chuyên đề hệ phương trình có chứa tham số

H ph

ng trình có ch a tham s
I-Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một
phương trình bậc hai
Khi hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai
,ta có thể rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ,khi đó trong hệ
có một phương trình một ẩn có bậc nhỏ hơn bằng hai ,phương trình này có bao
nhiêu nghiệm thì hệ có bấy nhiêu nghiệm
Đê tìm điều kiện của tham số cho hệ phương trình có tập nghiệm thoả mãn
tính chất nào đó ,ta có thể sử dụng hệ thức Viét hoặc đồ thị hàm số để tìm
x − y = 3
Bài 1 Cho hệ phương trình  2
 x − 2 xy = m − 1
A,tìm m để hệ có nghiệm
B,Tìm m để hệ có hai ngiệm(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) thoả mãn
P = x 12 + x 22 + y 12 + y 22 đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
y = x − 3
a- Hệ pt ⇔  2
x − 6x + m − 1 = 0
Hệ có nghiệm ⇔ pt (2) có nghiệm ⇔ ∆, = 10 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 10
b- Theo Viét : x1 + x 2 =6 , x 1 .x 2 =m-1 Nên
p = (x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 .x 2 +(x 1 -3) 2 +(x 2 -3) 2 =-4m+46 ≥ 6 (m ≤ 10)
⇒ p min = 6 khi m=10
3 x + 5 y = a (1)
Bài 2 Cho hệ phương trình ;  2
2
3 x + 5 y = b(2)
a-Tìm a,b để hệ có nghiệm
b-Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b ∈ [− 1,2]
c- Tìm b để hệ có nghiệm với mọi a ∈ [− 1,2]
Giải

a − 3x
thay vào (2)ta có :24x 2 -6ax+a 2 -5b=0(3) Hệ có nghiệm
a-Từ(1) ⇔ y =
5
a2
⇔ pt(3) c ó nghiệm ⇔ ∆, = −15a 2 + 120b ≥ 0 ⇔ b ≥
8
b-Không có a thoả mãn vì với b =-1 hệ không có nghiệm
a2
1
c-Hệcó nghiệm với mọi a ∈ [− 1,2] ⇔ b ≥ max ≥ ( ) mọi a ∈ [− 1,2] ⇔ b ≥
8
2
Các bài tập tương tự
x + y = m
1- Giải và biện luận h ệ phương trình :  2
2
x − y + 2x = 2


x 2 − 4 y 2 = 1
2- Cho hệ phương trình : 
ax + y = b
a-Gi ải h ệ v ới a=0,25 ,b=0,5
b- Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b
 x + ay − a = 0
3- Cho hệ phương trình  2 2
x + y − x = 0
a- Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt
nghiệm(x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 )Chứng minh rằng

2

b-hệ có hai

(x 1 -

2

x 2 ) +(y 1 -y 2 ) ≤ 1

 x 2 − xy − 2m + 1 = 0
4- Cho hệ phương trình: 
x + y = 2
a- Tìm m để hệ có hainghiệm phân biệt
b-hệcó hai nghiệm(x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 )Tìm mđể:(x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2 =4
x − y = 3
5- Cho hệ phương trình:  2
 x − 2 xy = m − 1
a- Tìm m để hệ có nghiệm
b- Tìm m để hệ có hai ngiệm(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) thoả mãn
P = x 12 + x 22 +y 1 +y 2 đạt giá trị nhỏ nhất
 x 2 + y 2 = 25
6-Tìm m để hệ cohainghiệm bằng nhau : 
mx − y + 4 − 3m = 0
2
2
a ( x + y ) + x + y = b
7- Cho hệ pt: 
có nghiệm với mọi b CMR:a=0
y − x = b

