Vấn đề 3 phương trình không chứa tham số phần 1

Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

VDC PT-HPT CHỨA CĂN
VẤN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ
Mail:

2 − f ( x) = f ( x)

Câu 1.

Phương

trình

A = { 1;2;3}
có

tập

nghiệm

2.g( x) − 1 + 3 3.g( x) − 2 = 2.g( x)

nghiệm

,

phương

trình

B = { 0;3;4;5}
có tập nghiệm

.Hỏi tập nghiệm của phương trình

f ( x) − 1 + g( x) − 1 + f ( x) + g( x) = f ( x) .g( x) + 1
có bao nhiêu phần tử ?

1

A. .

B.

4

.

C.

6

.

D.

7

.

Lời giải
Tác giả :Vũ Ngọc Thành ,FB: Vũ Ngọc Thành
Chọn A



x = 1
 f ( x) ≥ 0

2 − f ( x) = f ( x) ⇔  2
⇔ f ( x) = 1⇒  x = 2
 f ( x) + f ( x) − 2 = 0
x = 3

2 ×g ( x) − 1 + 3 3.g ( x) − 2 = 2.g ( x)



(
(

) (

)

1
1
2g( x) − 1− 2 2g( x) − 1 + 1 + 3g( x) − 2 − 33 3g( x) − 2 + 2 = 0

2
3
2
2
1
1
⇔
2g( x) − 1 − 1 + 3 3g( x) − 2 + 2 3 3g( x) − 2 − 1 = 0
2
3
x = 0
 2g( x) − 1 − 1= 0

x= 3

⇔
⇔ g( x) = 1⇒ 
x = 4
 3 3g( x) − 2 − 1= 0


x = 5
⇔

) (

)(

)

f ( x) − 1 + g( x) − 1 + f ( x) + g( x) = f ( x) .g( x) + 1



Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

1


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

f ( x) − 1 + g( x) − 1 = 1− f ( x)  1− g( x) 

⇔

 f ( x) = 1
⇔
⇒ x=1
 g( x) = 1

.Vậy tập nghiệm của phương trình có 1 phần tử.

Mail:

2 − f ( x) = f ( x)

Câu 2.

Phương

trình

A = { 1;2;3}
có

tập

nghiệm

2.g( x) − 1 + 3 3.g( x) − 2 = 2.g( x)

nghiệm

,

trình

B = { 0;3;4;5}
có tập nghiệm

f ( x) .g( x) + 1=

phương

.Hỏi tập nghiệm của phương trình

f ( x) + g( x)
có bao nhiêu phần tử ?

3

A. .

B.

4

.

C.

6

.

D.

7

.

Lời giải
Tác giả :Vũ Ngọc Thành ,FB: Vũ Ngọc Thành
Chọn C



x = 1

 f ( x) ≥ 0

2 − f ( x) = f ( x) ⇔  2
⇔ f ( x) = 1⇒  x = 2
 f ( x) + f ( x) − 2 = 0
x = 3

2 ×g ( x) − 1 + 3 3.g ( x) − 2 = 2.g ( x)



(
(

) (

)

1
1
2g( x) − 1− 2 2g( x) − 1 + 1 + 3g( x) − 2 − 33 3g( x) − 2 + 2 = 0
2
3
2
2
1
1
⇔
2g( x) − 1 − 1 + 3 3g( x) − 2 + 2 3 3g( x) − 2 − 1 = 0
2

3
x = 0
 2g( x) − 1 − 1= 0

x= 3

⇔
⇔ g( x) = 1⇒ 
x = 4
 3 3g( x) − 2 − 1= 0


x = 5
⇔

) (

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

)(

)

2


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

f ( x) .g( x) + 1=

f ( x) + g( x) ⇔


x = 0

x = 1
 f ( x) = 1  x = 2
⇔
⇒
 g( x) = 1  x = 3
x = 4

 x = 5

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

)(

(

g( x) − 1 = 0

.Vậy tập nghiệm của phương trình có 6 phần tử.

Mail:

{

f ( x) = 0

Câu 3.

)

f ( x) − 1

Phương trình

}

g( x) = 0

A = m; m2; m3
có tập nghiệm

B = { 2; m+ 2;4m}
.Hỏi có bao nhiêu giá trị

, phương trình

m

có tập nghiệm

để hai phương trình tương tương ?

1

A. .

B.

3
C. .

D.

2

.

4

.

Lời giải
Tác giả :Vũ Ngọc Thành ,FB: Vũ Ngọc Thành
Chọn A
Để hai phương trình tương đương thì

 m= −1

m+ m + m = 2 + m+ 2 + 4m⇔ m + m − 4m− 4 = 0 ⇔  m= −2
 m= 2

2

Xét

Xét

Xét

Xét

A= B

m= 2

3

3

{

2

}

A = m; m2; m3 = { 2;4;8} , B = { 2; m+ 2;4m} = { 2;4;8}

ta được

m= −2

m= −1

{

}

{

}

A = m; m2; m3 = { −2;4; −8} , B = { 2; m+ 2;4m} = { 2;0; −8}

ta được
A = m; m2; m3 = { −1;1; −1} , B = { 2; m+ 2;4m} = { 2;1; −4}

ta được

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

3


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Vậy chỉ có 1 giá trị

m

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

thỏa mãn.

