Bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o———————

CHU TRỌNG KÍNH

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

XUÂN HÒA, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o———————

CHU TRỌNG KÍNH

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS LÊ VĂN HIỆN

XUÂN HÒA, 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện. Luận án sử dụng một số
kết quả viết chung với tác giả khác và đã được sự nhất trí của các đồng tác giả
khi đưa vào luận án. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng
được công bố trong bất kì luận văn, luận án nào khác.
Tác giả

1


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới
sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Văn Hiện. Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc tới thầy, PGS.TS Lê Văn Hiện, người đã định hướng, chỉ dẫn
sát sao và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận án này. Sự chuyên nghiệp, nghiêm túc trong nghiên cứu và
những định hướng đúng đắn của thầy là tiền đề quan trọng giúp tôi có được
những kết quả trình bày trong luận án này.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Trần
Đình Kế, người luôn đồng hành, ủng hộ và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập
và làm nghiên cứu sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong khoa Toán, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong thời gian
học tập và làm nghiên cứu tại Khoa. Đồng thời, tôi cũng chân thành cảm ơn

các bạn nghiên cứu sinh và các thành viên trong xemina Giải tích, khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, xemina Phương trình vi phân và tích phân,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đã quan tâm, trao đổi và góp ý cho tôi trong
quá trình học tập và làm luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục và Đào tạo
Hà Nội, các thầy giáo, cô giáo của trường THPT Ngô Quyền, Ba Vì, Hà Nội,
đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm nghiên
cứu sinh.
Đặc biệt, tôi thực sự hạnh phúc và tự hào khi được đại gia đình luôn ở
bên, chia sẻ và động viên, là động lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án này.
Tác giả

2


MỤC LỤC

Trang
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1. M-ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Lý thuyết nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Giải tích bậc phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Ánh xạ đa trị và một số định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . 21
2. SỰ ĐỒNG BỘ CỦA MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN
THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1. Mô hình mạng nơron Hopfield bậc phân số . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Sự đồng bộ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. NGHIỆM HÚT TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN
BẬC PHÂN SỐ KIỂU SOBOLEV TRONG KHÔNG GIAN BANACH 36
3.1. Sự tồn tại nghiệm trên khoảng thời gian hữu hạn . . . . . . . . . . 36
3.2. Tập nghiệm hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3


3.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4. ỔN ĐỊNH HÓA MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG BẬC PHÂN SỐ DẠNG

KẾT NỐI BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHÂN QUYỀN . . . . . . . . . . . . 63
4.1. Hệ dương bậc phân số dạng kết nối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.1. Mô tả hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2. Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.3. Thiết kế điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Tính ổn định và ổn định hóa vững của hệ điều khiển bậc phân số
dạng kết nối với nhiễu dạng khoảng và trễ không đồng nhất . . . . 71
4.2.1. Hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối có trễ . . . . . . . . . 71
4.2.2. Điều kiện hệ dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.3. Phân tích tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.4. Thiết kế điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.5. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Danh mục công trình công bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4


KÍ HIỆU

Tập n số nguyên dương đầu tiên {1, 2, . . . , n}

[n]

Tập các số thực không âm

R+

R∗+

Tập các số thực dương

Rn

Không gian Euclide n chiều

x

∞

Rm×n

maxi∈[n] |xi |, chuẩn max của vectơ x ∈ Rn

Tập hợp các ma trận cấp m × n

A⊤

Ma trận chuyển vị của ma trận A

[A]ij

Phần tử tại dòng i và cột j của ma trận A

A

0

A≻0
x

y

Rn+

Ma trận không âm, tức là [A]ij ≥ 0 với mọi i, j
Ma trận dương, tức là [A]ij > 0 với mọi i, j

xi ≥ yi , ∀i ∈ [n], với x = (xi ) ∈ Rn và y = (yi ) ∈ Rn

Orthant dương {x ∈ Rn : x

0}

λ(A)

Tập hợp các giá trị riêng của ma trận A

λmax (A), λmin (A)

max{Reλ : λ ∈ λ(A)}, min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

LMIs

Các bất đẳng thức ma trận tuyến tính

MNC

Độ đo không compact

LP

Bài toán quy hoạch tuyến tính

C k (Ω)

Không gian các hàm khả vi liên tục cấp k trong miền Ω

Lp (Ω)

Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue
trong miền Ω

L∞ (Ω)

Không gian các hàm đo được bị chặn hầu khắp trên Ω

Lploc (Ω), 1 ≤ p < ∞ Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích địa phương

trên Ω

PC([0, T ]; X)

Không gian các hàm liên tục từng khúc trên [0, T ]

PC 0

Không gian các hàm liên tục từng khúc trên [0, ∞)

D0α f (t)

Đạo hàm Caputo bậc α của hàm f (t)

RL D α f (t)
0

dần tới 0 khi t → ∞

Đạo hàm Riemann-Liouville bậc α của hàm f (t)
5


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Giải tích bậc phân số với một lịch sử lâu dài như là một lĩnh vực toán học
thuần túy. Trong vài thập kỉ trở lại đây, các phương trình vi-tích phân bậc phân
số đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả bởi các ứng dụng của chúng trong
việc mô tả nhiều bài toán từ các mô hình thực tiễn [32, 38, 42, 54, 61]. Có nhiều
khái niệm đạo hàm bậc phân số. Trong số đó, đạo hàm theo nghĩa Caputo và
đạo hàm Riemann-Liouville được sử dụng rộng rãi hơn do các tính chất đặc thù
của chúng. Chẳng hạn, đạo hàm Caputo có nhiều tính chất quen thuộc, thích
nghi với phép biến đổi Laplace và thuận lợi hơn trong việc biểu diễn nghiệm
của các phương trình vi phân bậc phân số khi biết điều kiện đầu. Gần đây,
các phép tính giải tích bậc phân số được nhiều tác giả phát triển và vận dụng
trong nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân và điều khiển bậc phân
số [29, 37, 83].
Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định

nghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều
khiển hệ thống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn ứng
dụng từ cơ học, vật lý, hóa học, công nghệ thông tin đến các mô hình trong sinh
thái học quần thể, kinh tế và môi trường. Đối với các hệ vi phân bậc nguyên,
hướng nghiên cứu về ổn định nghiệm đã ghi nhận nhiều thành tựu quan trọng
cả về lý thuyết và ứng dụng. Tuy nhiên, đối với các hệ vi phân bậc phân số,
các kết quả nghiên cứu về tính ổn định vẫn rất khiêm tốn. Khó khăn chính là
các phương pháp và cách tiếp cận đã được phát triển cho lớp hệ vi phân bậc
nguyên thường không còn hiệu lực, đặc biệt là đối với các hệ vi-tích phân bậc
phân số trong các không gian vô hạn chiều. Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu
tính ổn định và ứng dụng trong các bài toán điều khiển đối với lớp hệ vi phân
bậc phân số đang là một chủ đề thu hút sự quan tâm rất lớn từ cộng đồng các
nhà nghiên cứu trong và ngoài nước. Một số kết quả nghiên cứu về định tính
6


đối với các phương trình vi phân bậc phân số đã được công bố gần đây như sự
tồn tại nghiệm và nghiệm phân rã kiểu tích phân [2, 40, 41] hay tính điều khiển
được, điều khiển được xấp xỉ [44, 70, 71]. Các nghiên cứu về tính ổn định và ổn
định hóa cũng đã được phát triển cho các hệ vi phân và điều khiển bậc phân số
trong các không gian hữu hạn chiều [5, 15, 46, 49–51, 74]. Trong các kết quả nói
trên, phương pháp hàm Lyapunov đã được phát triển thích ứng với nhiều lớp hệ
vi phân bậc phân số [14,33,50]. Nói riêng, đối với lớp hệ tuyến tính dừng (hệ số
hằng) có trễ và một số biến thể của nó như hệ tuyến tính có nhiễu dạng cấu trúc
hoặc nhiễu phi tuyến, cách tiếp cận rất phổ biến trong nghiên cứu tính ổn định
và ổn định hóa là sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii để thiết lập
các điều kiện ổn định và ổn định hóa thông qua các điều kiện đại số dạng các
bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) [10]. Tuy nhiên, cách tiếp cận nói trên
chỉ phù hợp và hiệu quả đối với các hệ động lực mô tả bởi hệ phương trình vi
phân bậc nguyên trong không gian hữu hạn chiều. Việc phát triển các kết quả

nghiên cứu tương tự cho các hệ vi phân bậc phân số trong các không gian vô hạn
chiều gặp rất nhiều khó khăn, đặc biệt trong việc ước lượng đạo hàm bậc phân
số. Chính vì vậy, các kết quả nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối
với các hệ phương trình vi-tích phân bậc phân số, nhất là trong trường hợp hệ
vô hạn chiều, vẫn còn rất khiêm tốn. Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu
về lý thuyết định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định và
ổn định hóa nói riêng, đối với các hệ động lực mô tả bởi hệ phương trình vi-tích
phân bậc phân số, cả trong trường hợp hữu hạn và vô hạn chiều, cần tiếp tục
được nghiên cứu và hoàn thiện. Đó cũng là lí do và là động lực chính chúng tôi
chọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định và ổn định hóa của các phương trình vi
phân và điều khiển bậc phân số.

2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
2.1. Sự đồng bộ của mạng nơron dạng Hopfield với hệ số biến thiên và
trễ tỉ lệ
Nhiều mô hình trong thực tiễn đời sống được mô tả bởi các hệ phương trình
vi phân có trễ. Các ví dụ tiêu biểu cho những mô hình như thế có thể tìm thấy
7


trong cơ học, điều khiển tự động, các mạng viễn thông, các quá trình vật lí, hóa
học hay sinh học. Một mặt, sự xuất hiện của các độ trễ đó làm thay đổi đáng kể
dáng điệu nghiệm của hệ so với mô hình hệ không có trễ tương ứng, thậm chí
làm mất tính ổn định của hệ [65]. Mặt khác, vấn đề nghiên cứu các tính chất
định tính các hệ có trễ khó khăn hơn rất nhiều so với các hệ vi phân thường bởi
tính vô hạn chiều của không gian pha. Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn
định và ổn định hóa các hệ có trễ là bài toán có ý nghĩa thực tiễn, đã và đang
được nhiều tác giả quan tâm trong những năm gần đây (xem [19, 31, 48, 59, 75]
và các tài liệu trích dẫn ở đó).
Trong hai thập kỷ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đã

