Công thức chương dao động cơ dao động điều hoà chi tiết nhất

Biên soạn : Thầy Mỹ

ĐT: 0913.540.971

CHƯƠNG I – DAO ĐỘNG CƠ
BÀI 1 : DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
1) Phương trình dao động điều hoà :

Phương trình x = A cos ( ωt + ϕ ) được gọi là phương trình của dao động điều hòa.
Trong phương trình này, người ta gọi :
* A là biên độ dao động. Nó là độ lệch cực đại của vật. Vì thế biên độ dao động là một số
dương. Điểm P dao động qua lại giữa hai vị trí biên P 1 (có x = A) và P2 (có x = - A ).
* ( ωt + ϕ ) là pha của dao động tại thời điểm t. Nó có đơn vị là rad.
Với một biên độ đã cho thì pha là đại lượng xác định vị trí và chiều chuyển động của vật tại
thời điểm t.
* ϕ là pha ban đầu của dao động, có thể dương hoặc âm hoặc bằng 0.
+ x = A cos( ωt + ϕ ) , trong đó A, ω và ϕ là các hằng số.
+ Li độ (x) : là độ lệch của vật ra khỏi VTCB hay khoảng cách từ vật đến vị trí cân bằng .
( VTCB là vị trí lúc vật đứng yên ).
+ Biên độ (A) : là li độ cực đại , x = A
+ “ rồi buông” , “ rồi thả” → A = x

2) Dao động điều hoà và hình chiếu :
- Ta nhận thấy, giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều có một mối liên hệ, thể hiện
như sau : Điêm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình
chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó.
- Đối với phương trình dao động điều hòa x = A cos ( ωt + ϕ ) ta quy ước chọn trục x làm gốc để
tính pha của dao động và chiều tăng của pha tương ứng với chiều tăng của góc P· OM trong
1

chuyển động tròn đều (tức là ngược chiều quay của kim đồng hồ.

- Xét một điểm M chuyển động tròn đều với tốc độ v trên đường tròn tâm O bán kính R, hình
chiếu của điểm M trên một trục ( đường kính ) là một dao động điều hòa với
+ Biên độ : A = R
+ Vận tốc : V = Vmax = ωR = ωA
+ Góc quét : ϕ = ωt hay ta có thể đặt : Φ = ( ωt + ϕ ) là góc pha ở thời điểm t.
x
−1  x 
Nếu cần tính góc pha ở thời điểm thì : Φ = ( ωt + ϕ ) = arccos  ÷ = cos  ÷
 A
 A

3) Chu kì ( kí hiệu là T)
+ Chu kỳ của dao động điều hòa là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần.
+ Đơn vị của chu kì là giây (s).
+ Chu kì : (T)
* Là khoảng thời gian ngắn nhất mà sau đó trạng thái dao động lặp lại như cũ
* Trong một khoảng thời gian t(s) vật thực hiện được N dao động toàn phần thì chu kì được tính
t
là T = (s)
N
1


+N =

t
: số dao động toàn phần ( số chu kì )
T

4) Tần số (kí hiệu là f)

+ Tần số của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây. Đơn
vị của tần số là một trên giây (1/s), gọi là héc (kí hiệu là Hz).
+ Tần số : f (Hz) : Số dao động toàn phần mà thực hiện được trong 1 (s)
1 N
f = = ( Hz )
T
t

5) Tần số góc :

Như đã biết trong chuyển động tròn đều, giữa tốc độ góc ω , chu kì T và tần số f có mối liên
hệ :
2π
ω=
= 2π f
T
Trong dao động điều hòa, ω được gọi là tần số góc. Nó cũng có đơn vị là rađian trên giây
(rad/s) như tốc độ góc. Giữa tần số góc, chu kì và tần số cũng có mối liên hệ tương tự :
2π
ω=
= 2π f
T
+ Tần số góc : ω (rad / s)
Là đại lượng trung gian cho phép xác định chu kì và tần số
2π 1
2π
ω 1
→T =
=
ω=

= 2πf
→ f =
=
ω
f
T
2π T

6) Vận tốc
Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian :
v = x ' = −ω A sin ( ωt + ϕ )
Ta thấy vận tốc là đại lượng biến thiên điều hòa.
- Ở vị trí biên, x = ± A thì vận tốc bằng 0.
- Ở vị trí cân bằng , x = 0 thì vận tốc có độ lớn cực đại : vmax = ω A .
π

+ v = x , = − Aω sin ( ωt + ϕ ) = ω A cos  ωt + ϕ + ÷
2

π
+ v = x , → vận tốc (v) sớm pha hơn li độ (x) một góc
(Vuông pha )
2
+ v = 0 → x = A ( Vị trí biên )
+ Vmax = ωA → x = 0 ( VTCB)
+ Như vậy, vận tốc biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số f, tần số góc ω , chu kì T.

7) Gia tốc
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian :
a = v ' = −ω 2 A cos ( ωt + ϕ )

a = −ω 2 x
Công thức trên cho thấy :
- Gốc tọa độ O là vị trí cân bằng của vật vì khi x = 0 thì gia tốc a = 0 và hợp lực F = 0.
- Gia tốc luôn luôn ngược dấu với li độ (hay véctơ gia tốc luôn luôn hướng về vị trí cân bằng)
và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ
+ a = v , = x ,, = − Aω 2 cos( ωt + ϕ ) = − ω 2 x
2
+ a = ω A cos ( ωt + ϕ + π )

+ Gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng và có độ lớn tỉ lệ với li độ (x).
2


2
+ Gia tốc cực đại : amax = ω A .
+ a = 0 → x = 0 : VTCB
+ a = amax → x = A : Vị trí biên
+ a = x ,, → Gia tốc (a) ngược pha với li độ (x) hay nói đúng là gia tốc (a) sớm pha hơn li độ
một góc π .
π
+ a = v , → Gia tốc (a) sớm pha hơn vận tốc (v) một góc
(Vuông pha ) , nói “chung chung”
2
π
gia tốc và vận tốc lệch pha nhau một góc .
2

8) Các công thức độc lập :
Nếu đại lượng a là đạo hàm cấp 1 của đại lượng b thì đại lượng a sớm pha hơn đại lượng b
π

một góc và lúc đó, chắc chắn có công thức độc lập của a và b. Cách viết :
2
2
2
x2
v2
 a   b 

÷ +
÷ = 1 → A2 + v 2 = 1
max
 amax   bmax 
- Công thức độc lập dạng 1 ( CT liên hệ giữa biên độ, li độ, vận tốc ) :
2
v
+ A2 = x 2 +   → v 2 = ω 2 ( A 2 − x 2 )
ω 
+ Công thức khác : v = vmax

x
1−  
 A

2

a2
v2
+
=1
2

2
amax
vmax
- Công thức độc lập dạng 2 ( CT liên hệ giữa biên độ, vận tốc, gia tốc )
→

2

2
v a
A =  + 4
ω  ω
a2
2
→ vmax
= v2 + 2
ω
x
→ a = amax
A
2

10) Các chú ý cần nhớ :
– Nếu vật dao động điều hòa trên quỹ đạo là một một đoạn thẳng có chiều dài L thì biên độ :
L
A = → L = 2 A = P1P2.
2
– Trong một chu kì vật đi được quãng đường S = 4A .
- Quãng đường trong nửa chu kỳ : S = 2A.
- Quãng đường trong 0,25 chu kỳ : S = A.