Mail:

y = f ( x)

Câu 4.

Hàm số

có đồ thị như hình vẽ

.Hỏi có bao nhiêu giá trị tham số
đương và tập nghiệm khác rỗng?
A.

0

m

f ( x) = 3 3m. f ( x) − 2
để phương trình

1

.

B. .

C.

2

m= 3 2m. f ( x) − 1
và

tương

3

.

D. .

Lời giải
Tác giả :Vũ Ngọc Thành ,FB: Vũ Ngọc Thành
Chọn B

Xét hệ phương trình

 y = 3 3m. y − 2 ( 1)
 y 3 = 3my − 2 ( 3)

 3
m = 3 2my − 1 ( 2 ) ⇔ m = 2my − 1 ( 4 )


y ≥ 2
y ≥ 2

(*)

Nếu hai phương trình tương đương và tập nghiệm khác rỗng thì (*) có nghiệm
y3m3 = ( 3my − 2) ( 2my − 1)

( 5)

Lấy vế nhân với giữa hai phương trình (3) và (4) ta được

t = my
Đặt

.Khi đó (5) trở thành

t3 − 6t2 + 7t − 2 = 0

t = 1;t =

Giải phương trình này ta được

5+ 17
5− 17
;t =
2
2

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

4


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Với

t=1

t=

Với

t=

Với

ta được

5+ 17
2

5− 17
2

y = 1

m= 1

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

không thỏa mãn (*)

thay vào (1) và (2) ta được

thay vào (1) và (2) ta được


 y = 3 3 17 + 11 > 2
2


3
m= 17 + 4

 ym= 5+ 17

2



−3 17 + 11
 y = 3
2


3
m= − 17 + 4

thỏa mãn (*)

ym≠

nhưng

5− 17
2

Vậy có 1giá trị m thỏa mãn.
Email:
27 x 3 + 18 x 2 − 9 x + ( 27 x 2 + 2 x − 1) 2 x − 1 − 125 = 0
Câu 5.

Cho phương trình

x=
dạng

a+ b
c

S = a+b+c

A.

S = 46

. Giả sử nghiệm của phương trình có

a, b, c
với

là các số nguyên dương và

a
c

tối giản. Tính

.

.

B.

S = 47

.

C.

S = 48

.

D.

S = 49

.

Lời giải
Tác giả : Nguyễn Văn Thanh ,Tên FB: Thanh Văn Nguyễn
Chọn B
Ta có:
27 x 3 + 18 x 2 − 9 x + ( 27 x 2 + 2 x − 1) 2 x − 1 − 125 = 0

⇔

(

)

3

2 x − 1 − 3 x = −125

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

5


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

⇔ 2 x −1 = 3x − 5

⇔x=

16 + 22
9
a = 16, b = 22, c = 9

Suy ra:
Vậy

S = 47

Email:
Câu 6.

Cho phương trình

1 1 2 1 1
1 1 2 1
1
8 x2 − +
x − +
L + x2 − +
x + x+
= 4 x3 + 5 x 2 + 5 x + 1
16 2
16 2
16 2
2
16
1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 42 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 43
2018 can

(1)
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng

A.

25 + 8 5
16

.

B.

25 − 8 5
16

.

C.

49
16

.

D. 3.

Lời giải
Tác giả :Đoàn Phú Như,Tên FB: Như Đoàn
Chọn B
4 x 3 + 5 x 2 + 5 x + 1 = ( 4 x + 1) ( x 2 + x + 1) ≥ 0 ⇒ x ≥ −
Từ phương trình (1) suy ra
1 1 2 1 1
1 1
+
x − +
L + x2 − +
16 2

16 2
16 2
1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4

(1) ⇔ 8 x 2 −

2018 can

1
4

2

1

3
2
 x + ÷ = 4 x + 5x + 5x + 1
4

4 4 4 43

Ta có
1 1 2 1 1
1
1
⇔ 8 x2 − +
x − +
L + x2 + x +
= 4 x3 + 5 x 2 + 5 x + 1

16 2
16 2
2
16
1 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 43
2017 can

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

6


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

⇔ 8 x2 +

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

1
1
1

2
x+
= 4 x3 + 5 x 2 + 5 x + 1 ⇔ 8  x + ÷ = ( 4 x + 1) ( x + x + 1)
4
2
16


1

x
=
−

4
⇔ ( 4 x + 1) ( x 2 + x − 1) = 0 ⇒ 
5 −1

 x = 2

Do đó tổng bình phương các nghiệm bằng

25 − 8 5
16

Email:

Câu 7.

Gọi

của

A.

S

S

27 x 3 − 75 x 2 + 8 x + 20 + 6 ( x + 2 ) x + 2 = 0
là tập nghiệm của phương trình

bằng

272

a+ b − c
( a, b, c ∈ N)
18

.

B.

235

. Khi đó

.

. Tổng tất cả các phần tử

a +b +c

C.

bằng

1075

.

D.

1112

.

Lời giải
Chọn D
Điều kiện :

x ≥ −2

.

