Giải pháp tối ưu các tham số định lượng ngữ nghĩa của đại số gia tử và ứng dụng cho bài toán lập luận xấp xỉ mờ trong điều khiển (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN ĐỨC VĂN

GIẢI PHÁP TỐI ƯU CÁC THAM SỐ ĐỊNH LƯỢNG NGỮ
NGHĨA CỦA ĐẠI SỐ GIA TỬ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN
LẬP LUẬN XẤP XỈ MỜ TRONG ĐIỀU KHIỂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN ĐỨC VĂN

GIẢI PHÁP TỐI ƯU CÁC THAM SỐ ĐỊNH LƯỢNG NGỮ
NGHĨA CỦA ĐẠI SỐ GIA TỬ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN
LẬP LUẬN XẤP XỈ MỜ TRONG ĐIỀU KHIỂN

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số: 60.48.01.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY MINH

THÁI NGUYÊN - 2018

i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả đạt được trong luận văn là sản phẩm của cá nhân
dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Duy Minh. Trong toàn bộ nội
dung luận văn, những nội dung được trình bày là của cá nhân hoặc tổng hợp từ
nhiều nguồn tài liệu khác nhau. Tất cả các tài liệu tham khảo đó đều có xuất xứ
rõ ràng và được trích dẫn hợp pháp.
Tôi xin chịu trách nhiệm và chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy định cho
lời cam đoan của mình.
Thái Nguyên, 15 tháng 4 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Đức Văn


ii
LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS. Nguyễn Duy Minh - người
hướng dẫn khoa học, thầy đã định hướng và nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ em
trong quá trình làm luận văn.
Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường Đại học Công
nghệ thông tin và Truyền thông; Viện công nghệ thông tin thuộc Viện hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã truyền đạt những kiến thức và kinh
nghiệm quý báu cho chúng em trong thời gian học tập.
Xin chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp, ban cán sự và các học
viên lớp cao học CK15A, những người thân trong gia đình đã động viên, chia
sẻ, tạo điều kiện giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, 15 tháng 4 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Đức Văn


iii
MỤC LỤC
MỤC LỤC ........................................................................................................ iii
DANH MỤC BẢNG ......................................................................................... v
DANH MỤC HÌNH ......................................................................................... vi
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ..................................... vii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ ..................... 3
1.1. Biến ngôn ngữ và mô hình mờ ................................................................... 3
1.1.1. Biến ngôn ngữ ..................................................................................... 3
1.1.2. Mô hình mờ ......................................................................................... 4
1.2. Đại số gia tử ............................................................................................... 5
1.2.1. Độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ .............................................. 6
1.2.2. Hàm định lượng ngữ nghĩa ................................................................. 9
1.2.3. Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ ......................................................... 10
1.2.4. Khái niệm ngưỡng hiệu chỉnh định lượng ngữ nghĩa ....................... 12
1.3. Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ đa điều kiện ......................................... 13
1.4. Bài toán tối ưu và giải thuật di truyền ...................................................... 15
1.4.1. Bài toán tối ưu ................................................................................... 15
1.4.2. Giải thuật di truyền ........................................................................... 16
1.4.2.1. Các khái niệm cơ bản của giải thuật di truyền ............................................................ 16
1.4.2.2. Cơ chế thực hiện của giải thuật di truyền .................................................................... 19
1.4.2.3. Các phương pháp biểu diễn nhiễm sắc thể và các toán tử di truyền chuyên biệt ........ 22
1.4.2.4. Biểu diễn thực ............................................................................................................. 22
1.4.2.5. Các toán tử chuyên biệt hoá ........................................................................................ 23

1.5. Kết luận Chương 1 ................................................................................... 25
CHƯƠNG 2: GIẢI PHÁP TỐI ƯU CÁC THAM SỐ ĐỊNH LƯỢNG
NGỮ NGHĨA CHO PHƯƠNG PHÁP LẬP LUẬN MỜ DỰA TRÊN ĐẠI
SỐ GIA TỬ .................................................................................................... 26
2.1. Phương pháp lập luận mờ sử dụng đại số gia tử ...................................... 26
2.2. Các giải pháp tối ưu các tham số định lượng ngữ nghĩa.......................... 29


iv
2.3. Giải pháp xác định các tham số định lượng ngữ nghĩa tối ưu ................. 32
2.3.1. Giải pháp tối ưu các tham số của đại số gia tử ................................. 32
2.3.2. Giải pháp xác định mô hình định lượng ngữ nghĩa tối ưu ................ 33
2.3.2.1. Phân tích ảnh hưởng các tham số hiệu chỉnh .............................................................. 33
2.3.2.2. Thuật toán xác định mô hình định lượng ngữ nghĩa tối ưu ......................................... 34

2.4. Phương pháp lập luận mờ sử dụng đại số gia tử dựa trên các mô hình định
lượng ngữ nghĩa tối ưu. ................................................................................... 36
2.4.1. Vấn đề xác định giá trị định lượng ngữ nghĩa tối ưu ........................ 36
2.4.2. Sử dụng tham số hiệu chỉnh tối ưu cho phương pháp lập luận mờ sử
dụng đại số gia tử ........................................................................................ 37
2.5. Tổng kết Chương 2 .................................................................................. 39
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LẬP LUẬN XẤP XỈ MỜ SỬ
DỤNG ĐẠI SỐ GIA TỬ VỚI MÔ HÌNH ĐỊNH LƯỢNG NGỮ NGHĨA
TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN ................................................................. 40
3.1. Mô tả một số bài toán điều khiển logic mờ.............................................. 40
3.1.1. Bài toán 1: Xấp xỉ mô hình mờ EX1 của Cao-Kandel [9] ................ 40
3.1.2. Bài toán 2: Bài toán hệ con lắc ngược [8]......................................... 41
3.2. Ứng dụng phương pháp lập luận xấp xỉ mờ sử dụng đại số gia tử trong điều
khiển ................................................................................................................ 43