II-Hệ đối xứng loại một
Hệ hai pt hai ẩn số gọi là hệ đối xứng loại một nếu đổi chỗ vị trí hai ẩn cho
nhau thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi
Cách giải thông thường đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s 2 ≥ 4 p )Khi đó có hệ phương
trình ẩn s,p lên để tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta giải hệ tìm
được s,p theo tham số m rồi thay vào điều kiện trên giải bất phương trình tìm
được giá trị của tham số . Đôi khi sử dụng cách đặt ẩn phụ khác để đưa về hệ
đối xứng loại một ,khi đó tuỳ theo cách đặt ẩn phụ ,mà điều kiện của ẩn phụ
cũng khác nhau
Để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể giải hệ phương trình rồi sử
dụng điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất hoặc có thể lợi dụng vào tính
đối xứng của hai ẩn trong hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm
duy nhất .Sau đây là một số ví dụ minh hoạ


 x + y − xy = 1 − m
Bài1-Chohệ phương trình: 
Tìm m để hệ có nghiệm Giải
5( x + y ) − 4 xy = 4
Đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s 2 ≥ 4 p )Thay vào hệ phương trình và giải hệ ta có
s=4m ,p=5m-1
1
Hệ có nghiệm ⇔ s 2 ≥ 4 p ⇔ m ≥ 1 hoặc m ≤
4
x
+
y
+
xy

=
m

Bài 2- Chohệ phương trình:  2
Tìm m để hệ có nghiệm
2
x + y = m
Giải
s + p = m
Đặts=x+y,p=xy(điều kiện :s 2 ≥ 4 p )Khiđóhệphươngtrình:  2
s − 2 p = m
s = −1 − 3m + 1
s = −1 + 3m + 1
−1
)
⇔
hoặc 
(với m ≥
3
 p = m + 1 + 3m + 1
 p = m + 1 − 3m + 1
− 1 − 3m + 1) 2 ≥ 4(m + 1 + 3m + 1)
Hệ có nghiệm ⇔ s 2 ≥ 4 p ⇔ 
⇔ m ≥ 0 (TMĐK)
2
(−1 + 3m + 1) ≥ 4(m + 1 − 3m + 1)
 x 2 + y 2 = m
Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm :  4
 x + y 4 = 3m − 2
Giải

Đặt s=x 2 +y 2 ,p=x 2 y 2 (ĐK:s,p ≥ 0)
s = m
s = m

Khiđóhệpt ⇔  2
⇔
m 2 − 3m + 2 Hệcónghiệm
−
2
=
3
−
2
s
p
m
p
=



2
2
s ≥ 4 p
0 ≤ m ≤ 1

⇔ s ≥ 0
⇔
2 ≤ m ≤ 3 + 5
p ≥ 0


 x + y = m
Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm : 
 x − 4 + y − 1 = 4
Giải
Đặtu= x − 4 ,v= y − 1 (đK:u,v ≥ 0 ,x ≥ 4 ,y ≥ 1 )Khiđóhệpt:
u + v ≥ 0
u + v = 4
u + v = 4


⇔
 2
21 − 3m Hệcónghiệm u ≥ 0 ,v ≥ 0 ⇔ uv ≥ 0
2
u + v = 3m + 5
uv =

2
2
(u + v) ≥ 4uv
16 ≥ 2(21 − 3m)
13
⇔
⇔
≤m≤7
3
21 − 3m ≥ 0

x + y + x 2 + y 2 = 8
Bài 5- Tìm m để hệ có nghiệm : 
Giải
 xy ( x + 1)( y + 1) = m
u + v = 8
1
1
Đặtu=x(x+1),v=y(y+1)(ĐK :u ≥ , v ≥ )Khiđóhệ: 
nên u,v là nghiệm pt
4
4
uv = m
1
bậc hai: X 2 -8X +m=0 (u,v ≥ )Hệ có nghiệm khi pt này có hai nghiệm lớn hơn
4
1
bằng
⇔ Hai đồ thị hai hàm số y=x 2 -8x và y=-m cắt nhau tại hai điểm có
4
1
31
hoành độ ≥ .Nên dựa vào đồ thị ta có giá trị m thoả mãn :-16 ≤ m ≤ −
4
16
+
=
1
x
y