2
27 x 3 − 75 x 2 + 8 x + 20 + 6 ( x + 2 ) x + 2 = 0 ⇔ ( 3 x − 2 ) ( 9 x − 19 x − 10 ) + 6 ( x + 2 ) x + 2 = 0

.

Đặt

2
2

u = 3x − 2
u = 9 x − 12 x + 4

⇒

 2
v = x + 2

v = x + 2
⇒ u 2 − 7v 2 = 9 x 2 − 19 x − 10

Phương trình trở thành
u ( u 2 − 7v 2 ) + 6v 3 = 0 ⇔ u 3 − 7uv 2 + 6v3 = 0 ⇔ u 3 − uv 2 − 6uv 2 + 6v3 = 0
⇔ u ( u 2 − v 2 ) − 6v 2 ( u − v ) = 0 ⇔ ( u − v ) ( u 2 + uv − 6v 2 ) = 0

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

7


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

u = v

⇔  u = 2v
u = −3v
⇔ ( u − v ) ( u − 2v ) ( u + 3v ) = 0


Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

( 1)
( 2)

( 3)
.

2

x ≥
( 1) ⇒ 3x − 2 = x + 2 ⇔  3
13 + 97
9 x 2 − 13 x + 2 = 0 ⇔ x =

18
2

x ≥
( 2 ) ⇒ 3x − 2 = 2 x + 2 ⇔  3
9 x 2 − 16 x − 4 = 0

⇔ x=2

.

.

2

x ≤
( 3 ) ⇒ 3 x − 2 = −3 x + 2 ⇔  3
7 − 105
9 x 2 − 21x − 14 = 0 ⇔ x =


6

Vậy


 7 − 105 13 + 97 

S =
; 2;

6
18 




Tổng các phần tử của

Suy ra

S

là

.

.

7 − 105
13 + 97 70 + 97 − 945

+2+
=
6
18
18

a = 70

b = 97
c = 945

⇒ a + b + c = 1112

.

.
Tác giả :

Bùi Thị LợiTên FB: LoiBui

Email:
3 3 x 2 + x 2 + 8 − 2 = x 2 + 15
Câu 8.

Cho phương trình:
trình. Tính
A.

S =0

.

S

. Gọi

.
B.

S =1

.

C.

S

S =2

là tổng bình phương các nghiệm thực của phương

.

D.

S =4

.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Phùng
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Tên FB: Phùng Nguyễn
8


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Chọn C
Ta dự đoán được nghiệm

3

(

3

⇔

) (

x −1 +
2

) (

x +8 −3 =

2

3 ( x 2 − 1)
3

x = ±1

x4 + 3 x2 + 1

+

, và ta viết lại phương trình như sau:

x 2 + 15 − 4

x2 − 1

=

x2 + 8 + 3

)

x2 −1
x 2 + 15 + 4


x2 = 1
⇔ 
3

1
+
=
 3 x 4 + 3 x 2 + 1
x2 + 8 + 3

( 1)
1
x 2 + 15 + 4

( 2)

( 1) ⇔ x = ±1
Phương trình

.

3

( 2)
Giải phương trình

3

. Vì

x + 3 x2 + 1
4

>0

;

x 2 + 15 > x 2 + 8 ⇒ x 2 + 15 + 4 > x 2 + 8 + 3 ⇒

1
x + 15 + 4
2

<

1
x +8 +3
2

( 2)
nên phương trình

vô nghiệm.

S = 12 + ( −1) = 2
2

x = 1, x = −1
Vậy phương trình cho có 2 nghiệm

. Suy ra

.

Gmail:

x4 + 2 x3 + 2 x 2 − 2 x + 1 = ( x3 + x )
Câu 9.

Nghiệm của phương trình

a.b

A.

1
− x ( 1)
x

a+ b
có dạng

a,b∈ ¢
với

. Tính

.

−2

.

B.

2

3
C. .

.

D.

−4

.

Tác giả: Nguyễn Ngọc Thảo –Tên FB: Nguyễn Ngọc Thảo.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện

0 < x ≤1

. Với điều kiện này khi đó

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

9


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

( 1) ⇔ ( x3 + x )

2
1
2
− x = ( x 2 + x ) + ( x − 1)
x

( x 2 + x ) + ( x − 1) > 0
2

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

x

2

Do

1
− x > 0 ⇔ 0 < x <1
x

suy ra

⇔ ( x 2 + 1) − 2 ( x − x 3 ) = ( x 2 + 1) x − x 3
2

Do đó pt ban đầu

.

a = x 2 + 1; b = x − x 3
Đặt

a > 0; b ≥ 0

với

.Khi đó pt ban đầu trở thành

 a = −b ( L )
a 2 − ab − 2b 2 = 0 ⇔ ( a + b ) ( a − 2b ) = 0 ⇔ 
 a = 2b
a = 2b ⇒ x 2 + 1 = 2 x 1 − x 2 ⇔ x 4 + 2 x 2 + 1 = 4 x ( 1 − x 2 )

Với
⇔ x 4 + 4 x3 + 2 x 2 − 4 x + 1 = 0 ⇔ ( x 2 + 2 x − 1) = 0 ⇔ x = −1 + 2
2

Vậy phương trình có nghiệm

x = −1 + 2

Email:

2x −1+
Câu 10.

