Tiểu luận Kí hiệu Jacobi

1

Lời cảm ơn
Trong suốt quá trình thực hiện đề tài “Ký hiệu Jacobi”, ngoài sự nỗ lực
của bản thân:
Chúng tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Lê Văn An đã trực tiếp
hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình thực hiện đề tài này.
Cảm ơn thầy đã trang bị cho chúng tôi kiến thức bổ ích, kỹ năng để thực hiện
đề tài này
Chúng tôi xin cảm ơn LCĐ khoa Sư phạm Tiểu học – Mầm non đã tạo
điều kiện giúp chúng tôi hoàn thành đề tài này.
Trong quá trình làm đề tài, do hạn chế về mặt thời gian và kiến thức, nên
mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô cùng tất cả các bạn, để đề tài
được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Tĩnh, ngày

tháng 01 năm 2016

Sinh viên
Trần Thị Thúy Ngân

Lưu Thị Thùy


2

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU:
1. Lý do chọn đề tài

2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
3. Mục tiêu nghiên cứu
4. Phạm vi nghiên cứu
5. Đối tượng nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
6. Cấu trúc của tiểu luận

CHƯƠNG 1: KÝ HIỆU JACOBI VÀ MỘT SỐ LÝ THUYẾT LIÊN
QUAN.

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ, CÁC BÀI TOÁN CƠ
BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỦA KÝ HIỆU JACOBI.

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG CAO KIẾN THỨC,
ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TẬP CHO HỌC SINH, SINH VIÊN.


3

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận
2. Kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình Công nghiệp hóa – Hiện đại hóa đất nước, con người
luôn phát triển theo thời đại. Kiến thức từ đó cũng được con người khai phá
nhiều hơn, nhất là về mảng Toán học. Có thể nói rằng: Ký hiệu Jacobi là
mảng kiến thức rất hay và khó, liên quan đến lý thuyết đồng dư. Ký hiệu

Jacobi được sử dụng chính trong lý thuyết số tính toán, kiểm tra các số
nguyên tố và phân tích thành nhân tử nguyên tố, những ứng dụng trong lý
thuyết mật mã.
Đặc biệt trong học phần “Toán học 3” mà chúng tôi đang học thì chúng
ta có thể sử dụng ký hiệu Jacobi thay vì sử dụng ký hiệu Lengendre. Nhờ ký
hiệu Jacobi, chúng ta có thể tìm nghiệm của phương trình bậc 2 đơn giản hơn
so với sử dụng ký hiệu Legendre.
Vì những lý do trên mà chúng tôi chọn đề tài: “Ký hiệu Jacibi”
2.

Lịch sử nghiên cứu vấn đề


4

Với đề tài liên quan đến “Ký hiệu Jacobi”, qua tìm hiểu chúng tôi được biết
các tác giả sau đã nghiên cứu
2.1 Sinh viên: Triệu Thị Vy Vy
Sinh viên Triệu Thị Vy Vy, tóm tắt luận văn thạc sĩ khoa học với đề tài:
“Thặng dư chính phương, ký hiệu Legendre, ký hiệu Jacobi và ứng dụng”
(năm 2011). Tại trường Đại học Đà Nẵng
2.2 Sinh viên: Hoàng Thị Hải Yến
Sinh viên Hoàng Thị Hải Yến, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Ký hiệu
Legendre, ký hiệu Jacobi và một vài cách chứng minh của luật thuận nghịch
bậc 2” (năm 2015). Tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
→ Các đề tài trên hầu hết đã giải quyết được các vấn đề đặt ra cho bạn đọc
biết đến ký hiệu Legendre, ký hiệu Jacobi và ứng dụng của cuả chúng . Qua
đó giúp học sinh, sinh viên có thể phần nào giải quyết các bài toán liên quan.
Nhưng chưa có đề tài nào đi sâu vào việc nghiên cứu “Ký hiệu Jacobi” .
3.

