RÈN kĩ NĂNG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM 10 PHẦN đại số demo 28 trang (1)

MỤC LỤC
Chương I. Mệnh đề - tập hợp.................................................................................................3
A. Tóm tắt lí thuyết............................................................................................................3
B. Bài tập............................................................................................................................7


CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
A. Tóm tắt lí thuyết
I. Mệnh đề
1. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến.
a. Mệnh đề. Mỗi mệnh đề là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề không
thể vừa đúng, vừa sai.
Ví dụ:

+ Mệnh đề: “Số 4 là số chẵn” hoặc “Số 3 là số vô tỷ”.
+ Không là mệnh đề: Số 4 là số chẵn phải không?

b. Mệnh đề chứa biến.
Mệnh đề chứa biến là một câu chứa biến, với mỗi giá trị của biến thuộc một tập nào đó, ta
được một mệnh đề. Ví dụ: x − 3 = 7 là một mệnh đề chứa biến. Với x = 10 cho ta mệnh đề
đúng, với x ≠ 10 cho ta mệnh đề sai.
2. Phủ định của 1 mệnh đề.
Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P . Lúc đó, P đúng khi P sai, P sai khi P
đúng.
Ví dụ:

Cho mệnh đề P: “3 là một số nguyên tố”
Mệnh đề phủ định P : “3 không phải là số nguyên tố”

3. Mệnh đề kéo theo.

Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu
P ⇒ Q . Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Các định lí toán học là những mệnh
đề đúng và thường có dạng P ⇒ Q . Khi đó, ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận howajc P là
điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P. Ví dụ: “Nếu n là số chẵn thì n chia
hết cho 2” là một mệnh đề kéo theo.
4. Mệnh đề đảo - hai mệnh đề tương đương.
Mệnh đề đảo: Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q .
Mệnh đề tương đương: Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng ta nói P và Q là
hai mệnh đề tương đương. Kí hiệu: P ⇔ Q . Đọc là: P tương đương Q hoặc P là điều kiện
cần và đủ để có Q hoặc P khi và chỉ khi Q. Mệnh đề tương đương chỉ đúng khi cả hai cùng
đúng hoặc cùng sai.
5. Mệnh đề phủ định của các mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃
Dạng phủ định: ∀x ∈ X, P ( x ) = ∃x ∈ X,P ( x )
Dạng phủ định: ∃x ∈ X, P ( x ) = ∀x ∈ X,P ( x )
II. Tập hợp


1. Tập hợp và phần tử
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
Phần tử a nằm trong tập hợp A, kí hiệu a ∈ A ; phần tử a không nằm trong tập hợp A, kí
hiệu a ∉ A .
2. Cách xác định tập hợp
- Liệt kê các phần tử của nó
- Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của nó.
Minh họa tập hợp bằng biểu đồ Ven
3. Tập hợp rỗng: Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu là ∅ .
Nếu một tập hợp A ≠ ∅ ⇔ ∃x : x ∈ A .
4. Tập hợp con: Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói tập
hợp A là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu A ⊂ B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) .
Nếu A không là tập con của B, ta viết A ⊄ B .

Tính chất: a) A ⊂ A, ∀A .
b) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C .
c) ∅ ⊂ A, ∀A .
5. Tập hợp bằng nhau: Khi A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói tập hợp A bằng tập hợp B, kí hiệu
A = B . Vậy A = B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) .
III. Phép toán trên tập hợp
1. Giao của hai tập hợp: Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm các phần tử có
trong A và trong B, kí hiệu:
x ∈ A
A ∩ B = { x | x ∈ A vµ x ∈ B} hay x ∈ A ∩ B ⇔ 
x ∈ B
Có thể mở rộng cho giao của nhiều tập hợp.
2. Hợp của hai tập hợp: Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm các phần tử có
trong A hoặc trong B, kí hiệu:
x ∈ A
A ∪ B = { x | x ∈ A hoÆ
c x ∈ B} hay x ∈ A ∪ B ⇔ 
x ∈ B
Hợp của hai tập hợp có thể mở rộng cho hợp của nhiều tập hợp.
3. Hiệu và phần bù của hai tập hợp
Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm các phần tử có trong A và không có trong
B, kí hiệu:
A \ B = { x | x ∈ A vµ x ∉ B}


