đáp án bài tập trắc nghiệm

Câu 175. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = - x2 + 2x và y = 0 .
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục Oy
là:
7p
8p
10p
16
.
A. V = .
B. V = .
C. V =
D. V = .
3
3
3
3

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Để hàm số f ( x) có ngun hàm trên K khi và chỉ khi f ( x) liên tục
trên K . Chọn D.
Câu 2. Sửa lại cho đúng là '' Tất cả các ngun hàm của f ( x) trên ( a;b) đều
có đạo hàm bằng f ( x) '' . Chọn C.
Câu 3. Vì hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0 , nhưng nếu hàm số liên
tục tại x0 thì chưa chắc đã có đạo hàm tại x0 . Chẳng hạn xét hàm số
f ( x) = x tại điểm x = 0 . Chọn B.
/
Câu 4. Với mọi x Ỵ ( a;b) , ta có F ( x) = f ( x) , ngồi ra

F / ( a+ ) = f ( a) và F / ( b- ) = f ( b) .Chọn D.
Câu 5. Chọn A.
Câu 6. Vì hai ngun hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một

hằng số. Chọn B.
Câu 7. Chọn C.
Câu 8. Vì

ò f ( x) dx = F ( x) +C Þ ò f ( u) du = F ( u) +C . Chọn C.
/

Câu 9. Vì ( x) = 1¹ 2 x Þ F / ( x) ¹ f ( x) Þ F ( x) = x khơng phải là ngun hàm
của hàm số f ( x) = 2 x . Chọn B.
Câu 10. Vì

d( u( x) )
u/ ( x)
ò u( x) dx = ò u( x) = ln u( x) +C . Chọn B.

Câu 11. Vì kết quả này khơng đúng với trường hợp a = - 1 . Chọn C.
ỉ p pư
1
- ; ÷
÷
Câu 12. Ta thấy hàm số f ( x) =
xác định và liên tục trên ç
ç
÷ nên có
ç
è 2 2ø
cos x
ngun hàm trên khoảng này. Chọn B.
Câu 13. Ta có

ò

( x - 1)
2x2

3

x3 - 3x2 + 3x - 1
dx
2x2
ỉx 3 3
1 ư
x2 3x 3
1
÷
= òç
- +
dx = + ln x +
+C .
÷
ç
2
÷
ç
è2 2 2x 2x ø
4
2 2
2x
dx = ò

Vậy một ngun hàm của hàm số
3

y=

( x - 1) là F x = x2 - 3x + 3 ln x + 1 . Chọn D.
( )
2
2x

4

2

2

2x

183


Cõu 14. Ta cú

ũ e .e
x

dx = ũ e2x+1dx =

x+1

1
1
e2x+1d ( 2x +1) = e2x+1 + C . Chn B.
ũ
2
2

4

Cõu 15. Vỡ F '( x) = ( x - 3) +1ạ f ( x) . Chn A.
3

Cõu 16. Hm s F ( x) = ex l nguyờn hm ca hm s

( ) =( x )
3

f ( x) = F / ( x) = ex

(

x
Cõu 17. Ta cú 2 +C

)

/

/

3 /

=2

x

3

3

.ex = 3x2.ex . Chn B.

ln
2 x

ạ 2

x

ln2
x

. Suy ra ỏp ỏn A sai. Chn A.

/
ổ1
ử
ln2 21x
ữ
2x

ữ
2
+
C
=
2 .
ỗ
Cõu 18. Ta thy ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2x2
ố
ứ
1

1

Suy ra 22x +C khụng phi l nguyờn hm ca

ũ 22x.

ln2
dx . Chn C.
x2
/

ổx3
ử

x3
x
ữ
+ ex + C ị f ( x) = ỗ
= x2 + ex . Chn D.
ỗ + e +Cữ
ữ
ữ
ỗ
3
ố3
ứ

Cõu 19. Ta cú

ũ f ( x) dx =

Cõu 20. Ta cú

ũ f ( x) dx = sin2x cos x = 2( sin3x + sin x)

1

1
1
/
Suy ra f ( x) = ( sin3x + sin x) = ( 3cos3x + cos x) . Chn A.
2
2
/

ổ1
ử
ữ = - 1 + 1 = x - 1 . Chn D.
Cõu 21. Ta cú f ( x) = ỗ
ỗ + ln x + C ữ
ữ
ỗ
ốx
ứ
x2 x
x2
/

Cõu 22. Vỡ ( sin2 x) = 2sin x cos x = sin2x . Chn D.
Cõu 23. Cỏch 1. Ta cú

ũ f ( x) dx = ũ( 3x

2

ỡù m= 1
ùù
ù
Yờu cu bi toỏn ớù 3m+ 2 = 5
ùù 3 = C
ùợ
Vy m= 1 l giỏ tr cn tỡm tha

+10x - 4) dx = x3 + 5x2 - 4x +C .

ùỡù m= 1
ớ
.
ùùợ C = 3
yờu cu bi toỏn.
/

Cỏch 2. Ta cú F '( x) = ( mx3 + (3m+ 2)x2 - 4x + 3) = 3mx2 + 2( 3m+ 2) x - 4.
Vỡ F ( x) l mt nguyờn hm ca f ( x) nờn ta cú F '( x) = f ( x) , " x .
2
2
Do ú 3mx + 2( 3m+ 2) x - 4 = 3x +10x - 4 .

ùỡù m= 1
m= 1 . Chn C.
ng nht h s hai v ta cú ớ
ùù 2( 3m+ 2) = 10
ợ
/

/

2
ự.ex .
Cõu 24. Ta cú F '( x) = ( ax2 + bx + c) .ex +( ax2 + bx + c) .( ex ) = ộ
ờ
ỳ
ởax +( 2a + b) x + cỷ
Vỡ F ( x) l mt nguyờn hm ca f ( x) nờn ta cú F '( x) = f ( x) , " x .

2
ự.ex = x2.ex ax2 +( 2a + b) x + c = x2 .
Do ú ộ
ờ
ỳ
ởax +( 2a+ b) x + cỷ

184


ìï a = 1
ïï
Đồng nhất hệ số hai vế ta có ïí 2a + b = 0 Û
ïï
ïîï c = 0
Câu 25. Ta có

ò f ( x) dx = F ( x) Þ

ìï a = 1
ïï
ïí b = - 2 . Chọn B.
ïï
ïîï c = 0

F / ( x) = f ( x) .

/
x
x

ùx
Lại có F ( x) = ( bcos x - a sin x) e + ( acos x + bsin x) e = é
ë( b + a) cos x + ( b- a) sin xûe

ìïï b+ a = 1
1
/
x
ùx
Để F ( x) = f ( x) Û é
ë( b+ a) cos x + ( b- a) sin xûe = e cosx Û íï b- a = 0 Û a = b = 2 .
ïî
Chọn D.

ò g( x) dx = f ( x) Þ f ( x) = g( x) .
( x) = ( 2ax + b) e - ( ax + bx + c) e = é
ê- ax
ë
/

Câu 26. Ta có
/
Lại có f

- x

2

- x

2

- x
+ ( 2a - b) x + ( b- c) ù
ú
ûe

/
2
ùe- x = x( 1- x) e- x = ( - x2 + x) e- x
Để f ( x) = g( x) Û é
ê
ú
ë- ax + ( 2a- b) x + ( b- c) û
ïìï - a = - 1
ï
Û ïí 2a- b = 1 Û a = b = c = 1Þ A = a + b+ c = 3 . Chọn D.
ïï
ïïî b- c = 0

Câu 27. Theo bài ra ta có F '( x) = f ( x) .
Có F '( x) = ( 2ax + b) 2x - 3 +
ïìï 5a = 20
ï
Suy ra ïí 3b- 6a = - 30 Û
ïï
ïïî c- 3b = 7
Câu 28. Ta có

( ax2 + bx + c)

2x - 3

=

5ax2 +( 3b- 6a) x - 3b+ c
2x - 3

ïìï a = 4
ïï
í b = - 2 . Chọn C.
ïï
ïïî c = 1

ò f ( x) dx = F ( x) Þ

F / ( x) = f ( x) , " x Î ¡ .