( 5x + 4) ( x 2 + 2) − 8 − 1 = x

Phương trình

x=
có hai nghiệm

a , b, c , d ∈ ¥ * b
,

A. 56.

là số nguyên tố. Giá trị

S = a+b+c+d

B. 90.

(

1
a+ b ± c+d b
4

)
với

bằng:

C. 85.

D. 131.

Lời giải
Tác giả : Lê Thanh Bình,Tên FB: Lê Thanh Bình
Chọn B
2x −1+

Ta có

 x + 1 ≥ 0
2
5
x
+
4
x
+
2
−
8
−
1
=
x
⇔
(
)(
)

2
2
 2 x − 1 + ( 5 x + 4 ) ( x + 2 ) − 8 = ( x + 1)

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

10


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

 x ≥ −1
 x ≥ −1
⇔
⇔
2
2
2
2
2
 ( 5 x + 4 ) ( x + 2 ) − 8 = x + 2
( 5 x + 4 ) ( x + 2 ) − 8 = ( x + 2 ) ( 1)

( 1) ⇔ 5 x ( x 2 + 2 ) + 4 x 2 = ( x 2 + 2 ) ( 2 )
2

Ta có
Hiển nhiên

x=0

không thỏa mãn (2). Chia cả hai vế của (2) cho
2

 x2 + 2 
 x2 + 2 
5
+
4
=
÷

÷
 x 
 x 

t=
Đặt

x2 + 2
x

t=
. Ta có

x2

ta được

( 3)
x2 + 2

⇔ x 2 − tx + 2 = 0
x

(*)

⇔ ∆ = t2 − 8 ≥ 0 ⇔ t ≥ 2 2
(*) có nghiệm

(**).

Khi đó (3) trở thành
t=

Với

5 + 41
2

 5 + 41
(tháa m· n (**))
t =
2
t 2 − 5t − 4 = 0 ⇔ 
 5 − 41
( kh«ng tháa m· n (**))
t =

2

(

)

⇔ 2 x 2 − 5 + 41 x + 4 = 0 ⇔ x =
ta được phương trình

(thỏa mãn điều kiện

x ≥ −1

(

1
5 + 41 ± 34 + 10 41
4

)
x=

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

(

1
5 + 41 ± 34 + 10 41
4

)

a = 5, b = 41, c = 34, d = 10 ⇒ S = a + b + c + d = 90

Suy ra

. Chọn B

Email:

x=
Câu 11. Gọi
A. 27.

±a
b

a, b ∈ ¥ *
(

13 x 2 − x 4 + 9 x 2 + x 4 = 16

) là nghiệm của phương trình
B. 9.

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

C. 29.

. Tính

a 2 + b2

D. 7.
11

)


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Lời giải
Họ và tên: Trần Đức PhươngTên FB: Phuong Tran Duc
Chọn C
Điều kiện :

−1≤ x ≤ 1

.

(

x 2 13 1 − x 2 + 9 1 + x 2

Bình phương hai vế đã cho ta được:

)

2

= 256

.

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:

(

13 1 − x 2 + 9 1 + x 2

)

2

(

2

)

(

=  13. 13 1 − x 2 + 3 3. 3 + 3 x 2 ÷ ≤ ( 13 + 27 ) 13 − 13 x 2 + 3 + 3 x 2



(

= 40 16 − 10 x 2

)

)

Mặt khác:

(

10 x 2 16 − 10 x 2

(

x 2 13 1 − x 2 + 9 1 + x 2

Do đó:

)

2

. Suy ra:

= 64

4
±2
⇔x=
5
5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy:

4

2

≤ 256

x2 =

a = 2; b = 5

)

10 x 2 + 16 − 10 x 2 )
(
≤

.

a 2 + b2 = 29

.

Email:
x 3 ( x + 4 ) + 4 x + x 2 + 2 x + 2020 = 2 ( 1009 − 3 x 2 )
Câu 12.

Biết rằng phương trình

x = −a +
dạng

A.

901.

có một nghiệm dương duy nhất

−b + c d
e

a , b, d ∈ N c, e
trong đó

B.

902

.

,

là các số nguyên tố. Khi đó

C.

903

.

D.

a+b+c+d +e

904

bằng:

.

Tác giả : Nguyễn Trung ThànhTên FB: />Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

12


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Lời giải
Chọn D
x 3 ( x + 4 ) + 4 x + x 2 + 2 x + 2020 = 2 ( 1009 − 3 x 2 )
⇔ ( x + 1) +

( x + 1)

4

2

+ 2019 = 2019

⇔ ( x + 1) + ( x + 1) +
4

2

1
2
= ( x + 1) + 2019 −
4

2

1 
1
2
2

⇔  ( x + 1) +  =  ( x + 1) + 2019 − 
2 
2

1
1
2
2
⇔ ( x + 1) + = ( x + 1) + 2019 −
2

2

( x + 1)

2

+ 2019 +

1
4

2

⇔ ( x + 1) + ( x + 1) − 2018 = 0
4

2

⇔ ( x + 1) =
2

−1 + 3 897
2


−1 + 3 897
 x = −1 −
2
⇔


 x = −1 + −1 + 3 897

2
a = 1, b = 1, c = 3, d = 897, e = 2 ⇒ a + b + c + d + e = 904.

