GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG 4: Các giới hạn đặc biệt
Nhắc lại:
2
14�
�
�
 1 n
1414
43
�1
n

�
�
2
3�
� a3  b3   a  b �
a

ab
 4b
1
4
4
2
4
3
� 3 so hang �
�
�
�

�
n 1
2
n2
� an  bn   a  b �
a
 a4n42b44an443b
�
�
�
 ab
4bn431 �
1
4
4
2
4
4
4
4
4
4
�
�
n so hang
�
�
Tìm L  lim

n

x�0

1 ax  1
x
LỜI GIẢI

Cách giải: Đặt t  n 1 ax � tn  1 ax � x 

tn  1
a

Ta có khi x � 0 thì t � 1 .
a t  1
Khi đó L  lim n
x�1 t  1
a t  1
a
a
 lim
 lim n 1 n 2

n 1
n2
x�1
x�1 t
 t �
�
�
 t1 n

 t  1 t  t  ��� t  1



Vậy L  lim
x�0

L  lim

n

x�0

n



1 ax  1 a

x
n

1 ax  m 1 bx
x

LỜI GIẢI
n
m
1 ax  1 1 1 bx
1 ax  1

1 bx  1 a b
(áp dụng
L  lim
 lim
 lim
 
x�0
x
�
0
x
�
0
x
x
x
n m
kết quả bài kế trên).
n

m

n

1 ax  1

x�0 m

1 bx  1

L  lim

 ab �0

LỜI GIẢI
1 ax  1
x
a m am
L  lim
�
 � 
(áp dụng kết quả bài trên).
m
x�0
x
1 bx  1 n b bn
n

L  lim

n

1 ax  m 1 bx
1 x  1

x�0

LỜI GIẢI
�n 1 ax  1 m 1 bx  1�
1 ax  1 1 1 bx

x
L  lim
�
 lim �

� 1 x  1
�
x�0
x
x
1 x  1 x�0 �
� x
�
n

m






�a b �
 2�  �
�n m �
m

x 1

x�1 n

x 1

L  lim

LỜI GIẢI
Đặt t 

mn

x�x t

mn

, vậy

m




x  t , x  tm
n n




 t  1 tn1  tn2  ��� t  1
tn  1
tn 1  tn  2  �

�
�
 t1 n

lim
lim

.
m
m 1
m 2
t�1 t  1
t�1
t�1 tm 1  tm  2  �
�
�
 t1 m
 t  1 t  t  ��� t  1

L  lim

x  x2  x3  �
�
�
 xn  n
x�1 x  x2  x3  �
�
�
 xm  m

L  lim

LỜI GIẢI
�
�
 x  n   x  1  x2  1  x3  1  �
�
�
 xn  1
Ta có: x  x  x  �


  


  x  1   x  1  x  1   x  1  x  x  1  �
�
�
  x  1  x  x  �
�
�
 1
  x  1 �
1 x  1   x  x  1  �
�
�
x x �
�
�
 1 �

� 
�
�
�
 x  m   x  1   x  1   x  1  �
�
�
 x
Tương tự: : x  x  x  �
  x  1   x  1  x  1   x  1  x  x  1  �
�
�
  x  1  x  x  �
�
�
 1
  x  1 �
1 x  1   x  x  1  �
�
�
x x �
�
�
 1 �
� 
�
1 x  1   x  x  1  �
�
�
x x �

�
�
 1 �
 x  1 �
� 
�
L

lim
Vậy
�
 x  1 �1  x  1   x  x  1  ���  x  x  ��� 1 �
�
1  x  1   x  x  1  �
�
�
 x  x �
�
�
 1
 lim
1  x  1   x  x  1  �
�
�
 x  x �
�
�
 1
2