Bài6- Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt  3
3
 x − y = m( x − y )
Giải
x + y = 1
x + y = 1 x + y = 1
Hệpt ⇔ 
⇔
v 2
⇔

2
2
2
 x − y = 0  x + y + xy − m = 0
( x − y )( x + y + xy − m) = o
1

x = y = 2
x + y = 1

Hệ có ba nghiệm phân biệt khi 
có hai nghiệm phân biệt x
 x + y = 1
 xy = 1 − m
 xy = 1 − m

1
1
3

⇔ pt X 2 -X +1-m=0 có hai nghiệm phân biệt ≠ ⇔ ∆ = 4m − 3〉 0 ⇔ m. >
2
2
4
3
(m= ptcó nghiệm kép X=0,5)
4
 x + y + xy = 2m + 1
Bai7-Cho hệ phương trình : 
2
 xy ( x + y ) = m + m
a-CMR : hệ có nghiệm với mọi giá trị của m
b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Giải
s = m
(1)

s + p = 2m + 1
p = m +1

Đặt s=x+y , p=xy Khi đó hệ phương trình : 
⇔
2
s = m + 1
sp = m + m

( 2)
 p = m
a-Hệ (2) có mghiệm với mọi m (s 2 ≥ 4 p với mọi m)

,y ≠

b-Hệ(2)luôn có nghiệm với mọi m ,nên hệ có nghiệm thì hệ (2)có nghiệm duy
nhất ⇔ s 2 = 4 p ⇔ (m + 1) 2 = 4m ⇔ m = 1
Với m=1 hệ (1)vô nghiệm ,hệ (2)có nghiệm duy nhất.Vậy m=1


Chú ý : Khi hệ pt tương đương với nhiều hệ khác thì ĐK cần để hệ có nghiệm
duy nhất là một trong các hệ đó có nghiệm duy nhất ,từ đó tìm được ĐK của
tham số ,thay giá trị của tham số tìm được vào hệ rồi giải hệ kiểm tra điều kiện
đủ
 x + y = xy + 1
Bài8-Tìm mđể hệ pt  2
có nghiệm duy nhất
 x + y 2 − 1 − m( x + y − 1) = 1
Giải
* Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x)cũng là nghiệm của hệ pt nên hệ có nghiệm
duy nhất thì x=y, thay vào hệ pt giải ra ta có x=y=1và m=0
 x + y = xy + 1
* Với m=0 hệ pt :  2
 x + y 2 − 1 = 1
 x + y = 0
(VN )

xy
=
−
1
 x + y − xy = 1
 x + y − xy = 1


⇔ 2
⇔
Vậy :m=0
⇔
2
2
 x + y = 2
+
=
2
x
y
(
x
+
y
)
−
2
xy
=
2
x = 1



⇔
 xy = 1
y = 1

Chú ý : Để tìm điêu kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể biến đổi hệ về
dạng đơn giản hơn rồi tìm điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất Hoặc
lợi dụng tính đối xứng của hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có
nghiệm duy nhất
`Bài tập
x + y = m + 1
1-cho hệ pt :  2
2
2
 x y + xy = 2m − m − 3
a-Giải hệ pt khi m=3
b-CMR :Hệ pt có nghiệm với mọi m
 x + xy + y = m + 1
2- Cho hệ pt :  2
2
 x y + xy = m
a-Giải hệ pt khi m=2
b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x>0,y>0
 x 2 + y 2 + xy = m + 6
3- Cho hệ pt : 
2 x + xy + 2 y = m
a- Giải hệ khi m=-3
b- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
 x + y = 2m − 1
4- Tìm m để hệ :  2
có ngiệm(x,y)saocho:p= xy đạt giá trị nhỏ
2
2
 x + y = m + 2m − 3
nhất

 x 2 + y 2 = 2 + 2m
5- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt : 
( x + y ) 2 = 4


