Lý thuyết và phương pháp giải toán hình học tọa độ oxyz lớp 12

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Nguyễn Phú Hùng

NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Tổng quát:
k
1. Cho a ≠ 0 . Vecto b cùng phương với a ⇔ ∃ sao cho b = k a
k
2. Cho a và b không cùng phương. Vecto c đồng phẳng với a và b ⇔ ∃ , l sao cho c = k a +l b
3. Cho ba vecto a ; b ; c khơng đồng phẳng và vecto d .
Khi đó, tồn tại duy nhất bộ 3 số ( x; y; z ) sao cho d = x a + yb + z c
1
3

ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 ⇔ ∀O, OG = (OA + OB + OC )
4. Điểm G là trọng tâm ∆
1
4

5. Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC = 0 ⇔ ∀O, OG = (OA + OB + OC + OD)
OA − k OB
6. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k ≠1) ⇔ MA = k MB ⇔ ∀O, OM =

II. Vecto – Tọa độ vecto và các tính chất
1. Vecto:
Trong khơng gian Oxyz có 3 vecto đơn vị trên 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt là:

1−k

i = 1 0;0) , j =(0;1;0)

( ;

,

k =(0;0;1)
OM =x.i +y. j +z.k
• Cho điểm M(x;y;z) thì
u =( a; b; c )
u = a.i +b. j +c.k
• Cho
thì
2. Tính chất vecto:
Cho u =( x1 ; y1 ; z1 ) và v =( x2 ; y2 ; z 2 ) và 1 số thực k tùy ý, ta có các tính chất sau:

•

•
•
•
•

 x1 = x2

u = v ⇔  y1 = y2
z = z
1 2
u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z 2 )
u −v = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z 2 )
k u =( kx1 ; ky1 ; kz1 )

( Tích vơ hướng của 2 vecto )

u.v = x1.x2 + y1. y2 +z1.z 2

•

Độ dài vecto:

•

Góc hợp bởi 2 vecto : cos(u; v) =

u =

2

2

x1 + y1 + z1

2

u.v
u .v

=

x1.x2 + y1. y2 + z1.z 2
2

2

2

2

2

x1 + y1 + z1 . x2 + y2 + z 2

2

Lưu ý: nếu góc ϕ hợp bởi 2 yếu tố có giá trị:
 0 ≤ ϕ ≤ 90o thì khi tính góc ta phải trị tuyệt đối phần tích vơ hướng.
( Vì cos ϕ ≥ 0 khi ϕ ∈[0o ;90o ] )
 0 ≤ ϕ ≤180o thì khi tính góc qua cos ϕ ta khơng phải trị tuyệt đối
( Vì cos ϕ có thể âm, có thể dương và bằng 0 khi ϕ ∈[0 o ;180 o ]
• u ⊥ v ⇔u.v = 0 ⇔ x1.x2 + y1. y2 + z1.z 2 = 0
3. Chia 1 đoạn thẳng theo một tỷ số cho trước
Cho 2 điểm A( x A ; y A ; z A ) và B ( xB ; y B ; z B ) . Điểm M ( xM ; y M ; z M ) chia đoạn thẳng AB theo một tỷ số k:

1


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

MA = k MB

được xác định bởi các công thức:

Nguyễn Phú Hùng


 xM =


 yM =


 zM =


x A − kxB
1− k
y A − kyB
1− k
z A − kz B
1− k

*) Chú ý: _ Nếu M nằm trong khoảng AB thì k < 0
_ Nếu M nằm ngồi khoảng AB thì k > 0

_ Nếu M là trung điểm AB thì k = −1 , khi đó:

 G là trọng tâm của ∆ABC

 G là trọng tâm tứ diện ABCD

⇔

⇔

x A + xB

xM =

2

y A + yB

yM =

2

z A + zB

 zM =
2

x +x +x

xG = A B C

3

y A + yB + yC

 yG =
3


z +z +z

zG = A B C

3


x +x +x +x

xG = A B C D

4

y A + yB + yC + yD

 yG =
4

z +z +z +z

zG = A B C D

4


*) Ba điểm thẳng hàng:
Ba điểm: A( x A ; y A ; z A ) ; B ( xB ; y B ; z B ) và C ( xC ; yC ; z C ) thẳng hàng ⇔ AC = k AB
x − x A yC − y A z C − z A
⇔ C
=

