Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong Hình học không gian (Khóa luận tốt nghiệp)

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
---------------------------------VĂN BẢO NGÂN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG
CÁCH VÀ GÓC TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: THS. TRẦN SƠN LÂM

Thành phố Hồ Chí Minh – Tháng 5 năm 2017


2

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công
trình nghiên cứu của tôi, các kết quả nghiên
cứu và số liệu thực nghiệm được nêu trong
khóa luận là trung thực và chưa từng được
công bố trong bất kì một công trình nào khác.

Tác giả khóa luận.
Văn Bảo Ngân

3

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến ThS. Trần Sơn Lâm –
thầy là người tận tình hướng dẫn cho tôi và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp tôi
hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này. Tôi đã học hỏi được từ thầy cách làm việc
khoa học và sự cẩn thận trong nghiên cứu toán học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm khoá luận đã dành
thời gian quý báu để xem xét và góp ý về khoá luận để tôi rút ra kinh nghiệm cho
quá trình nghiên cứu sau này.
Tôi vô cùng biết ơn và cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè đã luôn quan
tâm, động viên và khích lệ tinh thần tôi trong suốt thời gian thực hiện khoá luận.
Cuối cùng, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo quý báo từ Quý Thầy, Cô cũng như
sự góp ý chân thành của các bạn.
Xin chân thành cảm ơn.
Tác giả khóa luận.
Văn Bảo Ngân


4

MỤC LỤC
Trang phụ bìa……………………………………………………………………...... 1
Lời cam đoan……………………………………………………………………...... 2
Lời cảm ơn………………………………………………………………………….. 3
Mục lục………………………………………………………………………….….. 4
Danh sách các chữ viết tắt………………………………………………………….. 7
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………...

8

1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………………….... 8
2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….….... 8
3. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………... 9
4. Phạm vi nghiên cứu……………………………………………………………... 9
NỘI DUNG………………………………………………………………..

10

CHƯƠNG 1
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Khoảng cách…………………………………………………………………… 10
1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng………………………….

10

1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng…………………………….

10

1.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song………………....

10

1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song……………………………….

11

1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau…………………………….

11

1.5.1. Phương pháp dựng đoạn vuông góc chung thứ nhất………………...11
1.5.1.1. Cạch 1.........................................................................................11
1.5.1.2. Cách 2…………………………………………….....................12
1.5.2. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng…..13
2. Góc.......................................................................................................................13
2.1. Góc giữa hai mặt phẳng……………………………………………………...... 13
2.1.1. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng…………………………………13
2.1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau……………………13
2.1.3. Chú ý………………………………………………………………...14


5

2.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng……………………………………....

14

2.2.1. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng……………………14
2.2.2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng………………...14
2.2.3. Chú ý…………………………………………………………….......14
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN
1. Công thức khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên chứa đỉnh của hình
chóp…………………………………………………………………………......15
1.1. Xét bài toán…………………………………………………………. ……..15
1.2. Áp dụng……………………………………………………………..............16
1.3. Chú ý………………………………………………………………............. 18

2. Phân loại các dạng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hình học không
gian………………………………………………………………….................. 19
2.1. Loại 1: Khoảng cách từ chân đường cao (tính từ đỉnh của hình chóp) đến
mặt phẳng chứa đỉnh của hình chóp......………………………..................19
2.2. Loại 2: Khoảng cách từ một điểm (khác chân đường cao của hình chóp) đến
mặt phẳng không chứa đường cao của hình chóp……………………….... 20
2.2.1. Phương pháp dời khoảng cách trự tiếp...............................................20
2.2.2. Phương pháp dời khoảng cách gián tiếp ……………………….......21
2.3. Loại 3: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa
đường cao của hình chóp…………………………………….......................23
2.4. Loại 4: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng chứa chân đường cao của
hình chóp……………………………………………………........................23
3. Công thức tính các loại góc trong hình học không gian…………………….......25
3.1. Công thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (1) (công thức tính góc giữa đường thẳng với mặt
phẳng)……………………………………………………………..................25
3.2. Công thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (2) (công thức tính góc giữa hai mặt phẳng cắt
nhau)…………………………………………………………………............25


6

CHƯƠNG 3
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Một số bài tập trong sách "Chinh phục các kỳ thi THPT trắc nghiệm môn Toán"
của NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2017…………………………..................27
1.1. Bài tập khoảng cách…………………………………………………............27
1.2. Bài tập góc…………………………………………………………..............33
2. Một số câu tính khoảng cách và góc trong đề thi thử của các trường THPT năm
2016……………………………………………………………………...............35
3. Bài tập thực tiễn ………………………………………………………………...48

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………………………… 51
PHỤ LỤC…………………………………………………………………………. 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………….. 62


7

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THPT

:

Trung học phổ thông

GD-ĐT

:

