đề tài nghiên cứu: “HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG”.

TRƯỜNG
KHOA TOÁN – CÔNG NGHỆ

ĐỀ TÀI
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN
1. TÊN ĐỀ TÀI:
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
2. NHÓM NGÀNH : TN1

3. LOẠI HÌNH NGHIÊN CỨU
Cơ bản

x

Triển khai
Ứng dụng
4. THỜI GIAN THỰC HIỆN:
5. CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI
Họ và tên:
Đơn vị:

Điện thoại liên hệ:

Fax:

E-mail

6. CỘNG TÁC VIÊN
Họ và tên

Nội dung nghiên cứu cụ

thể được giao

Đơn vị

Sơ lược về hàm số lượng
giác và một số ứng dụng
của hàm số lượng giác

1.

1

Chữ
ký


2.

Bài tập tổng hợp

7. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ
TÀI
Toán học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là
các hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng
có tính chất tuần hoàn.
Một trong những bộ phận quan trọng của toán học và lượng giác học là
hàm số lượng giác. Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính
các hàm lượng giác được cho là thực hiện lần đầu bởi Hipparchus ở Nicaea
(180-125 TCN). Đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về hàm số lượng giác của
các học giả cũng như các giảng viên, sinh viên của các trường đại học, cao đẳng.

Dưới đây là một số công trình nghiên cứu liên quan đến hàm số lượng
giác và ứng dụng của nó:
1. Luận văn: Áp dụng lượng giác xây dựng các đẳng thức, bất đẳng thức
đại số có điều kiện của Hồ Viết Tân, Đại học Quốc gia Hà Nội - Trường Đại học
Khoa học tự nhiên.
2. Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác của Thạc sỹ
Lê Văn Đoàn.
8. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều
dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn
thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Những định nghĩa hiện đại
hơn thường coi các hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một
số phương trình vi phân, điều này cho phép hàm lượng giác có thể có đối số là
một số thực hay một số phức bất kì.
Hàm số lượng giác có vai trò quan trọng trong rất nhiều ngành khoa học.
Tính tuần hoàn của các hàm lượng giác có vị trí to lớn trong việc mô phỏng các
chuyển động sóng như sóng điện từ hay âm thanh. Mọi tín hiệu đều có thể được
phân tích thành tổng (vô hạn) của các hàm sin và cos ứng với nhiều tần số; Đây
là ý tưởng chủ đạo của phân tích Fourier, dùng để giải quyết các bài toán điều
kiện biên và phương trình đạo hàm riêng. Đặc biệt trong lượng giác học và toán
học, hàm số lượng giác được xem như một công cụ hữu hiệu để để giải quyết
một số bài toán đại số, hình học…
2


Trong chương trình sách giáo khoa bậc Trung học phổ thông, nội dung
phần hàm số lượng giác mới chỉ dừng lại ở việc cho các em bước đầu làm quen,
tìm hiểu một số tính chất và làm một số dạng bài tập chứ chưa trú trọng , khai
thác ứng dụng và vai trò của hàm số lượng giác trong việc giải quyết một số vấn
đề Toán học có liên quan.

Với mong muốn giúp các bạn học sinh, sinh viên nghiên cứu về lý thuyết
hàm số lượng giác một cách dễ dàng và có hệ thống, đồng thời tìm hiểu về ứng
dụng của hàm số lượng giác vào giải quyết một số bài toán có liên quan, nhóm
chúng em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG”.
9. MỤC TIÊU ĐỀ TÀI
- Mục tiêu khoa học công nghệ:
Tổng hợp một cách có hệ thống một số lý thuyết về hàm số lượng giác và
một số kiến thức hỗ trợ có liên quan.
Nghiên cứu ứng dụng của hàm số lượng giác trong việc giải quyết một số
bài toán có liên quan.
Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng một cách phong phú và đa dạng.
- Sản phẩm khoa học công nghệ:
Đề tài là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho sinh viên học toán của
trường Đại học Hùng Vương.
10. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
10.1 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hàm số lượng giác và ứng dụng của
hàm số lượng giác trong việc giải một số bài toán liên quan.
10.2 Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là hàm số lượng giác và một số ứng dụng
của hàm số lượng giác trong toán học.
11. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương I: Kiến thức chuẩn bị.
1.1. Sơ lược lịch sử, khái niệm hàm số lượng giác
3


