HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM TOÁN 11 CHƯƠNG 4

TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
ĐẠI SỐ 11-CHƯƠNG 4

CHỦ ĐỀ . GIỚI HẠN & HÀM SỐ LIÊN TỤC
I- DẠNG I. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Loại . TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
lim un  �
lim un  �.
A. Nếu
, thì
lim un  0 , thì lim un  0 .
C. Nếu
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
Theo nội dung định lý.

Câu 2. Giá trị của
A. 0
Hướng dẫn giải:
ChọnA.

lim

1
n  1 bằng:
B. 1

na 

lim un  �
lim un  �.
, thì
lim un  a , thì lim un  a .
D. Nếu

B. Nếu

C. 2

D. 3

1
1
1
1

 a n  na
1
lim
0
n

1
n

1
a
n 1

a
ta có
nên có
.

Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
1
lim k
n (k ��*) bằng:
Câu 3. Giá trị của
A. 0
B. 2
C. 4
D. 5
Hướng dẫn giải:
ChọnA.
1
1
1
1
 k  a n  na
na  k
lim k  0
k
n
n
a ta có
n
a
Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn

nên có
.
2
sin n
lim
n  2 bằng:
Câu 4. Giá trị của
A. 0
B. 3
C. 5
D. 8
Hướng dẫn giải:
ChọnA.
sin 2 n
1
1
1
sin 2 n


 a n  na
lim
0
na   2
n2
a
Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
ta có n  2 n  2 na  2
nên có
.

Câu 5. Giá trị của lim(2n  1) bằng:
A. �
B. �
C. 0
D. 1
Hướng dẫn giải:
ChọnA.
M 1
nM 
2
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn
Ta có:

2n  1  2nM  1  M n  nM � lim(2n  1)  �.

Trang 1


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
Câu 6. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnB.

lim

1  n2
n bằng:
B. �

Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn
M  M2 4
� nM 
2
.

C. 0

nM

nM2  1
M
n
M
thỏa

n2  1
n2 1
 M n  nM � lim
 �
n
Ta có: n
1  n2
lim
 �
n
Vậy
.
2

lim
n  1 bằng:
Câu 7. Giá trị của
A. �
B. �
C. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
2 �
�
na  �  1� 1
a �
�
Với mọi a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
2
2
 a n  na � lim
0
n 1
Suy ra n  1
.
cos n  sin n
lim
n 2  1 bằng:
Câu 8. Giá trị của
A. �
B. �
C. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

cos n  sin n
2
1
cos n  sin n
 2
lim 2  0 � lim
0
2
n
n mà
n
n2  1
Ta có

Câu 9. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

lim

n 1
n  2 bằng:
B. �

D. 1

C. 0

D. 1

D. 1

D. 1

�1
�
na  �2  1� 1
a
�
�
Với mọi số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
n 1
1
n 1

 a n  na � lim
0
n2
n 1
Ta có: n  2
.

Câu 10. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:

lim

3n3  n

n 2 bằng:
B. �

C. 0

D. 1

Trang 2


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
Chọn A.
M�
�
nM  � � 1
�3 �
Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn
3n3  n
1
 3n   M n  nM
2
n
Ta có: n
3n3  n
lim
 �
n2
Vậy
.

lim

Câu 11. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

2n
n  1 bằng:
B. �

C. 0

D. 1

2

�1 �
nM  �  3 � 1
�a �
Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn
n2
3
 n 1 
 1  n  3  M n  nM
1

n
n


1
Ta có:
2n
lim
 �
n

1
Suy ra
.
2n  1
A  lim
n  2 bằng:
Câu 12. Giá trị của
A. �
B. �
C. 2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
5
na   2  2
a
Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn
2n  1
5
5
2 

 a n  na
n2

n  2 na  2
Ta có:
Vậy A  2 .
2n  3
B  lim 2
n  1 bằng:
Câu 13. Giá trị của
A. �
B. �
C. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
2na  3
a
2
n
n

1
a

0
a
Với số thực
nhỏ tùy ý, ta chọn
thỏa a

D. 1

D. 1

1  a 2  4a  13
� na 
a
2n  3
 a n  na � B  0
2
Ta có: n  1
.
n2  1
C  lim
n  1 bằng:
Câu 14. Giá trị của
A. �
B. �
Hướng dẫn giải:

C. 0

D. 1
Trang 3


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
Chọn D.
Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn

1
1

a

na 

n2  1
n2
1
1 
1 
 a n  na
n 1
n 1
na  1

Ta có:
Vậy C  1 .