=
xB − x A y B − y A z B − z A
4. Tích có hướng của 2 vecto:
Tích có hướng của 2 vecto u =( x1 ; y1 ; z1 ) và v =( x2 ; y2 ; z 2 ) là 1 vecto kí hiệu [u; v] được xác định bởi:
y
[u; v ] =  1
y
 2

z1 z1
;
z2 z2

*) Các tính chất của tích có hướng 2 vecto
• u; v là 2 vecto cộng tuyến ( cùng phương) ⇔

x1 x1
;
x2 x2

y1
y2






[u; v] =0

2


Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
•
•
•
•
•

Nguyễn Phú Hùng

u ⊥ u; v ] , v ⊥ u; v ]
[
[
[u; v ] = . v . sin(u; v )
u

[u; v ] = [v; u ]
−
[λ ; v ] = u ; λ ] = [u; v ]
u
[
v
λ

với λ ∈ R

[u; v1 +v2 ] =[u; v1 ] +[u; v2 ]

*) Ứng dụng: Diện tích tam giác ABC : S ∆ABC =

1
2

[ AB; AC ]

5. Tích hỗn tạp
Tích hỗn tạp của 3 vecto u =( x1 ; y1 ; z1 ) ; v =( x2 ; y2 ; z 2 ) và
[u; v ].w

hoặc

D (u; v; w)

được xác định bởi:

[u; v ].w =

w =( x3 ; y3 ; z3 )

y1
y2

z1
z
.x3 + 1
z2
z2

được kí hiệu là
x1
x
. y3 + 1
x2
x2

y1
.z3
y2

*) 3 vecto đồng phẳng: 3 vecto u =( x1 ; y1 ; z1 ) ; v =( x2 ; y2 ; z 2 ) và w =( x3 ; y3 ; z3 ) đồng phẳng ⇔
*) Ứng dụng:
= AB; AD ]. AA'
[
• Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ : V

[u; v ].w =0

ABCD.A'B'C'D '

•

Thể tích tứ diện ABCD:

V ABCD =

1
[ AB; AC ]. AD
6

-------------------------------------------

MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN
I. Định nghĩa – Phương trình của mặt cầu
1. Định nghĩa
Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm I cố định một khoảng cách bằng R, gọi là mặt cầu tâm I bán
kính R.
2. Phương trình
a) Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) , bán kính R có dạng: (S): ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2
b) Phương trình tổng quát của mặt cầu
Phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 là phương trình của mặt cầu ⇔ a 2 + b 2 + c 2 − d > 0
Khi đó, mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d
II. Vị trí tương đối
1. Vị trí tương đối của điểm và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
Gọi A ( x0 ; y0 ; z 0 ) là một điểm bất kì trong khơng gian. Ta có phương tích của điểm A đối với mặt cầu (S) là:
2
2
2
PA /( S ) = AI 2 − R 2 = x0 + y0 + z0 − 2ax0 − 2by0 − 2cz0 + d

 PA /( S ) < 0 ⇔ M nằm trong mặt cầu
 PA /( S ) = 0 ⇔ M nằm trên mặt cầu
 PA /( S ) > 0 ⇔ M nằm ngồi mặt cầu
2. Vị trí tương đối của 2 mặt cầu
Cho 2 mặt cầu không đồng tâm ( S1 ) và ( S 2 ) lần lượt có phương trình là:
( S1 ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2a1 x − 2b1 y − 2c1 z + d1 = 0
(a12 + b12 + c12 − d1 > 0)
Có tâm I1 ( a1 ; b1 ;c1 ) và bán kính R1 = a12 + b12 + c12 − d1

2
2
( S 2 ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2a2 x − 2b2 y − 2c2 z + d 2 = 0
(a2 + b22 + c2 − d 2 > 0)
2
2
Có tâm I 2 ( a2 ; b2 ;c 2 ) và bán kính R2 = a2 + b22 + c2 − d 2

3


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian







Nếu
Nếu
Nếu
Nếu
Nếu

Nguyễn Phú Hùng

I1 I 2 > R1 + R2 ⇔ ( S1 ); ( S 2 ) không cắt nhau và ở ngoài nhau.
I1 I 2 < R1 − R2 ⇔( S1 ); ( S 2 )

không cắt nhau và đựng nhau.
I1 I 2 = R1 + R2 ⇔ ( S1 ); ( S 2 ) tiếp xúc ngoài với nhau.
I1 I 2 = R1 − R2 ⇔( S1 ); ( S 2 ) tiếp xúc trong với nhau.
R1 − R2 < I1 I 2 < R1 + R2 ⇔( S1 ); ( S 2 ) cắt nhau theo giao tuyến là một đường trịn.
---------------------------------------

MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1. Cặp vecto chỉ phương
ĐN: 2 vecto a; b gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cộng tuyến và các đường thẳng
chứa chúng đều song song với (P) hoặc nằm trên (P)
2. Vecto pháp tuyến
ĐN: Vecto

n

 n ≠ 0
là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ⇔ 
 n ⊥ (P)

NX: n là vecto pháp tuyến của (P) thì mọi vecto k n với k ≠ 0 đều là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Chú ý: Nếu mặt phẳng (P) có cặp vecto chỉ phương là a; b thì n là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) với :
n =[ a, b]

3. Phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz chứa điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto pháp tuyến

n

(A;B;C) có p/trình là:

A.( x − x0 ) + B.( y − y0 ) + C.( z − z0 ) = 0 ⇔ Ax + By + Cz − Ax0 − By0 − Cz0 = 0
Đặt − Ax0 − By0 − Cz0 = D , ta có phương trình tổng quát của mặt phẳng (P):
Ax + By + Cz + D = 0
( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0)

*) Chú ý:
Nếu mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A( a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c ) thì (P) có phương trình:
x y z
+ + =1
a b c

(gọi là phương trình đoạn chắn của mp (P))

4. Khoảng cách:
a) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho M ( x0 , y0 , z0 ) và mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) được xác định bằng công thức:

d ( M /(α )) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

b) Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Cho mặt phẳng (α) đi qua M và mặt phẳng ( β) đi qua N ⇒ d ((α ) /( β )) = d ( M /( β ) = d ( N /(α)
5. Góc
a) Góc giữa 2 mặt phẳng
Cho nα; nβ lần lượt là vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng: (α); ( β)
Gọi ϕ là góc tạo bởi 2 mặt phẳng: (α); ( β) .Ta có:
b) Góc phẳng nhị diện

cos ϕ=

nα.nβ
nα . nβ

Gọi ϕ là góc phẳng nhị diện thì 0 < ϕ < 1800
0

6. Vị trí tương đối
a) Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
4


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Nguyễn Phú Hùng

(P): Ax + By + Cz + D = 0
có nP = ( A; B; C )
A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
(Q):
có nQ =( A' ; B ' ; C ' )
 ( P ) ∩(Q) ⇔nP , nQ không cùng phương
( hoặc A:B:C # A’:B’:C’ )

Cho 2 mặt phẳng:

A
B

C
=
=
≠
A' B' C '
A
B
C
 ( P ) ≡ (Q ) ⇔ = = =
A' B' C '

 ( P ) //(Q) ⇔

D
D'
D
D'

b) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (α)
Gọi d là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (α)
 Nếu d > R → (α) và (S) khơng có điểm chung
 Nếu d = R → (α) và (S) có 1 điểm chung, và (α) được gọi là tiếp diện của (S)
 Nếu d > R → (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường trịn (H; r) trong đó:
 H là hình chiếu của I trên (α) và r 2 = R 2 − d 2
7. Chùm mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng: (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 giao nhau theo giao tuyến ∆.
Phương trình mặt phẳng (R) qua ∆ có dạng:
λ( Ax + By + Cz + D) + µ( A' x + B ' y + C ' z + D' ) = 0
( phương trình chùm mặt phẳng) Trong đó λ2 + µ 2 ≠ 0

-----------------------------------------

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Vecto chỉ phương của đường thẳng
*) Định nghĩa: Vecto

a

 a ≠ 0
là vecto chỉ phương của đường thẳng d ⇔ 
 a // d

_ Nhận xét: a là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì mọi vecto k.a với k ≠ 0 đều là vtcp của đường thẳng đó.
_ Chú ý: trong khơng gian Oxyz, đường thẳng chỉ có vecto chỉ phương mà khơng có vecto pháp tuyến.
II. Phương trình của đường thẳng
1) Phương trình tổng quát của đường thẳng
Vì đường thẳng d trong khơng gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phương trình
tổng quát của d có dạng:

 Ax + By + Cz + D = 0
(d ) : 
 A' x + B' y + C ' z + D' = 0

với điều kiện: A : B : C ≠ A': B ': C '

2) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Đường thẳng d đi qua M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , nhận u ( a, b, c ) làm vtcp có phương trình:

 x = x0 + at


 y = y0 + bt
 z = z + ct
 0

( phương trình tham số )

