tìm tham số để các điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I
CHỦ ĐỀ 2.9 Tìm tham số để các điểm cực trị của ĐTHS thỏa ĐK cho trước.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

Câu 2.

4
2
[2D1-2.9-3] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Cho hàm số f  x   mx   m  1 x   m  1
. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã
cho nằm trên các trục tọa độ là.
1�
� 1�
� 1�
�
�1 �
1; �.
0; �� 1 .
0; 1; �.
A. �
B. �
C. �
D.  1;0 �� �.
3
� 3�
�

� 3�
�3
Hướng dẫn giải
Chọn C.
:
4
2
f  x   mx   m  1 x   m  1 � f �
 x   4mx 3  2  m  1 x .
m 1
� f�
;  m  0  .
 x   0 � 4mx3  2  m  1 x  0 � x  0 hoặc x 2 
2m
Để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm trên các trục tọa độ thì.
�
m 1
�
�
m  1
�2m  0
�
�
��
m0 .
2
� �m  1 �
m 1
� 1
m�

  m  1  0
�  m  1
�
m
�
2m
� �2m �
� 3

[2D1-2.9-3] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Tìm m để đồ thị hàm số
y  2 x3   1  2m  x 2  3mx  m có điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía với trục hoành.
��
m 4
��
�m �0
B. 0  m  4 .
C. ��
.
�m � 1
�
�
2
Hướng dẫn giải

m4
�
A. �
.
m0
�

��
m4
��
�m  0
D. ��
.
�m � 1
�
�
2

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng hàm số và trục hoành :
2 x3   1  2m  x 2  3mx  m  0  1 � x 2  2 x  1  m  2 x 2  3x  1  0 .
� 1
x
�  2 x  1  x  mx  m   0 � � 2
.
�
2
g  x   x  mx  m  0  2 
�
Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía với trục hoành.
2

�  1 có 3 nghiệm phân biệt � phương trình  2  có 2 nghiệm phân biệt khác

1
.

2

��
m4
� �1 �
1 m
�
�
�
�g � ��0
�   m �0
�m  0
� � �2 �
� �4 2
� ��
..
1
�
�
�
  m 2  4m  0
�m  0; m  4
m �
�
�
�
2

TRANG 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 3.

PHƯƠNG PHÁP

3
[2D1-2.9-3] [THPT Nguyễn Trãi Lần 1] Cho hàm số y = x - 3mx + 1

( 1) . Cho A ( 2;3) ,

tìm m để đồ thị hàm số ( 1) có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A .
A. m =

3
.
2

B. m = -

1
.
2

C. m =

1
.
2

D. m = -

3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
 3 x 2  3m  0 � x 2  m . Để hàm số có cực trị thì m  0 .
Ta có: y �
Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị là B



 



m ; m m  3m  1 , C  m ;  m m  3m  1 .

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y  g  x   f  x  
Gọi M
là trung điểm
d : x  2my  2m  0 .

y��
.y �
 1  2mx .
�

�
3 y�

BC � M  0;1 � phương trình trung trực của

BC

là

1
Theo đề: ABC cân tại A � A �d � 2  6m  2m  0 � m  . .
2
Câu 4.

[2D1-2.9-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  m4  2m
có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. m  3 3 .
B. m  1 .
C. m  1 .
D. m   3 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
y  x 4  2mx 2  m 4  2m .
x0
�
..
y '  4 x 3  4mx ; y’  0 � �2
x

m

�





4
4
2
Với m  0 , hs có 3 cực trị: A  0; m  2m  ; B ( m ; m 4  m 2  2m) ; C  m ; m  m  2m .

Vì AB  AC nên để tam giác ABC đều thì AB  BC � m  3 3 .
Câu 5.

[2D1-2.9-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Cho hàm số y  x 3  3mx 2  4m3 .Với giá trị nào
của m để hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho AB  20 .
A. m  1; m  2 .
B. m  1 .
C. m  �1 .
D. m  �2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Giải: Ta có y '  3x 2  6mx .Điều kiện để hàm số có hai cực trị là m �0 .
x 0
�
y  4m 3
�
y '  0 � �1
� �1
� A  0; 4m3  ; B  2m;0  .

x2  2m
y2  0
�
�
Mà AB  20 .
� 4m6  m 2  5  0 � m  �1 .

Câu 6.