3.2.1. Phương pháp điều khiển logic mờ truyền thống ............................... 43
3.2.2. Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ sử dụng đại số gia tử trong điều khiển44
3.2.3. Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ sử dụng đại số gia tử với các mô
hình định lượng ngữ nghĩa tối ưu trong điều khiển .................................... 47
3.3. Ứng dụng .................................................................................................. 48
3.3.1. Bài toán 1 .......................................................................................... 48
3.3.2. Bài toán 2 .......................................................................................... 52
3.4. Kết luận Chương 3 ................................................................................... 55
KẾT LUẬN .................................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 58


v
DANH MỤC BẢNG
Bảng 2. 1. So sánh các giá trị ĐLNN .............................................................. 31
Bảng 3. 1. Mô hình EX1 của Cao-Kandel ....................................................... 40
Bảng 3. 2. Các kết quả xấp xỉ EX1 tốt nhất của Cao-Kandel [9].................... 41
Bảng 3. 3. Mô hình FAM cho hệ con lắc ngược ............................................. 43
Bảng 3. 4. Mô hình SAM gốc - xấp xỉ mô hình EX1...................................... 50
Bảng 3. 5. Mô hình SAM (PAR2) – xấp xỉ mô hình EX1 ................................ 50
Bảng 3. 6. Sai số lớn nhất của các phương pháp trên mô hình EX1 ............... 51
Bảng 3. 7. Chuyển nhãn ngôn ngữ cho các biến X1, X2 .................................. 52
Bảng 3. 8. Nhãn ngôn ngữ cho biến u ............................................................. 52
Bảng 3. 9. Mô hình SAM gốc của hệ con lắc ngược ...................................... 52
Bảng 3. 10. Mô hình SAM(PAR2) của hệ con lắc ngược................................. 53
Bảng 3. 11. Sai số các phương pháp của hệ con lắc ngược ............................ 55


vi
DANH MỤC HÌNH

Hinh 1. 1 Độ đo tính mờ ................................................................................... 8
Hinh 1. 2. Mã hoá nhị phân biểu diễn các cá thể ............................................ 17
Hinh 1. 3. Biểu diễn giá trị của  đối với hai lần được chọn.......................... 24
Hình 3. 1. Đường cong thực nghiệm của mô hình EX1 ................................. 41
Hình 3. 2. Mô tả hệ con lắc ngược .................................................................. 42
Hình 3. 3. Sơ đồ phương pháp điều khiển CFC.............................................. 44
Hình 3. 4. Sơ đồ phương pháp điều khiển FCHA ........................................... 45
Hình 3. 5. Kết quả xấp xỉ mô hình EX1 của Cao Kandel ............................... 51
Hình 3. 6. Đồ thị lỗi của hệ con lắc ngược ..................................................... 55


vii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Các ký hiệu:



Tổng độ đo tính mờ của các gia tử âm



Tổng độ đo tính mờ của các gia tử dương



Giá trị định lượng của phần tử trung hòa

AX

Đại số gia tử

AX*

Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ

W

Phần tử trung hòa trong đại số gia tử

𝜀

Ngưỡng hiệu chỉnh định lượng ngữ nghĩa

δ

Tham số hiệu chỉnh giá trị định lượng ngữ nghĩa

c -, c +

Các phần tử sinh

Các chữ viết tắt:
ĐLNN

Định lượng ngữ nghĩa

ĐSGT

Đại số gia tử

GA

Genetic Algorithm

FMCR

Fuzzy Multiple Conditional Reasoning

FAM

Fuzzy Associative Memory

SAM

Semantic Associative Memory

HAR

Hedge Algebras Reasoning

OpPAR

Optimal - Parameter

CFC

Conventional Fuzzy Control

FCHA

Fuzzy Control Using Hedge Algebras

FCOPHA

Fuzzy Control using Optimal Hedge Algebras


1
MỞ ĐẦU
Khoa học ngày càng phát triển thì càng có nhiều thiết bị máy móc hỗ trợ
cho đời sống con người. Các thiết bị máy móc càng “thông minh” thì càng thay
thế sức lao động và do đó các thiết bị dạng này dường như là một trong những
cái đích mà con người vươn tới. Như vậy, nhu cầu thiết yếu của cuộc sống là
tạo ra các máy móc có thể hành xử giống với con người. Hay nói cách khác là
các máy phải biết suy luận để đưa ra các quyết định đúng đắn.
Người tiên phong trong lĩnh vực này là Zadeh [11]. Trong các công trình
của mình ông đã mô tả một cách toán học những khái niệm mơ hồ mà ta thường
gặp trong cuộc sống như: cao, thấp; đúng, sai bằng các tập mờ. Nhờ việc xây
dựng lý thuyết tập mờ mà con người có thể suy diễn từ khái niệm mơ hồ này
đến khái niệm mơ hồ khác mà bản thân logic kinh điển không làm được. Trên
cơ sở các thông tin không chính xác thu được, người ta có thể đưa ra những
quyết định hiệu quả cho từng tình huống của bài toán.
Tuy nhiên, phương pháp lập luận của con người là vấn đề phức tạp và
không có cấu trúc. Vì vậy kể từ khi lý thuyết tập mờ ra đời cho đến nay, vẫn
chưa có một cơ sở lý thuyết hình thức chặt chẽ theo nghĩa tiên đề hoá cho logic
mờ và lập luận mờ.
Để đáp ứng phần nào đối với nhu cầu xây dựng cơ sở toán học cho việc
lập luận ngôn ngữ, N.Cat Ho và Wechler [12] đã đề xuất cách tiếp cận dựa trên
cấu trúc tự nhiên của miền giá trị của các biến ngôn ngữ, trong các công trình,
các tác giả đã chỉ ra rằng, những giá trị của biến ngôn ngữ trong thực tế đều có

thứ tự nhất định về mặt ngữ nghĩa, ví dụ ta hoàn toàn có thể cảm nhận được
rằng, ‘trẻ’ là nhỏ hơn ‘già’, hoặc ‘nhanh’ luôn lớn hơn ‘chậm’.
Với việc định lượng các từ ngôn ngữ của ĐSGT, một số phương pháp lập
luận nội suy ra đời nhằm mục đích giải quyết bài toán lập luận mờ đa điều kiện,
một bài toán được ứng dụng nhiều trong tự nhiên, kỹ thuật [11], các phương pháp
lập luận này được gọi là các phương pháp lập luận xấp xỉ mờ sử dụng ĐSGT. Tuy
nhiên khi thực hiện phương pháp lập luận còn tồn tại: Trong ĐSGT, việc ánh xạ
ĐLNN bảo toàn thứ tự ngữ nghĩa định tính, vì vậy phương pháp ĐLNN này hàm
chứa những lợi thế trong việc chuyển trung thành các mô hình mờ sang mô hình
định lượng (theo trực giác) để giải các bài toán ứng dụng. Tuy nhiên mô hình định
lượng tương đối hợp lý nhưng chưa tối ưu. Vì vậy ta phải nghiên cứu một số giải