1.2. Các hàm số lượng giác cơ bản và các phép biến đổi lượng giác
Chương II: Một số ứng dụng của hàm số lượng giác.

2.1. Ứng dụng hàm số lượng giác trong nhận dạng tam giác
2.1.1. Nhận dạng tam giác vuông
2.1.2. Nhận dạng tam giác cân
2.1.3. Nhận dạng tam giác đều
2.1.4. Nhận dạng tam giác thường đặc biệt
2.2. Sử dụng hàm lượng giác để xây dựng đẳng thức và bất đẳng thức trong tam
giác và tứ giác
2.2.1. Đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác trong tam giác và xây dựng bài toán
đại số
2.2.2. Đẳng thức và bất đẳng thức trong tứ giác lồi
2.3. Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán
2.3.1. Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình vô tỷ
2.3.2. Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình và hệ phương
trình
2.3.3. Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức
2.4. Quan hệ các bài toán lượng giác và đại số
2.4.1. Sử dụng định lý Vi-et để tính tổng
2.4.2. Sử dụng đẳng thức lượng giác trong các bài toán đại số
2.4.3. Sử dụng hàm số lượng giác để xây dựng các đẳng thức đại số có điều kiện
Chương III: Bài tập tổng hợp
3.1. Bài tập có lời giải và hướng dẫn
3.2. Bài tập tự giải

4


Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày sơ lược lịch sử, một số khái niệm hàm số lượng
giác, khái niệm về các hàm số lượng giác cơ bản,… cùng với một số phép biến
đổi lượng giác. Đây là những kiến thức mở đầu giúp chúng ta tiếp cận và tìm

hiểu về ứng dụng của hàm số lượng giác.
1.1. Sơ lược lịch sử
Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng
giác được cho là thực hiện lần đầu bởi Hipparchus ở Nicaea (180 - 125 TCN),
Hipparchus là người đã lập bảng tính độ dài của các cung tròn và chiều dài
của dây cung tương ứng. Sau đó, Ptolemy (thế kỷ II) tiếp tục phát triển công
trình trên trong quyển Almagest, tìm ra công thức cộng và trừ cho sin( A  B ) và
cos ( A   B ) . Ptolemy cũng đã suy diễn ra được công thức nửa góc đó là
2

�A � 1  cos A
sin � � 
, cho phép ông lập bảng tính với bất cứ độ chính xác cần
2
�2 �
thiết nào. Những bảng tính của Hipparchus và Ptolemy nay đã bị thất truyền.
Các phát triển về lượng giác tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, trong công
trình Siddhantas (khoảng thế kỷ IV – V), định nghĩa hàm sin theo nửa góc và
nửa dây cung. Quyển Siddhantas cũng chứa bảng tính hàm sin cổ nhất còn tồn
tại đến nay, cho các góc có giá trị từ 00 đến 900 cách nhau 3.750 .
Công trình Ấn giáo này sau đó được dịch và phát triển lên thêm bởi người
Ả Rập. Đến thế kỷ X, những người Ả Rập đã dùng cả 6 hàm lượng giác cơ bản
(trong tác phẩm Abu'l-Wefa), với các bảng tính hàm sin cho các góc cách nhau
0.250 với độ chính xác đến 8 chữ số thập phân và bảng tính hàm tan .
Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác đều được phát triển
trong những nghiên cứu thiên văn. Có lẽ quyển sách đầu tiên chỉ tập trung vào
nghiên cứu về hàm số lượng giác là De triangulis omnimodus (1464) và Tabulae
directionum của Regiomontanus (1436 – 1476). Quyển Tabulae directionum nói
về hàm tan .
Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một người học trò

của Copernicus, là quyển sách đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác bằng tam
giác vuông thay vì dùng vòng tròn đơn vị, kèm theo bảng tính 6 hàm lượng giác
cơ bản. Công trình này được hoàn thiện bởi học trò của Rheticus là Valentin
Otho năm 1596.
5


Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler tập trung
miêu tả cách tiếp cận giải tích đến các hàm lượng giác, định nghĩa chúng theo
các chuỗi vô tận và giới thiệu "Công thức Euler" eix  cos( x )  isin( x) . Euler đã
dùng các ký hiệu viết tắt sin,cos, tan,cot giống ngày nay.
1.2. Khái niệm về hàm số lượng giác
1.2.1. Định nghĩa bằng tam giác vuông
Có thể định nghĩa các hàm lượng giác của góc A, bằng việc dựng nên một
tam giác vuông chứa góc A.
B

a(đối)

h(huyền)

C

A
b(kề)

Hình 1.1: Tam giác vuông ABC.
Trong tam giác vuông này, các cạnh được đặt tên như sau:
- Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất của tam
giác vuông, là cạnh AB (hình 1.1).

