Chuyên đề: Rút gọn biểu thức lớp 9

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:

•

Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x 2 = a .
Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là

•

một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a :
a ≥ 0
x ≥ 0

⇔ 2

 a=x
x = a

Với hai số thực không âm a, b ta có: a ≤ b ⇔ a ≤ b .

•

Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:

•

+

A≥0
A
A2 = A = 
nếu
A<0
− A

+

A2 B = A B = A B với A, B ≥ 0 ;

a là

A2 B = A B = − A B với

A < 0; B ≥ 0

+
+

A
=
B

A.B
=
B2

A.B
với AB ≥ 0, B ≠ 0

B

M
M. A
=
với A > 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
A
A

(

)

M Am B
M
với A, B ≥ 0, A ≠ B (Đây gọi là phép
=
A− B
A± B
trục căn thức ở mẫu)
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
+

Kiến thức cần nhớ:
•

Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là

•

Cho a ∈ R; 3 a = x ⇔ x 3 =

•

Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.

( a)
3

3

3

a là số x sao cho x 3 = a

=a

1


3

•

Nếu a > 0 thì
Nếu a < 0 thì

•

Nếu a = 0 thì

3

•

3

a >0.
a <0.
a =0.

•

a 3 a với mọi
=
b≠0.
b 3b
3
ab = 3 a . 3 b với mọi a, b .
a
•

A 3 B = 3 A3 B .

•

3

•
•

3

3

•

A
=
B

A
=
B

3

3

AB 2 với
B≠0
B

A
B3

3
1

A2 m3 AB + 3 B 2 với
A ≠ ±B .
=
3
A± B
A±3 B
1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số a ∈ R, n ∈ N ; n ≥ 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy
thừa bậc n của nó bằng a.
• Trường hợp n là số lẻ: n = 2k + 1, k ∈ N
Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
2 k +1
a = x ⇔ x 2 k +1 = a , nếu a > 0 thì 2 k +1 a > 0 , nếu a < 0 thì

•

a < 0 , nếu a = 0 thì 2 k +1 a = 0
Trường hợp n là số chẵn: n = 2k , k ∈ N .
2 k +1

•

Mọi số thực a > 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn
dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc
chẵn âm kí hiệu là − 2k a ,

2k

a = x ⇔ x ≥ 0 và x 2k = a ;

− 2 k a = x ⇔ x ≤ 0 và x 2k = a .
Mọi số thực a < 0 đều không có căn bậc chẵn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
a) P = x 4 − 4
2


b) P = 8 x3 + 3 3
c) P = x 4 + x 2 + 1
Lời giải:

(

)(
3 ) ( 4x

)

2
2
2
a) P = ( x − 2 ) ( x + 2 ) = x − 2 x + 2 ( x + 2 ) .

b) P = ( 2 x ) +
3

( 3 ) = ( 2x +
3

2

)

− 2 3x + 3 .

c) P = ( x 2 + 1) − x 2 = ( x 2 − x + 1) ( x 2 + x + 1) .
2

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
a) A = x − x − x + 1 khi x ≥ 0 .
4
b) B = 4 x − 2 4 x − 1 + 4 x + 2 4 x − 1 khi x ≥ 1 .
4
c)

C = 9 − 5 3 + 5 8 + 10 7 − 4 3

Lời giải:
a)

2

1
1

A= x − x− x + = x −  x − ÷ = x −
4
2


+ Nếu

x≥

1
1
⇔ x ≥ thì
2
4

+ Nếu

x<

1
1
⇔ 0 ≤ x < thì
2
4

x−

x−

1
2

1
1

1
= x − ⇒ A= .
2
2
2
x−

1
1
1
=− x + ⇒ A=2 x −
2
2
2

b)
B = 4 x − 2 4 x −1 + 4 x + 2 4x −1 = 4 x −1 − 2 4x −1 + 1 + 4x −1 + 2 4x − 1 + 1

Hay B =
=

(

)

2

4x −1 −1 +

(

)

4x −1 +1

2

=

4x −1 −1 +

4x −1 +1

4x −1 −1 + 4x −1 + 1

+ Nếu

4x −1 −1 ≥ 0 ⇔ 4 x −1 ≥ 1 ⇔ x ≥

1
thì
2

4 x − 1 − 1 = 4 x − 1 − 1 suy

ra B = 2 4 x − 1 .
3


+ Nếu

4x −1 −1 < 0 ⇔ 4x −1 < 1 ⇔

1
1
≤ x < thì
4
2

4 x − 1 − 1 = − 4 x − 1 + 1 suy ra B = 2 .
c) Để ý rằng:

(

7−4 3 = 2− 3

)

2

⇒ 7−4 3 = 2− 3

Suy ra C = 9 − 5 3 + 5 8 + 10(2 − 3) = 9 − 5 3 + 5 28 − 10 3
= 9− 5 3 +5

( 5 − 3)

2

.Hay

C = 9 − 5 3 + 5(5 − 3) = 9 − 25 = 9 − 5 = 4 = 2
Ví dụ 3) Chứng minh:
a) A = 7 − 2 6 − 7 + 2 6 là số nguyên.
84 3
84
là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10
+ 1−
9
9
chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).

b) B = 3 1 +

c) Chứng minh rằng: x = 3 a +
a≥

a + 1 8a − 1 3
a + 1 8a − 1
với
+ a−
3
3
3
3

1
là số tự nhiên.
8

(

2
d) Tính x + y biết x + x + 2015

)( y+

)

y 2 + 2015 = 2015 .