Câu 15. Giá trị của

A  lim

Câu 17. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

1
C. 2

D. 1

n sin n  3n 2
n2
bằng:
B. �

C. 3

D. 1

1
n 2  2 n  7 bằng:
B. �

C. 0

D. 1

C. 0

D. 4

B. �

A. �
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 16. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:

Chọn C.

n2 n
2n bằng:

B  lim

C  lim

D  lim

Câu 18. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

4n  1
n  3n  2 bằng:
B. �
2

an
lim
0
n!
Câu 19. Giá trị của
bằng:
A. �
B. �
C. 0

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
m 1  a
Gọi m là số tự nhiên thỏa:
. Khi đó với mọi n  m  1
m

D. 1

n m

an
a a a
a
a a �a �
0
 . ... .
... 
.�
�
n! 1 2 m m  1 n
m ! �m  1 �
Ta có:
n m

Mà

�a �
lim �
� 0

�m  1 �

. Từ đó suy ra:

lim

an
0
n!
.

n

Câu 20. Giá trị của lim a với a  0 bằng:
A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Nếu a  1 thì ta có đpcm

C. 0

D. 1

Trang 4


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107





n

a�
1  n a 1 � n
�
�
�Giả sử a  1 . Khi đó:
a
0  n a 1  � 0
n
n
Suy ra:
nên lim a  1



n



a 1

1
1
 1 � lim n  1 � lim n a  1
a

�Với 0  a  1 thì a
.
n
Tóm lại ta luôn có: lim a  1 với a  0 .

Loại . TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ DỰA VÀO ĐỊNH LÝ

Trang 5


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
Câu 1. Cho dãy số
1
A. 4 .
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

 un 

un 1 1
n

n
u
2 . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau:
4
n
với
và

1
B. 2 .
C. 0 .
D. 1 .
un 

n
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có n �2 ,n ��
n
n
n
1
n �1 �
n
n �2
1
��
2n
2n.2n 2n
4n �2 �
Nên ta có :
n

n

�1 �
�1 �
0  un �� �
lim � � 0 � lim un  0
�2 �, mà

�2 �
Suy ra :
.
� n cos 2n �
lim �
5 2
�
� n  1 �là:
Câu 2. Kết quả đúng của
A. 4.
B. 5.
C. –4.
Hướng dẫn giải:
ChọnB.
n
n cos 2n
n
 2
� 2
�2
n 1
n 1
n 1
n
1
1
n
lim  2
 lim  .
 0 lim  2

0
2
�
n 1
n 1 1/ n
n 1
Ta có
;
�n cos 2n �
� n cos 2n �
� lim � 2
5 2
� 0 � lim �
� 5
�n  1 �
� n 1 � .
2n  1
A  lim
1  3n bằng:
Câu 3. Giá trị của.
2

A. �
B. �
C. 3
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
4n 2  3n  1
B  lim
(3n  1)2 bằng:

Câu 4. Giá trị của.
B. �

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
lim
Câu 5. Kết quả đúng của
3

A. 3 .
Hướng dẫn giải:
ChọnA.

4
C. 9

1
D. 4 .

D. 1

D. 1

n 2  2n  1
3n 4  2
B.



2
3.

là
C.



1
2.

1
D. 2 .

Trang 6


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
 1  2 / n  1/ n   1  0  0   3
 n  2n  1
lim
 lim
2

2

3n 4  2

3 0

3  2 / n2

Câu 6. Giới hạn dãy số

 un 

3n  n 4
un 
4n  5 là:
với

A. �.
B. �.
Hướng dẫn giải:
ChọnA.
3
3n  n 4
3 3 / n 1
lim un  lim
 lim n
 �
4n  5
45/ n
.
Vì

lim n3  �; lim

lim

D. 0 .

C. �.

D. �.

2
C. 3

D. 1

C. 0

1
D. 1  3

n 3  2n  5
3  5n
:

2
B. 5 .

A. 5 .
Hướng dẫn giải:
ChọnD.
n3  2n  5
lim
 lim n .

3  5n
lim n  �;lim

Câu 8. Giá trị của

3
C. 4 .

3 / n3  1
1

45/ n
4.

Câu 7. Chọn kết quả đúng của

Vì

3 .

 1 2 / n

2

3/ n 5

 1 2 / n

2

 5 / n3 

3/ n5

A  lim

 5 / n3 



1
5.

2n 2  3n  1
3n 2  n  2 bằng:

B. �

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

 �
.

3 1
2  2
n n 2
A  lim
1 2

3  2 3
n n
Ta có:
.
B  lim
Câu 9. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

n 2  2n
n  3n 2  1 bằng:
B. �

Trang 7


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
1
n2  n
1
n  1
n
B  lim
 lim
2
1 1 3
n  3n  1
1 3  2

n
n
Ta có:
Câu 10. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

C  lim

 2n
C  lim

2

 1

4

 n  2

9

n17  1
B. �

bằng:
C. 16

D. 1

1 4 9
2
1
2
) .n (1  )9
(2  2 ) 4 .(1  )9
2
n
n  lim
n
n  16
1
1
n17 (1  17 )
1  17
n
n

n8 (2 

Ta có:

D  lim
Câu 11. Giá trị của

n 2  1  3 3n3  2
4

2n 4  n  2  n bằng:

A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
�
1
2 �
n �1 2  3 3  3 �
n
n � 1 3 3
D  lim �

�
� 4 2 1
1
2
n �4 2  3  4  1�
n n
�
�
Ta có:
.

