tính thể tích dựa vào tỉ số

TÍNH THỂ TÍCH DỰA VÀO TỈ SỐ
Cho khối chóp tam giác S.ABC . Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B ',C '
khác với S .
Ta luôn có:

VS. ABC
SA SB SC

.
.
(1)
VS.A'B'C ' SA' SB ' SC '

Từ công thức tỉ số thể tích trên ta còn thường sử dụng công thức sau:
VS . ABC
SA

Cho khối chóp tam giác S.ABC . A’ nằm trên cạnh SA . Khi đó :
VA '. ABC A ' A
Công thức trên được suy ra từ công thức (1)
Cho khối chóp tứ giác S.ABC D. A’ nằm trên cạnh SA khi đó
VS . ABC VA.SBC
AS AB AC
SA


.
.

VA '. ABC VA. A ' BC AA ' AB AC A ' A

3/Các ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B,

AC  a 2

, SA vuông góc với

đáy ABC , SA  a . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng (  ) qua AG và song song với BC
cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.Chọn đáp án đúng :
Chọn đáp án đúng:
2a3
2a 3
4a3
4a3
A.
B.
C.
D.
9
27
27
9
Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Ta có:

1
VS . ABC  S ABC .SA và SA  a
3
+ Tam giác ABC vuông cân tại B, AC  a 2 ,AB=a

� S ABC 
Vậy: VSABC

1 2
a
2
1 1 2
a3
 . a .a 
3 2
6

Gọi I là trung điểm BC.

SG 2

SI 3
 // BC � MN// BC � SM  SN  SG  2
SB SC SI 3

G là trọng tâm,ta có :


�

VSAMN SM SN 4

.

VSABC

SB SC 9

Vậy: VSAMN

4
2a 3
(đvtt)
 VSABC 
9
27

Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối
chóp S.AMN.
Chọn đáp án đúng:
a3
A.
2
a3
C.
4
Giải
Sử dụng công thức tỉ số thể tích

3a3
4
3a3
D.
2
B.

Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh A
Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có
VA. SMN AS AM AN
1 1 1

.
.
 1. . 
VA.SBC AS AB AC
2 2 4
V
1
� VS . AMN  VA.SMN  .VA.SBC  S . ABC
4
4
2
1
1 4a . 3
Ta có : VS . ABC  .S ABC .SA  .
.a. 3  a 3
3
3
4
3
V
a
Vậy VS . AMN  S . ABC  (đvtt)
4
4

Ví dụ 3: (Đề tuyển sinh Đại học khối D -2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam
giác đều cạnh bằng a. SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N tương ứng là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tìm thể tích khối chóp A.BMNC
(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi
sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Chọn đáp án đúng:
3a 3 3
7a3 3
3a3 19
9a3 19
A.
B.
C.
D.
50
50
100
100
Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Ta có : VA.BMNC = VS.ABC - VS.AMN (1)
Ta có

VS . AMN SM SN

.
VS . ABC
SB SC

Vì AB=AC => SB=SC
Ta có SA2=SM.SN=SN.SC=>SM=SN

VS . AMN SM 2

Vậy
(2)
VS . ABC
SB 2


SA2
SB

Ta có SA2=SM.SB => SM 

Vậy từ (2) ta có

VS . AMN SA4
SA2
4a 2 2 16
16
 4  ( 2 )2  ( 2
) 
=>VS.AMN= VS.ABC (3)
2
VS . ABC SB
SB
4a  a
25
25

9

9 1 a2 3
3a 3 3
(đvtt)
VS . ABC  .
.2a 
25
25 3 4
50
Ví dụ 4:Hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA=a, tam giác ABC vuông cân có
AB=BC=a. Gọi B’ là trung điểm SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. Tính thể
tích khối chóp S.AB’C’.
Từ (1) và (3) ta có : VA. BMNC 

Chọn đáp án đúng:
a3
a3
A.
B.
18
6
Gi¶i
Sử dụng công thức tỉ số thể tích
2
Ta có SABC= 12 BA.BC  12 a ; SA =a

C.

a3
36

D.

a3
3

⇒ VS.ABC = 13 SABC .SA = 16 a3
VSAB ' C '
VSABC


Vậy



SA SB ' SC '
SA SB SC



1 SA2
2 SC 2

1 a2
2 3a2

VSA ' B 'C ' 