x ∈ A
Vậy với x ∈ A \ B ⇔ 
x ∉ B
Khi B ⊂ A thì A \ B được gọi là phần bù của B
trong A, kí hiệu C A B

IV. Các tập hợp số
1. Tập hợp các số tự nhiên
Tập hợp các số tự nhiên, kí hiệu ¥ = { 0,1, 2,3,...}
Tập hợp các số tự nhiên dương, kí hiệu: ¥ * = { 1, 2,3,...}
2. Tập hợp các số nguyên
Tập hợp các số nguyên, kí hiệu: ¢ = { ..., −3, −2, −1, 0,1, 2,3,...}
+
Tập hợp các số nguyên dương, kí hiệu: ¢ = { 1, 2,3,...}
−
Tập hợp các số nguyên âm, kí hiệu: Z = { ...; −3; −2; −1}

3. Tập hợp các số hữu tỉ
Số hữu tỉ là số biểu diễn được dưới dạng
diễn được dưới dạng
Ví dụ:

a
b

( a, b ∈ ¢, b ≠ 0 )

a
b

( a, b ∈ ¢, b ≠ 0 ) , kí hiệu

gọi là số vô tỉ.

3

1
= 1,5 hoặc = 0, ( 3) là các số vô tỉ.
2
3

Còn các số như:

2 : 3... hay π ≈ 3,1416 … là các số vô tỉ

4. Tập hợp các số thực
Tập hợp các số thực bao gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ, kí hiệu: ¡
Trục số:

¤ . Số không biểu


5. Các tập hợp con của ¡
Kí hiệu: −∞ đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng), kí hiệu +∞ đọc là dương vô cực (hoặc
dương vô cùng)
* Khoảng: ( a; b ) = { x ∈ ¡ | a < x < b}
* Khoảng: ( a; +∞ ) = { x ∈ ¡ | a < x}
* Khoảng: ( −∞; b ) = { x ∈ ¡ | x < b}
* Đoạn: [ a; b ] = { x ∈ ¡ | a ≤ x ≤ b}
* Nửa khoảng: [ a; b ) = { x ∈ ¡ | a ≤ x < b}
* Nửa khoảng: ( a; b ] = { x ∈ ¡ | a < x ≤ b}
* Nửa khoảng: [ a; +∞ ) = { x ∈ ¡ | a ≤ x}
* Nửa khoảng: ( −∞; b ] = { x ∈ ¡ | x ≤ b}
V. Số gần đúng - Sai số
1. Số gần đúng: Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng.
2. Sai số tuyệt đối

a. Sai số tuyệt đối của một số gần đúng: Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì
∆ a = a − a được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
b. Độ chính xác của một số gần đúng:
Nếu ∆ a = a − a ≤ d thì −d ≤ a − a ≤ d hay a − d ≤ a ≤ a + d .
Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d, và qui ước viết gọn là
a = a±d.
Chú ý: Sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép đo đạc đôi khi không
phản ánh đầy đủ tính chính xác của phép đo đạc đó.
Vì thế ngoài sai số tuyệt đối ∆ a của số gần đúng a, người ta còn viết tỉ số δa =

∆a
, gọi là
a

sai số tương đối của số gần đúng a.
3. Qui tròn số gần đúng
a. Ôn tập qui tắc làm tròn số
Nếu chữ số sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi số 0.
Nếu chữ số sau hàng qui tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng
thêm 1 vào chữ số của hàng qui tròn.


b. Cách viết số qui tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước
• Cho số gần đúng a của số a . Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng
tin) nếu sai số tuyệt đối của số a không vượt quá một nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
• Cách viết chuẩn số gần đúng dưới dạng thập phân là cách viết trong đó mọi chữ số đều là
chữ số chắc. Nếu ngoài các chữ số chắc còn có những chữ số khác thì phải qui tròn đến
hàng thấp nhất có chữ số chắc.