/
Lại có F ( x) = ( a + d) cos x + cx cos x + ( c - b) sin x - ax sin x
/
Để F ( x) = f ( x) , " x Î ¡ Û ( a + d) cosx + cx cosx +( c- b) sin x - ax sin x = x cosx, " x Î ¡

ïìï a + d = 0
ïï
c=1
Û ïí
Û
ïï c - b = 0
ïï
ïïî a = 0

ïíïì a = d = 0 . Chọn B.
ïîï b = c = 1

1- cos2x
dx
2
1
1
1
1
= ò dx - ò cos2xdx = x - sin2x +C
2
2
2
4
1 p 1
p
p
1
Theo bài ra, ta có . - sin + C = Û C = .
2 4 4
2
8
4
x sin2x 1
+ . Chọn C.
Vậy ò f ( x) dx = 2
4
4

Câu 29. Ta có

ò f ( x) dx = ò sin

2

xdx = ò

185


dx
1 d( 2x - 1) 1
=
= ln 2x - 1 + C
2x - 1 2 ũ 2x - 1
2
1
1
Theo bi ra ta cú f ( 1) = 1 ln 2.1- 1 + C = 1 C = 1ị f ( x) = ln 2x - 1 +1 .
2
2
1
1
Vy f ( 5) = ln 2.5- 1 +1= ln9 +1= ln3+1. Chn D.
2
2

Cõu 30. Ta cú f ( x) = ũ f / ( x) dx = ũ

ổ4m
4m
2 ử
2
ữ
Cõu 31. Ta cú F ( x) = ũ f ( x) dx = ũỗ
ỗ + sin xữ
ữdx = ũ p dx + ũ sin xdx
ỗ
ốp
ứ
=ũ

ử
4m
1
4m
1ổ 1
dx + ũ ( 1- cos2x) dx =
x+ ỗ
x - sin2xữ
ữ
ỗ
ữ+C .
ỗ
ứ
p
2
p

2ố 2

ỡù F ( 0) = 1
ùỡù C = 1
ùù
ù
ù
Theo gi thit: ớ ổ
1ổ
p 1ử
p
pử
p nờn ớù
ữ
ùù F ỗ
m+ ỗ
- ữ
+C =
ữ
=
ữ
ỗ
ù
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
ùùợ ỗ

ù
2
4
2
8
ố4ứ 8
ùợ

ùỡù C = 1
ù
. Chn C.
ớ
ùù m= - 3
ùợ
4

1
dx = - cot x +C .
sin2 x
ổ
pử
ữ= 0 - cot p +C = 0 C = 3 .
ữ
Theo bi ra ta cú F ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố6ứ
6

Cõu 32. Ta cú F ( x) = ũ

Vy F ( x) = - cot x + 3 . Chn D.
2
Cõu 33. Ta cú F ( x) = ũ( 4x - 1) dx = 2x - x + C .

Gi s M ( 0; m) ẻ Oy l giao im ca th hai hm s F ( x) v f ( x) .
ỡù 4.0- 1= m

Ta cú h phng trỡnh sau ùớ
ùợù 2.02 - 0 + C = m

ùớỡù m= - 1ị F ( x) = 2x2 - x - 1.
ùợù C = - 1

Honh giao im ca th hai hm s F ( x) v f ( x) l nghim ca phng
trỡnh:
ộx = 0 ị y = - 1
ờ
2
2x - x - 1= 4x - 1 x( 2x - 5) = 0 ờ 5
ờx = ị y = 9
ờ
ở 2
ổ
ử
5 ữ
;9ữ
Vy ta cỏc im cn tỡm l ( 0;- 1) v ỗ
. Chn C.

ỗ
ữ
ỗ
ố2 ứ
Cõu

34.

Chn

A.

Vỡ

nu

F '( t) = f ( t) ị F ( t) = ũ f ( t) dt .

t = u( x) ị dt = u/ ( x) dx .
/
/
/
Suy ra F ( u( x) ) = ũ f ( u( x) ) .u ( x) dx hay F ( u( x) ) = f ( u( x) ) .u ( x) .

Cõu 35. Chn D. Vỡ

d( u( x) )
u/ ( x)
ũ u( x) dx = ũ u( x) = ln u( x) +C .

Cõu 36. Ta cú I = ũ f ( x) dx =ũ 2x - 1dx.

186

t


Đặt

2x - 1 = t Þ x =

t2 +1
2

æ
t2 +1ö
t3
1
2
÷
÷
Þ I = ò tdç
=
t
dt
=
+C = ( 2x - 1) 2x - 1+C. Chọn B.
ç
÷
ç

÷ ò
3
3
è 2 ø
Câu 37. Đặt t = ln x Þ dt =

1
dx . Khi đó
x

ò

eln x
dx = ò et dt . Chọn B.
x

Câu 38. Đặt t = x2 Þ dt = 2xdx .
1
1
1
1 2
et dt = ò d( et ) = et +C = ex +C . Chọn C.
ò
2
2
2
2
dx
t2
ln2 x

Câu 39. Đặt ln x = t Þ dt =
. Suy ra F ( x) = ò tdt = +C =
+C .
x
2
2
Suy ra I =

Vì F ( e2 ) = 4 Û

ln2 ( e2 )
2

+C = 4 Û C = 2 . Chọn B.

t
t
sin x
Câu 40. Đặt t = sin x Þ dt = cos xdx . Suy ra I = ò e dt = e +C = e +C .
sin p
sin x
Vì F ( p) = 5 Û e +C = 5 Û 1+C = 5 Û C = 4 . Suy ra F ( x) = e + 4 . Chọn A.

Câu 41. Đặt t = sin x , suy ra dt = cos xdx .
Khi đó I = ò t4dt =

t5
sin5 x
+C =
+C . Chọn D.

5
5

Câu 42. Xét (I): Ta có
Khi đó

sin x

sin x

ò tan xdx = ò cosx dx . Đặt
dt

ò cosx dx = - ò t

t = cos x Þ dt = - sin xdx .

= - ln t +C = - ln cos x +C . Do đó (I) đúng.

Xét (II): Đặt t = 3cos x Þ dt = - 3sin xdx Þ sin xdx = Khi đó

òe

3cos x

sin xdx = -

1
dt .
3

1
1
1
et dt = - et +C = - e3cosx +C . Do đó (II) đúng.
ò
3
3
3

Xét (III): Đặt t = sin x - cos x Þ t2 = sin x - cos x Þ 2tdt = ( cos x + sin x) dx .
Khi đó

ò

2tdt
= 2ò dt = 2t +C = 2 sin x - cos x +C . Do đó (III) đúng.
t

Chọn D.
Câu 43. Chọn B.
Câu 44. Chọn B.
ìï u = x
ìï du = dx
Þ ïí
Câu 45. Đặt ïí
x
ïîï dv = e dx ïîï v = ex
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có
I = ò xexdx = xex -

òe dx = xe - ò d( e ) = xe x

x

x

x

ex +C . Chọn C.

187


ìï u = x - 1
x
Þ
Câu 46. Giả sử F ( x) = ò f ( x) dx = ò( x - 1) e dx . Đặt ïí x
ïîï e dx = dv
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
F ( x) = ( x - 1) ex -

ò e dx = ( x x

ìï du = dx
ïí
ïîï v = ex

1) ex - ex +C = ( x - 2) ex + C .

0
Theo bài ra, có F ( 0) = 1 Û ( 0- 2) e + C = 1 Û C = 3 .
x
Vậy F ( x) = ( x - 2) e + 3 . Chọn D.

ïì u = ln x
Þ
Câu 47. Ta có F ( x) = ò f ( x) dx = ò x ln xdx . Đặt ïí
ïïî dv = xdx

ìï
ïï du = dx
x
ïíï
2
ïï
x
ïï v =
2
ïî

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:
1
1
1
1
F ( x) = x2 ln x - ò xdx = x2 ln x - x2 + C .
2
2
2

4
1
1 2
1
Theo bài ra, có: F ( 1) = 0 Û .1.ln1- .1 + C = 0 Û C = .
2
4
4
1 2
1 2 1
Vậy F ( x) = x ln x - x + . Chọn D.
2
4
4
dx
ln( ln x)
Câu 48. Đặt ln x = t Þ dt =
. Suy ra I = ò
dx = ò ln t dt .
x
x
ì
ìï u = ln t ïïï du = dt
Þ í
t . Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:
Đặt ïí
ïïî dv = dt ïï
îï v = t
I = t ln t -

ò dt

= t ln t - t +C = ln x.ln( ln x) - ln x +C . Chọn C.

ïì u = sin x
Þ
Câu 49. Đặt ïí
ïïî dv = exdx
.

ïìï du = cos xdx
x
. Khi đó I = e sin x í
ïïî v = ex

ïì u = cos x
x
Þ
Tính J = ò cos xe dx . Đặt ïí
ïîï dv = exdx

ò cos xe dx = e sin x x

x

ïìï du = - sin xdx
í
ïîï v = ex

x

x
x
Suy ra J = e cos x + ò sin xe dx = e cos x + I .
x
x
x
x
x
Do đó I = e sin x - J = e sin x - ( e cos x + I ) Û 2I = e sin x - e cos x .

Vậy I =

1 x
( e sin x - ex cos x) +C . Chọn A.
2

Câu 50. Biến đổi lượng giác sin2 x cos2 x =
b

Câu 51. Sửa lại cho đúng là:

ò f ( x) dx = a

188

sin2 2x 1- cos4x
rồi tính. Chọn C.
=
4
8

a

ò f ( x) dx . Chọn D.
b

J


a

b

Câu 52. Công thức (2) sai, sửa lại cho đúng là ò f ( x) dx = b

ò f ( x) dx .
a

Hai công thức (1) và (3) đều đúng. Chọn B.
1

Câu 53. Ta có

1

ò dx = x

- 1

- 1

= 2. Do đó A sai.