1 1
6 6





a3 

1 SC '. SC
2
SC 2

1
6

a3
36

(đvtt)

Ví dụ 5:Hình chóp S.ABC có tam giác có tam giác ABC vuông tại B, SA  (ABC). Góc ACB
bằng 60o, BC = a, SA = a 3 , M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC
Chọn đáp án đúng:
a3
a3
a3
a3
A.
B.
C.
D.
2

12
4
6
Gi¶i
Sử dụng công thức tỉ số thể tích
VMABC
1
MB
1
VSABC  SB  2 VMABC  2 VSABC

mà VS.ABC =

1
3

Vậy VMABC =

SA.SABC =
1
4

a3

1
3

a 3. 12 a 2 3  12 a 3

(đvtt)

Ví dụ 6 (Đề tuyển sinh Đại học khối A -2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của SB; BC; CD.
Tính thể tích của CMNP theo a.
Chọn đáp án đúng:
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
B.
C.
D.
48
96
192
32
Gi¶i
Sử dụng công thức tỉ số thể tích


Gọi H là trung điểm của AD ta có SH  AD mà (SAD)  (ABCD) nên SH  (ABCD)
1
1 a 3 1 2 a3 3
Do đó VS . BCD  .SH .S BCD  .
. a 
3
3 2 2
12

VM .BCD MB 1
1
1 a3 3 a3 3

  VM .BCD  VS .BCD 

VS .BCD
SB 2
2
2 12
24

Mà

VC .MNP CN CP 1

.

VC .MBD CB CD 4

1
1
1 a3 3 a3 3
� VC .MNP  VC .MBD  VM . BCD 

4
4
4 24
96
a3 3

(đvtt)
96
Ví dụ 7 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=SA=a, AD=a 2 . SA
vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và
AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a
(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi
sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Chọn đáp án đúng:
a3 2
a3 2
a3 2
2a 3 2
A.
B.
C.
D.
72
12
24
17
Vậy VCMNP 

Gi¶i
Sử dụng công thức tỉ số thể tích
1
1 1
a3 2
Ta có VS . ACD  SA.S ACD  .a. a.a 2 
3
3 2

6
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có I là trọng tâm của tam giác ABD, do đó
AI 2
AI 1
 �

AO 3
AC 3
VN . ACD NC 1
1
1 a3 2 a3 2


�
V

V


Ta có:
N . ACD
S . ACD
VS . ACD SC 2
2
2 6
12
VAIMN
AI AM 1 1 1
1

1 a3 2 a3 2

.
 .  � VAIMN  VACDN 

Mặt khác:
VACDN AC AD 3 2 6
6
6 12
72
a3 2
(đvtt)
72
Ví dụ 8:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=a 3 ,SA=2a và SA

Vậy VAIMN 

 (ABCD). Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K.
Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a


(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi
sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Chọn đáp án đúng:
a3. 6
4a 3 . 3
8a 3 . 3
12a 3 . 6
A.
B.

C.
D.
35
35
35
35
Gi¶i
Sử dụng công thức tỉ số thể tích
1
1
2a 3 3
VS . ABCD  SA.S ABCD  .2a.a.a 3 
3
3
3
VSAHI SH SI SH .SB 1 1 SA2 1 4a 2 2

.

. 
 .

VSABC SB SC
SB 2 2 2 SB 2 2 5a 2 5
2
2 1
1
� VSAHI  .VS . ABC  . VS . ABCD  VS . ABCD
5
5 2

5
Tương tự :

VS . AIK SK SI SK .SD 1 1 SA2 1 4a 2 2

.

. 
 .

VS . ACD SD SC
SD 2 2 2 SD 2 2 7 a 2 7

2
2 1
1
� VS . AIK  .VS . ACD  . VS . ABCD  VS . ABCD
7
7 2
7
1
1
12
12 2a3 3 8a3 3
Do đó : VS . AHIK  VS . AHI  VS . AIK  .VS . ABCD  .VS . ABCD  VS . ABCD 
(đvtt)

