Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóa (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

CAO THỊ THU TRANG

TÍNH TUẦN HOÀN VÀ ỔN ĐỊNH
CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

CAO THỊ THU TRANG

TÍNH TUẦN HOÀN VÀ ỔN ĐỊNH
CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

Chuyên ngành: Toán Ứng dụng
Mã số:

8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TSKH. NGUYỄN THIỆU HUY

THÁI NGUYÊN - 2018


i

MỤC LỤC

Danh sách kí hiệu

ii

Lời nói đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân mũ . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Tính ổn định và nhị phân mũ

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Không gian Banach và định lý Banach-Alaoglu . . . . . . . . . . . . .

12

1.3

Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2. Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàn đối với phương trình tiến
hóa tuyến tính

16

2.1

Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . .

16

2.2

Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn khi nửa nhóm có nhị phân mũ . .

22

Chương 3. Sự tồn tại duy nhất và ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn
đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

26

3.1

Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . .

26

3.2

Nghiệm tuần hoàn trong trường hợp nửa nhóm có nhị phân mũ . . . . .

28

3.3

Ổn định có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

38


ii

DANH SÁCH KÍ HIỆU

N

: tập các số tự nhiên.

R

: tập các số thực.

R+

: tập các số thực không âm.

L p (R)

:= u : R → R u

p

|u(x)| p dx)1/p < +∞ , 1 ≤ p < ∞.

=(
R

X,Y

: không gian Banach.

L (X)

: không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.

Cb (R+ , X)

:= v : R+ → X | v liên tục và sup v(t) < ∞ ,
t∈R+

với chuẩn v

Cb (R+ ,X)

:= sup v(t) .
t∈R+


1

Lời nói đầu

1.

Lí do chọn đề tài
Các phương trình vi phân thường hoặc phương trình vi phân đạo hàm riêng là

các mô hình toán học mô tả các hiện tượng trong tự nhiên và kỹ thuật. Trong thực
tế mọi sự vận động của tự nhiên, xã hội và kỹ thuật đều phụ thuộc vào thời gian
(nhiễu, ngoại lực,...) làm cho phương trình trở nên phức tạp hơn. Cùng với sự phát
triển của toán học, các không gian hàm trừu tượng được đưa ra. Bằng cách chọn
toán tử thích hợp trong không gian hàm thích hợp các mô hình đó có thể viết dưới
dạng phương trình vi phân trừu tượng với các toán tử tác động trong không gian
Banach.
Khi nghiên cứu lớp phương trình vi phân trong không gian Banach, chúng ta
quan tâm đến điều kiện tồn tại nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương
trình. Và một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng điệu
tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa là tìm các điều kiện cho sự tồn tại của
các nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trong trường hợp phần phi tuyến
tác động từ một hàm T-tuần hoàn thành một hàm T-tuần hoàn. Có nhiều phương
pháp tiếp cận vấn đề này như: phương pháp điểm bất động Tikhonov’s (xem [18]),
phương pháp hàm Lyapunov (xem [19])... Phương pháp chứng minh sự tồn tại
nghiệm tuần hoàn của phương trình thông qua tính bị chặn của các nghiệm và

tính compact của ánh xạ Poincare. Tuy nhiên, trong phương trình vi phân đạo hàm
riêng có miền xác định không bị chặn hoặc các phương trình vi phân thường có
nghiệm không bị chặn, các phép nhúng compact như vậy là không hợp lệ và sự tồn
tại các nghiệm bị chặn là không dễ dàng có được vì phải lựa chọn rất cẩn thận điều
kiện ban đầu để đảm bảo tính bị chặn của nghiệm tương ứng với điều kiện ban đầu
đó.
Vì vậy, trong luận văn này chúng tôi trình bày một hướng tiếp cận khác về sự
tồn tại và duy nhất của nghiệm tuần hoàn cho phương trình tiến hóa trừu tượng


2
nhằm mục đích vượt qua những khó khăn đó.

2.

Lịch sử nghiên cứu
Đã có nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm đến sự tồn tại nghiệm,

nghiệm tuần hoàn và mối liên hệ giữa nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn của
các phương trình vi phân. Từ những năm 1950, Massera (xem [10]) đã nghiên cứu
mối quan hệ giữa nghiệm tuần hoàn và nghiệm bị chặn của phương trình vi phân
thường. Đến năm 2006, Zubelevich sử dụng phương pháp Ergodic mở rộng (xem
[16]) để nghiên cứu tính tuần hoàn của nghiệm bị chặn. Cũng sử dụng phương
pháp Ergodic mở rộng, Nguyễn Thiệu Huy (xem [7]) đưa ra được điều kiện tồn
tại nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes. Từ đó, Nguyễn Thiệu Huy
cùng với nhóm nghiên cứu đã có một số kết quả nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn
của lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trong trường hợp phần tuyến tính sinh
ra họ tiến hóa có nhị phân mũ, phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipchitz không
đều và không đủ nhỏ. Luận văn này trình bày trường hợp riêng của bài báo [8].

