BÀI TOÁN THỰC TẾ CHƯƠNG HÀM SỐ

Ta sẽ xem xét hiệu quả của ứng dụng điểm rơi BĐT cauchy vào giải toán tìm min max hình học

Câu 1. [Trích đề thi minh họa 2017]Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở
bốn góc của tấmnhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi
gập tấmnhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhậnđược
thể tích lớn nhất?

Bài giải:

�
2x   6  x    6  x  �
�  128
 2.2x.  6  x  .  6  x  �2. �
27
cm
3

Thể tích hình hộp là:

V  x  12  2x 

2

3

(Theo BĐT Cauchy cho 3 số dương)
Dấu bằng có khi và chỉ khi 2x  6  x  0 � x  2 cm . Đáp án D
Câu 2: Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước thỏa mãn:
Tổng của chiều dài và chiều rộng bằng 12cm; tổng của chiều rộng
và chiều cao là 24cm. Hỏi thể tích lớn nhất mà khối hộp đạt được
là bao nhiêu?

A. 288

B. 124

C. 1782

D.1862

Bài giải:
Gọi chiều rộng là x . Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:

1
V  x  12  x   24  x   .2x.  12  x  .  24  x 
2
Thể tích hình hộp là:
2x   12  x    24  x  �
1 �
�  1782
� .�
3
2
27
(cm )
3

Dấu bằng có khi và chỉ khi 2x  12  x  0 � x  4 cm . Đáp án C
Câu 3:Một miếng bìa hình chữ nhật có độ dài các cạnh là a,b . Hỏi phải tăng cạnh này và bớt
cạnh kia một đoạn bao nhiêu để diện tích hình chữ nhật là lớn nhất?

ab
A. 2

ab
B. 2

C.

ab

D.

a
b

Bài giải:
Gọi độ dài cần điều chỉnh là x . Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:

1
2
S   a  x   b  x  �  a  b
2
Diện tích miếng bìa sau khi điều chỉnh là:
Dấu bằng có khi và chỉ khi

ax bx � x 

ab
2 . Đáp án A

Câu 4. Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một
lăng trụ đứng (H.12). Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là
hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m rộng 5m.Gọi x (m) là
độ dài cạnh BC. Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích
lớn nhất, tìm giá trị đó.
Bài giải :
Ta có :

 

V  5x 100  x 2 m3 , 0  x  10

5
V  5x 100  x 2 � x 2  100  x 2  250 m3
2
Suy ra





 

2
Dấu bằng có khi và chỉ khi x  100  x � x  5 2

4

3
Câu 5: Cho một hình cầu có thể tích 3 (cm ). Người ta muốn đặt hình cầu này nội tiếp một

hình nón có chiều cao h và bán kính đáy R . Xác định h và R để hình nón có thể tích nhỏ nhất.

Bài giải: Bán kính hình cầu là:

r3

3V
1
4
(cm)

1
V   R 2h
3
Ta có: Thể tích hình nón là:
Bây giờ ta chỉ càn tìm liên hệ giữa h và R qua gỉa thiết bài toán.
Cắt tổ hợp gồm mặt cầu và hình nón đã cho bởi mặt phẳng (P) qua
trục SH của hình nón ta được một đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác
cân SAB (nhv). Ta có: r  OH, h  SH, R  HA
Áp dụng công thức SSAB  pr trong đó:

AB  SA  SB 2R  2 h2  R 2
p

 R  h2  R 2
2
2


1

SSAB  .SH.AB  SH.AH  R.h
2
Ta có:
suy ra





SSAB  R.h  pr � Rh  R  h2  R 2 .1 � R 2 

h
h2

1
 h2
V   R 2h  .
 h  2
3
3 h 2
Từ đó:

h2
4
4 �
�
 h 2
�
h 2
� 4 �4  4  8

h

2
h

2
h

2
�
�
Ta có:
Dấu bằng có khi và chỉ khi

h 2 

4
�h4
h2
suy ra R  2

Vậy giá trị thỏa mãn đề bài là: h  4 và R  2 (cm)
Câu 6.Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu.
Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x (cm), chiều cao h (cm) và có thể
S x
tích là V cm3. Tìm x sao cho diện tích
của mảnh các tông là nhỏ
nhất.
Diện tích mảnh các tông:
Suy ra

S  x   x2  4.