5
7
35

35 3
35
Ví dụ 9:(Đề tuyển sinh Đại học khối D -2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a.
Gọi M là trung điểm A’C’. I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC
Chọn đáp án đúng:
2a 3
4a 3
4a 3
2a 3
A.
B.
C.
D.
9
9
27
27
Gi¶i
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Theo định lý Pitago trong tam giác AA’C ta có AC=a 5
Theo định lý Pitago trong tam giác ABC ta có BC=2a
Ta có I là trọng tâm tam giác AA’C nên

IA 2

MA 3

VI . ABC
IA 2

2
2
2 11
4

 � VI . ABC  VM . ABC  VA '. ABC  .
a.2a.2a  a 3 (đvtt)
VM . ABC MA 3
3
3
3 32
9
Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD, có tam giác ABC vuông cân ở A và CD= AB  a . CD vuông góc
(ABC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên DA, DB. Tính thể tích khối tứ diện CDEF
Chọn đáp án đúng:
a3
a3
a3
a3
A.
B.
C.
D.
18
12
6
36


Giải

1
a3
VABCD  SABC .CD 
3
6

Ta có:

D
F

VDCEF DC DE DF DE DF

.
.

.
(*)
VDCAB DC DA DB DA DB

DE DC 2
a2
1
Mà DE.DA  DC , chia cho DA �

 2 
2
DA DA
2a

2
2
2
V
1
DF DC
a
1
� DCEF 
Tương tự:
.
Từ(*)



VDABC 6
DB DB 2 DC 2  CB 2 3
2

Vậy VDCEF 

a
E

2

B

C

A

a

1
a3
(đvtt)
VABCD 
6
36

Ví dụ 11:Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp
S.AMN và A.BCNM
Chọn đáp án đúng:
3
3
a3
a3
3a
3a
A.
B.
C.
D.
4
36
4
14
Giải

Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
VS . AMN SA SM SN
1 1 1

.
.
 1. . 
VS . ABC SA SB SC
2 2 4
1 2
.a 3.a 3
VS . ABC 3
a3
�
VS . AMN 


4
4
4
3
� VA. BCNM  3 .VS . ABC  3a (đvtt)
4
4

ta có

Ví dụ 12:Cho tứ diện ABCD có góc ABC bằng góc BAD bằng 90 0, góc CAD bằng 1200, AB=a,
AC= 2a, AD=3a. Tính VABCD .
Chọn đáp án đúng:

a3 2
a3 2
a3 2
a3 2
A.
B.
C.
D.
2
12
9
36
Giải


Lấy M trên cạnh AC, N trên cạnh AD sao cho AM=AN=a
Tam giác ABC vuông tại B nên BM 

1
AC  a
2

Tam giác ABD vuông cân tại A nên BN= a 2
Xét tam giác AMN MN2= AM2+AN2-2.AM.AN. cosA =>MN=a 3
=>Tam giác BMN vuông tại B
Vì AB= AM= AM nên hình chiếu của A lên mp(BMN) là tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam
giác BMN. H cũng chính là trung điểm của MN
Ta có

VABMN AB AM AN 1


.
.

VABCD AB AC AD 6

VA. BMN 

1
1 2 3 2 1
a3 2
AH .S BMN 
a  a . a.a 2 
3
3
4
2
12

Vậy VABCD 

a3 2
( đvtt)
2

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, AB= a, SA= a 2 . Gọi M là trung điểm
của SC, (P) là mặt phẳng qua AM song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E,F. Tính thể tích
khối chóp S.AEMF.
Chọn đáp án đúng:
a3 6

a3 6
a3 6
a3 6
A.
B.
C.
D.
18
6
36
12
Giải:
Gọi O là tâm của ABCD, I là giao điểm AM với SO
Suy ra I là trọng tâm tam giác SAC và SBD
SE SF SI 2



Vì (P) // BD nên EF // BD =>
SB SD SO 3
a 6
1
a3 6
Ta có SO= SA2  OA2 
=> VS . ABCD  S ABCD .SO 
2
3
6
Mặt khác
VS . AEM SA SE SM 1

1

. .
 � VS . AEM  VS . ABC
VS . ABC SA SB SC 3
3
VS . AFM SA SF SM 1
1

.
.
 � VS . AFM  VS . ADC
VS . ADC SA SD SC 3
3
1
1
a3 6
(đvtt)
� VS . AEMF  VS . AEM  VS . AFM  (VS . ABC  VS . ADC )  VS . ABCD 
3
3
18
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
đáy, SA  a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC
tại C’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Chọn đáp án đúng:


A.

a3 2
18

B.

a3 2
12

C.

a3 2
9

D.

a3 2
36

Giải
Ta có:

VS . ABCD

S

1
a3 2
 S ABCD .SA 
3
3

=> VS.ABC = VS.ADC =

a3 2
6

VSAB 'C ' SB ' SC '

.
(*)
VSABC SB SC
D'
SC ' 1

SAC vuông cân nên
SC
2
2
2
SB ' SA
2a
2a 2 2
Ta có:




SB SB 2 SA2  AB 2 3a 2 3
D
3

3
VSAB ' C '
1
  VSAB 'C '  1 . a 2  a 2
Từ (*) �
VSABC
3
3 6
18

B'

C'

Ta có:

I
B

A
O
C

a3 2
(đvtt)
9
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a. Hình chiếu
AC
vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AC và AH=
. Gọi CM là đường cao của tam

4
giác SAC. Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Vậy VS . AB ' C ' D '  2VS . AB 'C ' 

Chọn đáp án đúng:
a 3 14
A.
4

B.

a 3 14
18

C.

a 3 14
3

D.

a 3 14
12

Giải
SH  SA2  AH 2 

a 14
4

Suy ra SC  SH 2  HC 2  a 2
Vậy tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm
SA
Ta có
VS .MBC SM 1


VS . ABC
SA 2
1
1 1
1
a 3 14
(đvtt)
� VS .MBC  VS . ABC  . .SH . a 2 
2
2 3
2
12
Ví dụ 16: ( Đề tuyển sinh Đại học khối B -2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang, góc BAD bằng góc ABC bằng 900, AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.
Chọn đáp án đúng:
a3
a3
a3
a3
A.
B.
C.

D.
6
12
36
3


Giải
Ta có

VS . BCM SM 1


VS .BCA
SA 2

VS .CMN SM SN 1

.

VS .CAD
SA SD 4
Suy ra VS.BCNM= VS.BCM+VS.CMN
1
1
a 3 2a3 a3
 VS .BCA  VS .CAD 

 (đvtt)
2

4
2.3 4.3 3
Ví dụ 17: ( Đề tuyển sinh Đại học khối A -2004) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thoi cạnh bằng 5 cm, đường chéo AC=4cm. Đoạn thẳng SO= 2 2 cm và vuông góc với đáy, ở
đây O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Giả sử mặt
phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tìm thể tích hình chóp.
Chọn đáp án đúng:
2
3 2
8 2
A. 2
B.
C.
D.
2
8
3
Giải
Ta có AB // DC => AB // (SDC)
=> (SAB) �(SDC) = MN // AB (N �SD)
Vì M là trung điểm của SC nên N là trung điểm của SD.
Ta có VS.ABMN= VS.ABN +VS.BMN (1)
Ta có

VS . ABN SN 1
1
1

 � VS . ABN  VS . ABD  VS . ABCD
VS . ABD SD 2

2
4

VS . BMN SM SN 1
1
1

.
 � VS . BMN  VS . BCD  VS . ABCD
VS . BCD SC SD 4
4
8
3
Từ (1) suy ra VS.ABMN= VS.ABN + VS.BMN= VS.ABCD (2)
8
1
1 1
1
8 2
Mà VS.ABCD  S ABCD .SO  . AC.BD.SO  .4.2.2 2 
3
3 2
6
3 (3)
Từ (2) và (3) suy ra: VS.ABCD= 2 (đvtt)

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho
SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C',
D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'. Đs: V = 1 m3

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M
trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diện
ABCDMN .Đs: V = 4m3


Bi 3: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, chiu cao SA = h. Gi N l
trung im SC. Mt phng cha AN v song song vi BD ln lt ct SB,SD ti M v P. Tớnh th

a2h
tớch khi chúp S.AMNP. s: V
9

Vớ d 18: Cho khi chúp t giỏc u S.ABCD. Mt mt phng (P) qua A, B v trung im M ca
SC. Tớnh t s th tớch ca hai phn khi chúp b phõn chia bi mt phng ú.
Chn ỏp ỏn ỳng:
3
5
3
1
A.
B.
C.
D.
8
8
5
8
Gii
K MN//CD (N trờn cnh SD) thỡ hỡnh thang ABMN l thit din ca khi chúp khi ct bi mt
phng (ABM)

