát kiển kinh tế xã hội. Nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường
trở nên cấp thiết hơn bao giờ hết, đó là cốt lỏi của vấn đề.
Bộ môn toán trong nhà trường THCS là bộ môn khoa học cơ bản đóng một
vai trò quan trọng, phân tích đa thức thành nhân tử chiếm một tỉ lệ khá lớn và
nó lại là phần quyết định khảnh định sự thành công của học toán. Việc học tốt
các phương pháp phân tích đa thức thành nhân sẻ tạo ra tiền đề cho học sinh
giỏi toán trong tương lai gần, rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức
thành nhân tử sử dụng nghiệm của đa thức là việc nên làm vì nó tạo ra cho các
em một thoi quen, một sự phản xạ đúng hướng, phát hiện nhanh vấn đề, sử
dụng nghiệm như là chọn điểm rơi, trong cuộc sống đây là cách làm thường
ngày cho những học sinh có tính kỹ luật, có tư duy phát tiển tốt và có hoài bảo
lớn. Vừa tạo ra sự tự tin trong học toán vừa rèn luyện kỹ năng phân tích , đánh
giá, chọn lựa những phương án, những kết quả phù hợp với bài toán từ đó lật
ngược lại vấn đề để giải một bài toán, đây cũng là một cách trau dồi tư duy,
phát triển tư duy toán học, tư duy khoa học trong tương lai.
2) Cơ sở thực tiển:
Thực tế trong nhà trường THCS việc các em học sinh lớp 8 còn thiếu rất
nhiều kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử là đúng vì nhiều lý do,
tuy nhiên trong đó phải khẳng định rằng đây là bài toán khá khó và quan trọng
và phạm vi ứng dụng lại rộng lớn. Thực tế cho thấy việc giải được những bài
toán khó lại khẳng định sự vượt trội về khả năng tư duy của mỗi học sinh so

với các em học sinh khác.
3


Sáng Kiến kinh nghiệm
Từ thực tế cho thấy giáo viên giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi còn gặp rất
nhiều khó khăn về chương trình và tài liệu, tài liệu về toán rất đa dạng và
phong phú tuy nhiên còn thiếu tính vừa sức, tính chuẩn.
Theo quy định thì hiện tại không phổ biến các lớp chuyên toán cho học sinh
lớp 8 cấp THCS nhưng vấn đề nâng cao chất lượng đội ngủ học sinh giỏi toán
không thể không tiến hành. Chính vì vậy là một giáo viên dạy toán cấp THCS
tôi đã tiến hành khảo sát, tổng hợp, báo cáo lên ban giám hiệu tiến hành xin
phép thực hiện đề tài này nhằm nâng cao chất lượng đội ngủ học sinh giỏi
toán.
3) Kết quả trước và sau thực hiện đề tài:
Tôi dã tiến hành khảo sát chọn 10 em học sinh giỏi toán vào một đội tuyển và
tiến hành thực hiên đề tài.
Thực hiện đề tài / xếp loại
Trước khi thực hiện đề tài
Sau khi thực hiện đề tài

Giỏi
1 (em)
5 (em)

Khá
3 (em)
4 (em)

4) Các biện pháp đã thực hiện:

* x0 là một nghiệm của đa thức f ( x) khi và chỉ khi f ( x0 ) = 0 .
* Nếu f ( x) có một nghiệm x0 thì f ( x) = ( x − x0 ) G(x)
(với G( x) là đa thức biến x )
Bài toán1:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a ) f ( x) = x 2 − 3 x + 2
b) f ( x ) = x 2 + 3 x + 2
c) f ( x) = 6 x 2 − 5 x + 1
d) f ( x ) = 12 x 2 − x − 1

4

Trung bình
6 (em)
1 (em)


Sáng Kiến kinh nghiệm
Lời
giải:
Lời giải:
a ) f ( x) = x 2 − 3 x + 2
= x2 − x − 2 x + 2

(

)