B. Bài tập

Dạng 1: Mệnh đề - Tính đúng sai của mệnh đề
Phương pháp
+ Dựa vào khái niệm: “Mỗi mệnh đề là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai”. Câu
khẳng định đúng là mệnh đề đúng, câu khẳng định sai là mệnh đề sai
+ Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng mà Q sai
+ Mệnh đề P ⇔ Q chỉ đúng khi P và Q cùng đúng hoặc cùng sai
Câu 1. Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?
A. 3 + 2 = 7
B. 2 − 5 < 0
C. Số 0 không phải số âm, cũng không phải số dương
D. Số chẵn chia hết cho 2 nên đẹp hơn số lẻ.
Giải
Đáp án A. Là mệnh đề sai vì 3 + 2 = 5
Đáp án B. Là mệnh đề đúng
Đáp án C. Là mệnh đề đúng
Đáp án D. Là câu nhận xét nên không phải mệnh đề.
Chọn đáp án D.
Câu 2. Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề chứa biến?
A. Số 13 là số chẵn

B. 4 + x = 3

C. x + y > 1

D. Số 2x + 3 là số nguyên dương
Giải


Chọn đáp án A.
Câu 3. Cho các mệnh đề sau:

a) 1794 chia hết cho 3

b)

2 là một số hữu tỉ

c) π < 3,15

d) −125 ≤ 0

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Giải
Mệnh đề a) đúng vì tổng các chữ số của 1794 là 1 + 7 + 9 + 4 = 21 chia hết cho 3.
Mệnh đề b) sai vì

2 là số vô tỉ

Mệnh đề c) đúng vì π ≈ 3,14
Mệnh đề d) sai vì −125 = 125 > 0 .
Chọn đáp án B.
Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Số 16 là số chính phương

B. Số 31 là số nguyên tố
C. Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau
D. Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng
Giải
Đáp án A. Là mệnh đề sai
Đáp án B, C, D. Là mệnh đề chứa biến.
Chọn đáp án A.
Câu 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. 16 chia hết cho 8

B. 31 chia hết cho 62

C. 22 là bội của 11

D. 2 chia hết cho 13
Giải

Chú ý: Nếu a chia cho b mà có số dư là 0 thì ta nói a chia hết cho b hay b chia hết cho a.
Khi đó a còn được gọi là bội của b và b là ước của a. Như đáp án D, 2 chia hết cho 13 sai.
Chọn đáp án D.
Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu tam giác đều có một góc vuông thì tổng ba góc là 270°
B. Nếu x 2 < 0 thì x 2 + 1 > 0
C. Nếu 4 > 3 thì 2 > 9


D. Nếu 7 < 3 thì 10 > 2
Giải
Đáp án A. Mệnh đề có dạng P ⇒ Q với P: “tam giác đều có một góc vuông” đây là mệnh
đề sai; Q: “tổng ba gốc là 270°” đây cũng là mệnh đề sai nên P ⇒ Q là mệnh đề “sai suy