3.

Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Mục đích nghiên cứu:
Trình bày kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của các phương
trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất và phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.
Trình bày về tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hoàn của phương trình
tiến hóa nửa tuyến tính.
* Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận văn:
Các phương trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất và phương trình tiến
hóa nửa tuyến tính.
Nghiệm bị chặn và tính chất nghiệm tuần hoàn của các phương trình tiến
hóa tuyến tính và nửa tuyến tính.

4.

Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:


3
Phương pháp lý thuyết về nửa nhóm, nhị phân mũ để biểu diễn nghiệm đủ tốt
của phương trình vi phân.
Phương pháp trung bình Ergodic, Định lý Banach-Alaoglu cho không gian
Banach khả ly, nguyên lý điểm bất động.

5.

Cấu trúc và kết quả của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm ba chương
• Chương 1: Chúng tôi trình bày các khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh,
tính nhị phân mũ của nửa nhóm và một số tính chất cơ bản của các khái
niệm đó. Đồng thời, chúng tôi cũng nêu lại khái niệm về một số không gian
và các định lý quan trọng được sử dụng trong chứng minh các kết quả của
luận văn.
• Chương 2: Chúng tôi trình bày kết quả về tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn
của phương trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất có dạng


 du = Au(t) + f (t) với t > 0
dt

u(0) = u0 ∈ X,

(1)

ở đây toán tử tuyến tính A sinh ra nửa nhóm (eAt )t≥0 trên không gian Banach
X; toán tử f lấy giá trị trong không gian Banach là hàm tuần hoàn với chu
kì T thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương.
• Chương 3: Trình bày kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng


 du = Au(t) + g(t, u) với t > 0
dt

u(0) = u0 ∈ X,

(2)

ở đây toán tử phi tuyến g(t, u) là hàm tuần hoàn với chu kì T thỏa mãn điều
kiện Lipschitz địa phương. Trong trường hợp A sinh ra nửa nhóm (eAt )t≥0
có nhị phân mũ, chúng tôi xây dựng công thức nghiệm bị chặn LyapunovPerron. Từ đó nghiên cứu tính tồn tại duy nhất và ổn định có điều kiện
nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (2).


4

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của nửa nhóm
liên tục mạnh, tính nhị phân mũ của nửa nhóm, không gian Banach và một số kiến
thức cơ sở phục vụ chứng minh kết quả của chương sau.

1.1
1.1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân
mũ
Nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0 ⊂ L (X) được gọi là
một nửa nhóm liên tục mạnh nếu
(i) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0;
(ii) T (0) = I toán tử đồng nhất;
(iii) lim T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X.

t→0+

Định nghĩa 1.1.2. Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định bởi
1
(T (h)x − x)
h→0+ h

Ax := lim
trên miền xác định D(A) =

x ∈ X : lim 1h (T (h)x − x) tồn tại
h→0+

gọi là toán tử

sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X.
Định lý 1.1.3. Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ta có
(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính;


5
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A)
và

d
dt T (t)x

= T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0;
t

(iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta có T (s)xds ∈ D(A);
0

(iv) ∀t ≥ 0 ta có
t

T (t)x − x = A

T (s)xds nếu x ∈ X
0

t

T (s)Axds nếu x ∈ D(A).

=
0

Định nghĩa 1.1.4. Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach X. Tập
các giá trị chính quy (tập giải) của A là
ρ(A) = {λ ∈ C | (λ I − A) là song ánh } .
Khi đó
R(λ , A) := (λ I − A)−1 , λ ∈ ρ(A) là giải thức của A,
σ (A) := C \ ρ(A) gọi là tập phổ của A.
Định lý 1.1.5. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach
X, lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho T (t) ≤ Meωt , ∀t ≥ 0. Khi đó với toán tử
sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có các tính chất sau
∞

(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ )x := e−λ s T (t)xds tồn tại, ∀x ∈ X thì

0

λ ∈ ρ(A) và R(λ , A) = R(λ );
(ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ , A) = R(λ );
(iii) R(λ , A) ≤

M
Reλ −ω , ∀Reλ

> ω.
+∞

Chú ý rằng, công thức R(λ , A)x =

e−λ s T (s)xds gọi là biểu diễn tích phân

0

của giải thức. Tích phân ở đây là tích phân Riemann suy rộng
+∞

t
−λ s

e
0

e−λ s T (s)xds.

