Khối cầu nội, ngoại tiếp khối đa diện

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 3.5 Khối cầu: Một số bài toán liên quan mặt cầu nội, ngoại tiếp các khối đa
diện.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2H2-3.5-3] [THPT Hà Huy Tập] Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1,
SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng 60° . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S . ABC bằng bao nhiêu?
43π
43π
43π
4π a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
12
36
16
Hướng dẫn giải
Chọn B.

.
3
3
, AG =
.
2
3
G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Dựng đường thẳng ∆ qua G và vuông góc mặt
phẳng ( ABC ). Suy ra ∆ là trục đường tròn ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
Gọi J là trung điểm SA . Trong mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng SA và ∆ kẻ đường
thẳng trung trực của đoạn SA cắt ∆ tại I . I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC .
·
= 60° .
(·( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA
Ta có: AM =

·
Tam giác SAM vuông tại A : tan SMA
=
JA =

SA
3
3
⇒ SA =
. 3= .
AM
2
2

SA 3
= .
2 4

∆IAG vuông tại J : R = IA = IG 2 + AG 2 = JA2 + AG 2 =

9 1
129
.
+ =
16 3
12

129 43π
=
.
144 12
[2H2-3.5-3] [THPT Hà Huy Tập] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật,
S = 4πR 2 = 4π

Câu 2.

AB = 2a, BC = a, hình chiếu của S lên ( ABCD ) là trung điểm H của AD , SH = a 3 . Diện
2
S
.
ABCD
tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
bằng bao nhiêu?

A.

4π a 2
.
3

B.

4π a 3
.
3

16π a 2
.
3
Hướng dẫn giải
C.

D.

16π a 2
.
9

Chọn C.

TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
2
2
a
, SA = SD = SH 2 + HD 2 = 3a + a = a. .
2
4
4
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD . Dựng đường thẳng ∆ qua O và vuông góc mặt phẳng

Ta có: HD =

( ABCD ) . Suy ra ∆

là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD .
Tam giác SAD đều cạnh bằng a .
Gọi G là trọng tâm tam giác SAD . Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD cắt ∆ tại I . .
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD . SG =
R = IS = IG 2 + SG 2 = a 2 +

2
a 3
, IG = HO = a .
SH =
3
3

a 2 2 3a
.
=
3
3

2

 2 3a  16πa 2
Vậy S = 4πR = 4π 
.
 3 ÷
÷ = 3


2

Câu 3.

[2H2-3.5-3] [THPT chuyên ĐHKH Huế] Cho tứ diện ABCD . Có bao nhiêu mặt cầu tiếp
xúc với các mặt của tứ diện.
A. Vô số.
B. 4.
C. 5.
D. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
Khi đó I cách đều các mặt ( ABC ) , ( ACD ) nên I nằm trên mặt phẳng ( P1) là phân giác của
hai mặt phẳng ( ABC ) , ( ACD ) .

Tương tự.
 I nằm trên mặt phẳng ( P2 ) là phân giác của hai mặt phẳng ( ABC ) , ( ABD ) .
 I nằm trên mặt phẳng ( P3 ) là phân giác của hai mặt phẳng ( ABC ) , ( BCD ) .
Gọi d là giao tuyến của ( P1) và ( P2 ) và I là giao điểm của d và ( P3 ) .
Điểm I tồn tại và duy nhất.

Câu 4.

[2H2-3.5-3] [BTN 169] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
SA = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) . Kẻ AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD . Mặt phẳng

( AHK )
A.

cắt SC tại E . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCDEHK .

8 2 3
a .
3

B.

2 3
a .
3

2 3
πa .
3
Hướng dẫn giải

C.

D.