C  lim
Câu 12. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

4

1 3 3
4
C. 2  1

D. 1

C. 0

D. 1

3n3  1  n

2n 4  3n  1  n bằng:
B. �

3 1 1
 8
5
n
n
n 0
C  lim
3 1 1
2 3  4 
2
n n
n
Chia cả tử và mẫu cho n ta có được

.
4

Câu 13. Giá trị của.
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

F  lim

(n  2)7 (2n  1)3
(n 2  2)5
bằng:
B. �

C. 8

D. 1

Trang 8


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
7

3

� 2 �� 1 �
1  ��2  �

�
n �� n �
�
F  lim
8
5
� 5 �
1 2 �
�
n �
�
Ta có:
n3  1
C  lim
n(2n  1) 2 bằng:
Câu 14. Giá trị của.

Câu 16. Giá trị của.
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnA.

D  lim

E  lim

F  lim
Câu 17. Giá trị của.

n3  3n 2  2

n 4  4n3  1 bằng:
B. �

C. 0

D. 1

n3  2n  1
n2
bằng:
�
B.

C. 0

D. 1

3
3
C. 3  1

D. 1

u
Câu 18. Cho dãy số n với

n 4  2 n  1  2n
3

3n3  n  n

un   n  1
B. 0 .

A. �.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
lim un  lim  n  1

4

B. �

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

Ta có:

D. 1

B. �

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
Câu 15. Giá trị của.
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

1
C. 4

bằng:

2n  2
n  n 2  1 . Chọn kết quả đúng của lim un là:
C.1 .
D. �.
4

2n  2
n  n2  1
4

 n  1  2n  2 
2

 lim

n 4  n2  1

2 n 3  2 n 2  2n  2
 lim
n4  n2  1
`
2 2 2 2
 2 3 4
 lim n n n n  0.

1 1
1 2  4
n n
Trang 9


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
10

lim

n 4  n 2  1 bằng :
Câu 19.
A. �.
B. 10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
10
10
lim
 lim
1
1
n 4  n2  1
n2 1  2  4
n
n
Ta có:

Nhưng

lim 1 

lim

Nên

C. 0 .

D. �.

1 1
10
 4 1
lim 2  0
2
n n
n
và

10
n4  n2  1

 0.

lim
Câu 20. Tính giới hạn:
A.1 .
Hướng dẫn giải:

Chọn B.

n 1  4
n 1  n
B. 0 .

C. 1

1 1 4
 2 
n 1  4
n
n
n  00
lim
 lim
1
n 1  n
1 1
 2 1
n n
Ta có:
.
1  3  5  ....   2n  1
lim
3n 2  4
Câu 21. Tính giới hạn:
1
2
A. 0 .

B. 3 .
C. 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1  3  5  ....   2n  1
n2
1
1
lim

lim
 lim
 .
2
2
4
3n  4
3n  4
3 2 3
n
Ta có:

Câu 22. Chọn kết quả đúng của
A. 4 .
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

lim 3 

B. 3 .

1
D. 2 .

D. 1 .

n2  1 1

3  n 2 2n .
C. 2 .

1
D. 2 .

1
n2  1
 lim 3 
2
n
n 1 1
1
3
lim 3 
 n
1 2  3   0  2
2
2
n
1
3 n 2

1

Trang 10


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
D  lim
Câu 23. Giá trị của
bằng:
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
Ta xét ba trường hợp sau

ak n k  ...  a1n  a0
bp n p  ...  b1n  b0

a b �0
(Trong đó k , p là các số nguyên dương; k p
).

B. �

C. Đáp án khác

D. 1

ak 1
a

 ...  0k �
� if ak b p  0
n
n �
D  lim
�
bp
b
� if ak b p  0
�
 ...  0k
k
p

k
n
n
�k  p . Chia cả tử và mẫu cho n ta có:
.
a
a
ak  k 1  ...  0k
n
n  ak
D  lim
b
bk
bk  ...  0k
k
k


p
n
�
. Chia cả tử và mẫu cho n ta có:
.
ak
a0
 ...  p
p k
n
n 0
D  lim
b0
bp  ...  p
p
n
�k  p . Chia cả tử và mẫu cho n :
.
n2
25
lim n
3  2.5n là:
Câu 24. Kết quả đúng của
5
1
5
25




A. 2 .
B. 50 .
C. 2 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải:
ChọnB.
2 1
1

0
n
2  5n  2
25   1
lim n
 lim 5 n 25 
n
3  2.5
02
50
�3 �
� � 2.
�5 �
.
n
n 1
3  4.2  3
lim
3.2n  4n
Câu 25.

bằng:
A. �.
B. �.
C. 0 .
D. 1 .
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
n
n
� �2 �
�1 ��
n
3 �
1  4. � 3. � ��
� �
�3 � �3 ��
3n  4.2n 1  3
3n  2.2n  3
�
�
lim
 lim
 lim
n
n
n
n
n
3.2  4
3.2  4

� �2 � �
4n �
3. � 1�
��
�
� �4 � �
ak 

n
n
� �2 �
�1 ��
1  4.
 3.
n �
� � � � ��
�
�3 �� �3 � �3 ��
 lim � �
0
n
� �2 �
�
�4 �
3. � 1�
�
��
�
� �4 � �
.

