Hàm số đa thức và những vấn đề lên quan

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 119

BÀI 6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC
VẤN ĐỀ 1: HÀM BẬC BA
DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tập xác định:
D=


Đạo hàm:
2
2
' 3 2
' 0 3 2 0 (1)
y ax bx c
y ax bx c
  
    

 Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hàm số có cực đại và cực tiểu
 Nếu (1) vô nghiệm hay có nghiệm kép, thì hàm số đơn điệu trên TXĐ
Giới hạn:
3
2 3
0
lim lim 1
0
x x

khi a
b c d
y ax
ax
ax ax khi a
 

 
 
    

 
 
 


Bảng biến thiên:
Dấu của
'
y
phụ thuộc vào dấu của


0 0
a a hay a
 
và dấu của
'
y


, do đó ta có bốn trường
hợp biến thiên khác nhau.
Đồ thị hàm số: Do có bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm bậc ba
có bốn dạng sau đay:
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt

'
0
y
 

( Có hai cực trị)

y’ = 0 vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép

'
'
0
0
y
y

 

 



( Không có cực trị)

y

x

0

I

y

x

0

I

y

x

0

I

y

x

0

I

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 120


@ Mẹo nhỏ: Đối với trường hợp đồ thị hàm số không có cực trị, để vẽ đồ thị được đẹp và chính
xác ta nên tìm điểm uốn (điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0) để biết đồ thị “uốn lượn” ở
đâu? Và ta dễ dàng thấy rằng: đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: (Trường hợp có cực trị)
3 2 3 2
) 3 1 ) 2 3 2
a y x x b y x x
      

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (Trường hợp
' 0
y

có nghiệm kép)
3 2 3 2
1
) 3 3 1 ) 1
3
a y x x x b y x x x

        

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (Trường hợp
' 0
y

vô nghiệm)
3 2 3 2
) 3 4 2 )
a y x x x b y x x x
      

LUYỆN TẬP: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
3 2 3 2
3 3 2
1 5
) 2 1 ) 3
3 3
1 2 1
) 3 )
4 3 3
a y x x x b y x x x
c y x x d y x x
        
    

DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BẬC BA
MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN:
Cho hàm số
3 2

ax ( )
y bx cx d C
   
1. Điều kiện cần và đủ để đồ thị (C) có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) là:
2
' ( ) 3 2 0
y g x ax bx c
    
có hai nghiệm phân biệt
1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị. Ba điểm
A, I, B
thẳng hàng (I là điểm
uốn: điểm mà tại đó
y’’=0
, A và B là hai điểm cực trị)
 Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và
y = k(Ax + B)y’ + r x + q
với k là hằng số khác 0
thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là
y = r x + q
. Vậy phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm phân biệt chính là phần dư trong phép chia đa thức
( ): '( )
f x f x

 Để chứng minh ba điểm A,I, B thẳng hàng ta chứng minh
AB
k AI

 

2. Qũy tích cực trị, điểm uốn hàm bậc ba:
Từ các điểm A,B,I chứa tham số m, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đó bằng cách:
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 121

 Khử tham số m
 Giới hạn khoảng chạy của tọa độ từ điều kiện tồn tại m với moih giá trị tham số
m
m
D

 Qũy tích của A,B, hay I là
y = r x + q.

4. Xác định tham số m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hồnh trong từng trường hợp cụ thể:
a) (C) tiếp xúc với Ox thì hệ sau có nghiệm

0
' 0
y
y






b) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt


1 2
1 2
' 0 có 2 nghiệm phân biệt x ,
( ). ( ) 0
y x
y x y x










c) (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt

1 2
1 2
' 0 có 2 nghiệm phân biệt x ,
( ). ( ) 0
y x
y x y x









d) (C) cắt Ox ít nhất 1 điểm
3 2
ax 0( 0)
bx cx d a
     
khơng thể vơ nghiệm
e) (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất 
1 2
1 2
phương trình y'=0 có nghiệm kép hoặc
vô nghiệm
' 0 có hai nghiệm phân biệt x ,
( ) ( ) 0
y x
y x y x















(C)
A
x
0

O
x
y


(h.1a)