[2D1-2.9-3] [THPT Tiên Lãng] Đồ thị hàm số y  x 4  2m 2 x 2  m 2 có ba điểm cực trị A, B, C
sao cho bốn điểm A, B, C , O là bốn đỉnh của hình thoi với O là gốc toạ độ khi.
A. m  � 2 .

B. m  2 .
2

C. m  � 2
2 .

D. m   2 .

TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

zzzzz.
zzzzz.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có y '  4 x 3  4 m 2 x  0 � x  0, x  �m .

2
2
4
2
4
Suy ra toạ độ các điểm cực trị là A  0; m  , B  m; m  m  , C  m; m  m  .

�
m  0 l 
m2
�
��
Để bốn điểm A, B, C , O là bốn đỉnh của hình thoi thì ta cần có m  m 
2.
2
m�
�
�
2
[2D1-2.9-3] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Với giá trị nào của tham số thực m thì đồ thị
2

Câu 7.

4

hàm số y  2 x 4  3mx 2  m 4  5m 2  1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích
bằng 2 ?
A. m 

2
.
3

B. m 

43 4
.
3

C. m 

3
.
4

D. m 

4
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.
x0
�

y  2 x 4  3mx 2  m 4  5m 2  1 � y �
 8 x 3  6mx ; y �
0� � 2
.
4 x  3m  0  *
�
Theo yêu cầu bài toán :  * phải có hai nghiệm phân biệt khác 0 .

  4.4.3m  0
�
� m  0.
�
m �0
�

Câu 8.

� 3m
� � 3m
�
31
31
4
2
; m4  m 2  1�, C �

; m4  m2  1 �.
Gọi A  0; m  5m  1 , B �
8
8

�2
� � 2
�
2
1
1 9m
4
S ABC  d  A, BC  .BC  .
. 3m  2 � m  .
2
2 8
3
[2D1-2.9-3] [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm

1 3
2
số y  x  mx   6m  9  x  12 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với
3
trục tung.
3
�
m
�
2.
A. �
�
m
�

3

�

B. m  2 .

3
C. m   .
2

3
D. 3  m   .
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định: D  �.
 x 2  2mx  6m  9 .
Đạo hàm: y �
Đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung khi phương
�
�
 4m 2  6m  9  0
3
�
y

0
�
�m .
trình
có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu

�
2
�P  6m  9  0

TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 9.

PHƯƠNG PHÁP

[2D1-2.9-3] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Biết rằng đồ thị hàm số
y   3a 2  1 x 3   b3  1 x 2  3c 2 x  4d có hai điểm cực trị là  1; 7  ,  2; 8  . Hãy xác định
tổng M  a 2  b 2  c 2  d 2 .
A. 8 .
B. 18 .

C. 18 .
Hướng dẫn giải

D. 15 .

Chọn C.

 3  3a 2  1 x 2  2  b3  1 x  3c 2 .
Đao hàm: y�

�y�

 1  3  3a 2  1  2  b3  1  3c 2  0
�
2
3
2
�y�
�  2   12  3a  1  4  b  1  3c  0
Theo giả thiết ta có hệ: �
.
2
3
2
�y  1   3a  1   b  1  3c  4d  7
�
2
3
2
�
�y  2   8  3a  1  4  b  1  6c  4 d  8
�x  3a 2  1
3x  2 y  z  0
�
�
�
3
12 x  4 y  z  0
�
�y  b  1
Xét hệ phương trình �
với �

.
2
�x  y  z  t  7
�z  3c
�
�
8 x  4 y  2 z  t  8
t  4d
�
�
�
a2  1
�x  2
�2
�y  9
b 4
�
�
� �2
� a 2  b2  c 2  d 2  18 .
Giải hệ phương trình trên ta tìm được �
c 4
�z  12
�
�
t  12 �
�
d2  9
�
Câu 10. [2D1-2.9-3] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Tìm m để đồ thị hàm số

y  x 4  2mx 2  2m 2  4m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho S ABC  1. .
A. m  3 .

B. m  1
.

C. m  4
.

D. m  2
.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
 4 x 3  4mx .
Ta có y�
x0
�
y�
 0 � �2
.
x m
�
Hàm số có ba cực trị khi m  0 .

2
2
2
Tọa độ ba điểm cực trị là A  0; 2m  4m  , B  m; m  4m  , C   m; m  4m  .
2

Tam giác ABC cân tại A  0; 2m  4m  nên.