Trang 11


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
Câu 26. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

C  lim

3.2n  3n
2n 1  3n 1 bằng:

B. �

C.



1
3

D. 1

n

�2 �

3. � � 1
n
n
3.2  3
1
3
C  lim n 1 n 1  lim � �

n
2 3
3
�2 �
2. � � 3
�3 �
Ta có:
lim  3n  5n 
Câu 27. Giá trị đúng của
là:
A. �.
B. �.
Hướng dẫn giải:
ChọnB.
n
�
�3 � �
lim  3n  5n   lim 5n �
 �
� � 1�
�
�

5
�
�
�
�
.
n
�
�
�3 �
lim 5n  �; lim �
 1
� � 1�
�
�5 � �
�
�
Vì
.
n
3.2  3n
K  lim n 1 n 1
2 3
Câu 28. Giá trị của.
bằng:
1

A. 3
B. �
Hướng dẫn giải:

ChọnA.
n
�2 �
3 � � 1
1
3
K  lim � �

n
3
�2 �
2 � � 3
�3 �
5n  1
lim n
3  1 bằng :
Câu 29.
A. �.
B.1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n
�1 �
1

��
5n  1
�5 �
lim n
 lim

n
n
3 1
�3 � �1 �
� � � �
�5 � �5 �
Ta có:
n
n
n
� �1 �
�
3 � �1 �
lim �
1  � �� 1  0 lim �
� � � � 0
� �5 ��
�5 � �5 �
�
�
Nhưng
,
và
n
5 1
lim n
 �
3 1
Nên
.

C. 2 .

D. 2 .

C. 2

D. 1

C. 0

D. �.

n

n

�3 � �1 �
*
� � � � 0 n ��
5
5
�� ��

Trang 12


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
Câu 30.

lim 4

4n  2n1
3n  4n  2 bằng :
1
B. 2 .

A. 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

1
C. 4 .

D. �.

n

�1 �
1  2. � �
1 n
1 2
�2 �  1
 lim
 lim 4
n
n
4 �
3� 2

�3 � 2 2
4n  2n1

4
lim 4 n
�
�
� � 4
n2
4
�
�
�4 �
3

4
Ta có:
.
n
n
�1 �
�3 �
lim � � 0; lim � �  0.
�2 �
�4 �
Vì
Câu 31. Giá trị của.

C  lim

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnB.

3.3n  4n
3n 1  4n 1 bằng:
1
B. 2

C. 0

D. 1

1  a  a 2  ...  a n
I  lim
a  1; b  1
1  b  b 2  ...  b n .
Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa
. Tìm giới hạn
1 b
A. �
B. �
C. 1  a
D. 1
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
1  a n 1
2
n
1  a  a  ...  a 

2
n
1 a
Ta có 1, a, a ,..., a là một cấp số nhân công bội a

Tương tự

1  b  b 2  ...  b n 

1  b n 1
1 b

1  a n 1
1 b
I  lim 1  an 1 
1 b
1 a
1 b
Suy ra lim
a  1, b  1 � lim a n 1  lim b n1  0
( Vì
).
a .n k  a n k 1  ...  a1n  a0
A  lim k p k 1 p 1
a b �0
bp .n  bp 1n  ...  b1n  b0
Câu 33. Tính giới hạn của dãy số
với k p
A. �
B. �

C. Đáp án khác
D. 1
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
Ta chia làm các trường hợp sau

.:

Trang 13


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
ak 1
a
 ...  0k
n
n  ak
A  lim
bp 1
b
bp
bp 
 ...  0k
k
n
n
TH 1: n  k , chia cả tử và mẫu cho n , ta được
.
a

a
ak  k 1  ...  0k
� khi ak bp  0
�
�
n
n
A  lim
�
bp
b
b
� khi ak bp  0
 k p p11  ...  0k �
k
k

p
k

p
n
n
n
TH 2:
, chia cả tử và mẫu cho n , ta được
ak
a
a
 pkk11  ...  0p

p k
n
n 0
A  lim n
bp 1
b
bp 
 ...  0p
p
k

p
n
n
TH 3:
, chia cả tử và mẫu cho n , ta được
.
n
�2
�
lim �
n sin
 2n 3 �
5
�
�bằng:
Câu 34.
A. �.
B. 0 .
C. 2 .