(C)
A
x
0

x
y
(h.1b)





x
1

o

x
2

y
CT

y
CĐ

x"
0

C

x
1

(C)

y
CĐ

y
A

o
x
2

x
(H.3)
y
CĐ

x
0

x'
0

B
(C)

y
CĐ

y
A

x
0

o
x
1

B
x'

0

(y
CT
= f(x
0
) = 0)

x
(H.2)
Bi 6. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm a thc

Trn ỡnh C. GV Trng THPT Gia Hi, Hu 122

f) Phng trỡnh
3 2
ax 0( 0)
bx cx d a

cú 3 nghim dng
0 0
. 0 . 0
hoaởc
(0) 0 (0) 0
0 0
CD CT CD CT
CD CT
a a
y y y y
f f

x x














g) Phng trỡnh
3 2
ax 0( 0)
bx cx d a

cú 3 nghim õm
0 0
. 0 . 0
hoaởc
(0) 0 (0) 0
0 0
CD CT CD CT
CT CD
a a
y y y y

f f
x x














h) Phng trỡnh
3 2
ax 0( 0)
bx cx d a

cú 2 nghim dng:
0 0
y'=0 coự hai nghieọm phaõn bieọt y'=0 co
ự hai nghieọm phaõn bieọt
hoaởc
. 0 . 0
0 0
CD CT CD CT
CT CT

a a
y y y y
x x













Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 123

i) Phương trình
3 2
ax 0( 0)
bx cx d a
    
có 2 nghiệm âm:
0 0
y'=0 có hai nghiệm phân biệt y'=0 co
ù hai nghiệm phân biệt
hoặc

. 0 . 0
0 0
CD CT CD CT
CD CT
a a
y y y y
x x
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 


5. Phương trình bậc 3 cắt Ox lập thành cấp số cộng tức (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều
nhau.
 
 
1 3 2
y'=0 có hai nghiệm phân biệt
2 hay ( ) Ox , , :
0 : điểm uốn I
DU
x x x C A B C AB BC

f x Ox


     

 



6. Biện luận số nghiệm của phương trình : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (1) (a  0) khi x =  là 1
nghiệm của (1).
Nếu
x


là 1 nghiệm của (1), ta có
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (x - )(ax
2
+ b
1
x + c
1

)
nghiệm của (1) là x =  với nghiệm của phương trình ax
2
+ b
1
x + c
1
= 0 (2). Ta có các trường
hợp sau:
 nếu (2) vơ nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = 
 nếu (2) có nghiệm kép x =  thì (1) có duy nhất nghiệm x = 
 nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt   thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
 nếu (2) có 1 nghiệm x =  và 1 nghiệm khác  thì (1) có 2 nghiệm.
 nếu (2) có nghiệm kép   thì (1) có 2 nghiệm
7. Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M  (C):
3 2
ax ( 0)
y bx cx d a
    
.
 Nếu M  I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
 Nếu M khác I và M
( )
C

thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
 Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N khơng nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn.
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 124

 Nếu a>0: hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bé nhất; a<0: hệ số góc của tiếp
tuyến tại điểm uốn lờn nhất
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 125

BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1(TNTHPT – 2008) .Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
  

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Biệm luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
2 3 1
x x m
  

Bài 2 (TN THPT- lần 2 – 2008). Cho hàm số
3 2
3
y x x
 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình
3 2

3 0
x x m
  
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 3 (TNTHPT - 2007). Cho hàm số y=
3
3 2
x x
 
có đồ thị là (C) .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2 ;4) .
Bài 4 (TNTHPT - 2006). Cho hàm số y=
3 2
3
x x
  có đồ thị (C) .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình :
3 2
3 2
x x m
   
.
Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB).Cho hàm số y=
3 2
6 9
x x x
 
có đồ thị là (C) .