Vậy
Email:
Email:
4x = 2018 +
Câu 13.

1
1
1
2018 +
2018 +
2018 + x
4
4
4

Biết phương trình

a, b, c ∈ ¥

*

và

a

c

x=
có nghiệm dạng

là phân số tối giản. Tổng

A. 129186.

S= a +b+c

B. 129168.

a+ b
c

, trong đó

có giá trị bằng:

C. 129618.

D. 129681.

Lời giải
Tác giả : Nguyễn Thị ThuTên FB: Nguyễn Thị Thu
Chọn A
Từ phương trình suy ra

x>0

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

13


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

1
1
2018 +
2018 + x = u
4
4

Đặt

,

u>0

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

. Ta được hệ phương trình


1
2018 + u
4x = 2018 +


4

4u = 2018 + 1 2018 + x

4

x > u ⇒ 2018 + x > 2018 + u

+ Nếu

⇒ 4u > 4x ⇒ u > x

⇒ 4u > 4x ⇒ u > x

Vậy

Đặt

x=u

1
1
2018 + x > 2018 +
2018 + u
4
4

⇒ 2018 +

1

1
2018 + x < 2018 +
2018 + u
4
4

(mâu thuẫn)

x < u ⇒ 2018 + x < 2018 + u

+ Nếu

⇒ 2018 +

(mâu thuẫn)
4x = 2018 +

1
2018 + x
4

. Ta có phương trình

1
v=
2018 + x
4

ta được hệ phương trình

Lập luận tương tự trên ta được

x=v

4x = 2018 + v

4v = 2018 + x

. Ta được phương trình

x > 0
1 + 129153
4x = 2018 + x ⇔ 
⇔x=
2
32
16x − x − 2018 = 0
a = 1; b = 129153; c = 32

Suy ra

. Vậy

S = a + b + c = 129186

. Chọn A

Email:

16 x 2 + 6 x + 2

3x − 7 x + 6 x + 4 = 3
3
3

Câu 14.

Biết

nghiệm

a− c
b

nhỏ

nhất

( a,b,c ∈ ¥ ) , ba

của

phương

2

3

trình

có

*

tối giản. Tính giá trị của biểu thức

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

S = a 2 + b3 + c 4

.
14

dạng


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

A.

S = 2428.

B.

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

S = 2432.

C.

S = 2418.

B.

S = 2453.

Họ tên tác giả: Ngyễn Thị Phương AnhTên FB: Nguyễn Thị Phương Anh
Lời giải
Chọn B
Tập xác định

¡

.

16 x 2 + 6 x + 2
y=
3
3

Đặt

. Ta có hệ

 3 16 x 2 + 6 x + 2
 y =
3

3
2
 y = 3x − 7 x + 6 x + 4


3

Cộng (1) với (2) theo vế ta được

Xét hàm số

( 2)

3 x 3 + 9 x 2 + 12 x + 6
3
⇔ y 3 + y = ( x + 1) + x + 1
3

y3 + y =

f ( t ) = t 3 + t ,t ∈ ¡

( 1)

f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 ,∀t ∈ ¡

(3)

f

, vì

nên hàm

đồng biến trên

¡

.

( 3) ⇔ f ( y ) = f ( x + 1) ⇔ y = x + 1
Khi đó

. Thay vào (2) ta được


x = 1

2+ 7
3
2
2
3 x − 7 x + 3 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) ( 3 x − 4 x − 1) = 0 ⇔  x =
3

2− 7

 x = 3

x=

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình trên là
Vậy

S = a 2 + b3 + c 4 = 22 + 33 + 7 4 = 2432

2− 7
3

a = 2, b = 3, c = 7

suy ra

.

.
f ( t ) = t3 + t

Đối với học sinh lớp 10, ta chứng minh hàm

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

đồng biến trên

¡

như sau:

15


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

f ( t1 ) − f ( t2 )

t1 ,t2 ∈ ¡ , t1 ≠ t2
Với mọi

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

t1 − t2
, ta có

2

t3 + t − t3 − t
t  3t 2

= 1 1 2 2 = t12 + t1t2 + t22 + 1 =  t1 + 2 ÷ + 2 + 1 > 0
t1 − t2
2
4


* Cách giải khác của cô Lưu Thêm:
3 x3 − 7 x 2 + 6 x + 4 = 3 3

16 x 2 + 6 x + 2
3

16 x 2 + 6 x + 2
⇔ ( 3x − 7 x + 6 x + 4 ) + ( 16 x + 6 x + 2 ) = ( 16 x + 6 x + 2 ) + 3
3
3

2

2

2

⇔ 3 ( x 3 + 3x 2 + 4 x + 2 ) = ( 16 x 2 + 6 x + 2 ) + 3 3
⇔ ( x + 1) + x + 1 =
3

16 x 2 + 6 x + 2
3

16 x 2 + 6 x + 2 3 16 x 2 + 6 x + 2
+
3
3

f ( t ) = t 3 + t ,t ∈ ¡

(*)

f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 ,∀t ∈ ¡

Xét hàm số

, vì

( * ) ⇔ f ( x + 1) =

Khi đó

3

f

nên hàm

đồng biến trên

¡

.