được nghiên cứu và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực như xử lý tín
hiệu, nhận dạng mẫu, ước lượng tham số và đặc biệt trong lĩnh vực về trí tuệ
nhân tạo [27,56,68]. Trong các mô hình đó, việc đảm bảo tính ổn định của mạng
nơron được thiết kế là hết sức quan trọng [79]. Mặt khác, trong mô hình các hệ
nơron, yếu tố trễ truyền tải là không tránh khỏi do quá trình xử lý và truyền
tín hiệu qua các kênh với băng thông hạn chế. Sự xuất hiện của trễ thời gian
thường dẫn đến hiệu suất kém và nguy cơ làm mất tính ổn định của mạng [6].
Trong vài năm gần đây, vấn đề nghiên cứu tính ổn định hay tổng quát hơn là
tính chất đồng bộ của các mô hình mạng nơron có trễ mô tả bởi các hệ vi phân
cả bậc nguyên và bậc phân số đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả. Để
liệt kê một số kết quả, chúng tôi giới thiệu độc giả các công trình công bố gần
đây [17, 18, 67, 69, 76] và các tài liệu trích dẫn ở đó. Trong các công trình đã
công bố, tính ổn định hay đồng bộ mới chỉ được nghiên cứu cho một số mô hình
mạng nơron với trọng số kết nối các nơron là hằng và trễ bị chặn. Mặt khác,
trong các mô hình mạng nơron có trễ, mô hình với trễ tỉ lệ được sử dụng rất
phổ biến [81]. Chẳng hạn, với cấu trúc một mạng nơron có nhiều tầng (layers),
quá trình xử lý và truyền tín hiệu giữa các tầng thường được mô tả bằng các tín
hiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian hiện tại. Về dáng điệu tiệm cận, trễ
tỉ lệ thuộc lớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng tỉ lệ với khoảng thời
gian. Bởi vậy, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm các mô hình mạng
nơron có trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn [30]. Đến nay, chúng tôi chưa tìm
thấy một kết quả nghiên cứu nào đề cập đến tính ổn định hay tính đồng bộ của
8


mô hình mạng nơron mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân số với trễ tỉ
lệ. Trong Chương 2 của luận án này, dựa trên bài báo [1] trong Danh mục công
trình công bố, chúng tôi nghiên cứu tính đồng bộ với tốc độ hội tụ kiểu đa thức
cho mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ
dạng sau đây

n

D0α xi (t)

= − di (t)xi (t) +

aij (t)fj (xj (t))
j=1

n

bij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0,

+

(0.1)

j=1

xi (0) = x0i , i ∈ [n].

Áp dụng quy tắc Leibniz về đạo hàm phân số và một số kĩ thuật trong
nguyên lý so sánh, chúng tôi thiết lập các điều kiện cho tính đồng bộ toàn cục
với tốc độ đa thức của mô hình (0.1). Cụ thể hơn, từ các điều kiện đặt ra, chúng
tôi chỉ ra sự tồn tại của các hằng số dương β và γ sao cho hai nghiệm bất kì x(t)
và x˜(t) của (0.1) thỏa mãn đánh giá
x(t) − x˜(t)

∞

x0 − x˜0 ∞
, ∀t ≥ 0.
(1 + t)γ

≤β

2.2. Nghiệm hút toàn cục của bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu
Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều
Các bao hàm thức vi phân không chỉ là mô hình tổng quát của phương
trình vi phân mà còn xuất phát từ nhiều bài toán quan trọng như bài toán điều
khiển phản hồi đa trị, bài toán chính quy hóa phương trình vi phân với phần
phi tuyến không liên tục hay các bất đẳng thức vi-biến phân. Các bao hàm thức
vi phân trong không gian hữu hạn chiều đã được nghiên cứu từ khá sớm. Các
kết quả về tính giải được và cấu trúc tập nghiệm đã được trình bày một cách
hệ thống trong các chuyên khảo [3,21]. Bao hàm thức vi phân bậc nguyên trong
không gian Banach và ứng dụng của nó cũng đã được nghiên cứu [39,66]. Trong
Chương 3, dựa trên bài báo [2] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôi
nghiên cứu bài toán Cauchy suy rộng đối với lớp bao hàm thức vi phân bậc

9


phân số kiểu Sobolev sau đây
D0α Bu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t = tk , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ,

(0.4a)

∆u(tk ) = Ik (u(tk )),

(0.4b)

u(0) = g(u),

(0.4c)

ở đó α ∈ (0, 1), A, B là các toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong không

gian Banach X và F (.) là một ánh xạ phi tuyến đa trị, Ik (.) là hàm trạng thái
xung tại thời điểm nhảy tk và g(.) là hàm biểu thị điều kiện đầu không cục bộ.
Sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình
vi phân, phương trình đạo hàm riêng với điều kiện không cục bộ đã được nghiên

cứu trong vài thập kỉ gần đây. Trong thực tiễn, điều kiện không cục bộ thường
cho những mô tả tốt hơn so với điều kiện ban đầu cổ điển. Ví dụ, các điều kiện
m

u(0) = u0 +
i=1

1
u(0) = u0 +
b

ci u(ti ), ci ∈ R, ti > 0,
b

k(s)u(s)ds, b > 0, k(.) là một hàm thực,

0

cho phép ta thêm các đo đạc tại các thời điểm khác thời điểm ban đầu. Kết
quả đầu tiên và ý nghĩa vật lí của bài toán với điều kiện không cục bộ có thể
xem trong [13]. Các phương trình vi phân với điều kiện không cục bộ đã được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả, điển hình là các kết quả [20, 34, 52, 83, 84]. Mặt
khác, điều kiện xung được sử dụng để mô tả các hệ động lực có sự thay đổi
trạng thái đột ngột tại một số thời điểm, thường gặp trong nhiều mô hình vật
lí, kĩ thuật. Một số kết quả cơ bản về phương trình vi phân có xung có thể tham
khảo trong [45, 62].
Nghiên cứu các phương trình kiểu Sobolev có thể tìm thấy trong những
công trình của Barenblat và các cộng sự [7], ở đó các tác giả đề xuất mô hình
toán học (các phương trình trong không gian trạng thái) mô tả sự rò rỉ của chất
lỏng đồng nhất trong khe đá nứt được cho bởi
∂t [u(x, t) − ∂x2 u(x, t)] = ∂x2 u(x, t).