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình
'' 0
y


c/ Với giá trị nào của m thì đường thẳng
2
y x m m
  
đi qua trung điểm của đoạn thẳng
nối cực đại vào cực tiểu .
Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB). Cho hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
  
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi
1
m

.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1
x

.
Bài 7 (ĐH- A- 2002). Cho hàm số
3 2 2 3 2

3 3(1 )
y x mx m x m m
      

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
1
m


b. Tìm k để phương trình:
3 2 3 2
3 3 0
x x k k
    
có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004). Cho hàm số
3 2
3 4
y x x m
  

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 126

a. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi
1
m



Bài 9 (ĐH-B- 2007). Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1
y x x m x m
      

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
1
m


b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
Bài 10 (ĐH - D - 2004). Cho hàm số
3 2
3 9 1
y x mx x
   

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với
2
m


b. Tìm m để nghiệm của phương trình
'' 0
y

thuộc đường thẳng

1
y x
 

LUYỆN TẬP
Bài 1. (ĐH 2006- D) Cho hàm số
3
3 2
y x x
  

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d
cắt (C ) tại 3 điểm phần biệt. (Gợi ý đường thẳng d qua M(x
0
;y
0
) có hệ số góc m có
dạng: y = m(x - x
0
) + y
0
)
Bài 2. Cho hàm số y = (x - m)
3
- 3x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với
1
m


b. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ
0
x

.
Bài 3. Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với
4
m


Bài 4. Cho hàm số y =
3 2 2
2 2
x mx m x
  

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi
1
m


b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
1
x


Bài 5. Cho hàm số
3 2
4 3
y x mx x
  

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi
0
m

.
2. Tìm
m
để hàm số có hai cực trị tại
1
x
và
2
x
thỏa
1 2
4
x x
 

Hướng dẫn:
D



Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 127

2
' 12 2 3
y x mx
  

Ta có:
2
' 36 0
m
   
với mọi
m
, vậy luôn có cực trị
1 2
1 2
1 2
4
9
6 2
1
4
x x
m
x x m
x x


 



     



 



Bài 6. Cho hàm số
3 2
2 ( 3) 4
y x mx m x
    
có đồ thị là


m
C

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


1
C
của hàm số trên khi

1
m

.
2. Cho
d
có phương trình
4
y x
 
và điểm


1;3
K . Tìm các giá trị của tham số m
sao cho
d
cắt


m
C
tại ba điểm phân biệt


0;4
A ,
,
B C
sao cho tam giác

KBC
có
diện tích bằng
8 2
.
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ điểm chung của


m
C
và
d
là:
3 2 2
2
2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 0
0
( ) 2 2 0 (2)
x mx m x x x x mx m
x
g x x mx m
          




    


(d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C

phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
khác 0.
/ 2
1 2
2 0
( )
2
(0) 2 0
m m
m m
a
m
g m


   
    

 
 
 
  



.

Mặt khác:
1 3 4
( , ) 2
2
d K d
 
  Do đó:
2
1
8 2 . ( , ) 8 2 16 256
2
KBC
S BC d K d BC BC

      
2 2
( ) ( ) 256
B C B C
x x y y     với
,
B C
x x
là hai nghiệm của phương trình (2).
2 2 2
2
( ) (( 4) ( 4)) 256 2( ) 256
( ) 4 128
B C B C B C
B C B C
x x x x x x

x x x x
         
   

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 128

2 2
1 137
4 4( 2) 128 34 0
2
m m m m m

          (thỏa ĐK (a)).
Vậy
1 137
2
m


Bài 7. Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có đồ (C
m
); (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
3

m

.
2. Xác định m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao
cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau.
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và đường thẳng y = 1 là:
3 2
2
0
3 1 1
3 0 (2)
x
x x mx
x x m


    

  


* (C
m

) cắt đường thẳng
1
y

tại C(0, 1),
,
D E
phân biệt:
 Phương trình (2) có 2 nghiệm
,
2
0
9 4 0
0
4
0 3 0 0
9
D E
m
m
x x
mm



   
 
  
 


   





Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
k
D
= y’(x
D
) =
2
3 6 ( 2 );
D D D
x x m x m
    
k
E
= y’(x
E
) =
2
3 6 ( 2 ).
E E E
x x m x m
    
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: k
D
k

E
= –1.
(3x
D
+ 2m)(3x
E
+ 2m) = 9x
D
x
E
+6m(x
D
+ x
E
) + 4m
2
= –1
9m + 6m

(–3) + 4m
2
= –1;(vì x
D
+ x
E
= –3; x
D
x
E
= m theo định lý Vi-et).

