Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện cho trước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THỪA THIÊN HUẾ
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VINH XUÂN
------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN: TOÁN HỌC

Đề tài:
“TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI
ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC”

Họ và tên: ĐỖ VĂN SƠN
Tổ Toán

Chức vụ: Phó bí thư Đoàn Trường
Đơn vị : Trường THPT Vinh Xuân

Vinh Xuân, tháng 3 năm 2014
MỤC LỤC
Trang
Phần A -

MỞ ĐẦU……………………………………........……......……....... 2

1. Lý do chọn đề tài
trang 1


2. Mục đích nghiên cứu đề tài
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

5. Phương pháp nghiên cứu đề tài
Phần B -

NỘI DUNG………………………….……………..........….…….…..3

1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT..……… ……………………….........…………...............3
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN “ TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP
TUYẾN TẠI ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC”....................4
3. CÁC BƯỚC TÌM TỌA TỘ TIẾP ĐIỂM, KHI BIẾT TIẾP TUYẾN
TẠI ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC................................................4
4. CÁC VÍ DỤ .........................……………......……….…............……….......... 5
5. BÀI TẬP… ………………………………………...…..........…......…….. .......15
Phần C -

KẾT LUẬN ---------------------------------------------------------------------16
− − − − − —– − − − − −

trang 2


PHẦN A . MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán: “Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” là bài toán rất quen
thuộc ở chương trình toán phổ thông, ở bậc THPT, và thường xuyên xuất hiện trong
các đợt kiểm tra học kỳ dành cho khối 12, kỳ thi tốt nghiệp cuối cấp THPT và các kỳ
thi đại học cao đẳng.
Tuy nhiên, bài toán lập phương trình tiếp tuyến ở bậc THPT thường tại điểm
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (C ) hoặc có hệ số góc k hoặc cho hoành độ tiếp điểm ,hoặc cho tung độ

tiếp điểm ….Nhưng thi đại học cao đẳng với mức độ yêu cầu cao hơn . “Lập phương

trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó cho trước”, mà
không biết tọa độ tiếp điểm hoặc hệ số góc k... Do đó muốn lập phương trình tiếp
tuyến thì phải tìm tọa độ tiếp điểm dựa vào điều kiện của tiếp tuyến tại điểm đó.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Đề tài “Bài toán “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn
điều kiện cho trước”, là bài toán ngược của bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại
điểm cho trước.
Bài toán này là cơ sở để lập phương trình tiếp tuyến một cách dễ dàng khi biết
tiếp điểm của nó. Nhằm khắc sâu và nắm chắt lý thuyết về vấn đề tiếp tuyến cho học
sinh và giúp cho học sinh khối 12 thi vào các trường đại học cao đẳng khi gặp bài
toán này.
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
-

Chương trình toán trung học phổ thông

-

Các bài toán thi đại học của các năm trước.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Chuyên đề “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện cho
trước”, cung cấp cho học sinh về phương pháp, kỹ năng và hệ thống các bài tập để
chuẩn bị kỷ về kiến thức lập phương trình tiếp tuyến.
5. Phương pháp nghiên cứu đề tài
Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
trang 3


PHẦN B . NỘI DUNG

1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
y
M

1.1Khái niệm về tiếp tuyến.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C).
Giả sử (C) là đồ thị của hàm số y=f(x) và M(x0; f(x0))∈(C).
Kí hiệu M(x; f(x)) là một điểm di chuyển trên (C).

T

(C)
f(x0)

M0

O

x0

Đường thẳng M0M là một cát tuyến của (C) (hình vẽ H.1)
Nhận xét rằng: khi x→ x0 thì M(x; f(x)) di chuyển

H.1

trên (C) tới điểm M(x0; f(x0)) và ngược lại. Giả sử cát tuyến M0M có vị trí giới hạn, kí
hiệu là M0T thì M0T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại M0. Điểm M0 được gọi là tiếp
điểm.

(Đại số&Giải tích 11, trang 151, nxb GD 2007)

1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lí:
Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C)
tại điểm M(x0; f(x0)).