Mục tiêu nghiên cứu

Ở chương 1 và chương 2 của tiểu luận, theo cách hiểu của chúng tôi,
chúng tôi sẽ nêu một số khái niệm, lý thuyết liên quan; đồng thời nêu các bài
toán và cách giải về lý thuyết đồng dư.
Trong chương 3 chúng tôi sẽ tìm cách đưa ứng dụng Jacobi vào một số bài
toán, từ đó có thể đưa ra cách giải hợp lý nhất, góp phần giúp các bạn học
sinh, sinh viên có định hướng đúng đắn khi giải bài tập liên quan đến lý
thuyết đồng dư, ký hiệu Jacobi.
4. Phạm vi nghiên cứu


5

Nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng của ký hiệu Jacobi dựa trên lý thuyết
đồng dư và các bài toán liên quan.
5. Đối tượng nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
5.1 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là ký hiệu Jacobi và ứng dụng trong các bài
toán liên quan đến lý thuyết đồng dư.
5.2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Xây dựng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên cũng như học sinh,
sinh viên về các mảng trong ký hiệu Jacobi, trong đó có áp dụng vào các
bài toán, ví dụ minh họa.
6. Cấu trúc của tiểu luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận, tiểu luận gồm có 3 chương:
Chương 1: Ký hiệu Jacobi và các lý thuyết liên quan
Chương 2: Lý thuyết đồng dư, các bài toán cơ bản và phương pháp
giải của ký hiệu Jacobi

Chương 3: Một số giải pháp nâng cao kiến thức, định hướng giải bài
tập cho học sinh, sinh viên.


6

CHƯƠNG 1: KÝ HIỆU JACOBI VÀ MỘT SỐ LÝ THUYẾT
LIÊN QUAN.
1. Đôi nét về nhà toán học Carl Gustav Jakob Jacobi
Carl Gustav Jacob Jacobi (10/12/1804 – 18/02/1851) là một nhà toán học
người Đức, được xem là một nhà toán học lớn của mọi thời đại. Ông là người
tôn giáo từ đạo Do Thái chsuyển sang Kito giáo, ông học tại đại học Berlin –
nơi ông đậu Ph.D vào năm 1825, luận văn của ông là về giải tích của các phân
số. Nhắc đến ông, người ta liền liên tưởng đến Jacobian
Ông được xem là một nhà toán học lớn của mọi thời đại.
Vào năm 1827, ông trở thành giáo sư toán tại đại học K , một vị trí ông nắm
cho đến năm 1842. Jacobi bị ngã quỵ vì làm việc quá căng thẳng vào năm
1843. Sau đó ông ghé thăm Ý một vài tháng để lấy lại sức khỏe. Khi trở lại
Berlin, ông sống bằng tiền lương hưu của hoàng gia đến khi qua đời. Jacobi
được chôn cất ở một nghĩa trang trong khu Kreuzberg của thành phố Berlin.
Mộ của ông gần mộ của Johann Encke – một nhà thiên văn học.
Trong cách mạng 1848 Jacobi có dính đến chính trị và không thành công
trong việc trở thành một nghị sĩ đại diện cho một nhóm Tự do. Điều này dẫn
đến việc ông bị mất tiền hưu hoàng gia sau khi cách mạng bị dập tắt, nhưng
uy tín và tiếng tăm của ông lớn đến nỗi tiền hưu được nối lại không lâu sau
đó.
• Đóng góp cho Toán học
Ông đã có đóng góp cơ bản cho các lĩnh vực: hàm elliptic, động lực học,
phương trình vi phân, lý thuyết số. Jacobi viết một cuốn sách kinh điển (năm
1829) về hàm số elliptic với nhiều ứng dụng quan trọng trong toán lý. Phương

7

trình chuyển động dưới dạng quay chỉ tích phân Jacobi được trong ba trường
hợp: con lắc, phần đỉnh đối xứng của một trường trọng lực và một vật xoay tự
do, tất cả các nghiệm đều được viết dưới dạng hàm số elliptic.
Jacobi là nhà toán học đầu tiên áp dụng hàm số elliptic vào số học, ví dụ
chứng minh định lý Fermat về tổng 2 bình phương hay là định lý Lagrange về
tổng 4 bình phương. Ông cũng chứng minh các kết quả tương tự cho 6 hay 8
bình phương. Hàm số Theta của Jacobi, thường được dùng trong chuỗi
hypergeometric được đặt theo tên ông.
2. Ký hiệu Jacobi
Ký hiệu Jacobi là một mở rộng của ký hiệu Legendre, và được sử dụng để
tính ký hiệu Legendre, cũng như trong nhiều vấn đề nghiên cứu các số giả
nguyên tố.
2.1 Định nghĩa và tính chất
2.1.1 Định nghĩa: Cho a là số nguyên, m là mộ số tự nhiên lẻ,
Gỉa sử