⇔

x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
a
b
c

( phương trình chính tắc ) với a.b.c ≠ 0

5


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Nguyễn Phú Hùng

III. Vị trí tương đối
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
có vtpt: n( A; B; C )
x − x0 y − y0 z − z0
(d ) :

=
=
có vtcp: u ( a; b; c ) và đi qua M ( x0 ; y0 ; z 0 )
a
b
c

 u ⊥ n
a) d ⊂ (α ) ⇔ 
 M ∈ (α )

 u ⊥ n
b) d / (α ) ⇔ 
 M ∉ (α )

c)

d ∩(α) ⇔u.n ≠ 0

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu S(I; R); d là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆
 Nếu d < R → ∆ ∩ (S ) tạo thành 1 dây cung
 Nếu d = R → ∆ là tiếp tuyến của mặt cầu
 Nếu d > R → ∆ và (S) khơng có điểm chung
3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Cho đường thẳng d đi qua M và có vtcp u ; và đường thẳng d’ đi qua N có vtcp v
u
 d ≡d ' ⇔ ; v; MN cùng phương ⇔[u; v] =[u; MN ] = 0
 d // d '



⇔ v
u;

cùng phương và

d ∩ ' ⇔ ; v; MN
d
u

 d và d’ chéo nhau

u; MN

đồng phẳng và

⇔ ; v; MN
u

u; v

 [u; v] = 0
không cùng phương ⇔ 
 [u; MN ] ≠ 0
 [u; v].MN = 0
không cùng phương ⇔ 
 [u; v] ≠ 0

không đồng phẳng

⇔ u; v ].MN ≠0
[

IV. Khoảng cách
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới một đường thẳng
Cho đường thẳng d đi qua M, có vtcp

[u; MN ]

u

và một điểm N ⇒ Khoảng cách từ N đến d: d ( N / d ) =

u

2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song
Cho 2 đường thẳng song song: d đi qua M và d’ đi qua N ⇒ d (d / d ' ) = d ( M / d ' ) = d ( N / d )
3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
⇒ d ( d /(α ) = d ( M /(α ))
Cho đường thẳng d đi qua M và mặt phẳng (α)
4. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Cho 2 đường thẳng chéo nhau: d đi qua M có vtcp

u

và d’ đi qua N có vtcp

[u; v ].MN

d
v ⇒ (d / d ' ) =

[u; v ]

V. Góc
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vtcp

u

và mặt phẳng (α) có vtpt

n

. Gọi ϕ là góc giữa d và (α)

u

và đường thẳng d’ có vtcp

v

. Gọi ϕ là góc giữa d và d’

u.n
⇒ ϕ
sin
=
u .n

2. Góc giữa 2 đường thẳng
Cho đường thẳng d có vtcp

u.v
⇒
cos ϕ
=
u .v

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
6


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Nguyễn Phú Hùng

VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Thơng thường ta dùng 3 cách sau:
 Cách 1: Tìm 1 điểm nằm trên mặt phẳng và một vecto pháp tuyến của mặt phẳng.
 Cách 2: Tìm 1 điểm nằm trên mặt phẳng và một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (tích có hướng của
cặp vecto chỉ phương chính là vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm)
 Cách 3: Dùng phương trình chùm mặt phẳng.
VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 Thơng thường, ta có 2 cách giải tổng qt sau:
 Cách 1: Tìm 1 điểm thuộc đường thẳng và một vecto chỉ phương của đường thẳng.
 Cách 2: Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng ấy.
Giao tuyến của 2 mặt phẳng đó chính là đường thẳng cần tìm.
Cái khó là phải xác định được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng chứa đường thẳng cần tìm. Thơng thường ta hay gặp 3