 16 x 2 + 6 x + 2 
16 x 2 + 6 x + 2
f 3
÷⇔ x +1 = 3

÷
3
3




x = 1

2+ 7
3

2
2
⇔ 3 x − 7 x + 3 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) ( 3 x − 4 x − 1) = 0 ⇔  x =
3

2− 7

 x = 3
Email:
a, b

x + 2 7 - x = 2 x - 1 + - x2 + 8x - 7 + 1
Câu 15.

Phương trình

có hai nghiệm

với

a
.

[ a; b ]
Có bao nhiêu số nguyên dương thuộc
1
A. .

B.

2

.

.

3

C. .

D.

4

.

Lời giải
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

16


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Tác giả : Ngụy Như TháiTên FB: Ngụy Như Thái
Chọn B

● Điêu kiên:

( *) Û

(

x- 1

(

)

x - 1- 2 -

)(

x - 1- 2

7- x

.

( 7 - x) ( x - 1) = 0

x - 1- 2 x - 1 + 2 7 - x -

Û

Û

ìï 7 - x ³ 0
ïï
ï x - 1³ 0
Û 1£ x £ 7
í
ïï 2
ïï - x + 8x - 7 ³ 0
î

(

)

x - 1- 2 = 0

)

x - 1-

7- x = 0

é x- 1= 2
ê
Û ê
ê x - 1 = 7- x
ë
éx = 5
Û ê
êx = 4
ê

ë

.

Vậy có 2 hai số nguyên dương là 4 và 5.
Email:

x = a + b 5 ( a, b ∈ ¢ )
Câu 16.

Biết
3

là nghiệm nhỏ nhất của phương trình :

x 3 + 10 x 2 + 56 x + 66 − x = 2

A.

T =9

.

B.

(

)

x2 − 4 x − 1 + 2 .

T =8

.

Tính
C.

T = a3 + b3

T =7

.

?
D.

T = 125

.

Lời giải
Họ và tên : Đào Hữu NguyênTên FB: Đào Hữu Nguyên
Chọn C

x 2 − 4 x − 1 ≥ 0 (1)
Điều kiện :

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

17


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn
3

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

x 3 + 10 x 2 + 56 x + 66 = 2 x 2 − 4 x − 1 + 4 + x

Ta có
x2 − 4x −1 ≥ 0

Do

3

nên

x 3 + 10 x 2 + 56 x + 66 ≥ 4 + x ⇔ x 3 + 10 x 2 + 56 x + 66 ≥ 64 + 48 x + 12 x 2 + x 3

⇔ x 2 − 4 x − 1 ≤ 0 (2)
x = 2 − 5
x2 − 4x −1 = 0 ⇔ 
 x = 2 + 5
Từ (1) và (2) suy ra

Câu 17.

Biết phương trình :

8x2 − 8x + 3 = 8x 2 x2 − 3x + 1

.Vậy

T =7
x1 , x2 , x3 ( x1 < x2 < x3 )

có 3 nghiệm

.

T = x1 + ( 7 + 1) x2 + x3

?

Tính

T=
A.

5+ 7
4

T=
.

B.

3

2

.

C.

T =3

.

D.

T =8

.

Lời giải
Họ và tên : Đào Hữu NguyênTên FB: Đào Hữu Nguyên
Chọn C

2 x 2 − 3x + 1 ≥ 0
Điều kiện :
Pt ⇔ 8 x 2 − 8 x + 3 = 8 x 2 x 2 − 3 x + 1 ⇔ 4( x − 2 x 2 − 3 x + 1) 2 = (2 x − 1) 2

3± 3
x =
 2 2 x 2 − 3x + 1 = 1
4
⇔
⇔

 2 2 x 2 − 3 x + 1 = 4 x − 1 
7 −1
x =
4


T=

Vậy

3− 3
+
4

(

)

7 +1

7 −1 3 + 3
+
=3
4
4

Email:
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

18

Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

x = 2019 x −
Câu 18.

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

2019
2019
+ 1−
x
x

Phương trình

x=
có nghiệm

P=
Giá trị của biểu thức

(a + c ) 2 − b
4

2017

B.

a+ b
, a , b, c ∈ N
c

và

a
c

là phân số tối giản.

là

2018

C.

2019

D.