1
d  A, BC  .BC  1 � d  A, BC  .BC  2 .
2
BC : y  m 2  4m .

S ABC  1 �

d  A, BC   m 2 .
uuur
BC   2m;0  � BC  2m .

m 1
�
d  A, BC  .BC  2 � m 2 m  1 � �
.
m  1
�
TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Kết hợp với điều kiện m  0 ta có m  1 .
x2  x  m
có hai điểm cực trị
x 1

A, B ; đường thẳng AB cùng với hai trục Ox, Oy tạo thành một tam giác. Tính chu vi p của
tam giác ấy.
1
3
3 5
3 5
A. p 
.
B. p 
.
C. p  .
D. p  .
4
2
4
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số: y  2 x  1. .
1
�1 �
Giao với Ox : M � ; 0 �� OM  . .
2
�2 �
Giao với Oy : N  0;1 � ON  1. .

Câu 11. [2D1-2.9-3] [THPT Chuyên LHP] Biết rằng đồ thị hàm số y 

MN 

1
5
1 
..
4
2

Do đó chu vi của OMN : p 

1
5 3 5
1

..
2
2
2

Câu 12. [2D1-2.9-3] [THPT Chuyên LHP] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị
y  x 4  2mx 2  2m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.
B. m  4 .

A. m  5 4 .

C. m  3 4 .
Hướng dẫn giải

D. m  2 .

Chọn A.

x0
�
 0 � �2
y�
 4 x 3  4mx ; y �
.
x m
�
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị � m  0 . Các điểm cực trị có tọa độ là A  0; 2m  ,



 



B  m ; m 2  2m , C  m ;  m 2  2m � H  0;  m 2  2m  là trung điểm của BC .
Dễ thấy tam giác ABC cân tại A nên S ABC 

1
AH .BC  m 2 . m .
2

Khi đó SABC  2 � m 2 . m  2 � m  5 4. .
m
Câu 13. [2D1-2.9-3]
[THPT
HÀM
LONG]

Tìm
để
đồ
thị
hàm
số
3
2
y  x  3  m  1 x  12mx  3m  4 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có trọng
� 9 �
1; �.
tâm là gốc toạ độ với C �
� 2 �
12
1
A. m  .
B. m 
.
7
2

1
C. m � .
2
Hướng dẫn giải

D. m 

1
.

2

Chọn B.
x2
�
y�
 3x 2  6( m  1) x  12m ; y�
0� �
.
x  2m
�
A  2;9m  ; B  2m; 4m3  12m 2  3m  4  .
TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Tam giác ABC có trọng tâm là gốc toạ độ :
2  2m  1  0
�
1
�
�m .
�
9
3
2
2

9m  4m  12m  3m  4   0
�
�
2
Câu 14. [2D1-2.9-3] [THPT Gia Lộc 2] Cho hàm số y  x  2  C  và đường thẳng
x 1
d m : y  2 x  m . Tìm m để  C  cắt d m tại hai điểm phân biệt A , B sao cho AB  30 .
A. m  0 .
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
x2
 2 x  m � 2 x 2   3  m  x  2  m  0  g  x   * .
Phương trình hoành độ giao điểm:
x 1
0
�
  C  cắt d m tại hai điểm phân biệt A , B �  * có hai nghiệm phân biệt � �
�g  1 �0
� m 2  2m  25  0 (luôn đúng).
m3
�
x A  xB 
�
�
2
Theo định lý Vi – et thì �
.

�x .x  2  m
�A B
2
Ta có: AB  30 � AB 2  30 �  xB  x A    y B  y A   30 � 5  xB  x A   30
2

2

2

2

2
2
�m  3 � 2  m
�  xB  x A   6 �  xB  x A   4 xB x A  6  0 � �
 6  0 � m  1 .
� 4
2
�2 �
4
2
Câu 15. [2D1-2.9-3] [THPT Gia Lộc 2] Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2  m  1 x  m có ba điểm

cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
A. m  2 .
B. m  1 .