D. �.
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
� n
�
�sin 5
�
n
�2
3�
3
lim �n sin
 2n � lim n �
 2 � �
5
�
�
� n
�
�
�
� n
�
�sin 5
�
3
lim n  �;lim �
 2 � 2
� n
�

�
�
Vì
ak 

n
� n
�
sin
5 �1 ;lim 1  0 � lim � 5  2 � 2
�
�
n
n
n
� n
�
�
�
.

sin

M  lim

Câu 35. Giá trị của.
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
6n

M  lim
3
n 2  6n  n
Câu 36. Giá trị của.
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

H  lim



n 2  6n  n

B. �



 bằng:

n2  n  1  n
B. �

C. 3

D. 1

1
C. 2

D. 1

 bằng:

Trang 14


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
1
1
n
H  lim
 lim

2
1 1
n2  n  1  n
1  2 1
n n
Ta có:
1

n 1

B  lim



2n 2  1  n

Câu 37. Giá trị của
A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnA.
�
�
1
B  lim n �
2


1
�
�
� �
n
�
�
Ta có:
K  lim n

Bài 40. Giá trị của



Câu 38. Giá trị đúng của
A. �.
Hướng dẫn giải:

ChọnB.



lim



n 2  1  3n 2  2







1
C. 2

D. 1

C. 0 .

D. 1 .



1  1/ n 2  3  2 / n 2  �
.


A  lim  n  6n  n 
Câu 39. Giá trị của
bằng:
Vì

lim n  �;lim

D. 1

 là:

B. �.

n 2  1  3n 2  2  lim n

C. 0

 bằng:

B. �

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

lim

n2  1  n

 bằng:

1  1/ n 2  3  2 / n 2  1  3  0

.

2

B. �

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
A  lim
Ta có



6n

 lim



n  6n  n  lim
2

n  6n  n
2

 lim

Câu 40. Giá trị của
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnD.
Ta có:

B  lim



3



3

C. 0

D.3

n 2  6n  n

n 3  9n 2  n

B. �

n3  9n 2  n

D. 1

n 2  6n  n 2

6
3
6
1 1
n

B  lim

C. 3

 bằng:



9n 2

 lim
3

n

3

 9n 2   n 3 n 3  9 n 2  n 2
2

Trang 15


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
 lim

9
9
� 9�
3 1
� � 1   1
n
� n�

Câu 41. Giá trị của

D  lim

D  lim





n 2  2 n  3 n3  2 n 2



n 2  2n  n  lim

2n

 lim

.

 bằng:

B. �

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
Ta có:

3

2



3

n 3  2n 2  n

1
C. 3

D. 1

C. 0

D. 1



2n 2

 lim

3
n 2  2n  n
( n 3  2n 2 ) 2  n 3 n 3  2 n 2  n 2
2
2
1
 lim
 lim

3
2
2 2 3
2
3 (1 
1 1
)  1 1
n
n
n

.

Câu 42. Giá trị của.
1

A. 12
Hướng dẫn giải:
ChọnA.
M  lim

Ta có:

Ta có:

lim

Mà:
lim



3





3

1  n 2  8 n3  2 n

 bằng:

B. �
1  n2

3

(1  n 2  8n3 )2  2n 3 1  n 2  8n3  4n 2

Câu 43. Giá trị của.
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
N  lim

M  lim



N  lim



4n 2  1  3 8n3  n
B. �



4n 2  1  2n  lim





3

3

 bằng:

8n3  n  2n

4n  1  2n
n
2

1
12

D. 1

C. 0

1

4n 2  1  2n  lim

8n 2  n  2n  lim







0

(8n 2  n) 2  2n 3 8n 2  n  4n 2

0

Vậy N  0 .

Câu 44. Giá trị của.
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

K  lim



3

n 3  n 2  1  3 4n 2  n  1  5n

B. �

C.



 bằng:

5
12

D. 1

Trang 16


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
Ta có:
Mà:

K  lim

lim



3



3



n3  n 2  1  n  3lim



1
lim
3;

n3  n 2  1  n 

1 3
5
K   
3 4
12
Do đó:

Câu 45. Giá trị của.
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnD.
N  lim

N  lim

3

4n 2  n  1  2n



4n 2  n  1  2n 

n3  3n 2  1  n

B. �

3

(n3  3n2  1)2  n. 3 n3  3n2  1  n 2

1
4

 bằng:





lim � n n  1  n  1 �
�
�là:
B. 0 .
C. 1 .



Câu 47. Giá trị của.
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.



3

D. 1

1

� n  n  1  n  1 �
n  1  n  1 � lim �
� lim
�
n
� n 1  n 1 �



H  lim n



C. 0

3n 2  1

Câu 46. Giá trị đúng của
A. 1 .
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
lim � n
�







H  lim n



3

8n3  n  4n 2  3

 bằng:

B. �



8n3  n  2n  lim n

A  lim





C.



4n 2  3  2n  

n 2  2n  2  n

Câu 48. Giá trị của
A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnA.
�
�
2 2
A  lim n �
� 1  n  n 2  1�
� �
�
�
Ta có
�
�
2 2

lim n  �; lim �
1



1
�
2
�
� 2
n n
�
� .
Do

 bằng:

5
5
2
Câu 49. lim 200  3n  2n bằng :
A. 0 .
B.1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
200
2
lim 5 200  3n5  2n 2  lim n 5 5  3  3
n
n

Ta có:

D. �.

2 n





1  1/ n  1  1/ n

2
3



1
.