Ta cú

VS . ANB SN 1
1
1

VS . ANB VS . ADB VS . ABCD
VS . ADB SD 2
2
4

VS . BMN SM SN 1 1 1
1
1

.
. VS . BMN VS . BCD VS . ABCD
VS . BCD SC SD 2 2 4
4
8
3
M VS.ABMN = VS.ANB+VS.BMN= VS . ABCD
8
5
Suy ra VABMN.ABCD= VS.ABCD-VS.ABMN= VS . ABCD
8
Vy

VS . ABMN
3

VABMN . ABCD 5

Vớ d 19:Khi chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung
điểm SC. mặt phẳng (P) chứa AM và //BD chia khi chóp thành hai phân.
Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Chn ỏp ỏn ỳng:
1
1
2
2
A.
B.
C.
D.
3
2
3
9
Giải
-Gọi O = AC BD, I = SO AM
I (P)
BD (SBD)
(P) (SBD) = BD // BD
BD // (P)
VSMB ' D '
SM SB ' SD '
1 SI SI
1 2 2
2

(vì I là trọng tâm SAC)
VSCBD
SC CSB SD
2 SO SO
2 3 3
9

. . . . . .

VSMB ' D '
VSCBD

SASA' . SBSB' . SDSD' 1. 23 . 23 92

mà VSABD = VSCBD =

1
VSABCD
2


VSMB ' D '
1V
2

�

 VSAB1V' D '  92  94 

VSAB ' MD '

VSABCD

2

2
3

V

SAB ' MD '
1
 13 � VABCDD

2
' MB '

Thời gian: 45 phút
Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Biết SA = AB = 3a, AC=5a.Gọi M, N lần lượt nằm trên cạnh SB, SC sao cho
SB=3SM, NC= 2NS. H là trung điểm SB. Tính diện tích tam giác SMN
Chọn đáp án đúng:
2a 2 2
4a 2 2
2a 2 2
a2 2
A.
B.
C.
D.
9

9
12
18
Giải:
Ta có :
�AH  SB
�
�AH  BC ( BC  ( SAB )) (1 điểm)
� AH  (SBC )
1
SVSMN 2 SM .SN .sin S 2 2 4

 .  (1 điểm)
1
SVSBC
SB.SC.sin S 3 3 9
2
4
4 1
� SVSMN  SVSBC  . BC.SB
9
9 2
2
2a 2 2
(1 điểm)
 a.a 2 
9
9
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = 2a . Tính diện tích mặt đáy và độ dài đường cao
của khối chóp S.ABCD, biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450.Chọn đáp án đúng lần lượt là :

a 3
a 2
A. 4a 2 , a 3
B. 4a 2 ,
C. 4a 2 ,
D. 4a 2 , a 2
2
2
Giải:
S=4a2(0,5điểm)
Gọi O là tâm mặt đáy ABCD
Hình chiếu của SB lên (ABCD) là OB
=>Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBO(1điểm)
=> Tam giác SOB vuông cân tại O
=> SO=OB=a 2 (1 điểm)
Bài 3.Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy 2a, góc giữa A’B và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. Tính
diện tích mặt đáy ABC và độ dài cạnh bên của khối lăng trụ.
Chọn đáp án đúng lần lượt là :
2a 3
A. a 2 3, 2a 3
B. a 2 3, a 3
C. a 2 3,
D.
3
a 2 3, 2a 3
Giải:
S=a2 3 (0,5 điểm)
Hình chiếu của A’B lên (ABC)
=>góc giữa A’B và (ABC) là góc A’BA(0,5điểm)

Tam giác A’AB vuông tại A
AA’=AB.tan600
=>AA’=2a 3 (1 điểm)

Thời gian: 45 phút
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với
đáy , cạnh bên SB bằng a 5 .
a/Chứng minh CD  (SAD), (SCD)  (SAD) (1,5 điểm)
b/Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .(1,5 điểm)
Chọn đáp án đúng:
2a 2
2a 2
2
2
A.
B. a
C. 2a
D.
9
3
c/Gọi M, N lần lượt nằm trên cạnh SB, SC sao cho SB=3SM, NC= 2NS. Tính thể tích khối chóp
S.AMN .(1,5 điểm)
Chọn đáp án đúng:
2a 3
a3
2a 3
2a 3
A.
B.