Lời giải:
a) Dễ thấy A < 0,
Tacó

A2 =

(

7−2 6 − 7+2 6

= 14 − 2.5 = 4
Suy ra A = −2 .

4

)

2

= 7 − 2 6 + 7 + 2 6 − 2 7 − 2 6. 7 + 2 6


b) Áp dụng hằng đẳng thức: ( u + v ) 3 = u 3 + v 3 + 3uv ( u + v ) . Ta có:
3



84 3
84 
84
84
84 3
84 
÷ = 1+
÷
B3 =  3 1 +
+ 1−
+1−
+ 3 3 1 +
. 1−


9
9 ÷
9
9
9
9 ÷






84 3
84 
 3 1+
÷ . Hay
+ 1−

9
9 ÷




84  
84 
84
B 3 = 2 + 3 3 1 +
1
−
.B ⇔ B 3 = 2 + 3 3 1 − B ⇔ B 3 = 2 − B ⇔ B 3 + B − 2 =
÷
÷
÷
÷
9 
9 
81


2

1
7
⇔ ( B − 1) ( B + B + 2 ) = 0 mà B + B + 2 =  B + ÷ + > 0 suy ra B = 1 .
2 4

Vậy B là số nguyên.
2

2

c) Áp dụng hằng đẳng thức: ( u + v ) 3 = u 3 + v 3 + 3uv ( u + v )
Ta có

x 3 = 2a + ( 1 − 2a ) x ⇔ x 3 + ( 2a − 1) x − 2a = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x + 2a ) = 0

Xét đa thức bậc hai x 2 + x + 2a với ∆ = 1 − 8a ≥ 0
+ Khi a =

1
1
1
ta có x = 3 + 3 = 1 .
8
8
8

1

+ Khi a > , ta có ∆ = 1 − 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x = 1
8

Vậy với mọi a ≥

1
a + 1 8a − 1 3
a + 1 8a − 1
ta có: x = 3 a +
+ a−
= 1 là
8
3
3
3
3

số tự nhiên.
d) Nhận xét:

(

x 2 + 2015 + x

)(

)

x 2 + 2015 − x = x 2 + 2015 − x 2 = 2015

.

5


x 2 + 2015 − x =

Kết hợp với giả thiết ta suy ra
⇒

y 2 + 2015 + y

y 2 + 2015 + y + x 2 + 2015 + x = x 2 + 2015 − x + y 2 + 2015 − y ⇔ x + y = 0

Ví dụ 4)
a) Cho x = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 . Tính giá trị biểu thức:
x 4 − 4 x3 + x 2 + 6 x + 12
.
P=
x 2 − 2 x + 12
b) Cho x = 1 + 3 2 . Tính giá trị của biểu thức
B = x 4 − 2 x 4 + x 3 − 3 x 2 + 1942 .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC
Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).
c) Cho x = 1 + 3 2 + 3 4 . Tính giá trị biểu thức:
P = x 5 − 4 x 4 + x 3 − x 2 − 2 x + 2015
Giải:
a) Ta có:
2




x =  4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 ÷ = 8 + 2 4 + 10 + 2 5 . 4 − 10 + 2 5


2

⇔ x2 = 8 + 2 6 − 2 5 = 8 + 2

(

)

5 −1

2

=8+2

(

)

5 −1 = 6 + 2 5 =

(

)

5 +1

2

2
⇒ x = 5 + 1 . Từ đó ta suy ra ( x − 1) = 5 ⇔ x − 2 x = 4 .
2

Ta biến đổi: P = (

x 2 − 2 x ) − 2 ( x 2 − 2 x ) + 12
2

42 − 3.4 + 12
=1.
2
x − 2 x + 12
4 + 12
3
3
2
3
b) Ta có x = 1 + 2 ⇒ ( x − 1) = 2 ⇔ x − 3x + 3x − 3 = 0 . Ta biến đổi
=

biểu thức P thành:
P = x 2 ( x 3 − 3x 2 + 3 x − 3) + x ( x 3 − 3x 2 + 3x − 3) + ( x 3 − 3x 2 + 3x − 3) + 1945 = 1945

c) Để ý rằng: x = 3 22 + 3 2 + 1 ta nhân thêm 2 vế với

3

2 − 1 để tận

3
3
2
2
dụng hằng đẳng thức: a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) . Khi đó ta có:

6


) ( 2 − 1) ( 2 + 2 + 1)
⇔ ( 2 − 1) x = 1 ⇔ 2 x = x + 1 ⇔ 2 x

(

3

2 −1 x =

3

3

3

2

3

3

3

= ( x + 1) ⇔ x 3 − 3 x 2 − 3 x − 1 = 0 .
3

Ta biến đổi:

P = x 5 − 4 x 4 + x 3 − x 2 − 2 x + 2015 = ( x 2 − x + 1) ( x 3 − 3x 2 − 3x − 1) + 2016 = 2016

Ví dụ 5) Cho x, y, z > 0 và xy + yz + zx = 1 .
a) Tính giá trị biểu thức:

( 1+ y ) ( 1+ z ) + y ( 1+ z ) ( 1+ x ) + z ( 1+ x ) ( 1+ y )
2

P=x

2

2

2

1+ y2
x
y
z
b) Chứng minh rằng:

+
−
=
2
2
1+ x 1+ y 1 + z2

2

1 + x2

2

1+ z2
2 xy

( 1+ x ) ( 1+ y ) ( 1+ z )
2

2

2

Lời giải:
a) Để ý rằng: 1 + x 2 = x 2 + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z )
Tương tự đối với 1 + y 2 ;1 + z 2 ta có:

( 1+ y ) ( 1+ z )
2

x

1+ x

2

2

=x

( y + x) ( y + z) ( z + x) ( z + y)
( x + y) ( x + z)

= x( y + z)

Suy ra P = x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) = 2 ( xy + yz + zx ) = 2 .
b) Tương tự như câu a)
Ta có:

x
y
z
x
y
z
+
−
=
+
−

2
2
2
1+ x 1+ y 1+ z
( x + y) ( x + z) ( x + y) ( y + z) ( z + y) ( z + x)
=

x( y + z) + y ( z + x) − z ( x + y)

( x + y) ( y + z) ( z + x)

=

( x + y) (

2 xy
=
y + z) ( z + x)

2 xy

( 1+ x ) ( 1+ y ) ( 1+ z )
2

2

2

Ví dụ 6)

7


a)

Tìm x , x ,..., x thỏa mãn:
1
2
n
x12 − 12 + 2 x2 2 − 22 + .. + n xn 2 − n 2 =

1 2
( x1 + x22 + ... + xn2 )
2

4n + 4n 2 − 1 với n nguyên dương. Tính
b)
2n + 1 + 2n − 1
f (1) + f (2) + .. + f (40) .

Cho

f ( n) =

Lời giải:
a)

Đẳng thức tương đương với:

(

) (
2

x12 − 12 − 1 +

)

2

x2 2 − 22 − 2 + ... +

(

xn 2 − n 2 − n

)

2

=0

2
2
Hay x1 = 2, x2 = 2.2 ,..., xn = 2.n

 x 2 + y 2 = 4n

Đặt x = 2n + 1, y = 2n − 1 ⇒  xy = 4n 2 − 1 .


b)
 x2 − y 2 = 2

Suy ra

x 2 + xy + y 2 x 3 − y 3 1 3
1
f ( n) =
= 2
= ( x − y3 ) =
2
x+ y
x −y
2
2
Áp dụng vào bài toán ta có:
f ( 1) + f ( 2 ) + .. + f ( 40 ) =

=

(

1
2

1
2 

(

) (

33 − 13 +

(

( 2n + 1)

)

3

( 2n − 1)

−

53 − 33 + .. +

(

3

).
)

813 − 793 


)

813 − 13 = 364

Ví dụ 7)
1
1
1
+
+ .... +
> 4 . Đề thi
1+ 2
3+ 4
79 + 80

a) Chứng minh rằng:
chuyên ĐHSP 2011
b) Chứng minh rằng:
8

1
1
1
1
1 

+
+
+ ... +
> 2 1 −
÷.
1 2 2 3 3 4

n n +1
n +1 



1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
< 2 n − 1 với
1
2
3
4
n
mọi số nguyên dương n ≥ 2 .
Lời giải:
c) Chứng minh: 2 n − 2 <

a) Xét A =

1
1
1
,

+
+ .... +
1+ 2
3+ 4
79 + 80

1
1
1
+
+ .. +
2+ 3
4+ 5
80 + 81
Dễ thấy A > B .
B=

1
1
1
1
1
+
+
+ .... +
+
1+ 2
2+ 3
3+ 4
79 + 80

80 + 81

Ta có A + B =

Mặt khác ta có:

Suy ra A + B =

(

1
k + k +1

=

) (

2− 1 +

(

(

k +1 − k

k +1 + k

)

3 − 2 + ... +

)(

(

)

k +1 − k

)

= k +1 − k

)

81 − 80 = 81 − 1 = 8 . Do

A > B suy ra 2 A > A + B = 8 ⇔ A > 4 .