t
+ Quãng đường vật đi được trong thời gian t : S = N.4A = .4 A .
T
2
– Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì : V = Vmax
π
– Tốc độ trung bình của vật khi vật đi từ vị trí có li độ x1 đến vị trí có li độ x2 là
x −x
V = 2 1
∆t

3


11) Các thời gian đặc biệt :
a- Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ x = 0(VTCB ) → x = A(biên) hoặc ngược lại là :
T
∆t =
4
A
b- Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 = → x2 = A hoặc ngược lại là
2
T
∆t =
6
A 2
c- Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 =
→ x 2 = A hoặc ngược lại là
2
T

∆t =
8
A 3
d - Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 =
→ x 2 = A hoặc ngược lại là
2
T
∆t =
12
e- Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ x bất kì ( hoặc
ngược lại ) là
1
x
t1 = arcSin  
ω
 A
f– Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi vị trí biên đến vị trí có li độ x bất kì ( hoặc ngược lại
1
x
là : t 2 = arcCos  
ω
 A
- Thời gian ngắn nhất vật đi từ x1 đến vị trí cân bằng và từ x1 đến vị trí biên :
1
x 
- Vật đi từ x1 đến VTCB thì : t1 = arcsin  1 ÷
ω
A
1
x 

- Vật đi từ x1 đến biên thì : t 2 = arccos  1 ÷
ω
A
- Khoảng thời gian trong một chu kỳ vật cách vị trí cân bằng một khoảng :
1
x 
+ Nhỏ hơn x1 là : ∆t = 4.t1 = 4. arcsin  1 ÷
ω
A
1
x 
+ Lớn hơn x1 là : ∆t = 4.t 2 = 4. arccos  1 ÷.
ω
A
- Thời gian ngắn nhất vật đi từ x1 đến x2 :
1
x 
x 
+ ∆t = arccos  2 ÷− arccos  1 ÷
ω
A
A
12) Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất :
T
– Trong khoảng thời gian t < , quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật đi được là
2
∆
ϕ




+ S max = 2 ASin
 2 

 ∆ϕ  
 
+ S min = 2 A1 − cos
 2 

Với ∆ϕ = ω∆t : góc quét
4


– Trong khoảng thời gian ∆t >
+ Trong khoảng thời gian n

T
T
T
'
*
'
, tách ∆t = n + ∆t ( n ∈ N );0 < ∆t <
2
2
2

T
quãng đường luôn là (n.2 A)
2

T
thì quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất được tính theo mục 11
2
 ∆ϕ ' 

= n.2 A + 2 A.Sin
 2 

'
+ Trong thời gian ∆t <


S max

Suy ra : 
'
S = n.2 A + 2 A1 − cos ∆ϕ 

 min
2 


13) Cách viết phương trình dao động điều hoà :
Ta có : x = A cos ( ωt + ϕ )
+ Tìm A , ω theo các công thức cơ bản.
+ Tìm ϕ dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán.
Một số diều kiện ban đầu :
+. …, Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương : t = 0, x = 0 , v > 0
π

⇒ϕ = −
2
+…, Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm : t =0, x =0, v < 0
π
⇒ϕ = +
2
+…Chọn gốc thời gian (t = 0) là lúc vật ở vị trí biên dương ( x = A, v = 0) ⇒ ϕ = 0
+ …, Chọn gốc thời gian (t = 0) là lúc vật ở vị trí biên âm ( x = - A, v = 0) ⇒ ϕ = π
+ …, Chọn gốc thời gian ( t = 0) là lúc vật đi qua vị trí có li độ x0 ( x0 > 0 hoặc x0 < 0) và có
−v0
vận tốc v0 ( v0 > 0 hoặc v0 < 0) thì pha ban đầu ϕ được tính theo công thức : tan ϕ =
ω x0
14) Cần tính pha của li độ (x) tại hai thời điểm :
Cần tính pha của li độ (x) tại hai thời điểm ta dùng các công thức sau :
+ Đặt Φ = ωt + ϕ : là pha dao động.
+ Ở thời điểm t1 , nếu li độ có giá trị x1 thì pha ở thời điểm t1 (hoặc li độ x1 đang giảm ) :
x 
x 
Φ1 = ( ωt1 + ϕ ) = arccos  1 ÷ = cos −1  1 ÷
 A
 A
+ Ở thời điểm t1 , nếu li độ có giá trị x1 và đang tăng thì pha ở thời điểm t1 :
x 
x 
Φ1 = ( ωt1 + ϕ ) = − arccos  1 ÷ = − cos −1  1 ÷
 A
 A
+ t2 = t1 + ∆t ⇒ Góc quét thêm : ∆Φ = ω∆t
+ Pha ở thời điểm t2 : Φ 2 = Φ1 + ∆Φ ⇒ li độ ở thời điểm t2 : x2 = A cos ( Φ 2 )

BÀI 2: CON LẮC LÒ XO
I) Định nghĩa :
CON LẮC LÒ XO
1. Xét một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m gắn vào đầu của một lò xo có độ
cứng k và có khối lượng không đáng kể ; đầu kia của lò xo được giữ cố định .Vật m có thể trượt
trên một mặt phẳng nằm ngang không có ma sát.
5


2. Vị trí cân bằng của vật là vị trí khi lò xo không biến dạng . Vật sẽ đứng yên mãi ở vị trí này
nếu lúc đầu nó đứng yên.
Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng cho lò xo dãn ra một đoạn nhỏ rồi buông tay , ta thấy vật dao
động trên một đoạn thẳng quanh vị trí cân bằng.
Ta hãy xét xem dao động của vật m (hay của con lắc lò xo) có phải là dao động điều hòa hay
không ?
II – KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO VỀ MẶT ĐỘNG LỰC HỌC
1. Chọn trục tọa độ x song song với trục của lò xo, chiều dương là chiều tăng độ dài l của lò
xo. Chọn gốc tọa độ O tại vị tríuu
rcân bằng. Giả sử vật có li độ x.
ur
Vì trọng lực P và phản lực N của mặt phẳng tác dụng vào vật cân bằng nhau, nên hợp lực
ur
li độ x thì độ biến dạng
F tác dụng vào vật là lực đàn hồi của lò xo. Hơn nữa, ở vị tríurvật cóuu
r
của lò xo cũng bằng x ( ∆l = x ). Do đó lực đàn hồi của lò xo F = −k ∆l có thể viết dưới dạng đại
số như sau : F = - k x
2. Áp dụng định luật II Niu-tơn , ta được :
k
a=− x

m
k
2
3. Đặt ω =
và so sánh công thức (2.2) với công thức (1.4) ta rút ra kết luận : Dao động của
m
con lắc lò xo là dao động điều hòa theo phương trình (1.1). Tần số góc và chu kì của con lắc lò
xo lần lượt là :
k
+ ω=
(rad/s): Tần số góc.
m
+ K = m.ω2
m
+ T = 2π
(s): Chu kỳ.
k
1 k
+f=
(Hz): Tần số.
2π m
+ m (kg) : khối lượng vật nặng.
+ K (N/m) : Độ cứng của lò xo (hay hệ số đàn hồi).
- Chú ý : Nếu hai lò xo ghép :
1 1 1
+ k1 nối tiếp k2 thì độ cứng tương đương : = +
k k1 k2
+ k1 ghép song song k2 thì độ cứng tương đương : k = k1 + k2 .
T 2 ~ m
m


⇒ 2 1
+ Dùng tỉ lệ thuận và nghịch để giải các bài toán thay đổi : T = 2π
k
T ~
k

Con lắc lò xo thẳng đứng :
+ Nếu con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng , ta có
+ ĐKCB : mg = K .∆l
∆l
+ Chu kì riêng: T = 2π
(s).
g
+ Tần số riêng : f =

1
2π

g
(Hz).
∆l

6


+ Tân số góc riêng : ω =

g
(rad/s).