Dựa trên các phép tính giải tích bậc phân số [54], mô hình trên được tổng quát
hoá thành phương trình/bao hàm thức vi phân bậc phân số.
10


Liên quan tới hệ (0.4a)-(0.4c), sự xuất hiện của ánh xạ phi tuyến đa trị F
là động cơ cho nhiều bài toán đối với các phương trình vi phân thường với vế
phải không liên tục [26], các bất đẳng thức biến phân [57] hay điều khiển phản
hồi [39]. Một câu hỏi quan trọng liên quan tới bài toán (0.4a)-(0.4c) là về dáng
điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian đủ lớn. Cần chú ý thêm rằng lý thuyết
tập hút toàn cục (chẳng hạn, xem [16]) không thể áp dụng cho bài toán này vì
thiếu tính chất nửa nhóm của toán tử nghiệm. Thêm nữa, phương pháp hàm
Lyapunov để phân tích tính ổn định của nghiệm cũng không phù hợp do các
khó khăn trong tính toán và ước lượng đạo hàm bậc phân số, thậm chí ngay cả
trong trường hợp hữu hạn chiều.
Trong nội dung nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng cách tiếp cận bằng lý

thuyết điểm bất động dựa trên ý tưởng mà Burton và Furumochi đề xuất [11,12].
Sử dụng cách tiếp cận này, chúng tôi xây dựng một độ đo không compact chính
quy và áp dụng lý thuyết điểm bất động đối với ánh xạ đa trị nén. Từ đó chúng
tôi chứng minh sự tồn tại của một tập compact khác rỗng các nghiệm hút toàn
cục đối với bài toán (0.4a)-(0.4c). Một áp dụng đối với các phương trình đạo
hàm riêng bậc phân số cũng được trình bày để minh họa cho kết quả nhận được.

2.3. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi phân quyền một số lớp hệ
dương bậc phân số dạng kết nối
Thuật ngữ hệ kết nối (interconnected systems) thường được sử dụng để chỉ
các hệ điều khiển được cấu thành từ hai hay nhiều hệ đơn lẻ hoạt động đồng
thời và ảnh hưởng lẫn nhau thông qua các kênh kết nối (interconnections). Để
minh họa, ta xét mô hình hệ kết nối trong điều khiển tần số hệ thống điện (chi
tiết, mời độc giả xem trong [60]) bao gồm N khu vực sử dụng điện năng. Ở mỗi
khu vực, mô hình điều khiển được mô tả bởi hệ điều khiển tuyến tính dưới đây
mà ta gọi là hệ địa phương (local systems)
x˙ i (t) = Aii xi (t) + Bi ui (t) + Γi di (t), i = 1, 2, . . . , N,

(0.5)

ở đó xi (t) ∈ Rni là vectơ trạng thái (tần số) ở khu vực thứ i, ui (t) là tín hiệu điều

khiển và di (t) là nhiễu đầu vào. Các khu vực sử dụng điện được kết nối bằng

các đường truyền tải (tie-line) tạo thành một hệ thống điều khiển dạng kết nối
11


được mô tả bởi hệ
N

Aij xj (t) + Bi ui (t) + Γi di (t), i = 1, 2, . . . , N,

x˙ i (t) = Aii xi (t) +

(0.6)

j=1,j=i

ở đó x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xN (t))⊤ là vectơ trạng thái tổng của hệ và Aij là
trọng số kết nối giữa khu vực i với khu vực j . Trong điều khiển kĩ thuật, đối với
các hệ dạng kết nối, hai chiến lược điều khiển phổ biến nhất là kĩ thuật điều
khiển trung tâm (centralized control) và điều khiển phân quyền (decentralized
control). Chẳng hạn, đối với hệ (0.6), một điều khiển trung tâm có dạng
u(t)

(u1 (t), u2 (t), . . . , uN (t))⊤ = Kx(t).

(0.7)

Trong thực tế, kĩ thuật điều khiển trung tâm dạng (0.7) thường kém hiệu quả,
nhất là với các hệ có quy mô lớn (large-scale systems), do các yếu tố kĩ thuật
trong đo đạc, truyền và xử lí tín hiệu [4]. Điều khiển phân quyền dựa trên các
bộ điều khiển dạng
ui (t) = Ki xi (t), i = 1, 2, . . . , N,

(0.8)

ở đó trạng thái của khu vực i được sử dụng như tín hiệu phản hồi để điều khiển
khu vực đó. Kĩ thuật điều khiển này có nhiều ưu điểm trong lắp đặt và vận

hành. Tuy nhiên, về mặt lý thuyết, thiết kế các bộ điều khiển phân quyền ổn
định hóa toàn hệ thống khó khăn hơn rất nhiều so với việc thiết kế điều khiển
dạng trung tâm. Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu ổn định hóa các hệ điều khiển
dạng kết nối bằng kĩ thuật điều khiển phân quyền thu hút sự quan tâm của
nhiều tác giả với nhiều kết quả quan trọng đối với các hệ điều khiển bậc nguyên
đã được công bố. Gần đây, hướng nghiên cứu này cũng đã được phát triển cho
một số lớp hệ điều khiển bậc phân số. Chẳng hạn, bài toán ổn định hóa và điều
khiển H∞ bằng điều khiển phản hồi trạng thái dạng phân quyền đã được xét
cho một số lớp hệ điều khiển tuyến tính bậc phân số chứa tham số không chắc
chắn trong [47, 53]. Dựa trên điều kiện ổn định của hệ vi phân tuyến tính bậc
phân số, các điều kiện thiết kế được thiết lập thông qua các bất đẳng thức ma
trận tuyến tính. Trong phần thứ nhất của Chương 4 của luận án này, dựa trên
bài báo [3] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu bài toán
ổn định hóa các hệ dương tuyến tính dạng kết nối mô tả bởi hệ phương trình vi

12


phân bậc phân số sau đây sau đây
N

D0α xi (t)

Aij xj (t) + Bi ui (t), t > 0,

= Aii xi (t) +
j=1,j=i

(0.9)

xi (0) = xi0 ∈ Rni .