1
1
b) Để ý rằng: 1 − 1 =
với
<
k
k +1
2k k + 1
k (k + 1) k + 1 + k

(

)

mọi k nguyên dương.
Suy ra
1   1
1 
1 
1 
 1


VT > 2 1 −
−
−
÷+ 2 
÷+ .. + 2 
÷ = 2 1 −
÷.
2  2
3
n +1 
n +1 

 n

c) Đặt P = 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1
1
2
3

4
n
Ta có:

2
n + n +1

<

1
2
2
=
<
với mọi số tự nhiên n ≥ 2 .
n 2 n
n + n −1

9


Từ đó suy ra
2

(

n +1 − n =

)

2

(

n +1 − n <

)

(
T < 1 + 2 (


Do đó: 2 

2
2
2
<
<
=2
n +1 + n 2 n
n + n −1
2
<2
n

(

n − n −1

(

)

n − n − 1 hay

)

) ( 3 − 2 ) + ... + ( n + 1 − n )  < T
2 − 1) + ( 3 − 2 ) + .... ( n − n − 1 )  .

2− 1 +

và

Hay 2 n − 2 < T < 2 n − 1 .
Ví dụ 8)
a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
a 1 − b2 + b 1 − c 2 + c 1 − a 2 =

3
.Chứng minh rằng:
2

3
.
2
a) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
a 2 + b2 + c2 =

x 1 − y 2 + y 2 − z 2 + z 3 − x 2 = 3 . (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp

10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
a 1 − b2 + b 1 − c 2 + c 1 − a 2 ≤

a 2 + 1 − b2 b2 + 1 − c 2 c2 + 1 − a2 3
+
+
= .
2
2
2
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a = 1 − b 2
a 2 = 1 − b2

 2
3

2
2
2
2
2
b = 1 − c ⇔ b = 1 − c ⇒ a + b + c = (đpcm).
2


c 2 = 1 − a 2
2

c = 1 − a
10


b) Ta viết lại giả thiết thành: 2 x 1 − y 2 + 2 y 2 − z 2 + 2 z 3 − x 2 = 6 .
Áp dụng bất đẳng thức : 2ab ≤ a 2 + b 2 ta có:
2x 1− y2 + 2 y 2 − z2 + 2z 3 − x2 ≤ x2 +1 − y2 + y2 + 2 − z 2 + z 2 + 3 − x2 = 6

. Suy ra VT ≤ VP . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
 x 2 + y 2 + z 2 = 3; x, y , z ≥ 0
 x, y , z ≥ 0
x = 1− y2
 2
 2
2

2

x + y = 1
x + y = 1
2
y
=
2
−
z

⇔
⇔
⇔ x = 1; y = 0; z = 2

 2
 2
2
2
y
+
z
=
2
y
+
z
=
2



2
 z = 3 − x
z 2 + x2 = 3
 z 2 + x2 = 3


Ví dụ 9) Cho A =

x

(

x+4 x−4 + x−4 x−4
x 2 − 8 x + 16

) với x > 4

a) Rút gọn A .Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x > 4 .

x
A= 
x

(

(

x−4 +2

x−4 +2+

(

+

x−4 −2

x−4

x

2

( x − 4)

+ Nếu 4 < x < 8 thì
A=

)

(
2

2 
x−4 −2 ÷ x
=

(

x−4 +2 +
x−4

x−4 −2

)=

)

x − 4 − 2 < 0 nên

x−4 +2+2− x−4
x−4

)

)=

4x
16
= 4+
x−4
x−4

Do 4 < x < 8 nên 0 < x − 4 < 4 ⇒ A > 8 .

11


+ Nếu x ≥ 8 thì

x

(

x − 4 − 2 ≥ 0 nên

x−4 +2+ x−4 −2

) = 2x

x−4
2x
8
=
= 2 x−4 +
≥ 2 16 = 8
x−4
x−4
x−4
x−4
(Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
A=

2 x−4 =

8
⇔ x−4 = 4 ⇔ x =8.
x−4

Vậy GTNN của A bằng 8 khi x = 8 .
b) Xét 4 < x < 8 thì A = 4 +

16
, ta thấy A ∈ Z khi và chỉ khi
x−4

16
∈ Z ⇔ x − 4 là ước số nguyên dương của 16 . Hay
x−4

x − 4 ∈ { 1; 2; 4;8;16} ⇔ x = { 5; 6;8;12; 20} đối chiếu điều kiện suy ra x = 5
hoặc x = 6 .
+ Xét x ≥ 8 ta có: A =
A=

2 ( m2 + 4 )
m

= 2m +

2x
, đặt
x−4

 x = m2 + 4
x−4 = m⇒ 
khi đó ta có:
m ≥ 2

8 suy ra m ∈ { 2; 4;8} ⇔ x ∈ { 8; 20; 68} .
m

Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ { 5;6;8; 20;68} .
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)
Với x > 0 , cho hai biểu thức A =