Theo tính chất tích phân thì B sai (vì không có tính chất này).
Xét câu C. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên đoạn [ a;b]
.
/
Suy ra F ( x) = f ( x) ³ 0, " x Î [ a;b] .
b
/
● F ( x) = 0, " x Î [ a;b] , suy ra F ( x) là hàm hằng nên

ò f ( x) dx = F ( x)

b
a

= 0.

a

/
● F ( x) > 0, " x Î [ a;b] , suy ra F ( x) đồng biến trên đoạn [ a;b] nên F ( b) > F ( a)

.
b

Do đó

ò f ( x) dx = F ( x)

b
a

= F ( b) - F ( a) > 0 . Do đó C đúng.

a

a

Chọn f ( x) = 0 thì

ò 0dx = C
0

a
0

= 0 nhưng f ( x) = 0 không phải là hàm số lẻ.

Do đó D sai. Chọn C.
Câu 54. Theo tính chất tích phân, suy ra A đúng. Chọn

f ( x) = x và

[ a;b] = [- 1;2] .
b

Khi đó

2

1

ò f ( x) dx = ò xdx = 2 x
a

2

- 1

1
= ( 4- 1) > 0 nhưng hàm
2
- 1
2

f ( x) = x không

thỏa mãn không âm trên [- 1;2] . Do đó B sai.

(

)

2
Vì 2 1+ x +C =

Ta có

x

2

1+ x

¹

1
1+ x2

nên C sai.

x2
là một nguyên hàm của x nhưng
2

x
2

không là nguyên hàm của

x.
Do đó D sai. Chọn A.
x

Câu 55. Áp dụng tính chất F '( x) = ò f ( t) dt là một nguyên hàm của f ( x) .
a

Chọn B.
x

æ
t3 t2 ö
x3 x2 5
÷
=
+ Câu 56. Ta có F ( x) = ò( t + t) dt = ç
ç + ÷
÷
÷
ç
3
2 6
è3 2 ø
1
1
x

2

189


Xét hàm số F ( x) =

x3 x2 5
+ trên đoạn [- 1;1]
3
2 6

éx = - 1

/
2
/
Đạo hàm F ( x) = x + x; F ( x) = 0 Û ê
êx = 0
ë
Suy ra F ( - 1) = -

2
5
; F ( 0) = - ; F ( 1) = 0 .
3
6

Do hàm số liên tục trên [- 1;1] nên min F ( x) = F ( 0) = [- 1;1]

5
. Chọn C.
6

x

Câu 57. Áp dụng tính chất F '( x) = ò f ( t) dt là một nguyên hàm của f ( x) .
a

Suy ra F / ( x) =

x- 3
x- 3
. Do đó I đúng. Lại có F / ( x) = 0 Û 2

= 0Û x = 3 .
2
x +1
x +1

/
Qua điểm x = 3 ta thấy F ( x) đổi dấu từ âm sang dương.

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 . Khi đó, mệnh đề II đúng, mệnh đề III sai.
Chọn C.
1
2
3
Câu 58. Do x Î [ 0;1] Þ x ³ x Þ

1

2
ò x dx ³
0

ò x dx . Do đó A đúng.
3

0

x

Áp dụng tính chất F '( x) = ò f ( t) dt là một nguyên hàm của f ( x) .
a

Suy ra F / ( x) =

1
. Do đó B đúng.
1+ x

Mệnh đề C sai vì tính chất này chỉ đúng nếu f ( x) là hàm chẵn hoặc ta có
thể lấy ví dụ cụ thể cho hàm f ( x) = x và a= 2 chẳng hạn.
2

Khi đó

1 2
ò xdx = 2 x
- 2

2

1
= ( 4- 4) = 0 nhưng 2ò xdx = x2
2
- 2
0
2

2
0

= 4.

Mệnh đề D đúng theo tính chất tích phân. Chọn C.
Câu 59. Áp dụng tính chất
a

'' Nếu f ( x) là hàm số chẵn thì

0

- a

4

Câu 60. Ta có

ò f '( x) dx = f ( x)
1

4

a

ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx '' . Chọn B.

= f( 4) -

- a

0

( 1) .

1

Theo bài ra ta có
4

ò f '( x) dx = 17 Û
1

Câu 61. Ta có

190

f( 4) -

( 1) = 17 Û f( 4) = 17+ ( 1) = 17+12 = 29 . Chọn A.


2

ò éë2-

2

2

5

5

5

5

4 f ( x) ù
ûdx = 2ò dx - 4ò f ( x) dx = 2x + 4ò f ( x) dx = 2.( 2- 5) + 4.10 = 34 .

5

2

2

Chọn B.
2

Câu 62. Ta có

2

4

ò f ( u) du = ò f ( x) dx = 1 và
1

1

4

1

1

2

1

4

2

ò f ( u) du = ò f ( u) du + ò f ( u) du = -

Suy ra

4

ò f ( u) du = ò f ( t) dt = - 3 .

2

1

4

ò f ( u) du + ò f ( u) du = - 1- 3 = - 4.
1

1

Chọn B.
c

Câu 63. Ta có

d

a

b

b

d

d

d

= ò f ( x) dx b

ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = 8- 10+ 7 = 5.
a

Chọn C.

a

4

4

ò éëf ( x) + g( x) ùûdx = ò f ( x) dx + ò g( x) dx = 3+ 7 = 10 . Do đó A đúng.
1

4

1

1

1

4

3

ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = -

Ta có

a

c

4

Câu 64. Ta có

c

ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx + ò f ( x) dx

3

3

1

4

ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = - ( - 2) + 3 = 5 .
1

1

Do đó B sai, C đúng.
4

4

4

1

1

1

ò éë4 f ( x) - 2g( x) ùûdx = 4ò f ( x) dx - 2ò g( x) dx = 4.3- 2.7 = - 2 .

Ta có

Do đó D đúng. Chọn B.
2

2

2

2

Câu 65. Ta có A = 3ò f ( x) dx + 2ò g( x) dx = 1 và B = 2ò f ( x) dx 1

1

2

ò g( x) dx = v ,

và

1

ïìï 3u + 2v = 1
Û
í
ïïî 2u - v = - 3

ta

có

hệ

phương

trình

1

ìï
ïï u = - 5
7
ïíï
ïï
11
ïï v =
7
ïî

2

Vậy

1

2

ò f ( x) dx = u

Đặt

ò g( x) dx = - 3.

1

ò f ( x) dx = u = 1

5
. Chọn C.
7

Câu 66. Ta có
2

2

2

2

2

A
Bx3
8B
2
2

ò éêëA sin( px) + Bx ùúûdx = Aò sin( px) dx + Bò x dx = - p cos( px) 0 + 3 = 3
0
0
0
0
2

Theo bài ra ta có

ò f ( x) dx = 4 Û
0

8B
3
= 4 Û B = . Chọn D.
3
2

191


2
.
p

Câu 67. Ta có f '( x) = Ap cos( px) . Do f '( 1) = 2 Û Ap cosp = 2 Û A = Lại có
2

2

2
é A
ù æA
ö
f
x
dx
=
(
)
÷
ò
ò éëA sin( px) + Bùûdx = êëê- p cos( px) + Bxúûú0 = çççè- p + 2Bø÷
÷0
0

æ Aö
ç
÷
ç- ÷
÷= 2B .
ç
è
pø

2

Theo bài ra ta có

ò f ( x) dx = 4 Û

2B = 4 Û B = 2 . Chọn A.

0

b

Câu 68. Ta có

ò( 2x -

b

6) dx = ( x2 - 6x) = ( b2 - 6b) - ( 1- 6) = b2 - 6b+ 5 .
1

1

éb = 1
2
Theo bài ra, có b - 6b+ 5 = 0 Û ê
êb = 5 . Chọn D.
ë
a

Câu 69. Ta có

a
æ 1ö
x +1

dx
=
÷
ò x
òçççè1+ xø÷
÷dx = ( x + ln x )
1
1

a
1

= a + ln a- 1= e .