∆l

Trong đó
+ l0 : là chiều dài tự nhiên.
+ lcb : Chiều dài ở vị trí cân bằng.
+ ∆l = lcb − l0 : Độ dãn ở vị trí cân bằng.
g = 9,8 (m/s2) : Gia tốc rơi tự do.
4) Lực kéo về
Lực luôn hướng về vị trí cân bằng gọi là lực kéo về. Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ, là
lực gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa.
- Phương trình lực tác dụng (lực kéo về = hợp lực ) :
+ x = A cos( ωt + ϕ )
→ F = − Kx = − KA cos( ωt + ϕ ) = − mω 2 A cos( ωt + ϕ ) ( N )
2
+ Fmax = KA = mω A( N ) : Lực tác dụng ( lực kéo về) cực đại.
+ Lực kéo về luôn hướng về vị trí cân bằng của vật và có độ lớn tỉ lệ với li độ ; là lực gây ra gia
tốc cho vật dao động điều hoà.
+ Trong dao động điều hòa của một vật, thì li độ, vận tốc, gia tốc và lực hồi phục biến thiên
điều hòa theo thời gian với cùng tần số (cùng tần số góc, cùng chu kì) nhưng biên độ và pha của
chúng thì khác nhau.
III – KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA LÒ XO VỀ MẶT NĂNG LƯỢNG
1) Động năng của con lắc lò xo
1 2
Động năng của con lắc lò xo là động năng của vật m : Wđ = mv
2
2. Thế năng của con lắc lò xo
Ở lớp 10 đã biết, khi lò xo bị biến dạng thì hệ gồm lò xo và vật nhỏ, tức con lắc lò xo, có thế
1
2
năng đàn hồi Wt = k ( ∆l ) . Thay ∆l = x vào, ta có công thức tính thế năng của con lắc lò xo

2
1
2
như sau : Wt = k ( x )
2
3. Cơ năng của con lắc lò xo. Sự bảo toàn cơ năng :
a) Cơ năng của con lắc lò xo là tổng động năng và thế năng của con lắc
1
1
2
2
W = m( v) + k ( x)
2
2
b) Ta có thể chứng minh rằng khi không có ma sát thì cơ năng của con lắc được bảo toàn. Nó
chỉ biến đổi từ dạng thế năng sang động năng và ngược lại. Thật vậy, thay v từ công thức (1.3)
và thay x từ công thức (1.1) vào công thức (2.7) ta được :
1
1
W = mω 2 A2 sin 2 ( ωt + ϕ ) + kA 2 cos 2 ( ωt + ϕ )
2
2
1 2 1
2 2
kết hợp với công thức (2.3), ta được : W = kA = mω A = hằng số.
2
2
Công thức trên cho thấy :
+ Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương của biên độ dao động.
+ Cơ năng của con lắc được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát.

+ Có : x = A cos( ωt + ϕ )
+ v = −ωA sin ( ωt + ϕ )
7


+ x → Wt =

1 2
Kx : Thế năng (đàn hồi của lò xo).
2

1
KA 2 cos 2 ( ωt + ϕ ) (1)
2
1 2
+ v → Wđ = mv : Động năng.
2
1
Wđ = mω 2 A2 sin 2 ( ωt + ϕ ) (2)
2
A
→
W = Wđ + Wt
+
1
1
→ W = KA 2 = mω 2 A2 : Cơ năng (năng lượng).
2
2
1 2 1 2 1

2
2
+ Động năng : Wđ = W − Wt = kA − kx = k ( A − x )
2
2
2
+ Nếu vật dao động điều hòa có li độ x , vận tốc v , gia tốc a, lực F biến thiên với theo thời gian
với chu kì riêng T , tần số f và tần số góc ω thì ta có động năng ( hoặc thế năng ) biến thiên
tuần hoàn với
T
'
+ Chu kì : T = hay Tđộng-năng = 0,5 Tvật .
2
'
+ Tần số : f = 2 f hay fđộng-năng = 2.fvật .
+ Tần số góc : ω ' = 2ω
+ Động năng bằng không ở vị trí biên và cực đại ở VTCB
+ Thế năng bằng không ở VTCB và cực đại ở vị trí biên
1
1 2 1 2
2
+ ở vị trí có li độ x bất kì , định luật bảo toàn cơ năng : W = Wđ + Wt → KA = mv + Kx
2
2
2
A
+ Khi động năng = n lần thế năng, ta có : Wđ = nWt → x = ±
n +1
A


 x = ± 2
+ Khi động năng = thế năng, ta có : Wđ = Wt → 
∆t = k T

8
+ Nếu 2 lần liên tiếp động năng bằng thế năng thì thời gian ngắn nhất là
T
(k = 2 ) → ∆t =
4
+ Tỉ số giữa động năng và thế năng khi vật ở li độ x bất kì :
Wt =

2

Wđ  A 
=   −1
Wt  x 
- CHUYỂN HÓA NĂNG LƯỢNG
Trong quá trình vật dao động điều hòa thì có sự chuyển hóa qua lại giữa động năng và thế
năng, nếu động năng cực đại thì thế năng bằng 0 ( cực tiểu) và ngược lại, nếu thế năng cực
đại thì động năng bằng 0 (cực tiểu), nhưng cơ năng (năng lượng) luôn được bảo toàn (không
đổi) , nghĩa là cơ năng không thay đổi theo thời gian và tỉ lệ với bình phương biên độ dao
1 2
2
động : W = kA → W ~ A .
2
1 2
2
+ Cơ năng (Năng lượng) = Động năng cực đại = thế năng cực đại : W = kA → W ~ A (1)
2

1 2
2
+ Thế năng : Wt = kx ⇒ Wt ~ x (2)
2

8


1 2 1
2
2
2
2
+ Động năng : Wd = mv = k ( A − x ) ⇒ Wd ~ ( A − x )
2
2

Cách viết tỉ lệ thuận :

W
W Wt
= 2 = 2 d 2
2
A
x
A −x

(3)

(*)