2+ x
và B =
x

x −1 2 x + 1
+
.
x
x+ x

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 64 .
2) Rút gọn biểu thức B .
A 3
3) Tính x để > .
B 2
Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)
12


x +4
. Tính giá trị của biểu thức A .
x +2

x
4  x + 16
+
2) Rút gọn biểu thức B = 
(với x ≥ 0, x ≠ 16
÷:

x −4÷
 x +4
 x +2
)
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của
1) Cho biểu thức A =

x để giá trị của biểu thức B ( A − 1) là số nguyên.
Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).
Cho A =

x
10 x
5
−
−
, với x ≥ 0, x ≠ 25 .
x − 5 x − 25
x +5

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A khi x = 9 .
1
3) Tìm x để A < .
3
Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).
Cho P =

x
2 x

3x + 9
+
−
, với x ≥ 0, x ≠ 9 .
x +3
x −3 x −9

1) Rút gọn P .
1
2) Tìm giá trị của x để P = .
3
3) Tìm giá trị lớn nhất của P .

Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)
Thu gọn các biểu thức sau:
A=

5+ 5
5
3 5
+
−
5+2
5 −1 3 + 5

13


x
1  

2
6 

B=
+
+
÷: 1 −
÷
x +3 
x x+3 x 
 x+3 x

( x > 0) .

Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)
Thu gọn các biểu thức sau:

x
3  x +3
A = 
+
với x ≥ 0, x ≠ 9 .
÷.
x −3÷
 x +3
 x+9

B = 21

(

2+ 3 + 3− 5

) (
2

−6

2− 3 + 3+ 5

)

2

− 15 15 .

Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)
Rút gọn biểu thức P =

x 2
2x − 2
+
, với x > 0, x ≠ 2 .
x−2
2 x+x 2

Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)
Cho A =
B = 1+

1
1
1
1
+
+
+ ... +
và
1+ 2
2+ 3
3+ 4
120 + 121

1
1
+ ... +
.
2
35

Chứng minh rằng B > A .
Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)
Cho biểu thức P =

x3 + y3
x+ y
. 2
,x ≠ y.
2
2

x − xy + y x − y 2

1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tính giá trị của P khi x = 7 − 4 3 và y = 4 − 2 3 .
Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)
Cho các số thực dương a, b ; a ≠ b .
14


Chứng minh rằng:

(

( a − b)

3

a− b

)

3

− b b + 2a a
+

a a −b b

.
3a + 3 ab

=0
b−a

Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)
A=

x + x − 6 x − 7 x + 19 x − 5 x
+
−
; x > 0, x ≠ 9 .
x−9
x + x − 12 x + 4 x

Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)
Cho biểu thức A =

1
1
2 x
+
−
2+ x 2− x 4− x

( x ≥ 0, x ≠ 4 ) .

1
Rút gọn A và tìm x để A = .
3

Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi).

3
3
x x+x
+
+
. Tìm tất cả
x−3 − x
x−3+ x
x +1
các giá trị của x để P > 2 .
2
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( P ) : y = − x và đường thẳng
1) Cho biểu thức P =

( d ) : y = mx − 1 ( m là tham số). chứng minh rằng với mọi giá trị của
m , đường thẳng ( d ) luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành
độ x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 ≥ 2 .
Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)
Cho biểu thức C =

a
2
2
−
−
.
a − 16
a −4
a +4

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C .
2) Tính giá trị của biểu thức C khi a = 9 − 4 5 .
Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)
15


 2
3
5 x −7  2 x +3
+
−
Cho biểu thức A = 
÷
÷:
 x − 2 2 x + 1 2 x − 3 x − 2  5 x − 10 x

( x > 0, x ≠ 4 ) .
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)
x +1
, khi x = 9 .
x −1
1  x +1
 x−2
+
2) Cho biểu thức P = 
với x > 0 và x ≠ 1 .
÷.
x + 2  x −1

 x+2 x
1) Tính giá trị của biểu thức A =

x +1
.
x
b) Tìm các giá trị của x để 2 P = 2 x + 5 .
a) Chứng minh rằng P =

Câu 17) Cho a = 3 + 5 + 2 3 + 3 − 5 + 2 3 . Chứng minh rằng
a 2 − 2a − 2 = 0 .

Câu 18) Cho a = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .
Tính giá trị của biểu thức: T =

a 2 − 4a 3 + a 2 + 6a + 4
.
a 2 − 2a + 12

Câu 19) Giả thiết x, y, z > 0 và xy + yz + zx = a .
Chứng minh rằng:

( a + y ) ( a + z ) + y ( a + z) ( a + x)
2

x

a + x2

2

2

a + y2

2

2

+z

Câu 20. Cho a = 2 + 7 − 3 61 + 46 5 + 1 .
a) Chứng minh rằng: a 4 − 14a 2 + 9 = 0 .
16

(a+x )(a+ y )
a + z2

2

= 2a .


5
4
3
2
b) Giả sử f ( x ) = x + 2 x − 14 x − 28 x + 9 x + 19 . Tính f ( a ) .