T (s)xds = lim

t→+∞
0


6

1.1.2

Nửa nhóm giải tích

Các kiến thức về nửa nhóm giải tích được trình bày chi tiết trong tài liệu [9].
Định nghĩa 1.1.6. Toán tử A được gọi là toán tử quạt (sectorial operator) nếu
π
ω ∈ R, θ ∈ ( , π), M > 0 sao cho các điều kiện sau thỏa mãn
2
1. ρ(A) ⊃ Sθ ,ω = {λ ∈ C, λ = ω, |arg(λ − ω)| < θ };
2. R(λ , A) ≤

M
|λ −ω| ;

với mọi λ ∈ Sθ ,ω .

Nếu thêm điều kiện ρ(A) = 0/ thì A là đóng. Do đó D(A) với chuẩn đồ thị
x

D(A)

:= x + Ax

là không gian Banach. Với toán tử quạt A, chúng ta có thể xác định toán tử tuyến
tính bị chặn etA theo tích phân Dunford
eAt :=

1
2πi

etλ R(λ , A)dλ ,t > 0,

(1.1)

ω+γr,η

trong đó r > 0, η ∈ ( π2 , θ ) và γr,η là đường cong
{λ ∈ CR− : | arg λ | = η, |λ | ≥ r} ∪ {λ ∈ CR− : | arg λ | ≤ η, |λ | = r}
hướng ngược chiều kim đồng hồ. Ngoài ra
e0A x = x, với mọi x ∈ X.

(1.2)

Do hàm λ → etλ R(λ , A) là chỉnh hình trong Sθ ,ω nên etA độc lập với việc chọn
r và η
Định nghĩa 1.1.7. Với A : D(A) ⊂ X → X là toán tử quạt. Họ {etA : t ≥ 0} xác
định bởi (1.1)-(1.2) được gọi là nửa nhóm giải tích sinh bởi toán tử A trong X.
Định lý 1.1.8. Với toán tử quạt A ta có các khẳng định sau
1. etA ∈ D(Ak ) với mọi t > 0, x ∈ X, k ∈ N. Nếu x ∈ D(Ak ), thì Ak etA x = etA Ak x,
với mọi t ≥ 0;
2. etA esA = e(t+s)A với mọi t, s ≥ 0;

7
3. Với các hằng số M0 , M1 , ..., sao cho

ωt
(a) etA
L(X) ≥ M0 e ,t ≥ 0,
(b) t k (A − ωI)k etA
L(X) ≤ Mk ,t > 0

(1.3)

ở đó ω xác định trong Định nghĩa 1.1.6. Đặc biệt từ (1.3b) suy ra với mọi
ε ≥ 0 và k ∈ N tồn tại Ck,ε > 0 sao cho
t k Ak etA

L(X)

≤ Ck,ε e(ω+ε)t ,t > 0;

(1.4)

4. Hàm t → etA thuộc C∞ ((0, ∞), L(X)) và
d k tA
e = Ak etA ,t > 0,
dt k

(1.5)

hơn nữa ta có một mở rộng giải tích trong quạt

π
S = {λ ∈ CR− : λ = 0, | arg λ | < θ − }.
2
Chứng minh. Chứng minh khẳng định (1), sử dụng đẳng thức AR(λ , A) = λ R(λ , A)−
I, với λ ∈ ρ(A), suy ra với mỗi x ∈ X, etA x thuộc D(Ak ) với k ∈ N và
Ak etA =

1
2πi

λ k etλ R(λ , A)dλ
ω+γr,η

nếu x ∈ D(A) thì AetA x = etA Ax suy ra từ Định nghĩa 1.1.7 thông qua đẳng thức
AR(λ , A)x = R(λ , A)Ax tương tự với k > 1.
Tiếp theo, chứng minh (2), (3). Xét toán tử
B : D(A) → X;

Bx = Ax − ωx.

(1.6)

Khi đó tập giải của B chứa quạt Sθ ,0 , ở đó θ cho trong Định nghĩa 1.1.6 và
R(λ , B) = R(λ + ω, A), do đó
λ R(λ , B) L (X) ≤ M, λ ∈ Sθ ,0 .

(1.7)

Từ Định nghĩa 1.1.7 chúng ta dễ dàng có
etB = e−ωt etA ,t ≥ 0.