2
pháp tìm ra được mô hình ĐLNN tối ưu nhất (các tham số ĐLNN của các ĐSGT
tối ưu) nhưng vẫn phải đảm bảo thứ tự ngữ nghĩa của ĐSGT.
Với lý do như vậy đề tài “Giải pháp tối ưu các tham số ĐLNN của ĐSGT
và ứng dụng cho bài toán lập luận xấp xỉ mờ trong điều khiển” nghiên cứu và
đưa ra giải pháp tối ưu các tham số ĐLNN của phương pháp lập luận mờ dựa
trên ĐSGT.
Giải pháp tối ưu các tham số ngữ nghĩa định lượng này được cài đặt thử
nghiệm trên một số bài toán lập luận xấp xỉ mờ dựa trên ĐSGT trong điều
khiển, các kết quả sẽ được đánh giá và so sánh với các phương pháp lập luận
khác đã được công bố.


3
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Biến ngôn ngữ và mô hình mờ
1.1.1. Biến ngôn ngữ

Một biến ngôn ngữ là biến mà “các giá trị của nó là các từ hoặc câu trong
ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngôn ngữ nhân tạo”. Ví dụ như khi nói về nhiệt độ ta có
thể xem đây là biến ngôn ngữ có tên gọi NHIỆT_ĐỘ và nó nhận các giá trị ngôn
ngữ như “cao”, “rất cao”, “trung bình”… Đối với mỗi giá trị này, chúng ta sẽ
gán cho chúng một hàm thuộc. Giả sử lấy giới hạn của nhiệt độ trong đoạn [0,
230oC] và giả sử rằng các giá trị ngôn ngữ được sinh bởi một tập các quy tắc.
Khi đó, một cách hình thức, chúng ta có định nghĩa của biến ngôn ngữ sau đây:
Định nghĩa 1.1. Biến ngôn ngữ là một bộ gồm năm thành phần (X,T(X),
U, R, M), trong đó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X,
U là không gian tham chiếu của biến cơ sở u, mỗi giá trị ngôn ngữ xem như là
một biến mờ trên U kết hợp với biến cơ sở u, R là một qui tắc cú pháp sinh các
giá trị ngôn ngữ cho tập T(X), M là qui tắc ngữ nghĩa gán mỗi giá trị ngôn ngữ
trong T(X) với một tập mờ trên U.
Ví dụ 1.1. Từ định nghĩa trên ta có tên biến ngôn ngữ X chính là
NHIỆT_ĐỘ, biến cơ sở u có miền xác định là U = [0, 230] tính theo oC. Tập
các giá trị ngôn ngữ tương ứng của biến ngôn ngữ là T(NHIỆT_ĐỘ) = {cao,
rất cao, tương_đối cao, thấp, rất thấp, trung bình, …}. R là một qui tắc để sinh
ra các giá trị này. M là quy tắc gán ngữ nghĩa sao cho mỗi một giá trị ngôn ngữ
sẽ được gán với một tập mờ. Chẳng hạn, đối với giá trị nguyên thủy cao, M(cao)
= {(u, cao(u) | u  [0, 230]}, được gán như sau:

u  170
0,
 u  170

, 170  u  185
cao(u) = 
15

185  u

1,
Ngữ nghĩa của các giá trị khác trong T(NHIỆT_ĐỘ) cũng có thể tính thông
qua tập mờ của các giá trị nguyên thủy bởi các phép toán tương ứng với các gia
tử tác động như rất, tương_đối,…


4
1.1.2. Mô hình mờ
Cấu trúc của một mô hình mờ chính là một tập bao gồm các luật mà mỗi
luật là một mệnh đề dạng “If…then…”, trong đó phần “If” được gọi là mệnh
đề điều kiện hay tiền đề còn phần “then” được gọi là phần kết luận.
Mô hình mờ dạng đơn giản hay còn gọi là mô hình SISO (Single Input
Single Output) là tập các luật mà trong đó mỗi luật chỉ chứa một điều kiện và
một kết luận được cho như sau:
if X = A1

then Y = B1

if X = A2

then Y = B2

(1.1)

........
if X = An

then Y = Bn

trong đó X, Y là các biến ngôn ngữ thuộc không gian U, V tương ứng và

các giá trị ngôn ngữ A1, A2,…, An, B1, B2, …, Bn là các tập mờ.
Tuy nhiên, trong một số lĩnh vực, chẳng hạn như trong điều khiển, sự phụ
thuộc giữa các biến vật lý không chỉ biểu diễn ở dạng đơn giản như mô hình
trên mà nó bao gồm nhiều điều kiện ràng buộc. Vì vậy, một mô hình mờ ở dạng
tổng quát là một tập các luật (mệnh đề If-then) mà phần tiền đề của mỗi luật là
một điều kiện phức được viết như sau:
If X1 = A11 and ... and Xm = A1m then Y = B1
If X1 = A21 and ... and Xm = A2m then Y = B2
........

(1.2)

If X1 = An1 and ... and Xm = Anm then Y = Bn
ở đây X1, X2, …, Xm và Y là các biến ngôn ngữ, Aij, Bi (i = 1,…, n; j =
1,…, m) là các giá trị ngôn ngữ tương ứng ([11]).
Hầu hết các ứng dụng trong hệ chuyên gia mờ, phân cụm mờ, điều khiển
mờ,… liên quan đến việc suy diễn thì mô hình mờ là một phần không thể thiếu
và do vậy các ứng dụng này luôn gắn liền với các phương pháp giải quyết bài
toán lập luận xấp xỉ đa điều kiện. Bài toán lập luận xấp xỉ mờ đa điều kiện được
phát biểu như dưới đây:
Cho mô hình mờ (1.2) và các giá trị ngôn ngữ A01, A02, …, A0m tương ứng
với các biến ngôn ngữ X1, X2, …, Xm . Hãy tính giá trị của Y.