= x 2 − x + ( −2 x + 2 )
= x ( x − 1) − 2 ( x − 1)

= ( x − 1) ( x − 2 )

- Nhận xét 1: Ta thấy f ( x) = x 2 − 3x + 2 có một nghiệm x = 1 vì
f (1) = 12 − 3.1 + 2 = 0 nên f ( x) có một thừa số là x − 1 . Từ đó ta nghỉ ngay đến

việc tách các hạng tử của đa thức nhằm xuất hiện nhân tử x − 1 hay f ( x) xuất
2
hiện các hạng tử x ( x − 1) = x − x

b) f ( x ) = x 2 + 3 x + 2
= x2 + x + 2 x + 2

(

)

= x2 + x + ( 2 x + 2)
= x ( x + 1) + 2 ( x + 1)
= ( x + 1) ( x + 2 )

- Nhận xét 2: Ta thấy f ( x) = x 2 + 3x + 2 có một nghiệm x = −1 vì
f (1) = ( −1) + 3. ( −1) + 2 = 0 nên f ( x) có một thừa số là x + 1 . Từ đó ta nghỉ ngay
2

đến việc tách các hạng tử của đa thức nhằm xuất hiện nhân tử x + 1 hay f ( x)
2
xuất hiện các hạng tử x ( x + 1) = x + x

c) f ( x) = 6 x 2 − 5 x + 1
= 6 x 2 − 3x − 2 x + 1

= (6 x 2 − 3x ) − (2 x − 1)
= 3 x ( 2 x − 1) − ( 2 x − 1)
= ( 2 x − 1) ( 3x − 1)

6


Sáng Kiến kinh nghiệm
- Nhận xét 3: Ta thấy f ( x) = 6 x 2 − 5 x + 1 có một nghiệm x =

1
vì
2

2

1
1 1
1
f ( ) =  ÷ − 5.  ÷+ 1 = 0 nên f ( x) có một thừa số là x − . Từ đó ta nghỉ
2
2 2
2

ngay đến việc tách các hạng tử của đa thức nhằm xuất hiện nhân tử
x−

1 1
= ( 2 x − 1) hay f ( x) xuất hiện các hạng tử x ( 2 x − 1) = 2 x 2 − x hay là làm
2 2

2
xuất hiện các hạng tử 3x ( 2 x − 1) = 6 x − 3x .

d) f ( x ) = 12 x 2 − x − 1
= 12 x 2 + 3 x − 4 x − 1
= (12 x 2 + 3 x) − (4 x + 1)
= 3 x(4 x + 1) − (4 x + 1)
= (4 x + 1)(3 x − 1)

Bài toán2:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a ) f ( x) = x 3 + 2 x − 3

b) f ( x ) = x 3 − 7 x + 6

c) f ( x) = x 3 + 5 x 2 + 8 x + 4

d) f ( x ) = x 3 − 9 x 2 + 6 x + 16

Lời giải:
a ) f ( x) = x 3 + 2 x − 3 = x 3 − x 2 + x 2 − x + 3 x − 3

(

) (

)

= x 3 − x 2 + x 2 − x + ( 3 x − 3)

= x 2 ( x − 1) + x ( x − 1) + 3 ( x − 1)

(

= ( x − 1) x 2 + x + 3

)

- Nhận xét 4: Ta thấy f ( x) = x3 + 2 x − 3 có một nghiệm x = 1 vì
f (1) = 13 + 2.1 − 3 = 0 nên f ( x ) có một thừa số là x − 1 . Từ đó ta nghỉ ngay đến

việc tách các hạng tử của đa thức nhằm xuất hiện nhân tử x − 1 hay f ( x) xuất
2
3
2
hiện các hạng tử x ( x − 1) = x − x nên ta có thể tách

.
7


Sáng Kiến kinh nghiệm
b) f ( x ) = x 3 − 7 x + 6
= x3 − x 2 + x 2 − x − 6 x + 6

(

) (

)