(1.8)


8
Bây giờ, chúng ta cần chứng minh (2). Với t, s > 0, r > 0, π2 < η < η chúng ta có
1
2πi

2

1
2πi
1
=
2πi

2

etB esB =

etλ R(λ , B)dλ
γr,η

γ2r,η

etλ +sµ

=

−

γr,η ×γ2r,η
2

R(λ , B) − R(µ, B)
dλ dµ
µ −λ
esµ (µ − λ )−1 dµ

etλ R(λ , B)dλ
γr,η

1
2πi

esµ R(µ, B)dµ

γ2r,η

2

etλ (µ − λ )−1 dλ ,

esµ R(µ, B)dµ
γ2r,η

γr,η

do đó từ bất đẳng thức

esµ (µ − λ )−1 dµ = 2πiesλ với λ ∈ γr,η
γ2r,η

và
esλ (µ − λ )−1 dλ = 0 với µ ∈ γ2r,η
γr,η

ta có etB esB = e(t+s)B . Khẳng định (2) suy ra từ (1.8).
Chúng ta chứng minh tiếp (3) và (4). Với t > 0 ta có
1
2πi
1
=
2πit
1
=
2πit

etB =

do đó
etB

L(X)

≤

M
2
2π

+∞

etλ R(λ , B)dλ
γr,η

ξ
eξ R( , B)dξ
t
γtr,η
ξ
eξ R( , B)dξ
t
γr,η
ρ −1 eρ cos η dρ +

r

η

er cos θ dθ

−η

và (1.3)(a) cùng với (1), etB x thuộc D(A) = D(B) với mọi x ∈ X và
1
2πi
1
=
2πi

1
=
2πi

BetB =

do đó
BetB

L(X) ≤

M
2
2πt

λ etλ R(λ , B)dλ
γr,η

ξ
t −2 ξ eξ R( , B)dξ
t
γtr,η
ξ
t −2 ξ eξ R( , B)dξ
t
γr,η

+∞
r

ρ −1 eρ cos η dρ + r

η
−η

er cos θ dθ


9
và (1.3)(b) suy ra k = 1. Hơn nữa chúng ta dễ thấy, với t > 0
1
d tB
e =
dt
2πi

λ etλ R(λ , B)dλ = BetB

(1.9)

γr,η

do đó

d k tB
e = Bk etB
dt k
Vậy chúng ta có (1.5). Từ bất đẳng BetB = etB B trên D(B) ta có
t

Bk etB = (Be k B )k với k ∈ N
sao cho
Bk etB

L(X)

≤ (M1 kt −1 )k ≤ (M1 e)k k!t −k

và (1.3)(b) ta có với mọi k, với Mk = (M1 e)k k!. Tiếp theo ta chứng minh (4). Với
π
0 < ε < θ − , chọn η = θ − ε. Hàm
2
z → ezA =

1
2πi

ezλ R(λ , A)dλ
ω+γr,η

giải tích trên quạt
Sε = {z ∈ CR− : z = 0.| arg z| < θ −
Hợp của các quạt Sε , với 0 < ε < θ −

1.1.3

π
− ε}.
2

π
là S và ta có khẳng định (4) .
2

Tính ổn định và nhị phân mũ

Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ, nhị phân mũ
của nửa nhóm liên tục mạnh, đặc trưng phổ cho tính ổn định và nhị phân của nửa
nhóm (xem [9]).
Trước hết là khái niệm ổn định mũ đều:
Định nghĩa 1.1.9. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh (A, D(A))
được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại ε > 0 sao cho
lim eεt T (t) = 0.

t→∞

Tiếp theo là khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm.


10
Định nghĩa 1.1.10. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X
được gọi là có nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại một phép chiếu P trên X và các
hằng số N, ν > 0 sao cho
(i) PT (t) = T (t)P,

t ≥ 0;

(ii) ánh xạ hạn chế T (t)| : KerP → KerP, t ≥ 0, là đẳng cấu;
(iii) T (t)x ≤ Ne−ν(t−s) x với x ∈ ImP, t ≥ 0;
(iv) T (t)| x ≤ Ne−ν(t−s) x với x ∈ KerP, t ≥ 0.

Phép chiếu P được gọi là toán tử chiếu nhị phân và các hằng số N, ν được gọi là
hằng số nhị phân.
Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân mũ của
nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của toán tử đóng và cận tăng của nửa
nhóm được xác định trong các định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.1.11. Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng trên không gian Banach
X. Khi đó
s(A) := sup{Reλ : λ ∈ σ (A)}
được gọi là cận phổ của A.
Định nghĩa 1.1.12. Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 với toán tử sinh
(A, D(A)). Khi đó, số thực
ω0 := ω0 (T ) := ω0 (A)
:= inf ω ∈ R : ∃M > 1 sao cho T (t) ≤ Meωt , ∀t ≥ 0
được gọi là cận tăng của T .
Nhận xét 1.1.13. Nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi ω0 (A) < 0.
Tuy nhiên, ta muốn đặc trưng tính ổn định mũ theo phổ của toán tử sinh vì
trong thực tế nửa nhóm rất khó xác định tường minh, còn toán tử sinh có thể xác
định cụ thể. Để làm điều đó ta cần đến khái niệm "Định lý Ánh xạ phổ (Spectral
Mapping Theorem - SMT)" sau đây.