ra sai”.
Vậy mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng
Đáp án B. Tương tự đây là mệnh đề kéo theo “Sai suy ra đúng”
Nên đáp án B đúng
Đáp án C. Đây là mệnh đề kéo theo “đúng suy ra sai”
Nên đáp án C sai.
Chọn đáp án C.
Câu 8. Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. Một tam giác vuông khi và chỉ khi nó có 1 góc bằng tổng 2 góc kia
B. Một tam giác đều khi và chỉ khi nó có 2 trung tuyến bằng nhau và 1 góc bằng 60°.
C. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau
D. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông
Giải
µ =B
µ +C
µ
Đáp án A. Giả sử tam giác ABC có A
µ +B
µ +C
µ = 180° nên 2A
µ = 180° ⇒ A
µ = 90°
mà do A
µ =B
µ +C
µ .
hay tam giác ABC vuông. Ngược lại, nếu tam giác ABC vuông tại A thì suy ra A
Vậy đáp án A đúng
Đáp án B. Một tam giác đều khi và chỉ khi nó có 2 trung tuyến bằng nhau suy ra tam giác
đó cân.

Lại có: 1 góc bằng 60° nên là tam giác đều. Vậy đáp án B đúng
Đáp án C. Sai ví dụ tam giác ABC đồng dạng A 'B 'C ' và có AB = B'C ' thì không kết
luận được chúng bằng nhau.
Chọn đáp án C.
Câu 9. Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?
A. Nếu tứ giác ABCD là hình thang cân thì 2 góc đối bù nhau
B. Nếu a = b thì a.c = b.c
C. Nếu a > b thì a 2 > b 2
D. Nếu số nguyên chia hết cho 10 thì chia hết cho 5 và 2
Giải


Đáp án A. “Nếu tứ giác ABCD là hình thang cân thì 2 góc đối bù nhau” có mệnh đề đảo là
“Nếu tứ giác ABCD có 2 góc đối bù nhau thì ABCD là hình thang cân”. Mệnh đề đảo này
sai vì hình bình hành, hình thoi, … cũng có hai góc đối bù nhau
Đáp án B. “Nếu a = b thì a.c = b.c ” có mệnh đề đảo là “Nếu a.c = b.c thì a = b ”. Mệnh đề
đảo này sai vì nếu c = 0 thì a, b tùy ý
Đáp án C. “Nếu a > b thì a 2 > b 2 ” có mệnh đề đảo là “Nếu a 2 > b 2 thì a > b ”. Mệnh đề
đảo này sai khi a = −2, b = 1 .
Chọn đáp án D.
Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng
A. “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2”
B. “Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều”
C. “Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương”
D. “Hình thoi có một góc vuông thì là hình vuông”
Giải
Đáp án A. “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2” có mệnh đề đảo là “Một
số tự nhiên chia hết cho 2 thì tận cùng là 6”. Mệnh đề đảo này sai vì một số tự nhiên chia
hết cho 2 tận cùng có thể là 0, 2, 4, 6, 8.
Đáp án B. “Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều” có mệnh đề đảo là “tam

giác đều là tam giác cân có một góc bằng 60°”. Mệnh đề đảo này đúng chứng minh như
sau:
Giả sử tam giác ABC cân tại A. Xét hai trường hợp:
µ =C
µ = 120° = 60°
µ = 60° thì B
µ +C
µ = 120° mà B
µ =C
µ nên B
Nếu A
2
Vậy tam giác ABC đều
µ = 60° (hoặc C
µ = 60° ) mà B
µ =C
µ nên B
µ =C
µ = 60° .
Nếu B
Vậy tam giác ABC đều.
Chọn đáp án B.
Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong các câu sau, câu nào không phải mệnh đề?
A. Hôm nay lạnh thế nhỉ?

B. 151 là số vô tỷ

C. Tích vectơ với một số là một số

D. 100 là số chẵn

Câu 2. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q ?
A. P ≠ Q

B. P ⇔ Q

C. P ⇒ Q

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề chứa biến.

D. Q ⇒ P


A. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
B. 36 là số chính phương
C. 19 là số lẻ
D. 2x − 5 ≥ 0
Câu 4. Xác định mệnh đề sai.
A. ∃x ∈ Q : 4x 2 − 1 = 0

B. ∃x ∈ ¡ : x > x 2

C. ∀n ∈ ¥ : n 2 + 1 không chia hết cho 3

D. ∀n ∈ ¥ : n 2 > n

Câu 5. Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
A. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3
B. Nếu một tam giác có một góc bằng 60° thì tam giác đó là tam giác đều

C. Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60° thì tam giác đó là tam giác đều
D.