C
D.
27
27
12
3
Giải:
Bài 1:
a/CD  AD , CD  SA (0,5 điểm)
=> CD  (SAD) (0,5 điểm)
=> (SCD)  (SAD) (0,5 điểm)
b/SABC =2a2 (0,5 điểm)
Tam giác SAB vuông tại A:
SA= SB 2  AB 2  a (0,5 điểm)
=> Đường cao: SA= a
1
1
2a 3
=> V= SABC .SA= 2a 2 .a 
(0,5 điểm)
3
3
3
c/
VS . AMN SA SM SN 1 1 1

.
.
 .  (1 điểm)
VS . ABC SA SB SC 3 3 9

1
1 2a 3
2 3
VS . AMN  VS . ABC 

a (0,5 điểm)
9
9 3
27
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB=a, cạnh bên SA= a 2 .Gọi M, N, lần
lượt là trung điểm của SA, SB, CD. Tìm thể tích tứ diện AMNP(3 điểm)
Chọn đáp án đúng:
a3 6
a3 6
a3 6
a3 6
A.
B.
C
D.
36
12
48
24
Giải:
Gọi O và H tương ứng là tâm của đáy ABCD và trung điểm của AB
Do MS=MA => d(A,(MNP))=d(S,(MNP)) (1) (0,5 điểm)
=>VA.MNP= VS.MNP (0,5 điểm)

Ta có

VS .MNP SM SN 1

.
 (0,5 điểm)
VS . ABP
SA SB 4

1
1 1
=> VS .MNP  VS . ABP  . .S ABP .SO (0,5 điểm)
4
4 3
1 1 1
1
a 2 a3 6
2
 . . AB.HP.SO 
a.a. 2a 

(2) (0,5điểm)
4 3 2
24
2
48
a3 6
Từ (1) và (2) suy ra: VA.MNP=
(đvtt)
(0,5 điểm

48
Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ , có AA’ bằng a , đáy ABC là tam giác vuông cân có
AB=BC=a. Gọi M là trung điểm của A’B , N là chân đường cao hạ từ A của tam giác A’AC. Tính
thể tích khối chóp A’.AMN (2,5 điểm)
Chọn đáp án đúng:
a3
a3
a3
a3
A.
B.
C
D.
6
12
36
48
Giải:
Vì A’A=a =AB=BC cho nên tam giác A’AB là tam giác vuông cân tại A suy ra AM  A ' B (0,5
điểm)
Thể tích khối chóp A’.ABC là V thì :
1
1 1
a3
. (0,5 điểm)
V  S ABC .SA  . a 2 .a 
3
3 2
6
Xét hai tam giác vuông đồng dạng : A’NA và A’AC

A' N A ' A

suy ra :
A' A A'C
A ' N A ' A2
A ' A2
a2
1
(0,5 điểm)
�




2
2
2
2
2
A'C A'C
A ' A  AC
a  2a
3
Mặt khác ta lại có :
VA '. AMN A ' A A ' M A ' N
1 1 1

.
.
 1. .  (0,5điểm)

VA '. ABC A ' A A ' B A ' C
2 3 6
1
1 a3
� VA '. AMN  VA '. ABC 
6
6 6
3
a
Vậy : VA '. AMN 
( đvtt ) (0,5 điểm)
36
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của
khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diện ABCD. Đs: k 

1
4

Bài 2 : Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC. Mặt
phẳng qua AI và song song với BD chia khối chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích 2 phần này. Đs:

k

1
2

SM
x
SA

51
Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Đs: x 
2
Bài 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho


Bài 4: Cho tứ diện ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B', C', D' sao cho
AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính thể tích tứ diện AB'C'D'. Đs: V = 2 m 3
Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B' và C' lần lượt trên AB và AC sao cho
3
a
2a
AB  ;AC' . Tính thể tích tứ diện AB'C'D . Đs: V  a 2
2
3
36

Bài 6: Cho tứ diện ABCD có thể tích 12 m 3 .Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD , lấy
N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích khối tứ diện BMNP. Đs: V = 1 m3
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao SA = a. Mặt phẳng
qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp SAHK. Đs:

V

a3 3
40