giả thuyết sau:
)
)
 Đường thẳng (∆ đi qua điểm A và cắt đường thẳng (d) : Khi đó đường thẳng (∆ nằm trong mặt phẳng đi
qua A và chứa (d).
)
)
 Đường thẳng (∆ đi qua điểm A và vng góc với đường thẳng (d): Khi đó đường thẳng (∆ nằm trong
mặt phẳng đi qua A và vng góc với (d).
)
)
 Đường thẳng (∆ song song với ( d1 ) và cắt ( d 2 ) : Khi đó đường thẳng (∆ nằm trong mặt phẳng chứa
( d 2 ) và song song với ( d1 ) .
 Một số dạng viết phương trình đường thẳng hay gặp:
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt cả hai đường thẳng ( d1 ) , ( d 2 ) cho trước.
 Cách 1:
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa ( d1 )
• Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa ( d 2 )
• d = ( P ) ∩ (Q)
 Cách 2:
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa ( d1 ) .
• Xác định giao điểm B của ( d 2 ) và (P).
+ Nếu khơng tồn tại giao điểm → Khơng có đường thẳng (d) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Nếu có vơ số giao điểm → (d 2 ) ⊂ ( P ) → (d) thuộc chùm đường thẳng trong (P) đi qua A
+ Nếu có nghiệm duy nhất, tức 1 giao điểm thì thực hiện bước 3:
• Viết phương trình đường thẳng (d): đi qua A và có vecto chỉ phương là AB .
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vng góc với hai đường thẳng ( d1 ) , ( d 2 ) cho
trước.
 Cách 1:
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với ( d1 )

• Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vng góc với ( d 2 )
• d = ( P ) ∩ (Q)
 Cách 2:
• Xác định các vecto chỉ phương của ( d1 ) , ( d 2 ) lần lượt là u d và u d
1

•

Gọi

w

là vecto chỉ phương của đường thẳng (d), ta có:

 w ⊥ ud
1

 w ⊥ ud2

2

⇔w =[u d1 ; u d 2 ]

• Viết phương trình đường thẳng (d): đi qua A và có vecto chỉ phương là w .
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, vng góc với ( d1 ) và cắt ( d 2 ) cho trước.
7


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Nguyễn Phú Hùng

 Cách 1:
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với ( d1 )
• Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa ( d 2 )
• d = ( P ) ∩ (Q)
 Cách 2:
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với ( d1 )
• Xác định giao điểm B của ( d 2 ) và (P):
+ Nếu khơng có giao điểm → Khơng có đường thẳng (d) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Nếu có vơ số giao điểm → (d 2 ) ⊂ ( P ) → có vơ số đường thẳng (d) trong (P) đi qua A cắt ( d 2 )
.
+ Nếu có một giao điểm thì thực hiện bước 3:
• Viết phương trình đường thẳng (d): đi qua A và có vecto chỉ phương là AB .
Dạng 4: Viết phương trình đường vng góc chung ( ∆) của 2 đường thẳng chéo nhau.
[
Cho 2 đường thẳng chéo nhau: d có vtcp u và đường thẳng d’ có vtcp v . Gọi w = u; v]
 Cách 1:
• Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và song song với w .
• Viết phương trình mặt phẳng ( β) chứa d’ và song song với w
• Phương trình đường vng góc chung của d và d’ là ∆ = (α ) ∩ ( β )
 Cách 2:
• Chuyển d và d’ về dạng phương trình tham số theo “t” và “u”. Gọi M ( t ) ∈d ; N ( u ) ∈d ' .
•

 MN.ud = 0
MN là đoạn vng góc chung của d và d’ ⇔ 
⇒
 MN.ud ' = 0

t, u ⇒ tọa độ M , N

• Viết phương trình đường thẳng ( ∆): đi qua M và có vecto chỉ phương là MN .
Dạng 5: Cho 2 đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau. Viết phương trình đường phân giác của (d) và (d’).
• Xác định tọa độ giao điểm I của (d) và (d’)
• Lấy A ∈ d
(A≠I)
• Chuyển (d’) về dạng tham số. Lấy B ∈d ' (theo tham số t) thỏa mãn: AI = BI ⇒ tọa độ 2 điểm B1 và B2
( B1 và B2 đối xứng nhau qua I)
• Ta có:
 Với B1 : Xác định tọa độ trung điểm I1 của đoạn thẳng AB1
Khi đó phương trình đường phân giác thứ nhất (∆1 ) được xác định bởi: đi qua I và có vtcp II1
 Với B2 : Xác định tọa độ trung điểm I 2 của đoạn thẳng AB2
Khi đó phương trình đường phân giác thứ hai (∆2 ) được xác định bởi: đi qua I và có vtcp II 2
*) Lưu ý: _ Nếu IA.IB1 > 0 ⇒ (∆1 ) và (∆2 ) theo thứ tự là phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù
của
góc tạo bởi (d) và (d’)
_ Nếu IA.IB1 < 0 ⇒ ( ∆1 ) và (∆2 ) theo thứ tự là phương trình đường phân giác góc tù, góc nhọn
của
góc tạo bởi (d) và (d’)
VẤN ĐỀ 3: HÌNH CHIẾU
1. Tìm hình chiếu vng góc của 1 điểm M trên một mặt phẳng (α)
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vng góc với (α)
• Gọi H là hình chiếu của M trên (α) ⇒ H = d ∩ (α )
8