8 2 3
πa .
3

Chọn C.
TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
B, D nhìn AC dưới một góc 90° .
AD 2
a2
a
=
=
; SC = SA2 + AC 2 = a 6 .
SD a 5
5
1
1
1
2a

+
=
⇒ AK =
( 1) .
Ta có:
2
2
2
SA
AD
AK
5
SD = a 5; KD =

SC 2 = SD 2 + CD 2 ⇒ tam giác SCD vuông tại D .
Khi đó tam giác KDC vuông tại D .
⇒ KC = CD 2 + KD 2 =

a 6
.
5

Ta có: AK 2 + KC 2 = AC 2 . Vậy ·AKC = 90° .
Tương tự ·AHC = 900 .
Vậy AC chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK .
a
AC = a 2 ⇒ OA =
.
2
4

4 a3
2 3
V = π OA3 = π
=
πa .
3
3 2 2
3
Câu 5.

[2H2-3.5-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam
giác vuông tại A . Biết rằng AB = AA′ = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC . Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA′B′C ′ bằng.
A.

a 5
.
2

B.

a 2
.
2

C. a .

D.

a 3

.
2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1:
Ta có BC = AC 2 + AB2 = a 5 .
Gọi I là trung điểm của B′C ′ , suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A′B′C ′ .
Gọi O là trung điểm của A′C ′ .
Tam giác MA′C ′ vuông cân tại M . Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp D MA′C ′ .
OI ⊥ A′C ′ ( OI P A′B′ )
⇒ OI ⊥ ( ACC ′A′ ) .
Ta có 
OI
⊥
MO

Suy ra OI là trục của tam giác MA′C ′ .
Suy ra IA′ = IC ′ = IM = IB ′ .
TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

1
1
a 5
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tự diện MA′B′C ′ bán kính R = B′C ′ = BC =

.
2
2
2
Cách 2:

.
Do tam giác ∆A ' B ' C ' vuông tại A ' nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆A ' B ' C ' là trung
điểm O1 của đoạn B ' C ' . Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh MC ' cắt O1E tại O suy ra O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M . A ' B ' C ' . Dựng O1H song song với B ' A ' suy ra tứ giác
MHO1E là hình chữ nhật.
Ta có: MO 2 = ME 2 + OE 2 .

(

MO 2 = ME 2 + ( EO1 − OO1 ) = ME 2 + EO1 − MO 2 − O1B '2
2

a2 
5a 2
⇔ MO 2 =
+  a − MO 2 −
4 
4
Câu 6.

)

2

.

2


a 5
.
÷ ⇒ MO =
÷
2


[2H2-3.5-3] [Cụm 1 HCM] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
1 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Hỏi
bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD bằng bao nhiêu?
1
7
21
11
A. R =
.
B. R =
.
C. R =
.
D. R =
.
3
4
6

4
Hướng dẫn giải
Chọn B.

.
Gọi O là tâm của đáy, ∆ là trục của đáy ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và d là
trục của mặt bên SAB .
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD . Ta có I là giao điểm của ∆ và d .
2

2
AD   AB 3 
1 1
21

Ta có R = IS = IG + SG = 
.
=
+ =
÷
÷ + 
÷
4 3
6
 2   3 
2

2

TRANG 4

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 7.

PHƯƠNG PHÁP

[2H2-3.5-3] [208-BTN] Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Gọi V1 , V2 , V3
lần lượt là thể tích của khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập
phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tính giá trị P =
A. P =

2 3
.
3

B. P =

V1 + V2
.
V3

4 3
.
9

C. P =

3

.
3

D. P =

4 3
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.

.
 Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng đáy bằng

a 2
và chiều cao bằng a
2

2

a 2
π a3
nên có thể tích V1 = π 
÷
÷ .a = 2 .
 2 
3

 Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính bằng

a
4
a
π a3
nên có thể tích V2 = π  ÷ =
.
2
3 2
6

 Khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng

a 3
.
2

3

4  a 3  π a3 3
nên có thể tích V3 = π 
.
÷ =
3  2 ÷
2

V1 + V2 2π a 3 π a 3 3 4 3
2π a 3
=
:

=
Từ đó suy ra V1 + V2 =
. Vậy P =
.
V3
3
2
9
3
Câu 8.

[2H2-3.5-3] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ] Cho hình chóp S . ABCD có đáy hình vuông cạnh
1, tam giác SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi M , N
lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
S .CMN .
A. R =

93
.
12

B. R =

37
.
6

C. R =

29

.
8

D. R =

5 3
.
12

Hướng dẫn giải
Chọn A.

TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.

Gọi O là trung điểm AD . Khi đó, SO vuông góc với ( ABCD ) .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:

3
1

1

1 1 

O ( 0;0;0 ) , D  ;0;0 ÷, M ( 0;1;0 ) , C  ;1;0 ÷, N  ; ;0 ÷ , S  0;0;
÷.
2 ÷
2

2

2 2 


Gọi ( S ) là phương trình mặt cầu đi qua S , M , N , C . Ta có hệ phương trình:

Câu 9.

1

a=
3

4
 4 − 3c + d = 0

3

b =
1 − 2b + d = 0

4
nên R = a 2 + b 2 + c 2 − d = 93 .
⇔

5
12
 4 − a − 2b + d = 0
c = 5 3


12
1 − a − b + d = 0

 2
d = 1

2
[2H2-3.5-3] [THPT Nguyễn Chí Thanh - Khánh Hòa] Cho hình chóp SABCD có tất cả các
cạnh đều bằng a . Xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD .
a
a 3
a 2
a 4
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
2
2
2
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi O = AC ∩ BD .
Ta có ABCD là hình vuông nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD . Nên ta có
a 2
.
OA = OB = OC = OD =
2
a 2
Mặt khác, ta có ∆SAC vuông cân tại S nên SO =
. Vậy O cách đều 4 điểm A, B, C , D, O
2
a 2
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD , bán kính R = OA =
.
2

Câu 10. [2H2-3.5-3] [THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa] Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là
các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo. a .
11 2
5 2
4 2
A. π a .
B. π a .
C. π a .
D. 2π a 2 .
3
3
3

Hướng dẫn giải
TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Chọn B.

.
Gọi H , F lầm lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ABD .
Gọi E là trung điểm của AB và G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thì HEFG là
1
1a 3 a 3
hình vuông có cạnh là HE = CE = GF =
.
=
3
3 2
6
Bán kính của mặt cầu là R = GD = GF 2 + FD 2 =
Khi đó diện tích của mặt cầu là S = 4π R 2 = 4π

a2 a2
5a 2 a 15
.
+
=
=

12 3
12
6

15a 2 5π a 2
.
=
36
3

Câu 11. [2H2-3.5-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05] Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c
và 3 cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Xác định bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A.

a2 + b2 + c2 .
4

B.

a2 + b2 + c2 .
2

C.

2

2

2

a +b +c .

D.

a2 + b2 + c2 .
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi H là trung điểm của BC , gọi I là trung điểm của SA ..
Vẽ ∆ đi qua H và vuông góc ( SBC ) . .
Vẽ đường trung trực d của SA cắt ∆ tại O. Ta có OA = OB = OC = OS .. .

R = OI 2 + AI 2 =

a 2 + b2 + c2 .
2

Câu 12. [2H2-3.5-3] [TTGDTX Nha Trang - Khánh Hòa] Cho hình chóp S . ABC , có SA vuông góc mặt
phẳng ( ABC ) ; tam giác ABC vuông tại B . Biết SA = 2a , AB = a , BC = a 3 . Khi đó bán kính
R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là.
A. a .

B. a 2 .

C. 2a .

D. 2a 2 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.
TRANG 7


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
Ta có: SAC và SBC là hai tam giác vuông tại A và B .
SC
Nên tâm mặt cầu là I trung điểm SC ⇒ R =
.
2
Có AC = AB 2 + BC 2 = 2a , SA = 2a ⇒ SC = 2a 2 ⇒ R = a 2 .
Câu 13. [2H2-3.5-3] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Cho hình chóp S . ABC , SA ^ ( ABC ) . Tam giác ABC
vuông tại A , SA = BC = 2a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

A. a 2 .

B. a 2 .
2

C. a .

D. 2a .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi M là trung điểm BC . Gọi D là đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( ABC ) . Khi đó, D là

trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( 1) .
Gọi N là trung điểm SA , dựng đường thẳng đi qua N song song với AM và cắt D tại I . Khi đó,
NI là đường trung trực của đoạn SA ( 2) .