C. m  0 .
Hướng dẫn giải

D. m  1 .

Chọn C.
4
2
Áp dụng công thức tính nhanh: đồ thị hàm số y  x  2  m  1 x  m có ba điểm cực trị tạo
3
8 m  1
thành tam giác vuông cân � b  1  0 � 
1  0 � m  0 .
8a
8
3

Câu 16. [2D1-2.9-3] [SỞ GD ĐT HƯNG YÊN] Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 . Với giá trị nào
của m thì đồ thị  Cm  có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có
diện tích bằng 4.
A. m   3 16 .

B. m  3 16 .

C. m  16 .
Hướng dẫn giải

D. m  5 16 .

Chọn D.
Phân tích: Như ở Câu trên tôi đã cm bài toán gốc thì hàm số có ba điểm cực trị khi
2m

 0 � m 0 (loại D).
1
TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

4
Đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị A  0;2m m  ; B x1; y ;C  x2 ; y đối xứng nhau qua Oy.

Phương trình đi qua hai điểm cực tiểu:
Ta nhớ lại dạng đồ thị hàm bậc 4 trùng phương có hệ số a  0 và 3 điểm cực trị mà tôi đã giới
thiệu trong phần giải chi tiết của sách giải đề như sau:

Ta có yB  yC  f

 m  f   m

.
 m2  2m2  2m m4  m4  m2  2m.

4
4
2
2
2
Khi đó d A ; BC   2m m   m  2m m   m  m .

Như vậy rõ ràng:
1
1
SABC  .d A ; BC  .BC  .m2 .2 m  4 � m 5 16 .
2
2

Câu 17. [2D1-2.9-3] [THPT Nguyễn Văn Cừ] Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

x 3 �2m  3 �2
2
�
�x   m  3m  2  x có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực trị của đồ thị hàm
3 � 2 �
số nằm về hai phía của đường thẳng x  1  0. .
A. m  4 .
B. 0  m  1 .
C. m  1 .
D. m  1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
 x 2   2m  3 x  m 2  3m  2. .
Ta có y�
y

x  m2
�
y�
0� �
..

x  m 1
�

Do m  2  m  1 nên yêu cầu của bài toán � m  2  1  m  1 � 0  m  1 .
3
2
Câu 18. [2D1-2.9-3] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Đồ thị hàm số y = x - 3x +( m + 2) x - m có 2

điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi.
A. m < 2 .
B. m <1 .
C. m �- 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

D. m <- 1 .

3
2
Xét hàm số y  x  3 x   m  2  x  m , TXĐ: D  R .

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình
y  3 x3  3 x 2  (m  2) x  m  0 (*) phải có ba nghiệm phân biệt. Ta có:
y  3x3  3 x 2  (m  2) x  m  0 � ( x3  x 2 )  (2 x 2  2 x)  (mx  m)  0 � ( x  1)( x 2  2 x  m)  0
Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình x 2  2 x  m  0 phải có hai nghiệm
phân biệt khác 1. Khi đó ta có:
TRANG 7


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

'  0
1 m  0
�
�
��
� m 1.
�
1  2.1  m �0
m �1
�
�
Câu 19. [2D1-2.9-3] [THPT Ngô Gia Tự] Biết rằng hàm số y  x 4  2m 2 x 2  m 4  1 có 3 điểm cực trị
A �Oy , B , C sao cho 4 điểm A, B, C , O cùng nằm trên một đường tròn. Tất cả giá trị của
tham số m là:
A. m  �1 .
B. m �0 .
C. m  1 .
D. m  1 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
y�
 4 x 3  4m 2 x � Hàm số có 3 cực trị ۹ m 0. Khi đó 3 điểm cực trị của hàm số là
A  0; m 4  1 ; B  m;1 ; C  m;1 .
Vì O, A �Oy và B, C đối xứng nhau qua Oy � OBAC là tứ giác nội tiếp � tâm đường tròn
� m4  1 �
I
0;

là trung điểm �
�của BC .
� 2 �
Ta có R  IO  IB � IO 2  IB 2

m
�

4

 1

2

 m2

4

m


4

 1

2

4

�

m  0  loai 
.
� m4  m2 � �
m  �1
�

Câu 20. [2D1-2.9-3] [THPT Lý Văn Thịnh] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị
hàm số y  x 4  2mx 2  1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
1
A. m   .
3

B. m 

1
.
3

C. m  1 .

D. m  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

x0
�
y�
 4 x3  4mx  0 � �2
. Hàm số có 3 cực trị khi m 0.

x  m
�



 

2
Khi đó hàm số có 3 điểm cực trị lần lượt là A  0;1 , B   m ;  m  1 , C
uuu
r
uuur
AB   m ;  m 2 , AC   m ; m 2 .







Vẽ hệ trục tọa đô � ABC cân tại A.





m ;  m 2  1 .

uuu
r uuur

Do đó: ycbt � AB.AC  0 � m m4  0 � m 1
uuur uuur
� AB. AC  0 � m  m 4  0 � m  1 .
Câu 21. [2D1-2.9-3] [THPT LÝ THƯỜNG KIỆT] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho
đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 có ba cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. m  1 .