Với a = e thỏa mãn e+ ln e- 1= e. Chọn B.
k

Câu 70. Ta có

ò( k -

k

4x) dx = ( kx - 2x2 ) = ( k2 - 2k2 ) - ( k - 2) = - k2 - k + 2
1

1

2

Theo bài ra, ta có - k2 - k + 2 = 6- 5k Û ( k - 2) = 0 Û k = 2 . Chọn B.
Câu 71. Ta có
x

x

x
x
æ 2
æ
æ1
ö
1ö
1- cos2t 1ö
1
÷
÷
÷ = - 1 sin2x
ç
ç
sin
t
dt
=
dt
=
cos2tdt = ç
÷
÷
ç

ç- sin2t÷
òççè
ò
ò
÷
÷
÷
ç
ç
ø
è
ø
è
ø
2
2
2
2
4
4
0
0
0
0
x

Suy ra

æ

òçççèsin

2

0

t-

1ö
p
÷
dt = 0 Û sin2x = 0 Û 2x = kp Û x = k ( k Î Z) . Chọn C.
÷
÷
2ø
2

a

Câu 72. Ta có

ò( cos x + sin x) dx = ( sin x 0

æ pö
a
cos x) 0 = sin a- cosa +1= 2sin ç
a- ÷
÷
ç
÷+1

ç
è 4ø

éa = k2p
æ pö
æ pö
ê
2
÷
÷
ç
ç
ê 3p
2sin
a
+
1
=
0
Û
sin
a
=
Û
( k Î Z) .
÷
÷
Theo bài ra, có
ç
ç

÷
÷
ç
ç
êa =
è
è
4ø
4ø
2
+ k2p
ê
2
ë
3p
Mặt khác, do 0 < a < 2p nên a =
. Chọn C.
2
5 dx
5 1
1
1
1
= ln 2x - 1 = ln9- ln1= ln9 = ln3 . Chọn C.
Câu 73. Ta có ò
1 2x - 1
1 2
2
2
2

2

Câu 74. Ta có

dx

ò x + 3 = ln x + 3
1

2

= ln5- ln4 = ln

1

5
.
4

Suy ra a = 5, b = 4 nên a- b = 1< 2 . Chọn C.
2

Câu 75. Ta có

1

192

æ1

òççèçx -

3

-

æ
2 1ö
1ö 2
1
- 2÷
dx = ç
ln x - 3 - 2ln x + ÷
= - - 3ln2 .
÷
÷
ç
÷
÷
ç
ø
è
ø
x x
x 1
2


Suy ra a = -

1
, b = - 3 nên a- b> 1 . Chọn C.
2

Câu 76. Ta có
0

æx2
ö
æ
ö
2 ÷
1
ç + x + 2ln x - 1÷
÷
dx = ç
= - 2ln2 = a + bln2 Þ
÷
òççèçx +1+ x - 1÷
÷
ç
÷
ø
2
2
è
ø
- 1
- 1
0

ìï
ïï a = 1
2
í
ïï
îï b =- 2

1
3
Vậy a + b = - 2 = - . Chọn B.
2
2
1

Câu 77. Ta có

1
æ
2x + 3
7 ö
dx
=
dx = ( - 2x - 7ln 2- x )
÷
ò 2- x
òçççè- 2+ 2- xø÷
÷
0
0

1

= - 2+ 7ln2.

0

Suy ra a = - 2, b = 7 nên a + b = 5 . Chọn D.
2

Câu 78. Ta có I = ò
1

2
æ2
x3 - 3x2 + 2x
6 ö
÷
dx =òç
x - 4x + 6÷
ç
÷dx
ç
è
ø
x +1
x
+
1
1

æx3
ö2 7
2
÷
=ç
= - 6ln3+ 6ln2 .
ç - 2x + 6x - 6ln x +1÷
÷
÷1 3
ç
è3
ø
7
7
Suy ra a = , b = - 6, c = 6 nên a + b+ c = > 0 . Chọn D.
3
3
2

Câu 79. Ta có I = ò
1

2
æ2
x3 - 3x2 + 4x - 4
32 ö
÷
dx =òç
x - 5x +14÷

ç
÷dx
ç
è
ø
x+2
x
+
2
1

æx3 5x2
ö 2 53
53
÷
=ç
+14x - 32ln x + 2 ÷
= - 32ln4 + 32ln3 = - 64ln2+ 32ln3 .
ç ÷
÷
ç
3
2
6
6
1
è
ø
Suy ra a =

53
, b = - 64, c = 32 . Chọn B.
6

Câu 80. Gọi s(t) là quãng đường đi được của máy bay
Ta đã biết: v(t) = s'(t) . Do đó s(t) là nguyên hàm của v(t)
Quãng đường đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
4
æ
æ
t2 + 4ö
13 ö
÷
ç
÷dt
ç
÷
1
,2
+
dt
=
1,2+ t - 3+
ç
÷
ç
÷
òçè
ò
÷

ç
÷
è
ø
t
+
3
t
+
3
ø
0
0
4

æ
ö4
t2
÷
=ç
1
,2
t
+
- 3t +13ln t + 3 ÷
= 0,8+13ln4- 3ln3 » 11,81m. Chọn B.
ç
÷
ç
÷0

2
è
ø
Câu 81. Gọi s( t) là quãng đường đi được của máy bay
Ta đã biết: v(t) = s'(t) . Do đó s( t) là nguyên hàm của v( t) .
Quãng đường đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
10

s(t) = ò(3t2 + 5)dt =(t3 + 5t)
4

10
= 966 m. Chọn D.
4

193


Câu 82. Lúc dừng thì v( t) = 0 Þ - 5t +10 = 0 Þ t = 2.
Gọi s( t) là quãng đường ôtô đi được trong khoảng thời gian t = 2.
Ta có v( t) = s'( t) , suy ra s( t) là nguyên hàm của v( t) .
Vậy trong 2s ô tô đi được quãng đường là:
2
æ5 2
ö2
s = ò( - 5t +10) dt = ç
- t +10t÷
÷
ç
÷0 = 10m. Chọn C.

ç
è 2
ø
0

Câu 83. Lấy mốc thời gian tại thời điểm t = 0 (Vận tốc bằng 10m/s tăng tốc)
Gọi s( t) là quãng đường ôtô đi được trong khoảng thời gian 10s và gọi v( t)
là vận tốc của ôtô
Ta có: a(t) = v'(t) Þ v(t) là nguyên hàm của a(t)
v(t) = ò a(t)dt = ò (3t + t2 )dt =

3t2 t3
+ +C
2
3

Tại thời điểm ban đầu: v( 0) = 10 Û C = 10 Þ v(t) =

3t2 t3
+ + 10
2
3

Ta có: v( t) = s'( t) Þ s( t) là nguyên hàm của v( t)
Vậy trong 10( s) ô tô đi được quãng đường là:
10
æ3t2 t3
ö
æ
ö

10 4300
t 3 t4
÷
÷
ç
ç
÷
÷ =
v
(
t
)
dt
=
+
+
10
dt
=
(m) . Chọn B.
ç
ç
÷
ò
òçèç 2 3 ø÷ èçç 2 + 12 + 10tø÷
÷0
3
t
0
T

Câu 84. Ta có v( t) = ò v'( t) dt = ò

3
dt = 3ln t + 1 + C .
t +1

Tại thời điểm ban đầu ( t = 0) thì v( 0) = 3ln1+ C = 6 Û C = 6 .
Suy ra v( t) = 3ln t + 1 + 6 .
Tại thời điểm t = 10s Þ v( 10) = 3ln11+ 6 » 13( m/ s) . Chọn B.
Câu 85. Ta có N ( t) = ò N '( t) dt = ò

4000
dt = 8000.ln( 1+ 0,5t) + C
1+ 0,5t

Tại thời điểm ban đầu ( t = 0) thì N ( 0) = 8000.ln1+ C = 250000 Û C = 250000 .
Suy ra N ( t) = 8000.ln( 1+ 0,5t) + 250000 .
Sau 10 giây

( t = 10)

thì ta có N ( 10) = 8000.ln ( 1+ 0,5.10) + 250000 = 264.334

(con).
Chọn A.
Câu 86. Ta có h( t) = ò h'( t) dt =

194

1
4
1
3
( t + 8) 3 dt = ( t + 8) 3 +C .
ò
5
20


3 4
12
Tại thời điểm ban đầu ( t = 0) thì h( 0) = .83 + C = 0 Û C = .
20
5
Suy ra h( t) =

4
3
12
( t + 8) 3 - .
20
5

4
3
12
Tại thời điểm t = 6( s) thì h( 6) = .143 » 2,66 cm . Chọn C.
20
5

Câu 87. Ứng dụng thực tế tích phân : Biểu thị sự thay đổi của một sự vật từ cận
a đến cận b.
Chọn D.
Câu 88. Đặt x = 4sin t , suy ra:
ïìï x = 0 Þ t = 0
ìï dx = 4costdt
ï
ï
.
.
Đổi
cận:
í
í
ïï x = 8 Þ t = p
ïï 16- x2 = 16- 16sin2 t = 16cos2 t = 4 cost
ïî
ïî
4
p
4

p
4

p
4

0

0

0

Khi đó I = 16 cost costdt = 16cos2 tdt = 8 ( 1+ cos2t)dt . Chọn B.
ò
ò
ò
ïì dx = 2costdt
.
Câu 89. Đặt x = 2sin t , suy ra ïí
ïï 4- x2 = 4- 4sin2 t = 2 cos2 t = 2 cost
ïî
p
p
p
ìï x = 0 Þ t = 0
ïï
6
6
6
2cos
tdt
2cos
tdt
Đổi cận: í
. Vậy I =
=
=
dt. Chọn A.

ïï x = 1Þ t = p
ò
ò
ò
2cos
t
2
cos
t
ïî
0
0
0
6
2
Câu 90. Đặt x = 3tan t , suy ra dx = 3( 1+ tan t) dt .