( )
a
m

m
J

có công thức tiêu chuẩn là

=

m = p1s1 . p2s2 . p3s3 ... pksk

. Ký hiệu

sẽ được gọi là ký hiệu Jacobi và được tính như sau:

( ) ( ) ( ) ( )
a
m J

m > 1.

a
p1

s1

.

a
p2

s2

phân tích tiêu chuẩn
pi ( i = 1, 2,..., k )

...

a
p2

sk

(*). Cần lưu ý bạn đọc: vì m lẻ => Trong

m = p1s1 . p2s2 . p3s3 ... pksk

thì các số nguyên tố


8

Là lẻ nên các ký hiệu ở vế phải của (*) được hiểu là ký hiệu Legendre.
Như vậy mỗi ký hiệu Legendre là một ký hiệu Jacobi đặc biệt, khi số lẻ m là
một số nguyên tố. Vì thế nếu ta có thể tính được mọi ký hiệu Jacobi thì ta
cũng sẽ tính được mọi ký hiệu Legendre.

Ví dụ:

( ) = ( ) .( ) = ( − 1) .( − 1) = 1
−1
15 J

−1
3

−1
5

Tuy nhiên cần chú ý rằng khác với ký hiệu Legendre, khi n là hợp số, ký hiệu
Jacobi không cho ta biết phương trình đồng dư x ≡ a ( mod p ) có nghiệm
2

hay không.Mặc dù vậy ký hiệu Jacobi có nhiều tính chất tương tự với ký hiệu
Legendre.
Nhận xét:
• Từ (*) ta suy ra: Nếu

nào đó

a
m J

i = (1, 2,..., k ) vì

( )
a

● Từ (*) , khi m
J

Pi

( )

= 1 thì

= − 1 thì a không là thặng dư bậc 2 của pi

nếu mọi

( )
a
p1

si

= 1 thì ( m ) = 1
a

không thể suy ra a là thặng dư bậc hai của mọi

(i=1,2,...,k). Bởi vì ký hiệu Jacobi là tích của các ký hiệu Legendre, nên

có thể có hai ký hiệu Legendre bằng −1 và khi đó ký hiệu Jacobi.


9

• Nếu a là số chính phương mô đun m thì ta kí hiệu :

( )

a
m J

=1

• Nếu a là số phi chính phương mô đun m thì ta kí hiệu:

( )

= −1

• Nếu số nguyên dương lẻ m là ước số của a thì kí hiệu :

( )

=0

a
m J

a
m J

2.1.2 Tính chất
Gỉa sử P là số nguyên dương lẻ, a và b là các số nguyên tố cùng nhau với
P. Khi đó:
(i)

Nếu

a ≡ b(mod P)

Chứng minh:

thì ta có

( )=( ).
a
p

b
p

a ≡ b(mod P) cho nên ta cũng có a ≡ b(mod Pi ) ,

i = 1,2,…,r. Từ đó theo tính chất của ký hiệu Legendre ta được

( ) =( )
a
pi

b
pi

i = 1,2,…,r

Do đó

( ) ...( ) = ( ) ...( )
a
p1

a
px

b

p1

Nghĩa là

( ) =( )
a
p

b
p

b
px


10

(ii)

(iii)

( ) =1
1
p

(hiển nhiên)

( ) = (−1)
−1
p

P −1
2

Chứng minh: Theo tính chất của ký hiệu Legendre thì

( ) = (−1)
−1
pi

pi −1
I = 1,2…,r
2

Do đó ta có
x

( ) =(−1)
−
1
pi

p −
1

∑i2
i=
1

Vậy để chứng minh tính chất, ta sẽ chứng minh rằng :

p − 1 x pi − 1
≡∑
(mod 2)
2
2
i =1
Ta có

p −1 p1 p2 ... px −1
=
=
2
2


11

p1 − 1  
p2 − 1  
px − 1 

 1+ 2
÷.  1 + 2
÷...  1 + 2
÷− 1
2 
2  
2 


=
2

Từ đó ta có thể viết
x
p −
1
p−
1
=∑i
+2 m,
2
2
i=
1

Nghĩa là
x
p −1
p −1
≡∑ i
(mod 2)
2
2
i=
1

(iiii)