(Đại số&Giải tích 11, trang 151, nxb GD 2007)

1.3Phương trình tiếp tuyến
Định lí:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm M(x0; f(x0)
là y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) trong đó y0= f(x0)
(Đại số&Giải tích 11, trang 152, nxb GD 2007)
Lưu ý:
Nếu tiếp tuyến M0T cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A và B thì hệ số góc của tiếp
tuyến M0T là k = tan ϕ .Với ϕ là góc tạo bởi trục Ox và tiếp tuyến M0T theo chiều dương.

trang 4

x


2. MỘT SỐ BÀI TOÁN “ TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI
ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC”
Cho hàm số y = f ( x ) ( y = f ( x ) là hàm số bậc ba hoặc hàm nhất biến ) có đồ thị (C).
Tìm tọa độ tiếp điểm M của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến tại M thỏa mãn một trong các
điều kiện sau:
2.1 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho OB = nOA , n ∈ ¡ + .
2.2 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông
cân.

2.3 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện
tích S cho trước.
2.4 - Tạo với hai tiệm cận cùng với điểm I thành tam giác có chu vi nhỏ nhất , với
I là giao điểm của hai tiệm cận.
2.5 - Cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam
giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm của hai tiệm cận.
2.6 - Cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B sao cho đoan thẳng AB ngắn nhất.
2.7 - Tạo với đường thẳng y = ax + b một góc cho trước.
2.8 - Vuông góc với đường thẳng cho trước .
2.9 - Cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho IA2 + IB 2 = n , với I là giao điểm của hai
tiệm cận và n ∈ ¡ + .
3. Các bước tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện cho
trước
Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tọa độ tiếp điểm
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = f '( x0 )
Bước 2: Từ điều kiện của bài toán suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k.
Giải phương trình f '( x0 ) = k tìm được tọa độ tiếp điểm.
hoặc viết phương tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) là y − f ( x0 ) = f '( x0 )( x − x0 )
Từ điều kiện của bài toán suy ra trực tiếp tọa độ tiếp điểm.
Bước 3: Kết luận.
trang 5


4. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 2 có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của
M của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt hai trục Ox, Oy lần

lượt tại A và B sao cho OB = 9OA , với O là gốc tọa độ.
Giải: Gọi M(x0; f(x0)) là tọa độ tiếp điểm .
2

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = f '( x0 ) = 3x0 − 6 x0

Cách 1: Vì tiếp tuyến tại M cắt trục Ox, Oy tại A và B sao cho OB = 9OA ⇒

OB
=9
OA

nên hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = 9 hoặc k = −9
3 x02 − 6 x0 = 9
3 x02 − 6 x0 − 9 = 0
⇔ 2
ta có  2
3
x
−
6
x
=
−
9
0
 0
3 x0 − 6 x0 + 9 = 0

 x = −1 ⇒ y = −2
⇔
vô nghiêm
x = 3 ⇒ y = 2

Vậy có hai tọa độ tiếp điểm M (−1; −2) hoặc M (3;2)
3
2
Cách 2: Phương trình tiếp tuyến tại M là d : y = k ( x − x0 ) + y0 với y0 = x0 − 3 x0 + 2, k ≠ 0

 kx0 − y0 
;0 ÷ và cắt trục Oy tại B ( 0; −kx0 + y0 )
 k


Đường thẳng d cắt trục Ox tại A 

Ta có OB = 9OA ⇔ −kx0 + y0 = 9

kx0 − y0
kx − y0
⇔ kx0 − y0 = 9 0
k
k

 kx0 − y0 = 0

9
⇔ kx0 − y0 .1 − ÷ = 0 ⇔  9
1 − = 0
k 

 k
Với kx0 − y0 = 0 ⇔ y0 = kx0 ⇒ phương trình tiếp tuyến d : y = kx loại vì A,B phân biệt

k = 9
9
⇔
Với 1 − = 0 ⇔ k = 9 ⇔ 
k
=
−
9
k


3 x02 − 6 x0 = 9
 2
3 x0 − 6 x0 = −9

3 x02 − 6 x0 − 9 = 0
⇔ 2
3 x0 − 6 x0 + 9 = 0

 x = −1 ⇒ y = −2
⇔
vô nghiêm
x = 3 ⇒ y = 2

Vậy có hai tọa độ tiếp điểm M (−1; −2) hoặc M (3;2)
trang 6


Ví dụ 2: Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của M của đồ thị
x −1

(C) biết rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B
sao cho OA = 4OB , với O là gốc tọa độ.
Giải: Ta có TXĐ: D=Ρ\ { 1} , Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm với y0 =
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) =

2 x0 − 1
.
x0 − 1

−1
2
( x0 − 1)

Cách 1: Tiếp tuyến tại M cắt trục Ox, Oy tại A và B sao cho OA = 4OB ⇒
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k =
Nhưng do y '( x0 ) =