ìï
p
p
ïï x = 3 Þ t = p
2
3
3
3
1
+
tan
t
dt

(
)
3
ïï
4
. Khi đó I = ò
=
dt. Chọn D.
Đổi cận: í
ïï
p
3tan2 t + 3
3 ò
p
p
x
=
3
Þ
t
=
ïï
4
4
3
ïî
Câu 91. Đặt x =

1
, suy ra

sin t

ìï
ìï
ïï dx = - cos2t dt
ïï x = 1Þ t = p
ïï
sin t
ï
2 .
. Đổi cận: ïí
Khi đó:
í
2
ïï
ï
cos
t
1
cos t
2
ïï x = 2 Þ t = p
1
=
=
ïï x - 1 =
ïïî
4
sin2 t
sin2 t

sin t
ïïî
cost
p cost
p
p
2
2
2
sin t cost
sin t cost
1
2
I =- ò
. 2 dt = ò
. 2 dt = ò cos tdt = ò( 1+ cos2t) dt. Chọn C.
1 sin t
1 sin t
2p
p
p
p
3
3
2 sin t
4 sin t
4
4
ìï x = 1Þ t = 0
Câu 92. Chọn A. Đặt t = 1- x Þ dt = - dx . Đổi cận ïí

ïïî x = 0 Þ t = 1
p
4

195


1

Suy ra

0

0

ò f ( x) dx = - ò f ( 10

t) dt = -

1

ò f ( 1-

1

1

x) dx = ò f ( 1- x) dx .
0

Vậy mệnh đề A đúng.
ìï x = 0 Þ t = 0
Câu 93. Đặt x = 2t Þ dx = 2dt . Đổi cận ïí
.
ïïî x = 4 Þ t = 2
4

Khi đó

2

2

ò f ( x) dx = 10 trở thành 2ò f ( 2t) dt = 10 Û
0

0

ò f ( 2t) dt = 5 . Chọn A.
0

ìï x = a Þ t = f ( a)
ï
Câu 94. Đặt t = f ( x) Þ dt = f '( x) dx . Đổi cận í
ïï x = b Þ t = f ( b)
î
f ( b)

b

Khi đó

f ( x)

ò f '( x) e

dx =

f ( b)

ò e dt = e
t

- ef ( a) = 0 (do f ( a) = f ( b) ). Chọn A.

f ( a)

a

Câu 95. Xét I. Ta có

p
2

p
2

0

0

ò sin2x. f ( sin x) dx = 2ò sin x. f ( sin x) .cos xdx .

ìï x = 0 Þ t = 0
ïï
Đặt t = sin x Þ dt = cos xdx . Đổi cận í
.
ïï x = p Þ t = 1
ïî
2
p
2

1

1

0

0

0

Khi đó 2 sin x. f ( sin x) .cos xdx = 2 t. f ( t) dt = 2 x. f ( x) dx. Do đó I đúng.
ò
ò
ò
Xét II. Đặt t = ex và kết luận II đúng.
Xét III. Đặt t = x2 và kết luận III đúng. Chọn D.
a

0

a

Câu 96. Ta có ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx .
- a

- a

0

0

Xét tích phân

ò f ( x) dx . Đặt
- a

f ( x)

Do

là

hàm

ìï x = - a Þ t = a
t = - x Þ dx = - dt . Đổi cận ïí
.

ïïî x = 0 Þ t = 0

số

lẻ

và

liên

tục

trên

[- a;a]

nên

f ( - x) = - f ( x) Þ f ( - t) = - f ( t) .
Khi đó
0

0

ò f ( x) dx = - a

a

Vậy

0

ò f ( - t) dt = a

0

a

a

a

a

a

ò f ( t) dt = 0

a

ò f ( x) dx .
0

a

ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = - ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = 0 . Chọn B.
- a

- a

0

Câu 97. Áp dụng đáp án câu 7 ta có:

196

0

ò éë- f ( t) ùûdt = ò f ( t) dt = 0

0


a

Nếu f ( x) lẻ và liên tục trên [- a; a] thì

ò f ( x) dx = 0 . Thay

a= 2 ta được

- a

2

0

2

2

ò f ( x) dx = 0 = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx Þ
- 2

- 2

0

1

0

0

ò f ( x) dx = 0

ò f ( x) dx = - 2 . Chọn B.
- 2

1

ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx

Câu 98. Ta có

- 1

- 1

0

ïì x = 0 Þ t = 0
Đặt t = - x Þ dx = - dt . Đổi cận ïí
ïïî x = 1Þ t = - 1
Do f ( x) là hàm số chẵn nên f ( - x) = f ( x) Þ f ( - t) = f ( t) .
1

Suy ra

ò f ( x) dx = 0

1

Vậy

- 1

- 1

ò f ( - t) dt = -

ò f ( t) dt = ò f ( t) dt = ò f ( x) dx

0

0

0

0

- 1

1

0

-1

0

ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx = 2.3 = 6 . Chọn C.
- 1

- 1

0

- 1

Câu 99. Đặt t = x3 +1 Þ t2 = x3 +1 , suy ra 2tdt = 3x2dx Þ

2
tdt = x2dx .
3

3
3
ïìï x = 0 Þ t = 1
2 2

2t3
52
Đổi cận: í
. Vậy I = ò t dt =
=
. Chọn C.
ïïî x = 2 Þ t = 3
31
9 1
9

ïì x = 1Þ u = 0
Câu 100. Đặt u = x2 - 1Þ du = 2xdx . Đổi cận: ïí
.
ïïî x = 2 Þ u = 3
2

3

2
Suy ra I = ò 2x x - 1dx = ò udu . Do đó B sai. Chọn B.
1

0

ïì x = 0 Þ t = 1
Câu 101. Đặt t = 1+ x Þ t2 = 1+ x Þ 2tdt = dx . Đổi cận ïí
ïïî x = 3 Þ t = 2
3

Suy ra

ò 1+
0

2

x
1+ x

dx = 2ò
1

t( t2 - 1)
1+ t

2

2
dt = ò( 2t2 - 2t) dt . Vậy f ( t) = 2t - 2t . Chọn
1

A.
3

Câu 102. Ta có I = ò
1

3

1+ x2
dx
dx = ò( x2 +1) .
.
2
2
x
x 1+ x2
1

ìï
1
ïï dt = dx
2
2
x +1 ïï
x x2 +1
Þ í
.
Đặt t =
2
2
ïï
x
x
+
1
1
1
t

2
2
2
ïï t =
= 1+ 2 Þ x = 2
Þ x +1= 2
x2
x
t - 1
t - 1
îï
2
ïìï x = 1Þ t = 2
3
ïï
t2
Đổi cận: í
. Suy ra I =dt . Chọn A.
ïï x = 3 Þ t = 2
2
ò
t
1
2
3
ïîï

197

2

Câu 103. Ta có I = ò
1

2

dx
x 1+ x3

=ò
1

x2dx
x3 1+ x3

.

ìï x3 = t2 - 1
ìï x = 1Þ t = 2
ïï
. Đổi cận: ïí
.
í 2
2
ïï x dx = tdt
ïï x = 2 Þ t = 3
î
ïïî
3

3
3
3
2
tdt
1 æ1
1 ö
1 t- 1
1æ
1
2 - 1ö
÷
ç
÷
÷
ç
= òç
dt
=
ln
=
ln
ln
÷
Suy ra I = ò 2
ç
÷
÷
÷
èt - 1 t +1ø

ç 2
3 2 ( t - 1) t 3 2 ç
3 t +1 2 3ç
2 +1ø
è
ìï t2 = 1+ x3
Þ
Đặt t = 1+ x Þ ïí
ïï 2tdt = 3x2dx
î
3

1
1
1
1
ln2- ln 3- 2 2 = - ln2- ln
3
3
3
3
1
2
Vậy a = - ; b = - ; c = 0 . Chọn B.
3
3

(

=-

)

(

)

2

2- 1 = -

Câu 104. Đặt t = x2 +1 , suy ra dt = 2xdx Þ xdx =

1
2
ln2- ln
3
3

(

)

2- 1

dt
.
2

2

2
ìïï x = 0 Þ t = 1
1 dt 1
1
.
I
=
=
ln
t
= ln2 = ln 2. Chọn C.
Đổi cận: í
Khi đó
ïïî x = 1Þ t = 2
2ò
t
2
2
1
1

ïì x = 0 Þ t = 0
Câu 105. Đặt x4 = t Þ 4x3dx = dt . Đổi cận ïí
ïïî x = 1Þ t = 1
1

Suy ra

ò
0

4x3

( x4 + 2)

1

2 3.m-

ò
0

1

dx = ò
2
0

4x3

(x

4

+ 2)

2

1

æ 1 ö
1ö
÷ = - 1- æ
÷= 1
ç
=ç
- ÷
÷
ç
ç
2
÷
÷ 6 . Khi đó:
ç
ç
è
ø
è
ø
t
+
2
3
2
( t + 2)
0
dt

dx = 0 Û 2 3.m-

Câu 106. Đặt t = ln x , suy ra dt =
ln2

Khi đó B = ò tdt =
0

t2
2

ln2
0

=

1
3
2
= 0 Û m=
Þ 144m2 - 1= - . Chọn A.
6
36
3

ìï x = 1Þ t = 0
dx
.
. Đổi cận: ïí
ïïî x = 2 Þ t = ln2
x

ln2 2
. Chọn B.
2

ìï
ïï du = 1 dx
ïì x = 1Þ u = 0
.
x . Đổi cận: ïí
Câu 107. Đặt u = ln x Þ í
ïï
ïïî x = eÞ u = 1
u
ïïî x = e
e