4) CHIỀU DÀI CỦA CON LẮC LÒ XO:
+ Gọi l0 là chiều dài tự nhiên của con lắc lò xo
+ Trường hợp con lắc lò xo nằm ngang : ∆l0 = 0 ( ∆l0 : độ dãn của lò xo ở vị trí cân bằng).
+ Chiều dài cực đại của lò xo : lmax = l0 + A
+ Chiều dài cực tiểu của lò xo : lmin = l0 − A
- Trường hợp con lắc lò xo treo thẳng đứng :
mg
+ Khi vật ở VTCB lò xo bị DÃN một đoạn : ∆l0 =
K
l
=
l
+
∆
l
+ Chiều dài của lò xo khi vật ở VTCB : cb 0
0
+ Chiều dài của lò xo ở li độ x : l = l0 + ∆l0 + x
+ Chiều dài cực đại của lò xo : lmax = l0 + ∆l0 + A
+ Chiều dài cực tiểu của lò xo : lmin = l0 + ∆l0 − A
+ Trong 2 trường hợp lò xo nằm ngang và lò xo treo thẳng đứng ta đều có :
lmax − lmin = 2 A

5) THỜI GIAN LÒ XO BỊ NÉN VÀ BỊ DÃN
+ Khi vật ở VTCB lò xo bị dãn một đoạn ∆l0 và độ dãn cực đại khi vật đến vị trí biên là :
∆lmax = ∆l0 + A → A = ∆lmax − ∆l0
1
 ∆l 
+ Thời gian lò xo bị nén trong một chu kì là : t nén = 2  arcCos  0 

 A 
ω
1
 ∆l 
+ Thời gian lò xo bị dãn trong một chu kì : t dãn = T − t nén = T − 2 arcCos  0 
 A 
ω
+ A ≤ ∆l0 → khi dao động lò xo luôn bị dãn
+ Dãn ít nhất ( khi vật ở vị trí cao nhất ) : ∆l0 − A
+ Dãn nhiều nhất ( khi vật thấp nhất ) : ∆l0 + A
+ A > ∆l0 → khi dao động lò xo vừa nén vừa dãn
+ Nén nhiều nhất ( khi vật cao nhất ) : A − ∆l0
+ Không biến dạng khi : x = −∆l0
+ Dãn nhiều nhất ( khi vật thấp nhất ) : ∆l0 + A

+ Khi lò xo có độ dãn ∆l thì độ lớn của li độ là : x0 = ∆l − ∆l0
+ Khi ở vị trí thấp nhất độ dãn của lò xo : ∆lmax = ∆l0 + A
+ Khi vật có tốc độ bằng không và lò xo không biến dạng thì ∆l0 = A
6) LỰC ĐÀN HỒI CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU :
2
+ Con lắc lò xo nằm ngang : Fmax = KA = mω A
Với
k (N/m) : Độ cứng của lò xo (hệ số đàn hồi).
+ A (m) : Biên độ dao động.
+ m (kg) : Khối lượng của vật nặng.
9


+ ω (rad/s) : Tần số góc của vật.
+ Con lắc lò xo treo thảng đứng :

Fmax = K ( ∆l0 + A) = mg + KA : Lực đàn hồi cực đại.
Fmin = K ( ∆l0 − A) = mg − KA : Lực đàn hồi cực tiểu.
Nếu K ( ∆l0 ≤ A) → Fmin = 0
Fcb = K ( ∆l0 )
Với ∆l (m) : Độ dãn ở vị trí cân bằng.
+ Điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa : Lò xo phải thỏa điều kiện giới hạn đàn hồi,
tức là lực đàn hồi của lò xo phải tuân theo định luật Húc ( Hooke) : F đh = k ∆l + x (N) và Lực
ma sát phải bằng “0” : Fms = 0.
7) Các vị trí đặc biệt trong dao động điều hoà :
Ta có sơ đồ minh họa sau đây :
Vị trí cân bằng (O)
Li độ x
0
Vận tốc (tốc độ) : v
vmax = ωA
Gia tốc : a
0

Vị trí biên (A ; - A)
A;-A
V=0
amax = ω2 A

Lực kéo về : Fk – về

0

Fmax = kA= mω2 A

Động năng : Wđ

Wđ-max = W :
1
1
Wd = kA 2 = mω2 A 2
2
2
=0

Wt = 0

Thế năng : Wt

Wt-max = W
1
1
Wt = kA 2 = mω2 A 2
2
2

8) CẮT VÀ GHÉP LÒ XO :
CẮT LÒ XO
Giả sư lò xo có cấu tạo đều, chiều dai tự nhiên l0 , độ cứng K0 , được cắt thành nhiều lò xo khác
nhau ( nhiều đoạn ), ta có :
S
K = E ⇒ Kl = ES = const
l
+ E : suất đàn hồi ( suất Y – âng )
k0l0 = k1l1 = k 2l2 = ... = k nln
→

l0 = l1 + l2 + ... + ln
+ Nếu cắt lò xo thành 2 lò xo thì k 0l0 = k1l1 = k 2l2
k 0 l0

k1 = l

1
→
k = k 0 l0
 2
l2
+ Nếu đúng lúc con lắc đi qua vị trí có li độ x, giữ cố định một điểm trên lò xo thì phần thế
1 2 l
năng bị nhốt lại là : Wloss = Kx . 2
2
l
1
1
1 2 l 
'
2
2
+ Phần cơ năng còn lại : W = W − Wloss ⇔ K1 A1 = KA − Kx . 2 
2
2
2
l 
10


l
k1l1 = kl ⇒ k1 = k 
l1 

+ Kết luận : Cơ năng còn lại ( Sau) bằng cơ năng lúc đầu trừ đi phần thế năng bị mất ( nhốt ) ở
đoạn lò xo bị giữ .

BÀI 3 : CON LẮC ĐƠN
I- Định nghĩa :
1. Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây không dãn, khối lượng
không đáng kể, dài l.
2. Vị trí cân bằng của con lắc là vị trí mà dây treo có phương thẳng đứng. Con lắc sẽ đứng yên
mãi ở vị trí này nếu lúc đầu nó đứng yên. Kéo nhẹ quả cầu cho dây treo lệch khỏi vị trí cân
bằng một góc rồi thả ra, ta thấy con lắc dao động quanh vị trí cân bằng trong mặt phẳng thẳng
đứng đi qua điểm treo và vị trí ban đầu của vật.
- Các đại lượng đặc trưng :
+ α : li độ góc (góc hợp bởi dây treo và phương thẳng đứng khi con lắc ở vị trí bất kì )
+ α 0 : biên độ góc (góc hợp bởi dây treo và phương thẳng đứng khi con lắc ở vị trí biên.
+ s : li độ dài (li độ cong).
+ s0 : biên độ dài (biên độ cong).
 s = lα
+ Liên hệ : 
 s0 = l α 0

II- CHỨNG MINH CON LẮC ĐƠN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
- Khi li độ góc bé α ≤ 100
- Phương trình động lực học của con lắc đơn có dạng : s '' + ω 2 s = 0 (*). Nghiệm của phương
trình này có dạng : s = s0 cos( ωt + ϕ ) . Vậy con lắc đơn dao động điều hòa với
+ Chu kì riêng : T = 2π

l
(s)
g

g
( Hz )
l
g
+ Tần số góc riêng : ω =
(rad / s )
l
trong các công thức trên, thì
+ l(m) : Chiều dài sợi dây treo con lắc.
+ g = 9,8 (m/s2) : Gia tốc rơi tụ do.
- Con lắc đơn được ứng dụng để đo gia tốc rơi tự do g.

