ĐIỀU KIỆN để hàm số đơn điệu TRÊN một KHOẢNG CHO TRƯỚC THUỘC tập xác ĐỊNH

Điều Kiện Để Hàm Số Đơn Điệu
Trên Một Khoảng Cho Trước
Có hai phương pháp chính để giải các bài toán về tính đơn điệu trên khoảng cho trước.
PP1: Rút m theo x, rồi dựa vào bài toán cụ thể để tìm m.
PP2: Lập bảng biến thiên để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận.
Ví dụ 1. (A-2013) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − 1 nghịch biến trên (0; +∞).
Ta có y = −3x2 + 6x + 3m.
Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) ⇔ y ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞)
⇔ −3x2 + 6x + 3m, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m ≤ x2 − 2x, ∀x ∈ (0; +∞) (1)
Xét hàm số f (x) = x2 − 2x trên (0; +∞).
Ta có f (x) = 2x − 2; f (x) = 0 ⇔ x = 1.
x

0
−

f (x)

Bảng biến thiên:

+∞

1
+

0

+∞

0
f (x)

−1

Từ bảng biên thiên ta có (1) ⇔ m ≤ −1.
Vậy với m ≤ −1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên (0; +∞).
1
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y = − x3 + (m − 1) x2 + (m + 3) x + 4 đồng biến trên (0; 3).
3
Lời giải. Ta có: y = −x2 + (m − 1) x + m + 3. Hàm số đồng biến trên (0; 3) khi và chỉ khi
y ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ −x2 + 2 (m − 1) x + m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3)
⇔ m (2x + 1) ≥ x2 + 2x − 3, ∀x ∈ (0; 3)
⇔m≥

Xét hàm số f (x) =

x2 + 2x − 3
, ∀x ∈ (0; 3)
2x + 1

x2 + 2x − 3
2x2 + 2x + 8
trên [0; 3] có f (x) =
> 0, ∀x ∈ [0; 3].
2x + 1
(2x + 1)2

Bảng biến thiên
x

0

3
+

f (x)

12
7

f (x)
−3

12
Từ bảng biến thiên suy ra (1) ⇔ m ≥ .
7
12
Vậy với m ≥ , hàm số đã cho luôn đồng biến trên (0; 3).
7
1

(1)


Nguyễn Minh Hiếu
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = x3 − (2m + 1) x2 + m2 + 2m x + 1 đồng biến trên (0; +∞).
Lời giải. Ta có: y = 3x2 −2 (2m + 1) x+m2 +2m; ∆y = (2m + 1)2 −3 m2 + 2m = (m − 1)2 .
Với m = 1, ta có y ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R nên đồng biến trên (0; +∞).
Do đó m = 1 thỏa mãn điều
 kiện bài toán.
2m + 1 − |m − 1|
 x1 =

3
.
Với m = 1, ta có y = 0 ⇔ 
2m + 1 + |m − 1|
x2 =
3
Bảng biến thiên
x

x1

−∞
+

y

x2
−

0
y(x1 )

0

+∞
+
+∞

y
−∞

y(x2 )

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi
2m + 1 + |m − 1|
≤ 0 ⇔ |m − 1| ≤ −2m − 1
3
Với m > 1, ta có |m − 1| ≤ −2m − 1 ⇔ m − 1 ≤ −2m − 1 ⇔ m < 0 (loại).
Với m < 1, ta có |m − 1| ≤ −2m − 1 ⇔ −m + 1 ≤ −2m − 1 ⇔ m < −2 (thỏa mãn).
Vậy với m ≤ −2 hoặc m = 1, hàm số đã cho đồng biến trên (0; +∞).
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y =

x2 − 2mx + 2m2 − 2
đồng biến trên (1; +∞).
x−m

Lời giải. Tập xác định: D = R\ {m}. Ta có: y =

x2 − 2mx + 2
.
(x − m)2

Hàm số đồng biến trên (1; +∞) khi và chỉ khi
 2
 x − 2mx + 2 ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)
y ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)
⇔
(x − m)2
m∈
/ (1; +∞)


m≤1
x2 − 2mx + 2 ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)
m≤1

⇔



x2 + 2
, ∀x ∈ (1; +∞)
⇔
 m ≤ 1 2x
Xét hàm số f (x) =

m≤

√
x2 + 2
2x2 − 4
trên [1; +∞) có f (x) =
;
f
(x)
=
0
⇔
x
=
2.

2x
4x2

Bảng biến thiên
x

−

f (x)
f (x)

√

1

+∞

2

0

+
+∞

3
2

√

2

√
m≤ 2
Từ bảng biến thiên ta có (2) ⇔
⇔ m ≤ 1.
m≤1
Vậy với m ≤ 1, hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞).
2

(2)


Ví dụ 5. Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2 + ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Lời giải. Ta có: y = 3x2 + 6x + a; ∆y = 9 − 3a.
Với 9 − 3a ≤ 0 ⇔ a ≥ 3 ⇒ y ≥ 0, ∀ ∈ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R, mâu thuẫn giả
thiết.
Do đó a ≥ 3 không thỏa mãn.
Với 9 − 3a > 0 ⇔ a < 3 ⇒ y có hai nghiệm x1 , x2 (x1 < x2 ).
Bảng biến thiên
x

x1

−∞
+

y

x2
−

0
y(x1 )

+∞
+

0

+∞

y
−∞

y(x2 )

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi
|x1 − x2 | = 1 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 1 ⇔ 4 −

9
4a
= 1 ⇔ a = (thỏa mãn)
3
4

9
Vậy với a = , hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
4
Nhận Xét: Đối với các bài toán có m bậc nhất và có khoảng đơn điệu cụ thể nên dùng PP1
còn các bài toán có bậc m lớn hơn 1 và khoảng đơn điệu không cụ thể phải dùng PP2.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − 4 nghịch biến trên (−∞; 0).
2. Tìm m để hàm số y = 31 mx3 − (m − 1) x2 + 3 (m − 2) x +

1
3

đồng biến trên [2; +∞).

3. Tìm m để hàm số y = x4 − 8mx2 + 9m đồng biến trên (2; +∞).
4. Tìm m để hàm số y =

mx + 4
nghịch biến trên (−∞; 1).
x+m

5. Tìm m để hàm số y =

mx2 + 6x − 2
nghịch biến trên [1; +∞).
x+2

6. Tìm a để hàm số y =

x2 − 2ax + 4a2
đồng biến trên (2; +∞).
x − 2a

7. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m + 1) x + 4m đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −2) và

(2; +∞).
8. Tìm a để hàm số y = x3 − 3 (a − 1) x2 + 3(a − 2)x + 1 đồng biến trên mỗi khoảng có hoành
độ thỏa 1 ≤ |x| ≤ 2.
9. Tìm m để hàm số y =
độ dài bằng 4.

1
3

(m + 1) x3 + (2m − 1) x2 − (3m + 2) x + m nghịch biến trên đoạn có

10. Tìm m để hàm số y = − 13 x3 + x2 + (3m + 2) x + m − 3 đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ
hơn 4.

3