Suy ra

1

1

1- ln x
1- u
- u
ò x2 dx = ò eu du = ò( 1- u) e du . Chọn B.
1
0
0

Câu 108. Đặt t = 1+ 3ln x Þ t2 = 1+ 3ln x , suy ra 2tdt =

3
dx .
x

2
2
ïì x = 1Þ t = 1
2
2
14
. Suy ra I = ò t2dt = t3 = . Chọn A.
Đổi cận: ïí
ïïî x = eÞ t = 2
31
9 1
9

198


ỡù
ùù dt = dx
ùỡ x = 1ị t = 2
Cõu 109. t t = ln x + 2 , suy ra ớ
x
. i cn: ùớ
.
ùù

ùùợ x = eị t = 3
ln
x
=
t
2
ùợ
e

Khi ú

3

ln x

ũ x( ln x + 2)
1

dx = ũ
2
2

3
ổ
t- 2
1 2ử
ỗ
dt
=
- 2ữ

ữ
ỗ
2
ũ
ữdt. Chn D.
ỗ
ố
t
t
t ứ
2

Cõu 110. t t = ln2 x +1 , suy ra dt =

2ln x
ln x
dt
dx ị
dx = . i cn:
x
x
2

2
ùỡù x = 1ị t = 1
1 dt 1
. Khi ú I = ũ = ln t
ớ
ùùợ x = eị t = 2
21 t 2

2
1

1
1
= ln2 . Suy ra a = , b = 0 . Chn A.
2
2

1
Cõu 111. t t = x2 , suy ra dt = 2xdx ị xdx = dt.
2
1

i cn: x = 0 ị t = 0; x = 1ị t = 1 . Khi ú I =

1
1
et dt = .et
ũ
20
2

1

=

0

e- 1
. Chn
2

C.
Cõu 112. t t = ex - 1 ị t2 = ex - 1, suy ra 2tdt = exdx .
1
ùỡ x = 0 ị t = 0
2t3 1 2
. Khi ú I = 2ũ t2dt =
= . Chn B.
i cn: ùớ
ùùợ x = ln2 ị t = 1
3 0 3
0
ùỡ x = 0 ị t = 1
.
Cõu 113. t t = ex , suy ra dt = exdx . i cn: ùớ
ùùợ x = ln3 ị t = 3
ln3

ln3
3
3
ổ
dx
exdx
dt
1
1 ử

ữ
ỗ
=
=
=
ữ
Suy ra ũ x
ỗ ũ
ũ
ũ
x
x
ữdt . Chn D.
ỗ
ố
ứ
e
+
1
t
t
+
1
t
t
+
1
(
)
e

e
+
1
(
) 1
0
0
1

ỡù
ùù x = - 1ị t = 1
e.
Cõu 114. t t = e ị dt = e dx . i cn: ớ
ùù
2
ùùợ x = 2 ị t = e
x

e2

x

dt
Suy ra I = ũ 2+ t = ln 2 + t
1
e

e2
1
e

ổ 1ử
2+ e2
2e+ e3
ữ
= ln( 2 + e2 ) - lnỗ
2
+
=
ln
=
ln
ữ
ỗ
ữ
ỗ
1
ố eứ
2e+1 .
2+
e

Vy a = 2; b = 1. Chn C.
Cõu 115. t t = sin x , suy ra dt = cos xdx .
ùỡù x = 0 ị t = 0
1
1
ù
I
=

et dt = et = e- 1. Chn B.
i cn: ớ
. Khi ú
p
ũ
0
ùù x = ị t = 1
0
2
ợù
Cõu 116. t t = sin2 x ị dt = 2sin x cos xdx .
ỡù x = 0 ị t = 0
1
ùù
1
t
i cn ớ
. Suy ra I = ũ e ( 1- t) dt . Chn A.
p
ùù x = ị t = 1
20
2
ợù
Cõu 117. t t = sin2 x , suy ra dt = 2sin x cos xdx = sin2xdx .

199


ìï
1

ïï x = p Þ t = 1
ï
4
2
I
=
et dt. Chọn B.
ï
ò
Đổi cận: í
. Khi đó
ïï
1
p
ïï x = Þ t = 1
2
2
ïî
Câu 118. Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx .
- 1
1
ïì x = 0 Þ t = 1
t4
3
3
Đổi cận: ïí
. Khi đó I = - ò t dt = ò t dt =
ïïî x = p Þ t = - 1
4
1

- 1

1
- 1

= 0 . Chọn C.

Câu 119. Đặt t = 1+ sin2 x , suy ra dt = 2sin x cos xdx = sin2xdx .
ïìï x = 0 Þ t = 1
2
2
t4
15
ï
3
.
Đổi cận: í
Khi đó I = ò t dt =
= . Chọn B.
ïï x = p Þ t = 2
41
4
1
ïî
2
3
dx . Đổi cận
Câu 120. Đặt u = 3tan x +1 Þ u2 = 3tan x +1Þ 2udu =
cos2 x
ïìï x = 0 Þ u = 1

2
2
2
2 ( 2u - 2) u
4
ï
. Vậy I = ò
du = ò( u2 - 1) du . Chọn C.
í
p
ïï x = Þ u = 2
31
u
31
ïî
4
ïìï x = 0 Þ t = 1
ï
Câu 121. Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx . Đổi cận: í
.
ïï x = p Þ t = 0
2
îï
0

Suy ra I = -

ò( 11

0

n

n

t) dt = ò( 1- t) d( 1- t) =
1

( 1- t)

n+1 0

n +1

=
1

1
. Chọn A.
n +1

ïìï x = 0 Þ t = 0
ï
Câu 122. Đặt t = sin x Þ dt = cos xdx . Đổi cận í
.
ïï x = p Þ t = 1
ïî
6
2
Suy ra

n+1

1
2

I = ò tndt =
0

1
n+1 2

æö
1÷
ç
÷
ç
÷
ç
è2ø

t
1
1
. Chọn A.
=
=
=
Û n= 3
n+1

n +1 0
n +1 ( n +1) 2
64

ïì u = ln t
Þ
Câu 123. Đặt ïí
ïïî dv = dt

ìï
2
ïï du = dt
t . Khi đó I = t ln t í
ï
1
ïîï v = t

2

2

2

1

1

ò dt = t ln t - t = 2ln2- 1.
1

Chọn D.
ïìï u = ln x
ï
Þ
Câu 124. Đặt í
ïï dv = dx2
ïî
x
a

ìï
ïï du = dx
ï
x
.
íï
ïï
1
ïï v = x
ïî
a

a
æ ln xö
dx
ln a 1
ln a 1
÷
+
==- +1 . Suy ra a= 2 . Chọn A.

Khi đó I = ç
÷
ç
2
ò
÷
ç
è x ø1 1 x
a
x1
a
a

200


ìï
2x - 1
2x - 1
ïìï u = ln( x2 - x) ïïï du = 2
dx =
dx
x
x
x
( x - 1) .
Þ
Câu 125. Đặt í
í
ïï dv = dx

ïï
î
ïïî v = x
3

2
Khi đó I = x ln( x - x) 2 -

= x ln( x2 - x)

3
2

3

2x - 1
2
ò x - 1 dx = x ln( x - x)
2
3

- ( 2x + ln x - 1)

2

3

3

-

2

æ

1 ö

÷
òçççè2+ x - 1ø÷
÷dx
2

= 3ln3- 2. Suy ra a = 3, b = 2 . Chọn C.

ìï
ïï du = dx
e
x2 ln x e 1
e2 x2
x
ïíï
I
=
x= . Khi đó
ò
2
ïï
2 1 21
2 4
x

ïï v =
2
ïî

ìï u = ln x
Þ
Câu 126. Đặt ïí
ïïî dv = xdx

e

=
1

e2 +1
.
4

Chọn C.
ïì u = ln x
Þ
Câu 127. Đặt ïí
ïîï dv = x3dx

ìï
ïï du = 1 dx
x
ïíï
.
ïï

x4
ïï v =
4
ïî
e

e

Khi đó I = ò x3 ln xdx =
1

e

e

x4 ln x
1
e4 x4
e4
- ò x3dx = = 4 1 41
4 16 1
4

æe4 1 ö
3e4 +1
÷
ç
÷
.
=

ç
÷
ç
÷
16
è16 16ø

Suy ra a = 4, b = 16 . Chọn A.
ìï
ïï du = 2x 2 dx
2+ x
ïíï
.
ïï
x2
2 + x2
ïï v = +1=
2
2
ïî

ìï u = ln( 2+ x2 )
ï
Þ
Câu 128. Đặt í
ïï dv = xdx
î
Khi đó I =

2+ x2

ln( 2+ x2 )
2

1

1

3

ò xdx = 2 ln3-

-

0

0

ln2-

x2
2

1
0

3
1
= ln3- ln2- .
2
2

3
1
Suy ra a = , b = - 1, c = - . Chọn A.
2
2
e

e

e

k
Câu 129. Ta có I = ò ln dx = ò( ln k - ln x) dx = ln kò dx x
1
1
1
e

e

ò ln xdx.
1

e

● A = ln kò dx = ln k.x = ( e- 1) ln k .
1

1

e
ìï u = ln x
B
=
●
ò ln xdx . Đặt ïíïïî dv = dx Þ
1
e

Suy ra B = x ln x 1

ìï
ïï du = dx
x .
í
ïï
ïî v = x

e

ò dx = x ln x
1

e
1

e

- x = 1. Do đó I = A - B = ( e- 1) ln k - 1 .