(

a1a2 ...as
p

) = ( ) .( ) ...( )
a1
p

a2
p

as
p

Chứng minh: Theo định nghĩa của ký hiệu Jacobi và tính chất của ký hiệu
legendre ta có

(

a1a2 ...as
p

)

x

(

=∏
i =1

a1a2 ...as
pi

)

x

s

( )

= ∏∏
i =1 j =1

ai
pj


12

Bằng cách đổi lấy tích và dựa vào định nghĩa ký hiệu Jacobi ta được:

(

a1a2 ...as
p

)

s

= ∏∏
j =1 i =1

( ) =( −1)
2
p

(iiiii)

( )

x

aj
pi

x

( )

=∏
j =1

aj
p

p 2 −1
8

Chứng minh: Theo định nghĩa của ký hiệu Jacobi và tính chất của ký hiệu
legendre ta có

( ) = ( ) .( ) ...( )
2
p

2
p1

2
p2

2
px

x

( ) = ( −1) ∑
2
p

i =1

.

pi2 −1
8

Để chứng minh tính chất này, ta sẽ chứng minh rằng

p 2 − 1 r pi2 − 1
≡∑
(mod 2)
8
8
i =1
Thật vậy, ta có

p

2

− 1 ( p1 p2 ... pr )
=

8

8

2

− 1  p12 p22 ... pr2 − 1 
=
÷=
8



13


p12 − 1  
p22 − 1  
pr2 − 1  
 1+ 8
÷.  1 + 8
÷...  1 + 8
÷− 1 ÷
8 
8  
8  ÷


=
=

÷
8

÷÷



pi2 −1
=∑
+8m
8

i=
1
r

Do đó ta được
r
pi2 −1
p 2 −1
=∑
(mod 2) (đpcm).
8
8
i=
1

(iiiiii) Nếu P và Q là hai số tự nhiên lẻ (lớn hơn 1) nguyên tố cùng nhau thì
ta có

( ) = ( −1)
Q
P

P −1 Q −1
.
2
2

( )
P
Q

Chứng minh: Ta giữ nguyên các giả thiết về P và giả sử rằng Q có dạng

Q = q1q2 ...qs trong đó

q j , j = 1, 2,..., s là những số nguyên tố lẻ.

Ta có

( )
Q
P

r

=∏
i =1

( )
Q
Pi

r

s

= ∏∏
i =1 j =1

( )

qj
pi


14

pi và q j là những số nguyên tố lẻ, cho nên ký hiệu Legendre cho

Vì
ta

( )
qj
pi

= ( −1)

pi −1 q j −1
.
2
2

( )
pi
qj

Từ đó ta được
r

s

i =1

j =1

( ) =∏∏( −1)
Q
P

r

pi −1 qi −1
.
2
2

pi −1 q j −1
.
2
2

s

.
∑∑
= ( −1) i=1 j =1

( )=
pi
qj

∏∏( qpij )
r

s

i −1 j −1

Hay

( )
Q
P

r

.
∑
= ( −1) i=1

pi −1 s q j −1
. ∑
2 j =1 2

.

( )
P
Q

Trong các chứng minh trên ta đã có
r
P −1
p −1
≡∑ i
(mod 2)
2
2
i =1

Và tương tự


15

Q −1 s q j −1
≡∑
(mod 2)
2
2
j =1
Cho nên ta được

P − 1 Q − 1 r pi − 1 s q j − 1
.
≡∑
.∑
(mod 2)
2
2

2 j =1 2
i =1
Do đó ta có

( )
Q
P

= ( −1)

P −1 Q −1
.
2 2

( )
P
Q

(ĐPCM).

Các tính chất trên đây cho phép tính được mọi ký hiệu Jacobi ( do đó tính
được mọi ký hiệu Legender, bằng cách đưa dần về những ký hiệu mà các
số xác định nó là khá nhỏ ( như 3,5,7 chẳng hạn) mà ta có thể thấy ngay
được giá trị cuả nó.
2.1.3 Luật thuận nghịch bình phương đối với ký hiệu Jacobi
Gỉa sử m, n là các số nguyên dương lẻ, nguyên tố cùng nhau, khi đó:

( ) ( ) = ( −1)
n
m

m
n

 m −1   n −1 
.