.
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra IA = IB = IC = ID hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC , bán
kính mặt cầu ngoại tiếp là.

IA = NA2 + AM 2 =

SA2 BC 2
+
= a2 +a2 = a 2 .
4
4

Câu 14. [2H2-3.5-3] [THPT Nguyễn Thái Học(K.H)] Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC = 4 ,
đường cao SH = 3 Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
7
8
A. r = .
B. r = 3 .
C. r = 2 .
D. r = .
3
3
TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì SH là đường cao của hình chóp và SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆ABC .
Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là giao điểm của SH và mặt phẳng trung
trực cạnh SA .

.
cos ·ASH =

SJ SH
SA2 8
=
⇒ SI =
= .
SI SA
2 SH 3

Câu 15. [2H2-3.5-3] [BTN 165] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
BA = BC = 3 . Cạnh bên SA = 6 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp là?
A.

3 6
.
2

B.

3 2
.
2

D. 9 .

C. 3 6 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
Gọi M là trung điểm AC , suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Gọi I là trung điểm SC , suy ra IM // SA nên IM ⊥ ( ABC ) .
Do đó IM là trục của ∆ABC suy ra IA = IB = IC (1).
Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS = IC = IA (2).
Từ (1) và (2), ta có IS = IA = IB = IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
SC
SA2 + AC 2 3 6
=
=
..
2
2
2
Câu 16. [2H2-3.5-3] [THPT Chuyên NBK(QN)] Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng x . Mặt cầu tiếp
xúc với 6 cạnh của tứ diện đều ABCD có bán kính bằng.
3x 2
3x 2
3x 2

x 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
6
4
4
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vậy bán kính R = IS =

A

M
I

B

D
H

C

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD suy ra AH ⊥ ( BCD ) .

.

TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Mặt trung trực của AB cắt AH tại I suy ra IA = IB = IC = ID hay I là tâm của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD .
Vì ABCD là tứ diện đều nên tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng chính là tâm của mặt
cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện. Suy ra bán kính mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện là
d ( I , AB ) = IM ( M là trung điểm của AB ).
x x 3
.
AM .HB
x 2
2 3
⇒
MI
=
=
=
Do ∆AMI và ∆AHB đồng dạng
.
2
AH
4

3x
2
x −
9
Câu 17. [2H2-3.5-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1,
·
BAD
= 60°, ( SCD ) và ( SAD ) cùng vuông góc với ( ABCD ) , SC tạo với ( ABCD ) góc 45°. Tính
thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC. .

A.

8π
.
3

B.

4π
.
3

C. 2π .

D.

2π
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.

.

( SCD ) ⊥ ( ABCD )

⇒ SD ⊥ ( ABCD ) .
( SAD ) ⊥ ( ABCD )

( SCD ) ∩ ( SAD ) = SD
Hình chiếu của SC lên ( ABCD ) là CD .
· , ( ABCD )  = SCD
·
⇒  SC
= 450 .


⇒ SD = CD.tan 45° = 1 .
·
Tam giác ABD có AB = AD = 1 , BAD
= 60° .
Nên tam giác ABD là tam giác đều.
Ta có : DA = DB = DC = DS = 1 .

4
4
3
Nên D là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC . Khi đó V = π R = π .
3

3
Câu 18. [2H2-3.5-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam
giác vuông tại A . Biết rằng AB = AA′ = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC . Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA′B′C ′ bằng.
A.

a 5
.
2

B.

a 2
.
2

C. a .

D.

a 3
.
2

Hướng dẫn giải
TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Chọn A.
Cách 1:
Ta có BC = AC 2 + AB2 = a 5 .
Gọi I là trung điểm của B′C ′ , suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A′B′C ′ .
Gọi O là trung điểm của A′C ′ .
Tam giác MA′C ′ vuông cân tại M . Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp D MA′C ′ .
OI ⊥ A′C ′ ( OI P A′B′ )
⇒ OI ⊥ ( ACC ′A′ ) .
Ta có 
OI ⊥ MO
Suy ra OI là trục của tam giác MA′C ′ .
Suy ra IA′ = IC ′ = IM = IB′ .
1
1
a 5
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tự diện MA′B′C ′ bán kính R = B′C ′ = BC =
.
2
2
2
Cách 2:

.
Do tam giác ∆A ' B ' C ' vuông tại A ' nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆A ' B ' C ' là trung
điểm O1 của đoạn B ' C ' . Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh MC ' cắt O1E tại O suy ra O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M . A ' B ' C ' . Dựng O1H song song với B ' A ' suy ra tứ giác
MHO1E là hình chữ nhật.
Ta có: MO 2 = ME 2 + OE 2 .