4m
2
– 9m + 1 = 0  m =


1
9 65
8

Đáp số:




1 1
9 65 9 65
8 8
m hay m   
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 129

VẤN ĐỀ 2: HÀM TRÙNG PHƯƠNG
DẠNG 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
y=ax
4
+bx
2
+c (
0)

a


Miền xác định :
D=


Đạo hàm:


3 2
' 4 2 2 2
y ax bx x ax b
   

Phương trình
' 0
y

hoặc có một nghiệm (
. 0
a b

) hoặc có 3 nghiệm phân biệt. Do đó
hàm số hoặc chỉ có một cực trị hoặc có ba cực trị.
Giới hạn:
4
2 4
khi 0
lim lim 1

khi 0
x x
a
b c
y ax
ax ax
a
 

 
 
   

 
 
 


Bảng biến thiên:
Dấu của
'
y
phụ thuộc vào dấu của
( 0hay 0)
a a a
 
và dấu của a.b, do đó ta có bốn
trường hợp bảng biến thiên khác nhau.
Đồ thị hàm số: Do đó bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm
trùng phương có bốn dạng sau đây:

Hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

a > 0 a < 0
y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
 ab < 0







y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
 ab > 0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 130

MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KHẢO SÁT HÀM SỐ:

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 3 cực trị)
4
4 2 2
3
) )
4 2
x
a y x x b y x
    

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 1 cực trị)
4
4 2 2
1 3 3
) )
2 2 4 2
x
a y x x b y x
     

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4 2 4 2 4 2 4 2
1
) 1; ) 4 20; ) 4 3; ) 2 1
2
a y x x b y x x c y x x d y x x
           
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm
4 2 4 2

4 2 4 2
4 2 4 2
. - 2 b.
2
1 5
. 6 1 . 3
2 2
. - 2 3 . 2 1
a y x x y x x
c y x x d y x x
e y x x f y x x
    
     
     
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 131

DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN
Một số tính chất của hàm trùng phương
1. Hàm số ln có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho
0
a


2. Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu (có ba cực trị)
2
' 0 2 (2 ) 0
y x ax b
    

có ba nghiệm phân biệt
0
2
b
a
 

3. Đồ thị hàm số ln nhận Oy là trục đối xứng.
4. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu
0
0
a
b







5. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu
0
0
a
b








6. Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân.
7. Đồ thị (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng:
 
2
2
1 2
2 1 1 2
2 1
2
2
4 2
( ) Ox , , , : 0 (*) có 4 nghiệm
tạo thành CSC
0
, 0. Lúc đó: (*)
0
0
0
3
( ) 0
( ) 0
Giải hệ p
C A B C D AB BC CD hay ax bx c
t
Đặt t x t
at bt c
t t

t t t t
ycbt t t
g t at bt c
g t at bt c
      


  

  



 
     
 
   
 
   

   


2 1
1 2
1 2
9
hương trình :
t t
S t t

P t t



 





8. Điều kiện cần để từ một điểm trên trục đối xứng kẻ đến đồ thị hàm trùng phương
(C) ba tiếp tuyến là ba tiếp tuyến phải có một tiếp tuyến nằm ngang.
9. Điều kiện của tham số để đồ thị hàm số
4 2
( 0)
y ax bx c a
   
tiếp xúc với Ox
tại hai điểm phân biệt:
0
2
0
2
b
a
b
y
a







 

  
 
 

 


10. Phương trình trùng phương
4 2
0 ( 0) (*)
ax bx c a   

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 132

Đặt
2
, 0
t x t
 
lúc đó phương trình trở thành



2
0 0
at bt c a
   
. Ta thấy rằng:
cứ 1 nghiệm dương của (**) thì sẽ cho ra 2 nghiệm (1 âm, 1 dương) của phương trình
(*).
Vậy: điều kiện cần và đủ để phương trình(*) có nghiệm là phương trình (**) có ít nhất
1 nghiệm không âm.
 Phương trình (*) có 4 nghiệm

(**) có 2 nghiệm dương phân biệt
0
0
0
P
S

 

 





 Phương trình (*) có 3 nghiệm

(**) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng
0

0
0
P
S







 Phương trình (*) có 2 nghiệm

(**) có 1 nghiệm dương
0
P
 
0
0
2
S

 