- Cạnh đối so với góc A là cạnh đối diện với góc A, là cạnh BC (hình 1.1).
- Cạnh kề so với góc A là cạnh nối giữa góc A và góc vuông, là cạnh
AC (hình 1.1).
Dùng hình học Ơclit, tổng các góc trong một tam giác là 1800. Khi đó:
Hàm

Định nghĩa

sin

Cạnh đối chia cho cạnh huyền

cos

Cạnh kề chia cho cạnh huyền

tan

Cạnh đối chia cho cạnh kề

cot

Cạnh kề chia cho cạnh đối

1.2.2.Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị
6

Biểu thức
a
h

b
cos A 
h
a
tan A 
b
b
cot A 
a
sin A 


Các hàm số lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn
vị, một vòng tròn có bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Định
nghĩa dùng vòng tròn đơn vị thực ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng
có thể định nghĩa cho các mọi góc là số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và


radian. Các góc lớn hơn 2π hay nhỏ hơn −2π quay vòng trên đường tròn.
2
Vòng tròn đơn vị và một số đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt. Vòng
tròn đơn vị là mọi điểm  x, y  trên mặt phẳng của hình học phẳng thỏa mãn
phương trình: x 2  y 2  1 .
Gọi góc α là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm ( x, y ) trên
vòng tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ x  y , các hàm lượng giác có
thể được định nghĩa:
Hàm
sin   

Định nghĩa

y

cos   

x

tan   

y x

cot   

x y

Hình 1.2: Vòng tròn lượng giác.

7


Khi các vòng quay trên vòng tròn, hàm sin, cos trở nên hàm tuần hoàn với
chu kỳ 2π radian hay 3600:
sin   sin    k 2 

cos  cos    k 2 

Trong đó α là góc, một số thực bất kỳ, k là một số nguyên bất kỳ.
Hàm tan và cot tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 1800.
1.2.3. Dùng hình học
Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình
học trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O.

Nếu A là một điểm trên đường tròn đơn vị,  là góc giữa trục x và đường
OA (trong hình 1.3) thì:
+ sin  là giá trị điểm A chiếu xuống trục x, là đoạn OC (trong hình 1.3).
+ cos  là giá trị điểm A chiếu lên trục y, là đoạn AC (trong hình 1.3).
+ tan  là chiều của dài đường tiếp tuyến từ A kéo tới trục x, là đoạn AD
(trong hình 1.3).
+ cot  là chiều dài của đường tiếp tuyến từ A kéo tới trục y, là đoạn AE
(trong hình 1.3).
E

A

O

D

C
B
Hình 1.3: Vòng tròn đơn vị.


(900), hàm cot
2
phân kỳ khi α tiến tới 0. Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện
trên vòng tròn đơn vị, và các tính chất của các hàm lượng giác có thể được
chứng minh bằng hình học.
Theo hình vẽ, dễ thấy hàm tan sẽ phân kỳ khi α tiến tới

Hình vẽ trên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các hàm lượng giác
cho góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O. Với α là nửa cung AB:

Hàm

Định nghĩa

Chú thích
8


sin(α)

AC

cos(α)

OC

tan(α)

AD

cot(α)

AE

Định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người
Ấn Độ

Đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này
đã mang lại cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát
từ tiếng La tinh là "tiếp tuyến"

1.2.4. Định nghĩa bằng chuỗi số
Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minh
rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của
hàm sin. Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho mọi
góc x đo bằng giá trị radian thực. Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của các
hàm lượng dạng còn lại.
Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng
giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác. Chúng được dùng
trong nhiều ứng dụng, như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể
được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất
như khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi.
Trong bảng dưới, quy ước: U n là số lên/xuống thứ n.
Hàm

Định nghĩa

Cụ thể

sin(x)

 1 x 2 n1
�
n  0  2n  1 !

x 3 x5 x 7
x    L
3! 5! 7!

cos(x)

 1 x 2 n
�
 2n  !
n 0

x 2 x 4 x6
1   L
2! 4! 6!

�

�

�

tan(x)

cot(x)

n

22 n  22 n  1 U n x 2 n1

�
n 1

n

 2n  !


, x 
2

1 � 22 nU n x 2 n1

�
, 0  x 
x n1  2n  !
2

1.2.5. Định nghĩa bằng phương trình vi phân
9

x 3 2 x 5 17 x 7
x 

L
3 15 315
1 x x3 2 x5
  
L
x 3 45 945


�
  y . Các hàm
Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân: y�
này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng. Trong không gian

vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, hàm sin
 0   1, còn hàm cos là
là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y  0   0 và y�

 0   0 . Hai hàm này
hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y  0   1 và y�
lại độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V.
Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler.
Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa hàm sin, cos mà
còn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này.
Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến với điều kiện
 1  y2 .
biên y  0   0 sau: y�
Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là
radian. Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k.
Ví dụ: Nếu x được tính bằng độ, k sẽ là: k 


.
180

Lúc đó: f  x   sin  kx  ; k �0, k �1 và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân
( x)  kcos (kx). Nghĩa là hàm sẽ phải thỏa mãn: y�
�
  k 2 y.
tử này: f �

Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho hàm lượng giác khác.
1.3. Các hàm số lượng giác cơ bản và các phép biến đổi lượng giác
1.3.1. Hàm số y    sinx và y  cos x

- Định nghĩa:
+ Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số
đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin , kí hiệu là: y    sinx .
+ Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin của góc lượng giác có số
đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsin , kí hiệu là: y    cosx .
- Nhận xét: Hàm số y  sinx là một hàm số lẻ vì sin   x    sin x với mọi
x thuộc �.
Tập xác định của hàm số y  sin x và y  cosx là: �.
1.3.2. Hàm số y  t anx và y  cotx .
- Định nghĩa:

10



+Với mỗi số thực  x mà cos x �0 , tức là: x �  k   k �� và ta xác định
2
được số thực: tan x 

sin x
�
�
. Đặt D1  R \ �  k k �Z�.
cos x
�2

sin x
được gọi là hàm
cos x
số tang , kí hiệu là y    tanx . Vậy hàm số y  t anx có tập xác định là D1 .

+Với mỗi số thực  x mà sin x �0 , tức là: x �k   k �Z và ta xác định được
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x �D1 với số thực tan x 

số thực: cot x 

cos x
. Đặt D2  R \  k k ��
sin x

cos x
được gọi là
sin x
hàm số côtang , kí hiệu là y    cotx . Vậy hàm số y    cotx có tập xác định là D2 .
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x �D2 với số thực cot x 

- Nhận xét: Hàm số y  t anx là một hàm số lẻ vì nếu x �D1 thì  x �D1 và
tan( x)   t anx. Hàm số y  cotx là một hàm số lẻ vì nếu x �D2 thì  x �D2
và cot(  x)   cotx.
1.3.3. Các phép biến đổi lượng giác
Các hệ thức cơ bản

sin 2 x  cos 2 x  1
sin x
tan x 
cos x
cos x
cot x 
sin x

1  tan 2 x 

1  cot 2 x 

1
cos 2 x

1
tan x.cot x  1
sin 2 x

Công thức cộng

cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y
cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y
sin  x  y   sin x cos y  sin y cos x
sin  x  y   sin x cos y  sin y cos x

tan  x  y  

tan x  tan y
tan x  tan y
; tan  x  y  
1  tan x.tan y
1  tan x.tan y

Công thức nhân đôi
11


cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2cos 2 x  1  1  2sin 2 x
sin 2 x  2sin x.cos x

tan 2 x 

2 tan x
1  tan 2 x

Công thức nhân ba

cos3 x  4cos x  3cos x
3

sin 3x  3sin x  4sin 3 x

cos 3 x 

cos3 x  3cos x
4

sin 3 x 

3sin x  sin 3 x
4

Công thức hạ bậc

cos 2 x 

1  cos 2 x
1  cos 2 x
1  cos 2 x
2

; sin 2 x 
; tan x 
1  cos 2 x
2
2

Công thức tính sin x,cos x, tan x theo t  tan

sin x 

x
2

2t
2t
1 t2
tan
x

;
cos
x

;
2
1 t
1 t2
1 t2

Công thức biến đổi tích thành tổng

1
cos x.cos y  �
cos  x  y   cos  x  y  �
�
2�
1
sin x.sin y  �
cos  x  y   cos  x  y  �
�
2�
1
sin x.cos y  �
sin  x  y   sin  x  y  �
�
2�
Công thức biến đổi tổng thành tích
12


cos x  cos y  2cos

x y
x y
.cos
2
2

cos x  cos y  2sin

x y
x y
.sin
2
2

sin x  sin y  2sin

x y
xy
.cos
2
2

sin x  sin y  2cos

x y
xy
.sin
2
2

tan x  tan y 

sin  x  y 
sin  x  y 
; tan x  tan y 
cos x.cos y
cos x.cos y

Các công thức thường dùng khác
� �
� �
cos x  sin x  2 cos �x  � 2 sin �x  �
� 4�
� 4�
� �
� �
cos x  sin x  2 cos �x  �  2 sin �x  �
� 4�
� 4�
3  cos 4 x
cos 4 x  sin 4 x 
4
5  3cos 4 x
cos6 x  sin 6 x 
8
Công thức bổ sung
� �
� �
sin a �cos a  2 sin �
a� �
;cos a �sin a  2cos �
a� �
4
�
�
� 4�
� �
� �

3 sin a �cos a  2sin �
a � � 2cos �
a� �
� 6�
� 3�
� �
� �
sin a � 3 cos a  2sin �
a � � 2cos �
a� �
� 3�
� 6�
m sin a �n cos a  m2  n 2 sin  a  b 