Giáo dục – Đào tạo

NXB

:

Nhà xuất bản


8

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Khoảng cách và góc là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học không
gian, đề tài này còn được ra trong các Kỳ thi THPT Quốc Gia, Kỳ thi học sinh giỏi
nhưng khi nhắc đến những câu tính khoảng cách và góc trong hình học không gian
thì nhiều học sinh khá ngại ngần vì phải vẽ thêm hình cũng như xác định khoảng
cách và xác định góc; thậm chí một số học sinh khá, giỏi chọn phương pháp gắn hệ
trục toạ độ để giải nhưng phương pháp này khá mất thời gian ảnh hưởng đến kết
quả bài thi của các em.
Vào ngày 28 tháng 9 năm 2016 Bộ GD-ĐT ra thông báo trong Kỳ thi tốt nghiệp
THPT Quốc Gia các môn Khoa học tự nhiên và Khoa học xã hội thi theo hình thức
trắc nghiệm khách quan (ngoại trừ môn Ngữ văn). Đặc biệt là môn Toán, vì trước
giờ các em đều trình bày theo phương pháp truyền thống là tự luận nên khi chuyển
đổi sang phương pháp trắc nghiệm các em gặp nhiều khó khăn, thậm chí một số học
sinh có ý định bỏ hẳn phần hình học không gian.
Là người giáo viên tương lai tôi trăn trở về vấn đề này nên chọn đề tài “Một số
phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không gian” để giúp các em
có hướng làm bài hiệu quả hơn mà vẫn rút ngắn được thời gian.
2. Mục đích nghiên cứu
“

Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không gian” là đề tài

giúp các em học sinh không còn e ngại giải các bài tập liên quan đến khoảng cách
và góc trong hình học không gian một cách hiệu quả trong thời gian ngắn nhất.
Hướng các em sử dụng máy tính cầm tay để hổ trợ tìm ra kết quả một cách hiệu quả
và nhanh nhất. Các máy tính cầm tay được phép mang vào phòng thi theo Quy định
của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
Lưu ý: Những công thức này chỉ có giá trị khi học sinh đã học qua bài toán khoảng
cách nghĩa là kiến thức này tương đối phù hợp với học sinh lớp 12 hơn.

9

3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này tôi đã sử dụng phương pháp phân tích, nghiên cứu tài liệu trên
cơ sở đó tổng hợp và chứng minh các vấn đề nghiên cứu, đồng thời trình bày các
bài tập có liên quan và đã làm khảo sát phương pháp này đối với học sinh 11.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về nội dung liên quan đến “Khoảng cách và góc trong không gian”,
được thực nghiệm tại trường THPT Trần Khai Nguyên từ ngày 13/2/2017 đến ngày
8/4/2017.
Nội dung khóa luận gồm 3 chương
Chương 1. Lí thuyết về khoảng cách và góc trong không gian.
Chương 2. Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không
gian.
Chương 3. Bài tập áp dụng.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài khóa luận này nhưng vẫn còn nhiều
thiếu sót về kiến thức và kinh nghiệm. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp từ quý Thầy, Cô và các bạn sinh viên để khóa luận nghiên cứu của tôi được
hoàn chỉnh nhất.


10

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Khoảng cách
1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm 𝑂 và đường thẳng 𝑎. Trong mặt phẳng (𝑂, 𝑎)

gọi 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝑂 lên 𝑎. Khi đó
khoảng cách giữa hai điểm 𝑂 và 𝐻 được gọi là khoảng
cách từ điểm 𝑂 đến đường thẳng 𝑎. Kí hiệu là 𝑑(𝑂, 𝑎).
1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm 𝑂 và mặt phẳng (𝛼). Gọi 𝐻 là hình chiếu
vuông góc của 𝑂 lên (𝛼). Khi đó khoảng cách giữa
hai điểm 𝑂 và 𝐻 được gọi là khoảng cách từ điểm 𝑂
đến mặt phẳng (𝛼). Kí hiệu là 𝑑(𝑂, (𝛼)).
Phương pháp dựng khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng.
𝐵1 : Tìm một mặt phẳng (𝛽) qua điểm 𝑂 và vuông góc với mặt phẳng (𝛼).
𝐵2 : Tìm giao tuyến Δ = (𝛼) ∩ (𝛽).
𝐵3 : Hạ hình chiếu vuông góc 𝐻 của 𝑂 lên Δ thì : 𝑑(𝑂, (𝛼)) = 𝑂𝐻.
1.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song
Cho đường thẳng 𝑎 và mặt phẳng (𝛼). Khoảng cách
giữa đường thẳng 𝑎 và mặt phẳng (𝛼) là khoảng cách
từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng 𝑎 đến mặt
phẳng (𝛼). Kí hiệu là 𝑑(𝑎, (𝛼)).


Khóa luận đầy đủ ở file: Khóa luận full