+ Tần số riêng : f =

1
2π

3) Các hệ thức độc lập theo thời gian :
2

(

v
s02 = s 2 +   → v 2 = ω 2 s02 − s 2
ω 

)

4) Vận tốc của con lắc đơn ở li độ góc α :
v 2 = 2 gl ( cos α − cos α 0 )
+ Ở vị trí cân bằng α = 0 , Vmax
+ Ở vị trí biên , α = α 0 ⇒ v = 0

5) Lực căng dây treo của con lắc đơn :
11


τ = mg ( 3 cos α − 2 cos α 0 )

+ τ max khi con lắc ở VTCB (vị trí thấp nhất) → α = 0 → τ max = mg ( 3 − 2 cos α 0 )
+ τ min khi con lắc ở vị trí biên (vị trí cao nhất) → α = α 0 → τ min = mg ( cos α 0 )

α2
cos
α
=
1
−

2 → τ = mg 1 − 1,5α 2 + α 2
0
+ Khi góc bé ( α ≤ 10 ) 
0
2
cos α = 1 − α 0

0

2
2
+ τ max = mg 1 + α 0

(

(

)

)

 α 02 
1 −

τ
=
mg
+ min
2 

* Nếu góc bé, cài máy tính ở chế độ tính toán là : Rad, bấm máy hàm cos bình thường.

6) BÀI TOÁN BIẾN THIÊN CHU KÌ CỦA CON LẮC ĐƠN VÀ SỰ NHANH CHẬM
CỦA ĐỒNG HỒ QUẢ LẮC :
a) ẢNH HƯỞNG CỦA ĐỘ CAO ĐỐI VỚI CHU KÌ CON LẮC ĐƠN
- Khi con lắc đơn ở mặt đất nó chịu tác dụng của trọng lực P = mg.
- Lực hấp dẫn giữa Trái Đất và con lắc đơn là :

mM
GM
F=G 2 ⇔g= 2
R
R
4
4
3
Với M = π.R .D ⇒ g = π.R.D.G
3
3
(trong đó: M là khối lượng Trái Đất ; R là bán kính Trái Đất).
l
- Chu kỳ dao động của con lắc ở mặt đất là : T = 2π
g
- Khi đưa con lắc đơn lên độ cao h, ta có : Pc = m.gc
mM
GM
Fc = G
⇔ gc =
2
(R + h)
(R + h) 2
- Chu kì dao động của con lắc đơn ở độ cao h là : Tc = 2π

l
gc

⇒ g c < g ⇒ Tc > T
- Khi đưa con lắc đơn lên độ cao h thì chu kỳ dao động của con lắc đơn tăng lên. Như vậy một

đồng hồ quả lắc đưa lên cao chạy chậm đi, mỗi chu kỳ chậm là : ∆T = Tc − T , mỗi giây chậm
∆T
là :
.
T
- Ta có :

Tc
l g
g
GM (R + h) 2
= 2π
. =
=
.
T
gc l
gc
R2
GM
2

T
h
R+h 
⇔ c = 
÷ = 1 + ÷
T
 R   R
T

h
⇔ c −1 =
T
R
12


Hay

Tc − T h
∆T h
=
⇔
=
T
R
T
R

“Khi đưa đồng hồ quả lắc lên độ cao h, đồng hồ chậm mỗi giây là :

h
”.
R

b) ẢNH HƯỞNG CỦA ĐỘ SÂU ĐỐI VỚI CHU KỲ CON LẮC ĐƠN
- Khi đưa con lắc đơn xuống độ sâu h, ta có : Ps = mgs
m.M
GM
⇒

g
=
+ Fs = G
s
(R − h) 2
(R − h) 2
(M là khối lượng Trái Đất; R là bán kính Trái Đất).
4
2
Với M = π(R − h) .D
3
4π(R − h)3 .DG 4
⇒ gs =
= π.(R − h).D.G
3(R − h) 2
3
Ta có : gs < g ⇒ Ts > T

l
gs
- Khi đưa con lắc đơn xuống độ sâu h, chu kỳ con lắc đơn tăng lên. Như vậy đưa đồng hồ quả
lắc xuống độ sâu h thì đồng hồ chạy chậm đi, mỗi chu kỳ chậm là : ∆T = Ts − T . Mỗi giây
∆T
chậm là :
.
T
- Chu kỳ của con lắc đơn ở độ sâu h : Ts = 2π

1

2
- ta có : Ts = 1 + h = 1 + h ÷ = 1 + h
T
R  R
2R
T
h
∆T
h
⇒ s −1 =
⇒
=
T
2R
T
2R

Đưa đồng hồ quả lắc xuống độ sâu h, đồng hồ chạy chậm mỗi giây là

h
.
2R

c) ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ ĐỐI VỚI CHU KỲ CON LẮC ĐƠN
- Khi dây treo con lắc đơn làm bằng kim loại thì nó giãn nở theo nhiệt độ.
l
0
0
- Ở nhiệt độ t1 ta có : l1 = l0 (1 + α.t1 ) ⇒ T1 = 2π 1
g

0
0
- Ở nhiệt độ t 2 , ta có : l 2 = l0 (1 + α.t 2 ) ⇒ T2 = 2π

l2
g

0
0
- Nếu t 2 > t1 thì l2 > l1 và T2 > T1 ⇒ Nhiệt độ tăng thì chu kỳ dao động tăng lên.
0
0
- Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ ở nhiệt độ t1 , thì chạy chậm khi nhiệt độ tăng đến t 2 , mỗi
∆T
chu kỳ chậm là : T2 – T1 = ∆T , mỗi giây chậm là :
.
T
T2
l
l (1 + α.t 2 )
1 + α.t 2
= 2 = 0
=
- Ta có :
T1
l1
l0 (1 + α.t1 )
1 + α.t1
Với α là hệ số nở dài , αt << 1 , áp dụng phép tính gần đúng , ta có :

13


T2
= (1 + α.t 2 )(1 + α.t1 ) = 1 + α.t 2 − α.t1 − α 2 .t 2 .t1
T1
T2
= 1 + α(t 2 − t1 ) = 1 + α.∆t
T1
⇒

1
T2
α.∆t
T
α.∆t
= ( 1 + α.∆t ) 2 = 1 +
⇒ 2 −1 =
T1
2
T1
2

⇒

T2 − T1 ∆T α.∆t
=
=
T1
T1

2

Khi nhiệt độ tăng ∆t 0 , đồng hồ chạy chậm mỗi giây là

α.∆t 0
. Khi nhiệt độ giảm, đồng hồ
2

α.∆t 0
nhanh mỗi giây là :
.
2

d) Biến thiên chu kì và sự nhanh chậm của đồng hồ quả lắc :
Công thức nhanh :

dT dl dg αdt dhcao dhsâu
= −
+
+
+
(*)
T
2l 2 g
2
R
2R

dT
: Thời gian đồng hồ chạy sai trong 1 (s)