5
Có nhiều phương pháp để giải quyết bài toán này. Các phương pháp cụ
thể sẽ được trình bày ở Mục 1.3.
1.2. Đại số gia tử
Trong mô hình mờ thường dùng các mô tả ngôn ngữ cho các biến vật lý.
Với mỗi biến ngôn ngữ X, gọi X = Dom(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến

X. Miền giá trị X được xem như một ĐSGT AX = (X, G, H, ) trong đó G là tập
các phần tử sinh, H là tập các gia tử còn “” là quan hệ cảm sinh ngữ nghĩa trên
X. Ta cũng giả thiết rằng trong G có chứa các phần tử 0, 1, W với ý nghĩa là phần
tử bé nhất, phần tử lớn nhất và phần tử trung hòa (neutral) trong X.
Nếu tập X và H là các tập sắp thứ tự tuyến tính, khi đó ta nói AX = (X, C,
H, ) là ĐSGT tuyến tính.
Khi tác động gia tử h  H vào phần tử x  X, thì ta thu được phần tử ký
hiệu hx. Với mỗi x  X ta ký hiệu H(x) là tập tất cả các phần tử u thuộc X xuất
phát từ x bằng cách sử dụng các gia tử trong H và ta viết u = hn…h1x, với hn,
…, h1  H.
Bây giờ chúng ta sẽ xét một vài tính chất được phát biểu trong các định lý
dưới đây của ĐSGT tuyến tính.
Định lý 1.1. ([12]) Cho tập H– và H+ là các tập sắp thứ tự tuyến tính của
ĐSGT AX = (X, G, H, ). Khi đó ta có các khẳng định sau:
(1) Với mỗi u  X thì H(u) là tập sắp thứ tự tuyến tính.
(2) Nếu X được sinh từ G bởi các gia tử và G là tập sắp thứ tự tuyến tính
thì X cũng là tập sắp thứ tự tuyến tính. Hơn nữa nếu u < v, và u, v là
độc lập với nhau, tức là u  H(v) và v  H(u), thì H(u)  H(v).
Một cách tổng quát hơn như đã chứng minh trong tài liệu ([12]), mỗi miền
ngôn ngữ của biến ngôn ngữ có thể được tiên đề hóa và được gọi là ĐSGT AX
= (X, G, H, ), trong đó H là tập thứ tự tuyến tính bộ phận. Chúng ta có định
lý sau.
Định lý 1.2. ([12]) Cho ĐSGT AX = (X, G, H, ). Khi đó ta có các khẳng
định sau:
(1) Các toán tử trong Hc là so sánh được với nhau, c  {+, –}.


6
(2) Nếu x  X là điểm cố định đối với toán tử h  H, tức là hx = x, thì nó
là điểm cố định đối với các gia tử khác.

(3) Nếu x = hn…h1u thì tồn tại chỉ số i sao cho hi…h1u của x là một biểu
diễn chuẩn của x tương ứng với u (x = hi…h1u và hi…h1u ≠ hi-1…h1u)
và hjx = x với mọi j > i.
(4) Nếu h ≠ k và hx = kx thì x là điểm cố định.
(5) Với bất kỳ gia tử h, k  H, nếu x ≤ hx (x ≥ hx) thì x <≤ hx (x ≥> hx) và
nếu hx < kx, h ≠ k, thì hx <≤ kx.
Trong [9] các tác giả đã chỉ ra rằng mỗi ĐSGT đầy đủ là một dàn với phần
tử đơn vị là 1 và phần tử không là 0.
Để thuận tiện về sau, chúng ta nêu ra định lý kế tiếp dùng để so sánh hai
phần tử trong miền ngôn ngữ của biến ngôn ngữ X.
Định lý 1.3. Cho x = hn…h1u và y = km…k1u là hai biểu diễn chuẩn của x
và y tương ứng với u. Khi đó tồn tại chỉ số j ≤ min{n, m} + 1 sao cho hj’ = kj’
với mọi j’ < j (ở đây nếu j = min {m, n} + 1 thì hoặc hj là toán tử đơn vị I, hj =
I, j = n + 1 ≤ m hoặc kj = I, j = m + 1 ≤ n) và
(1) x < y khi và chỉ khi hjxj < kjxj, trong đó xj = hj-1...h1u.
(2) x = y khi và chỉ khi m = n và hjxj = kjxj.
(3) x và y là không so sánh được với nhau khi và chỉ khi hjxj và kjxj là
không so sánh được với nhau.
1.2.1. Độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ
Khái niệm độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ là một khái niệm trừu
tượng không dễ để xác định bằng trực giác và có nhiều cách tiếp cận khác nhau,
để xác định khái niệm này. Thông thường, trong lý thuyết tập mờ, các cách tiếp
cận chủ yếu là dựa trên hình dạng của tập mờ. Với ĐSGT có thể xác định được
độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ một cách hợp lý.
Giá trị ngôn ngữ nào càng đặc trưng thì độ đo tính mờ càng nhỏ. Chẳng
hạn, độ đo tính mờ của giá trị ngôn ngữ More_or_less True (MLtrue), Possibly
True là nhỏ hơn độ đo tính mờ của True. Tuy nhiên trong lý thuyết tập mờ
không thể hiện được điều đó. Thật vậy, giả sử ngữ nghĩa của giá trị ngôn ngữ
được biểu diễn bởi tập mờ. Độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ là khoảng
cách giữa tập mờ biểu thị cho giá trị ngôn ngữ đó với tập rõ gần nó nhất. Nếu

7
chúng ta biểu diễn từ true bởi hàm thuộc µtrue(t)= t trên đoạn [0,1] và MLtrue
bởi µMLtrue(t) = tα với α = 2/3 < 1 thì độ đo tính mờ của true bằng 1/4, nhưng độ
đo tính mờ của MLtrue bằng
4 2 1