 Phương trình (*) có 1 nghiệm

(**) có nghiệm thỏa
1 2
1 2
0
0
0
0
0
0
2
P
S
t t
t t
S








 





 
 












 Phương trình (*) vô nghiệm

(**) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm
0
0
0
0
P
S

 


 














BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1 (TNTHPT-2008). Cho hàm số
4 2
2
y x x
 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
2
x
 

Bài 2 (ĐH Đà Lạt - 2002)
a. Giải phương trình
4 2
2 1 0
x x
  

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 133

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
4 2
2 1
x x
 

c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2
2 1 0
x x m
   

Bài 3 (ĐH Thái Nguyên - 2002) Cho hàm số
4 2
m
2 (C )
y x mx  
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với
1
m


b. Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
Bài 4. (ĐH Vinh - 2002)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2

5 4
y x x
   

2. Xác định m để phương trình
4 2 2
5 3 0
x x m
   
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 5. Cho hàm số
4
2
9
2
4 4
x
y x
  

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số
2
2
y k x
 

Bài 6. Cho hàm số
4 2 3 2
2

y x mx m m
   

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1
m


b. Xác định m để đồ thị
( )
m
C
của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm
Bài 7. (ĐH Cần thơ - 2002). Cho hàm số
4 2
2 2
y x x m
   
(C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
0
m


b. Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c. Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.

Bài 8. Cho hàm số
4 2 2
2 1
y x m x
  

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với
1
m


b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định trên


Ta có:


 
2 2
' 4
y x x m
. Với

0
m
hàm có ba cực trị. Khi đó tọa độ các điểm cực trị là







  
4 4
0;1 ; ;1 ; ;1
A B m m C m m
.
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 134

Dễ thấy







 
. 0
AB AC
AC AB
nên tam giác ABC vng cân
     
2 2 2
1
AB AC BC m .

Vậy,
 
1
m
là những giá trị cần tìm
Bài 9. Cho hàm số y = x
4
– 2(2m
2
– 1)x
2
+ m (1)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m

.
2/ Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hòanh.
Bài 10.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x
4
– 6x
2
+ 5
2. Tìm m để phương trình: x
4
– 6x
2
– log
2

m = 0 có 4 nghiệm phân biệt trong đó 3 nghiệm
lớn hơn – 1.
Hướng dẫn:
Pt  x
4
– 6x
2
+ 5 = 5 + log
2
m
Nhìn vào đồ thị ta thấy u cầu bài tốn
 0 < 5 + log
2
m < 5  1/32 < m < 1
Bài 12. Cho hàm số
4 2
8 9 1
y x x
  

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:
4 2
8cos 9cos 0, 0;
x x m x

 
    
 

Hướng dẫn:
4 2
4 2
4 2
1
Đặt cos , phương tình đã cho trở thành 8 9 0 (2)
Vì x 0; nên t 1;1 .
Ta có: (2) 8 9 1 1 (3).
Gọi (C ): 8 9 1, 1;1 ; ( ) : 1
Số nghiệm của phương trình (3) chính
t x t t m
t t m
y t t t D y m

   
   
  
   
    
 
       
 
1
1
là số giao điểmcủa đồ thò (C ) và (
D).
Chú ý rằng: đồ thò (C ) giống với đồ thò (C) trong miền -1 t 1.
Dựa vào đồ thò (C) ta rút ra được kết luận
 

Bài 12. Cho hàm số
4 2
1
1
4
y x mx m
   

.
.
.

x
o
y
4
5
1-1
.
.
.

x
o
y
4
5
1-1
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 135

a) Khảo sát hàm số khi m=1
b) Tìm m để hàm số có 3 cực trị và ba cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác
có diện tích là
2

Bài 13. Cho (C
m
):


4 2
2 3 1 2 1
y x m x m
    
. Tìm m sao cho (C
m
):
a) Cắt trục hoành tại hai điểm A,B sao cho
4
AB


b) Cắt
: 2
y
  
tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
LUYỆN TẬP

Bài 1. Cho hàm số
4 2
( ) 2
y f x x x
  

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều
kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Hướng dẫn:
Ta có
3
'( ) 4 4
f x x x
 
. Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B.
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là
3 3
'( ) 4 4 , '( ) 4 4
A B
k f a a a k f b b b
     

Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:











' ' ( ) af' a
y f a x a f a f a x f a      ;










' ' ( ) f' b
y f b x b f b f b x f b b     
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:




3 3 2 2
4a 4a = 4b 4 1 0 (1)
A B
k k b a b a ab b         

Vì A và B phân biệt nên
a b


, do đó (1) tương đương với phương trình:
2 2
1 0 (2)
a ab b   
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau

       
 
2 2
2 2
4 2 4 2
1 0
1 0
' '
3 2 3 2
a ab b
a ab b
a b
f a af a f b bf b
a a b b

   

   
 
  
 
  
    





,
Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này tương ứng
với cùng một cặp điểm trên đồ thị là


1; 1
 
và


1; 1

.
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 136

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là
2 2
1 0
1
a ab b
a
a b

   


 





Bài 2.
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
– 4x
2
+ 3
2.Tìm a để phương trình :
4 2
3
4 log 3 0
x x a
   
có 4 nghiệm thực phân biệt
Hướng dẫn:
Theo đồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương
1
 
3
log
a
 < 3



3
log 1
a


3
1 log 1
a
   


Bài 3. Cho hàm số
4 2 2
2(1 ) 1
y x m x m
    

1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=0
2: Tìm m để hàm số có cực đại cực,cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập
thành tam giác có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn:
y
'
=4x
3
-4(1-m
2
)x
Lập luận để hàm số có cực đại,cực tiểu khi và chỉ khi

1
m


Tọa độ các điểm cực trị:
A(0;m+1); B(
2 4 2
1 ; 2
m m m m
   
) ; C(-
2 4 2
1 ; 2
m m m m
   
)
ABC
S
=
2 4 2 2 5
1
. ( ; ) 1 2 1 (1 ) 1
2
BC d A BC m m m m
      
.Dấu bằng xảy ra khi m=0.
Vậy m=0
Bài 4. Cho hàm số
4 2
5 4,

y x x
  
có đồ thị (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm m để phương trình
4 2
2
| 5 4 | log
x x m
   có 6 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn:
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 137

9
4
4
12
9
log 12 144 12
4
m m   


Bài 5. Cho hàm số:
4 2 2
( 10) 9
y x m x
   

.
1.Khảo sát sự bthiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0
2)Tìm m để đồ thị của hsố cắt trục hoành tại 4 điểm pbiệt
1 2 3 4
, , ,
x x x x
thỏa :
1 2 3 4
8
x x x x
   

Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox.
4 2 2
( 10) 9 0
x m x
   
(1).
Đặt
2
( 0)
t x t
 
Ptrình trở thành:
2 2
( 10) 9 0
t m t

   
(2) Ta có đk:
2 2
2
( 10) 36 0
9 0 ,
10 0,
m
P m
S m m

    

   


   


=> 0 < t
1
< t
2
, với
2
t x x t
  

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn và theo đề bài ta có :
1 2 1 2 1 2

4 2 . 16
t t t t t t
     

(3)
Áp dụng Viet :
2
1 2 1 2
10 , 9
b c
t t m t t
a a

     
.
Ta có pt: m
2
+ 10 = 10

m = 0.
Bài 7. Cho hàm số


4 2
3 1 2 11
y x m x m
     
. Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng

(d):
2 13
y m
  
tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox.
4 2
3 ( 1) 2 0
x m x
   
(1) . Đặt
2
( 0)
t x t
 
.
Phương trình đã cho trở thành:
2
( 1) 2 0
t m t
   
(2).
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 138

Ta có điều kiện:

0
0 2 6 1
0
P m
S

 

   




.
Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm dương
1 2
;
t t
. Giả sử
1 2
0
t t
 
, khi đó phương (1) có
4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là
2 1 1 2
, , ,
t t t t
  . Bốn nghiệm
này lập thành cấp số cộng nên:



1 2 1 2 1 2 1
2 3 9 (1)
t t t t t t t       
Theo định lí vi-ét ta có:
1 2
1 2
1
(2)
3
2
. (3)
3
m
t t
t t


 








Từ (1) và (2) ta tìm được :



1 2
9 1
1
;
30 30
m
m
t t


  và từ (3) cho ta:
10 6
1 ( )
3
10 6
1
3
m loaïi
m

 



 