S  x   x2  4hx

2
mà V  x h � h  (cm)

V
4V
2V 2V
.x  x2 
 x2 

�3 3 4V 2
2
x
x
x
x

(Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương).
Dấu bằng có khi và chỉ khi

x2 

2V
� x  3 2V
x

3
Vậy x  2V

Câu 7: Cho tam giác ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm
trên cạnh BC. Hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định
vị trí điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Bài giải:
a�
�
BM  x �
0 x  �
2�
�
Đặt

$
Ta có: MN  a  2x; QM  BM.tanB  x 3
Diện tích hình chữ nhật cần tìm là:
S  QM.MN  x 3  a  2x   3  ax  2x 2 




3
3
a2 3
2
.2x.  a  2x  
.  2x  a  2x  
2

8
8

Dấu bằng có khi và chỉ khi

2x  a  2x � x 

a
4

a
a2 3
BM 
4
Vậy diện tích hình chữ nhật có giá trị lớn nhất là 8 tại
Câu 8.Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán
kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình
nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu 0  x  2 .Tìm x để hình nón có thể tích
lớn nhất, và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài giải:

1
V   r 2h
3
Thể tích cái phễu là :
Ta có chu vi đáy là: 2 r  Rx
suy ra

r

Rx
2 và

R 2x2 R
h  R r  R 

4 2  x2
2
4
2
2

2

2

Suy ra lúc này :
1
R3 2
V   r 2h 
x 4 2  x 2  0  x  2 
3
24 2

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có :
V

3R 3 2 2
3R 3 2 �4 2
3R 3 2 �16 2 2 �

2
2
2
2�
.x
.

.
4


x
�
.x
.


4


x

�3
� 2.48 3 .x . �3   x �
48 3
2.48 3
3
�
�
�

�
2

� 1 3R 3 162 4 2 3 3
1 3R 3 �2 �16 2 2 �
� .
.
x



x
�
�
� 8 . 48 3 . 9 .  27  R
8 48 3 �
�
� �3
�
�2
  4 2  x2
�
2 2
�3
�x

�
16
3
�

x2   2  x2
�
3
�
Dấu bằng có khi và chỉ khi

Suy ra thể tích khối nón đật giá trị lớn nhất đạt tại

x

2 2
2 3 3

R
3 và GTLN đó là 27


Câu 9.Một nhà máy cần sản xuất một bể nước bằng tôn có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ
4
nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng không nắp, có thể tích 3 m3. Hãy tính kích thước của bể
sao cho tốn ít vật liệu nhất.
Bài giải:
Gọi chiểu rộng, chiều dài, chiều cao của bể tôn lần lượt là a,2a,h .
Thể tích của bể tôn là:

a.2a.h 

4
2
2

� ha2  � h  2
3
3
3a

Để tốn ít vật liệu nhất � diện tích bề mặt bể tôn không nắp là nhỏ nhất
Diện tích bề mặt bể tôn là:
 2a2 

a.2a  2.a.h  2.2a.h  2a2  6ah  2a2  6a.

2
3a2

4
�2 1 1 � 3 2 1 1
 2�
a   ��2. a . .  2
a
a a
� a a�

Dấu bằng có khi và chỉ khi

a2 

1
2
� a 1�h 
a

3 (m)

2
Vậy kích thước của bể tôn là : Chiều dài: 2, Chiều rộng: 1, Chiều cao: 3 (m)

LUYỆN TẬP
Câu 10. Nguời ta muốn sản xuất những cái hộp hình trụ đứng tròn xoay kín hai đáy, với thể tích cho
trước bằng V. Hãy tìm kích thước của hộp sao cho tốn ít vật liệu nhất.

A)

r3

V
2V
;h  3



B)

r3

V
4V
;h  3
2


C)

r3

V
2V
;h  3
2


D)

r3

2V
V
;h  3



Câu 11: Ông A cái ao diện tích 50m2 để nuôi cá điêu hồng. Vụ vừa qua ông nuôi với mật
độ 20 con/m2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình,
ông thấy cứ thả giảm đi 8 con/m2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 Kg.
Vậy vụ tới ông phải mua bao nhiêu cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất? và
năng suất đó là bao nhiêu? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).
A)

26783 kg 

B)

16484  kg 

C)

26374  kg 

D)

16384  kg 

Câu 12 : Một nhà máy dự định sản xuất một loại thùng hình trụ có chiều cao là h, bán kính
đáy là r. Biết rằng chi phí sản xuất cho mỗi thùng như vậy được xác định theo công thức:


3
C  5r2  60 rh . Hãy xác định r, h sao cho thùng có thể tích mong muốn là 36  m  với chi phí
sản xuất là thấp nhất?

A)

h

2
 m


B)

h

1
 m


C)

h

1
 m
2

D)

h

3
 m


Câu 13: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa hình tròn bán kính R,
nếu 1 cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính hình tròn?