23 < 5 ⇒ 2 23 < 2.5

Câu 6. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề?
a) Huế là một thành phố của Việt Nam.
b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế.
c) Bạn hãy cố lên!
d) 5 + 19 = 24
e) 6 + 81 = 25
f) Bạn có rỗi tối nay không?
g) x + 2 = 11
A. 2

B. 5

C. 3

D. 4

Câu 7. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng?
A. π là một số hữu tỉ
B. Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba
C. Bạn có chăm học không?
D. Con thì thấp hơn cha
Câu 8. Trong các mệnh đề nào sau đây mệnh đề nào sai?
A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau.
B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông.
C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có
một góc bằng 60°.
Câu 9. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng?


A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c
B. Nếu 2 tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau
C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9
D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5
Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là sai?
A. Tam giác ABC cân thì có hai cạnh bằng nhau
B. Nếu ABCD là hình bình hành thì AB song song với CD
C. Nếu a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 2 và 3
µ =B
µ =C
µ = 90°
D. Nếu ABCD là hình chữ nhật thì A
Câu 11. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. n là số lẻ khi và chỉ khi n 2 là số lẻ
B. n chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của n chia hết cho 3
C. ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB = AC và có một góc bằng 60°
D. ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi AC = BD
Câu 12. Phát biểu nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Nếu 2.5 = 10 thì Luân Đôn là thủ đô của Hà Lan
B. Nếu 7 là số lẻ thì 7 chia hết cho 2
C. Nếu 81 là số chính phương thì

81 là số nguyên

D. Số 141 chia hết cho 3 nên 141 chia hết cho 9

Câu 13. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có ba góc vuông
B. ABC là tam giác đều khi và chỉ khi A = 60°
C. Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC
D. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O thì OA = OB = OC = OD
Câu 14. Tìm mệnh đề đúng:
A. Đường tròn có một tâm đối xứng và có một trục đối xứng
B. Hình chữ nhật có hai trục đối xứng
C. Tam giác ABC vuông cân ⇔ A = 45°
D. Hai tam giác vuông ABC và A ' B'C ' có diện tích bằng nhau ⇔ ∆ABC = ∆A ' B'C '
Câu 15. Tìm mệnh đề sai:
A. 10 chia hết cho 5 khi và chỉ khi hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông
góc nhau
B. Tam giác ABC vuông tại C khi và chỉ khi AB2 = CA 2 + CB2


C. Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) khi và chỉ khi ABCD là hình thang cân
D. Nếu 63 chia hết cho 7 thì hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau
Câu 16. Cho tam giác ABC cân tại A, I là trung điểm BC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ∃M ∈ AI, MA = MC

B. ∀M, MB = MC

C. ∀M ∈ AB, MB = MC

D. ∃M ≠ AI, MB = MC

Câu 17. Với giá trị nào của n, mệnh đề chứa biến “ P ( n ) = n chia hết cho 12” là đúng?
A. 48

B. 4

C. 3

D. 88

Câu 18. Cho n là số tự nhiên, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ∀n, n ( n + 1) là số chính phương

B. ∀n, n ( n + 1) là số lẻ

C. ∃n, n ( n + 1) ( n + 2 ) là số lẻ

D. ∀n, n ( n + 1) ( n + 2 ) là số chia hết cho 6

4
2
Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) = 3x − 4x + 3 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. y = f ( x ) là hàm số chẵn.
B. y = f ( x ) là hàm số không có tính chẵn lẻ.
C. y = f ( x ) là hàm số lẻ.
D. y = f ( x ) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
Câu 20. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Nếu x là số tự nhiên thì x là số hữu tỷ
B. Nếu x không là số tự nhiên thì x là số thực
C. Nếu x là số tự nhiên thì x không là số thực
D. Nếu x không là số hữu tỷ mà x là số thực thì x là số vô tỷ
Đáp án
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