1

Theo giả thiết, ta có I < e- 2

201


Û ( e- 1) ln k - 1< e- 2 Û ( e- 1) ln k < e- 1 Û ln k < 1 Û k < e . Chọn B.
ìï du = dx
ï
ïí
x
.
ïï v = 2
ïïî
ln2

ïì u = x
Þ
Câu 130. Đặt ïí
ïîï dv = 2x dx
1

Khi đó I =

x2x 1
1
x2x 1
2x 1 2ln2- 1
x

2
dx
=
=
. Chọn A.
ln2 0 ln2 ò
ln2 0 ln2 2 0
ln2 2
0

ïì u = 2x + 3
Þ
Câu 131. Đặt ïí
ïîï dv = exdx
1

I = ( 2x + 3) ex 0

ïìï du = 2dx
. Khi đó
í
ïîï v = ex

1

x 1

ò 2e dx = ( 2x + 3) e
x

0

0

1

- 2ex = 3e- 1. Suy ra a = 3, b = - 1. Chọn
0

D.
ïì u = x - 1
Þ
Câu 132. Đặt ïí 2x
ïîï e dx = dv

ìï du = dx
ïï
. Áp dụng công thức tính tích phân từng
í
ïï v = 1 e2x
ïî
2

phần, ta có
a

a

æx - 1 2x ÷
ö 1

e ÷
÷
è 2
ø0 2

2x
ò( x - 1) e dx = ççç
0

a
2x
ò e dx =
0

a- 1 2 a 1
e + 2
2

æ1 2x ö
÷
ç
e ÷
ç
÷
ç2 ø
è

a

0

æ a - 1 2 a 1ö
æ
1 2 a 1ö
a- 1 2 a 1 2 a 3
÷
ç
=ç
e + ÷
- ç
÷
ç e - ÷
e - e +
÷
ç
÷=
ç
÷
ç
2ø è2
2ø
è 2
2
4
4
Theo bài ra, ta có
a - 1 2 a 1 2 a 3 3- e2
a - 1 2 a 1 2 a e2
e - e + =
Û

e - e + = 0 Û a = 1. Chọn A.
2
4
4
4
2
4
4
ìï du = dx
ï
ïìï u = x
Þ íï
Câu 133. Đặt íï
cos2x .
ï
ïî dv = sin2xdx ïï v = 2
î
Khi đó I = - x cos2x
2

p
4
0

p
4

+

1

x cos2x
cos2xdx = 2ò
2
0

p
2

ïìï u = x
Þ
Câu 134. Tính A = x sin xdx . Đặt í
ïïî dv = sin xdx
ò
0
p
2

p
2

Suy ra A = ò x sin xdx = ( - x cos x)
0

0
p
2

Do đó I = A + 2mò xdx = 1+ mx2
0

202

p
2
0

p
2

p
4
0

+

sin2x
4

= 1+

p
2
0

mp2
.
4

0

1
= . Chọn C.
4

ïìï du = dx
í
.
ïïî v = - cos x

+ ò cos xdx = sin x
0

p
4

=1.


Theo bi ra ta cú 1+

mp2
mp2
= 1+ p2
= p2 m= 4 . Chn C.
4
4

p
2

ùỡù u = x
ị
Cõu 135. Tớnh I = x cos xdx . t ớ
ùợù dv = cos xdx
ũ
0

Khi ú I = x sin x

p
2
0

p
2

-

ũ sin xdx = x sin x

Theo gi thit, ta cú

0

p
m

ổ
p
ỗ

ỗ ỗ
ố2

p
2

+ cos x

0

p
2

=

0

p
- 1.
2

ử
2
1ữ
ữ
ữ= 1 m= 2 . Suy ra 9m - 6 = 30. Chn B.
ứ

p
2

Cõu 136. Ta cú

ùỡù du = dx
.
ớ
ùợù v = sin x

ũ( 2x - 1- sin x) dx = ( x - x + cos x)
2

0

p
2
0

ổ
ổ
p2 p ử
p 1ử
ữ- 1.
ữ
=ỗ
- ữ
- 1= p ỗ
- ữ
ỗ
ỗ
ữ

ữ
ỗ
ỗ
ữ
ố4 2ứ
ố 4 2ứ

ùỡù a = 4
Suy ra ớ
. Chn B.
ùùợ b = 2
t

t

t
dx
1 ổ1
1 ử
1 x- 1
1 t- 1
ữ
= ũỗ
dx = ln
= ln
ữ
Cõu 137. Ta cú ũ 2
.
ỗ
ữ

ỗ
ố
ứ
x - 1 2 0 x - 1 x +1
2 x +1 0 2 t +1
0

1 t- 1
1
t- 1 1
= - ln3
=
Theo bi ra ta cú: ln
2 t +1
2
t +1 3

ộ 1
ờt =
ờ 2 . Chn D.
ờ
ờt = 2
ở

Cõu 138. Chn C.
p

p

x

2
x
2
Cõu 139. Xột (I). Ta cú I + J = ũ e cos xdx + ũ e sin xdx .
0

0

p

p

p

= ũ ex ( sin2 x + cos2 x) dx = ũ exdx = ex
0

= ep - 1 . Vy (I) sai.
0

0

p

p

x
2
Xột (II). Ta cú I - J = ũ e cos xdx 0

p

p

0

0

ũ e sin
x

2

xdx

0

= ũ ex ( cos2 x - sin2 x) dx = ũ ex cos2xdx = K . Vy (II) ỳng.
ùỡ u = cos2x
ị
Xột (III). t ùớ
ùợù dv = exdx
x
Suy ra K = ( e cos2x)

p

0

ùỡù du = - 2sin2xdx

ớ
ùợù v = ex
p

+ 2ũ ex sin2xdx = ep - 1+ 2M .
0

ùỡ u1 = sin2x
x
ị
Tớnh M = ũ e sin2xdx . Ta t ùớ
ùù dv1 = exdx
0
ợ
p

x
Suy ra M = ( e sin2x)

p

0

ùỡù du1 = 2cos2x
ớ
ùù v1 = ex
ợ

p

- 2ũ ex cos2x = - 2K .
0

203


Khi đó K = ep - 1+ 2( - 2K ) Û 5K = ep - 1 Û K =
1

1

Câu 140. Ta có I 0 + I 1 = ò
0

ep - 1
. Vậy (III) đúng. Chọn D.
5
1

1

1
ex
1+ ex
dx + ò
dx = ò
dx = ò dx = 1 . Chọn B.
x
x
1+ e

1+ e
1+ ex
0
0
0

Câu 141. Chọn B.
Câu 142. Theo hình vẽ, ta có
3

0

S = ò f ( x) dx = - 2

3

- 2

3

ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx . Chọn C.
- 2

0

0

0

Câu 143. Xét phương trình hoành độ giao điểm

éx = 0
ê
3
2
2
x + 2x = 3x Û x( x - 3x + 2) = 0 Û êx = 1 .
ê
êx = 2
ë
Diện tích hình phẳng cần tính là
2

1

2

0

1

S = ò x3 + 2x - 3x2 dx = ò( x3 - 3x2 + 2x) dx + ò( - x3 - 2x + 3x2 ) dx
0

1

2

= ò( x3 - 3x2 + 2x) dx -

ò( x

3

0

- 3x2 + 2x) dx . Chọn B.