x + y = m
6- Cho hệ pt :  2
a- Giải hệ khi m=2
2
2
x + y = 6 − m
b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho F=xy+2x+2y đạt giá trị nhỏ nhất
 xy ( x + 2)( y + 2) = 5m − 6
7- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :  2
2
 x + y + 2 x + 2 y = 2m
 x + y + xy = m
8- Tìm m để hệ :  2
có 4 nghiệm phân biệt
2
x
+
y
=
3
−
2
m

 x + y + xy = m

9- Giải biện luận hệ pt:  2
2
 x + y = 3 − 2m
 x + y − xy = m
10-Tìm m để hệ có nghiệm : 
 x + y = m

III-Hệ đối xứng loại hai
+Hệ hai pt có hai ẩn gọi là hệ đối xứng loại hai nếu đổi chỗ ẩn x và y cho nhau
thì pt này của hệ chuyển thành pt kia và ngược lại
+Cách giải :Trừ từng vế của hai pt ,khi đó ta được pt tích dạng (x-y)f(x,y)=0 dựa
vào pt này có thể giải được hệ
+Để tìm ĐK cho hệ có nghiệm duy nhất cách làm như hệ đối xứng loại một
2
 x = 3 x + my
Bài1-Chohệpt:  2
Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt
 y = 3 y + mx
Giải
x − y = 0
Trừ hai vế của của hai pt ta có :  2
 x = 3 x + my
 y ( y − 3 − m) = 0
x = y = 0
⇔
⇔ 
Hệ có hai nghiệm phân biệt
x = y
x = y = 3 + m
⇔ m+3 ≠ 0 ⇔ m ≠ −3

 x 2 − 2 y 2 = mx + y
Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất  2
 y − 2 x 2 = my + x
Giải
Trừ hai vế của hai pt,ta có hệ:
( x − y )(3 x + 3 y − m + 1) = 0
x = y
3 x + 3 y − m + 1 = 0
⇔ 2
(1) hoặc  2
( 2)
 2
2
2
2
x
−
2
y
=
mx
+
y
y
−
2
x
=
my
+

x
y
−
2
x
=
my
+
x



Giải hệ (1) ta có x=y=0 v x=y=-m-1 Nên hệ có nghiệm duy nhất thì :-m1=0 ⇔ m = −1 khi đó hệ (2) vô nghiệm .Vậy m=-1
 xy + x 2 = m( y − 1)
Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 
 xy + y 2 = m( x − 1)
Giải


Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x) cũng là nghiệm của pt nên hệ có nghiệm duy
nhấtthì x=y thay vào hệ có pt: 2x 2 − mx + m = 0 có nghiệm duy nhất khi m=0 v
m=8
2
x = 0
y + x = 0
 xy + x = 0
Vớim=0hệlà: 
⇔
hoặc 
(hệcóvôsốnghiệm)

2
 xy + y = 0
y = 0
 x( x + y ) = 0
 xy + x 2 = 8( y − 1)
Với m=8 hệ: 
⇔ x = y = 2 (hệ có nghiệm duy nhất)
 xy + y 2 = 8( x − 1)
Vậy m=8
 1 + x + 6 − y = m
Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 
 1 + y + 6 − x = m
Giải : Đ K :-1 ≤ x, y ≤ 6
Nếu (x,y)là nghiệm của hệ thì (5-x,5-y)cũng là nghiệm của hệ nên hệ có
x = 5 − x
5
nghiệm duy nhất thì 
⇔ x=y= thay vào hệ ta có m= 14
2
y = 5 − y

Với m= 14 hệ pt:
 1 + x + 6 − y = 14
 1 + x + 6 − y = 14
⇔

 1 + y + 6 − x = 14
 1 + x + 6 − x + 1 + y + 6 − y = 2 14
Mà 1 + x + 6 − x + 1 + y + 6 − y ≤ 2 14 dấu bằng xảy ra ⇔ x=y=
mãn hệ pt)Nên hệ có nghiệm duy nhất x=y=