D. 1

2
3

C. 2

D. 1

C. �.

D. �.

Trang 17


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
Nhưng

lim 5

200
2
 3  3  5 3  0
5
n
n
và lim n  �

5
5
2
Nên lim 200  3n  2n  �
2n3  sin 2n  1
A  lim
n3  1
Câu 50. Giá trị của.
bằng:
A. �

B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
sin 2n  1
2
n3
A  lim
2
1
1 3
n
n
n!
B  lim
n3  2n bằng:
Câu 51. Giá trị của.
A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

n

n!

3
Ta có: n  2n



n

nn

n 3  2n



D  lim
Câu 52. Giá trị của.

C. 2

D. 1

C. 0

D. 1

n

�0� B  0
n 3  2n
n 1

n 2 ( 3n 2  2  3n 2  1) bằng:
B. �

A. �
Hướng dẫn giải:

ChọnC.

2
Câu 53. Giá trị của. E  lim( n  n  1  2n) bằng:
A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnB.
F  lim n  1  n
Câu 54. Giá trị của.
bằng:
A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnA.



2
C. 3

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. Đáp án khác

D. 1



p

k
2
2
Câu 55. Giá trị của. H  lim( n  1  n  1) bằng:
A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
Xét các trường hợp
TH1: k  p � H  �

TH 2: k  p � H  �
TH 3: k  p � H  0 .

Trang 18


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
1
1

1

 ... 
2 1 2 3 2 2 3
( n  1) n  n n  1 :
Câu 56. Tính giới hạn của dãy số
A. �
B. �
C. 0
D. 1
Hướng dẫn giải:
ChọnD.
1
1
1


k
k 1
Ta có: (k  1) k  k k  1
un 

Suy ra

un  1 

1
� lim un  1
n 1

(n  1) 13  23  ...  n3
3n3  n  2
Câu 57. Tính giới hạn của dãy số
:
1
A. �
B. �
C. 9
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
2
n(n  1) �
�
3
3
3
1  2  ...  n  �
� 3 �
�
Ta có:
un 

Suy ra

un 

D. 1

n( n  1) 2
1

� lim un 
3
3(3n  n  2)
9.

Câu 58. Tính giới hạn của dãy số

un  (1 

A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
1
2
(k  1)(k  2)
1  1

Tk
k (k  1)
k ( k  1)
Ta có:

1
1
1
n(n  1)
)(1  )...(1  )
Tn 
T1

T2
Tn trong đó
2 .:
1
C. 3
D. 1

1 n2
1
un  .
� lim un 
3 n
3.
Suy ra

23  1 33  1 n3  1
.
....
23  1 33  1 n3  1 . :
Câu 59. Tính giới hạn của dãy số
2
A. �
B. �
C. 3
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
k 3 1
( k  1)( k 2  k  1)

3

2
Ta có k  1 ( k  1)[( k  1)  (k  1)  1]
un 

D. 1

2 n2  n  1
2
� un  .
� lim un 
3 (n  1)n
3
Suy ra
n
2k  1
un  � k
2 .:
k 1
Câu 60. Tính giới hạn của dãy số
A. �
B. �

C. 3

D. 1
Trang 19


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107

Hướng dẫn giải:
ChọnC.
1
1 �1 1
1 � 2n  1
un  un   �  2  ...  n 1 � n 1
2
2 �2 2
2 � 2
Ta có:

1
3 2n  1
� un   n 1 � lim un  3
2
2 2
.
2
n
q 1
Câu 61. Tính giới hạn của dãy số un  q  2q  ...  nq với
q

A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
2
3
n

n 1
Ta có: un  qun  q  q  q  ...  q  nq

C.

 1 q 

.:
q

2

q
1 qn
lim un 
2
 nq n 1
1 q

1 q
. Suy ra
.
n
n
un  � 2
k 1 n  k
Câu 62. Tính giới hạn của dãy số
.:
A. �
B. �

C. 3
Hướng dẫn giải:
ChọnD.
n
n
n
1
n 2
�u
n �2
un 1
n �
2
2
n 1
n 1
n 1
Ta có: n  n
n
� un  1 � 2
� 0 � lim un  1
n 1
.

D.

 1 q 

2

� (1  q )un  q

Câu 63. Tính giới hạn của dãy số
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnD.

B  lim

3

n 6  n  1  4 n 4  2n  1
(2n  3) 2

B. �

C. 3

2
Chia cả tử và mẫu cho n ta có được:
1 1
2 1
3 1
 6  4 1 3  4
5
n n
n n  1 4   3
B  lim
2
4

4
� 3�
2 �
�
� n�
.

Câu 64. Tính giới hạn của dãy số
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnD.