OB 1
=
OA 4

1
1
hoặc k = −
4
4

−1
1
2 < 0 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = −
( x0 − 1)
4

5

x
=
3
⇒
y
=

−1
1
2
2
=
−
⇔
x
−
1
=
4
⇔
(

)
ta có phương trình

2
0
4
( x0 − 1)
 x = −1 ⇒ y = 3

2
3
 5

Vậy có hai tọa độ tiếp điểm M  3; ÷hoặc M  −1; ÷
2
 2

Cách 2: Phương trình tiếp tuyến tại M là d : y = k ( x − x0 ) + y0 với k ≠ 0
 kx0 − y0 
;0 ÷ và cắt trục Oy tại B ( 0; −kx0 + y0 )
 k


Đường thẳng d cắt trục Ox tại A 
Ta có OA = 4OB ⇔

kx0 − y0
kx − y0
= 4 − kx0 + y0 ⇔ 0
= 4 kx0 − y0

k
k

 kx0 − y0 = 0
1

⇔ kx0 − y0 . − 4 ÷ = 0 ⇔  1
 −4=0
k

 k
Với kx0 − y0 = 0 ⇔ y0 = kx0 ⇒ phương trình tiếp tuyến d : y = kx loại vì A,B phân biệt

trang 7


1

k =−

1
1
4
−4=0⇔ k = ⇔ 
Với
k
4
k = 1

4

nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = −

, nhưng do k = y '( x0 ) =

−1
2 < 0
x
−
1
( 0 )

1 ⇔ −1 = − 1
2
4
( x0 − 1)
4
5

x =3⇒ y =

2
2
⇔ ( x0 − 1) = 4 ⇔ 
 x = −1 ⇒ y = 3

2

3
 5


Vậy có hai tọa độ tiếp điểm M  3; ÷hoặc M  −1; ÷
2
 2

Ví dụ 3: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y =

x+2
, biết tiếp tuyến
2x + 3

của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB
cân tại gốc tọa độ O.
x0 + 2
 3
Giải: Ta có TXĐ: D=Ρ\ −  , Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C) nên y0 =
2 x0 + 3
 2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) =

−1
2
( 2 x0 + 3)

Vì tiếp tuyến tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho tam giác
OAB vuông cân tại gốc tọa độ O suy ra OA = OB nên hệ số góc tiếp tuyến k = 1

hoặc k = −1 , nhưng y '( x0 ) =
Ta có phương trình

−1

2 < 0 nên hệ số góc của tiếp tuyến k = −1
( 2 x0 + 3)

 x0 = −1 ⇒ y0 = 1
−1
2
2 = −1 ⇔ ( 2 x0 + 3 ) = 1 ⇔ 
( 2 x0 + 3)
 x0 = −2 ⇒ y0 = 0

Với M (−1;1) ta có phương trình tiếp tuyến là y = − x (loại vì đi qua gốc tọa độ)
Với M (−2;0) ta có phương trình tiếp tuyến là y = − x − 2 thỏa mãn
Vậy M (−2;0) là điểm cần tìm.
trang 8


Ví dụ 4: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y =

2x
, biết tiếp tuyến của
x +1

(C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích
bằng

1
.
4



2x 
Giải: TXĐ: D=Ρ\ { −1} , Gọi M  x0 ; 0 ÷∈ (C).
 x 0 +1 
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) =

2

( x0 + 1)

2

2
2 x02
Phương trình tiếp tuyến tại M là d : y =
2 x+
2
( x0 + 1)
( x0 + 1)

2 x02 
2
B
0;
A
−
x
;0
Mà d cắt trục Ox tại ( 0 ) và cắt trục Oy tại 
2 ÷
÷

 ( x 0 +1) 
1
2

Cách 1: Vì tam giác OAB vuông tại O, nên SOAB = OA.OB ⇒
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến d là k =
nhưng y '( x0 ) =

2

( x0 + 1)

Ta có phương trình

2

OB 2 SOAB
1
=
= 4
2
OA OA
2 x0

1
1
k
=
−
hoặc

2 x04
2 x04

> 0 nên hệ số góc của tiếp tuyến k =

2

( x0 + 1)