D

D

D

D

B

D

A

C

B

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

D

C

B

B

D

A

A

D

A

C


Dạng 2: Mệnh đề chứa biến - Phủ định mệnh đề
Phương pháp
Dạng 1: Nếu mệnh đề P: ∀x, P ( x ) thì mệnh đề phủ định P : ∃x, P ( x )
Dạng 2: Nếu mệnh đề P: ∃x, P ( x ) thì mệnh đề phủ định P : ∀x, P ( x )
Câu 1. Mệnh đề “ ∃x ∈ ¡ , x 2 = 3 ” khẳng định rằng:
A. Bình phương của mỗi số thực bằng 3
B. Có ít nhất 1 số thực mà bình phương của nó bằng 3
C. Chỉ có 1 số thực có bình phương bằng 3
D. Nếu x là số thực thì x 2 = 3
Giải

Mệnh đề “ ∃x ∈ ¡ , x 2 = 3 ” nghĩa là: Tồn tại (có ít nhất) một số thực sao cho bình phương
của nó bằng 3.
Chọn đáp án B.
Câu 2. Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong đội tuyển bóng rỗ, P ( x ) là mệnh đề chứa
biến “x cao trên 180cm”. Mệnh đề “ ∀x ∈ X, P ( x ) ” khẳng định rằng:
A. Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180cm.
B. Trong số các cầu thủ của đội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180cm.
C. Bất cứ ai cao trên 180cm đều là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ.
D. Có một số người cao trên 180cm là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ.
Giải
Mệnh đề “ ∀x ∈ X, P ( x ) ” khẳng định rằng: Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao
trên 180cm.
Chọn đáp án A.
Câu 3. Cách phát biểu nào sau đây không thể dùng để phát biểu mệnh đề: A ⇒ B
A. Nếu A thì B

B. A kéo theo B

C. A là điều kiện đủ để có B

D. A là điều kiện cần để có B

Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu a, b, c là ba số dương thì a 3 + b3 + c3 ≥ 3abc
B. Nếu a.b.c ≠ 0 , chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm:


ax 2 + 2bx + c = 0 ( 1)
bx 2 + 2cx + a = 0 ( 2 )

cx 2 + 2ax + b = 0 ( 3)
C. Với n là số tự nhiên nếu 3n + 4 là lẻ thì n lẻ.
D. Với n là số tự nhiên nếu 5n + 4 là lẻ thì n chẵn.
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. ∀n ∈ N, n 2 > n .
B. Chứng minh rằng nếu a và b là hai số dương thì a + b ≥ 2 ab
C. ∀x ∈ ¡ : x 2 − 1 ≠ 0
D. ∀x ∈ ¡ , x 2 − x + 7 < 0
Câu 3. Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề phủ định đúng:
A. ∃x ∈ Q : x 2 = 2

B. ∃x ∈ ¡ : x 2 − 3x + 1 = 0

C. ∀n ∈ ¥ : 2n ≥ n

D. ∀x ∈ ¡ : x < x + 1

Câu 4. Phát biểu nào sau đây là mệnh đề đúng:
A. 2.5 = 10 ⇒ Luân Đôn là thủ đô của Hà Lan
B. 7 là số lẻ ⇒ 7 chia hết cho 2
C. 81 là số chính phương ⇒ 81 là số nguyên
D. Số 141 chia hết cho 3 ⇒ 141 chia hết cho 9
Đáp án
1