C  lim

B. �



4 n 2  n  1  2n



C. 3

D. 1

.:

3
D. 4

.:
1
D. 4

Trang 20


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
1
1
n
C  lim
 lim

4
1 1
4 n 2  n  1  2n
4  2 2
n n
Ta có:
1

n 1

Câu 65. Tính giới hạn của dãy số

Ta có:





n 2  n  1  2 3 n3  n 2  1  n

B. �

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
D  lim

D  lim



n 2  n  1  n  2 lim

C.



3

n3  n2  1  n



1

6



.:
D. 1



1
1
n
 lim

n 1
2
1 1
n 2  n  1  n  lim
1  2 1
2
n  n 1  n
n n
1

lim

Mà:
lim



3







n3  n 2  1  n  lim

1

 lim

n2  1
3

(n3  n2  1)2  n. 3 n3  n 2  1  n 2

1
n2

2

1 1
� 1 1 � 3
1  4  6 � 1   3  1
�
n n

� n n �
1 2
1
D  
2 3
6.
Vậy



1
3

3

x1 

( xn )

1
, xn 1  xn2  xn ,n �1
2

Câu 66. Cho dãy số
xác định bởi
1
1
1
Sn 


L 
x1  1 x2  1
xn  1 .Tính lim S n .
Đặt
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

Từ công thức truy hồi ta có:

B. �

C. 2

D. 1

xn 1  xn , n  1, 2,...

( xn ) là dãy số tăng.
(x )
lim xn  x
Giả sử dãy n là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại
Nên dãy

2
Với x là nghiệm của phương trình : x  x  x � x  0  x1 vô lí

Do đó dãy

( xn ) không bị chặn, hay lim xn  �.

1
1
1
1

 
Mặt khác: xn 1 xn ( xn  1) xn xn  1
1
1
1
 
Suy ra: xn  1 xn xn 1

Dẫn tới:

Sn 

1
1
1
1

 2
� lim Sn  2  lim
2
x1 xn 1
xn 1
xn 1
Trang 21

TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
xk 

( xk ) được xác định như sau:
n
un  n x1n  x2n  ...  x2011

Câu 67. Cho dãy
Tìm

lim un với

1 2
k
  ... 
2! 3!
(k  1)!

.

A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
k
1
1

1
 
xk  1 
(k  1)!
Ta có: (k  1)! k ! (k  1)! nên
1
1
xk  xk 1 

 0 � xk  xk 1
(
k

2)!
(
k

1)!
Suy ra
Mà:

1
2012!

D.

1

1
2012!

n
x2011  n x1n  x2n  ...  x2011
 n 2011x2011

Mặt khác:
Vậy

C.

1

lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1 

lim un  1 

1
2012!

1
2012! .

u0  2011
�
�
1
�
un3
un1  un  2
lim

�
(u )
un
n .
Câu 68. Cho dãy số n được xác định bởi: �
. Tìm
A. �
B. �
C. 3
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

D. 1

un  0, n

Ta thấy

3 1
 6
3
u
un (1)
n
Ta có:
3
3
3
u  un 1  3 � un  u03  3n
Suy ra: n

(2)
un31  un3  3 

un31  un3  3 

Từ (1) và (2), suy ra:
Do đó:

un3  u03  3n 

1
1
1
1

 un3  3 
 2
2
3
u  3n  u  3n 
3n 9n
3
0

0

1 n 1 1 n 1
� �
3 k 1 k 9 k 1 k 2 (3)

n
1
1
1
1
1
1
� n

1



...


2


2
�
�
2
k
1.2
2.3
(
n

1)

n
n
k 1 k
k

1
Lại có:
.
2
2n
u03  3n  un3  u03  3n  
9
3
Nên:
n

n

1

�k
k 1

2

 2n

u03 un3
u3 2
2

  3 0  
n
n
n 9n 3 n .
Hay
u3
lim n  3
n
Vậy
.
3

Trang 22


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
f ( x) 

Câu 69. Cho dãy x  0 xác định như sau:
A. �
B. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
u2
u u
un
un 1  un  n � n 1 n 
2010
un 1.un

2010un 1
Ta có

x 1 1
 0; � .
x
.Tìm
C. 2010

D. 1

�1
un
1 �
 2010. � 
�
un 1
�un un 1 �
u
1
1
1
�u n  2010( u  u )  2010(1  u )
n 1
1
n 1
n 1
Ta có

�

Mặt khác ta chứng minh được:
u
lim(� u )  2010
un 1
Nên
.

lim un biết un 
Câu 70. Tìm
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

lim un  �.

n. 1  3  5  ...  (2n  1)
2n 2  1
1
C. 2

B. �

lim un 

D. 1

1
2

Ta có: 1  3  5  ...  2n  1  n nên
�3 x  2  2 x  1
khi x �1
�
f ( x)  �
x 1
�
lim un biết
3m  2
khi x  1
�
Câu 71. Tìm
2