2

=

1
2 x04

1
2
1
2
⇔
= 4 ⇔ 4 x04 = ( x0 + 1)
2
4
2 x0
( x0 + 1) 2 x0

 x0 = 1 ⇒ y0 = 1
 2 x02 − x0 − 1 = 0
⇔ 2

⇔
 x0 = − 1 ⇒ y0 = −2
 2 x0 + x0 + 1 = 0 vô nghiêm

2


Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M (1;1), M  − ; −2 ÷
1
 2



trang 9


1
2

Cách 2: Vì tam giác OAB vuông tại O, nên SOAB = OA.OB ⇔

1 1
= OA.OB
4 2

2 x02
1
2
1
2

= ⇔ 4 x04 = ( x0 + 1)
⇔ OA.OB = ⇔ x0 .
2
2
( x0 + 1) 2
 2 x02 − x0 − 1 = 0
⇔ 2
 2 x0 + x0 + 1 = 0 vô nghiêm

 x0 = 1, y ( 1) = 1

⇔
−1  1 
x0 = , y  − ÷ = −2

2
 2

 1

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M (1;1); M  − ; −2 ÷.
 2

Ví dụ 5: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y =

2x −1
, biết tiếp tuyến
x −1

của (C) tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Giải: Ta có TXĐ: D=Ρ\ { 1}
−1
 2 x0 − 1 
k
=
y
'(
x
)
=
∈
0
2
Gọi M  x0 ;
(C),
hệ
số
góc
của
tiếp
tuyến
tại
M
là
÷
x 0 −1 
( x0 − 1)

Phương trình tiếp tuyến tại M là d : y =

−1
2 x0 − 1
2 ( x − x0 ) +
x0 − 1
( x0 − 1)

 2 x0 
Ta có d cắt tiệm cận đứng x = 1 tại A  1;
÷ và cắt tiệm cận ngang y = 2 tại
 x 0 −1 
B ( 2 x 0 −1;2 ) , giao điểm của hai tiệm cận I ( 1;2 )
2

và IA = x − 1 , IB = 2 x0 − 1 ⇒ IA.IB = 4
0
Chu vi của tam giác IAB là p = AB + IA + IB = IA2 + IB 2 + IA + IB ≥ 2 2 + 4
 x0 = 2
 x0 = 0

2
Để chu vi nhỏ nhất là p = 2 2 + 4 đạt được khi IA = IB ⇔ ( x0 − 1) = 1 ⇔ 

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M ( 2;3) ; M (0;1)
trang 10


Ví dụ 6: Cho điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) của hàm số y =

2x − 3
, biết tiếp tuyến

x−2

của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B ,gọi I là giao điểm của hai
đường tiệm cận . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB
có diện tích nhỏ nhất.
Giải: : Ta có TXĐ: D=Ρ\ { 2}
−1
 2 x0 − 3 
Gọi M  x0 ;
÷∈ (C), hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) = x − 2 2
( 0 )
x 0 −2 


Phương trình tiếp tuyến tại M là d : y =

−1
2 x0 − 3
2 ( x − x0 ) +
x0 − 2
( x0 − 2 )


Tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng x = 2 tại A  2;


2 x0 − 2 
÷ và cắt tiệm cận ngang
x 0 −2 

y = 2 tại B ( 2 x 0 −2;2 ) , giao điểm của hai tiệm cận I ( 2;2 ) .
 x A + xB 2 + 2 x0 − 2
= x0 = xM
 2 =
2
Ta có  y + y 2 x − 3
suy ra M là trung điểm AB
B
 A
= 0
= y0 = y M
x 0 −2
 2

Mặt khác ∆IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có tâm là M và
bán kính IM, nên diện tích đường tròn ngoại tếp tam giác IAB là
2



 2 x0 − 3
 
1
2
2
S = π IM = π ( x0 − 2 ) + 
− 2 ÷  = π ( x0 − 2 ) +
≥ 2π
2


( x0 − 2 ) 
 x0 − 2
 

2

Suy ra diện tich đường tròn ngoại tếp tam giác IAB nhỏ nhất là S = 2π
Đạt được khi ( x0 − 2 ) =
2

1

( x0 − 2 )

2

 x0 = 1 ⇒ y0 = 1
4
⇒ ( x0 − 2 ) = 1 ⇔ 
 x0 = 3 ⇒ y0 = 3

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M ( 1;1) ; M (3;3)

Ví dụ 7: Cho hàm số y =

x −1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp
x−2
trang 11

tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A và B sao cho AB ngắn nhất.
Giải: Ta có TXĐ: D=Ρ\ { 2}
−1
 x0 − 1 
Gọi M  x0 ;
÷∈ (C), hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) = x − 2 2
( 0 )
 x 0 −2 