Câu 21. Cho a = 3 38 + 17 5 + 3 38 − 17 5 .

Giả sử có đa thức f ( x ) = ( x3 + 3 x + 1940 )
Câu 22. Cho biểu thức f ( n ) =

2016

. Hãy tính f ( a ) .

2n + 1 + n ( n + 1)
n + n +1

.

Tính tổng S = f ( 1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2016 ) .
Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1≤

1 1 1
1 5
+ 2 + 2 + ... + 2 < .
2
1 2 3
n
3

Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 3 , ta có

1 1 1
1 65
+ 3 + 3 + ... + 3 <

.
3
1 2 3
n 54
Câu 25) Chứng minh rằng:

43
1
1
1
44
<
+
+ ... +
<
44 2 1 + 1 2 3 2 + 2 3
2002 2001 + 2001 2002 45
(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)
Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1
1
1
1
+
+ ... +
< 1−
.
2 2 +1 1 3 3 + 2 2
n +1

( n + 1) n + 1 + n n
Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 , ta có:
1 4 7 10 3n − 2 3n + 1
1
. . . ....
.
<
.
3 6 9 12
3n 3n + 3 3 n + 1
17


LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1
1). Lời giải:
1) Với x = 64 ta có A =
B=

(

)(

) (

2 + 64 2 + 8 5
=
= .
8
4
64

)

x −1 . x + x + 2 x +1 . x

(

x. x + x

)

=

x x + 2x
1
= 1+
=
x x+x
x +1

x +2
x +1

A 3
2+ x 2+ x 3
x +1 3
> ⇔
:
> ⇔
>

B 2
2
x
x +1 2
x
⇔ 2 x + 2 > 3 x ⇔ x < 2 ⇔ 0 < x < 4 (do x > 0 ).

Với x > 0 , ta có:

2. Lời giải:
1) Với

x = 36

, ta có

A=

36 + 4 10 5 .
= =
36 + 2 8 4

2) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có:

(

) (

) ÷

 x x −4 4 x +4
B=
+

x − 16
x − 16

.
3) Biểu thức B A − 1 = x + 2 
(
)

x − 16 

(

)

x + 2 ( x + 16 ) x + 2
x +2
=
=
÷ x + 16
( x − 16 ) ( x + 16 ) x − 16

x +4− x −2
2
=
÷
÷ x − 16

x +2


B ( A − 1) nguyên, x nguyên thì x − 16 là ước của 2 , mà

U ( 2 ) = { ±1; ±2} . Ta có bảng giá trị tương ứng:
Kết hợp điều kiện, để B ( A − 1) nguyên thì x ∈ { 14;15;16;17} .
3). Lời giải:
A=

18

x
10 x
5
−
−
=
x − 5 x − 25
x +5

x.

(

)

(
( x − 5) ( x + 5)

x + 5 − 10 x − 5.

x −5

)


=

=

x + 5 x − 10 x − 5 x + 25

(

(

(

x −5

x −5

x −5

A=

)(

)

)(

x +5

)

=

(

x − 10 x + 25
x −5

)(

x +5

)

2

x +5

)

x −5
. Với x = 9 ta có:
x +5

⇒ A=

x = 3 . Vậy

3 − 5 −2
1
=
=− .
3+5 8
4

4). Lời giải:
1) P =

x

(

)

x −3 +2 x

(

x −3

)(

(

)

x + 3 − 3x − 9
x +3

)

=

3
x +3

2) P = 1 ⇔
3

3
1
= ⇒ x + 3 = 9 ⇔ x = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ)
x +3 3
3) Với x ≥ 0, P = 3 ≤ 3 = 1 ⇒ P = 1 khi
(TM).
x=0
max
x +3 0+3
5. Lời giải:
A=

=

5+ 5

5
3 5
+
−
5+2
5 −1 3 + 5

( 5+ 5) (
( 5 + 2) (

= 3 5 −5+

)+
5 − 2) (

5−2

5

(

)(

5 −1

)

5 +1

−

(

3 5 3− 5

)

) ( 3+ 5) ( 3− 5)

5 +1

5 + 5 9 5 − 15
5 + 5 − 9 5 + 15
−
= 3 5 −5+
4
4
4

= 3 5 −5+5−2 5 = 5 .
x
1  
2
6


B=
+
+
÷: 1 −

÷( x > 0 )
x +3 
x x+3 x 
 x+3 x

19




x
1   x −2
6
= 
+
:
+
÷
x +3÷
x
x x +3
 x +3
 

(


x +1 
:
x +3 



=

(

)(
x(

)

x +3 +6
÷=
÷
x +3


x −2

)

(

)


÷
÷


)

x +1 .

x
x+ x

= 1.