2020

A.
Lời giải
Tác giả : Phùng Văn ThânTên FB: Thân Phùng
Chọn C
Cách 1
x ∈ [ −1; 0 ) ∪ [ 2019; +∞ )

Điều kiện
x ∈ [ −1;0 )

Trường hợp 1:

Vế trái âm vế phải dương nên phương trình vô nghiệm.
x ∈ [ 2019; +∞ )

Trường hợp 2:
2019
1

2019 x −
= 2019  x − ÷ ≤
x
x


2019 + x −

1
x

2

Ta có

1
+ x − 2019
2019

1
x
1−
=
( x − 2019) ≤
x
x
2

2019 x −

2019
2019
+ 1−
≤x
x
x

Suy ra

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

19


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

1

2019 = x − x

2019 + 4076365
⇒x=

2
 1 = x − 2019
 x

Dấu bằng xảy ra khi
Vậy

P = 2019

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

a = 2019, b = 4076365, c = 2

ta có

chọn C

Cách 2
x ∈ [ −1; 0 ) ∪ [ 2019; +∞ )

Điều kiện
x ∈ [ −1;0 )

Trường hợp 1:

Vế trái âm vế phải dương nên phương trình vô nghiệm.
x ∈ [ 2019; +∞ )

Trường hợp 2:
Phương trình trở thành

x − 1−

2019
2019
= 2019 x −
x
x

⇒ x 2 − 2019 x − 2 x 2 − 2019 x + 1 = 0
⇔

(

)

2

x 2 − 2019 x − 1 = 0

⇔ x 2 − 2019 x = 1
⇒x=

2019 + 4076365
2

x=

Kiểm tra lại

Vậy

P = 2019

2019 + 4076365
2

a = 2019, b = 4076365, c = 2

là nghiệm phương trình. Ta có

chọn C

Email:

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

20


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn
3

Câu 19.

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

x3 + 5 x 2 − 1 =

5x 2 − 2
6

Cho biết nghiệm của phương trình

a, b ∈ ¢

x = a+ b
có dạng

với

. Khi đó giá trị

y = x 2 + ax + b
nhỏ nhất của hàm số

là

A. 16.

B. 17.

C. 18.

D. 19.

Lời giải
Tác giả : Hồ Xuân DũngTên FB: Dũng Hồ Xuân

Chọn D
3

x3 + 5x 2 − 1 =

5x2 − 2
.
6

Điều kiện xác định:

5 x 2 − 2 ≥ 0.

5x2 − 2
t=
(t ≥ 0).
6
Đặt

Ta có

5 x 2 = 6t 2 + 2

.

Phương trình đã cho trở thành
3

x 3 + 6t 2 + 2 − 1 = t ⇔ x 3 + 6t 2 + 2 = (t + 1)3

⇔ x 3 = (t − 1)3 ⇔ x = t − 1 ⇔ t = x + 1
 x ≥ −1
 x ≥ −1
5x2 − 2

⇔
= x + 1 ⇔  5x2 − 2
⇔

2
6
= ( x + 1) 2
 x + 12 x + 8 = 0

 6

⇔ x = −6 + 28

(tm đk).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

x = −6 + 28.

y = x 2 − 6x + 28 = ( x − 3) 2 + 19 ≥ 19
Khi đó
Email:

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

21


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

x =m+n p

( x + 3) − x 2 − 8 x + 48 = x − 24
Câu 20.

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình

có dạng

m, n ∈ ¢
(với

p
và

T =m+n+ p
là số nguyên tố). Tính giá trị

A.

T = 25

.

B.

.

T = 27

.

C.

T =3

.

D.

T =7

.

Lời giải
Tác giả : Nguyễn Đắc Giáp,Tên FB: Nguyễn Đắc Giáp
Chọn A
Điều kiện:

−12 ≤ x ≤ 4

.
2 ( x + 3) − x 2 − 8 x + 48 = 2 ( x − 24 )

Phương trình đã cho tương đương với
⇔ ( x 2 + 6 x + 9 ) + 2 ( x + 3) − x 2 − 8 x + 48 + ( − x 2 − 8 x + 48 ) = 9
2

⇔ ( x + 3) + − x 2 − 8 x + 48  = 9


 ( x + 3) + − x 2 − 8 x + 48 = 3
⇔
( x + 3) + − x 2 − 8 x + 48 = −3


( 1)
( 2)

x ≤ 0

x ≤ 0
⇔   x = −2 − 2 7 ⇔ x = −2 − 2 7
( 1) ⇔  2
−2 x − 8 x + 48 = 0

  x = −2 + 2 7
 x ≤ −6

 x ≤ −6
⇔   x = −5 − 31 ⇔ x = −5 − 31
( 2) ⇔  2
 −2 x − 20 x + 12 = 0


  x = −5 + 31

Nghiệm nhỏ nhất sẽ là

x = −5 − 31

(thỏa mãn).

(thỏa mãn).

m + n + p = −5 − 1 + 31 = 25

. Do đó

.

Pt_Nguyen Van Tỉnh

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

22


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

3x 2 + 3x + 1
2 x + 3 x + 12 x + 15 x + 10 −
=3
2

4

Câu 21.

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Nghiệm dương của phương trình

3

số nguyên tố, b là số tự nhiên , a là số nguyên. Tính giá trị của biểu thức

A.

T = −5

B.

T = 20

x=

2

C.

T =8

có dạng

T = a +b+c

D.

a+ b
c

với c là

.