÷
÷
 2  2 

Chứng minh: Gỉa sử m ,n có phân tích nguyên tố dạng:


16

m = pa1 1 .p a22 ...psas , n = q b11 .q2b2 ...qrbr

, dùng định nghĩa và luật

thuận nghịch bình phương của ký hiệu Legendre, ta được:

r

s

i =1

j =1

. . ( −1)
( ) ( ) = ∏∏
n
m

m
n

aj

p j −1 qi −1
bi
2
2

s aj

r

= ( −1) ∑∑
i =1 j =1

p j −1 qi −1
bi
2
2

Như trong chứng minh tính chất (iii) ta có:
s

∑ aj
j =1

r

∑ bi
i=1

pj −1
2

≡

m −1
(mod 2)
2

qi − 1 n − 1
≡
(mod 2)
2
2

Từ đó suy ra (đpcm).
3. Luật thuận nghịch bình phương

( ) và ( ) .
p

Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa các ký hiệu Legendre q

q
p

Định lý này thương được sử dụng khi tính toán với các ký hiệu Legendre.
Định lý 1: ( Luật thuận nghịch bình phương). Gỉa sử p và q là các số nguyên
tố lẻ, khi đó ta có:

( ) ( ) = ( −1)
p
q

q
p

 p −1   q −1 
.

÷
÷
 2  2 


17

Nhận xét: Định lý luật thuận nghịch bình phương thường được dùng để tính
ký hiệu Legendre. Chẳng hạn, từ định lý ta có thể suy ra rằng,

( ) ( ) = −1 nếu p ≡ q ≡ 3(mod 4) , và bằng 1 trong các
p

q

q
p

trường hợp còn lại, tức là

( ) =( )
p
q

q
p

( ) = ( ) nếu p ≡ q ≡ 3(mod 4) và
−q
p

p
q

trong các trường hợp có ít nhất một trong hai số p hoặc q

đồng dư với 1 modulo 4.
Ta xét ví dụ sau đây:

(

(

713
1009

vì 1009 ≡ 1 ( mod 4)

Mặt khác,

713
1009

)

23.31
23
31
=
=
.
) ( 1009 ) ( 1009 ) ( 1009 )

nên ta có:

(

23
1009

1009
31
1009

,
=
=
) ( 23 ) ( 1009 ) ( 31 )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=
1009
23

=

20
23

=

22.5
23

=

22
23

.

5
23

=

= ( 523 ) = ( 35 ) = ( 53 ) = ( 32 ) = − 1 .

5
23


18

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=
=

1009
31

=

=

17
31

31
17

=

14
17

=

2
17

.

7
17

=

7
17

( ) = ( ) = − ( ) = − ( ) = − ( ) = −1

Vậy

17
7

(

3
7

713
1009

7
3

22
3

4
3

) = (−1).(−1) = 1

Luật thuận nghịch bình phương còn được dùng trong kiểm tra nguyên tố.
Ta có định lý sau:
Định lý 2: ( Kiểm tra Pepin)
Số Fermat Fm là số nguyên tố khi và chỉ khi

Trong đó

3

Fm −1
2

≡ − 1(mod Fm )

Fm = 22 m + 1

Nhận xét: Dùng tiêu chuẩn Pepin, dễ kiểm tra được rằng
các số nguyên tố, F5 là hợp số.
4. Thặng dư bậc 2

Ta xét phương trình:

( x ) ≡ a(mod p) (1)
2

Trong đó p là một số nguyên tố lẻ và a nguyên tố với p.
4.1 Định nghĩa:

F1 , F2 , F3 , F4

là


19

Ta gọi a là một thặng dư bậc 2 modulo p nếu phương tình (1) có nghiệm,
và a là bất thặng dư bậc 2 modulo p nếu phương trình (1) không có
nghiệm.
Ví dụ: 2 là một thặng dư bậc hai modulo 7 vì (2,7)=1 và phương trình

x 2 ≡ 2(mod 7) có nghiệm, cụ thể nghiệm đó là x ≡ ±3(mod 7) .
3 là một bất thặng dư modulo 7 vì (3,7)=1 và phương trình

x 2 ≡ 3(mod 7)

không có nghiệm.
4.2 Hệ qủa
- Nếu a là thặng dư bậc 2 modulo p thì mọi số của lớp thặng dư

a(mod p )