= x 3 − x 2 + x 2 − x − 6 ( x − 1)
= x 2 ( x − 1) + x ( x − 1) − 6 ( x − 1)

(

= ( x − 1) x 2 + x − 6

)

= ( x − 1) ( x − 2 ) ( x + 3)

( Vì đa thức có nghiệm x = 1 )

c) f ( x) = x 3 + 5 x 2 + 8 x + 4

(

) (

)

= x3 + x 2 + 4 x 2 + 4 x + ( 4 x + 4 )
= x 2 ( x + 1) + 4 x ( x + 1) + 4 ( x + 1)

(

)

= ( x + 1) x 2 + 4 x + 4 = ( x + 1) ( x + 2 )

2

( Vì đa thức có nghiệm x = −1 )

d) f ( x ) = x 3 − 9 x 2 + 6 x + 16

(

) (

)

= x 3 + x 2 + −10 x 2 − 10 x + ( 16 x + 16 )
= x 2 ( x + 1) − 10 x ( x + 1) + 16 ( x + 1)

(

)

= ( x + 1) x 2 − 10 x + 16 = ( x + 1) ( x − 2 ) ( x − 8 )

( Vì đa thức có nghiệm x = −1 )
Bài toán3:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) A = a 2 ( b − c ) + b 2 ( c − a ) + c 2 ( a − b )
b) B = ( a + b + c ) − a 3 − b3 − c 3
3

c) C = a ( a + 2b ) − b ( 2a + b )

3

d )D = a ( b + c )

2

3

( b − c) + b ( c + a) ( c − a) + c ( a + b) ( a − b)
2

2

Lời giải:

(

a ) A = a 2 ( b − c ) + bc ( b − c ) − a b 2 − c 2

(

= ( b − c ) a 2 + bc − ab − ac

)

)
7


Sáng Kiến kinh nghiệm

(

)

= ( b − c )  a 2 − ab − ( ac − bc ) 
= ( a − b) ( b − c) ( a − c)
2
2
2
- Nhận xét 5: Ta thấy A = a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) xem như đa thức với

biến b còn a, c là những số cho trước ( tham số). Với b = c thì
A = a 2 ( c − c ) + c 2 ( c − a ) + c 2 ( a − c ) = 0 nên A có một thừa số là b − c . Từ đó ta

nghỉ ngay đến việc tách các hạng tử của đa thức nhằm xuất hiện nhân tử b − c
2
Và nghỉ đến việc dữ lại hạng tử a ( b − c ) .
2
2
2
Nên có thể tách như trên A = a ( b − c ) + bc ( b − c ) − a ( b − c )

b) B = ( a + b + c ) − a 3 − b3 − c 3 = ( a + b ) + c  − a 3 − b 3 − c 3
3

3

= ( a + b ) + c 3 + 3c ( a + b ) ( a + b + c ) − a 3 − b3 − c 3
3

= a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) + c 3 + 3c ( a + b ) ( a + b + c ) − a 3 − b 3 − c 3
= 3ab ( a + b ) + 3c ( a + b ) ( a + b + c )

(

= 3 ( a + b ) ab + ac + bc + c 2

)

= 3 ( a + b )  a ( b + c ) + c ( b + c ) 
= 3( a + b) ( b + c ( c + a ) )
3
( Vì nếu xem đa thức B = ( a + b + c ) − a 3 − b3 − c 3 với biến a còn b, c là tham số

thì đa thức trên có nghiệm là a = −b . Từ đó giúp ta nghĩ đến việc là xuất hiện
nhân tử a + b )
c) C = a ( a + 2b ) − b ( 2a + b ) = a ( a + b ) + b  − b  a + ( a + b ) 
3

3

3

3

3
3
= a ( a + b ) + b3 + 3b ( a + b ( a + b + b ) )  − b ( a + b ) + a 3 + 3a ( a + b ) ( a + b + a ) 






= ( a + b)