2

3

4

D

B

D

C

Dạng 4. Chứng minh quy nạp
Phương pháp
Chứng minh mệnh đề chứa biến P ( n ) thỏa mãn tính chất T, ∀n ≥ n 0 .
Ta chứng minh như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = n 0
Bước 2: Giả sử mệnh đề P ( n ) đúng với n = k ≥ n 0 (gọi là giả thiết quy nạp). Ta chứng
minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1
Bước 3: Kết luận theo nguyên lí quy nạp P ( n ) thỏa mãn tính chất T, ∀n ≥ n 0
Chú ý: Trong việc giải toán trắc nghiệm, để chứng minh đẳng thức có thể sử dụng máy tính


cầm tay
HD: Dùng máy tính casio fx 570 VN PLUS để chứng minh
P ( n ) = Q ( n ) , ∀n ≥ n 0 . Ta lập quy trình sau:
Bước 1: X = X + 1: P ( X ) − Q ( X )
Bước 2: Dùng lệnh CALC tính giá trị biểu thức với X = n 0 − 1 .
Sau đó bấm = = = … để kiểm tra.
Nếu kết quả bằng 0 chứng tỏ P ( n ) = Q ( n )
Câu 1. Cho các md:
P: ∀n ∈ ¥ : 2n > n
Q: ∀n ∈ ¥ ; n ≥ 1: n 2 + n M2

R: ∀n ∈ ¥ , n ≥ 1:12 + 2 2 + ... + n 2 =

n ( n + 1) ( 2n + 1)
6

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho?
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải
Dùng chứng minh quy nạp để chứng minh
Xét mệnh đề P: ∀n ∈ ¥ : 2n > n , Ta có:
Với n = 0 , Ta có: 20 = 1 > 0 . Vậy 2n > n đúng với n = 0
Giả sử 2k > k . Ta chứng 2k +1 > k + 1
Thật vậy Ta có: 2k +1 = 2k.2 = 2k + 2k > k + k > k + 1 (do k ≥ 1 )
Vậy 2n > n, ∀n ∈ ¥ . Mệnh đề P đúng
2
Xét mệnh đề Q: ∀n ∈ ¥ ; n ≥ 1: n 2 + n M2 . Ta có: n + n = n ( n + 1) đây là tích hai số tự nhiên

liên tiếp, trong tích này có một số chẵn nên chia hết cho 2. Vậy mệnh đề Q đúng
Xét mệnh đề R: ∀n ∈ ¥ , n ≥ 1:12 + 22 + ... + n 2 =

n ( n + 1) ( 2n + 1)
6

Với n = 1, VT = VP = 1 , nên mệnh đề R đúng. Giả sử mệnh đề R đúng với n = k ≥ 1 , tức là
12 + 22 + 32 + ... + ( k − 1) + k 2 =
2

k ( k + 1) ( 2k + 1)
6

Ta phải chứng minh mệnh đề R cũng đúng với n = k + 1 , tức là:
12 + 22 + 32 + ... + ( k + 1) − 1 + ( k + 1) =
2

2

( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3)
6


Thật vậy: 12 + 22 + 32 + ... + ( k − 1) + k 2 + ( k + 1)
2

= 12 + 22 + 32 + ... + ( k − 1) + k 2  + ( k + 1)


2

=

2

2

k ( k + 1) ( 2k + 1)
 2k 2 + 7k + 6  ( k + 1) ( k + 2 ) ( 2k + 3 )
2
+ ( k + 1) = ( k + 1) 
=
6
6
6



Vậy mệnh đề R đúng với mọi số tự nhiên n thuộc ¥ * .
Chọn đáp án D.
Câu 2. Tính tổng S = 1 + 2 + 3 + ... + n .
A.

n ( 3n − 1)
2

B.

n ( n + 1)
2

C.

n ( 2n + 1)
2

D.