Cũng đều là thặng dư bậc 2 modulo p.
- Nghiệm của phương trình (1), nếu có, đều nguyên tố với p.
4.3 Định lý 1: Nếu a là một thặng dư bậc 2 modulo p thì phương trình (1) có
hai nghiệm.
4.4 Định lý 2: Trong một hệ thặng dư thu gọn modulo p có

p −1
thặng dư
2

2
p −1
 p −1 
bậc hai tương ứng cùng lớp với các thặng dư 1 , 2 ,..., 
và
có
÷
2
 2 
2

Bất thặng dư bậc hai.

2


20

4.5 Định lý 3:Nếu a là thặng dư bậc hai modulo p thì

nếu a là bất thặng dư bậc hai modulo p thì

a

p −1
2

a

p −1
2

≡ −1(mod p ) .

4.6 Hệ quả: a là thặng dư bậc hai modulo p khi và chỉ khi

A là bất thặng dư bậc 2 modulo p khi và chỉ khi

≡ 1(mod p ) và

a

p −1
2

a

p −1
2

≡ 1(mod p)

≡ −1(mod p) .


21

CHƯƠNG 2: THUẬT TOÁN TÍNH KÝ HIỆU JACOBI VÀ CÁCH
TÍNH KÝ HIỆU JACOBI TRÊN MÁY TÍNH .
2.1 Thuật toán tính ký hiệu Jacobi
Gỉa sử a,b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, a>b.Đặt

R1 = a, R2 = b . Dùng thuật chia Euclid và tách lũy thừa cao nhất của 2
trong phần dư, ta được:

R0 = R 1q1 + 2s1 R2
R1 = R 2 q2 + 2 s2 R3
………………

Rn − 3 = R n − 2 qn − 2 + 2sn−2 Rn −1
Rn − 2 = R n−1qn−1 + 2sn−1.1
Trong đó S j là các số nguyên không âm, R j là các số nguyên lẻ bé hơn R j −1
Ta chú ý rằng số các phép chia đòi hỏi trong thuật toán trên là không vượt quá
số phép chia cần thiết khi dùng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất
của a và b.

Đặt:

Rn2− 1 − 1

R12 − 1
R22 − 1
R ( a, b ) = s1
+ s2
+ ... + sn− 1
+
8
8
8


22

R1 − 1 R2 − 1
Rn − 2 − 1 Rn −1 − 1
+
.
+ ... +
.
2
2
2
2
Ta có định lý sau
2.1.1 Định lý 4 Gỉa sử a,b là các số nguyên dương và a>b. Khi đó ta có

( ) = ( − 1)
a
b

R ( a ,b )

Chứng minh: Theo các phần (i),(iiiii) của tính chất Jacobi ta có:

( ) ( )
a
b

=

R0
R1

=

( ) ( )( )
2S1 R2

=

R1

2
R1

s1

R2
R1

= ( − 1)

R12 −1
s1
8

.

( )
R2
R1

Dùng luật thuận nghịch bình phương của ký hiệu Jacobi ta được:

( ) = ( −1)
R2
R1

R 1 −1 R2 −1
.
2
2

.

( )
R1
R2

Như vậy,

( )
a
b

= ( −1)

R 1 −1 R2 −1
R12 −1
+ s1
.
2
2
8

.

( )
R1
R2

Tiếp tục quá trình đó ta đi đến công thức cần chứng minh.
2.1.2 hệ quả Gỉa sử a và b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, a>b.