3

( a − b ) − ( ab3 − ba3 ) − 3ab ( a + b ) ( a − b ) = ( a + b ) ( a − b ) ( a + b )

2

+ ab − 3ab 


3
3
( Do đa thức C = a ( a + 2b ) − b ( 2a + b ) với biến a còn b, c là tham số có

nghiệm là a = −b . Làm xuất hiện nhân tử a + b )
8


Sáng Kiến kinh nghiệm
d )D = a ( b + c )

2

( b − c) + b ( c + a) ( c − a) + c ( a + b) ( a − b)

= a ( b + c)

2

( b − c ) − b ( c + a ) ( b − c ) + ( a − b )  + c ( a + b ) ( a − b )

= a ( b + c )


2

2

2

2

2

( b − c ) − b ( c + a ) ( b − c )  + c ( a + b ) ( a − b ) − b ( c + a ) ( a − b ) 
2

2

2

2
2
2
2

= ( b − c )  a ( b + c ) − b ( c + a )  + ( a − b ) c ( a + b ) − b ( c + a ) 





(

)

(

= ( b − c ) ab 2 + ac 2 − bc 2 − ba 2 + ( a − b ) ca 2 + cb 2 − bc 2 − ba 2

)

= ( b − c )  −ab ( a − b ) + c 2 ( a − b )  + ( a − b )  − a 2 ( b − c ) + bc ( b − c ) 

(

= ( b − c ) ( a − b ) c 2 + bc − ab − a 2

)

= ( a − b) ( b − c) ( c − a ) ( a + b + c)

( Vì đa thức D = a ( b + c ) ( b − c ) + b ( c + a ) ( c − a ) + c ( a + b ) ( a − b ) coi như biến
2

2

2

chỉ là a còn b, c là tham số thì nó có nghiệm là a = b; a = c )
* Việc thử nghiệm của đa thức rất dễ dàng tuy nhiên để đảm bảo thứ tự hợp lý
ta nên tiến hành thứ tự như sau:
Nếu P(a; b; c) = P(a; c; b) = P(b;a;c) = P(b;c;a) = P(c;a; b) = P(c; b;a) thì P gọi là đa
thức đối xứng. Nếu coi đa thức đối xứng P(a; b; c) có biến a còn b, c tham số
Nếu a = b là nghiệm thì P có nhân tử a − b
Nếu a = −b là nghiệm thì P có nhân tử a + b
Nếu a = b + c là nghiệm thì P có nhân tử a − b − c
Nếu a = −b + c là nghiệm thì P có nhân tử a + b − c …
Bằng cách này ta tìm được một nhân tử của đa thức, từ đó tìm cách tách các
hạng tử của đa thức và đồng thời lưu ý dữ nguyên nhân tử tìm được.
Bài toán4:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

(

)

(

)

(

)

A = a b 2 + c 2 + b c 2 + a 2 + c a 2 + b 2 − 2abc − a 3 − b 3 − c 3

Phân tích: Nếu thay a = b − c vào đa thức A thì A = 0 , nên A có một nhân tử là
a−b+c
9


Sáng Kiến kinh nghiệm
Lời giải:

(

)

(

)

(

)

A = a b 2 + c 2 + b c 2 + a 2 + c a 2 + b 2 − 2abc − a 3 − b 3 − c 3
= a ( b + c ) − 2abc + b ( a + c ) + 2abc + c ( a − b ) − 2abc − a 3 − b3 − c 3
2

2

2

= a  ( b − c ) − a 2  + b  ( c + a ) − b 2  + c ( a − b ) − c 2 







2

2

2

= a ( b − c + a) ( b − c − a) + b ( a + c − b) ( a + b + c) + c ( a − b − c) ( a − b + c )
= −a ( b − c + a ) ( a − b + c ) + b ( a − b + c ) ( a + b + c ) + c ( a − b − c ) ( a − b + c )
= ( a − b + c )  −a ( b − c + a ) + b ( a + b + c ) + c ( a − b − c ) 

(

= ( a − b + c ) −ab + ac − a 2 + ab + b 2 + bc + ac − bc − c 2

)

2
= ( a − b + c ) b 2 − ( c − a )  = ( a + c − b ) ( b + a − c ) ( c + b − a ) .



* Việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt sẻ tạo điều kiện thuận
lợi cho giải quyết dạng toán, bài toán khác. Ví dụ bài toán sau đây!
Bài toán5: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn ( a + b + a ) ( ab + bc + ca ) = abc .

Tính giá trị biểu thức sau: P = ( a + b + c )

2017

− a 2017 − b 2017 − c 2017

Phân tích:
2
2
Thay a = −b thì ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) − abc = ( −b + b + c ) ( −b + bc − cb ) + b c = 0

Nên đa thức ( a + b + a ) ( ab + bc + ca ) − abc có nhân tử chung là a + b .
Lời giải:
Ta có ( a + b + a ) ( ab + bc + ca ) = abc ⇔ ( a + b ) + c   ab + ( bc + ca )  − abc = 0
⇔ ab ( a + b ) + c ( a + b ) + abc + c 2 ( a + b ) − abc = 0 ⇔ ( a + b )  ab + c ( a + b ) + c 2  = 0
2

a + b = 0
⇔ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0 ⇔ b + c = 0
c + a = 0

Nếu a + b = 0 ⇔ a = −b thì P = ( −b + b + c )
Tương tự: Nếu

b +c = 0

hoặc

c +a =0

10

2017

thì

− (−b) 2017 − b 2017 − c 2017 = c 2017 − c 2017 = 0

P = 0.

Vậy

P = 0.


Sáng Kiến kinh nghiệm
Bài toán6: Cho a > b > c > 0 .
Chứng minh rằng: a 3b 2 + b3 c 2 + c3 a 2 > a 2 b3 + b 2 c 3 + c 2 a 3
Phân tích:
Đa thức P = a 3b 2 + b3 c 2 + c3 a 2 − a 2 b3 − b 2 c3 − c 2 a 3 có biến a có nghiệm
có nghiệm

a =b

và

a =c.

Lời giải:
Ta có: a3b2 + b3 c 2 + c3 a 2 > a 2 b3 + b 2 c3 + c 2 a3

⇔ a 3b 2 + b3 c 2 + c3 a 2 − a 2 b3 − b 2 c 3 − c 2 a 3 > 0
⇔ a 3 b 2 − a 2 b 3 + b3 c 2 − c 2 b3 + c 3 a 2 − c 2 a 3 > 0

(

)

(

)

⇔ a 2 b 2 ( a − b ) + c 2 b3 − a 3 + c3 a 2 − b 2 > 0

(

)

⇔ ( a − b )  a 2 b 2 − c 2 b 2 + ab + a 2 + c 3 ( a + b )  > 0

(

)

(

)

⇔ ( a − b ) a 2 b 2 − b 2 c 2 − abc 2 − a 2 c 2 + c 3 a + c 3b > 0
⇔ ( a − b ) a 2 b 2 − c 2 b 2 + c 3 a − a 2 c 2 + c 3b − abc 2 > 0
⇔ ( a − b ) ( a − c ) ( b − c ) ( ab + bc + ca ) > 0

( Là bất đẳng thức đúng vì a > b > c > 0 )
* Việc sữ dụng nghiệm của đa thức có thể tách và ghép các hạng tử của đa
thức một cách hợp làm cho tiến độ làm bài nhanh hơn rất nhiều khi phân tích
các đa thức thành nhân tử, đây chính là ưu việt của đề tài này.
* Vận dụng phương pháp trên có thể giải quyết được các bài tập tương tự sau:
Bài toán7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b )
3

3

3

b) a 2 b 2 ( a − b ) + b 2 c 2 ( b − c ) + c 2 a 2 ( c − a )
c) a 4 ( b − c ) + b 4 ( c − a ) + c 4 ( a − b )
d) ( a + b + c ) − ( a + b − c ) − ( b + c − a ) − ( c + a − b )
3