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Nguyễn Phú Hùng

2. Tìm hình chiếu vng góc của một điểm M trên 1 đường thẳng d
 Cách 1: _ Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vng góc với d
_ Gọi H là hình chiếu của M trên d ⇒ H = d ∩ (α )
 Cách 2: _ Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số
_ Gọi I là một điểm bất kì thuộc d ⇒ tọa độ điểm I theo tham số “t”
_ I là hình chiếu vng góc của M trên d ⇔ MI ⊥ d ⇔ MI .ud = 0 ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ I.
3. Viết phương trình hình chiếu vng góc của 1 đường thẳng d trên mặt phẳng (α)
• Viết phương trình mặt phẳng ( β) chứa d và vng góc với (α)
• Gọi d’ là hình chiếu của d trên (α) ⇒ d ' = (α ) ∩ ( β )
4. Tìm hình chiếu H của M theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng (α)
• Viết phương trình đường thẳng ( ∆) đi qua M và song song với (d)
• Hình chiếu H chính là giao điểm của ( ∆) và (α) .
5. Tìm hình chiếu ( ∆) của đường thẳng (d) theo phương đường thẳng (D) lên mặt phẳng (α)
• Viết phương trình mặt phẳng ( β) chứa (d) và song song với (D)
• Hình chiếu ( ∆) = (α) ∩ ( β )
VẤN ĐỀ 4: ĐỐI XỨNG
1. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d
• Tìm hình chiếu H của A trên d
• H là trung điểm của AA’. Dùng cơng thức trung điểm ⇒ tọa độ điểm đối xứng A’.
2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (α)
• Tìm hình chiếu H của A trên mặt phẳng (α)
• H là trung điểm của AA’. Dùng công thức trung điểm ⇒ tọa độ điểm đối xứng A’.
3. Tìm phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng (α)
 Trường hợp 1: (D) cắt mặt phẳng (α)
• Tìm giao điểm M của (D) và (α)
• Lấy điểm A bất kì trên (D)
• Tìm A’ đối xứng với A qua (α)
• Đường thẳng (d) cần tìm chính là đường thẳng đi qua M và A’.
Viết phương trình (d): đi qua M và có vecto chỉ phương là MA' .

 Trường hợp 2: (D) song song với mặt phẳng (α)
• Lấy một điểm A trên (D)
• Tìm A’ đối xứng với A qua (α)
• (d) chính là đường thẳng đi qua A’ và song song với (D)
Viết phương trình (d): đi qua A’ và nhận vecto chỉ phương của (D) làm vecto chỉ phương của (d)
4. Tìm phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng ( ∆)
 Trường hợp 1: ( ∆) cắt (D)
• Tìm giao điểm M của (D) và ( ∆)
• Lấy điểm A bất kì trên (D) khác M
• Tìm điểm A’ đối xứng với A qua ( ∆)
• (d) chính là đường thẳng đi qua 2 điểm M và A’
 Trường hợp 2: ( ∆) và (D) song song
• Lấy một điểm A bất kì trên (D)
• Tìm A’ đối xứng với A qua ( ∆)
• (d) chính là đường thẳng đi qua A’ và song song với (D).
Viết phương trình (d): đi qua A’ và nhận vecto chỉ phương của (D) làm vecto chỉ phương của (d)
 Trường hợp 3: ( ∆) và (D) chéo nhau
• Lấy 2 điểm phân biệt A, B trên (D)
• Tìm A’ đối xứng với A qua ( ∆), B’ đối xứng với B qua ( ∆)
9


Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
•
•

Nguyễn Phú Hùng

(d) chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’ và B’
Viết phương trình (d): đi qua A’ và có vecto chỉ phương là A' B ' .