11
Định nghĩa 1.1.14. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh (A, D(A))
được gọi là thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ (SMT) nếu:
σ (T (t))\{0} = etσ (A) với t ≥ 0.

(SMT)

Để đặc trưng cho tính nhị phân mũ ta có định lý sau đây (xem [9]).
Định lý 1.1.15. Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , các mệnh đề sau là

tương đương
1. (T (t))t≥0 có nhị phân mũ;
2. σ (T (t)) ∩ D = 0/ với một/ mọi t > 0, trong đó D là đường tròn đơn vị.
Trường hợp (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ (SMT) và A là toán tử sinh
của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với
σ (A) ∩ iR = 0.
/
Trong định lý trên, lưu ý rằng giả thiết (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ
có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là σ (A) và σ (T (t)) thỏa mãn
σ (T (t)) ⊂ D.etσ (A) := {z.etλ : λ ∈ σ (A), |z| = 1}, ∀t ≥ 0.
Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh có nhị phân mũ với toán tử chiếu P.
Kí hiệu H := P < ∞. Chúng ta định nghĩa hàm Green như sau
PT (t − τ)

nếu t > τ ≥ 0,

−T (t − τ)| (I − P)

nếu 0 ≤ t < τ.

G (t, τ) ≤ (1 + H)Ne−ν|t−τ|

với t = τ ≥ 0.

G (t, τ) =

(1.10)

Khi đó, ta có đánh giá
(1.11)

Nhận xét 1.1.16. Cho A là toán tử quạt sinh ra nửa nhóm giải tích {etA }t≥0 . Khi
đó nửa nhóm giải tích này có nhị phân mũ với phép chiếu P cho bởi công thức
P=

R(λ , A)dλ ,
Γ

trong đó Γ là đường biên đóng không giao với δ (A) và bao quanh tập phổ δ0 (A).


12

1.2

Không gian Banach và định lý Banach-Alaoglu

Trong phần này, các khái niệm về không gian tuyến tính, không gian định chuẩn,
không gian Banach được xem lại trong tài liệu [1]. Chúng tôi trình bày lại các khái
niệm về không gian Banach phản xạ và không gian Banach khả ly (xem [1]) và các
Định lý Banach-Alaoglu (xem [3]).
Định nghĩa 1.2.1. Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian
phản xạ nếu phép nhúng chuẩn tắc từ không gian X vào không gian liên hợp thứ
hai X của nó là một toàn ánh.
Như vậy, không gian tuyến tính định chuẩn X là một không gian phản xạ khi
và chỉ khi với mỗi phần tử x∗∗ bất kỳ thuộc X , tồn tại một phần tử x ∈ X sao cho
x∗∗ (x∗ ) = x∗ (x) với mọi x∗ ∈ X . Và nếu X là không gian phản xạ đầy đủ được gọi
là không gian Banach phản xạ.
Định nghĩa 1.2.2. Một tập con K của không gian Banach được gọi là compact dãy
yếu (viết tắt w.s.c) nếu với mỗi dãy xn ⊂ K có một dãy con hội tụ yếu với giới hạn

trong K tức là có một số tự nhiên nk và x ∈ K sao cho xnk

x.

Định lý 1.2.3 (Định lý Banach-Alaoglu cho không gian phản xạ). Cho X là không
gian Banach phản xạ nếu X = X . Cho B là một quả cầu đơn vị đóng thì B = {x ∈
X : x ≤ 1} là compact liên tục yếu.
Hệ quả 1.2.4. Cho X là không gian phản xạ và K ⊂ X là tập lồi đóng bị chặn thì
K là liên tục compact yếu.
Định nghĩa 1.2.5. Không gian X được gọi là không gian Banach khả ly nếu X là
không gian Banach và chứa một tập con đếm được trù mật trong X, (tức là tồn tại
U ⊂ X đếm được và U = X).
Định nghĩa 1.2.6. Cho K ⊂ U = X là liên tục yếu∗ nếu từ một dãy {un } ⊂ K có
thể tìm được một dãy con hội tụ yếu∗ với giới hạn trong K.
Định lý 1.2.7 (Định lý Banach-Alaoglu trong không gian khả ly). Cho X là không
gian Banach khả ly. Khi đó quả cầu đóng đơn vị B trong U là compact liên tục
yếu∗ .