C. m 

B. m  1 .

1
.
3
3

D. m  3 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
x0
�
y�
 4 x3  4mx, y '  0 � �
.
x�m
�



 

4
4
2
Tọa độ các điểm cực trị là A  0; 2m  m  , B  m ; m  m  2m , C



m ; m 4  m 2  2m .
TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Tam giác ABC đều nên AB  BC � m 4  m  4m � m  3 3 .
Câu 22. [2D1-2.9-3] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị
của hàm số y  x 4  2m 2 x 2  m 4  1 có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị tạo với gốc tọa
độ O một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn?
A. m  0 .
B. m  � 2 .
C. m  �2 .
D. m  �1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
 3x 3  4m 2 x  0 có ba nghiệm
Để hàm số y  x 4  2m 2 x 2  m 4  1 có 3 điểm cực trị thì y �

phân biệt nên m �0 . Mặt khác 3 điểm cực trị tạo với gốc tọa độ O một tứ giác nội tiếp trong
một đường tròn nên tứ giác đó là hình vuông. Gọi A, B, C là ba cực trị và:
uuu
r uuur
�
�
OA

OB
OA
.OB  0
m2  1  0
�
�
�
4
A   m,1 ; B  m,1 ; C  0, m  1 , do �
� �uuu
��2
� m  �1. .
r uuur
OA  AC
m  m2  0
OA. AC  0
�
�
�
Câu 23. [2D1-2.9-3] [THPT Lương Tài] Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 . Với giá trị nào của m
thì đồ thị hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành
tam giác đều.

A. m  3 3 .

B. m  1 .
3
3

C. m   1
3
3.

D. m   3 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
4
2
4
3
2
Viết lại : y  x  2mx  2m  m � y '  4 x  4mx  4 x( x  m)  0  1 .

Hàm số có CĐ – CT khi  1 có 3 nghiệm phân biệt hay  m  0  . nên x  0; x  m; x  m; .
4
Gọi A ; B ; C là tọa độ 3 điểm cực trị A  0; m  2m  ;



 

B  m ; m 4  m 2  2m ; C



m ; m 4  m 2  2m .



Do tam giác ABC đều nên ta có: AB 2  BC 2 �  m



2

  m   4
2

 m

2

0�.

m(m3  3)  0 � m  3 3 .
Câu 24. [2D1-2.9-3] [THPT Thuận Thành] Cho hàm số y  x 3  3mx  1  1 . Cho A  2; 3 , tìm m để
đồ thị hàm số  1 có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A .
A. m 

3
.
2

B. m 

3
.
2

1
C. m   .
2
Hướng dẫn giải

D. m 

1
.
2

Chọn D.
�
x  m � y  2 m m  1
 0 � x2  m � �
 3x 2  3m ; y �
Ta có: y�
ĐK: m  0 .
x   m � y  2m m  1
�
Ta có: B



 



m ;  2 m m  1 ; C  m ; 2m m  1 .
TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Có I  0;1 là trung điểm BC .
m0
�
uur uuur
�
Tam giác ABC cân tại A � AI .BC  0 � m  2m m  0 �
1.
�
m
� 2
1
Vậy m  .
2
Câu 25. [2D1-2.9-3] [THPT Thuận Thành 3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để của hàm số
y   x 2 ( x 2  2m)  1  m có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông.
A. m 

2
.
3

C. m 

B. m  3 3 .

1
.
3

D. m  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
) y   x 2 ( x 2  2m)  1  m   x 4  2mx 2  1  m .
) y '  4 x 3  4mx  4 x( x 2  m) .
Hàm số đã cho có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình y’  0 có ba nghiệm phân biệt.
Khi và chỉ khi phương trình x 2  m  0 có hai nghiệm phân biệt khác 0. .
� m  0 � m  0 . Đối chiếu với các phương án trong đề ra thì B là đáp án.