A) 2 R

2

B) 3 R

2

2
C) R

R2
D) 2

Câu 14: Một sợi dây cứng dài 1m được cắt thành 2 đoạn. 1 đoạn được cuộn thành hình
tròn, đoạn kia thành hình vuông. Tìm độ dài mỗi đoạn nếu tổng diện tích hình tròn và
hình vuông là nhỏ nhất?


4
A)   4 và   4


2
B)   2 và   4

4
4
C)   4 và   2



D)   2 và   4

Câu 15:Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu 1 chuyến xe chở
2

� x �
3 �
�
40 �($). Tính số hành khách trên mỗi
�
được x hành khách thì giá cho mỗi hành khách là
chuyến để thu được trên mỗi chuyến là lợi nhuận lớn nhất và số tiền đó là bao nhiêu?

A) 60 $

B) 260 $

C) 360 $

D) 160 $


Câu 16:Người ta muốn làm một cái hình hộp chữ nhật không có nắp có chiều dài đáy gấp
đôi chiều rộng và có thể tích 10 cm3. Giả sử giá tiền vật liệu làm đáy thùng là 10.000đ/m2
và vật liệu làm mặt bên là 5000đ/m2. Hãy xác định chiều cao của thùng để chi phí của
thùng nhỏ nhất
3
3

A)

2

15
4

3

B)

5

15
4

3

C)

7

15
4

3

D)

15
4

3

Câu 17:Bạn muốn xây dựng một bình chứa nước hình trụ có thể tích 72 m . Đáy làm
3

3
bằng bêtông giá 100 nghìn VND/m , thành làm bằng tôn giá 90 nghìn VND/m , nắp bằng
3
nhôm không gỉ giá 140 nghìn VND/m . Vậy phải chọn kích thước hình là như thế nào để
chi phí xây dựng là nhỏ nhất ?

A)

r

3
3



B)

r

3
23 

C)

r

3
3



D)

r

2
3



Câu 18:Cho hình trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính R . Xác định thể tích hình trụ lớn nhất của
hình trụ

4R 3
A)

3

B)

2R 3

2R 3

4R 3

3

C) 3 3

D) 3 3

Câu 19:Cho nửa hình cầu bán kính r không đổi. Một hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r1 .
Hãy xác định h và r1 để diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất biết rằng: mặt ngoài của
hình nón tiếp xúc với mặt cầu và 2 đường tròn đáy là đồng tâm và cùng thuộc 1 mặt phẳng.
A) h  2 3r

B) 2h  3r

C) h  r

D) h  3r


Câu 20: Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông không nắp có thể
tích là 4 Lít. Tìm kích thước của thùng để lượng vàng dùng mạ là ít nhất? Giả sử độ dày
d mm của lớp mạ tai mội nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau.
A) 3 dm, cao 1 dm

B) 2 dm, cao 1 dm

C) 2 dm, cao 2 dm

D) 4dm, cao 1 dm

Câu 21:Một miếng bìa hình chữ nhật có kích thước
12 �64cm . Người ta muốn cắt miếng bìa sao cho tổng chiều
dài và chiều rộng sau khi cắt giảm đi 10cm . Hỏi người ta nên

cắt chiều rộng giảm đi bao nhiêu để thu được diện tích miếng

bìa là lớn nhất.
A)10

B)20

C)15

D)5

Câu 22: Một cửa hàng bánh nhỏ vào dịp lễ khai trương đặt ra giá như sau : Nếu 1 kíp trong quán
3

� a �
2 �
�
30 � (đô la). Hỏi với lượng khách bao nhiêu thì
a
�
có khách hành thì giá cho mỗi người sẽ là:
cả hàng thu được lợi nhuận lớn nhất ?

