HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI

V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Ở phần ứng dụng tích phân chúng ta sẽ đi giải quyết hai bài toán về tính diện tích hình phẳng và
tính thể tích khối tròn xoay . Để làm tốt được điều này các em cần làm được đó là biết cách tính
tích phân chứa trị tuyệt đối .
VÍ DỤ MINH HỌA
2

Câu 1 : Tính

I = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx
0

A)2
B)4
Giải : Chọn đáp án A

C)7

D)5

Trong bài toán này , các em sẽ lập bảng xét dấu cho biểu thức . x2 − 4x + 3

x

0

x2 4x + 3

1
+ 0

+

2

3

+

0

+

Ta có
2

1

Nên

2

I = ∫ x − 4 x + 3 dx = ∫ ( x − 4 x + 3 ) dx + ∫ ( − x 2 + 4 x − 3 ) dx
2

2

0

0

1

1

2

 x3
  x3

I =  − 2 x 2 + 3 +  − + 2 x 2 − 3  = 2
3
0  3
1
Đánh giá : Công việc quan trọng nhất là phá được trị tuyệt đối , để làm được điều đó các em phải
chắc kiến thức xét dấu . Như ví dụ trên minh họa cho các em một bài toán tương đối điển hình ,
thầy trình bày chi tiết để các em cần hiểu mình phải làm gì . Dưới đây là các ví dụ để bổ xung
kiến thức .
2

I = ∫ x 2 − x dx
0

Câu 2 :

(D – 2003)

A)3
B)1
Giải : Chọn đáp án B

[ 0; 2]

f ( x ) = x2 − x
Ta xét dấu

C)2

trên

D)4


2

1

2

1

2

⇒ I1 = ∫ x − x dx = ∫ x − x dx + ∫ x − x dx = − ∫ ( x − x ) dx + ∫ ( x 2 − x ) dx
2

2

0

2

0

2

1

0

1

1

2

 x3 x 2   x3 x 2 
= − − ÷ +  − ÷ =1
 3 2  0  3 2 1
3

Câu 3 :

∫ x − 2 dx

−3

A)12
B)15
Giải : Chọn đáp án C

C)13

D)11

Xét dấu x − 2

x

2

3

x-2

0

3

2

−3

−3

∫ x − 2 dx = ∫

2

1

0

Câu 4 :

2 3
− ln
7 4

2

1

0

2

− 2 ( −3 ) +

3

x
dx
x − x 2 − 12

9
− 6 − 2 + 4 = 13
2

4

A)
B)
Giải : Chọn đáp án D

I = 2∫

+

 x2

 x2

x − 2 dx + ∫ x − 2 dx =  − + 2 x ÷ +  − 2 x ÷
 2
 −3  2
2
2
3

( −3)
= −2 + 4 +
I =∫

+

3

;

4 3

ln
7 4

1 xdx 
x
2  1 xdx
dx
=
−

÷
x 4 − x 2 − 12
7  ∫0 x 2 − 4 ∫0 x 2 + 3 

1 x2 − 4 1 2 3
⇒ I = ln 2
= ln
7 x +3 0 7 4

C)

1 3
ln
7 4

D)

2 3
ln
7 4

2

J = ∫ x 2 + 3 x − 4 dx
0

Câu 5 :

A)3
B)4
Giải : Chọn đáp án C

C)5

D)5

J = ∫ x 2 + 3 x − 4 dx = ∫ ( − x 2 − 3 x + 4 ) dx + ∫ ( x 2 + 3 x − 4 ) dx
2

1

0

0

=

1 x3 3x 2
2

− x 3 3x 2
−
+ 4x + +
− 4x = 5
0 3
1
3
2
2

2

Câu 6 :

2

1

I =∫
0

1 − x2
1+ x

dx

A)

B)

C)

D)

Ta có bảng xét dấu:

2

Ta có:

I =∫
0

1 − x2
1+ x

1

dx = ∫
0

1 − x2
1+ x

2

dx + ∫
1

1 − x2

1+ x

dx
1

2

2 2
1
2


x2   x2
1 − x2
x −1
=∫
dx + ∫
dx = ∫ ( 1 − x ) dx + ∫ ( x − 1) dx =  x −  +  − x  = 1
1+ x
1+ x
2 0  2

1
0
1
0
1
1

2

Câu 7 : Tính

I = ∫ x 2 − x dx
0

A)2
B)4
Giải : Chọn đáp án C
Ta có:

C)1

x
x2 x

0
+

0

1
− 0

D)7

2
++

+

+


2

1

2

I = ∫ x − x dx = ∫ ( − x + x ) dx + ∫ ( x 2 − x ) dx
2

Do đó:

2

1

0

1

2

1

 x3 x 2 
x3 x 2
I =− +
+ − ÷ =1

3 2 0  3 2 1

Luyện tập
I=

Câu 8 : Tính

π

∫

1 − sin xdx

−π

4 3

B)

A)
S=∫

1

A)

C)

5 2

5 3
D)

x − x dx
3

0

Câu 9 :

4 2

1
6

B)

1
12

C)

1
8

D)

1
16

2

S = ∫ x 4 − 4 x 2 dx
0

Câu 10:

A)

28
15

B)

64
15

C)

32
15

D)

14
15

1

S = ∫ x 4 − 5 x 2 + 4 dx

0

Câu 11 :

A)

28
15

B)
1

Câu 12 :
A)24

8
15

C)

38
15

D)

48
15

S = ∫ x − 4 x dx
3

−2

B)42

C)44

D)16


3

S =∫

− 3

Câu

y 4 − 4 y 2 + 3 dy =

13 :

A − 24 3
B

Tính A – 2B
A)80

B)83
2

S = ∫ x 2 − x − 2 dx =
−1

Câu 14 :
A)85

C)82
A
B

Biết A,B tối giản .Tính A2 + B2

B)25
1

I = ∫ 4 x 2 − 4 x + 1dx =
0

D)79

C)100

D)50

A
B

Biết A,B tối giản .Tính A2 - B2

Câu 15 :
A)3

B)9

C)-8

D)-3

3

I = ∫ x3 − 2 x 2 + xdx
0

Câu 16 :

A)

24 3 + 8
15

B)

π

24 3 − 8
15

C)

12 3 + 8
15

D)

12 3 + 8
5

I = ∫ 1 − sin 2 xdx = A A
0

Câu 17 :
Hỏi A3 là bao nhiêu
A)27

B)64
I=

2π

∫

C)125

D)8

C)65

D)35

1 + sin xdx = A B

0

Câu 18 :
Tính A3 + B3 biết a = 2b
A)72
B)8
Câu 19: Tính các tích phân sau:
π
2
0

a) J = ∫

( 1 − sin 2 x ) dx

b) J = ∫

π

0

LỜI GIẢI

1 + cos xdx


I=

Câu 8 : Tính

π

∫

1 − sin xdx

−π

4 2
4 3
B)
A)
Giải : Chọn đáp án B

I=

Ta có:

π

C)

5 2

5 3
D)

π

2

x
x
x
x

 sin − cos ÷ dx = ∫ sin − cos dx
2
2
2
2

−π

∫

−π

π

x π
I = 2 ∫ cos  − ÷ dx
2 4
−π
(đổi biến số)

t=

Đặt

x π
dx
+ ⇒ dt =
2 4
2

 3π
t = 4
x = π
⇒

 x = −π

t = − π

4
Đổi cận
Ta thấy

−

π
π
≤t≤
4
2 thì cos t ≥ 0 ;

I =2 2

Vậy

3π
4

∫

π
−
4

1

0

Câu 9 :

1
6

π
2

3π
4

π
4

π

2

cos t dt = 2 2 ∫ cos tdt = 2 2 ∫ cos tdt
−

I = 2 2 [ sin ]