3

n

n 1

2

n1

2

2

3

n 1

m

2

3

m 1

2

m 1

2

2

n1

n 1

m 1

m1

2

2

x�1

m



1

m1

m 1

2

x�1

n 1

n 1

n 1

m 1

m 1

n(n  1)
1 2  3 �
�
�
n
n(n  1)
2



.
1 2  3 �
�
�
 m m(m  1) m(m  1)
2
x100  2x  1
x�1 x50  2x  1

L  lim

LỜI GIẢI
x  x   x  1
x x99  1   x  1
x100  x  x  1
L  lim 50
 lim 50
 lim
x�1 x  x  x  1
x�1
x�1
x  x   x  1
x x49  1   x  1
 lim
x�1


x x  1  x




100








 x  1  x

 lim
�
�
�
 x  1   x  1
 x  1  x

x x  1 x98  x97  �
�
�
 x  1   x  1
48

x

47

x�1





 x  1

99

 x98  �
�
�
 x2  x  1

49

x �
�
�
x
48

2


x99  x98  �
�
�
 x2  x  1 98 49


x�1 x49  x48  �
�
�
 x2  x  1 48 24

 lim

L  lim

xn 1   n  1 x  n

 x  1

x�1

2

LỜI GIẢI
n 1
n 1
n
Ta có x   n  1 x  n  x  x   nx  n  x x  1  n  x  1















 x  x  1 xn1  xn1  �
�
�
 x  1  n  x  1   x  1 xn  xn1  �
�
�
 x2  x  n



�n
�
1
2
  x  1 �
x
4
xn 4

�
�
�
4x4
3x  1
414
2
14�
�
�
 1�

1
4
2
4
1
43
�
�
n so hang
n so hang
�
�



 

 



  x  1 �xn  1  xn1  1  x2  1   x  1 �
�
�
�
�
�
�
� n1 n2
�

� n 2 n 3
�
  x  1 �
x

1
x

x

�
�
�

1

x

1
x

x

�
�
�

1

�

�
�

x

1
x

1

x

1
�
�
�
�
  �1 4 44 2 4 4 43 �   �1 4 44 2 4 4 43 �       �
�
�
n
1 4 4�
44444
4 4 4 4�4 4 4 4�
4 4 2 4 n414 4 4 4�
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 43 �
�
n
�
�

�
�
�
�
� � n 2
�
2 � n 1
n 2
n 3
  x  1 �
x

x

�
�
�

1

x

x

�
�
�

1


�
�
�

x

1

1
�
�
�
�
  �
1 4 44 2 4 4 43 �
�1 4 44 2 4 4 43 � �
�
�
n
n 1
�
�
�
�
1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 43 �
�
n
�
�
�

�
�
� n1 n  2
� � n 2
�
2�
n3
x
�
�
�
�
�
  x  1  1�
 x  1 ��x1 4 44x2 4 4���
431� �
14
44x2 44
431� �
�
�
Do đó:
1 4 4 4 4n 4 4 4 4�4�
4 44 2 4n41 4 4 4 �
4 4 4 4 4 4 43 �
�
�
�
n
�

L  lim
2
x�1
 x  1
�
�
�
�
� n  1 n 2
� � n2
�
n 3
L  lim �
x
44x2 4 4
�
�
�
31� �
x

x2 4 4
�
�
�
31� �
�
�
  x  1  1�
�

1
4
4
1
4
44
4
x�1
�
�
�
1 4 4 4 4n 4 4 4 4�4�
4 44 2 4n 41 4 4 4 �
4 4 4 4 4 4 43 �
�
�
n
�
 n  (n  1)  �
�
�
 2 1
�m
n
lim � m 
x�1 1 x
1

xn
�

n  n  1
2

�
�, m,n ��*
�

LỜI GIẢI
�
�
�m
1 �� n
1 �
�m
1 �
� n
1 �
lim �
� lim
� m
� � n 
�
� m
� lim
� n
�
x�1
x
�

1
x
�
1
1 x � �1 x 1 x �
1 x �
�1 x
�1 x
�1 x 1 x �
�
�




m  1 x  x2  �
�
�
 xm1
�m
1 �
lim � m 
� lim
x�1 1 x
1 x � x�1
1 xm
�

 1 x   1 x   ���  1 x 
m 1

2

 lim

1 xm

x�1

1 1 x  �
�
�
  1 x  x  �
�
�
x �
 1 x �
� 
�
 1 x  1 x  x  ��� x 
1  1 x  �
�
�
  1 x  x  �
�
�
 x  1 2  �
�
�
 m1

m 2

2

lim
x�1

lim



2

m 1

2

m 2



m 1

1 x  x  �
�
�
x
� n
1 � n1


Tương tự lim
�
�
x�1 1 xn
1

x� 2
�
2

x�1

m



m1
2

�m
n � m1 n1 m n



Vậy lim
�
�
x�1 1 xm
2
2

1 xn � 2
�
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
4  x 3 8  3x  4
3x  13 2  x  2
a). lim
b). lim
x�0
x�1
x1
x2  x
1.2x  13 2.3x  14 3.4x  1  1
c). lim
x�0
x
LỜI GIẢI



3x  1

a). lim
x�1

3



2  x  1  3x  1  2



3x  1

�Tính lim
x�1

x 1
3

  lim

 lim

x�1

x�1



 3x  1
3

2 x

�Tính lim
x�1

Vậy lim
x�1

lim
x�0

 3 2 x  1



  lim

2 x  1

3x  1  2
x1

x�1

 x  1 �

�

3

2 x



2

�

 3 2  x  1�
�

2
3

3x  1  2
3x  1 4
3
3
 lim
 lim
 .
x
�
1
x
�
1
x 1
3x  1  2 4
 x  1 3x  1  2





3x  13 2  x  2
2 3 1
.

  
x1
3 4 12

b).
3



2

3

3x  1 2  x  1

�

 lim



x 1

x�1

2 x  1

x1

3x  1

8  3x





4  x  2  23 8  3x  4
x2  x

3

 lim
x�0

8  3x



  lim 2 8 3x  4

4 x  2

x2  x

3

x�0

x2  x

�Tính
3

lim

8  3x



  lim

4 x  2

x x
2

x�0

x�0

3

8  3x.x

x x  1





4 x  2

23 8  3x  4
 2lim
x�0
�Tính x�0
x2  x
lim



 lim

Vậy lim
x�0

x�0



1.2x  13 2.3x  14 3.4x  1  1
 lim
x
x�0



2.3x  1  1

3

 x  1 



4 x  2



1
2



2

�
 23 8  3x  4�
�



4  x 3 8  3x  4 1 1
  1
2 2
x2  x

c). L  lim

8  3x

8  3x  8

�
x x  1 �3 8  3x
�
3
1
 2lim

2
x�0
� 2
3
8  3x  23 8  3x  4�
 x  1 �
�
�
�



x�0

3

4

3.4x  1





2x  1  1 3 2.3x  14 3.4x  1
x

3.4x  1  1
x�0
x�0
x
x
n
ax  1  1 a
Ta chứng minh được lim
  a �0,n ��*
x�0
x
n
 lim

 lim

4

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ KHI x � �
DẠNG 1: Tính giới hạn trực tiếp
Ví dụ: Tính giới các giới hạn sau:

3
 3x)
a). xlim(2x
��

b). lim x2  3x  4
x���



c). xlim
� �



2x2  1  x

LỜI GIẢI
�
3
�
3
 3x)  lim x3 �
2  2 � lim 2x3  �
a). xlim(2x
��
x� �
� x � x��
� �
3 4�

lim �
x 1  2 � �
�
x��
 x ��
x x � xlim
3 4 �
x2  3x  4  lim x 1  2  � �
 ���
�
b). xlim
���
x���
�
x x
lim x
�
�
3
4
�
�
x��
lim
x
1


�
x��

x x2
�





� � 1� �
�
�
1
2x2  1  x  lim � x2 �
2  2 � x � lim �x 2  2  x �
�
x���
� x���
x
�
�
� � x � �
�
�
1
 lim �
x 2  2  x � lim x  2  1  �.
� x � �
x���
x
�
�

�
DẠNG 2:
�
c). xlim
� �






PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Chia cả tử và mẫu cho xk là lũy thừa cao
nhất của tử và mẩu (hoặc đặt xk làm nhân tử chung).
Ví dụ 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a). xlim
� �





3x 2x2  1

 5x  1  x

2

3
b). xlim
� �



 2x

2x 3

d). L  lim

x��

 2x

e). lim x.

x2  x  5

x��

2x5  x3  1
2





1 x  x
3

c). lim

x� �

x x1
x2  x  1

4
2
2x3  x
f). lim 2x  x  1 .
5
2
x��
x x 3
1 2x
LỜI GIẢI

� 1�
� 1�
3x.x2 �
2 2 �
3�2  2 �
� x �  lim
� x �  3.2  6
 lim
a). xlim
.
2
� �
x� � �

x
�

�
1�2 � 2 �
� 1�
� 2 � 5.1 5
 5x  1 x  2x
x�
5 �
x �
1 �
5 �
1 �
�
�
� x� � x�
� x�
� x�





3x 2x2  1

3
b). xlim
� �





2x5  x3  1

 2x

2





 1 x3  x

� 1 1�
� 1 1�
x5 �
2 2  5 �
�2  2  5 �
x x �
x x �
�
 lim 3
 lim 3 �
1
x��
x
�


�
� 1 �3 � 1 �
� 1�
� 1�
x2 �
2 2 �
x �
1 2 �
2

1

�
� 2�
2�
� x � � x �
� x �
� x �
1
1
x x 1
 2
2
x x1
0
x
 lim 2 x
 lim x
  0.

c). lim 2
x�� x  x  1
x�� x  x  1
x��
1 1 1
1  2
2
x
x
x
d). L  lim

x��

2x 3
x2  x  5

vì x � �� x  0 � x  x . Vậy L  xlim
��

2x  3
x2  x  5

�
3�
3
x�
2  �
2 
x�

2x  3
2x  3
�
x
 lim
 lim
 lim
 lim
2
x��
1 5 x��
1 5 x��
1 5
1 5 � x��
2�
x 1  2
x 1  2
 1  2
x �
1  2 �
x x
x x
x x
� x x �


2x3  x
 lim x.
e). lim x. 5 2
x��

x  x  3 x��

 lim

x��

x
x

� 1�
� 1�
x3 �
2 2 �
2 2 �
�
x
�
�  lim x.
� x �
� 1 3 � x��
� 1 3�
x5 �
1 3  5 �
x2 �
1 3  5 �
x
x
�
�
� x x �

� 1�
� 1�
2 2 �
2 2 �
�
�
� x �  lim 
� x �  2
� 1 3 � x�� � 1 3 �
1 3  5 �
1 3  5 �
�
�
� x x �
� x x �

� 1 1�
4
2
x4 �
2 2  4 �
f). lim 2x  x  1
� x x �
x� �
 lim
1 2x
x� �
1 2x

 lim

1 1
1 1

x 2 2  4
2 �
x2 x4  lim
x x  lim �

x � �
�
�
�
x
�

�
x
�

�
1
1 2x
� 2 �
2
x

x2 2 

x��

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a). lim  x  1
x� �

lim

x��

x
2x  x2  1
4

b). lim

x�  �

x  x2  x
x  10

c).

x2  3x  2x
3x  1
x2  x  2  3x  1

d). lim

x��

f). lim

3

4x2  1  1 x

e). lim

x��

x2  x  2  3x  1
4x2  1  1 x

(x3  2x2 )2  x 3 x3  2x2  x2

x� �

3x2  2x

LỜI GIẢI
a). lim  x  1
x��

1 2 1
2
 
x x  1
x
x x2 x3  0 . (Chú


lim

lim
1 1
2x4  x2  1 x�� 2x4  x2  1 x��
2 2  4
x x

thích:
Vì x � � nên x  0 � (x  1)  0 do đó ta được được vào trong dấu căn.