Câu 26. [2D1-2.9-3] [THPT Thuận Thành 3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm
số y  x 4  2mx 2  3m  4 có các cực trị đều nằm trên các trục tọa độ.
A. m   1;0; 4 .

B. m �( �;0) � 4 .

C. m � 1;0;1 .

D. m � 1; 2;3 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
 0  ab 0
TH1 : Đồ thị chỉ có một cực trị x ۳

m 0.

Ta có y (0)  3m  4 � (0;3m  4) �Oy .
TH2: Đò thị có 3 cực trị x  0; x  � m � ab  0 � m  0 .
Ta có y (�
m ) 
m 2 �3m 4

(

m ; m 2 3m 4) Ox .

m  1(l )
�
 m2  3m  4  0 � �
.
m  4(t / m)
�
Câu 27. [2D1-2.9-3] [THPT Thuận Thành 2] Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số
1
y  x 4  2mx 2  1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một đường trung bình là y  .
2
1

1
A. m  .
B. m  1 .
C. m   .
D. m  1 .
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.

TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

 4 x 3  4mx  4 x  x 2  m  .
Ta có: y �
Hàm số có 3 cực trị khi m  0 .



 



2
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A  0; 1 , B  m ; 1  m ; C

m ; 1  m 2 .

Ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một đường trung bình là
1
1  1  m2 1
y �
 � m  1 .
2
2
2
Câu 28. [2D1-2.9-3] [THPT Thuận Thành 2] Cho hàm số y  2 x 3  3x 2  5 có hai điểm cực trị A, B .
uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuuu
r
Điểm M  a; b  thuộc đường thẳng d : x  3 y  7 sao cho T  MO.MA  MA.MB  MB.MO đạt
giá trị nhỏ nhất ( với O là gốc tọa độ). Khi đó, a  b nhận giá trị thuộc.
A.  1; 5  .
B.  5;  3 .
C.  2; 1 .
D.  3;  2  .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A  0; 5  , B  1; 4  . Gọi G là trọng tâm tam giác ABO �
�1 �
G � ;3 �.
�3 �
uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuuu
r
Ta có: T  MO.MA  MA.MB  MB.MO

uuuu
r uuur uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur
 MG  GO MG  GA  MG  GA MG  GB  MG  GB MG  GO
uuuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur
.
 3MG 2  2MG GO  GA  GB  GO.GA  GA.GB  GB.GO
uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur
 3MG 2  GO.GA  GA.GB  GB.GO

uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur
Mà GO.GA  GA.GB  GB.GO là hằng số, do đó T min khi MG min khi M là hình chiếu
vuông góc của G trên d .
� 13 19 �
Vậy M � ;  �.
� 10 10 �







 





 





Câu 29. [2D1-2.9-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số

y = x 4 - 2 x 2 + m có ba điểm cực trị A , B , C sao cho tam giác ABC bị trục tọa độ Ox chia
thành hai phần có diện tích bằng nhau.
1
1
1
A. m = � .
B. m = 2 .
C. m = � .
D. m =
.
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
�
x =0� y =m
�
3
x =- 1 � y = m - 1 .
y�
= 4x - 4x = 0 � �
�
�
x =1 � y = m - 1
�
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị: A( 0; m) ; B ( - 1; m - 1) ; C ( 1; m - 1) .
D ABC cân tại A và BC / /Ox .
Gọi M , N lần lượt là giao của Ox với AB ; AC .
2

�d ( A; ox ) �
S
�
�
�
= m2 .
Suy ra: D ABC �D AMN � D AMN =�
�
�
�
SD ABC �
d
A
;
BC
)�
�(
TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

�2 1
�
m =
1
2 �m=

Yêu cầu bài toán suy ra �
.
�
�
2
�
0 < m <1
�
Câu 30. [2D1-2.9-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2] Gọi A,B,C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số
y  2 x 4  4 x 2  1. Diện tích của tam giác ABC là:
A. 3 .
B. 1.
C. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

D. 4 .

y'  8 x 3  8 x � y'  0 � x  0 �x  �.
1
Ba điểm cực trị: A  0;1 , B  1; –1 , C  1; –1 . .
SVABC  2. .
Câu 31. [2D1-2.9-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  m4  2m
có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. m  3 3 .
B. m  1 .
C. m  1 .
D. m   3 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.

y  x 4  2mx 2  m 4  2m .
x0
�
..
y '  4 x 3  4mx ; y’  0 � �2
x m
�





4
4
2
Với m  0 , hs có 3 cực trị: A  0; m  2m  ; B ( m ; m 4  m 2  2m) ; C  m ; m  m  2m .