10
4

Rõ ràng cách xác định độ đo tính mờ như vậy là không thích hợp so với ý
kiến ban đầu đặt ra. Vì vậy để xác định độ đo tính mờ một cách hợp lý, trước hết
chúng ta phải tìm ra một số tính chất trực giác về độ đo tính mờ của giá trị ngôn
ngữ. Những tính chất này chính là nền tảng cho việc xác lập các định nghĩa.
Ký hiệu fm(τ) là độ đo tính mờ của phần tử τ, τ  X và chúng ta cũng giả
sử rằng độ đo tính mờ của mỗi phần tử luôn thuộc đoạn [0,1]. Một số tính chất
trực giác của fm(τ):
(1) fm(τ) = 0, nếu τ là giá trị rõ.
(2) Nếu h là một gia tử và τ là giá trị mờ thì hτ đặc trưng hơn τ, vì vậy ta
có fm(hτ) < fm(τ).
(3) Xét hai phần tử sinh true và false của ĐSGT. Vì đây là các khái niệm
trái ngược nhau nhưng bổ sung cho nhau nên chúng ta có thể chấp
nhận điều kiện sau:
fm(true) + fm(false) ≤ 1.
Chúng ta nhận thấy rằng, nếu fm(true) + fm(false) < 1 thì bắt buộc
phải tồn tại khái niệm τ khác bổ sung cho cả true và false để fm(true) +
fm(false) + fm(τ) = 1. Trường hợp này không tồn tại trong ngôn ngữ tự
nhiên. Vì thế, ta có fm(true) + fm(false) = 1. Từ đó suy ra rằng, nếu c+, c–
là hai phần tử sinh trong X thì:

fm(c+) + fm(c–) = 1
(4) Bây giờ chúng ta xét tập gia tử H = {Very, More, Possibly, Little} và
tập các giá trị H[true] = {VeryTrue, MoreTrue, PossiblyTrue,
LittleTrue}, tất cả các phần tử của tập này đều đặc trưng hơn true.
Theo nhận định ở điểm (2), độ đo tính mờ của true lớn hơn mọi độ đo
của các phần tử trong H[true]. Chúng ta có thể xác định một cách trực
giác rằng độ đo tính mờ của true được thiết lập thông qua độ đo tính
mờ của các phần tử bắt nguồn từ true và chấp nhận điều kiện sau đây:


8
fm(Very true) + fm(More true) + fm(Poss. true) + fm(Little true) ≤
fm(true).
Tương tự như thảo luận trong (3), ta có:
fm(Very true) + fm(More true) + fm(Poss. true) + fm(Little true) =
fm(true).
Một cách tổng quát, giả sử τ là giá trị ngôn ngữ bất kỳ thuộc X thì:
fm(Very τ) + fm(More τ) + fm(Poss. τ) + fm(Little τ) = fm(τ).
Cuối cùng chúng ta có thể biểu diễn độ đo tính mờ của biến ngôn ngữ
TRUTH như trong Hình 1.1 dưới đây.
True

LittleTrue

W

fm(MLTr)
fm(VLTr)

Poss.

More

True

True

fm(LLTr)

fm(M Tr)

fm(PVTr)
fm(LVTr)

fm(PLTr)

fm(LittleTr)

VeryTrue

fm(PossTr))

1
fm(VVTr)

fm(MVTr)

fm(VeryTrue)

fm(True)

Hình
Hinh 1.
1. 1.
1 Độ
Độ đo
đo tính
tính mờ
mờ
Định nghĩa 1.2. Xét đại số gia tử AX = (X, G, H, ) của biến ngôn ngữ X.
Một hàm φ: X → [0,1] được gọi là hàm độ đo tính mờ trên X nếu tồn tại một
xác suất P trên X sao cho P xác định trên tập H(τ). Với mỗi phần tử τ  X thì
P(H(τ)) = 0 nếu τ  {0, 1, W} và φ(τ) = P(H(τ)).
Từ định nghĩa ta thấy “kích cỡ” của tập H(τ) thể hiện độ đo tính mờ của
phần tử τ. Chúng ta dễ dàng nhận ra rằng hàm φ thỏa mọi tính chất trực giác đã
đề xuất trên. Cụ thể là:
Tính chất (p1): φ(0) = φ(1) = φ(W) = 0.
Tính chất (p2): φ(hτ) ≤ φ(τ), với mọi τ  X và h  H.
Tính chất (p3): φ(c–) + φ(c+) = 1, với c–, c+ là hai phần tử sinh trong X.


9
Tính chất (p4):

  (h )   ( ) , τ  X.

hH

Chúng ta cũng có thể viết lại tính chất (p4) như sau:   (h ) /  ( )  1 ,
hH

tổng này không thay đổi với mọi τ  X. Chúng ta có thể xem tỷ lệ φ(hτ)/φ(τ) là
một hằng số và nó đặc trưng cho gia tử h. Ta có tính chất sau:
Tính chất (p5): Tỷ lệ φ(hτ)/φ(τ) không phụ thuộc vào τ và nó được gọi là
độ đo tính mờ của gia tử h, ký hiệu µ(h).
Định lý 1.4. Độ đo tính mờ trên X là duy nhất được xác định bởi các tham
số φ(c–), φ(c+) và µ(h), h  H thỏa các đẳng thức sau: φ(c–) + φ(c+) = 1,
  (h)  1 và φ(x) được định nghĩa đệ quy bởi công thức φ(hx’) = µ(h)φ(x’),
hH

với x = hx’, h  H.
1.2.2. Hàm định lượng ngữ nghĩa
Nhu cầu tự nhiên trong cách tiếp cận tính toán lập luận của con người là
định lượng các giá trị ngôn ngữ, chẳng hạn như trong các lĩnh vực phân cụm
mờ, điều khiển mờ, …
Theo cách tiếp cận của tập mờ, các giá trị định lượng của mỗi tập mờ là
giá trị khử mờ của hàm thuộc tương ứng. Đối với ĐSGT, vì các giá trị ngôn
ngữ tuân theo thứ tự ngữ nghĩa nên chúng ta sẽ thiết lập hàm định lượng các từ
(giá trị ngôn ngữ) vào đoạn [0,1] đảm bảo thứ tự, hàm này được gọi là hàm
ĐLNN.
Xét ĐSGT AX = (X, G, H, ) trong đó tập gia tử H = H+H– và giả sử
rằng H– = {h–1, h–2, …, h–q} thỏa h–1 < h–2 < …< h–q; H+ ={h1, h2, …, hp} thỏa
h1 < h2 < …< hp, và h0 = I với I là toán tử đơn vị.
Chúng ta cần có các mệnh đề và định nghĩa sau:
Mệnh đề 1.1. Cho fm là hàm độ đo tính mờ trên X. Ta có:
(1) fm(hx) = (h)fm(x), với x  X.
(2) fm(c) + fm(c+) = 1.
(3)

 fm(h c) 

fm(c) , trong đó c  {c, c+}

 fm(h x) 

fm( x) , với x  X.