b).

x  x2  x

lim

x� �

 lim

1 1

x��

c).

x  10

10
x

1

� 1�
1
1
x  x2 �
1 �
x  x 1
x  x 1
x
x
�
�
x  lim
 lim
 lim
x��
x��
x��
x  10
x  10
x  10

1
x  2 . (Chú giải: Vì x � � nên x  0 do đó x   x ).

x2  3x  2x
lim
 lim
x��
x��
3x  1

� 3�
3
x2 �
1 � 2x
x 1  2x
x
�
�
x
 lim
x� �
3x  1
3x  1

3
 1  2
3
1 2 1
 2x
x

 . (Chú giải: Vì x � � nên
 lim

x
x��
 lim
3
3
1
x��
3
3x  1
x
x  0 do đó x   x ).
 x 1

x  x  2  3x  1
2

d). xlim
� �

4x2  1  1 x

 lim

x��

x2  x  2  3x  1
x2  x  2 3x 1


x

x
x x
 lim
x��
4x2  1  1 x
4x2  1 1 x
 
x
x
x x

x2  x  2
1
1 2
1
 3
1  2  3
x
x x
x 1 3
x2
 lim

 4.
x� �
2 1
1 1
4x2  1 1
4 2   1
 1

x
x
x
x2

 lim

x��

x  x  2  3x  1
2

e). xlim
� �

4x2  1  1 x

 lim

x��

x2  x  2  3x  1
x2  x  2 3x 1


x
x
x x
 lim
x��

4x2  1  1 x
4x2  1 1 x
 
x
x
x x

x2  x  2
1
1 2
1
 3
 1  2  3 
2
2
x
x x
x 1 3
x
 lim
 lim


x��
x� �
2

2

1

3
1 1
4x  1 1
 4 2   1

 1
2
x
x
x
x


2

�3 � 2 �
�
2�
3�
x �
1 �
1 � x2
�
� 3 x �
3 3
3
2 2
2
2
3

f).
(x  2x )  x x  2x  x
� x�
� � x�
�
lim
 lim
2
2
x��
x
�

�
3x  2x
3x  2x
3


2

2

� 2�
� 2� 2
� 2� 2 3
2
1 �  3 x3 �
1 � x
x2 .3 �

1 �  x . 1  x2
�
x
� x�
� x�
� x�
 lim
 lim
2
2
x��
x
�

�
3x  2x
3x  2x
2
�
�
2
� 2� 3
2
3 1
� 2� 3
2
x2 �
 1  1�
3 1
�

�
�� x �
� x �  1 x  1
x �
1 1 1
�
� lim �
 lim �

 1.
x��
x��
2
3
�
2
�
3
x2 �
3 �
x
� x�
3

x 
2

3

Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:

� 4x4  1
� x 2
x 3 �
2x2  4 �
2
�
3

� b). lim �
a). lim x �
� x
�
x��
x��� x  2x4
x
x
�
�
�
�
�

LỜI GIẢI
1
a). Đặt x 
khi x � � thì y � 0
y
I  lim

y�0

1 2y  3 1 3y
y2

� 1 2y  (1 y) 3 1 3y  (1 y) �
�
 lim �

2
2
y�0 �
�
y
y
�
�

�
�
 y2
y2(y  3)
�
 lim �

y�0 �
y2 1 2y  (1 y) y2(3 (1 3y)2  (1 y)3 1 3y  (1 y)2 ) �
�
�
�
�

y3
1
�
 lim �


y�0 � 1 y  1 2y
2
3 1 3y  3 (1 3y)2 �
(1

y)