6. Lời giải:
Với x ≥ 0 và x ≠ 9 ta có:


x −3 x +3 x +9 ÷ x +3 1
A=
.
=
−3.
 x +3
x
x −3 ÷ x+9



(

B=

)(

21
2

(

)

4+2 3 + 6−2 5

=

21
2

(

3 + 1 + 5 −1 − 3

)

=

15
2

(

3+ 5

)

2

2

(

) (
2

−3

4−2 3 ++ 6+2 5

)

)

2

− 15 15

2

3 − 1 + 5 + 1 − 15 15

− 15 15 = 60 .

7). Lời giải: Với điều kiện đã cho thì:
P=

2x

(

x 2
2+ x

+

) (

2

(

x− 2

x− 2

)(

)

x+ 2

)

=

x
2
+
= 1.
2+ x
x+ 2

8. Lời giải:
Ta có: A =

=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
120 + 121

1− 2

+

( 1+ 2 ) ( 1− 2 ) (

20

2− 3
2+ 3

)(

2− 3

)

+ ... +

(

120 − 121
120 + 121

)(

120 − 121

)


=

1− 2
2− 3
120 − 121

+
+ ... +
−1
−1
−1

= 2 − 1 + 3 − 2 + ... + 121 − 120 = −1 + 121 = 10 (1)
1
2
2
=
>
=2
k
k+ k
k + k +1

Với mọi k ∈ ¥ * , ta có:

(

k +1 − k

)

1
1
+ ... +
2
35

Do đó B = 1 +

( 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ... + 36 − 35 )
⇒ B > 2 ( − 1 + 36 ) = 2 ( −1 + 6 ) = 10 (2) . Từ (1) và (2) suy ra B > A .
⇒B>2

9. Lời giải:
x3 + y 3
x+ y
x+ y
.
.
=
2
2
x − xy + y ( x − y ) ( x + y ) x − y

1) P =

2) Với x = 7 − 4 3 = 2 − 3 và y = 4 − 2 3 = 3 − 1
Thay vào P ta được: P =

2 − 3 + 3 −1

( 2 − 3) − (

)

3 −1

=

1
3+ 2 3
=−
3 .
3− 2 3

10.Lời giải:

Ta có:

(

Q=

(

(

3

a+ b

)

3

− b b + 2a a

+

a a −b b

a− b

=

=

(

( a − b)

)(
3

a+ b

a− b

)

3

)

3

− b b + 2a a

)(

a − b a + ab + b

)(

a − b a + ab + b

)

−

)

a a + 3a b + 3b a + b b + 2a a

(

3a + 3 ab
b−a

−

(

(

3 a+

(

a− b

3 a
a− b

)(

a+ b

)

a+ b

)

=0

)
21


=

3a a + 3a b + 3b a − 3a a − 3a b − 3b a

(

)(

a − b a + ab + b

= 0 (ĐPCM).

)

11. Lời giải:
A=

x + x − 6 x − 7 x + 19 x − 5 x
+
−
x −9
x + x − 12 x + 4 x

=

x −2
+
x −3

=

(

x − 7 x + 19
x −3

)(

x +4

)

−

x −5
x +4

x + 2 x − 8 + x − 7 x + 19 − x + 8 x − 15

(

x −3

)(

x +4

)

=

(
(

)(
x − 3) (

)=
x + 4)

x −1

x +4

x −1 .
x −3

12. Lời giải:

(

)

A=

1
1
2 x
4
2 x 2 2− x
2 . Với
+
−
=
−
=
=

4− x
2+ x 2− x 4− x 4− x 4− x
2+ x

A=

1
2
1
1
⇔
= ⇔ x = 4 ⇔ x = 16 (nhận). Vậy A = khi x = 16 .
3
2+ x 3
3

13. Lời giải:
1) ĐKXĐ: x ≥ 3
⇒P=

=

3
3
x x+x
+
+
x −3 − x
x −3 + x
x +1

(

)

6 x −3
3 x − 3 + 3 3 + 3 x − 3 − 3 x x x +1
=
+ x = x−2 x−3 .
+
−3
( x − 3) − x
x +1

Vì P > 2 ⇒ x − 2 x − 3 > 2 ⇔ ( x − 3) − 2 x − 3 + 1 > 0
⇔

(

x ≠ 4.

22

)

2

x − 3 − 1 > 0 ⇔ x − 3 − 1 ≠ 0 ⇔ x − 3 ≠ 1 ⇔ x ≠ 4 .Vậy x ≥ 3 và

2) Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và ( d ) là: x 2 + mx − 1 = 0
.
có ∆ = m 2 + 4 > 0 với mọi m , nên phương trình luôn có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 . Theo hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = −m và x1 x2 = −1
⇒ ( x1 + x2 ) = ( − m ) ⇒ x12 + x22 + 2 x1 x2 = m 2
2

2

⇒ ( x1 − x2 ) + 4 x1 x2 = m 2 ⇒ ( x1 − x2 ) + 4. ( −1) = m 2
2

2

2
⇒ ( x1 − x2 ) = m 2 + 4 ≥ 4 với mọi m ⇒ x1 − x2 ≥ 2 với mọi m (ĐPCM).