 q i  p ,i  0

(4)

 q i  p ,i  0

i

i


10
1

(5)

  (hi )   và

i q

p

  (h )   , với ,  > 0 và  +  = 1.

i 1

i

Định nghĩa 1.3. (Sign function) Hàm dấu Sign: X  {−1, 0, 1} là ánh xạ
được xác định đệ quy sau đây, trong đó h, h’  H và c  {c, c+}:
(1) Sign(c) = 1, Sign(c+) = +1,
(2) Sign(h'hx) = Sign(hx), nếu h’hx  hx và h' âm đối với h (hoặc tương
ứng với c, nếu h = I & x = c);
(3) Sign(h'hx) = Sign(hx), nếu h’hx  hx và h' dương đối với h (hoặc tương
ứng với c, nếu h = I & x = c);
(4) Sign(h'hx) = 0, nếu h’hx = hx.
Mệnh đề 1.2. Với bất kỳ gia tử h  H và phần tử x  X, nếu Sign(hx) =
+1 thì ta có hx > x và nếu Sign(hx) = 1 thì hx < x.
Định nghĩa 1.4. Cho fm là hàm độ đo tính mờ trên tập X. Hàm định lượng
ngữ nghĩa : X  [0,1], kết hợp với hàm fm, được xác định như sau:
(1) (W) =  = fm(c), (c) =  − fm(c) = fm(c),

(c+) =  + fm(c+);
(2) (hjx) = (x) + Sign(h j x)  fm(hi x)   (h j x) fm(h j x) , trong đó
j

i  Sign ( j )



(hjx) = 1 1  Sign(h j x)Sign(hp h j x)(    ), và
2

j  {j: q  j  p & j  0} = [q^p].

Mệnh đề 1.3.
(1) Với mọi x  X, 0 ≤ (x) ≤ 1.
(2) Với mọi x, y  X, x < y suy ra (x) < (y).
1.2.3. Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ
Để thuận tiện trong các chứng minh dưới đây, chúng ta sẽ nhắc lại một số
khái niệm về ĐSGT tuyến tính đầy đủ.
Định nghĩa 1.5. Đại số gia tử đầy đủ AX = (X, G, H, , , ≤) được gọi là
tuyến tính nếu tập các phần tử sinh G = {0, c–, W, c+, 1} và tập các gia tử H–
= {h-1, ..., h-q} và H+ = {h1,..., hp} là các tập sắp thứ tự tuyến tính, trong đó 


11
và  là hai phép toán với ngữ nghĩa là cận trên đúng và cận dưới đúng của tập
H(x), tức là x = supremum(H(x)), x = infimum(H(x)), H = HH+, và ta
luôn luôn giả thiết rằng h-1 < h-2 < ... < h-q; h1 < ...< hp.
Định nghĩa 1.6. Giả sử AX = (X, G, H, , , ) là một ĐSGT đầy đủ,
tuyến tính và tự do, fm(x) và (h) tương ứng là các độ đo tính mờ của giá trị
ngôn ngữ x và của gia tử h. Khi đó, ta nói  là ánh xạ cảm sinh bởi độ đo tính
mờ fm của ngôn ngữ nếu nó được xác định như sau:
(1) (W) =  = fm(c), (c) =  – fm(c) = fm(c),

(c+) =  +fm(c+);
Sign ( j )
(2)  (h j x)   ( x)  Sign(h j x)ijSign
( j )  ( hi ) fm( x )   ( h j x )  ( h j x ) fm( x ),

1
1  Sign(h j x)Sign(h p h j x)(   )  ,  , với
2
mọi j, –q  j  p và j  0;

trong đó  (h j x) 

(3) (c) = 0, (c) =  = (c+), (c+) = 1, và với mọi j thỏa
–q  j  p, j  0, ta có:

(hjx) = (x) +
Sign ( j )
Sign(h j x)ijSign
( j )  ( hi ) fm( x)

1
1  Sign(h j x) (h j ) fm( x),
2

(hjx) = (x) +
Sign ( j )
Sign(h j x)ijSign
( j )  ( hi ) fm( x) 

1
1  Sign(h j x) (h j ) fm( x).
2

Một số tính chất của giá trị ngôn ngữ: Trước hết là việc xây dựng ánh xạ
 để gán mỗi phần tử x  X với một đoạn con của đoạn [0,1] sao cho đoạn con
(x) của đoạn [0,1] có độ dài bằng độ đo tính mờ của phần tử x.
Cho trước ĐSGT tuyến tính đầy đủ AX = (X, G, H, , , ) và hàm độ
đo tính mờ fm: X  [0,1]. Gọi Intv([0,1]) là họ tất cả các đoạn con của đoạn
[0,1]. Việc gán ngữ nghĩa mờ được xác định bởi ánh xạ  : X  Intv([0,1])
thỏa các điều kiện sau:

(1) Với x  {c, c+} thì (c), (c+) là các đoạn con của đoạn [0,1]. Ký
hiệu |.| là độ dài của các đoạn, khi đó ta có |(c)| = fm(c), |(c+)| =
fm(c+) và (c) ≤ (c+).


12
(2) Giả sử x  X, x có độ dài n, ký hiệu l(x) = n, khi đó ta gán |(x)| =
fm(x) và nếu x < y thì (x) ≤ (y). Hơn nữa nếu h−qx < … < h−1x < h1x
< h2x <…< hpx thì (x) được chia thành (p + q) đoạn con của đoạn
[0,1], độ dài của đoạn con |(hix)| = fm(hix), i [ q^p] và (hix) ≤
(hjx), nếu thỏa điều kiện hix < hjx với i,j  [ q^p].
Họ {(x) : x  X } được gọi là một tựa phân hoạch (semi-partition) của
đoạn [0,1] tức là nếu với x,y  X, x ≠ y thì đoạn con (x) và (y) có chung với
nhau nhiều nhất một điểm và  xX (x) = [0,1]. Để thuận tiện, chúng ta ký hiệu
tập các phần tử có độ dài k là Xk = {x  X : l(x) = k}, l(x) là độ dài của x.
Bổ đề 1.1. Cho fm là hàm độ đo tính mờ trên AX và  được gán ngữ nghĩa
mờ theo fm. Khi đó:
(1) {(c), (c+)} là một tựa phân hoạch của đoạn [0,1] và với mọi x 
X, họ {(hix) : i  [q^p]} là một tựa phân hoạch của (x).
(2) Họ {(x) : x  Xn} là một tựa phân hoạch của đoạn [0,1] và nếu x <
y và l(x) = l(y) = n thì (x) < (y).
(3) Với y =x,  là chuỗi gia tử bất kỳ thì (y)

 (x).