A. 10

B. 20

C. 15

D. Một đáp án khác

Câu 23: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm . Trên các cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ

tự các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = D . Tính độ dài AE sao cho tứ giác EFGH có
chu vi nhỏ nhất.
A)3

B)5

C)1

D)2

Câu 24: Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC = 8cm.M là
điểm di chuyển trên cạnh huyền BC.Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và
AC. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME.
A)12

B)11

C)14

D)18

Câu 25 : Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh BC,CD lần lượt lấy các điểm K,M sao cho
�
BK : KC = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1.Tìm tỉ số AB : BC để số đo góc KAM lớn nhất .
A) 3 : 1

B) 1 : 1

C) 1 : 2

D) 2 : 1

Câu 26: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông).
Một tiếp tuyến bất kỳ với cung đó cắt BC, CD theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài nhỏ nhất của
MN.


A) a( 2  1)

B) 3a( 2  1)

C) a( 2  1)

D) 2a( 2  1)

Câu 27: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB .Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB
các nửa đường tròn có đường kính AB,AC,BC . Xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB để diện
tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn đó dạt giá trị lớn nhất.Gía trị diện tích khi đó là

 a2
B) 3

 a2
A) 2

2
D)  a

 a2
C) 4

Câu 28: Cho đường tròn (O;R) . Trong đường tròn (O) vẽ hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc
ngoài nhau và tiếp xúc trong với (O) trong đó bán kính đường tròn (O2) gấp đôi bán kínhđường
tròn (O1). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài các hình tròn (O1)
và(O2) .

R
4R
A) 3 và 3

R
2R
B) 3 và 3

2R
4R
C) 3 và 3

2R
5R
D) 3 và 3

Câu 29Vụ vừa qua ông Năm trồng50 câytáo trong vườn với sản lượng là 7kg /cây để đưa quả ra
chợ bán. Theo kinh nghiệm trồng cây của mình,ông thấy cứ trồngbớt đi 1cây thì khối lượng táo
sẽ thu thêm 2kg/cây. Vậy vụ tới ông phải trồng bao nhiêu cây để tổng năng suất cao nhất? Năng
suất đó là bao nhiêu? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình trồng).
A)23

B)24

C)25

D)26

LỜI GIẢI
Câu 10. Nguời ta muốn sản xuất những cái hộp hình trụ đứng tròn xoay kín hai đáy, với thể tích cho
trước bằng V. Hãy tìm kích thước của hộp sao cho tốn ít vật liệu nhất.

A)

r3

V
2V
;h  3



B)

r3

V
4V
;h  3
2


C)

Bài giải :
Gọi bán kính đáy và chiều cao hộp sữa lần lượt là r,h
Thể tích khối hộp là:

V   r2h �  rh 

V
r

2
Diện tích toàn phần hộp sữa là: S  2 rh  2 r

Hộp tốn ít vật liệu nhất khi Smin

r3

V
2V
;h  3
2


D)

r3

2V
V
;h  3





Ta có :

S  2 rh  2 r2 

2V
V V
 2 r2    2 r2 �3 3 2 V 2
r
r r
V
V
V
 2 r2 � r  3
�h 2 
r
2
r

Dấu bằng có khi và chỉ khi

Vậy kích thước của hộp sữa thỏa mãn yêu cầu là

r3

V

3

V2
4 2

3

4V


V
4V
;h  3
2


Câu 11: Ông A cái ao diện tích 50m2 để nuôi cá điêu hồng. Vụ vừa qua ông nuôi với mật
độ 20 con/m2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình,
ông thấy cứ thả giảm đi 8 con/m2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 Kg.
Vậy vụ tới ông phải mua bao nhiêu cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất? và
năng suất đó là bao nhiêu? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).
A)

26783 kg 

B)

16484  kg 

C)

26374  kg 

D)

16384  kg 

Bài giải:
Số cá ông thả trong vụ vừa qua là: 50.20 = 1000 (con)
Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phẩm vụ vừa qua là : 1500/1000 = 1,5 (Kg/con)
Giả sử để đạt năng suất cao nhất ông nên giảm 8x con thì khối lượng cá thu được sẽ là :

 1000  8x   1,5  0,5x   16  62,5  0,5x   1,5  0,5x 
2
�4 �
 62,5  0,5x    1,5  0,5x  �
�
� 4.64
2

Dấu bằng có khi và chỉ khi

(Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương)

 62,5  0,5x    1,5  0,5x  � x  61

16384  kg 
Vậy vụ tới ông phải mua 1000  8.61  512 (con) và tổng năng suất là:
Câu 12 : Một nhà máy dự định sản xuất một loại thùng hình trụ có chiều cao là h, bán kính
đáy là r. Biết rằng chi phí sản xuất cho mỗi thùng như vậy được xác định theo công thức:

3
C  5r2  60 rh . Hãy xác định r, h sao cho thùng có thể tích mong muốn là 36  m  với chi phí
sản xuất là thấp nhất?

A)

h

2
 m


B)

h

Bài giải: Thể tích mỗi thùng là:

1
 m


C)

V   r2h  36 � h 

h

36
 r2

1
 m
2

D)

h

3
 m



Chi phí để sản xuất là :

C  5r2  60 rh  5r2 

Dấu bằng có khi và chỉ khi
Khi đó

h

60.36
�2 216 216 � 3
2
 5�
r 

��5. 216  180

r
r
r
�
�

216
� r  6 m
r

r2 

1
 m


Câu 13: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa hình tròn bán kính R,
nếu 1 cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính hình tròn?
A) 2 R

2

B) 3 R

2

2
C) R

R2

D) 2

Giải
Gọi x là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính
hình tròn 0  x  R
2
2
Độ dài cạnh còn lại: 2 R  x
2
2
Suy ra diện tích hình chữ nhật là : S  2x R  x

�R 2  x 2  x 2  R 2

Dấu bằng có khi và chỉ khi

x  R2  x2 � x 

Vậy diện tích lớn nhất đó là R

R
2

2

Câu 14: Một sợi dây cứng dài 1m được cắt thành 2 đoạn. 1 đoạn được cuộn thành hình
tròn, đoạn kia thành hình vuông. Tìm độ dài mỗi đoạn nếu tổng diện tích hình tròn và
hình vuông là nhỏ nhất?



4
A)   4 và   4


2
B)   2 và   4

4
4
C)   4 và   2

Bài giải:
Gọi x là chiều dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn
thành hình vuông là: 1  x
x
2 R  x � R 
2
Chu vi hình tròn với R là bán kính:
Diện tích hình tròn:

S tr   R 2 

x2
4



D)   2 và   4

 0  x  1 suy ra chiều dài đoạn dây cuộn.

2

�1  x �
Shv  �
�
�4 �
Diện tích hình vuông:

x2 �1  x �  x  1  x 
1
S
�
�

�
4 � 4 � 4  16
4  16
Tổng diện tích 2 hình:
2

2

(Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng Engel)

x 1 x

16
Dấu bằng có khi và chỉ khi 4

x 1 x x 1 x
1
4




�x 

16
4  16 4  16
4  16   4
Á dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau : 4


4
Vậy độ dài 2 đoạn dây cuộn thành hình tròn và hình vuông lần lượt là :   4 và   4
Câu 15:Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu 1 chuyến xe chở
2

� x �
3 �
�
40 �($). Tính số hành khách trên mỗi
�
được x hành khách thì giá cho mỗi hành khách là
chuyến để thu được trên mỗi chuyến là lợi nhuận lớn nhất và số tiền đó là bao nhiêu?

A) 60 $

B) 260 $

C) 360 $

D) 160 $

Bài giải:
2

� x �
x. �
3
40 �
�
�
Số tiền thu được là:
2

x � x �� x �
� x �
x. �
3  � 20. . �
3 �
.�
3 �
40
20
40
40 �
�

�
�
�
�
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
3

� 20 3
20 �x � x � � x �
� � �
3 �
�
3 �
� .6  160
27 �
20 � 40 � � 40 �
� 27
($)
x
x
 3  � x  40
40
Dấu bằng có khi và chỉ khi 20
(thỏa mãn)
Vậy chuyến xe đó nên cho 40 hành khách lên sẽ thu được lợi nhuận lớn nhất là 160 $
Câu 16:Người ta muốn làm một cái hình hộp chữ nhật không có nắp có chiều dài đáy gấp
đôi chiều rộng và có thể tích 10 cm3. Giả sử giá tiền vật liệu làm đáy thùng là 10.000đ/m2
và vật liệu làm mặt bên là 5000đ/m2. Hãy xác định chiều cao của thùng để chi phí của
thùng nhỏ nhất

3
3

A)

2

15
4

3

B)

5

15
4

3

C)

7

15
4

3

D)

15
4

Bài giải:
Gọi S: chi phí, x : rộng, 2x : dài, y : cao.
Từ giả thuyết đề bài ta có: S = 2xx.10000 + 2(xy+2xy).5000 = 20000x2 + 30000xy.
Mà V= 2x2y = 10 => y = 5/x2
Suy ra S = 20000x2 + 30000.5/x= 20000x2 + 150000/x
S’ = 40000x – 150000/x2
5
15
15
3
3
S’ = 0 suy ra 40000x – 150000/x2 = 0 x = 4 => y = 4
5

15
15
3
Vậy dài là 2. 4 , rộng là: 4 , cao là: y =
3

3

15
4

3

Câu 17:Bạn muốn xây dựng một bình chứa nước hình trụ có thể tích 72 m . Đáy làm
3
3
bằng bêtông giá 100 nghìn VND/m , thành làm bằng tôn giá 90 nghìn VND/m , nắp bằng
3
nhôm không gỉ giá 140 nghìn VND/m . Vậy phải chọn kích thước hình là như thế nào để
chi phí xây dựng là nhỏ nhất ?