5
(thoả
2

5
2

Vậy m= 14
Bài5-Tìm m để hệ có nghiệm

 x + 1 + y − 2 = m

 y + 1 + x − 2 = m
Giải
ĐK :x,y ≥ 2
3
3

 x + 1 − x − 2 = y + 1 − y − 2
 x + 1 + x − 2 = y + 1 + y − 2 (1)
Hệ ⇔ 
⇔
 x + 1 + y − 2 = m

 x +1 + y − 2 = m

Hàm số f(t)=

3

nghịch biến trong khoảng (2,+ ∞ ) Nênpt(1) ⇔ x=ythay
t +1 + t − 2
vào pt kia ta có pt: x + 1 + x − 2 = m
Hệcónghiệmkhiptnàycónghiệm ⇔
Vậy: m ≥ 3

m ≥ Min ≥ ( x + 1 + x − 2 ) = 3
x≥2


 x 3 = y 2 + 7 x 2 − mx
Bài 6- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :  3
Giải
 y = x 2 + 7 y 2 − my
( x − y )( x 2 + y 2 + xy − 6( x + y ) + m) = 0
Trừ haivế của hai pt ta có:  3
⇔ x=y=0 V
 x = y 2 + 7 x 2 − mx
 x 2 + y 2 + xy − 6( x + y ) + m = 0(2)
x = y
(
I
)
V
( II )
 2
 3
 y = x 2 + 7 y 2 − my
 y − 8 y + m = 0(1)

ĐK Cần : Hệ (I)không có nghiệm duy nhất x=y=0,nên hệ pt đã cho có
nghiệm duy nhất thì hệ (I)vô nghiệm ⇔ pt (1) vô nghiệm ⇔ ∆, <0 ⇔ m >16
ĐK Đủ :Với m>16 khi đó pt (2) ⇔ y 2 + ( x − 6) y + x 2 − 6 x + m = 0 Là pt bậc hai

ẩn y có ∆ = −3( x − 2) 2 − 4(m − 12) < 0 với mọi m>16 nên pt(2) vô nghiệm ⇒ hệ
(II) vô nghiệm và hệ (I) vô nghiệm
Vậy :m>16
Bài tập
( x + 1) 2 = y + m
1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 
( y + 1) 2 = x + m

2- Tìm m để các hệ pt sau có nghiệm duy n hất
 x2 + 2 + y = m
 x + 1 − y = m + 1
 x 2 = y 3 − 4 y 2 + my

a-  2
b, 
c, 
3
 y = x − 4 x + mx
 y + 1 − x = m + 1
 y 2 + 2 + x = m
 x 2 − x − y = 2m
d,  2
 y − y − x = 2m
2 x + y − 1 = m
3-Tìm m để hệ có nghiệm : 
2 y + x − 1 = m

IV-Hệ đẳng cấp bậc hai
a x 2 + b xy + c1 y 2 = d 1 (1)
Xét hệ có dạng :  1 2 1
a 2 x + b2 xy + c 2 y 2 = d 2 (2)
Cách giải
Cách 1: + xét xem x=0 có là nghiệm của hệ pt hay không