VẤN ĐỀ 5: TAM GIÁC TRONG KHƠNG GIAN
ABC
1. Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của ∆
• Xác định tọa độ đỉnh A và trung điểm E của cạnh BC.
• Viết phương trình trung tuyến AE: đi qua A và có vtcp AE
2. Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của ∆ABC
 Cách 1:
• Xác định tọa độ hình chiếu vng góc H của A lên cạnh BC.
• Viết phương trình đường cao AH: đi qua A và có vtcp AH .
 Cách 2:
• Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với cạnh BC.
• Phương trình đường cao AH: AH = ( ABC ) ∩ ( P )
ABC
3. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của ∆
• Gọi I là chân đường phân giác trong của góc A trên cạnh BC.
AB
IB
AB
IB
=
=−
hay
( 2 vecto ngược hướng )
AC IC
AC
IC
• Phương trình đường phân giác trong AI: đi qua A và có vtcp AI .
4. Viết phương trình đường phân giác ngồi của góc A của ∆ABC

•

Theo tính chất tia phân giác ta có:

•

Gọi J là chân đường phân giác ngồi của góc A trên cạnh BC.

•

Theo tính chất tia phân giác ta có:

⇒ tọa độ I

AB
JB
AB
JB
=
=
hay
( 2 vecto cùng hướng )
AC JC
AC JC

⇒ tọa độ J

• Phương trình đường phân giác ngồi AJ: đi qua A và có vtcp AJ .
ABC

5. Viết phương trình đường trung trực của đoạn BC của ∆
• Viết phương trình đường cao AH.
• Xác định tọa độ trung điểm E của cạnh BC
)
• Do trung trực (∆ của đoạn BC và đường cao AH cùng vng góc với BC trong mặt phẳng (ABC) nên chỉ
)
phương của AH cũng là chỉ phương của (∆
)
• Phương trình trung trực (∆ của đoạn BC: đi qua E và có vtcp: AH
6. Tính góc A trong tam giác
Do các góc trong tam giác có thể tù nên ta có:

cos A =

AB. AC
AB . AC

VẤN ĐỀ 6: MẶT CẦU
1. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 cho trước và thỏa mãn điều
kiện K.
• Gọi I ( a, b, c ) và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S)
• (S) tiếp xúc (P) ⇔ d ( I /( P )) = R
• Sử dụng điều kiện K để lập các phương trình theo a, b,c, R.Từ đó, xác định được tọa độ tâm I và bán kính R
• Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2 .
*) Lưu ý: Nếu giả thiết cho (S) bán kính R tiếp xúc với (P) tại điểm M ( x0 ; y0 ; z 0 ) , ta thực hiện các bước sau:
• Gọi I ( a, b, c ) và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S)

10

Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian

•

Nguyễn Phú Hùng

Tâm I thuộc đường thẳng (d): đi qua M và có vtcp là vtpt của mặt phẳng (P).

 x = x0 + At

(d ) :  y = y0 + Bt
 z = z + Ct
 0

Suy ra tọa độ tâm I theo tham số t: I = ( x0 + At ; y0 + Bt ; z0 + Ct )
• (S) tiếp xúc với (P) ⇔ IM = R ⇒ tọa độ tâm I. → Viết phương trình (S): ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2
2. Viết phương trình mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 cho trước theo giao tuyến là một
đường tròn (C) và thỏa mãn điều kiện K.
• Gọi I ( a, b, c ) và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S)
• ( S ) ∩ ( P ) = (C ) tâm H bán kính r ⇔ R 2 = r 2 + d 2 ; trong đó d = d ( I /( P ))
• Sử dụng điều kiện K để lập các phương trình theo a, b, c, R. Từ đó xác định được tọa độ tâm I và b/kính R.
• Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2 .
*) Lưu ý:
 Nếu d = d ( I /( P )) = 0 ⇒ r = R và I ≡ H . Ta gọi C(I, R) là đường tròn lớn của mặt cầu S(I,R).
 Nếu giả thiết cho (C) có tâm H ( x0 ; y0 ; z 0 ) ⇒ tâm I thuộc đường thẳng (d) đi qua H và có vtcp là vtpt của
(P)

 x = x0 + At

⇔ (d ) :  y = y0 + Bt

 z = z + Ct
 0

⇒

tọa độ tâm I theo tham số t: I = ( x0 + At ; y0 + Bt ; z0 + Ct )