13


Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc) đặc biệt

00

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

3600

0


6


4


3


2

2
3

3
4

5

6



2

sin 

0

1
2

2
2

1
2

0

0

1

3
2

2
2

3
2
1
2

2
2

cos 

3
2
1
2

-

3
2

-1

1

tan 

0

3

3

1

3

kxđ

3
3

0

0

cot 

kxđ

3

1

3
3

0

kxđ

kxđ

Góc
Hslg

1
0

-

2
2

- 3

-1

-

3
3

-1

- 3

-

Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt
- Cung đối nhau (  và – )

cos     cos  , sin      sin 

tan      tan  , cot      cot 
- Cung bù nhau (  và    )
cos        cos  , sin       sin 

tan        tan  , cot        cot 
- Cung phụ nhau ( phụ chéo)
�
�
�
�
cos �   � sin  , sin �   � cos 
�2
�
�2
�
�
�
�
�
tan �   � cot  , cot �   � tan 
�2
�
�2
�

- Cung hơn kém
cos        cos  , sin        sin 
tan       tan  , cot       cot 

14


Chương II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chương này trình bày một số dạng bài toán trong tam giác và sử dụng các
bài toán này để xây dựng các đẳng thức, bất đẳng thức đại số có điều kiện. Và
chứng minh một số đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác cho tứ giác lồi và
chuyển các đẳng thức, bất đẳng thức này thành các đẳng thức, bất đẳng thức đại
số có điều kiện.
2.1. Ứng dụng hàm số lượng giác trong nhận dạng tam giác
2.1.1. Nhận dạng tam giác vuông
2.1.1.1. Dấu hiệu nhận dạng tam giác vuông ABC
+ sin A  1 ;

sin B  1 ;

sin C  1

+ cos A  0 ;

cos B  0 ;

cos C  0

+sin 2 A  0 ;

sin 2 B  0 ;

sin 2C  0

+ cos 2 A  1 ;

cos 2 B  1 ;

cos 2C  1

+ tan

A
1;
2

+ tan A  cot B ;

tan

B
1;
2

tan B  cot C ;

tan

C
1
2

tan C  cot A

+ sin A  sin  B  C  ; sin B  sin  C  A  ; sin C  sin  A  B 
+ cos

+

A
B C
B
CA
C
AB
 cos
; cos  cos
; cos  cos
2
2
2
2
2
2

sin A  cos B
�
�
�
 ;
0

A


�
�
2

sin B  cos C
�
�
;
�

0

B

�
�
2

sin C  cos A
�
�
�

0C 
�
�
2

+ a 2  b2  c 2 ; b2  c 2  a 2 ; c 2  a 2  b2
2.1.1.2.Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có: sin 4 A  sin 4 B  sin 4C  0 . Chứng minh rằng
tam giác ABC vuông.
Giải: Theo đề bài ta có:
sin 4 A  sin 4 B  sin 4C  2sin 2  A  B  cos 2  A  B   2sin 2C cos 2C
15


 2sin  2  2C  cos 2  A  B   2sin 2C cos  2  2  A  B  
 2sin 2C �
cos 2  A  B   cos 2  A  B  �
�
� 4sin 2C.sin 2 A.sin 2 B
Do đó: sin 4 A  sin 4 B  sin 4C  0 � 4sin 2C.sin 2 A.sin 2 B  0
� 
A
�
2
sin 2 A  0
2A  
�
�
�

 0 2 A,2 B ,2C 2 
��
sin 2 B  0 ������
� �
2B   � �
B
�

�
� 2
�
�
sin
2
C

0
2
C


� 
�
�
�
C
� 2

Vậy tam giác ABC vuông.
Ví dụ 2: Tam giác ABC có: cos

A
B
C
A
B
C 1
cos cos  sin sin sin  . Chứng

2
2
2
2
2
2 2

minh rằng tam giác ABC vuông.
Giải: Ta có: cos

A
B
C
A
B
C 1
cos cos  sin sin sin 
2
2
2
2
2
2 2

� cos

A� BC
B C�
A � B C
BC�

cos

cos

sin
cos

cos
1
2�
2
2 �
2�
2
2 �
�
�
�
�

� cos

A
A
A
B C
A
B C
A
sin  cos cos

 sin cos
 sin 2  1  0
2
2
2
2
2
2
2

� cos

A� A
A�
B C � A
A�
sin  cos � cos
sin  cos � 0
�
�
2� 2
2�
2 � 2
2�

B  C �� A
A�
� A
��
cos  cos

sin  cos � 0
�
�
2 �� 2
2�
� 2
� 
A
� A
�
tan  1
A
2
� A
�
�
sin

cos
2
�
�

2
�� 2
��
A BC � �
B
� 2
A

B C
�
�
cos  cos
AC B
� 
� 2
2
�
�
C
�
� 2

Vậy tam giác ABC vuông.
16


Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có: sin 2 A  sin 2 B  4sin A sin B . Chứng minh rằng
tam giác ABC vuông.
Giải: Ta có: sin 2 A  sin 2 B  4sin A sin B