(

MO 2 = ME 2 + ( EO1 − OO1 ) = ME 2 + EO1 − MO 2 − O1B '2
2

a2 
5a 2
⇔ MO 2 =
+  a − MO 2 −
4 
4

)

2

.

2


a 5
.
÷ ⇒ MO =
÷
2


Câu 19. [2H2-3.5-3] [Cụm 1 HCM] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng

1 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Hỏi
bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD bằng bao nhiêu?
1
7
21
11
A. R =
.
B. R =
.
C. R =
.
D. R =
.
3
4
6
4
Hướng dẫn giải
Chọn B.

TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.

Gọi O là tâm của đáy, ∆ là trục của đáy ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và d là
trục của mặt bên SAB .
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD . Ta có I là giao điểm của ∆ và d .
2

2
AD   AB 3 
1 1
21
Ta có R = IS = IG + SG = 
.
=
+
=
÷
÷ + 
4
3
6
 2   3 ÷

2

2

Câu 20. [2H2-3.5-3] [BTN 169] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
SA = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) . Kẻ AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD . Mặt phẳng

( AHK )
A.

cắt SC tại E . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCDEHK .

8 2 3
a .
3

B.

2 3
a .
3

2 3
πa .
3
Hướng dẫn giải
C.

D.

8 2 3
πa .
3

Chọn C.

.
B, D nhìn AC dưới một góc 90° .
AD 2

a2
a
=
=
; SC = SA2 + AC 2 = a 6 .
SD a 5
5
1
1
1
2a
+
=
⇒ AK =
( 1) .
Ta có:
2
2
2
SA
AD
AK
5
SD = a 5; KD =

SC 2 = SD 2 + CD 2 ⇒ tam giác SCD vuông tại D .
Khi đó tam giác KDC vuông tại D .
⇒ KC = CD 2 + KD 2 =

a 6

.
5
TRANG 12


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Ta có: AK 2 + KC 2 = AC 2 . Vậy ·AKC = 90° .
Tương tự ·AHC = 900 .
Vậy AC chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK .
a
AC = a 2 ⇒ OA =
.
2
4
4 a3
2 3
V = π OA3 = π
=
πa .
3
3 2 2
3
Câu 21. [2H2-3.5-3] [BTN 166] Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều cạnh chung
1
BC = 2 . Cho biết mặt bên ( DBC ) tạo với mặt đáy ( ABC ) góc 2α mà cos 2α = − . Hãy xác
3
định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

A. O thuộc mặt phẳng ( ADB ) .
B. O là trung điểm của BD .
C. O là trung điểm của AD .

D. O là trung điểm của AB .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Gọi M là trung điểm cạnh BC. Vì ABC và DBC là 2 tam giác đều bằng nhau nên 2 trung
a 3
truyến AM và DM cùng vuông góc với BC và AM = DM =
.
2
Trong ∆MAD :
AD 2 = AM 2 + DM 2 − 2 AM .DM .cos 2α .
3a 2
3a 2 1
⇒ AD = 2.2.
− 2.
. = 2a 2 .
4
4 3
2
2
2
Ta có: BA + BD = a + a 2 = 2a 2 = AD 2 .
⇒ ABD = 900 .
Tương tự: CA2 + CD 2 = AD 2 .
⇒ ACD = 900 .
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O là trung điểm cạnh AD .

Câu 22. [2H2-3.5-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có đáy
2a 3
ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA =
. Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính
3
bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABD. .