 Nếu giả thiết cho (C) ngoại tiếp ∆ABC , khi đó:
 Nếu ∆ABC đều thì H ( x0 ; y0 ; z 0 ) là trọng tâm ∆ABC .
 Nếu ∆ABC vng tại A thì H ( x0 ; y0 ; z 0 ) là trung điểm của BC.
3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a, b, c) và tiếp xúc với đường thẳng (d) cho trước.
 Cách 1:
• Mặt cầu (S) tiếp xúc với (d) ⇔ d ( I /(d )) = R ⇒ bán kính R của mặt cầu (S)
• Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2 .
 Cách 2:
• Xác định tọa độ hình chiếu vng góc H của I lên (d)
• Mặt cầu (S) tiếp xúc với (d) ⇔ IH = R
• Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2 .
4. Viết phương trình mặt cầu (S) cắt đường thẳng (d) cho trước tại hai điểm A, B có độ dài bằng l và thỏa
mãn điều kiện K cho trước.
• Gọi I ( a, b, c ) và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S)
• Dựa vào điều kiện K, xác định tọa độ tâm I ( a, b, c )
• Xác định tọa độ hình chiếu vng góc H của I lên (d) ⇒ độ dài IH
•

( S ) ∩ ( d ) = { A, B} với AB = l ⇔ R 2 = IA2 = IH 2 + AH 2 = IH 2 +

AB 2
l2
= IH 2 +

4
4

• Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2 .
5. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
 Cách 1:
• Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
(*)
• Do mặt cầu (S) đi qua các đỉnh của đa diện nên tọa độ các đỉnh đa diện thỏa mãn phương trình (*)
11


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Nguyễn Phú Hùng

⇒ hệ phương trình theo các ẩn a, b, c, d ⇒ các ẩn a, b, c, d

• Viết phương trình mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
 Cách 2:
• Gọi I ( a, b, c ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
• Ta có khoảng cách từ tâm I đến tất cả các đỉnh đa diện đều bằng nhau và cùng bằng bán kính R
⇒ hệ phương trình theo ẩn a, b, c ⇒ các ẩn a, b, c ⇒ I (a, b, c)
⇒ bán kính R bằng khoảng cách từ I đến một đỉnh bất kì thuộc đa diện.
• Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2
 Cách 3: Dựa vào đặc tính các khối đa diện để từ đó tìm tâm và bán kính R theo cách riêng.
6. Mặt cầu nội tiếp khối đa diện
• Gọi I ( a, b, c ) là tâm mặt cầu nội tiếp khối đa diện
• Do (S) nội tiếp khối đa diện nên (S) tiếp xúc với các mặt của khối đa diện. Ta có khoảng cách từ I đến các
mặt đều bằng nhau và cùng bằng bán kính r ⇒ hệ phương trình theo các ẩn a, b, c ⇒ các ẩn a, b, c

⇒ tọa độ tâm I (a, b, c) ⇒ bán kính r bằng khoảng cách từ tâm I tới một mặt bất kì của khối đa diện.
• Viết phương trình mặt cầu (S): ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = r 2
7. Tiếp tuyến của mặt cầu
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của mặt cầu ⇔ d ( I /(d )) = R
8. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu thỏa mãn điều kiện K cho trước
Có 2 khả năng xảy ra:
 Khả năng 1: Biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , khi đó phương trình tiếp diện (P) được xác định:
Đi qua M và có vecto pháp tuyến là MI .
 Khả năng 2: Biết một vecto pháp tuyến n =( A; B; C ) , khi đó ta thực hiện các bước sau:
• Gọi (P) là mặt phẳng bất kì có vecto pháp tuyến n =( A; B; C ) có phương trình là: Ax + By + Cz + D = 0 (1)
• (P) là tiếp diện của (S) ⇔ d ( I /( P )) = R ⇒ ẩn D, thay vào (1) ta được phương trình tiếp diện (P) cần tìm.
VẤN ĐỀ 7:
GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Việc sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian giải các bài tốn hình học khơng gian là một cách hay nhưng
không phải lúc nào cũng tỏ ra hiệu quả. Ta nên dùng phương pháp này khi bài toán là các khối đa diện có những yếu
tố đặc biệt có thể chuyển vào hệ trục tọa độ Oxyz một cách dễ dàng để từ đó đơn giản hóa trong cách giải tốn.
*) Ta thường thực hiện các bước sau:
• Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết.
• Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thường bao gồm:
 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng hoặc mặt phẳng.
 Góc, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
 Tính độ dài đoạn thẳng.
*) Một số chú ý khi thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz:
 Với hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ ta thường thiết lập hệ trục tọa độ dựa trên ba cạnh AB, AD, AA’
tương ứng với các trục Ox, Oy, Oz.
 Với hình chóp có SA vng góc với đáy ta thường thiết lập hệ trục tọa độ dựa trên SA ứng với trục Oz.
 Với hình chóp có đáy là hình thoi tâm O ta thường thiết lập hệ trục tọa độ dựa trên AC và BD ứng với trục Ox
và trục Oy.

12