Khi đó,Ký hiệu Jacobi

( )
a
b

có thể tính được với O ((log b2 )3 ) phép tính bit/


23

Chứng minh: Như ta đã nhận xét, số các phép chia trong thuật toán xác định
R(a,b) không vượt quá số phép chia trong thuật toán Euclid để tính ước chung
lớn nhất của a và b.Theo định lý Lame, cần có R j , s j phép chia. Mỗi phép chia
cần không quá O ((log b2 ) 2 ) phép tính bit. Sau mỗi phép chia, cặp số R j , s j tìm
được bởi O (log b2 ) phép tính bit( chỉ cần là các phép dịch chuyển).Như vậy,
khi biết a,b chỉ cần O ((log b2 )3 ) phép tính bit để xác định các số R j , s j . Để
nâng (-1) lên lũy thừa R(a,b), như trong định lý ta chỉ cần sử dụng 3 chữ số
nhị phâ R j , s j n cuối cùng của R j và chữ số nhị phận cuối cùng của s j , vì giá
trị lũy thừa của (-1) chỉ phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của số mũ. Như vậy, khi đã
có R j , s j ta chỉ cần O (log b2 ) để xác định

2.1.4 Thuật toán tính ký hiệu Jacobi

( )
a
b

( )
a
b

.(đpcm)

( do đó tính ký hiệu Legendre

khi b là số nguyên tố)
J1. (Kiểm tra B ≠ 0 ). Nếu b=0, in ra 0 nếu a ≠ 1 , in ra 1 nếu a=1 và kết thúc
thuật toán.
J2. (Tách các lũy thừa của 2 khỏi b). Nếu a và b đều chẵn, in ra 0 và kết thúc
thuật toán. Ngược lại đặt v ¬ 0 , và khi b chẵn, v ¬ v + 1, b ¬

chẵn k ¬ 1 , ngược lại, đặt k ¬
nếu hơn nữa, a<0, đặt k ¬ −k .

( −1)

a 2 −1
8 .

b
. Sau đó, nếu v
2

Cuối cùng, nếu b<0, đặt b ¬ −b , và


24

J3. (Kết thúc?). (Ở bước này ta có b lẻ và b>0). Nếu a=0, in ra 0 nếu b>1, in
ra k nếu b=1 và kết thúc thuật toán. Ngược lại, đặt v ¬ 0 và nếu a chẵn, đặt
a
v ¬ v + 1, a ¬ . Nếu v lẻ, đặt
2

k ¬ ( −1)

b 2 −1
8

J4. ( Sử dụng luật thuận nghịch). Đặt k ¬

k.

( −1)

( a −1) ( b −1)
4

k.

Nhận xét: Ở đây ta cần lưu ý một điều. Mặc dù trong thuật toán có xuất hiện
các phép chia

a 2 −1 b 2 −1
8 , 8

,

( a −1) ( b −1)
4

, và phép nâng (-1) lên lũy thừa đó, ta không

cần làm các phép chia cũng như nâng lên lũy thừa, vì đòi hỏi quá nhiều phép
tính bit. Vì giá trị lũy thừa của (-1) chỉ phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của các đại

lượng trên, nên chẳng hạn đối với ( −1)

a2 −
1
8

, giá trị đó chỉ phụ thuộc a

modulo 8 và bằng một trong những số của dãy sau đây:

{ 0,1, 0, −1, 0, −1, 0,1}
2.2 Tính lý hiệu Jacobi trên máy tính
2.2.1 Kiểm tra một số là thặng dư bình phương
Cho a,b là các số nguyên, để kiểm tra xem a có phải là thặng dư bình phương
của b hay không ta thực hiện dòng lênh như sau:

>quadres ( a,b ) ;
Sau dấu (;) ấn phím “enter”. Nếu trên màn hình hiện lên số 1 thì a thặng dư
bậc 2 của b, nếu trên màn hình hiện lên số -1 thì không phải.


25

Ví dụ: 74 có phải là thặng dư bậc hai của 101 hay không?
Ta thực hiện lệnh

>quadres ( 74,101) ;
-1

⇒ 74 là bất thặng dư bậc 2 cảu 101.

2.2.2 Tính ký hiệu Jacobi
Cho b là số nguyên dương lẻ, a nguyên tố cùng nhau với b. Để tính ký hiêu
Jacobi của a và b ta thực hiện dòng lệnh như sau:

>
 jacobi ( a,b ) ;
Sau dấu (;) ấn phím “enter” trên màn hình sẽ xuất hiện kết quả.
Ví dụ: Tính

( )
26
35

Ta thực hiện lệnh

>
 jacobi ( 26,35 ) ;
-1

Ví dụ: Tính

( )
28
21

Ta thực hiện lệnh

>
 jacobi ( 28,21) ;

0

Nếu kết quả là 0 thì a và b không nguyên tố cùng nhau.s