Phương trình tiếp tuyến tại M là ∆ : y =

−1
x0 − 1
2 ( x − x0 ) +
x0 − 2
( x0 − 2 )


x0 
Tiếp tuyến ∆ cắt tiệm cận đứng x = 2 tại A  2;
÷ và cắt tiệm cận ngang y = 1
 x 0 −2 

tại B ( 2 x 0 −2;1) , ta có AB = ( 2 x0 − 4 ) +
2

4

( x0 − 2 )

2

=2

( x0 − 2 )

2

+

1

( x0 − 2 )

2

≥2 2

Do đó AB ngắn nhất là AB = 2 2 đạt được khi và chỉ khi

( x0 − 2 )

2

=

1

( x0 − 2 )

2

 x0 = 1 ⇒ y0 = 0
4
⇒ ( x0 − 2 ) = 1 ⇔ 
 x0 = 3 ⇒ y0 = 2

Vậy có hai tọa độ điểm M cần tìm là M ( 1;0 ) ; M (3;2)
1 3
2
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x) = − x + 2 x − 5 x + 1 có đồ thị (C). Tìm trên (C) những
3
điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) tạo với đường thẳng d : y = 3 x + 1 một góc bằng
450 .
1 3
2
Giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C), với y0 = − x0 + 2 x0 − 5 x0 + 1
3
2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là f '( x0 ) = − x0 + 4 x0 − 5

Phương trình tiếp tuyến tại M là ∆ : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ kx − y + y0 − x0 k = 0
Góc hợp bởi ∆ và đường thẳng d một góc 450
0
ta có cos45 =

3.k + 1
10. k 2 + 1

⇔

3.k + 1
2
=
⇔ 3.k + 1 = 5. k 2 + 1
2
2
10. k + 1
trang 12


 k = −2
⇔ 2k + 3k − 2 = 0 ⇔ 
 k = 1 (loai vì k < 0)

2
2

Với

Với

7

x0 = 1 ⇒ y0 = −

k = −2 ⇔ − x + 4 x0 − 5 = −2 ⇔ x − 4 x0 + 3 = 0 ⇔
3


 x0 = 3 ⇒ y0 = −5
2
0

k=

2
0

1
1
⇔ − x02 + 4 x0 − 5 = ⇔ 2 x02 − 8 x0 + 11 = 0 vô nghiệm
2
2

7

Vây có hai tọa độ điểm M thảo mãn là M 1; − ÷; M ( 3; −5 )
3


Ví dụ 9: Cho hàm số y =

x +1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp
x −1

tuyến tại M của (C) tạo với đường thẳng d : y = 3 x + 1 một góc bằng 450 .
Giải: Ta có TXĐ: D=Ρ\ { 1} , Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C), với y0 =
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) =

x0 + 1
x0 − 1

−2

( x0 − 1)

2

<0

Phương trình tiếp tuyến tại M là ∆ : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ kx − y + y0 − x0 k = 0
Góc hợp bởi ∆ và đường thẳng d một góc 450
0
ta có cos45 =

3.k + 1
10. k 2 + 1

⇔

3.k + 1
2
=
⇔ 3.k + 1 = 5. k 2 + 1
2
2
10. k + 1

 k = −2
⇔ 2k + 3k − 2 = 0 ⇔ 
1
k =
(loai vì k < 0)

2
2

Với k = −2 ⇔

 x0 = 2 ⇒ y0 = 3
−2
2
=
−
2
⇔
x
−
1
=
1
⇔
(
)
2
0
 x = 0 ⇒ y = −1
( x0 − 1)

0
 0

Vây có hai tọa độ điểm M thỏa mãn là M ( 2;3) ; M ( 0; −1)
Ví dụ 10: Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai đường tiệm
x −1
trang 13


cận của đồ thị (C).Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với
đường thẳng IM.
(Đề dự bị Đại học, Cao đẳng năm 2003, khối B)
Giải: TXĐ: D=Ρ\ { 1} , hệ số góc tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) =

−1

( x0 − 1)

2

.

Ta có I(1;2) là giao điểm hai đường tiệm cận của (C).
uuur
r
Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈(C) ⇒ IM = ( x0 − 1; y0 − 2 ) nên n = ( 2 − y0 ; x0 − 1) là vec-tơ pháp
tuyến của đường thẳng IM.