� 2sin  A  B  cos  A  B   2 �
cos  A  B   cos  A  B  �
�
�
� sin C.cos  A  B   cos  A  B   cos C � 0  cos  A  B   1  sin C   cos C
� 0  cos  A  B  cos C  1  sin C   cos 2 C
� 0  cos  A  B  cos C  1  sin C   1  sin 2 C

� 0   1  sin C  �
cos  A  B  cos C  1  sin C �
�
�
� 1  sin C  0 � sin C  1 � C 


2

Vậy tam giác ABC vuông.
2.1.2. Nhận dạng tam giác cân
2.1.1.1. Dấu hiệu nhận dạng tam giác ABC cân
+ a=b;

b=c;

c=a

+  sinA  sin B ; sin B  sin C  ; sin C  sin A
sin

A
B
B
C
C
A
 sin ;   sin  sin ;   sin  sin   ( n �N)
n
n

n
n
n
n

+  cosA  cos B ; cos B  cos C ; cos C  cos A
cos

A
B
B
C
C
A
 cos ;  cos  cos ;  cos  cos   (n �N)
n
n
n
n
n
n

+ tan A  tan B;  tan B  tan C;  tan C  tan A
tan

A
B
B
C
C

A
 tan ;  tan  tan ;  tan  tan   ( n �N)
n
n
n
n
n
n

+ sin  A  B   0;  sin  B  C   0;  sin  C  A   0
sin

A B
B C
CA
 0;  sin
 0;  sin
0
n
n
n
17


+ tan  A  B   0;  tan  B  C   0;  tan  C  A   0
tan

A B
B C
CA

 0;  tan
 0;  tan
0
n
n
n

+ cos  A  B   1;  cos  B  C   1;  cos  C  A   1
cos

A B
BC
CA
 1;  cos
 1;  cos
1
n
n
n

2.1.2.2. Ví dụ minh hoạ
3
2
2
3
2
2
3
2
2

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có:  a  b  c   b  c  a   c  a  b   0.

Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
3
2
2
3
2
2
3
2
2
Giải: Ta có: 0  a  b  c   b  c  a   c  a  b 

 a 3  b 2  c 2   a 32  b3  c 3   b 2c 2  b  c 
3
2
2
2
2 2
  b  c �
a
b

c

a
b

bc


c

b
c �




�
�

  b  c   a  b   a  c   ab  bc  ca 
a b 0
a b
�
�
��
bc 0 � �
b  c . Vậy tam giác ABC cân.
�
�
�
�
c a0
c a
�
�
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có:

ha hb hc hb hc ha
     . Chứng minh rằng
hb hc ha ha hb hc

tam giác ABC cân.
Giải: Biến đổi đẳng thức:
ha hb hc hb hc ha
2S / a 2S / b 2S / c 2S / b 2S / c 2S / a
     �





hb hc ha ha hb hc
2S / b 2S / c 2S / a 2S / a 2 S / b 2S / c
�

b c a a b c
     � b 2c  c 2a  a 2b  a 2c  b 2 a  c 2b
a b c b c a

� b 2  c  a   ca  c  a   b  c 2  a 2   0 �  c  a   b  c   b  a   0

18


a b 0
a b
�

�
��
bc 0 � �
bc
�
�
�
�
c a0
c a
�
�
Vậy tam giác ABC cân.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có: sin

A
a

. Chứng minh rằng tam giác ABC
2 2 bc

cân.
2
A 1  cos A 1 � b 2  c 2  a 2 � a   b  c 

 �
1
Giải: Ta có: sin
�
2

2
2�
2bc
4bc
�

2

2

a2   b  c 
A
a
a2
a2
2 A
Do đó đẳng thức: sin 
� sin

�

2 2 bc
2 4bc
4bc
4bc
2

� a2   b  c   a2 � b  c
2

Vậy tam giác ABC cân.
2.1.3. Nhận dạng tam giác đều
2.1.3.1. Nhận xét
Nói chung tất cả các bất đẳng thức đối xứng với ba góc A, B, C hoặc ba
cạnh a, b, c đều xảy ra dấu bằng tại trạng thái A  B  C  600 hoặc là a  b  c
tức là lúc đó tam giác ABC đều. Vì thế có thể chuyển tất cả các bài toán bất đẳng
thức đối xứng trong tam giác về các bài toán nhận dạng tam giác đều. Sau đây
chúng ta xét đại diện một số bài toán với sự đa dạng khác nhau thay cho hàng
nghìn bài toán có cơ sở là các bất đẳng thức đối xứng.
2.1.3.2. Ví dụ minh họa
�ra  3r
. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có: �
ma  3r
�

A
�
r

p
tan
a
�
�
2
Giải: Do: �
nên ra  3r � p  3  p  a  � b  c  2a (1)
A
�

r   p  a  .tan
�
2

19


9S 2 9 p  p  a   p  b   p  c 
Từ ma  3r � m  9r � m  2 
p
p2
2
a

2

2
a

�

2b 2  2c 2  a 2 9  p  a   p  b   p  c 

4
p

�

2b 2  2c 2  a 2 9  b  c  a   c  a  b   a  b  c 


4
4 a  b  c

2
9  2a  a  �
a2   b  c  �
�
�
Vì b  c  2a nên ta có: 2b 2  2c 2  a 2 
a  2a
2
� 2b 2  2c 2  a 2  3 �
a 2   b  c  �� 5b 2  5c 2  6bc  4a 2   b  c  2
�
�

� 4 b  c  0 � b  c
2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: a  b  c .
Vậy tam giác ABC đều.
3
�
sin
B
.sin
C


�
�
4
.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có: �
3
3
3 Chứng minh rằng tam giác
a

b

c
�
a2 
a b c
�
ABC đều.
Giải: a 2 

a3  b3  c 3
� a 2  a  b  c   a 3  b3  c 3 � a 2  b  c   b 3  c 3
abc

2
2
2
� a2  b  c    b  c  �
b 2  c 2  bc �
�

�� a  b  c  bc

� bc  b 2  c 2  c 2 �
sin B.sin C 

bc b 2  c 2  a 2
1


�  cos A � A    (1)
2bc
2bc
2
3

3
3
��
cos  B  C   cos  B  C  �
 3 � cos  B  C   cos A 
�
�
4
2

� cos  B  C   1 � B  C  

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: A  B  C.

20


Vậy tam giác ABC đều.
2.1.4. Nhận dạng tam giác thường đặc biệt
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có: sin 3 A  sin 3 B  sin 3C  0 . Chứng minh rằng:
Tam giác ABC luôn có ít nhất một góc bằng 600 .
Giải: Ta có:
sin 3 A  sin 3B  sin 3C  2sin

3 A  B 
3 A  B 
3C
3C
cos
 2sin
cos
2
2
2
2

3�
 C � 3 A  B 
 A  B � 3C
�
 2sin �  �
cos
 2sin 3 � 

cos
2 �2 2 �
2
2 �
�2
� 2

 2cos

3 A  B 
3 A  B 
3C
3C
cos
 2cos
cos
2
2
2
2

 2cos

3 A  B  �
3C � 3  A  B 
3A
3B
3C
cos


cos
�
� 4cos cos cos
2 �
2
2
2
2
2
�

� 3A
� 
A
cos
0
�
�
3
2
�
�
3B

�
cos
0� �
B
Do đó: sin 3 A  sin 3 B  sin 3C  0 � �
� 3

2
�
� 
3C
�
�
cos
0
C
� 3
�
2
�
Vậy tam giác ABC có: sin 3 A  sin 3 B  sin 3C  0 thì tam giác đó luôn có ít
nhất một góc bằng 600 .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có: sin 6 A  sin 6 B  sin 6C  0 . Chứng minh rằng:
Tam giác ABC luôn có góc bằng 600 hoặc bằng1200 .
Giải: Ta có:

21


sin 6 A  sin 6 B  sin 6C  2sin 3  A  B  cos3  A  B   2sin 3C cos3C
 2sin 3C.cos3  A  B   2sin 3C.cos3  A  B   4sin 3C.sin 3 A.sin 3B  0
sin 3 A  0
�
�
sin 3B  0
� sin 6 A  sin 6 B  sin 6C  0 � �
�

sin 3C  0
�
� 
A
�3 A     � 3
��
Chẳng hạn: Trường hợp sin 3 A  0 � �
3
A

2

2
�
�
A
� 3
Trường hợp sin 3B  0 , sin 3C  0 tương tự.
Vậy tam giác ABC có: sin 6 A  sin 6 B  sin 6C  0 thì tam giác đó luôn có góc
bằng 600 hoặc bằng1200 .
sin A  sin B  sin C
 3. Chứng minh rằng: Tam
cos A  cos B  cos C
giác ABC có ít nhất một góc bằng 600 .
Ví dụ 3: Tam giác ABC có:

sin A  sin B  sin C
 3
cos A  cos B  cos C
�3

��3
��3
�
1
1
1
� � cos A  sin A � � cos B  sin B � � cos C  sin C � 0
2
2
2
�2
� �2
� �2
�

Giải: Ta có:

�
�
�
�
�
�
� sin �  A � sin �  B � sin �  C � 0
�3
�
�3
�
�3
�

 C � � C �
� A  B � B  A
�
� 2sin � 
.cos
 2sin �  �
.cos �  � 0
�
2 �
2
�3
�6 2 � �6 2 �
�C  � B  A
� C � �A  B  �
� 2sin �  �
.cos
 2sin �  �
.cos �
 � 0
2
3�
�2 6 �
�6 2 � � 2
�C  � B  A
�C  � �A  B  �
� 2sin �  �
.cos
 2sin �  �
.cos �
 � 0