13

1.3

Bất đẳng thức Gronwall

Kết quả trình bày trong phần này được tham khảo trong tài liệu [5].
Định nghĩa 1.3.1. Một tập đóng K trong không gian Banach W được gọi là nón
nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) x ∈ K thì λ x ∈ K với mọi λ ≥ 0;
(ii) x1 , x2 ∈ K thì x1 + x2 ∈ K ;

(iii) ±x ∈ K thì x = 0.
Cho nón K trong không gian Banach W . Với x, y ∈ W ta xác định quan hệ
x ≤ y nếu y − x ∈ K . Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận trên W .
Định lý 1.3.2 (Bất đẳng thức nón). Cho nón K trong không gian Banach W sao
cho K là bất biến với toán tử A ∈ L (W ), A có bán kính phổ rA < 1. Giả sử
x, z ∈ W thoả mãn x ≤ Ax + z. Khi đó, tồn tại y ∈ W là nghiệm của phương trình
y = Ay + z và thoả mãn x ≤ y.
Chứng minh. Đặt Sx := Ax + z suy ra x ≤ Sx. Với mọi x, y : x ≤ y ta có Sy − Sx =
A(y − x) ∈ K ⇒ Sx ≤ Sy.
Theo quy nạp ta có
n−1

Sn x = An x + ∑ Ai z
i=1

và
x ≤ Sx ≤ S2 x ≤ · · · ≤ Sn x.
Chọn q sao cho rA = lim

n→∞

n

An < q < 1, suy ra tồn tại N > 0:

An ≤ qn ∀n > N ⇒ lim An x = 0.
n→∞

Xét phương trình
y = Ay + z ⇔ (I − A)y = z.

i
Do rA < 1 suy ra ∃(I − A)−1 và y = (I − A)−1 z = ∑∞
i=0 A z. Ta có
n−1

x ≤ Sn x ⇔ An x + ∑ Ai z − x ∈ K .
i=0

Do K đóng và cho n → ∞ ta suy ra x ≤ y.


14
Bổ đề 1.3.3. Giả sử K(t, τ) là hạt nhân không âm trên khoảng hữu hạn hoặc không
hữu hạn J sao cho toán tử tích phân
(Kx)t =

K(t, τ)x(τ)dτ
J

thuộc không gian C(J) các hàm liên tục bị chặn trên J bất biến và có bán kính phổ
nhỏ hơn 1 trong không gian này. Khi đó, một hàm liên tục φ (t) thỏa mãn bất đẳng
thức
φ (t) ≤ f (t) +

K(t, τ)φ (τ)dτ
J

trong đó f (t) là hàm liên tục trên J, thỏa mãn bất đẳng thức φ (t) ≤ ψ(t) với t ∈ J,
trong đó ψ(t) là nghiệm của phương trình tích phân
ψ(t) = f (t) +

K(t, s)ψ(s)ds
J

Chứng minh. Bổ đề 1.3.3 được chứng minh khi ta áp dụng Định lý 1.3.2 trên
không gian C(R, J) với nón K các hàm không âm và toán tử K.
Hệ quả 1.3.4. Giả sử
t

h(τ)φ (τ) t ≥ t0

φ (t) ≤ c +
t0

trong đó, h(t) là một hàm liên tục không âm. Khi đó
t

φ (t) ≤ c.e t0

h(τ)dτ

Hệ quả 1.3.5. Giả sử
t
−ν(t−t0 )

φ (t) ≤ αe

e−ν(t−τ) p(τ)φ (τ)dτ

+β

t0

trong đó, p(t) là một hàm liên tục không âm. Khi đó
t

−ν(t−t0 )+β

φ (t) ≤ α.e

p(τ)dτ
t0

t ≥ t0


15

Kết luận Chương 1
Chương này, chúng tôi đã trình bày tóm tắt một số kiến thức về nửa nhóm, tính ổn
định và nhị phân mũ của nửa nhóm và một số kiến thức cần dùng trong việc chứng
minh các định lý, tính chất trong chương 2, 3 của luận văn.


16

Chương 2
SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TUYẾN TÍNH

Trong chương này, chúng tôi trình bày sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của

phương trình tiến hóa tuyến tính otonom.

2.1

Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến
tính

Trong phần này, chúng tôi trình bày điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm tuần
hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất với hàm đầu vào f lấy
giá trị trong không gian Banach X, trong đó X là không gian đối ngẫu của không
gian khả ly Y (tức là, X = Y với Y là không gian Banach khả ly). Xét bài toán
tuyến tính không thuần nhất


 du = Au(t) + f (t) với t > 0
dt

u(0) = u0 ∈ X,

(2.1)

trong đó họ các toán tử A được đưa ra như trên sao cho bài toán Cauchy thuần nhất


 du = Au(t) với t > s ≥ 0
dt
(2.2)

u(0) = u0 ∈ X
là đặt chỉnh, tức là tồn tại nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi toán tử A sao

cho nghiệm của bài toán Cauchy (2.2) được cho bởi công thức u(t) = eAt u(0) và
nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1) là hàm u liên tục thỏa mãn phương trình tích
phân
t
At

eA(t−τ) f (τ)dτ với mọi t ≥ 0.