Khi đó tiếp tuyến tại M có dạng y − y0 = y ' ( x0 ) ( x − x0 )
ur

⇔ y ' ( x0 ) x − y + y0 − y ' ( x0 ) .x0 = 0 có vec-tơ pháp tuyến n1 = ( y ' ( x0 ) ; −1)
r uu
r
r ur
Đường thẳng IM vuông góc với tiếp tuyến ⇔ n ⊥ n1 ⇔ n.n1 = 0
⇔

( 2 − y0 ) . y ' ( x0 ) + ( −1) ( x0 − 1) = 0

⇔

( x0 − 1)

4

=1

⇔

 x0 = 0, y ( 0 ) = 1

 x0 = 2, y ( 2 ) = 3

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M1(0;1), M2(2;3) .
Ví dụ 11: Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) của hàm số
y=

2x −1
. Tìm điểm M trên đồ thị (C), có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M
x +1

với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thỏa mãn IA2 + IB 2 = 40
Giải: Ta có TXĐ: D=Ρ\ { −1}
3
 2 x0 − 1 
Gọi M  x0 ;
2
÷∈ (C), x0 > 0 , hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y '( x0 ) =
x 0 +1 
( x0 + 1)


Phương trình tiếp tuyến tại M là ∆ : y =

3
2 x0 − 1
x
−
x
+
(
)
2
0
x0 + 1
( x0 + 1)

trang 14



2 x0 − 4 
Tiếp tuyến ∆ cắt tiệm cận đứng x = −1 tại A  −1;
÷, cắt tiệm cận ngang
x 0 +1 


y = 2 tại B ( 2 x 0 +1;2 ) và giao điểm của hai tiệm cận I ( −1; 2 ) .
2
2
Theo giả thiết IA + IB = 40 ⇔

36

+ 4 ( x0 + 1) = 40
2

( x0 + 1)

2

( x0 + 1) 2 = 1
⇔ 4 ( x0 + 1) − 40 ( x0 + 1) + 36 = 0 ⇔ 
( x0 + 1) 2 = 9
4

+Với

( x0 + 1)

2

2

 x0 + 1 = 1
 x0 = 0
=1⇔ 
⇔
( loại vì x0 > 0 )
 x0 + 1 = −1  x0 = −2
 x0 + 1 = 3
 x0 = 2
⇔
⇔ x0 = 2 ⇒ y0 = 1
 x0 + 1 = −3
 x0 = −4 loai (vì x0 > 0)

+Với ( x0 + 1) = 9 ⇔ 
2

Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là. A ( 2;1)
− − − − − —– − − − − −

trang 15


5. BÀI TẬP

5.1Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của M của đồ thị (C) biết
x −1

rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho
OA = 4OB , với O là gốc tọa độ.
5.2Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y =

2x
, biết tiếp tuyến của (C) tại
x+2

M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
.
18
5.3 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) của hàm số y =

2x −1
. Tìm
x −1

tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A
và B sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
2x − 3
5.4 Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp
x−2

tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cân của (C) tại A và B sao cho AB ngắn nhất.
5.5Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x + 3 có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của M
của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt trục Ox, Oy lần lượt
tại A và B sao cho OA = 2011OB , với O là gốc tọa độ.

trang 16


PHẦN C . KẾT LUẬN
Qua đề tài “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện
cho trước”. Nhằm hệ thống lại một số dạng toán tìm tọa độ tiếp điểm, làm cơ sở để giải
bài toán tiếp tuyến trong chương trình THPT khi biết một số điều kiều kiện nào đó cho
trước như đã nêu trong chuyên đề.
Đây cũng là tài liệu nhằm giúp cho học sinh khối 12 chuẩn bị cho các kỳ thi tốt
nghiệp, đại học cao đẳng sắp đến.
Trong khi viết chuyên đề này, tôi chân thành cám ơn quý thầy cô giáo trong tổ đã
đóng góp nhiều ý kiến giúp đỡ để chuyên đề được hoàn thành. Rất mong quý thầy cô
trong tổ và đồng nghiệp có nhiều ý kiến hơn nữa, để chuyên đề lần sau tôi viết tốt hơn.
Chân thành cám ơn!
Vinh Xuân, ngày 29 tháng 03 năm 2014
Người thực hiện

Đỗ Văn Sơn

trang 17


PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TRƯỜNG THPT VINH XUÂN
(Chủ tịch HĐ xếp loại, ký và đóng dấu)

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Xếp loại: ……………………………………………………………………
Vinh Xuân, ngày …..tháng ..….năm …..…
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

trang 18