A. R =

a 37
.
6

B. R =

a 35
.
7

C. R =

a 39
.
7

D. R =

a 39
.
7

Hướng dẫn giải
Chọn A.

TRANG 13


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì SG ⊥ ( ABC ) . .
Do CB = CA = CD nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD .
Qua C kẻ đường thẳng d song song SG thì d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. .
Gọi I ∈ d là tâm mặt cầu cần tìm, đặt IC = x ⇒ SK = SG − x . .
Kẻ IK ⊥ SG .
2 a 3 a 3
⇒ IK = CG = AG = .
=
, SG = SA2 − AG 2 = a. .
3 2
3
a2
a
2
2
2
2

2
Ta có IS = ID ⇔ IK + SK = IC + CD ⇔
+ ( a − x ) = x2 + a2 ⇒ x = . .
3
6
a 37
Vậy tâm cầu I được xác định, bán kính mặt cầu là R = x 2 + a 2 =
..
6
Câu 23. [2H2-3.5-3] [THPT Chuyên Bình Long] Cho hình chóp S . ABC , đáy là tam giác vuông tại A
, AB = 3 , AC = 4 . SA vuông góc với đáy, SA = 2 14. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình
chóp S . ABC là.
243π
13π
A. V = 81π .
B. V =
.
C. V =
.
D. V = 36π .
2
8
Hướng dẫn giải
Chọn B.

.
Lấy H là trung điểm của BC , ta có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Do đó trục đường tròn ngoại tiếp của hình chóp S . ABC chính là đường thẳng d qua H và
vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) .

TRANG 14


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Mặt phẳng trung trực của cạnh bên SA chính là mặt phẳng đi qua trung điểm I của SA và
song song với mặt phẳng ( ABC ) . Mặt phẳng này cắt trục d tại điểm J . Ta có J là tâm mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
Nhận xét: ta có IJAH là hình chữ nhật nên JA = IH = AI + AH =
2

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là: R =

2

(

14

)

2

2

9
5
+ ÷ = .

2
2

9
.
2

3

4
4
 9  243π
Thể tích khối cầu là: V = π R 3 = ×π × ÷ =
(đvtt).
3
3
2
2
Câu 24. [2H2-3.5-3] [THPT Chuyên Bình Long] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều
có cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
5π
5 15π
5 15π
4 3π
A. V =
.
B. V =
.
C. V =

.
D. V =
.
3
18
54
27
Hướng dẫn giải
Chọn C.

.
Gọi G, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , SAB .
Dựng d , d ′ lần lượt là hai đường thẳng qua

G, K và vuông góc với

( ABC ) , ( SAB )

Dễ thấy d , d ′ đồng phẳng. Gọi I = d ∩ d ′ . Tứ giác GIKH là hình vuông.
⇒ GH =

3
3
15
.
; GC =
⇒ R = IC =
6
3
6

4 15 15 5 15π
.
⇒V = π. 3 =
3
6
54
Câu 25. [2H2-3.5-3] Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB = a, AD = 2a, góc giữa đường thẳng SC  và đáy bằng 45° . Tính theo a   thể tích V của khối cầu
ngoại tiếp hình chóp S . ABCD .

5 10π a 3
A. V =
.
3

5π a 3
B. V = 6π a .
C. V =
.
6
Hướng dẫn giải
3

10π a 3
D. V =
.
3

TRANG 15

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Chọn A.

.

Gọi O = AC ∩ BD và I là trung điểm SC .
Khi đó OI là trục của hình chữ nhật ABCD nên IA = IB = IC = ID .
Mặt khác do và I là trung điểm SC nên IS = IC .
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD .
Do SA ⊥ ( ABCD )
nên AC là hình chiếu của SC
·
SCA
= ( SC , ( ABCD ) ) = 45° .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là R =

lên

( ABCD ) .

Vậy

1
1 AC
5a

SC = .
=
.
2
2 2 2 2

4π
Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là V =
3

3

 5a  5 10π a 3
.