 x 2 (a + b t + c1t 2 ) = d 1
+Với x ≠ 0 đặt y=tx thay vào hệ pt :  2 1 1
chia hai vế của hai
 x (a 2 + b2 t + c 2 t 2 ) = d 2
pt cho x 2 cân bằng hệ số vế phải của hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x
khi đó ta có pt bậc hai ẩn t,giải pt đó tìm được t
Cách 2:Cân bằng hệ số ẩn X 2 ở hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x 2 ,rút x
theo y ở pt mới thay vào pt còn lại ,quy đồng khử mẫu pt đó đưa về pt trùng
phương giải được ẩn x
Cách 3:Cân bằng hệ số tự do ở hai pt ,trừ hai vế của hai pt khử số hạng tự
dota được pt có các hạng tử đẳng cấp bậc hai với ẩn x,y
Với hệ có chứa tham số dựa vào các cách giải trên để biến đổi,song tuỳtheo
mỗi hệ mà ĐK để hệcónghiệmcũng khác nhau
2
2
 x − 4 xy + y = m(1)
Bài 1-CMR :Hệ pt sau có nghiệm với mọi m:  2
 y − 3 xy = 4(2)
Giải
Nhận xét ở pt (2) bậc nhất với ẩn x nên rút x ở pt (2) thayvào pt(1)tacó
pt:2y 4 -(40-9m)y 2 -16=0(3)Đặt t=y 2 (t ≥ 0 )

Ta có pt:2t 2 -(40-9m)t-16=0(4) pt(4) luôn có hai nghiệm trái dấu nên pt(3) luôn
có nghiệm do đó hệ luôn có nghiệm với mọi m (ĐPCM)
3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11
Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm :  2
 x + 2 xy + 3 y 2 = 17 + m
Giải
+x=0 thay vào hệ giải ra tìm được y= ± 11 ,m=16
+x ≠ 0 (haym ≠ 16 )Đặty=tx thay vào hệ :
 3t 2 + 2t + 1 17 + m
 x 2 (t 2 + 2t + 3) = 11
=

⇔  t 2 + 2t + 3
11 ⇔
 2 2
 x (3t + 2t + 1) = 17 + m
 x 2 (t 2 + 2t + 3) = 11

(m − 16)t 2 + 2(m + 6) + 3m + 40 = 0(3)
Ta có :t 2 +2t+3=(t+1) 2 +2>0 với
 2 2
 x (t + 2t + 3) = 11(4)
mọitnên hệ có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔ ∆, = 2(m 2 − 10m − 338) ≥ 0 ⇔ 5-

11 3 ≤ m ≤ 5 + 3
 x 2 + (m + 1) xy + (m + 2) y 2 = m − 1(1)
Bài 3-Tìm m để hệ :  2
có 4 nghiệm phân
 x + (m − 1) xy + (2m + 5) y 2 = m + 1(2)
biệt

Giải
(m + 3) y 2 − 2
Lấy pt (1) trừ pt (2) rồi rút x theo y ta có x=
thay
2y
vàopt(1)tacó:(3m 2 +18m + 23) y 4 -12(m+1)y 2 +4=0


Đặt t=y 2 (Đ K:t ≥ 0 )Ta có:(3m 2 +18m + 23)t 2 -12(m+1)t+4=0 (3)
Hệ có 4nghiệm phân biệt ⇔ pt(3)có2nghiệm dương phân biệt

36(m + 1) 2 − 4(3m 2 + 18m + 23) > 0

7
⇔ 3m 2 + 18m + 23 > 0
⇔m>
3

m +1
 2
>0
 3m + 18m + 23
Bài tập
 x 2 + my + y 2 = m
1-Tìm m để hệ có nghiệm :  2
 x + (m − 1) xy + my 2 = m
3 x 2 + 2 xy + y 2 = m
2-Tìm m để hệ có nghiệm :  2
 x + xy + y 2 = 2

V-Một số hệ khác
1-Hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn
Ta xét hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn mà các hạng tử chứa ẩn đều là bậc hai
,cách tìm điều kiện để hệ có nghiệm có liên quan đến việc giải hệ đẳng cấp
bậc hai
1− m
 2
2
(1)
 x + 2 xy − 7 y ≥
Ví dụ 1- Tìm m để hệ sau có nghiệm : 
m +1
3 x 3 + 10 xy − 5 y 2 ≤ −2(2)