3

3

e) abc− ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) − 1
11

3


Sáng Kiến kinh nghiệm

5) Bài học kinh nghiệm:
Từ kết qua trên cho thấy sự thành công rỏ rệt, đồng thời tôi cũng rút ra được
một số kinh nghiệm sau:
Việc tiến hành đề tài cần chọn những học sinh khá giỏi, đối tượng là học sinh
giỏi toán trong tương lai.
Giáo viên cần sắp xếp thời gian hợp lý để thực hiện đề tài, giống như dạy
một chuyên đề thì hiệu quả sẻ cao hơn.
Khi thực hiện đề tài này đã có những em phát triển kỹ năng trình bày, kỹ
năng tư duy toán học, sử dụng máy tính, phán đoán để tìm nghiệm của đa thức.
Bằng cách này hàng năm đã có nhiều thế hệ học sinhgiỏi toán, các em phát
triển tư duy tốt, nhiều em đậu học sinh giỏi toán các cấp, vào được lớp chuyên
toán cấp THPT.
III – KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
1) Kết luận:
Trên đây là toàn bộ nội dung sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng nghiệm của
đa thức để phân tích đa thức đó thành nhân tử, là suy nghỉ cũng như việc
làm của bản thân tôi khi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8 cấp THCS. Tôi
thiết nghỉ đây là một việc làm cần thiết trong nghề dạy học, cần phải cố gắng
nhiều hơn nữa mới có thể có những kinh nghiệm thực sự tốt. Phải tự học nâng
cao chất lượng chuyên môn, trau dồi phương pháp. Riêng về phần học sinh
giỏi toán cần tuyệt đối ngăn chặn những sai lầm thường mắc phải, bằng cách
kiểm tra, uốn nắn thường xuyên, cách tốt nhất là tự học, biết chọn nghiệm của
đa thức như là chọn điểm rơi khi phân tích tìm tòi lời giải một bài toán.
Mặc dù đã có những thành công trên đối tượng học sinh giỏi toán lớp 8 như
đã nêu. Tuy nhiên đề tài này còn không tránh khỏi những hạn chế, rất mong
các bạn đồng nghiệp, bạn đọc yêu toán góp ý chân thành. Tôi xin chân thành
cảm ơn !
2) Kiến nghị đề xuất: Các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt nên chăng
phổ biến rộng rải hơn.

TP. Hà Tĩnh ngày 4 tháng 4 năm 2017
12


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG

TÁC GIÃ SÁNG KIẾN

Nguyễn Văn Bằng
Kiều Đình Truyền

13


BÁO CÁO TÓM TẮT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2016 – 2017
Họ và tên: Nguyễn Văn Bằng.
Chức vụ: Tổ phó tổ chuyên môn
Trương THCS Quang Trung – TP Hà Tĩnh.
1. Tên sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng nghiệm của đa thức để phân tích đa
thức đó thành nhân tử.
2. Mô tả ngắn gọn các phương pháp cũ thường làm.
Trên thực tế việc ra đề thi toán ( Thi khảo sát chất lượng cuối kỳ; Thi chọn
học sinh giỏi toán các cấp: Thành phố, Tỉnh, …; Thi vào lớp 10 THPT và THPT
chuyên). Có nhiều nội dung hoặc trực tiếp hoặc gián tiếp liên quan đến phân tích
đa thức thành nhân tử. Việc giải bài toán dạng này nói chung là không phải quá
khó tuy nhiên học sinh mất rất nhiều thời gian vì khâu định hướng. Hầu hết học
sinh thường mò mẫm, tìm ngẫu nhiên từ đó dẫn đến những sai lầm rất đáng tiếc
hoặc không thể tìm được lời giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử hoặc