2
6
2
2
6
2
3�
�
�
�
� �

� B A
�
�C  �
�A  B  �
� 2sin �  �
cos
 cos �
 �
�
� 0
2
3�
�2 6 �
� 2
�
�
�C  � �B  � �A  �
� 2sin �  �

.2sin �  �
.2sin �  � 0
�2 6 � �2 6 � �2 6 �

22


� �A  �

sin �  � 0 �
A

�
� 3
2 6�
� �
�
� �B  �

��
sin �  � 0 � �
B .
� 3
� �2 6 �
� 
� �C  �
C
sin �  � 0 �
�
�

3
� �2 6 �
Vậy tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 600 .
2.2. Sử dụng hàm lượng giác để xây dựng đẳng thức và bất đẳng thức trong
tam giác
2.2.1. Đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác trong tam giác và xây dựng bài
toán đại số
2.2.1.1. Một số đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác
Để chứng minh các bất đẳng thức ta sử dụng một số kết quả về tính lồi,
lõm của các hàm lượng giác.
+ Kết quả 1: Với 0 �x, y, z � chứng minh rằng:

sinx  sin y
x y
�sin
2
2
sinx  sin y  sin z
x yz
�sin
3
3


+ Kết quả 2: Với 0 �x, y � chứng minh rằng:
2
1.

cos x  cos y
x y

�cos
2
2

2.

t anx  tan y
x y
�tan
2
2

3. cot x  cot y �cot

x y
2


+ Kết quả 3: Với 0 �x, y � chứng minh rằng:
2
1.

cos x  cos y  cos z
x yz
�cos
3
3
23

2.

t anx+ t any  t anz
x yz
�tan
3
3

3.

cot x  cot y  cot z
x yz
�cot
3
3

Ví dụ 1: Với A, B, C là các góc của tam giác ABC (tam giác ABC nhọn), chứng
minh rằng: tan 2 A  tan 2 B  tan 2 C �9
1
2
2
2
2
Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức: a  b  c �  a  b  c 
3



1
1

2
2
2
2
Ta có: tan A  tan B  tan C �  t anA  tan B  tan C  � 3 3
3
3
Dấu “=” của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: A  B  C 



2


3

Ví dụ 2: Với A, B, C là các góc của tam giác ABC chứng minh rằng:
1. sin

A
B
C 1
sin sin � .
2
2
2 8

2. co s

A

B
C
co s co s �3 3 .
2
2
2

Chứng minh:
1. Ta có: sin
� 4sin

A
B
C 1
A
B
C
sin sin � � 8sin sin sin  1 �0
2
2
2 8
2
2
2

C � A B
A B�
cos
 cos
�

� 1 �0
2�
2
2 �

� 4sin 2

C
C
AB
 4sin cos
 1 �0
2
2
2
2

A B�
� C
2 AB
��
2sin  cos
�0 (luôn đúng).
� sin
2
2 �
2
�
Dấu “=” của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: A  B  C 
2. Theo đề ta có:

24


3

9


B
C
� A
cot
cot
cot
�
A
B
C
2
2
cot cot cot �� 2
2
2
2 �
3
�
A
B
C
۳ cot cot cot

3 3
2
2
2

3

3
A
B
C�
� �
cot cot cot �
�
� � 2
2
2�
��
27
�
�


3
Ví dụ 3: Với A, B, C là các góc của tam gác ABC chứng minh rằng:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: A  B  C 

1.cos A  cos B  cos C �sin
2.2sin

A
B
C
 sin  sin
2
2
2

A
B
C 9
 sin  sin �
2
2
2 4

Chứng minh:
1. Ta có: cos A  cos B  2cos

A B
A B
A B
cos
�2cos
2
2
2
2

Tương tự, ta có: cos B  cos C �2sin

A
B
; cos C  cos A �2sin
2
2

Cộng từng vế của bất đẳng thức ta đươc bất đẳng thức cần chứng minh.


3
A
B
C
B C
B C
B C
 2sin
cos
2. Ta có: P  2sin  sin  sin  2cos
2
2
2
2
4
4
B C
BC
B C
� 4sin 2

 2sin
cos
 P2 0
4
4
4
2 BC
cos
B C
9
Từ đó, ta có: 
4
�' cos 2�� 4 P 8 0
P 2
2
4
4
�B  C
�
Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: � B  C 1
sin

�
�
4
4
2.2.1.2. Phương pháp giải đại số
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : A  B  C 

Giải các bài toán bằng phương pháp đại số trước hết ta chứng minh một số kết

quả sau:
25