A)

r

3
3



B)

r

3
2 
3

C)

r

3
3



D)

Bài giải:
Gọi r là bán kính đáy bình chứa, h là chiều cao bình chứa(r,h>0). Khi đó:

 

V   r2h  72 m3 � h 

72
 r2

Suy ra tổng chi phí xây dựng là:

P  100 r2  90.2 rh  140 r2  220 r2  90.2 r.

72
12960
 240 r 2 
2
r
r

Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương ta có :

P  240 r2 

6480 6480 3
6480 6480

�3 240 r2 .
.
 72 3 225
r
r
r
r

Dấu bằng có khi và chỉ khi

240 r2 

6480
3
� r  3  m
r


r

2
3



Câu 18:Cho hình trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính R . Xác định thể tích hình trụ lớn nhất của
hình trụ

4R 3
A)

3

B)

2R 3

2R 3

4R 3

3

C) 3 3

D) 3 3

Bài giải:
Gọi r ,h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
2

Ta có:

� 2 h2 �
�h � 2
2
2
R  �
� � r  R � V   r h   h �
4�
�2 �
�

Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương ta có :

V

� 2 h2 � 3 �h2 R 2 �
� 2 h2 �
3
2R � 2 h2 � 3 � 2 4R 2 �
.h . �
R  ��
h

R



R  �
�
�
�

�
�
�
�
2R
4 � 4R �
3 �
4 � R �4 3 �
4�
3�
�
�

3
�
4R

2

2
�
� 3 �4 2 �
�h2 R 2 � � 2 h2 �
4R 3


R


.

R

�
�
�
��
�
� �
4�
�4 3 � �
�
� 4R �3 � 3 3

Câu 19:Cho nửa hình cầu bán kính r không đổi. Một hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r1 .
Hãy xác định h và r1 để diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất biết rằng: mặt ngoài của
hình nón tiếp xúc với mặt cầu và 2 đường tròn đáy là đồng tâm và cùng thuộc 1 mặt phẳng.
A) h  2 3r

C) h  r

B) 2h  3r

D) h  3r

Bài giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
r2r12
1 1 1
1 1 1
2



�


�
h

r12 h2 r2
h2 r2 r12
r12  r2

Gọi l là đường sinh của hình nón

� l2  h2  r12 

r2r12
 r12
2
2
r1  r

Diện tích xung quanh là :
S  2 .l.r1  2 .

r2r12
2 r13
2

r

.r


1 1
r12  r2
r12  r2

2
r12  r2
r13



2
r12  r2
r16


Ta có : Xét

f  r1  

r12  r2
3
� f '  r1   4.r15  6r2 .r17 � f '  r1   0 � r1 
r
6
r1
2

Suy ra h  3r . Vậy diện tích xung quanh hình nón đạt giá trị nhỏ nhất khi h  3r
Câu 20: Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông không nắp có thể
tích là 4 Lít. Tìm kích thước của thùng để lượng vàng dùng mạ là ít nhất? Giả sử độ dày
d mm của lớp mạ tai mội nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau.
A) 3 dm, cao 1 dm

B) 2 dm, cao 1 dm

C) 2 dm, cao 2 dm

D) 4dm, cao 1 dm

Giải
Gọi: x là cạnh của đáy hộp (dm)
h là chiều cao của hộp (dm)
Ta có: Thể tích hộp là:

V  4  x 2h � h 

4
x2

Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số dương ta có:

Diện tích cầm mạ vàng là:

S  4xh  x 2  4x.