Trước hết, chúng tôi tìm các điều kiện đặc trưng tính dương của hệ, tức là với
mọi điều kiện ban đầu và điều khiển đầu vào không âm, quỹ đạo trạng thái
của hệ luôn không âm. Từ đó, các điều kiện cần và đủ cho tính ổn định tiệm
cận của hệ đóng và các điều kiện thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền được
thiết lập dưới dạng một bài toán quy hoạch tuyến tính, viết tắt là LP (linear
programming). Điều này cho phép ta có thể kiểm tra các điều kiện ổn định và
ổn định hóa của hệ một cách hiệu quả bằng nhiều công cụ giải số. Trong phần
sau của chương, dựa trên bài báo [4] trong Danh mục công trình công bố, chúng
tôi mở rộng nghiên cứu tính ổn định hóa bền vững bằng điều khiển phân quyền
đối với lớp hệ dương bậc phân số chứa trễ và tham số không chắc chắn
N

D0α xi (t)

Aij xj (t)

= Aii xi (t) +
j=1,j=i
N

+
j=1,j=i

Gij xj (t − τij (t)) + Bi ui (t), t ≥ 0,

(0.10)

xi (s) = φi (s) ∈ Rni , s ∈ [−τi+ , 0],

ở đó τij (t) là độ trễ trạng thái trong liên kết giữa hệ địa phương thứ i và thứ j ,
0 ≤ τij (t) ≤ τi+ . Dựa trên tính chất đơn điệu cảm sinh bởi tính dương của hệ, các

điều kiện ổn định và ổn định hóa vững đối với (0.10) cũng được chúng tôi thiết

lập thông qua các bài toán LP. Các điều kiện này là cần và đủ trong trường hợp
các ma trận hệ số biết chắc chắn.

3. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận án là sự kết hợp của một
số phương pháp trong giải tích hàm phi tuyến, giải tích bậc phân số, giải tích
đa trị, lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết điểm bất động và lý thuyết nửa
nhóm toán tử. Chẳng hạn, khi nghiên cứu nội dung 1, dựa trên các biễu diễn
13


tích phân bậc phân số và quy tắc Leibniz đối với đạo hàm bậc phân số, chúng
tôi phát triển kĩ thuật so sánh kiểu Lyapunov-Razumikhin để tìm kiếm các điều
kiện đồng bộ của hệ. Trong một số trường hợp đặc biệt, các điều kiện đó được
xác định bởi tính chất phổ của các M-ma trận. Đối với nội dung 2, lý thuyết
nửa nhóm, giải tích đa trị và giải tích bậc phân số được sử dụng trong việc biểu
diễn các công thức nghiệm của bài toán. Từ đó, lý thuyết độ đo không compact
và lý thuyết điểm bất động được vận dụng để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và
nghiệm hút toàn cục.

4. Kết quả đạt được của luận án
Luận án đã đạt được các kết quả sau đây:
1. Thiết lập được các điều kiện đồng bộ với tốc độ lũy thừa cho một lớp hệ
phương trình vi phân bậc phân số với hệ số biến thiên mô tả mô hình mạng

nơron Hopfield với trễ tỉ lệ.
2. Chứng minh được sự tồn tại nghiệm trên các đoạn compact và sự tồn tại
nghiệm hút toàn cục cho lớp các bao hàm thức vi phân bậc phân số chứa
xung với điều kiện đầu không cục bộ.
3. Đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính ổn định và ổn định hóa bằng điều
khiển phân quyền đối với hai lớp hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối.
Các điều kiện ổn định và ổn định hóa đó được thiết lập thông qua các bài
toán quy hoạch tuyến tính, cho phép ta có thể kiểm tra một cách hiệu quả
bằng nhiều công cụ tính toán dựa trên các thuật toán lồi.
Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong 04 bài báo trên các
tạp chí quốc tế có uy tín (trong danh mục ISI) và đã được báo cáo tại:
• Xemina Giải tích, Bộ môn Giải tích, khoa Toán, trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2

• Xemina Phương trình vi phân và tích phân, Bộ môn Giải tích, khoa Toán-

Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội

14


• Xemina Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa

học và Công nghệ Việt Nam.

5. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố và tài liệu
tham khảo, luận án gồm 4 chương.
• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị, ở đó chúng tôi trình bày một số kiến

thức cơ sở về giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, một số định lí điểm bất
động, lý thuyết nửa nhóm và một số kết quả bổ trợ cho việc trình bày nội
dung các chương sau của luận án.

• Chương 2 nghiên cứu tính đồng bộ của mạng nơron Hopfield bậc phân số

với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất.

• Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về lớp bao hàm thức vi phân

bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều.

• Chương 4 nghiên cứu bài toán thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền đối

với hai lớp hệ dương tuyến tính dạng kết nối mô tả bởi hệ phương trình vi
phân bậc phân số.

15


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về giải tích
bậc phân số, giải tích đa trị, một số định lí điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm
và một số kết quả bổ trợ.