Giải
*ĐK Cần: Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (x,y) thoả mãn hệ bất pt trên .Khi đó
nhân cả hai vế của (1) với -2 rồi cộng hai bất đẳng thức với nhau ta có:
−4
−4
⇔ ( x + 3 y) 2 ≤
⇒ m + 1 < 0 ⇒ m < −1
x 2 +6 xy + 9 y 2 ≤
m +1
m +1
1− m
2
*ĐK Đủ: Với m<-1.Ta có :
= −1 +
< −1
m +1

m +1
1− m
 2
2
 y = 0,5
 x = 1,5
 x + 2 xy − 7 y = −1 >
Xét hệ pt: 
V 
⇒ Hệ có
1+ m ⇔ 
 x = −1,5
 y = −0,5
3 x 2 + 10 xy − 5 y 2 = −2

nghiệm Vậy : m<-1
Bài tập
1- Tìm m để hệ có nghiệm
3m + 1
5 x 2 − 4 xy + 2 y 2 ≥ 3
 2
2

5 x + 7 xy + 2 y ≥
a-  2
b- 
m+2
2m − 1
2
7

x
+
4
xy
+
2
y
≤
2
2

3 x + xy + y ≤ 1
2m + 5




3 x 2 − 8 xy − 8 y 2 ≥ 2

c-  2
m +1
2
 x − 4 xy + 2 y ≤
2m + 1


2-

Sử dụng hình học

để tìm điều kiện hệ có nghiệm
Sử dụng phương pháp này ở những hệ mà trong đó mỗi phương trình hay bất
phương trình có tập nghiệm là một hình (đường thẳng, đường tròn ,elíp
,parabôl…)hoặc một đồ thị hàm số ,khi giá trị của tham số thay đổi thì các hình
đó cũng thay đổi ,dựa vào điều kiện sảy ra các vị trí tương đối của nó để biện
luận tập nghiệm của hệ .Tuỳ theo mỗi hệ ,có khi phải biến đổi mới có thể sử
dụng được phương pháp này
 x 2 + y 2 = 2(1 + a )
Bài 1- Tìm a để hệ có hai nghiệm : 
( x + y ) 2 = 4
Giải
Nếu a<-1 hệ vô nghiệm
 x 2 + y 2 = 2(1 + a )(1)
Nếu a ≥ −1 Khi đó hệ : 
Tập nghiệm của (1) là đường tròn tâm
 x + y = 2(2)
O(0,0) bán kính R= 2(1 + a) còn nghiệm của (2) là hai đường thẳng x+y-2=0 V
x+y+2=0 đối xứng nhau qua O Nên hệ có nghiệm ⇔ hai đường thẳng và đường
tròn có hai điểm chung ⇔ Hai đường thẳng cùng tiếp xúc với đường tròn ⇔
Khoảng cách từ O đến hai đường thẳng bằng bán kính của đường tròn
⇔ 2 = 2(1 + a ) ⇔ a = 0
 x 2 + ( y + 1) 2 ≤ a (1)
Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất : 
( x + 1) 2 + y 2 ≤ a (2)
Giải
Nếu a<0 hệ vô nghiệm
Nếu a ≥ 0 Khi đó nghiệm của (1) là hình tròn tâm I(0,-1)bán kính R= a và

nghiệm của (2) là hình tròn tâm J(-1,0) bán kính R= a Nên hệ có nghiệm duy
nhất ⇔ Hai hình tròn có điểm chung duy nhất ⇔ Hai hình tròn tiếp xúc ngoài

1
nhau ⇔ IJ = 2 a ⇔ 2 = = 2 a ⇔ a =
2
 x + y = 3a
Bài 3-Tìm a để hệ có nghiệm ; 
 x + 1 + y + 2 = a
Giải
Nếu a<0 hệ vô nghiệm
u + v = a (1)
Nếu a ≥ 0 đặtu= x + 1 ≥ 0 ,v= y + 1 ≥ 0 Khiđóhệ:  2
(u , v ≥ 0)
2
u + v = 3a + 3(2)
Trong hệ toạ độ nghiệm của (1)là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng
:u+v=a(d) và nghiệm của (2) là tập hợp các điểm nằm trên đường tròn tâm
O(o,o)bán kính R= 3a + 3 .Nên hệ có nghiệm
hai đường có điểm chung trong


