Vấn đề 3: Phương trình cổ điển

Lê Trinh Tường Tài liệu bồi dưỡng HS 11 CB&NC
VẤN ĐỀ 3
: P.T BẬC NHẤT THEO SINU & COSU
A − Tóm tắt lý thuyết :
1− Dạng chuẩn: asinu + bcosu = c (*) (trong đó a, b, c khác không và u là biểu thức của ẩn)
2− Điều kiện có nghiệm: a
2
+ b
2
≥ c
2
.
3− Phương pháp giải:
Cách 1: + Chia hai vế của phương trình cho
2 2
0a b+ ≠
+ Đặt :
2 2 2 2
cos ,sin
a b
a b a b
α α
= =
+ +
với
[ ]
0;2
α π
∈
.
Khi đó: (*) ⇔ sinu.cosα + cosu.sinα =

2 2
c
a b+
⇔
( )
2 2
sin
c
u
a b
α
+ =
+
.
Cách 2:
* Trường hợp: u =
2k
π π
+
là nghiệm của (*) thì a.sin
π
+ bcos
π
= c ⇔ −b = c
Khi đó: (*) ⇔ asinu + bcosu + b = 0 ⇔ 2a.sin
2
u
.cos
2
u

−2bcos
2
2
u
= 0 ⇔
os 0
2
tan
2
u
c
u b
a

=



= −


.
* Trường hợp: u =
2k
π π
+
không là nghiệm của (*) tức là u ≠
2k
π π
+

⇔
2 2
u
k
π
π
≠ +
Khi đó:
os 0
2
u
c ≠
, đặt: t = tan
2
u
vì sinu =
2
2
1
t
t+
và cosu =
2
2
1
1
t
t
−
+

nên phương trình (*)
chuyển về phương trình đại số theo t:
( )
2
2 0b c t at c b+ − + − =
.
MẤY ĐIỂM CẦN LƯU Ý
1) Trong cách giải 1, có thể chia hai vế của phương trình cho a hoặc b rồi đặt tan
ϕ
=
b
a
hoặc
tan
ϕ
=
a
b
.
2) Nếu cung
ϕ
không là cung đặc biệt ta có thể dùng cách giải 2 để phép tính đơn giản hơn.
3) Đối với phương trình có chứa tham số ta dùng cách giải 2.
4) Sách giáo khoa trình bày dạng đơn giản: asinx + bcosx = c
*Phương pháp giải: Sử dụng khai triển hàm bậc nhất của sin, cos để đưa phương trình về dạng:
Asin(x + ϕ) = c
⇔
sin(x + ϕ) =
c
A

.
* Điều kiện có nghiệm: -1 ≤
c
A
≤ 1
⇔
c
A
≤ 1
⇔
A
2
≥ c
2
hay a
2
+ b
2
≥ c
2
.
1
Lê Trinh Tường Tài liệu bồi dưỡng HS 11 CB&NC
B − Bài tập rèn luyện:
Bài 1) Giải các phương trình :
a)
3sinx cos 2x− =
b)
( )
sin 2 3sin 2 1

2
x x
π
π
 
+ + − =
 ÷
 

c)
3 2
2sin os
4 4 2
x c x
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
d)
2
2sin 3sin 2 3x x+ =
Bài 2) Giải các phương trình:
a)
3 os2 sin 2 2sin 2 2 2
6
c x x x
π
 
+ + − =

 ÷
 
b) 8sinx.sin2x + 6sin
os 2 5 7cos
4 4
x c x x
π π
   
+ − = +
 ÷  ÷
   
c)
2
2 3 sin os 2cos 3 1
8 8 8
x c x x
π π π
     
− − + − = +
 ÷  ÷  ÷
     
d) 1+ sinx + cosx + sinx.cosx = 0 e) 3cosx − 4sinx +
2
3
3cos 4sin 6x x
=
− −
Bài 3) Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra.
a)
cos7 3sin 7 2x x− = −

trên khoảng
2 6
;
5 7
π π
 
 ÷
 
b)
3
3sin 3 3 os9 1 4sin 3x c x x− = +
trên khoảng
( )
;
π π
−
( Áp dụng: công thức nhân 3)
c)
3 1
8sin
cos sinx
x
x
= +
trên đoạn
7
;
6 6
π π
 

 
 
. ( HD: Nhân hai vế cho sinx.cosx ≠ 0)
Một số bài tập nâng cao khác:
Bài 4) Giải các phương trình sau:
a) tanx − sin2x − cos2x + 2
1
2cos 0
cos
x
x
 
− =
 ÷
 
ĐS: x =
,
4 2
k k
π π
+ ∈ Z
b) 9sinx + 6cosx − 3sin2x + cos2x = 8 ĐS: x =
2 ,
2
k k
π
π
+ ∈ Z
c) sin2x + 2cos2x = 1 +sinx − 4cosx ĐS:
2 ,

3
x k k
π
π
= ± + ∈ Z
d)
( )
2
sin 2 3 os2 5 os 2
6
x c x c x
π
 
+ − = −
 ÷
 
ĐS: x =
7
,
12
k k
π
π
+ ∈ Z
e)
( )
4 4
4 sin os 3sin 4 2x c x x+ + =
ĐS:
4 2

,
12 2
x k
k
x k
π π
π π

= +

∈


=− +


Z
Bài 5) Cho phương trình
2
3
5 4sin
6tan
2
sinx 1 tan
x
π
α
α
 
+ −

 ÷
 
=
+
.
a) Giải phương trình khi
4
π
α
= −
ĐS:x =
2
2
k
π
ϕ π
− + +
b) Tìm
α
để phương trình có nghiệm. ĐS:
,
4 2
k k
π π
α
= + ∈ Z
2