÷
÷ =
3
2 2

Câu 26. [2H2-3.5-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng
1 cm có diện tích bằng.
4π
cm 2 .
A.
B. 1 cm 2 .
C. 3π cm 2 .
D. 12π 3 cm 2 .
3
Hướng dẫn giải

Chọn C.

.
Ta có.

BD = DC 2 + BC 2 = 2
DF = DB 2 + BF 2 = 3 .
1
3
R = ID = DF =
.
2
2
Suy ra S = 4π R 2 = 3π .

TRANG 16


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 27. [2H2-3.5-3] [208-BTN] Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Gọi V1 , V2 , V3
lần lượt là thể tích của khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập
phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tính giá trị P =
A. P =

2 3
.
3

B. P =

V1 + V2
.
V3

4 3
.
9

C. P =

3
.
3

D. P =

4 3
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.

.
 Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng đáy bằng

a 2

và chiều cao bằng a
2

2

a 2
π a3
nên có thể tích V1 = π 
÷
÷ .a = 2 .
 2 
3

 Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính bằng

a
4
a
π a3
nên có thể tích V2 = π  ÷ =
.
2
3 2
6

 Khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng

a 3
.
2

3

4  a 3  π a3 3
nên có thể tích V3 = π 
.
÷ =
3  2 ÷
2

V1 + V2 2π a 3 π a 3 3 4 3
2π a 3
=
:
=
Từ đó suy ra V1 + V2 =
. Vậy P =
.
V3
3
2
9
3
Câu 28. [2H2-3.5-3] [Sở GD và ĐT Long An] Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng
5 2 cm. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp trên.
A. V =

125 2 π
cm3 .
3

B. V = 100π cm3 .

C. V =

500π
cm3 .
3

D. V =

250
cm3 .
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.

TRANG 17


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.

S

M

I

B

A

E

O
D

C

Gọi M là trung điểm của SC , từ M vẽ đường thẳng vuông góc SC cắt SO tại I.
Vì I ∈ SO nên IA = IB = IC = ID .
Vì I nằm trên mặt phẳng trung trực SC nên IS = IC .
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD .
SC
5
=
cm .
Ta có: AC = AB. 2 = 10 cm ⇒ OC = 5cm ; SM =
2
2
5
.5 2
SM SO
SM .SC
2
·

=
⇒ R = SI =
=
= 5cm .
Ta có: cos MSI =
2
SI
SC
SO
2
5 2 −5

(

)

4
500
3
π cm3 .
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: V = π .5 =
3
3
.
Câu 29. [2H2-3.5-3] [TTLT ĐH Diệu Hiền] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là.
5π
4π 3
5π 15

5π 15
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
27
8
54
Hướng dẫn giải
Chọn D.

.
Dựng trục đường tròn Gx ngoại tiếp tam giác ABC .
TRANG 18


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Dựng trục đường tròn Ky ngoại tiếp tam giác SAB .
Gọi I là giao điểm Gx và Ky .
Ta có I cách đều các điểm S , A, B, C ⇒ IS = IA = IB = IC = R .
Ta có: SK =

2
2 3
3
.
SM = .
=
3
3 2
3

1
1 3
3
.
KI = MG = MC =
=
3
3 2
6
Xét tam giác SKI vuông tại K ta có:
15
.
6

R = SI = SK 2 + IK 2 =

3

4
4  15  5π 15

Vậy thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là: V = π R 3 = π 
.
÷ =
3
3  6 
54
Câu 30. [2H2-3.5-3] [THPT Hai Bà Trưng- Huế] Một mặt cầu ( S ) ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a .
Diện tích mặt cầu ( S ) là.
A.

3pa2
.
4

B. 3pa2 .

C. 6pa2 .

D.

3pa2
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.

.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD .
Trong mặt phẳng ( ABO ) dựng đường trung trực của AB cắt AO tại I . Khi đó I là tâm mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
AB 2
a2
3
R
=
IA
=
=
=a
a
2
2
2
2
Ta có: AO = AB - BO = a ,
=a
2AO
8.
2
3
3
2a
3
3 3pa2
Diện tích mặt cầu ( S ) là: S = 4pR 2 = 4pa2. =
.
8
2
2

TRANG 19