3n ( n − 1)
2

Giải
Cách 1: Ta có: S = 1 + 2 + 3 + ... + n .
⇒ 2S = 1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1) + n  +  n + ( n − 1) + ... + 3 + 2 + 1
= ( 1 + n ) + ( 2 + n − 1) + ... + ( n − 1 + 2 ) + ( n + 1) = n. ( n + 1)
Do đó: S =

n ( n + 1)
.
2

Chọn đáp án B.
Cách 2: Dùng máy tính casio fx 570 VN PLUS
Ý nghĩa thuật toán: nhập vào máy số A và tính tổng 1 + 2 + 3 + ... + A . Lấy tổng này trừ đi
kết quả của các đáp án A, B, C, D. Đáp án đúng là đáp án luôn cho kết quả 0 với mọi số A
nhập vào.
Với đáp án A.
A

Bước 1: Nhập vào quy trình: A = A + 1: ∑ ( X ) −
1

A ( 3A − 1)
2

Bấm:

Bước 2: Nhập A = 0 (máy sẽ gán lại A = A + 1 = 0 + 1 = 1 ); nhập X một giá trị bất kì
(chẳng hạn X = 1 , không ảnh hưởng kết quả)
Bấm


Tiếp tục bấm

Kết quả bằng 0 tức là khi A = 1 thì đáp án A đúng
Tiếp tục bấm

máy sẽ tăng A = A + 1 = 2 , và thử tiếp

Kết quả bằng 2 tức là khi A = 2 thì đẳng thức sai. Vậy đáp án A sai
Với đáp án B.
A

Bước 1: Nhập vào quy trình: A = A + 1: ∑ ( X ) −
1

A ( A + 1)
bằng cách dùng phím
2

và

chỉnh sửa từ đáp án A

Bước 2: Nhập A = 0 (máy sẽ gán lại A = A + 1 = 0 + 1 = 1 ); nhập X một giá trị bất kì
(chẳng hạn X = 1 , không ảnh hưởng kết quả)

Bấm

Tiếp tục bấm

Kết quả bằng 0 tức là khi A = 1 thì đáp án B đúng
Tiếp tục bấm

máy sẽ tăng A = A + 1 = 2 , và thử tiếp


Kết quả bằng 0 tức là khi A = 2 thì đẳng thức đúng
Tiếp tục bấm

… thấy đẳng thức luôn đúng.

Chọn đáp án B.
Câu 3. Tính tổng S = 12 + 22 + ... + n 2
A.

n ( n + 1) ( n + 2 )
6

B.

n ( n + 1) ( 2n + 1)
C.
6

n 2 ( 2n + 1)
3

3n ( n − 1)
D.
4

2

Giải
Dùng máy tính casio fx 570 VN PLUS
Với đáp án A.
A

2
Bước 1: Nhập vào quy trình: A = A + 1: ∑ ( X ) −
1

A ( A + 1) ( A + 2 )
6

Bấm:

Bước 2: Nhập A = 0 , nhập X = 1 . Bấm

Tiếp tục bấm

Kết quả bằng 0 tức là khi A = 1 thì đáp án A đúng
Tiếp tục bấm

máy sẽ tăng A = A + 1 = 2 , và thử tiếp

Kết quả bằng 1 tức là khi A = 2 thì đẳng thức sai
Vậy đáp án A sai
Với đáp án B. Tương tự dùng phím

để kiểm tra, B sai.

Chọn đáp án C.
Câu 4. Tính tổng S = 2 + 22 + 23 + ... + 2n
A. S = 22n − 2

B. S = 3.2n − 4

C. S = 2n + 2 − 6
Giải

Cách 1: Ta có: S = 2 + 22 + 23 + ... + 2n
⇒ 2S = 2 ( 2 + 22 + 23 + ... + 2 n ) = 2 2 + 23 + ... + 2 n + 2 n +1
2S − S = 22 + 23 + ... + 2 n + 2 n +1 − ( 2 + 2 2 + 23 + ... + 2 n ) = 2 n +1 − 2
Vậy S = 2n +1 − 2

D. S = 2n +1 − 2