T = −2

Lời giải

2 x 4 + 3 x 3 + 12 x 2 + 15 x + 10 = (2 x 2 + ax + 2)( x 2 + bx + 5) ⇒ a = 3; b = 0
Sử dụng cách phân tích
(2 x 2 + 3x + 2)( x 2 + 5) =

Phương trình đã cho tương đương với
⇔

(

2 x 2 + 3x + 2 − x 2 + 5

)

2

(2 x 2 + 3 x + 2) + ( x 2 + 5)
2

=0

⇔ 2 x 2 + 3x + 2 = x 2 + 5
⇔ 2 x 2 + 3x + 2 = x 2 + 5 ⇔ x 2 + 3 x − 3 = 0

.

x=

Từ đó phương trình có nghiệm dương là
Vậy

−3 + 21
2

.Suy ra

a = −3,b = 21,c = 2

T = a + b + c = 20

Email:
Câu 22.

Cho phương trình

a-

có ba nghiệm phân biệt trong đó nghiệm bé nhất được biểu thị dưới dạng

b

134

b ³ 0,a < 0, c < 3

a, b, c

c

A.

x 3 +1 = 2 3 2x - 1

với

.

là các số nguyên,

B.

132

.

. Tính giá trị của biểu thức

C.

116

.

D.

P = a 3 + b 3 + c3 ?

118

.

Lời giải
Tác giả : Nguyễn Mạnh HàTên FB: Nguyễn Mạnh Hà
Chọn B
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

23


Sn phm ln 3- Vn Dng Cao PT-HPT Cha Cn

t

t = 3 2x - 1 ị t 3 = 2x - 1

Group FB: Strong Team TON VDVDC

. Khi ú phng trỡnh ban u tr thnh

ỡù x 3 +1 = 2t
ùù
ùỡù x +1 = 2t
ộổ 1 ử2 3
ự
ùớ
ớ 3 3
2
ỳ= 0
ữ
ùù x - t = 2(t - x) ùù (x - t) ờỗ
x
+
t
+
t
+
2
ữ
ợ
ờỗ
ỳ
ữ 4
ỗ
ùù
ố
ứ

2
ờ
ỳ
ở
ỷ
ợ

ỡ 3
ùớù x +1 = 2t
ùùợ x = t

3

Ta c

ộ
ờx =1
ờ
ờ
ờ - 1+ 5
3
3
x +1 = 2x x - 2x +1 = 0 ờx =
ờ
2
ờ
ờ - 1- 5
ờx =
ờ
2

ở

x=

Nghim bộ nht ca phng trỡnh l

- 1- 5
2

a =- 1; b = 5;c = 2

, do ú

v

x2 + x3 + 8 + 4x = 0
Cõu 23.

Nghim dng ca phng trỡnh:

P = a +b
10

ca biu
A.

59218

.

P = 132

a, b Ơ *

x = a+ b
cú dng

.

, trong ú

. Tớnh giỏ tr

2

.
B.

48324

.

C.

72968

.

D.

42134

.

Tỏc gi: Trn Gia Chuõn Tờn FB: Trn gia Chuõn
Li gii

Chn A
x 2

iu kin:

Ta cú :

x2 + x3 + 8 + 4x = 0 x3 + 8 = x2 4x

u=

t

Khi ú

x + 2,

v

v = x2 2x + 4

vi

u 0,v 3

2u2 + v2 = x2 4x

2
uv = x 4x

Chia s bi: Group FB- STRONG TEAM TON VD-VDC

24


Sn phm ln 3- Vn Dng Cao PT-HPT Cha Cn

Group FB: Strong Team TON VDVDC

Phng trỡnh ban u tr thnh

u 1
2
=


u
u
2u2 + v2 = uv 2u2 + uv v2 = 0 2 ữ + 1= 0 v 2
v v
u = 1( loai )
v
x = 3+ 13

u 1
= 2u = v 4x + 8 = x2 2x + 4 x2 6x 4 = 0
v 2
x = 3 13

Vi

Vy phng trỡnh ban u cú nghim dng l

x = 3+ 13 P = a10 + b2 = 59218

.

Tỏc gi : Nguyn Vn TonTờn FB: Du Vt Hỏt
Email:
7 x2 +7 x =
Cõu 24.

Nh thy cụ gúp ý!

- m +5 n
p

4x +9
28

Bit phng trỡnh

m, n, p ẻ N * , p Ê 14.

cú mt nghim dng dng

vi

.

A = p3 - 3m3 - 5n 4
Tớnh giỏ tr biu thc

A.

A = 2017

.

.

B.

A = 2019

.

C.

A = 2016

.

D.

A = 2018

.

Li gii
Chn C

K:

9
x - .
4

a =x+
t
b=

1
2

2

ổ 1ữ
ử 7
4x +9
1ổ
1ử 1
ỗ
7x +7x =

7ỗ
x+ ữ
- =
x+ ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ+ 4
ỗ 2ứ 4
ỗ 2ứ
ố
28
7ố
2

Ta cú:

.
7a 2 -

, ta c phng trỡnh

7
1
1
=
a+
4
7

4

.

1
1
1
1
a + b2 = a + 28b 2 = 4a + 7 ( 1) ( b 0)
7
4
7
4

t

.
7
7a - = b 28a 2 = 4b + 7 ( 2)
4
2

Li cú

. T (1) v (2) ta cú h:

Chia s bi: Group FB- STRONG TEAM TON VD-VDC

ỡù 28a 2 = 4b + 7
ùớ

ị
ùù 28b 2 = 4a + 7
ợ

25