u(t) = e u0 +
0

(2.3)


17

Giả thiết 1. Giả sử không gian Y xem như là không gian con của không gian Y
(qua phép nhúng chính tắc) bất biến dưới tác động của toán tử eA T , với toán tử A
là đối ngẫu của toán tử A.
Để chứng minh cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương
trình (2.1) chúng ta cần không gian các hàm liên tục và bị chặn lấy giá trị trong
không Banach X ( với chuẩn · ) xác định như sau
Cb (R+ , X) := {v : R+ → X|v liên tục và sup v(t) < ∞}

(2.4)

t∈R+

với chuẩn
v

Cb

:= sup v(t) .
t∈R+

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính
không thuần nhất thông qua sự tồn tại nghiệm bị chặn được trình bày trong định lý
sau
Định lý 2.1.1. Cho X,Y là các không gian Banach ( với X = Y trong đó Y là
không gian khả ly), f ∈ Cb (R+ , X). Giả sử tồn tại u0 ∈ X sao cho nghiệm đủ tốt u
t

của phương trình (2.1) với u(0) = u0 (tức là, u(t) = eAt u0 + eA(t−τ) f (τ)dτ) thỏa
0

mãn u ∈ Cb (R+ , X) và
u

Cb (R+ ,X)

M f

Cb (R+ ,X) .

(2.5)

Khi đó, giả sử Giả thiết 1 thỏa mãn và f là tuần hoàn với chu kì T thì phương trình
(2.1) có nghiệm đủ tốt uˆ tuần hoàn với chu kì T thỏa mãn
uˆ

Cb (R+ ,X)

(M + T )KeαT f

Cb (R+ ,X) .

(2.6)

Hơn nữa, nếu
lim eAt x = 0 với x ∈ X sao cho eAt x bị chặn trong R+

t→∞

thì nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì T của phương trình (2.1) là duy nhất.

(2.7)


18
Chứng minh. Việc chứng minh tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì T của
phương trình (2.1) tương đương với việc chứng minh tồn tại xˆ ∈ X sao cho
T

eA(T −s) f (s)ds.

AT

xˆ = e xˆ +
0

Để chứng minh sự tồn tại của xˆ chúng ta xét hàm
t

u(t) = eAt u0 +

eA(t−s) f (s)ds
0

thuộc không gian Cb (R+ , X), với hàm tuần hoàn f chu kì T .
Trước tiên ta chứng minh biểu thức sau
T

eA(T −s) f (s)ds

AT

u((k + 1)T ) = e u(kT ) +

với mọi k ∈ N

(2.8)

0

Ta có, biểu thức (2.8) đúng với k = 0. Giả sử nó cũng đúng với k − 1, tức là
T

eA(T −s) f (s)ds,

u(kT ) = eAT u((k − 1)T ) +
0

thì chúng ta phải chứng minh nó đúng với k. Thật vậy, để làm được điều này từ
định nghĩa hàm u suy ra rằng
(k+1)T

u((k + 1)T ) = eA(k+1)T u0 +

eA(k+1)(T −s) f (s)ds

0
kT

= eA(k+1)T u0 +

eA(k+1)(T −s) f (s)ds

0
(k+1)T

+

eA(k+1)(T −s) f (s)ds

kT

= e(A(k+1)T −kT ) eAkT u0 +

kT

eA(k+1)T −kT eA(kT −s) f (s)ds .

0
T

+ eA((k+1)T −(kT +s)) f (s)ds
0

= eAT eAkT u0 +

kT
0
T

= eAT u(kT ) + eA(T −s) f (s)ds
0

T

eAT eA(kT −s) f (s)ds + eA(T −s) f (s)ds
0


19
Do đó, biểu thức (2.8) là đúng với mọi số tự nhiên k.
Tiếp theo, với mỗi n ∈ N chúng ta định nghĩa tổng Cesàro xn như sau
1 n
xn := ∑ u(kT ).
n k=1

(2.9)

Từ bất đẳng thức (2.5) ta suy ra
sup u(kT )

Cb (R+ ,X) .

M f

k∈N

(2.10)

Do đó, dãy {xn }n∈N cũng bị chặn trong X và từ bất đẳng thức (2.10) ta có
sup xn

M f

n∈N

Cb (R+ ,X) .

(2.11)

Theo giả thiết của định lý X = Y và Y là không gian Banach khả ly, theo Định lý
Banach-Alaoglu (xem [3]) tồn tại một dãy con {xnk } của dãy {xn } sao cho
∗

yếu

{xnk } −−−→ xˆ với xˆ

M f

Cb (R+ ,X) .