sử dụng bài toán trung gian phân tích đa thức thành nhân tử.
3. Mục đích của giải pháp.
Để khắc phục những sai lầm thường mắc phải và phân tích tìm lời giải bài
toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách hiệu quả. Chọn cách xác định
nhân tử trước rồi từ đó tách ghép các hạng tử. Với cách này đảm bảo phân tích
cũng như định hướng phân tích đa thức thành nhân tử một cách chính xác khoa
học, nhờ đó mà phân tích tìm tòi lời giải bài toán phân tích đa thức thành nhân
tử gặp nhiều thuận lợi hơn.
4. Phần mô tả sáng kiến kinh nghiệm.
4.1 Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm gồm:
A – Phần mở đầu.
B – Phần nội dung.
I) Thực trạng vấn đề.
1) Lý do chọn đề tài.
2) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
3) Mục tiêu của đề tài


4) Giã thiết khoa học của dề tài.
5) Phương pháp nghiên cứu.
6) Đóng góp về mặt khoa học của đề tài.
II) Giải quyết vấn đề.
1) Cơ sở lý luận.
2) Cơ sở thực tiển.
3) Các biện pháp thực hiện.
4) Bài học kinh nghiệm.
III) Kết quả đạt được.
1) Kết quả trước và sau khi thực hiện đề tài:
2) Kết luận, kiến nghị và đề xuất.
C – Phần kết luận:

4.2 Thuyết minh tính mới sáng tạo:
Có tính mới đó là chọn được kết quả phù hợp, chính xác, từ đó phân tích tìm lời
giải thống nhất với kết quả đó.
4.3 – Thuyết minh về hiệu quả mang lại.
Khắc phục được những sai lầm khi mò mẫm về đường lối phân tích đa thức
thành nhân tử và giúp học sinh phân tích tìm tòi lời giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử.
4.4 Thuyết minh về lợi ích kinh tế , xã hội của sáng kiến.
Rút ngắn được thời gian phân tích tìm tòi lời giải bài toán, tính chính xác khoa
học cao.
4.5 Thuyết minh về tính khả thi, khả năng phổ biến nhân rộng.
Hoàn toàn khả thi, sử dụng phổ biến trong hướng dẫn các đối tượng học sinh từ
đại trà đến học sinh giỏi các cấp sử dụng.
5. Cam kết không sao chép, vi phạm bản quyền.
Tôi xin cam đoan các giải pháp mà tôi trình bày trong sáng kiến không sao chép
bất kỳ tài liệu nào.
Thành phố Hà Tĩnh ngày 4 tháng 4 năm 2017
Tác Giã sáng kiến
Nguyễn Văn Bằng


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc.
TP. Hà Tĩnh, ngày 4 tháng 4 năm 2017
Kính gữi: Hội đồng xét, công nhận sáng kiến thành phố Hà Tĩnh.
1. Tên sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng nghiệm của đa thức để phân tích
đa thức đó thành nhân tử.
2. Tác giã sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Văn Bằng
- Địa chỉ: Trường THCS Quang Trung – TP. Hà Tĩnh

- Điện thoại: 0914320777
- Gmail:
3. Lĩnh vự áp dụng sáng kiến: Toán học
4. Ngày sáng kiến được áp dụng thử nghiệm lần đầu.
Tháng 9 năm 2016
5. Hồ sơ kèm theo.
- 03 bản báo cáo sáng kiến.
( 02 bản báo cáo sáng kiến bìa màu vàng, 01 bản bìa màu đỏ).
Tôi viết đơn này kính trình Hội đồng xét và công nhận sáng kiến kinh
nghiệm dự xét danh hiệu chiến sĩ thi đua cấp cơ sở.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG.

Kiều Đình Truyền

TÁC GIÃ SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM

Nguyễn Văn Bằng


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HÀ TĨNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:
SỬ DỤNG NGHIỆM CỦA ĐA THỨC ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA
THỨC ĐÓ THÀNH NHÂN TỬ

Họ và tên: Nguyễn Văn Bằng
Đơn vị: Trường THCS Quang Trung

Năm học 2016 – 2017