1.1. M-ma trận
Ma trận A ∈ Rn×n được gọi là ma trận Metzler nếu các phần tử ngoài

đường chéo chính không âm, tức là [A]ij ≥ 0, ∀i = j . Ma trận A là Hurwitz nếu

mọi giá trị riêng của nó thuộc nửa mặt phẳng mở bên trái của mặt phẳng phức,
λ(A) ⊂ C− , và là M-ma trận nếu aij ≤ 0 với mọi i = j và các phần tử trên đường

chéo chính của A là dương.

Mệnh đề 1.1.1 ([8], Chương 6). Cho A ∈ Rn×n là một ma trận Metzler. Các

khẳng định sau là tương đương:
(i) A là ma trận Hurwitz;

(ii) Tồn tại một vectơ ζ ∈ Rn , ζ ≻ 0, thỏa mãn ζ ⊤ A ≺ 0;
(iii) Tồn tại một vectơ η ∈ Rn , η ≻ 0, sao cho Aη ≺ 0;
(iv) A là một ma trận không suy biến thỏa mãn A−1

0.

Mệnh đề 1.1.2 ([8], Chương 6). Cho A = (aij ) là một M-ma trận. Các khẳng
định sau là tương tương:
(i) A là M-ma trận không suy biến;
(ii) Reλk (A) > 0 với mọi giá trị riêng λk (A) của A;

16


(iii) Tồn tại một ma trận B

0 và một số thực s > ρ(B) sao cho A = sIn − B , ở

đó ρ(B) = max{|λk (B)|} là bán kính phổ của B ;

(iv) Tồn tại một vectơ χ ∈ Rn , χ ≻ 0, thỏa mãn Aχ ≻ 0.

1.2. Một số không gian hàm
Cho Ω là một tập bị chặn trong Rn . Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian các

hàm khả tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn trên Lp (Ω) được xác định bởi [43]
u

Lp (Ω)
Ω

|u|p dx

1
p

.

Chú ý rằng Lp (Ω) là một không gian Banach phản xạ khi 1 < p < ∞.
L∞ (Ω) là không gian các hàm đo được bị chặn hầu khắp trên Ω với chuẩn
u

esssupx∈Ω |u(x)|.

L∞ (Ω)

Lploc (Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian các hàm khả tích Lebesgue địa phương

bậc p trên Ω,

Lploc (Ω)

Cho (X, ·

X)

{f : f ∈ Lp (K) với mọi tập compact K ⊂ Ω}.

là một không gian Banach. Trong luận án này chúng tôi sử

dụng các không gian hàm sau đây.
C([a, b]; X) là không gian các hàm liên tục từ [a, b] vào X với chuẩn
u

C([a,b];X)

:= sup

u(t)

X.

t∈[0,T ]

Cho trước T > 0, chúng tôi kí hiệu PC([0, T ]; X) là không gian các hàm

u : [0, T ] → X liên tục trên [0, T ] trừ một dãy điểm {tk : k ∈ Λ} và với mỗi tk ,

k ∈ Λ, tồn tại các giới hạn

+
u(t−
k ) = lim u(t), u(tk ) = lim u(t)
t→t+
k

t→t−
k

và u(tk ) = u(t−
k ). Khi đó, PC([0, T ]; X) là một không gian Banach với chuẩn
u

PC

:= sup
t∈[0,T ]

17

u(t) .


Không gian PC([0, ∞); X) được định nghĩa tương tự PC([0, T ]; X) khi T = ∞ và

PC 0 = {u ∈ PC([0, ∞); X)| limt→∞ u(t) = 0} với chuẩn u

∞

= supt≥0 u(t) . Khi

đó, PC 0 là một không gian Banach.

Lp (a, b; X) là không gian các hàm u : (a, b) → X sao cho
b

u

Lp (a,b;X)

u(t)

:=
a

p
X dt

1
p

< ∞.

1.3. Lý thuyết nửa nhóm
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả cơ bản về lý thuyết nửa
nhóm toán tử từ các chuyên khảo [24, 58].
Cho X là một không gian Banach và L(X) là không gian các toán tử tuyến

tính bị chặn trên X .

Định nghĩa 1.3.1 ([58], Định nghĩa 1.1). Một họ ánh xạ {S(t)}t≥0 ⊂ L(X) được
gọi là một nửa nhóm toán tử trên X nếu (i) S(0) = I , ở đó I là toán tử đồng
nhất trên X , và (ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.2 ([58], Định nghĩa 1.1). Một toán tử tuyến tính A được gọi là
toán tử sinh của nửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu Ax = limt→0 S(t)x−x
với mọi x ∈ D(A),
t
} là miền xác định của toán tử A.
ở đó D(A) = {x ∈ X|∃ limt↓0 S(t)x−x
t

Định nghĩa 1.3.3 ([58], Định nghĩa 2.1). Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa
nhóm liên tục mạnh, C0 -nửa nhóm, nếu limt→0 S(t)x = x với mọi x ∈ X .

Định lí 1.3.1 ([58], Hệ quả 2.5). Giả sử A là toán tử sinh của một C0 -nửa nhóm.
Khi đó, A là một toán tử tuyến tính đóng và xác định trù mật.
Định lí 1.3.2 ([58], Định lí 2.2). Giả sử {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm. Khi đó,
tồn tại các hằng số ω và M ≥ 1 sao cho

S(t) ≤ Meωt , ∀t ≥ 0.

Nếu ω < 0 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là ổn định mũ. Nếu ω ≤ 0,

M = 1 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm co.