S=∫

π
3π
≤t≤
2
4 thì cos t < 0

π
2
π
−
4

− 2 2 [ sin t ]

3π
4
π
2

=4 2

x − 3 x dx

A)
B)
Giải : Chọn đáp án B

1
12

C)

1
8

D)

1
16


S =∫

1

0

x − 3 x dx = ∫

1

0

(

3

)

x − x dx

3 
 4
1
3

 13

x
x2 ÷1 3 2 1
= ∫  x − x 2 ÷dx =  − ÷ = − =
0
4
3 0 4 3 12



÷
2 
 3
1

2

S = ∫ x 4 − 4 x 2 dx
0

Câu 10:

28
15

A)
B)
Giải : Chọn đáp án B

64
15

C)

32
15

D)

14
15

= ∫ x 2 x 2 − 4 dx = ∫ x 2 ( 4 − x 2 ) dx = ∫ ( 4 x 2 − x 4 ) dx
2

2

2

0

0

0

 4 x 3 x 5  2 32 32 64
=
− ÷ =
−
=
5  0 3 5 15
 3
1

S = ∫ x 4 − 5 x 2 + 4 dx
0

Câu 11 :

28
15

A)
B)

Giải : Chọn đáp án C

8
15

C)

38
15

D)

48
15

x 4 − 5 x 2 + 4 = ( x 2 − 1) ( x 2 − 4 ) ≥ 0 ∀x ∈ [ 0;1]

Vì

Nên

1
 x5 5x3
1 1 5
38
S = ∫ ( x 4 − 5 x 2 + 4 ) dx =  −
+ 4x ÷ = − + 4 =
0
3
15

 5
0 5 3

1

Câu 12 :

S = ∫ x 3 − 4 x dx
−2

A)24
B)42
Giải : Chọn đáp án C

C)44

D)16


 x=0
x3 − 4 x = x ( x 2 − 4 ) = 0 ⇔ 
 x = ±2

Ta có:

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy

S=∫

0

−2

(x

− 4 x ) dx + ∫  − ( x 3 − 4 x ) dx + ∫ ( x 3 − 4 x ) dx
0
2
2

3

1

 x4
x2  0  − x4 4x2  2  x4
x2  4
=  −4 ÷ +
+
+
−
4
÷ 
÷ = 44
2  −2  4
2 0  4
2 2
 4

S =∫

3

− 3

Câu

y 4 − 4 y 2 + 3 dy =

13 :

A − 24 3
B

Tính A – 2B
A)80
B)83
Giải : Chọn đáp án C

C)82

y 4 − 4 y 2 + 3 = ( y 2 − 1) ( y 2 − 3)

(y

2

− 1) ( y 2 − 3)

Xét dấu

S =∫

3

− 3

=∫

1

− 3

ta có:

( 4 − 4 y ) − ( 1 − y ) dy = ∫
2

4

3

− 3

− ( y 4 − 4 y 2 + 3) dy + ∫

1

−1

(y

4

y 4 − 4 y 2 + 3 dy

− 4 y 2 + 3) dy + ∫ − ( y 4 − 4 y 2 + 3) dy
3

1

D)79


 y5 4 y3
 −1  y 5 4 y 3
 1  y5 4 y3
 3 112 − 24 3
= − −
+ 3y ÷
+ −
+ 3y ÷ −  −
+ 3y ÷
=
3
3
3
15
 5

− 3  5
 −1  5
 1
2

S = ∫ x 2 − x − 2 dx =
−1

Câu 14 :

A
B

Biết A,B tối giản .Tính A2 + B2

A)85
B)25
Giải : Chọn đáp án A

C)100

D)50

 x3 x 2
 2
2
x
−
x
−

2
dx
=
−
− − 2x ÷
(
)