T
+ dT = T2 − T1 : độ biến thiên chu kì ( dT > 0 : chạy chậm ; dT < 0 : chạy nhanh )
+ dl = l2 − l1 : Độ biên thiên chiều dài
+ dg = g 2 − g1 : Độ biên thiên gia tốc rơi tự do
+ dt = t 20 − t10 : Độ biến thiên nhiệt độ ( α ( K −1 ; đô −1 ) : hệ số nở dài )
+ dh cao : thay đổi độ cao
+ dh sâu : Thay đổi độ sâu
+ R = 6400 (km) : Bán kính trái đất
+ Thời gian đồng hồ chạy sai trong một thời gian t là :
 dl dg αdt dhcao dhsâu 
dT
t
τ=
t =  −
+
+
+
T
2
R
2 R 
 2l 2 g

+

7) GIA TỐC CỦA CON LẮC ĐƠN :
  
- Gia tốc của vật nặng m tại một điểm gồm 2 thành phần a = att + aht
Trong đó gia tốc tiếp tuyến :
0

2
+ Khi góc α ≤ 10 → att = −ω s = − gα (1)
0
2
+ Khi góc α > 10 → att = −ω s = g sin α (2)
v2
= 2 g ( cos α − cos α 0 )
l
- Vì 2 thành phần này vuông góc nhau nên độ lớn gia tốc tổng hợp ( toàn phần )

Trong đó gia tốc hướng tâm : aht =

a = att2 + aht2

2
- Chú ý : vận tốc của con lắc ở li độ góc bất kì là : v = 2 gl ( cos α − cos α 0 )

8) NĂNG LƯỢNG CỦA CON LẮC ĐƠN :
0
- Khi các góc lớn ( α ; α 0 > 10 ) thì
+ Thế năng : Et = mgl (1 − cos α )
14


1 2 1
+ Động năng : Eđ = mv = m.2 gl (cos α − cos α 0 )
2
2
→ Eđ = mgl (cos α − cos α 0 )
+ Cơ năng ( Năng lượng ) : E = mgl (1 − cos α 0 ) = Et max

- Khi Các góc bé ( α ; α 0 ≤ 10 ) thì
1
2
+ Thế năng : Et = mglα (J)
2
1
2
+ Cơ năng : E = mglα 0 ( J )
2
E
=
E
+
E
+
đ
t
s0

s = ± n + 1
+ Khi Eđ = nEt → 
α = ± α 0
n +1

trong các công thức trên :
+ m (kg) : Khối lượng của vật nặng
+ g = 9,8 (m/s2) : Gia tốc rơi tự do.
+ l(m) : Chiều dài dây treo.
0

9) CON LẮC ĐƠN CHỊU TÁC DỤNG CỦA LỰC QUÁN TÍNH
( CON LẮC ĐẶT TRÊN XE, THANG MÁY)
Khi con lắc đặt trên hệ quy chiếu chuyển động (hệ quy chiếu không quán tính, hệ quy chiếu có
r
r
gia tốc a ) thì lực quán tính tác dụng lên con lắc là : Fqt = − ma
r' r r
* Trọng lực biểu kiến (trọng lực hiệu dụng) : P = P + Fqt
rr
* Vật chuyển động nhanh dần đều khi : a.v > 0
rr
* Vật chuyển động chậm dần đều khi : a.v < 0
*Khi con lắc đơn được treo trên trần một ô tô chuyển động với gia tốc a, thì góc hợp bởi dây
Fqt a
= (1) và lực căng dây
treo và phương thẳng đứng được xác định theo công thức : tan α =
P g
là T = P 2 + Fqt2 ⇒ g ,2 = g 2 + a 2 (2).

- Con lắc đơn chịu tác dụng của lực quán tính :
a) Véctơ gia tốc trong chuyển động biến đổi : r
- Trong chuyển động nhanh dần đều, véctơ gia tốc a cùng chiều chuyển động.
r
- Trong chuyển động chậm dần đều, véctơ gia tốc a ngược chiều chuyển động.
r
- Khi một vật tham gia vào một chuyển động có gia tốc a thì vật chịu tác dụng thêm của lực
r
r
quán tính F , lực này ngược chiều với gia tốc a .

b) Con lắc đơn chịu tác dụng của lực quán tính có phương nằm ngang :
Treo rcon lắc đơn trong một toa xe chuyển động nhanh dần đều theo phương nằm ngang với
u
r
ur
gia tốc a (vẽ hình). Con lắc chịu tác dụng của trọng lực P , lực căng dây treo T và lực quán
r
tính F . Khi con lắc ở trạng thái cân bằng, ta có :
+ P = P* .cos α ⇒ g = g *.cos α
r u
r ur
u
r * ur
+ F+P+T = 0⇒ P +T =0
+ P* gọi là trọng lượng hiệu dụng (biểu kiến) = m.g*.
g
+ g* gọi là gia tốc hiệu dụng (biểu kiến) =
.
cos α
15


- Ở trạng thái cân bằng, dây treo con lắc lệch góc α so với phương thẳng đứng. Lúc ấy, chu kỳ
của con lắc là :
l
l.cos α
+ T ' = 2π * = 2 π
g
g
F a

+ tan α = =
P g
+ T = P* = P 2 + F2
c) Con lắc đơn chịu tác dụng của lực quán tính có phương thẳng đứng :
Treo con lắc đơn trong một thang máy chuyển động nhanh dần đều hướng lên, lực quán tính
tác dụng vào con lắc hướng xuống. Khi con lắc ở trạng thái cân bằng, ta có :
r u
r ur
u
r * ur
+ F+P+T = 0⇒ P +T =0
+ P* = P + F ⇔ m.g * = mg + ma ⇒ g* = g + a
+ T ' = 2π

l
g+a

10) DẠNG TOÁN CON LẮC ĐƠN TÍCH ĐIỆN
Lực điện trường tác dụng lên điện tích q ( điện tích điểm) đặt trong một điện trường đều, có
r
r
r
véctơ cường độ điện trường E có dạng : Fd = qE
+ Độ lớn : Fd = q E
r r
+ Nếu q > 0 ⇒ Fd , E cùng chiều
r r
+ Nếu q < 0 ⇒ Fd , E ngược chiều

- Con lắc đơn chịu tác dụng của lực điện trường :

a) Con lắc đơn chịu tác dụng của lực điện trường có phương nằm ngang
r :
- Treo con lắc đơn trong một điện trường đều có cường độ điện trường là E . Điện trường tác
r
r
dụng vào con lắc tích điện q là : F = q.E .
r
r
+ Nếu q > 0 thì F cùng chiều E .
r
r
+ Nếu q < 0 thì F ngược chiều E .
u
r
ur
r
- Con lắc chịu tác dụng của trọng lực P , lực căng dây treo T và lực điện trường F . Khi con
lắc ở trạng thái cân bằng, ta có :
r u
r ur
u
r * ur
+ F+P+T = 0⇒ P +T = 0
+ P = P* .cos α ⇒ g = g *.cos α
g
+ g* =
cos α
l
l.cos α
+ T ' = 2π * = 2 π

g
g
F
+ tan α =
P
*
+T=P.
b) Con lắc đơn chịu tác dụng của lực điện trường có phương thẳng đứng : (vẽ hình)
- Trường hợp 1: q > 0
r u
r ur
u
r * ur
+ F+P+T = 0⇒ P +T = 0
+ P* = P + F
+ mg* = mg + F
16


l
F ⇒ T ' = 2π
+ g =g+
F
g+
m
m
- Trường hợp 2: q < 0
r u
r ur
u

r * ur
+ F+P+T = 0⇒ P +T = 0
+ P* = P - F
+ mg* = mg – F
F
l
g* = g − ⇒ T ' = 2π
+
F
m
g−
m
*