Định lí 1.3.3 ([58], Định lí 5.3). Một toán tử tuyến tính A trên không gian Banach X là toán tử sinh của một C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 thỏa mãn S(t) ≤ Meωt
18

với các hằng số M ≥ 1 và ω ∈ R nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn
(1) A là toán tử tuyến tính đóng với miền xác định D(A) trù mật trong X ;
(2) Tập giải ρ(A) chứa tập {λ ∈ C : Reλ > ω} và toán tử giải R(λ, A) = (λI −A)−1
thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida

R(λ, A)n ≤

M
.
(λ − ω)n

Định nghĩa 1.3.4 ([24], Định nghĩa 4.17; [58], Định nghĩa 4.1). Một C0 -nửa
nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là
(a) nửa nhóm liên tục theo chuẩn nếu ánh xạ t → S(t) liên tục tại mọi t > 0
theo chuẩn trong L(X);

(b) nửa nhóm khả vi nếu với mỗi x ∈ X ánh xạ t → S(t)x khả vi tại mọi t > 0;
(c) nửa nhóm compact nếu S(t) là toán tử compact với mọi t > 0.

1.4. Giải tích bậc phân số
Cho X là một không gian Banach và L1 (0, T ; X) là không gian các hàm khả
tích trên đoạn [0, T ] theo nghĩa Bochner.
Định nghĩa 1.4.1 ([42], trang 69). Cho trước số thực α > 0, tích phân bậc α
của hàm f ∈ L1 (0, T ; X) được định nghĩa bởi
I0α f (t)

t

1
=
Γ(α)

(t − s)α−1 f (s)ds

0

∞ α−1 −t
t
e dt.
0

ở đó Γ(.) là hàm Euler gamma, Γ(α) =

Định nghĩa 1.4.2 ([42], trang 97). Cho N là một số nguyên dương. Đạo hàm
bậc α ∈ (N − 1, N) theo nghĩa Caputo của một hàm f ∈ C N ([0, T ]; X) được định
nghĩa bởi

D0α f (t)

1
=
Γ(N − α)

t
0

(t − s)N −α−1 f (N ) (s)ds.

Dựa trên định nghĩa đạo hàm Caputo bậc phân số, đạo hàm Caputo suy
rộng bậc α ∈ (0, 1) của hàm f được định nghĩa bởi
D0α+ f (t)

1
D+
=
Γ(1 − α)
19

t

0

f (s) − f (0)
ds ,
(t − s)α


ở đó D+ là đạo hàm Dini trên bên phải.
Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu đạo hàm bậc phân số theo nghĩa RiemannLiouville (RL), mối liên hệ giữa đạo hàm Riemann-Liouville và đạo hàm Caputo
và quy tắc Leibniz đối với đạo hàm bậc phân số.
Định nghĩa 1.4.3 ([42], trang 70). Đạo hàm bậc α theo nghĩa Riemann-Liouville
của một hàm f (.) được định nghĩa bởi
RL

D0α f (t)

t

dn
1
dn
= n I0n−α f (t) =
dt
Γ(n − α) dtn

0

f (s)
ds, t > 0,
(t − s)α−n+1

ở đó n = ⌈α⌉ là giá trị trần của α, đó là một số nguyên thỏa mãn n − 1 < α ≤ n.
Với một hàm f (.) ∈ C 1 [0, ∞) và một số thực 0 < α < 1, mối liên hệ giữa

đạo hàm Riemann-Liouville

RL D α f (t)
0

và đạo hàm Caputo D0α f (t) được cho bởi

công thức sau (xem [42], trang 91)
D0α f (t) = RL D α f (t) −

f (0) −α
t .
Γ(1 − α)

Bổ đề 1.4.1 (Quy tắc Leibniz [61], Mục 2.7.2). Cho α ∈ (0, 1) và hàm f (.) ∈

C 1 [0, ∞). Giả sử rằng hàm ϕ(.) và mọi đạo hàm của nó liên tục trên đoạn [0, t],
t > 0. Khi đó, ta có quy tắc Leibniz sau đây cho đạo hàm bậc phân số
n
RL

α

D (ϕ(t)f (t)) =
k=0

k

ở đó n là một số nguyên n ≥ α + 1,
Rnα (t) =

dk ϕ(t) RL α−k
D
f (t) − Rnα (t),
k
dt

α

α
k

=

(−1)n (t − α)n−α+1
n!Γ(−α)

Γ(α+1)
k!Γ(α−k+1)
1

và

1

Fα (t, u, v)dudv
0

0

với Fα (t, u, v) = f (vt)ϕ(n+1) (t(u + v − uv)).
Định nghĩa 1.4.4. Hàm Mittag-Leffler một tham số Eα (z) được định nghĩa bởi
∞

Eα (z) =
k=0

zk
Γ(αk + 1)

ở đó α > 0 và z là biến thực hoặc phức.
Chú ý rằng chuỗi ở trên hội tụ trên toàn mặt phẳng phức z ∈ C và Eα (z)

là một hàm nguyên trên C với mọi α > 0 [28]. Hơn nữa, vì Γ(k + 1) = k!,

E1 (z) =

∞ zk
k=0 k!

= ez .
20


Định nghĩa 1.4.5. Phép biến đổi Laplace của một hàm f (.) được cho bởi
∞

F (s)

L{f (.)}(s) =

e−st f (t)dt.
0

Khi đó, L{D0αf (t)} = sα F (s) − sα−1 f (0).

1.5. Ánh xạ đa trị và một số định lí điểm bất động
Cho X là một không gian Banach và B(X) là họ các tập con khác rỗng bị

chặn của X .