(2.12)

Ta thấy, từ đẳng thức (2.8) với mỗi số nguyên dương k ta có
T

eA(T −s) f (s)ds

AT

e u(kT ) = u((k + 1)T ) −
0

và từ công thức (2.9) ta có
1 n+1
eAT xn = ∑ u(kT ) −
n k=2

T

eA(T −s) f (s)ds
0

1 n
1

1
= ∑ u(kT ) + u((k + 1)T ) − u(T ) −
n k=1
n
n

T

eA(T −s) f (s)ds
0

Do đó,
T

eA(T −s) f (s)ds − xn =

AT

e xn +

1
u((n + 1)T ) − u(T ) .
n

0

Do dãy {u(nT )}n∈N là bị chặn trong X nên ta có
T

eA(T −s) f (s)ds − xn )

AT

lim (e xn +

n→∞

0

1
u((n + 1)T ) − u(T ) = 0
n→∞ n

= lim

(2.13)


20
hội tụ mạnh trong X.
Trong trường hợp đặc biệt khi ta thay dãy con {xnk } thỏa mãn (2.12) vào (2.13), ta
có

T

∗

A(T −s)

AT

e xnk +

e

yếu
f (s)ds − xnk −−−→ 0.

(2.14)

0

Kết hợp (2.12) và (2.14), ta có
T

∗

A(T −s)

AT

e xnk +

e

yếu
f (s)ds −−−→ xˆ ∈ X.

(2.15)

0
T

Tiếp theo, chúng ta chứng minh eAT xˆ + eA(T −s) f (s)ds = x.
ˆ Kí hiệu ·, · là cặp
0

đối ngẫu giữa Y và Y , sử dụng toán tử U (T, 0) bất biến với không gian Y (xem
giả thiết 1), với mỗi h ∈ Y ta có
T

eA(T −s) f (s)ds, h

eAT xnk +
0

T

eA(T −s) f (s)ds, h

AT

= e xnk , h +
0

T

eA(T −s) f (s)ds, h

= xnk ,U (T, 0)h +

0

T
nk →∞

eA(T −s) f (s)ds, h

−−−→ x,U
ˆ (T, 0)h +
0
T

eA(T −s) f (s)ds, h

= eAT x,
ˆh +
0
T

eA(T −s) f (s)ds, h ,

eAT xˆ +

=

0

điều này suy ra
T

eA(T −s) f (s)ds

AT

e xnk +
0

∗

yếu
−−−→ eAT xˆ +

(2.16)

T

eA(T −s) f (s)ds ∈ X.
0


21
Vậy từ (2.15) và (2.16) suy ra
T

eA(T −s) f (s)ds = x.
ˆ

eAT xˆ +
0

Vậy nghiệm đủ tốt uˆ ∈ Cb (R+ , X) của phương trình (2.2) với giá trị ban đầu u(0)
ˆ =
xˆ là nghiệm tuần hoàn với chu kì T .
Tiếp theo, chúng ta chứng minh bất đẳng thức (2.6). Vì nghiệm đủ tốt u(t)
ˆ của
phương trình (2.2) là tuần hoàn với chu kì T nên
sup u(t)
ˆ
= sup

u(t)
ˆ

0≤t≤T

t∈R

kết hợp với các bất đẳng thức (2.5) và (2.12) ta có
t

sup
0≤t≤T

eA(t−s) f (s)ds

eAt xˆ +

u(t)
ˆ
= sup

0≤t≤T

0
T

αT

≤ Ke

αT

xˆ + Ke

f

ds

Cb (R+ ,X)
0

≤ KeαT M f

αT
Cb (R+ ,X) + Ke

≤ (M + T )KeαT f

f

Cb (R+ ,X) T

Cb (R+ ,X) .

Vậy ta có bất đẳng thức (2.6).
Cuối cùng, chúng ta chứng minh nếu điều kiện (2.7) được thỏa mãn thì nghiệm
đủ tốt tuần hoàn với chu kì T là duy nhất. Thật vậy, với uˆ1 và uˆ2 là hai nghiệm đủ
tốt tuần hoàn với chu kì T của phương trình (2.1). Đặt v := uˆ1 − uˆ2 thì v cũng tuần
hoàn với chu kì T , từ công thức (2.3) chúng ta có
v(t) = eAt (uˆ1 (0) − uˆ2 (0)) với t ≥ 0.
Vì v(·) bị chặn trên R+ , theo bất đẳng thức (2.7) ta suy ra
lim v(t) = 0.

t→∞

Kết hợp với tính chất tuần hoàn của v, ta có v(t) = 0 với mọi t

0, vậy uˆ1 = uˆ2 .