4
8 8

8 8
 x 2    x 2 �3 3 . .x 2  12
2
x
x x
x x

8
 x2 � x  2 � h  1
Dấu bằng có khi và chỉ khi x
Vậy kích thước của hộp là đáy : 2 dm, cao 1 dm
Câu 21:Một miếng bìa hình chữ nhật có kích thước
12 �64cm . Người ta muốn cắt miếng bìa sao cho tổng chiều
dài và chiều rộng sau khi cắt giảm đi 10cm . Hỏi người ta nên

cắt chiều rộng giảm đi bao nhiêu để thu được diện tích miếng
bìa là lớn nhất.
A)10

B)20

C)15

D)5

Bài giải: Gọi chiều rộng bị cắt bớt a cm suy ra chiều dài bị cắt bớt 10  a cm

 0  a �10 
Diện tích của hình chữ nhật mới là :

 12  a   64  10  a    12  a   54  a 

 12  a   54  a   a2  42a  648 �648  102  10.42  128
Dấu bằng có khi và chỉ khi a  10
Vậy nên cắt để chiều rộng giảm đi 10cm và giữ nguyên chiều dài.


Lưu ý: Nếu áp dụng BĐT cauchy mà không chú ý đến điều kiện của a thì dấu bằng xảy ra sẽ bị
sai
Câu 22: Một cửa hàng bánh nhỏ vào dịp lễ khai trương đặt ra giá như sau : Nếu 1 kíp trong quán
3

� a �
2 �
�
30 � (đô la). Hỏi với lượng khách bao nhiêu thì
a
�
có khách hành thì giá cho mỗi người sẽ là:
cả hàng thu được lợi nhuận lớn nhất ?

A. 10

B. 20

C. 15

D. Một đáp án khác

3

� a �
a�
2 �
Bài giải: Số tiền cửa hàng thu được là : � 30 �

Áp dụng BĐT cauchy cho 4 số dương ta có :
4

�a
�
� a �
 3�
3 �
3
3
�
� 3 94
10 � 10 �
a � a � 3 �
� a �
� .
a�
3  � 10. .�
3  �� .
4
10 � 30 � 2
4
2 44 (đô la)
� 30 �

a
a
3
� a  22,5 � a  23
30
Dấu bằng có khi và chỉ khi 10
Vậy cửa hàng nên cho 23 khách hàng vào trong 1 kíp để thu được lợi nhuận lớn nhất.
Câu 23: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm . Trên các cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ
tự các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = D . Tính độ dài AE sao cho tứ giác EFGH có
chu vi nhỏ nhất.
A)3

B)5

C)1

D)2

Bài giải:
AHE = BEF = CFG = DGH
 HE = EF = FG = GH , HEF = 900
 HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi HE
nhỏ nhất .

A

x

E

4-x

4-x

F

Đặt AE = x thì HA = EB = 4-x
HAE vuông tại A nên :

H

HE 2 = AE2 +AE2 = x2 + (4  x)2
= 2x2 8x +16= 2(x  2)2 +8 ≥ 8
HE =

8 =2 2  x = 2

Chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 8 2 cm , khi đó AE = 2 cm .

B

D

G

C


Câu 24: Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC = 8cm.M là

điểm di chuyển trên cạnh huyền BC.Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và
AC. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME.
A)12

B)11

C)14

D)18

Bài giải:
ADME là hình chữ nhật

A

Đặt AD = x thì ME = x

D

EM CE
x CE
4

� 
� CE  x
3
ME //AB  AB CA 6 8

x

4
3
E

B

4
 AE = 8  3 x

M

h.21

C

4
4
4
Ta có : SADME =AD .AE = x ( 8 3 x ) = 8x 3 x2=  3 (x3)2 +12 ≤ 12
SADME = 12 cm2 x =3
Câu 25 : Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh BC,CD lần lượt lấy các điểm K,M sao cho
�
BK : KC = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1.Tìm tỉ số AB : BC để số đo góc KAM lớn nhất .
A) 3 : 1
Bài giải:

B) 1 : 1

C) 1 : 2

D) 2 : 1
A

�
�
Đặt BAK  x , DAM  y ( x + y < 900 )

B

x
y

�
�
�
KAM
lớn nhất  BAK + DAM nhỏ nhất
 x + y nhỏ nhất  tan (x + y) nhỏ nhất

K
D

Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0)

BK BK BC 4m

.

tg x = AB BC AB 5
DM DM DC 1


.

tg y = AD DC AD 5m
t gx  t gy
�4m 1 �� 4m 1 � 25 �4m 1 �
: 1
.
� 
��
�
� 
�
tg( x +y )= 1  t gx.t gy = �5 5m �� 5 5m �= 21 �5 5m �

4m 1

tg (x + y) nhỏ nhất  5 5m nhỏ nhất

C

M
h.28


4m 1
4
4m 1
2
.