(4) Với x, y  X, x < y, H(x)  H(y) = Ø thì (x) ≤ (y).
Trong [12] các tác giả chỉ ra rằng với mỗi giá trị thực r  [0,1] đều tồn tại
giá trị ngôn ngữ x  X có giá trị định lượng xấp xỉ với r. Trong mệnh đề dưới
đây chúng tôi sẽ xác định độ dài đủ lớn của giá trị ngôn ngữ x khi xấp xỉ với số
r theo độ chính xác ε > 0 cho trước.

Mệnh đề 1.4. Cho ĐSGT tuyến tính đầy đủ AX = (X, G, H, Σ, Φ, ) và
một số ε > 0 bé tùy ý. Đặt k  1  log  ( /  ) trong đó λ = max{µ(hj): j 
[−q^p]}, và γ = max{fm(c−), fm(c+)}. Khi đó với mọi giá trị thực r  [0,1] đều
tồn tại giá trị ngôn ngữ x  Xk thỏa |(x) − r| ≤ ε.
1.2.4. Khái niệm ngưỡng hiệu chỉnh định lượng ngữ nghĩa
Giả thiết ĐSGT AX* = (X*, G, H, ρ , , ) là tuyến tính, đầy đủ và tự do,
trong đó X* là tập cơ sở, G = (0, c-, W, c+, 1) với c-, c+ là 2 phần tử sinh, 0, W,
1 tập các phần tử không sinh nghĩa, (phần tử W còn gọi là phần tử trung hòa),
H là tập các gia tử âm và dương,  là quan hệ thứ tự toàn phần trên X*, ρ và 
là hai phép toán mở rộng sao cho với mọi x  X*, x, ρx tương ứng là cận dưới


13
đúng và cận trên đúng trong X* của tập H(x), là tập tất cả các phần tử sinh ra
từ x nhờ các gia tử trong H. Giả sử H = HH+ và H = {h-1, ..., h-q}, với h-12< ... tử đơn vị trên X*.
Theo tài liệu [6] đưa ra định nghĩa ngưỡng hiệu chỉnh ĐLNN và phương
pháp xác định ngưỡng hiệu chỉnh ĐLNN của các giá trị ngôn ngữ để sao cho
thứ tự ngữ nghĩa vẫn bảo đảm vốn có của các giá trị ngôn ngữ trong ĐSGT.
Định nghĩa 1.7. Số thực , 0   1 được gọi là ngưỡng hiệu chỉnh ĐLNN
của các giá trị ngôn ngữ trong X k nếu với mọi x, y X k thỏa x  y kéo theo v(x)
+ 1  v(y)  2 đúng với  0<1, 2 <
Định lý 1.5. Cho AX* là ĐSGT tuyến tính, đầy đủ và tự do, ngưỡng hiệu
chỉnh ĐLNN cho các giá trị ngôn ngữ trong X k là:

k = min {fm(x)/2, fm(x)/2 | x  X k },
với k là số nguyên dương tùy ý.
1.3. Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ đa điều kiện
Từ những năm 70 các phương pháp lập luận đã được phát triển mạnh mẽ

và được ứng dụng nhiều trong các hệ chuyên gia mờ. Một số phương pháp lập
luận mờ đa điều kiện (Fuzzy Multiple Conditional Reasoning - FMCR ) nhằm
giải quyết bài toán lập luận mờ đa điều kiện đã được phát biểu.
Theo cách tiếp cận của lý thuyết tập mờ, các phương pháp lập luận mờ đa
điều kiện nói chung được mô tả dựa trên hai dạng mô hình sau.
Mô hình hội: Xem mô hình mờ (1.2) như là hội của các mệnh đề if -then
- Ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ của các biến ngôn ngữ trong mô hình
mờ được biểu thị bằng các tập mờ tương ứng của chúng.
- Từ các luật mờ dạng câu if-then, xây dựng quan hệ mờ R như sau:
+ Sử dụng phép hội các điều kiện ở tiền đề, mỗi câu if-then xem như là
một phép kéo theo I(s,t), một phép 2-ngôi trong [0,1], lưu ý rằng giá trị
s phụ thuộc m biến đầu vào.
+ Vì (1.2) được xem là mô hình hội, R được tính bằng hội của các biểu
thức phép kéo theo đã xây dựng.


14
- Khi đó ứng với vectơ đầu vào A0, giá trị của biến đầu ra được tính theo
công thức B0 = A0R, trong đó  là một phép hợp thành nào đó.
Mô hình tuyển: Xem (1.2) như là tuyển của các mệnh đề if-then
- Phương pháp tiến hành giống như trên cho đến bước xây dựng được các
phép kéo theo Ij(s,t) cho mỗi mệnh đề if-then trong (1.2), j = 1, ..., n.
- Với vectơ đầu vào A0, giá trị của biến đầu ra B0j dựa trên luật thứ j được
tính theo công thức B0j = A0 Ij(s,t), trong đó  là một phép hợp thành nào đó.
- Cuối cùng, giá trị đầu ra của mô hình mờ (1.2) được tính bằng tuyển của
các B0j, j = 1, ..., n.
Một cách tổng quát, các phép tuyển và hội được xây dựng dựa trên các
phép t-norm và s-norm.
Tuy ý tưởng chung về lược đồ phương pháp lập luận mờ là giống nhau,
nhưng những phương pháp lập luận sẽ khác nhau ở cánh thức mô phỏng mô