14. Lời giải:
a ≥ 0
a ≥ 0
 a − 16 ≠ 0


a ≠ 16
⇒
⇒ a ≥ 0, a ≠ 16 .
1) Biểu thức C có nghĩa khi: 
 a − 4 ≠ 0 a ≠ 16
 a + 4 ≠ 0 ∀a ≥ 0


Rút gọn C =
=

(

a
2
2
−
−
a − 16
a −4
a +4

a

a −4

a +4

)

2
2
−
a −4
a +4

) ( a − 4) = a − 2 a − 8 − 2 a + 8 =
( a + 4) ( a − 4) (

( a + 4) ( a − 4)
a ( a − 4)
a
=
=
.
( a − 4) ( a + 4) a + 4
=

a−2

(

)(

−

a +4 −2

2) Giá trị của C khi a = 9 − 4 5 .

(

Ta có: a = a = 9 − 4 5 = 4 − 4 5 + 5 = 2 − 5

(

⇒ a=
Vậy C =

(

2− 5
a
a +4

)

)

2

=

)

a−4 a
a +4

)(

a −4

)

2

= 5−2
5 −2
5 −2

=
= 9−4 5 .
5 −2+4
5+2

23


15. Lời giải:
1) Với x > 0, x ≠ 4 biểu thức có nghĩa ta có:
 2
3
5 x −7  2 3 +3
A = 
+
−
÷
÷: 5 x − 10 x
x
−
2
2
x
+
1
2
x
−
3
x

−
2



=

=

(

) (

2 2 x +1 + 3

(

)(

)(

.

)

x + 2 2 x +1

A=

5 x

(

x −2

2 x +3

):

)=

2 x +3
5 x

(

x −2

)

5 x
. Vậy với x > 0, x ≠ 4 thì
2 x +1

5 x
.
2 x +1

2) Ta có
A=

)

x − 2 2 x +1

2 x +3

(

) (

x −2 − 5 x −7

x > 0, ∀x > 0, x ≠ 4

nên

A=

5 x
> 0, x > 0, x ≠ 4
2 x +1

5 x
5
5
5
= −
< , x > 0, x ≠ 4 ⇒ 0 < A < 5 , kết hợp với A
2 x +1 2 2 2 x +1 2

2

(

)

nhận giá trị là một số nguyên thì A∈ { 1, 2} .
1
1
A = 1 ⇔ 5 x = 2 x + 1 ⇒ x = ⇔ x = thỏa mãn điều kiện.
3
9
A = 2 ⇔ 5 x = 4 x + 2 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 không thỏa mãn điều kiện.
1
Vậy với x = thì A nhận giá trị là nguyên.
9
16. Lời giải:
1) Với x = 9 ta có A =
2) a)

x−2+ x
P=
 x x +2


(

24

)

3 +1
= 2.
3 −1



÷. x + 1 = 
÷ x −1 



(

)(

x −1 .
x

(

)

x + 2  x +1
÷.
=
÷ x −1
x +2


)

x +1
.
x


b) Theo câu a)
⇒ 2P = 2 x + 5 ⇔

x +1
x

P=

2 x +2
= 2 x +5
x

2 x + 2 = 2 x + 5 x ⇔ 2 x + 3 x − 2 = 0 và x > 0
1
1
1

⇔ x + 2  x − ÷= 0 ⇔ x = ⇔ x = .
2
2
4


(

)

17. Giải:

(

)

a2 = 3 + 5 + 2 3 + 3 − 5 + 2 3 + 2 9 − 5 + 2 3 = 6 + 2 4 − 2 3

(

= 6+2

)

3 −1

2

= 6+2

(

)

(

)

2

3 − 1 = 4 + 2 3 = 1 + 3 . Do a > 0 nên

a = 3 + 1 . Do đó ( a − 1) = 3 hay a 2 − 2a − 2 = 0 .
2

18. Giải:

(

)

a 2 = 8 + 2 16 − 10 + 2 5 = 8 + 2 6 − 2 5 = 8 + 2
=8+2
a

2

(

(

)

5 −1

2

)

5 − 1 = 6 + 2 5 . Vì a > 0 nên a = 5 + 1 . Do đó ( a − 1) = 5 hay
2

(a
− 2a = 4 . Biểu diễn T =

2

− 2a ) − 3 ( a 2 − 2a ) + 4
2

a 2 − 2a + 12

=

42 − 3.4 + 4 1 .
=
4 + 12
2

19. Giải:
2
2
Ta có: a + x = x + xy + yz + zx = ( x + y ) ( x + z ) .Tương tự ta có:

a + y2 = ( y + x ) ( y + z ) ; a + z2 = ( z + x ) ( z + y ) .
Từ đó ta có:

(a+ y )(a+ z )
2

x

a+x

2

2

=x

( x + y) ( y + z ) ( z + x) ( z + y)
( x + y) ( x + z)

= x ( x + y ) . Tương tự:

25