toán cao cấp, bài tập toán cao cấp, các dạng bài tập toán cao cấp

BÀI KIỂM TRA GIỮA KỲ
Môn: Toán Cao cấp B
Họ và tên SV: Phan Văn Tâm
Mã SV: 1743020075
Khoa: Quản lý tài nguyên rừng.

Lớp: K62_LT

Chương I
Bài 1. Tính các giới hạn
1.3

1.10)
1. 8)
Bài 2. Xét sự liên tục của hàm số trên miền xác định
b, f(x)
- TXĐ
- Ta có f(0)= x2 – 3x +1 => f(0) = 1 Vậy hàm số xác định tại x=0 và lân cận.
Xét khi x->0+ ta có:
Xét khi x->0- ta có:
=>
Vậy hàm số f(x)
Liên tục tại x=1 và hàm số sơ cấp liên tục tại điểm TXĐ thuộc R.
Bài 3.1 Tìm a sao cho các hàm số liên tục trên R.
f(x)=
TXĐ
Xét khi x>0 f(x) = f(1)
Khi x<0 f(x)= f(1)
=>
Khi x=0 thì f(0)=2+a
Điều kiện để hàm số liên tục:

=> a = -1 Vậy khi a= -1 thì hàm số liên tục trên TXĐ R.
Chương II.
Bài 1. Tính các giới hạn sau sử dụng quy tắc Lôpital
1.6)
1.9)


=

Chương III. Phép tính tích phân hàm một biến
Bài 1. Tính tích phân bất định sau:
1.9)
Đặt
-

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới bởi các đường sau
2.3) y= x2+2 và y= x+4
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi tích phân
S=
Cận của tích phân là hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+4 với parabol
y=x2+2

S= (đvdt)
Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay
3.2)
Thể tích vật thể tròn xoay được giới hạn bởi tích phân
V=
Cận của tích phân là hoành độ giao điểm của đường thẳng với parabol và là
nghiệm của phương trình:

Thể tích vật thể tròn xoay là:
V=
=
Bài 4 Tính tích phân suy rộng
4.6)
Đặt =>
Đổi cận:

=+
Chương IV. Hàm của hai biến
Bài 4. Tìm cực trị của hàm hai biến sau


Tính đạo hàm cấp I và cấp II của hàm số z
=A
B
Điểm giới hạn của hàm số là nghiệm của hệ phương trình
=> x=y thay vào phương trình thứa hai ta được
Tại điểm x = 0 ; y=0
x=4/3 y=4/3
Xét tại điểm
vậy điểm M1 không là điểm cực trị của hàm số.
Xét tại điểm M2(
=16-24. = -16 <0
A2 >0 vậy điểm M2( là cực tiểu của hàm số.
Zct= f(M2)=
Chương V: Phương trình vi phân
Bài 1. Giải các phương trình vi phân cấp I
1d)
<=>

=

Lấy tích phân hai vế ta được:
+
1.b)
Lấy tích phân hai vế ta được:

Bài 2.a) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp I
Nghiệm của phương trình:
P(x)y= Q(x)=
Áp dụng công thức nghiệm tổng quát ta có


Bài 3.b) Giải phương trình vi phân cấp 2 có hệ số bằng nhau
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng:
Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất:
Nghiệm của phương trình
Nghiệm tổng quát của phương trình:
Ytn=
- Nghiệm của phương trình không thuần nhất:

Không là nghiệm của phương trình:
Nghiệm riêng của nó là:
Y=



=> Nghiệm riêng: Y=
 Nghiệm của phương trình là:
Chương VI. Ma trận – Định thức – Hệ phương trình đại số tuyến tính

Bài 1.h Tính định thức ma trận

= -12
Bài 3.a) Tìm ma trận X thỏa mãn:
Bài toán dạng: A.X= B
 X=.B

3.d)
=> X=
=>
Bài 4.c) Tìm hạng của ma trận


đổi chỗ hàng 4 cho hàng 3
=
Bài 5.b) Giải phương trình bằng Cramer và phương pháp ma trận nghịch đảo
Ta có:
Giải bằng phương pháp Cramer: bằng cách bỏ một cột của A và thêm vào cột B
Ta có:

Áp dụng công thức

* Giải bằng phương pháp nghịch đảo
A.X=B
Ta tìm ma trận nghịch đảo của A

6




X
Bài 6.b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
Ta có:
Ta có ma trận bổ xung:
B)


Đưa ma trận về ma trận hình thang:

Vậy =>

Thay các giá trị của x vào các phương trình ta được:
* Phần bài tập:
a) Tính giới hạn:
b) Tìm a để f(x) liên tục trên tập xác định:
TXĐ ϵ R
Khi x >0 hoặc x <0 (khi x≠0) thì f(x)= là hàm sơ cấp nên liên tục trên TXĐ của nó
với mọi x≠0
Khi x=0 => f(x) =
Điều kiện để hàm số f(x) liên tục trên TXĐ thì

Vậy ta có:
Vậy khi thì f(x) liên tục trên tập xác định.
c) Tính
Đặt t= =>

=
d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường:
S=
Cận của tích phân là nghiệm của phương trình gieo điểm của 2 parabol:

 S=
=
e) Tìm cực trị của hàm 2 biến


Điểm giới hạn là nghiệm của hệ pt:
(*)
Thay (*) vào (1) ta được: )=0

Ta có:
Xét tại điểm
Ta có:
Vậy điểm không là cực trị của hàm số.
Xét tại điểm
Ta có:
 Điểm là điểm cực tiểu của hàm số

f) Giải phương trình vi phân: (*)
Ta có: nghiệm của phương trình thuần nhất:
(1) gọi là
Phương trình thuần nhất tương ứng:
=> nghiệm của phương trình:
Nghiệm của phương trình:
Ta có α=0 không là nghiệm của phương trình.
- Tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất, n=2 => nghiệm của phương
trình không thuần nhất là:

Thay vào phương trình (*) ta được:



 Nghiệm của phương trình:
 Nghiệm tổng quát của phương trình (*)
g) Giải phương trình bằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo


Ta có: ;
Tính det A=1
=((1.1.2)+(-1.1.3)+(1.2.1))-((3.1.1)+(1.1.1)+(2.2.-1))=
Phương trình có dạng:
A.X=B => X= =
Phần bài tập riêng: Đề số 01.
1.
2. Tìm a để f(x) liên tục trên TXĐ
Xét với x >0 là hàm đa thức nên liên tục
Xét với x ≤ 0 là hàm đa thức nên liên tục
Với x = 0
Điều kiện để f(x) để liện tục trên tập xác định
Ta có:


Vậy khi hàm số f(x) liên tục trên tập xác định.
3. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay quanh trục ox hình phẳng giới hạn
bởi và
Áp dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay:
Giao điểm của parabol và đường thẳng là cận của tích phận: => nghiệm của
phương trình:
Ta có thể tích của vật thể tròn xoay:

4. Tìm cực trị:

(
Giới hạn điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:
Xét tại điểm M(2;0) ta có:
Vậy điểm M (2;0) không là điểm cực trị của hàm số.
5. Giải phương trình vi phân
a)
chia cả hai vế cho :
ta được: lấy tích phân hai vế ta được:
b)
Ta có nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:
Nghiệm của phươn trình thuần nhất:
Nghiệm của phương trình:
Ta có:
=>
không là nghiệm của phương trình thuần nhất
=>
Ta có:


=> nghiệm của
Ngiệm của phương trình là:
6. Tìm ma trận X biết:
có dạng A.X=B =>X=
Ma trận nghịch đảo của