góc phần tư thứ nhất
d(o,m) ≤ d(o,d) ≤ R (trongđóđtm:u+v= 3a + 3 )
3a + 3 ≤ a ≤ 6a + 6
Bài tập
 x + y ≤ 2
Bài 1-Tìm a để hệ có nghiệm : 
 x + y + 2 x( y − 1) + a = 2
 x + y + 2 xy + m ≥ 1
Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 
 x + y ≤ 1
log 2 2 ( x + y ) ≥ 1

(x + y )
Bài 3-Tìm m để hệ có nghiệm : 
 x + 2 y = m
 x 2 + y 2 ≤ 1 − 2 x
Bài 4-Tìm m để có nghiệm duy nhất : 
 x − y + m = 0
 x 2 + y 2 − 4 x ≤ 1
Bài 5-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 
Bài 6-Tìm m để
 x + y + m = 0
 x − 1 + y + 1 = 1
hệ sau có nhiều nghiệm nhất :  2
 x + y 2 = m 2

3-sử dụng điều kiện cần và đủ
 x + y + 2 ≥ 4
Bài 1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :  2
 x + ( y − 2) 2 ≤ m
Giải
Điều kiện cần :Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (-x,y)cũng là nghiệm của hệ Do đó
để hệcó nghiệm duy nhất thìx=-x x=0
 y ≥ 2Vy ≤ −6
 y + 2 ≥ 4
Với x=0thay vào hệ ta có : 
(II)
⇔

( y − 2) 2 ≤ m
2 − m ≤ y ≤ 2 + m
2 = 2 + m

Đểhệ(II)có nghiệm duy nhất điều kiện là: 
⇔m=0
− 6 < 2 − m
Điều kiện đủ :hệ có nghiệm duy nhất x=0,y=2
3 x − a y 2 + 1 = 1

Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 
1
= a2
x + y +
2
y + y +1

Giải
3 x − a y 2 + 1 = 1
Hệ pt
Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (x,-y) cũng là nghiệm

 x + y 2 + 1 = a 2
Nên hệ có nghiệm duy nhất thì y=-y y=0


3 x − a = 1
4
Thay y=0 vào hệ ta có 
⇒ a = −1Va =
2
3
x + 1 = a
Nếu a=-1 thay vào hệ ,giải hệ ta có hệ có nghiệm duy nhất x=y=0

Nếu a=4/3 thay vào hệ ,giải hệ => nghiệm :x=7/9,y=0
Vậy :a=-1 hoặc a=4/3
 x2 + 3 + y = a

Bài-3 Tìmađể hệ có nghiệm duy nhất 
 y 2 + 5 + x = x 2 + 5 + 3 − a
Giải
Nếu (x,y)là nghiệm thì (-x,-y)cũng là nghiệm . Nên để hệ có nghiệm duy nhất
thì x=y=0.Thay vào hệ ta có a= 3
 x 2 + 3 + y = 3 (1)

Với a= 3 ,hệ pt: 
Nhận thấy x,y ≠ 0 thì VT(1) ≥ 3
 y 2 + 5 + x = x 2 + 5 (2)
Nên (1) có nghiệm :x=y=0 thay vào (2)thoả mãn
Vây :a= 3
Bài tập
 xyz + z = a

Bài 1-Tìm a,b để hệ có nghiệm duy nhất :  xyz 2 + z = b
 2
2
2
x + y + z = 4
x 2 + y 2 = z
Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 
x + y + z = a
2
 x + y = 1
Bài 3- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 

 y + 1 = ax 2 + a
2 x + x = y + x 2 + m
Bài 4-Cho hệ pt: 
 y 2 + x 2 = 1
a-Giải hệ với m=2
b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
a ( x + 1) = cos x + y
Bài 5-Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 
2
 sin x + y = 1