Vì AB  AC nên để tam giác ABC đều thì AB  BC � m  3 3 .
Câu 32. [2D1-2.9-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Cho hàm số y  x 3  3mx 2  4m3 .Với giá trị nào
của m để hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho AB  20 .
A. m  1; m  2 .
B. m  1 .
C. m  �1 .
D. m  �2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Giải: Ta có y '  3x 2  6mx .Điều kiện để hàm số có hai cực trị là m �0 .
x1  0
�
y1  4m3

�
y 0� �
��
� A  0; 4m3  ; B  2m;0  .
x

2
m
y

0
�2
�2
'

Mà AB  20 .
� 4m6  m 2  5  0 � m  �1 .
Câu 33. [2D1-2.9-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05] Cho hàm số y   x3  3mx 2  3m  1 (m là tham
số). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau
qua đường thẳng d: x  8 y  74  0 .
A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  1 .

D. m  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

TRANG 12


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

y�
 3 x 2  6mx ; y �
 0 � x  0 �x  2m .
Hàm số có CĐ, CT  PT y �
 0 có 2 nghiệm phân biệt  m �0 .

uuu
r

Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3m  1), B(2m;4m3  3m  1)  AB (2m;4m3 ) .
Trung điểm I của AB có toạ độ: I (m;2m3  3m  1) .

r

Đường thẳng d: x  8 y  74  0 có một VTCP u  (8; 1) .

�
m  8(2m3  3m  1)  74  0
�I �d
�
và B đối xứng với nhau qua d  �
�
 m  2.

uuu
rr
�AB  d
�AB.u  0
Câu 34. [2D1-2.9-3] [THPT TH Cao Nguyên] Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

x 2  mx  m
bằng.
y
x 1
A.

5.

B. 2 5 .

C. 4 5 .
Hướng dẫn giải

D. 5 2 .

Chọn B.
2
� x2  2x
x0
�x 2  mx  m �
� 0 � x  2 x  0 � �
y
Ta có y� �
;

.

�
2
�
2
x2
x

1


�
x

1
x

1


�
�

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y 
Suy ra AB 

 2  0

2

x 2  mx  m
là A  0; m  và B  2; 4  m  .
x 1

  4  m  m   20  2 5 .
2

4
2
Câu 35. [2D1-2.9-3] [Sở Hải Dương] Cho hàm số y  x  2  m  4  x  m  5 có đồ thị  Cm  .Tìm số

thực m để đồ thị  Cm  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng
tâm.
B. m  1 hoặc m 

A. m  1 .
C. m 

17
.
2

17
.
2

D. m  4 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.

 4 x3  4  m  4  x  4 x  x 2  m  4  .
D  �; y �

Điều kiện để có 3 cực trị: m  4 .

Khi đó toạ độ các cực trị của hàm trùng phương là B   4  m ;  m 2  9m  11 , A  0; m  5 ,
� 2m 2  19m  17 �
C  4  m ;  m 2  9m  11 suy ra toạ độ của ABC là G �
0;
�.
3
�
�

TRANG 13


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

� 17 
m
loai 
Toạ độ G trùng với gốc O khi 2m  19m  17  0 � � 2
. Vậy m  1 .
�
m  1 nhân 

�
2

.
Câu 36. [2D1-2.9-3] [BTN 174] Tìm tất cả các giá trị m sao cho đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  1 có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác có một đường trung bình là y 
A. m  1 .

B. m  1 .

1
.
2

1
C. m   .
2
Hướng dẫn giải

D. m 

1
.
2

Chọn A.