Định nghĩa 1.5.1 ([39], Định nghĩa 2.1.1). Một hàm β : B(X) → R+ được gọi

là một độ đo không compact (MNC) trong X nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mỗi Ω ∈ B(X),

ở đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Hơn nữa, MNC β được gọi là
i) đơn điệu nếu Ω0 , Ω1 ∈ B(X), Ω0 ⊂ Ω1 suy ra β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 ).
ii) không suy biến nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với bất kì a ∈ X, Ω ∈ B(X).
iii) bất biến compact nếu β(K ∪Ω) = β(Ω) với mọi tập compact tương đối K ⊂ X
và Ω ∈ B(X).

iv) nửa cộng tính dưới nếu β(Ω0 + Ω1 ) ≤ β(Ω0 ) + β(Ω1 ) với bất kì Ω0 , Ω1 ∈ B(X).
v) chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của Ω.
Một ví dụ quan trọng của MNCs là độ đo không compact Hausdorff χ(·)
xác định bởi
χ(Ω) = inf{ε| Ω được phủ bởi một ε-lưới hữu hạn}.

Độ đo không compact Hausdorff còn có thêm một số tính chất:
• Nửa đồng nhất: χ(tΩ) ≤ |t|χ(Ω) với bất kì Ω ∈ B(X) và t ∈ R.
• Trong không gian Banach tách được X , χ(Ω) = limm→∞ supx∈Ω d(x, Em ), ở

đó {Em } là một dãy các không gian con hữu hạn chiều của X thỏa mãn

Em ⊂ Em+1, m ≥ 1, và ∪∞
m=1 Em = X .

21


Dựa trên độ đo không compact Hausdorff χ trong X , ta có thể định nghĩa
độ đo không compact χ0 như sau
χ0 (Ω) = sup{χ(D) : D ∈ ∆(Ω)},

(1.1)

với ∆(Ω) là họ các tập con không quá đếm được của Ω. Khi đó, ta có [1]
1
χ(Ω) ≤ χ0 (Ω) ≤ χ(Ω)
2

(1.2)

với mọi tập bị chặn Ω ⊂ X .
Cho χ là một độ đo không compact trên không gian Banach X , χPC là
độ đo không compact Hausdorff trên PC([0, T ]; X). Với mỗi tập bị chặn D ⊂
PC([0, T ]; X), ta có [35]

• χ(D(t)) ≤ χPC (D) với mọi t ∈ [0, T ], ở đó D(t)

{x(t) : x ∈ D}.

• Nếu D là một tập liên tục đồng bậc trên mỗi (tk , tk+1 ] ⊂ [0, T ] thì
χPC (D) = sup χ(D(t)).
t∈[0,T ]

Các tính chất sau đây là hiển nhiên. Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn
trên X , T ∈ L(X). Ta định nghĩa chuẩn χ của T như sau
T

χ

= inf{β > 0 : χ(T (B)) ≤ β · χ(B) với mọi tập con bị chặn B ⊂ X}.

(1.3)

Khi đó (xem [39, Định nghĩa 2.1.2])
• T

χ

= χ(T (B1 )), với B1 là hình cầu đơn vị trong X .

• T

χ

≤ T

• T

χ

= 0 khi và chỉ khi T là một toán tử compact.

L(X) .

Mệnh đề 1.5.1. Cho χ là độ đo không compact Hausdorff trên X và Ω ⊂ X là

một tập con bị chặn. Khi đó, với bất kì ǫ > 0, tồn tại một dãy {xn } ⊂ Ω thỏa
mãn

χ(Ω) ≤ 2χ({xn }) + ǫ.

Mệnh đề 1.5.2 ([39], Hệ quả 4.2.5). Nếu {wn } ⊂ L1 (0, T ; X) thỏa mãn
wn (t)

X

≤ ν(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ],
22


ở đó ν ∈ L1 (0, T ), thì ta có

t

χ({
0

t

wn (s)ds}) ≤ 2

χ({wn (s)})ds
0

với mọi t ∈ [0, T ].
Kết quả dưới đây cho một ước lượng đối với các độ đo không compact với
trường hợp các tập không đếm được. Chứng minh chi tiết có thể xem trong [39,
Mục 4.2].
Mệnh đề 1.5.3. Cho D ⊂ L1 (0, T ; X) thỏa mãn
(1) ξ(t)

X

≤ ν(t) với mọi ξ ∈ D và với hầu khắp t ∈ [0, T ];

(2) χ(D(t)) ≤ q(t) với với hầu khắp t ∈ [0, T ],
ở đó ν, q ∈ L1 (0, T ). Khi đó,

t

χ(
0

với

t
D(s)ds
0

={

t
ξ(s)ds
0

t

D(s)ds) ≤ 4

q(s)ds,
0

: ξ ∈ D}.

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kết quả trong giải tích đa trị. Cho
không gian Banach X và không gian metric Y . Kí hiệu P(X) là họ các tập con
của X .

Định nghĩa 1.5.2 ([39]). Ánh xạ đa trị F : Y → P(X) được gọi là:
i) nửa liên tục trên nếu F −1 (V ) = {y ∈ Y : F (y) ∩ V = ∅} là một tập con đóng
của Y với mỗi tập con đóng V ⊂ X ;

ii) nửa liên tục trên yếu nếu F −1 (V ) là một tập con đóng của Y với mỗi tập
con đóng yếu V ⊂ X;

iii) đóng nếu đồ thị ΓF = {(y, z) : z ∈ F (y)} là một tập con đóng của Y × X;
iv) compact nếu F (Y ) là tập compact tương đối trong X ;
v) tựa compact nếu hạn chế trên mọi tập con compact A ⊂ Y là compact.
Bổ đề 1.5.4 ([39], Định lí 1.1.12). Cho G : Y → P(X) là một ánh xạ đa trị đóng
tựa compact. Khi đó G là nửa liên tục trên.
23