1

éx = 1
2
Câu 144. Xét phương trình x + 2 = 3x Û ( x - 1) ( x - 2) = 0 Û ê
êx = 2
ë
2
2
Diện tích hình phẳng cần tính là S = ò x + 2- 3x dx
1

2

æ x3 3x2
ö
2 æ 5ö
1
÷
= ò( - x2 + 3x - 2) dx = ç
+
- 2x÷
=- - ç

- ÷
ç
ç
÷
÷= 6 . Chọn D.
ç
ç 6÷
÷
è
ø
3
2
3
è
ø
1
1
2

Câu 145. Phương trình hoành độ giao điểm:
éx = 0
ê
3
2
3
2
x - x = x - x Û x + x - 2x = 0 Û êx = 1 .
ê
êx = - 2
ë

Diện tích hình phẳng cần tính là
1

0

1

S = ò x3 + x2 - 2xdx = ò x3 + x2 - 2xdx + ò x3 + x2 - 2xdx
- 2

- 2

0

= ò( x3 + x2 - 2x) dx - 2

æx
ö
x
÷
=ç
+ - x2 ÷
ç
÷
ç
÷- 2
3
è4
ø
4

3

0

0

1

ò( x

3

+ x2 - 2x) dx

0

æx4 x3
ö 1 8 5 37
2÷
ç
÷
+
x
= + = . Chọn A.
ç
÷
ç4
÷0 3 12 12
3

è
ø

éx = 1± 3
3
2
Câu 146. Xét phương trình - x + 3x - 2 = 0 Û ê
êx = 1
ê
ë

204


Din tớch hỡnh phng cn tớnh l
2

1

2

0

0

1

S = ũ - x3 + 3x2 - 2 dx = ũ( x3 - 3x2 + 2) dx + ũ( - x3 + 3x2 - 2) dx =

5 5 5

+ = .
4 4 2

Chn B.
2

Cõu 147. Xột phng trỡnh x4 - 2x2 +1= 0 ( x2 - 1) = 0 x = 1 .
Din tớch hớnh phng cn tớnh l
1

1
1
ổx5 2x3
ử
8 - 8 16
ữ
S = ũ x4 - 2x2 +1 dx = ũ( x4 - 2x2 +1) dx = ỗ
+ xữ
= =
(vdt).
ỗ
ữ
ỗ
ữ
5
3
15
15 15
ố
ứ

- 1
- 1
- 1

Chn B.

ộx = 0
2
x= 0.
Cõu 148. Phng trỡnh honh giao im: x 1+ x = 0 ờ
ờ
2
ờ
ở 1+ x = 0
1

1

2
Din tớch hỡnh phng: S = ũ x 1+ x dx = ũ x 1+ x dx .
2

0

0

2 2- 1
(vdt). Chn B.
3
ộx = 0

x ỡù x 0
x = ùớ
ờ
.
2
ờ
2 ùợù 4x = x
ởx = 4

Bng cỏch i bin t = 1+ x2 , ta tớnh c S =
Cõu 149. Phng trỡnh honh giao im l
Din tớch hỡnh phng cn tớnh l
4

S=ũ
0

4

4
3
ổ
ổ
x
xử
x2 ử
ữ
4
ỗ2 x
ữ

xdx = ũỗ
x- ữ
dx = ỗ
ữ
ữ = . Chn D.
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố
ứ
2
2
3
4
ữ
ỗ
ố
ứ0 3
0

Cõu 150. Din tớch hỡnh phng cn tớnh l
4

4

4

ổ 2 ử

2
8
ữ
S=ũ
dx = 2ũ
=ỗ
= - - ( - 2) = . Chn B.
ữ
ỗ
2
2
ữ
ỗ
ố x +1ứ0
5
5
0 ( x +1)
0 ( x +1)
2

dx

ùỡù x > 0
ù
Cõu 151. Xột phng trỡnh x ln x = 0 ùớ ộx = 0 x = 1.
ùù ờ
ùùợ ờ
ởx = 1
e

e

Din tớch hỡnh phng cn tớnh l S = ũ x ln x dx = ũ x ln xdx .
1

1

ỡù
ùù du = dx
ỡùù u = ln x
ù
x
ị ùớ
t ớ
. p dng cụng thc tớnh tớch phõn tng phn, ta cú
2
ùùợ dv = xdx ùù
x
ùù v =
2
ùợ
e

e
ổx2
ử 1 e
e2 1 2
e2
ữ
S =ỗ

xdx
=
x
=
ỗ ln xữ
ữ 2ũ
ữ
ỗ
2 4 1 2
ố2
ứ
1
1

ổ
e2 1ử e2 +1
ỗ
ữ
=
(vdt). Chn A.
ỗ - ữ
ữ
ữ
ỗ 4 4ứ
4
ố

205

1
x
Cõu 152. Din tớch hỡnh phng cn tớnh l S = ũ e + x dx .
0

Ta thy vi x > 0 ị ex + x > e0 + 0 = 1.
1

ổx x2 ử
1
1
ữ
e + ữ
= e+ - 1= e- . Chn B.
Suy ra S = ũ( e + x) dx = ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2 ứ0
2
2
ố
0
1

x

Cõu 153. Phng trỡnh honh giao im l ex + x = x +1 ex = 1 x = 0 .
ln5

ln5

0

0

x
x
Din tớch hỡnh phng cn tỡm l S = ũ ( e + x) - ( x +1) dx = ũ e - 1 dx
ln5

= ũ( ex - 1) dx = ( ex - x)
0

ln5
0

= 4- ln5 (vdt). Chn D.

ộx = 0
x
x
Cõu 154. Xột phng trỡnh ( 1+ e ) x = ( e+1) x x( e - e) = 0 ờ
ờx = 1
ở
1

1

0

0

x
x
Din tớch hỡnh phng cn tớnh l S = ũ x( e - e) dx = ũ x( e- e ) dx

ỡù u = x
ù
ị
t ớ
ù dv = ( e- ex ) dx
ùợ

ỡ
ùớù du = dx
ùùợ v = ex - ex
1

x ex - ex ) ự
Suy ra S = ộ
ờ
ỳ
ở(
ỷ0

1

ổ ex2

ử
e
e- 2
x
xữ
= - + e- 1=
(vdt).
ữ
ũ( ex - e ) dx = ỗỗỗố- 2 + e ứữ
ữ
2
2
0
0
1

Chn C.
ln8

ln8

x
x
Cõu 155. Din tớch hỡnh phng cn tỡm l S = ũ e +1 dx = ũ e +1dx .
ln3

t t = ex +1 ị t2 = ex +1 , suy ra 2tdt = exdx dx =

ln3

2t
dt .
t2 - 1

ùỡ x = ln3 ị t = 2
i cn: ùớ
.
ùùợ x = ln8 ị t = 3
3

Khi ú S = ũ
2

3
ổ
ổ
2t2
2 ử
t- 1ử
ữ3 = 2 + ln 3 (vdt). Chn
ữ
ỗ
ỗ
ữ
dt
=
2+ 2
dt
=
2

t
+
ln
ữ
ỗ
ỗ
2
ũ
ữ
ữ
ỗ
ữ2
ỗ
ố
ứ
t - 1
t
1
t
+
1
2
ố
ứ
2

B.
Cõu 156. Ta cú y' = 2x - 2 .
Tip tuyn D ca ( P ) ti im M ( 3;5) cú h s gúc k = y'( 3) = 4 .
Suy ra phng trỡnh tip tuyn D l y = 4( x - 3) + 5 y = 4x - 7 .

2

Xột phng trỡnh x2 - 2x + 2 = 4x - 7 ( x - 3) = 0 x = 3 .

206


3

2

Vy din tớch hỡnh phng cn tớnh l S = ũ( x - 3) dx =

( x - 3)

3 3

3

0

= 9 (vdt).
0

Chn C.
Cõu 157. Vi x = 3 , thay vo hm s ta c y = 5 .
Ta cú y' = 2x - 2 , suy ra h s gúc ca tip tuyn k = y'( 3) = 4.
Phng trỡnh tip tuyn y = 4( x - 3) + 5 hay y = 4x - 7 .
Phng trỡnh honh giao im ca th v tip tuyn
x2 - 2x + 2 = 4x - 7 x2 - 6x + 9 = 0 x = 3.

3

2
Din tớch hỡnh phng cn tỡm l S = ũ ( x - 2x + 2) - ( 4x - 7) dx
0

ổx3
ử3
2
ữ
= ũ x2 - 6x + 9 dx = ũ( x2 - 6x + 9) dx = ỗ
ỗ - 3x + 9xữ
ữ = 9 . Chn A.
ữ
ỗ
0
ố3
ứ
0
0
3

Cõu 158. T y = 4 -

3

1
1
ị x = g( y) =
2

x
4- y
1

1

1
1
dy = ũ
dy . Chn C.
4- y
4- y
- 1

Din tớch hỡnh phng cn tớnh l S = ũ
- 1

2

2

Cõu 159. Xột phng trỡnh y = 12- 2y y2 = 4 y = 2 .
2
2
Din tớch hỡnh phng cn tớnh l S = ũ 3y - 12 dy
- 2

2

= ũ( - 3y2 +12) dy = ( - y3 +12y)

- 2

Cõu 160. Ta cú th ( C ) : y =

2
- 2

= 16- ( - 16) = 32 (vdt). Chn B.

x2 - 2x
1
cú ng tim cn xiờn l
= x - 1x- 1
x- 1

y = x- 1
2a

Din tớch ca hỡnh phng cn tớnh l S = ũ
a

2a

=

1

ũ xa

Theo bi ra ta cú ln

Cõu 161. Chn A.

1

2a

x2 - 2x
- 1
- ( x - 1) dx = ũ
dx
x- 1
x- 1
a

(

2a

dx = ln x - 1 a

) = ln 2aa-- 11 do a> 1

2a - 1
2a- 1
= ln3
= 3 a = 2 . Chn B.
a- 1
a- 1
Cõu 162. Chn B. Cõu 163. Chn C.

1

2

1

xự
2
2x
Cõu 164. Ta cú V = pũ ộ
ờ
ở2( x - 1) e ỳ
ỷ dx = 4pũ( x - 2x +1) e dx = 4pI 1
0

0

207