 



1
�
�
m ;1  m 2 . Với M �
0;1  ; m 2 �là trung
2
�
�

2
Ba điểm cực trị là A  0;1 , B  m ;1  m , C

điểm BC , đường trung bình y 

1
đi qua hai trung điểm của AM
2

nên có được

1
1
1  m 2  � m  1 (chú ý m  0 ).
2
2
Câu 37. [2D1-2.9-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
y = x 4 - 2 x 2 + m có ba điểm cực trị A , B , C sao cho tam giác ABC bị trục tọa độ Ox chia

thành hai phần có diện tích bằng nhau.
1
1
1
A. m = � .
B. m = 2 .
C. m = � .
D. m =
.
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
�
x =0� y =m
�
3
x =- 1 � y = m - 1 .
y�
= 4x - 4x = 0 � �
�
�
x =1 � y = m - 1
�
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị: A( 0; m) ; B ( - 1; m - 1) ; C ( 1; m - 1) .
D ABC cân tại A và BC / /Ox .
Gọi M , N lần lượt là giao của Ox với AB ; AC .
2

�d ( A; ox ) �
S
�
�
�
= m2 .
Suy ra: D ABC �D AMN � D AMN =�
�
�
�
�
SD ABC
d ( A; BC ) �
TRANG 14


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

�2 1
�
m =
1
2 �m=
Yêu cầu bài toán suy ra �
.
�
�
2

�
0 < m <1
�
Câu 38. [2D1-2.9-3] [THPT Gia Lộc 2] Cho hàm số y  x  2  C  và đường thẳng
x 1
d m : y  2 x  m . Tìm m để  C  cắt d m tại hai điểm phân biệt A , B sao cho AB  30 .
A. m  0 .
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
x2
 2 x  m � 2 x 2   3  m  x  2  m  0  g  x   * .
Phương trình hoành độ giao điểm:
x 1
0
�
  C  cắt d m tại hai điểm phân biệt A , B �  * có hai nghiệm phân biệt � �
�g  1 �0
� m 2  2m  25  0 (luôn đúng).
m3
�
x A  xB 
�
�
2
Theo định lý Vi – et thì �
.
�x .x  2  m

�A B
2
Ta có: AB  30 � AB 2  30 �  xB  x A    y B  y A   30 � 5  xB  x A   30
2

2

2

2

2
2
�m  3 � 2  m
�  xB  x A   6 �  xB  x A   4 xB x A  6  0 � �
 6  0 � m  1 .
� 4
2
�2 �
4
2
Câu 39. [2D1-2.9-3] [THPT Gia Lộc 2] Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2  m  1 x  m có ba điểm

cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
A. m  2 .
B. m  1 .

C. m  0 .
Hướng dẫn giải

D. m  1 .

Chọn C.
4
2
Áp dụng công thức tính nhanh: đồ thị hàm số y  x  2  m  1 x  m có ba điểm cực trị tạo
3
8 m  1
thành tam giác vuông cân � b  1  0 � 
1  0 � m  0 .
8a
8
3

Câu 40. [2D1-2.9-3] [THPT Chuyên KHTN] Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  m , điểm A  1;3 và hai
điểm cực đại, cực tiểu thẳng hàng ứng với giá trị của tham số m bằng:
1
5
A. m  .
B. m  3 .
C. m  2 .
D. m  .
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
 3x 2  6 x  m . Hàm số có hai cực trị � �
 9  3m  0 � m  3 .
Ta có y �
Lại có y 

1
2m
� 4m 1
�2m
� 4m
  x  1 y�
 �  2 �x 
 x  1  3x 2  6 x  m   �
.
�  2 �x 
3
�3
� 3 3
�3
� 3

TRANG 15


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
�2m
� 4m
d : y  �  2 �x 
.
�3

� 3
5
�2m
� 4m
.1 
� m  (thỏa mãn điều kiện).
Để A  1;3 �d thì 3  �  2 �
2
�3
� 3
Câu 41. [2D1-2.9-3] [Cụm 6 HCM] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y  x 4  2mx 2  4 có 3 điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ.
A. m  2 hoặc m  2 .
B. m  2 .
C. m  2 .
D. Không có giá trị m nào.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
 4 x 3  4mx  4 x  x 2  m  .
Ta có y�
 0 có 3 nghiệm phân biệt � a.b  0 � m  0 .
Hàm số có 3 cực trị khi y�

Khi đó, y �
 0 � x  0; x  � m .
Tọa độ 3 điểm cực trị là A  0; 4  , B



 



 m ; m 2  4 , C   m ; m 2  4 .

Ba điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ � m 2  4  0 � m  �2 .
Kết hợp điều kiện ta được m  2 .

TRANG 16