5 5m 5
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 5 5m ≥
4m 1
1

Dấu đẳng thức xảy ra  5 5m  m = 2
1
Vậy x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi m = 2
�
Do đó KAM lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1
Câu 26: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông).
Một tiếp tuyến bất kỳ với cung đó cắt BC, CD theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài nhỏ nhất của
MN.
A) a( 2  1)

B) 3a( 2  1)

C) a( 2  1)

D) 2a( 2  1)
A

Bài giải:

B

Đặt CM = m , CN = n , MN = x

M

m + n + x = 2CD = 2a và m2 +n2 = x2

 m  n
Do đó : x2= m2 +n2 ≥



2

H

2

2x2 ≥ ( 2a  x)2 x 2 ≥ 2a  x
2a
 2a( 2  1)
x ≥ 2 1

min MN =2a



2 1

m

D

N
h.38

n

C

 m=n.

�
�
Khi đó tiếp tuyến MN // BD , AM là tia phân giác của BAC , AN là phân giác của DAC

Câu 27: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB .Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB
các nửa đường tròn có đường kính AB,AC,BC . Xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB để diện
tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn đó dạt giá trị lớn nhất.Gía trị diện tích khi đó là

 a2
A) 2

 a2
B) 3

 a2
C) 4

2
D)  a

Bài giải:

Gọi (O1;r1);(O2;r2);(O3;r3) là các đường tròn có đường kính là Ab,AC,BC
Đặt AB = 2a , AC =2x thì r1 = a , r2= x

Suy ra BC =2a  2x và r3 = a  x


Gọi S là diện tích giới hạn bởi ba đường tròn
S
Ta có :

 r12
2

2
2
� r2  r2 � 2
 � 2  3 �  a   x    a  x   x a  x
2 � 2
�2
2
2
=

S lớn nhất  x( a x) lớn nhất
Mặt khác x + (a  x) = a không đổi nên

a
x( a x) lớn nhất  x = a  x  x = 2  C ≡O1

A

O2

C

O1

O3

B

h.42
h.43

 a2
Lúc đó ta có S = 4
Câu 28: Cho đường tròn (O;R) . Trong đường tròn (O) vẽ hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc
ngoài nhau và tiếp xúc trong với (O) trong đó bán kính đường tròn (O2) gấp đôi bán kínhđường
tròn (O1). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài các hình tròn (O1)
và(O2) .

R
4R
A) 3 và 3

R
2R
B) 3 và 3

2R

4R
C) 3 và 3

2R
5R
D) 3 và 3

Bài giải:
Gọi x là bán kính đường tròn (O1) Khi đó 2x là bán kính đường tròn (O2 ) (h.1)
Xét OO1O2 ta có : O1O2 O O1 +OO2

R
 3x  (R  x) +( R  2x)  6x  2R  x  3
Gọi S là phần diện tích hình tròn (O) nằm ngoài các đường tròn
(O1)và (O2 ) , ta có :
S=

 R 2   x 2   4x 2    R 2  5x 2 

R
R2
4 R 2
Do x  3 nên x2 9  S ≥ 9 ;
R
4 R 2
min S = 9  x = 3
Khi đó O1,O,O2 thẳng hàng và bán kính các

R
2R

đường tròn (O1) và (O2 ) là 3 và 3 (h.2)


Câu 29Vụ vừa qua ông Năm trồng50 câytáo trong vườn với sản lượng là 7kg /cây để đưa quả ra
chợ bán. Theo kinh nghiệm trồng cây của mình,ông thấy cứ trồngbớt đi 1cây thì khối lượng táo
sẽ thu thêm 2kg/cây. Vậy vụ tới ông phải trồng bao nhiêu cây để tổng năng suất cao nhất? Năng
suất đó là bao nhiêu? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình trồng).
A)23

B)24

C)25

D)26

Bài giải:
Gọi số cây ông cần bớt là x .
Năng suất sẽ thu được sẽ là:

 50  x   7  2x 

Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương ta có:
2

2

7
�
� � 7�
50  x   x � �

50  �
�
2
2�
�7
��
�
�

 50  x   7  2x   2 50  x  �  x ��
2
2
�2
�
Dấu bằng có khi và chỉ khi

50  x 

7
7
 x � x  25   23,25
2
4

Vậy Ông nên trồng 23 cây để tổng năng suất cao nhất