(1

y)
�
�


1
1
1
 1  . Vậy I 
2
2
2

�
�2x2  4 ��

� 4x4  1
x2 � 2 ��
� x
��
� 4x4  1
�
4
2x2  4 �
�
�
� lim � x
�


b). lim �
4
x��� x  2x4
x
�

�
x
x
�
� x  2x
�
�
�
�
�

4
x
�
�
�
�

�
�
�
�
4 �
4 �
1
1
1
x 2 2 �
x 2 2 �
� 4
� 4
� 4 4
�
4
4
x �
x �
x 
x 
x  2 4 �
 lim �

 lim �
 lim �
� x��� 1
� x��� 1
x��� 1
x
x
x2 �
2
� 3 2
�
� 3 2
�
�
�
� x3
�
�x
�
�x
�
�
�
�
�
�
�
 2 2  2 2.
DẠNG 3: � �

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN: Nhân lượng liên hợp sau đó làm như dạng 1.
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
( x2  x  x)
a). xlim
��

( x2  x  x)
b). lim( x2  3x  2  x) c). xlim
��
x��

d). lim( x2  3x  2  x)
x��



f). xlim
��

x  2  x  2)
e). xlim(
� �

x2  4x  3  x2  3x  2





g). xlim
� �

x2  4x  3  x2  3x  2



LỜI GIẢI
� � 1� �
�
�
1
x2  x  x)  lim � x2 �
1 � x � lim �x 1  x �
a). xlim(
�
�
� �
x�  ��
x
�

�
�
x
�
�
� � x� �
�
�

�
1
1 �
 lim �
 x 1  x � lim  x � 1  1� �. Chú giải: Vì x � � nên x  0
x���
�
x
�

�
�
x
x �
�
�
�
�
do đó x   x .
b).

lim( x2  3x  2  x)  lim

x� �

x2  3x  2  x2

x� �

x  3x  2  x

2

 lim

3x  2

x� �

� 3 2�
x2 �
1  2 � x
� x x �
2
3 
3x  2
3x  2
3
x
 lim
 lim
 lim
 .
x��
x� �
x��
2
3 2
3 2
3 2
x 1  2  x

x 1  2  x
1  2  1
x x
x x
x x
Chú thích: Do x � � nên x  0 do đó x  x



c). xlim
� �


 lim
x�  �

x2  x  x



x2  x  x



x2  x  x

  lim 
x� �

x2  x



2

 x2

 lim

x� �

x

1
�x  x �
x 1  x
x2 � 2 � x
x
�x �
x
x
1
1
 lim
 lim
 lim

x� �
x�  �
x�  �

2
�
�
1
1
1
.
x 1  x
1  1
x� 1  1�
�
�
x
x
x
�
�
x
�

�
x

0
Chú giải: Vì
nên
do đó x  x .
x xx
2

2


� �x2  3x  2 � �
�
�
3 2
x2  3x  2  x  lim � x2 �
�x 1  2  x �
� x � xlim
2
�
�
x� ��
�

�
x x
x
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
3 2
3 2

 lim �
x 1  2  x � lim x � 1  2  1�.
�
�
�
x���
x
�

�
x x
x x
�
�
�
�
3
2
Do x � � nên x  0 do đó x  x . Có lim  lim 2  0 nên
x�� x
x�� x



d). L  xlim
� �



�

�
3 2
x  � . Từ đó suy ra L  �.
lim � 1  2  1� 2 và xlim
��
�
�
x
x
�
�

x��

c).

lim( x  2  x  2)  lim

x��

x��



d). xlim
��

lim

x� �



lim

x 2 x 2



x2  4x  3  x2  3x  2  lim

 lim

x��

4

0
�
2
2�
x � 1  1 �
�
x
x�
�
�

x2  4x  3 (x2  3x  2)

x�  �

x2  4x  3  x2  3x  2
� 1�
x �
1 �
x�
x  1
�
 lim
x� � �
� 4 3�
� 3 2�
4 3
3 2
x2 �
1  2 � x2 �
1  2 �
x � 1  2  1  2
�
x x
x x
� x x �
� x x �
�

e). xlim
��

x�  �

4



x2  4x  3  x2  3x  2  lim

1
 .
� 2
�
�
�

x2  4x  3 (x2  3x  2)

x�  �

x2  4x  3  x2  3x  2
� 1�
x �
1 �
x  1
� x�
 lim
� 4 3�
� 3 2 � x� � �
4 3
3 2
x2 �

1  2 � x2 �
1  2 �
x � 1  2  1  2
�
x x
x x
� x x �
� x x �
�

1
 .
2
�
�
�
�

2k 1 �
4k  2
�
 bx  c   ax
Nhận xét: Nếu lim � (ax)
�hoặc
x���
�
k�
2k
lim �
� (ax)  bx  c   ax �(với a > 0, k ��) ta tính trực tiếp khơng nhân

x���
�
lượng liên hợp.
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
2
2�
� 4
�3 3
�
a). lim � 4x  3x  1  2x � b). lim � 8x  1  2x  1�
x���
x���
�
�

LỜI GIẢI
4x4  3x2  1 4x4
2
2�
� 4
a). lim � 4x  3x  1  2x � lim
x���
� x�� 4x4  3x2  1  2x2


 lim

x��

3x2  1

� 3 1� 2
x4 �
4  2  4 � 2x
x �
� x

3

 lim

x��

1

3
x2
 .
4
3 1
4 2  4  2
x
x

�
�
�
�
3
3
8x  1 8x

�3 3
�
� 1
b). lim � 8x  1  2x  1� lim �
2
�
x���
� x����3 3
3
3
2
�� 8x  1�
�  8x  1.2x  4x �
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1

� 1  lim �
� 1
 lim �
x���
x���
2
2
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
�x2 3 �
�x2 3 �
8  3 �  x3 8 3 .2x  4x2 �
8  3 �  2x2 3 8  3  4x2 �
� � x �
�
� � x �
�
x
x
�
�
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
�
� 1
 lim �

1

lim
�
x��
x���
2
��
x2  4  4 4 �
�2�
�
�
� 1�

� 1� �
3 8
 23 �
8  3 � 4 �
�x �
�
�
3
�� x �
� x � �
��
� �
��
� �
�1 �
 lim � 2 � 1  1
x���
12x �
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG VƠ ĐỊNH 0.�
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Giả sử cần tìm giới hạn của hàm số h  x  f  x .g  x khi x � x0 hoặc

x � �� trong đó f  x � 0 và g  x � ��. Ta thường biến đổi theo các

hướng sau:
Nếu x � x0 thì ta thường viết

Nếu x � �� thì ta thường viết

f  x .g  x 

f  x .g  x 

f  x

0
1 sẽ đưa về dạng vô định .
0
g  x
g  x

�
1 sẽ đưa về về dạng
.
�
f  x

Tuy nhiên ở nhiều bài toán giới hạn loại này ta chỉ cần thực hiện một số
biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn thức, quy đồng mẫu số,... ta
có thể đưa về giới hạn quen thuộc.
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:


�1 1 � 1

x 1
� �
a). lim
3 b). lim  x  2
x�3 x

3
x
�

�
�
� x  3
x3  x
LỜI GIẢI
�1 1� 1
3 x
1
1
 lim
.
 lim
 �.
� �
a). lim
3
3
2
x�3 x
x
�
3
x
�
3
3x  x  3

� 3� x  3
3x  x  3





lim x3  1
a). L  x�
( 1)

x
 lim  x  1 x2  x  1
x  1 x�( 1)

  x  1x x  1



2

Vì x � 1 � x  1 � x  1  0 .



 x  1 x
  x  1  x  1
2

Vậy L  lim x2  x  1

x�(1)

b). lim  x  2
x� �

x 2
 lim
x�� x

x 1
 lim  x  2
x3  x x��

x�( 1)



 x  1 x  3.0  0

� 1�
x�
1 �
� x �  lim x  2
 
1 � x� �
3�
x �
1 2 �
� x �

1
1
1
�
2
�
x  lim 1
x  1.
�
1 x���
1
x�
�
1 2
1 2
x
x
1



 lim x2  x  1

x1

1
x
1�
2�
x �

1 2 �
� x �
1