11) Con lắc đơn chịu tác dụng của lực đẩy ÁC-SI-MÉT
- Một vật ngâm trong chất lỏng (chất khí) chịu tác dụng của lực đẩy Ác-si-mét.
- “Cường độ lực Ác-si-mét bằng số đo trọng lượng của khối chất lỏng (chất khí) bị vật rắn thế
chỗ”.
- Treo con lắc đơn trong một chất lỏng có khối lượng riêng là D 0. Gọi thể tích và khối lượng
riêng của con lắc đơn là V và D. Chất lỏng (chất khí) tác dụng vào con lắc lực đẩy Ác-si-mét f,
ta có : f = V.D0.g
- Khi ở trạng thái cân bằng, ta có :
r u
r ur
u
r * ur
+ F+P+T = 0⇒ P +T = 0
+ P* = P – f
+ mg* = mg – V.D0.g ; với m = D.V
V.D 0 .g

 D 
*
= g 1 − 0 ÷
+ g =g−
VD
D


l
D0
= ε ⇒ T ' = 2π
g(1 − ε)
D
- Khi ε << 1 , áp dụng phép tính gần đúng :
1
= 1+ ε
(1 + ε )(1- ε ) = 1 ⇒
1− ε
l(1 + ε)
- Ta có : ⇒ T ' = 2π
g
+ Đặt

- Gọi T0 là chu kỳ của con lắc đơn trong chân không, ta có : T0 = 2π
- Từ các công thức trên, ta có :

⇒ T ' = T0 1 + ε = T0 1 +

T'
l(1 + ε) g

=
. = 1+ ε
T0
g
l

D0
D

17

l
g


BÀI 4: CÁC LOẠI DAO ĐỘNG – CỘNG HƯỞNG CƠ
I) DAO ĐỘNG TỰ DO
Định nghĩa : Dao động tự do là dao động có chu kì hay tần số chỉ phụ thuộc vào đặc tính của
hệ dao động, không phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài. Khi vật dao động tự do có biên độ và
tần số không đổi.
Ví dụ :
+ Con lắc lò xo dao động trong điều kiện giới hạn đàn hồi và bỏ qua ma sát.
+ Con lắc đơn dao động với biên độ góc nhỏ tại một địa điểm xác định và bỏ qua ma sát.
II- DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1) Định nghĩa :
Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian ( năng lượng hay cơ năng
giảm dần theo thời gian ).
2) Nguyên nhân :
Do lực ma sát hay lực cản của môi trường. Các lực này luôn ngược chiều với chiều chuyển
động, nên sinh công âm làm giảm cơ năng của vật dao động. Các lực này càng lớn thì sự tắt dần

càng nhanh.
3) Ứng dụng của dao động tắt dần
Trong thực tế đời sông và kỹ thuật có những trường hợp :
+ Dao động tắt dần có lợi, cần thiết phải tăng cường nó.
VD : Bộ phận giảm xóc ôtô, xe máy ( Phuộc xe) , bộ phận đóng cửa tự động,..
+ Dao động tắt dần có hại, phải có biện pháp khắc phục nó.
VD: Đồng hồ quả lắc,..
4) Giải thích :
Khi con lắc dao động, nó chịu lực cản của không khí. Lực cản này cũng là một loại lực ma sát
làm tiêu hao cơ năng của con lắc, chuyển hoá cơ năng dần dần thành nhiệt năng. Vì thế, biên độ
dao động của con lắc giảm dần và cuối cùng con lắc dừng lại.
5) Công thức để giải bài tập .
∆E
∆A
≈2
+ Độ giảm biên độ và độ giảm cơ năng :
E
A
2F
2µmg 2µg
= 2 = const
+ Độ giảm biên độ sau mỗi ( nữa chu kì ) : ∆A0,5T = ms =
K
K
ω
4F
4µmg 4µg
= 2 = const
+ Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì : ∆AT = ms =
K

K
ω
+ Biên độ còn lại : A1 = A0 − ∆A
III- SỰ DUY TRÌ DAO ĐỘNG
1) Định nghĩa : Dao động được duy trì bằng cách giữ cho biên độ không đổi mà không làm
thay đổi chu kì dao động riêng gọi là dao động duy trì.
+ Dao động của con lắc đồng hồ là dao động duy trì.
2) Điều kiện để duy trì dao động :
Phải tác dụng một ngoại lực biến thiên tuần hoàn có dạng Fn = H cos ( ωt + ϕ ) (N).
+ H : Biên độ của ngoại lực.
+ ω = 2πf (rad/s) : Tần số góc của ngoại lực.
+ f(Hz) : Tần số của ngoại lực.
VD: Dao động của con lắc trong đồng hồ quả lắc là dao động duy trì.
IV- DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC
1) Định nghĩa : Là dao động của hệ dưới tác dụng của một ngoại lực biến thiên tuần hoàn, có
dạng : Fn = H cos ( ωt ) (N).
2) Đặc điểm :
18


- Hệ dao động có tần số bằng tần số f của ngoại lực ⇒ f cb = f ;ω cb = ω; Tcb = T
- Dao động cưỡng bức có biên độ không đổi và có tần số bằng tần số của lực cưỡng bức.
- Có biên độ không đổi và phụ thuộc vào :
+ Biên độ của ngoại lực.
+ Quan hệ giữa tần số ngoại lực (f) với tần số riêng của hệ (f 0) .
+ Nhưng không phụ thuộc vào pha ban đầu của ngoại lực.
+ Khi tần số của lực cưỡng bức càng gần tần số riêng thì biên độ dao động cưỡng bức càng lớn.
+ Nếu ngoại lực duy trì lâu dài thì dao động cưỡng bức cũng được duy trì lâu dài với tần số (f).
V- SỰ CỘNG HƯỞNG DAO ĐỘNG
1) Định nghĩa : Cộng hưởng dao động là hiện tượng biên độ của dao động cưỡng bức tăng đột