3

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnD.
Ta có:
Nên

1  2  ...  n 

lim un 

3

B. �

C. 2

6
D. 2

n(n  1)
n( n  1)(2n  1)
12  2 2  ...  n 2 
2
6
và

6
2

lim u

� x 1 1
khi x  0
�
f ( x)  � x
�
2 x 2  3m  1 khi x �0
�

n biết
Câu 72. Tìm
A. �
B. �
C. 2

Hướng dẫn giải:
ChọnD.
1
1
1
1


un  1 
� lim un  1
k
k  1 Suy ra
n 1
Ta có: (k  1) k  k k  1

D.1

Trang 23


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
� 2x  4  3
khi x �2
�
f ( x)  �
x 1
khi x  2
�2
lim

u
x

2
mx

3
m

2
�
n
Câu 73. Tìm
biết
trong đó x �1 .
1
A. �
B. �
C. 3
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
1
2
( k  1)(k  2)
1 n2
1
1  1

un  .
� lim un 

Tk
k (k  1)
k ( k  1) Suy ra
3 n
3.
Ta có:
n
1
un  �
2
lim un biết
k 1
n k
Câu 74. Tìm
�
�
A.
B.
C. 3
Hướng dẫn giải:
ChọnD.
1
1
1
n
n


, k  1, 2,..., n
 un 

2
2
n2  k
n2  1
n2  1
Ta có: n  n
Suy ra n  n
n
n
lim
 lim
1
2
2
lim un  1 .
n

n
n

1
Mà
nên suy ra

lim un biết
Câu 75. Tìm

Ta có: un  2

D.1

un  2 2... 2
1 42 43
n dau can

B. �

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

1 1
1
 ... n
2 22
2

D.1

C. 2

n

�1 �
1� �
�2 �

2

D.1

n

�1 �
1� �
�2 �

,nên lim un  lim 2

 2.





lim f ( x)  lim 2 x  4  3  3
x �2
Câu 76. Gọi g ( x ) �0, x �2 là dãy số xác định bởi �. Tìm x�2
.
4
A. �
B. �
C. 3
D.1
Hướng dẫn giải:
ChọnC.
4 8
4 8
0  u1  u2 � u3   
3u1   

3u2  u3
(u )
9 9
9 9
Ta có
nên dãy n là dãy tăng.
4
4
un  , n ��*
lim un 
3
3.
Dễ dàng chứng minh được
.Từ đó tính được
2

2

� 1
� �1
� 1
A  �x12  x1 x2 � � x1 x2  x22 � x12 x22  3  0
� 2
� �4
� 2
Câu 77. Cho dãy số
được xác định như sau

� x1  x2 .

3
x�
3
2 . Tìm � x  2 x  3 3  2 x  4  0 .
Đặt

Trang 24


TRỌN BỘ HỆ THỐNG BT TRẮC NGHIỆM KHỐI 10+11+12
FILE WORD SỬA ĐƯỢC GIÁ 200K THẺ CÀO LH 0937351107
1
C. 2

B. �

A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

D.1

u  (un2  3un )(un2  3un  2)  1  (un2  3un  1) 2
Ta có: n 1
 un2  3un  1
1
1
1
un 1  1  (un  1)(un  2) �



un 1  1 un  1 un  2
Suy ra:
1
1
1


Suy ra: un  2 un  1 un1  1
n
�1
1 � 1
1
1
1
vn  ��


 
�
ui  1 ui 1  1 � u1  1 un 1  1 2 un 1  1
i 1 �
Do đó, suy ra:
2
n
Mặt khác, từ un 1  un  3un  1 ta suy ra: un 1  3 .
1
1
lim
0

lim vn 
u

1
2.
n 1
Nên
. Vậy

Câu 78. Cho

a, b ���, ( a, b)  1; n � ab  1, ab  2,...

n  au  bv . Tìm
A. �
Hướng dẫn giải:
ChọnC.

lim

n ��

. Kí hiệu

rn là số cặp số (u, v)  �� �� sao cho

rn
1

n ab .

B. �

1
C. ab

D. ab  1

� n  1�
0;
�
�
Xét phương trình � n �(1).

(u0 , v0 ) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u , v) là một nghiệm nguyên dương khác
(u0 , v0 ) của (1).

Gọi

au0  bv0  n, au  bv  n

a (u  u0 )  b(v  v0 )  0

do đó tồn tại k nguyên dương sao cho
v0  1
ka 1 k
u  u0  kb, v  v0  ka . Do v là số nguyên dương nên v0 �
a . (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương cộng với 1.
v 1�

�
�n u 1 �
rn  �0 � 1  �  0  � 1
ab b a � .
�a �
�
Do đó
Ta có

suy ra

n u0 1
n u 1
  �rn �  0   1.
ab b a
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: ab b a
1 u0 1 rn
1 u
1 1


� �  0 
 .
Từ đó suy ra : ab nb na n ab nb na n
r
1
lim n 
Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay n�� n ab .
Trang 25