hình mờ và cách xác định các phép t-norm và s-norm.
Hiệu quả của phương pháp lập luận mờ nói chung phụ thuộc nhiều yếu tố
rất căn bản chẳng hạn như:
- Lựa chọn tập mờ (bài toán xây dựng các hàm thuộc).
- Bài toán lựa chọn phép kết nhập (bài toán chuyển mô hình đa điều kiện
về mô hình đơn điều kiện).
- Xây dựng quan hệ mờ mô phỏng tốt nhất mô hình mờ (bài toán lựa chọn
phép kéo theo).
- Khử mờ (bài toán lựa chọn phương pháp khử mờ).
- Luật hợp thành (max-min, min-max, t-norm, s-norm, …).
Đó chính là những khó khăn không nhỏ khi xây dựng phương pháp giải
bài toán lập luận mờ đa điều kiện.
Với mục tiêu tìm kiếm các phương pháp lập luận giải bài toán trên, một
số tác giả đã quan tâm nghiên cứu một phương pháp mới, phương pháp nội suy
mờ.
Ý tưởng của phương pháp này là xem các tiền đề của mệnh đề if - then
trong mô hình mờ như là các “điểm lưới”. Mô hình mờ cho ta thông tin của lời
giải tại điểm lưới. Dữ liệu đầu vào A0 sẽ rơi vào một “đoạn thẳng” nào đó xác


15
định bởi các điểm lưới. Trên đoạn này chúng ta giải bằng phương pháp nội suy
trên cơ sở thông tin được cho tại 2 điểm lưới đầu mút của “đọan thẳng”.
Có thể thấy phương pháp nội suy mờ có trực quan rõ ràng cho phép người
ta cảm nhận hay dự đoán mức độ nào đó về ứng xử của hệ thống được cho bởi
mô hình mờ. Tuy nhiên, phương pháp này vẫn chứa đựng các yếu tố phức tạp
chẳng hạn như:
- Vấn đề xây dựng hàm thuộc dạng tam giác của các tập mờ.
- Vấn đề khử mờ để chuyển giá trị mờ đầu ra thành giá trị thực.
- Vấn đề tìm lời giải bằng nội suy trên từng tập mức của tập mờ.

Đây cũng là những bài toán khá phức tạp vì luôn có thể chỉ ra lời giải chưa
tối ưu.
Các phương pháp lập luận, đặc biệt là phương pháp lập luận mờ đa điều
kiện có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn như trong xây dựng các hệ chuyên
gia, các hệ trợ giúp quyết định, các hệ mờ.
1.4. Bài toán tối ưu và giải thuật di truyền
1.4.1. Bài toán tối ưu
Bài toán tối ưu có dạng:
Cho trước một hàm f: A R từ tập hợp A tới tập số thực. Tìm: một phần
tử x0 thuộc A sao cho f(x0) ≤ f(x) với mọi x thuộc A ("cực tiểu hóa") hoặc sao
cho f(x0) ≥ f(x) với mọi x thuộc A ("cực đại hóa").
Miền xác định A của hàm f được gọi là không gian tìm kiếm. Thông
thường, A là một tập con của không gian Euclid Rn, thường được xác định bởi
một tập các ràng buộc, các đẳng thức hay bất đẳng thức mà các thành viên
của A phải thỏa mãn. Các phần tử của A được gọi là các lời giải khả thi.
Hàm f được gọi là hàm mục tiêu, hoặc hàm chi phí. Lời giải khả thi nào cực
tiểu hóa (hoặc cực đại hóa, nếu đó là mục đích) hàm mục tiêu được gọi là lời
giải tối ưu.
Thông thường, sẽ có một vài cực tiểu địa phương và cực đại địa phương,
trong đó một cực tiểu địa phương x* được định nghĩa là một điểm thỏa mãn
điều kiện: với giá trị δ > 0 nào đó và với mọi giá trị x sao cho
;


16
Công thức sau luôn đúng
Nghĩa là, tại vùng xung quanh x*, mọi giá trị của hàm đều lớn hơn hoặc
bằng giá trị tại điểm đó. Cực đại địa phương được định nghĩa tương tự. Thông
thường, việc tìm cực tiểu địa phương là dễ dàng - cần thêm các thông tin về bài
toán (chẳng hạn, hàm mục tiêu là hàm lồi) để đảm bảo rằng lời giản tìm được

là cực tiểu toàn cục.
Phát biểu bài toán có thể có thể mô tả lại bài toán như sau:
f (x) = max(min)
- Với điều kiện: gi(x) (, =, ) bi, i=1,…, m
x X  Rn
- Hàm f(x) được gọi là hàm mục tiêu.
- Hàm gi(x) gọi là các hàm ràng buộc.
- Miền ràng buộc
D =  x X  gi (x) (, =, ) bi, i = 1,m 
1.4.2. Giải thuật di truyền
1.4.2.1. Các khái niệm cơ bản của giải thuật di truyền
Giới thiệu chung: Giải thuật GA lần đầu được tác giả Holland giới thiệu
vào năm 1962. Nền tảng toán học của giải thuật GA được tác giả công bố trong
cuốn sách “Sự thích nghi trong các hệ thống tự nhiên và nhân tạo” xuất bản
năm 1975. Giải thuật GA mô phỏng quá trình tồn tại của các cá thể có độ phù
hợp tốt nhất thông qua quá trình chọn lọc tự nhiên, sao cho khi giải thuật được
thực thi, quần thể các lời giải tiến hoá tiến dần tới lời giải mong muốn. Giải
thuật GA duy trì một quần thể các lời giải có thể của bài toán tối ưu hoá. Thông
thường, các lời giải này được mã hoá dưới dạng một chuỗi các gen. Giá trị của
các gen có trong chuỗi được lấy từ một bảng các ký tự được định nghĩa trước.
Mỗi chuỗi gen được liên kết với một giá trị được gọi là độ phù hợp. Độ phù
hợp được dùng trong quá trình chọn lọc. Cơ chế chọn lọc đảm bảo các cá thể
có độ phù hợp tốt hơn có xác suất được lựa chọn cao hơn. Quá trình chọn lọc
sao chép các bản sao của các cá thể có độ phù hợp tốt vào một quần thể tạm
thời được gọi là quần thể bố mẹ. Các cá thể trong quần thể bố mẹ được ghép
đôi một cách ngẫu nhiên và tiến hành lai ghép tạo ra các cá thể con. Sau khi