−1
 3 2
 −1

= −∫

2

 8 4
  1 1
 9
= −  − − 4 ÷−  − − + 2 ÷ =
  3 2
 2
 3 2
1

I = ∫ 4 x 2 − 4 x + 1dx =
0

A
B

Biết A,B tối giản .Tính A2 - B2

Câu 15 :
A)3
B)9
Giải : Chọn đáp án D
1

( 2 x − 1)

I7 = ∫
0

2

C)-8

D)-3

1

dx = ∫ 2 x − 1 dx
0

Ta có:
1

1
2

0

0

1

1
2

1

⇒ I 7 = ∫ 2 x − 1 dx = ∫ 2 x − 1 dx + ∫ 2 x − 1 dx = ∫ ( 1 − 2 x ) dx + ∫ ( 2 x − 1) dx =
1
2

1
2

0

1
2

3

I = ∫ x3 − 2 x 2 + xdx
0

Câu 16 :

24 3 + 8
15

A)
B)
Giải : Chọn đáp án A

24 3 − 8
15

3

3

0

0

I8 = ∫ x ( x 2 − 2 x + 1) dx = ∫ x − 1 xdx

Ta có:

C)

12 3 + 8
15

D)

12 3 + 8

5


1

3

1

3

⇒ I 8 = ∫ x − 1 xdx + ∫ x − 1 xdx = ∫ ( 1 − x ) xdx + ∫ ( x − 1) xdx = 24 3 + 8
0
1
0
1
15
π

I = ∫ 1 − sin 2 xdx = A A
0

Câu 17 :
Hỏi A3 là bao nhiêu
A)27
B)64
Giải : Chọn đáp án D

C)125

D)8

Ta có:

( sin x − cos x )

1 − sin 2 x =

x ∈ [ 0; π ] ⇒ x −
Với
x−

*) Với
x−
*) Với

2

π

= sin x − cos x = 2 sin  x − ÷
4


π  π 3π 
∈ − ;
4  4 4 

π  π 
∈ − ;0

4  4 

π  3π 
∈ 0;
4  4 

thì

thì

.

π

sin  x − ÷ < 0
4


π

sin  x − ÷ > 0
4


π
4

π

π

π


⇒ I10 = − 2 ∫ sin  x − ÷dx + 2 ∫ sin  x − ÷dx = 2 2
4
4


π
0
4

I=

2π

∫

1 + sin xdx = A B

0

Câu 18 :
Tính A3 + B3 biết a = 2b
A)72
B)8
Giải : Chọn đáp án A
Ta có:

C)65

D)35


2

x
x
x
x

x π 
1 + sin x =  sin + cos ÷ = sin + cos = 2 sin  + ÷
2
2
2
2

2 4 
x ∈ [ 0; 2π ] ⇒
Với

*) Với

*) Với

x
x π  π 5π 
∈ [ 0; π ] ⇒ + ∈  ; 
2

2 4 4 4 

x π π 
+ ∈ ;π
2 4  4 

x π  5π 
+ ∈ π;
2 4  4 

thì

thì

.

x π
sin  + ÷ > 0
2 4

x π
sin  + ÷ < 0
2 4

3π
2

2π

x π

x π 
⇒ I = 2 ∫ sin  + ÷dx − 2 ∫ sin  + ÷dx = 4 2
2 4
2 4
3π
0
2

Câu 19: Tính các tích phân sau:
π
2
0

a) J = ∫

( 1 − sin 2 x ) dx

b) J = ∫

π

0

1 + cos xdx

Hướng dẫn giải:
π

J = ∫2
0

a)

π
4
0

=∫

π

( cos x − sin x ) dx = ∫ 2 cos x − sin x dx
2

0

π
2
π
4

( cos x − sin x ) dx + ∫ ( sin x − cos x ) dx

π
π
= sin x + cos x 4 − ( cos x + sin x ) 2 = 2 2 − 2
π
0
4
J =∫

π

0

b)

π

1 + cos x = 2 ∫ cos
0

x
π π
dx = 2 2 sin
=2 2
2
2 0