ngột và đạt giá trị cực đại khi tần số của ngoại lực cưỡng bức bằng tần số riêng của hệ dao động
.
Điều kiện cộng hưởng : f cb = f 0 ⇒ A = A cb - max
Trong đó :
+ f(Hz) : Tần số của ngoại lực cưỡng bức.
+ f0 (Hz) : Tần số riêng của hệ.
+ A (m) : Biên độ của dao động cưỡng bức.
2) DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CỘNG HƯỞNG
Trong bài tập có xuất hiện các cụm từ : “ Mạnh nhất”, “lớn nhất” , “ cao nhất” ,….
Ví dụ : (SGK) Một con lắc đơn dài 44 cm được treo vào trần của một toa xe lửa. Con lắc bị
kích động mỗi khi bánh của toa xe gặp chỗ nối nhau của đường ray. Hỏi tàu chạy thẳng đều với
tốc độ bằng bao nhiêu thì biên độ dao động của con lắc sẽ lớn nhất ? Cho biết chiều dài của
mỗi đường ray là 12,5 m. Lấy g = 9,8 m/s2.
3) Đặc điểm:
Biên độ cộng hưởng dao động phụ thuộc vào lực ma sát của môi trường. Biên độ cộng hưởng
càng lớn khi lực ma sát của môi trường càng nhỏ (cộng hưởng nhọn) và ngược lại ( cộng hưởng
tù).
4) Ứng dụng :
Trong đời sống thực tế và kĩ thuật có những trường hợp :
+ Cộng hưởng có lợi, cần thiết phải tăng cường nó :
VD: Một em bé có thể tác dụng một lực nhỏ để đưa võng cho người lớn, khi lực đó có tần số
bằng tần số riêng của võng, …
+ Cộng hưởng có hại, phải có biện pháp khắc phục nó :
VD: Cầu, bệ máy, … có tần số riêng f0, nếu chịu tác dụng của ngoại lực biến thiên tuần hoàn có
tần số f ≈ f 0 , thì chúng sẽ bị cộng hưởng và dao động với biên độ cực đại, có thể dẫn tới sập
cầu, hỏng bệ máy…

BÀI 5: TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1) Phương pháp Véctơ quay
Dựa trên tính chất : Dao động đièu hòa có thể xem là chuyển động của hình chiếu của một

điểm chuyển động tròn đều lên một trục trùng với đường kính của đường tròn.

2) Phương trình tổng hợp dao động điều hoà :
Giả sử cho 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động lần lượt là
: x1 = A1 cos( ωt + ϕ1 ) và x2 = A2 cos( ωt + ϕ 2 ) . Dao động tổng hợp của 2 dao động này là một dao
19


động điều hòa có cùng phương, cùng tần số với các dao động dao động thành phần, có biên độ
và pha ban đầu được tính theo công thức :
+ Biên độ : A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos( ϕ 2 − ϕ1 )
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2
+ Pha ban đầu : tgϕ =
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2

3) Ảnh hưởng của độ lệch pha (các trường hợp đặc biệt) :

Gọi ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 là độ lệch pha giữa hai dao động
+ Nếu ∆ϕ = k 2π (k = 0;±1;±2,...) → 2 dao động x1 và x2 cùng pha
→ Biên độ dao động tổng hợp là lớn nhất ( Amax )
→ A = A1 + A2 và φ = φ1 = φ 2
+ Nếu ∆ϕ = ( 2k + 1)π (k = 0;±1;±2,...) → 2 dao động x1 và x2 ngược pha
→ Biên độ dao động tổng hợp là nhỏ nhất → A = A1 − A2
+ nếu A1 > A2 ⇒ A = A1 – A2 và φ = φ1
+ nếu A2 > A1 ⇒ A = A2 – A1 và φ = φ 2
+ Nếu không biết cùng pha hay ngược pha ( không cho ∆ϕ ) thì biên độ dao động tổng hợp nằm
trong khoảng : A1 − A2 ≤ A ≤ A1 + A2
π
+ Nếu ∆ϕ = ( 2k + 1) (k = 0;±1;±2,...) → 2 dao động x1 và x2 vuông pha
2

→ Biên độ dao động tổng hợp được tính theo công thức :
→ A2 = A12 + A22
+ Vì 2 dao động x1 và x2 vuông pha nên giữa chúng tồn tại hệ thức độc lập
2
2
 x1   x2 
  +   = 1
 A1   A2 
+ Nếu ∆ϕ = một góc bất kì thì dùng công thức tổng quát.
+ Nếu ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 > 0 ⇔ ϕ2 > ϕ1 ⇒ dao động x2 sớm pha hơn dao động x1 .
+ Nếu ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 < 0 ⇔ ϕ2 < ϕ1 ⇒ dao động x1 sớm pha hơn dao động x2.

4) Hai dao động thành phần có cùng biên độ :
Trường hợp 2 dao động x1 và x2 có cùng biên độ A1 = A2 = A thì biên độ và pha ban đầu của dao
động tổng hợp được tính theo công thức :
 ∆ϕ 
 ϕ − ϕ1 
 = 2 A cos 2

+ Biên độ của dao động tổng hợp : A = 2 A cos
 2 
 2 
ϕ +ϕ
+ Pha ban đầu của dao động tổng hợp : ϕ = 2 1
2

5) Tổng hợp nhiều dao động điều hoà :
Tổng hợp n dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
Giả sử một vật thực hiện đồng thời n dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương
trình :

x1 = A1cosωt
( + φ 1 ) và x 2 = A 2cosωt
( + φ 2 ) và …. x n = A n cosωt
( +φ n)
Dao động tổng hợp là : x = x1 + x2 + … + xn
x = Acosωt
( +φ )
Trong đó :
+ Thành phần trên trục nằm ngang Ox : A x = A1cosφ1 + A 2cosφ 2 + ... + A n cosφ n
+ Thành phần trên trục thẳng đứng Oy : A y = A1sinφ1 + A 2sinφ 2 + ... + A n sinφ n ⇒ A = A 2x +A 2y
20


tanφ =

Ay
Ax

6) Dùng máy tính tổng hợp dao động điều hoà :
Giả sử cho 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động lần lượt là
: x1 = A1 cos( ωt + ϕ1 ) và x2 = A2 cos( ωt + ϕ 2 ) . Dao động tổng hợp của 2 dao động này là một dao
động điều hòa có cùng phương, cùng tần số với các dao động dao động thành phần, có biên độ
và pha ban đầu được tính như sau :
x = x1 + x2
- CÀI ĐẶT MÁY
+ SHIFT +MODE + 4 : Rad
+ MODE + 2 : CMPLX
- BẤM MÁY
x = x1 + x2 = A1∠ϕ1 + A2 ∠ϕ 2 → A∠ϕ

7) Khoảng cách giữa hai vật dao động điều hoà :
Giả sử cho 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động lần lượt là
: x1 = A1 cos( ωt + ϕ1 ) và x2 = A2 cos( ωt + ϕ 2 ) . Phương trình khoảng cách giữa hai chất điểm ?
Khoảng cách giữa hai chất điểm L = x1 – x2 = A1∠ϕ1 − A2 ∠ϕ 2 = A∠ϕ
Phương trình Khoảng cách giữa hai chất điểm là : L = A cos( ωt + ϕ )
Phương trình khoảng cách cho ta biết L cũng biến thiên điều hòa, khoảng cách nhỏ nhất giữa
hai chất điểm là bằng 0 ( Khi hai vật gặp nhau ) và khoảng cách lớn nhất là bằng biên độ A.
Ngoài ra khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm còn phải tính theo công thức :
 
  2

Lmax = A1 − A2 ⇒ L2max = A1 − A2

(

⇒L

2
max

)

= A + A − 2 A1 A2 cos( ϕ1 − ϕ 2 )
2
1

2
2

+ Nếu cos( ϕ1 − ϕ 2 ) = cos( ∆ϕ ) = 0 → ( ∆ϕ ) =

2

π
→ 2 dao động thành phần vuông pha nhau
2

2

 x1   x2 
  +   = 1
 A1   A2 

21

→