Giải pháp tối ưu các tham số định lượng ngữ nghĩa của đại số gia tử và ứng dụng cho bài toán lập luận xấp xỉ mờ trong điều khiển

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN ĐỨC VĂN

GIẢI PHÁP TỐI ƯU CÁC THAM SỐ ĐỊNH LƯỢNG NGỮ NGHĨA CỦA ĐẠI
SỐ GIA TỬ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN LẬP LUẬN XẤP XỈ MỜ
TRONG ĐIỀU KHIỂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN ĐỨC VĂN

GIẢI PHÁP TỐI ƯU CÁC THAM SỐ ĐỊNH LƯỢNG NGỮ NGHĨA CỦA ĐẠI
SỐ GIA TỬ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN LẬP LUẬN XẤP XỈ MỜ
TRONG ĐIỀU KHIỂN

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã
số: 60.48.01.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY MINH

THÁI NGUYÊN - 2018

i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả đạt được trong luận văn là sản phẩm của cá
nhân dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Duy Minh. Trong toàn bộ
nội dung luận văn, những nội dung được trình bày là của cá nhân hoặc tổng
hợp từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau. Tất cả các tài liệu tham khảo đó đều
có xuất xứ rõ ràng và được trích dẫn hợp pháp.
Tôi xin chịu trách nhiệm và chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy định cho
lời cam đoan của mình.
Thái Nguyên, 15 tháng 4 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Đức Văn


ii
LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS. Nguyễn Duy Minh - người
hướng dẫn khoa học, thầy đã định hướng và nhiệt tnh hướng dẫn, giúp đỡ
em trong quá trình làm luận văn.
Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường Đại học
Công nghệ thông tin và Truyền thông; Viện công nghệ thông tin thuộc Viện
hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã truyền đạt những kiến thức và
kinh nghiệm quý báu cho chúng em trong thời gian học tập.
Xin chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp, ban cán sự và các học
viên lớp cao học CK15A, những người thân trong gia đình đã động viên, chia
sẻ, tạo điều kiện giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, 15 tháng 4 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Đức Văn


iii
iiii
MỤC LỤC
MỤC LỤC ........................................................................................................ iii
DANH MỤC BẢNG ......................................................................................... v
DANH MỤC HÌNH ......................................................................................... vi
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ..................................... vii MỞ
ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ ..................... 3
1.1. Biến ngôn ngữ và mô hình mờ................................................................... 3
1.1.1. Biến ngôn ngữ ..................................................................................... 3
1.1.2. Mô hình mờ .........................................................................................
4
1.2. Đại số gia tử ............................................................................................... 5
1.2.1. Độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ.............................................. 6
1.2.2. Hàm định lượng ngữ nghĩa ................................................................. 9
1.2.3. Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ ......................................................... 10
1.2.4. Khái niệm ngưỡng hiệu chỉnh định lượng ngữ nghĩa ....................... 12
1.3. Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ đa điều kiện .........................................
13
1.4. Bài toán tối ưu và giải thuật di truyền......................................................
15
1.4.1. Bài toán tối ưu ...................................................................................
15
1.4.2. Giải thuật di truyền ........................................................................... 16

1.4.2.1. Các khái niệm cơ bản của giải thuật di truyền ............................................................ 16
1.4.2.2. Cơ chế thực hiện của giải thuật di truyền.................................................................... 19
1.4.2.3. Các phương pháp biểu diễn nhiễm sắc thể và các toán tử di truyền chuyên biệt ........
22
1.4.2.4. Biểu diễn thực ............................................................................................................. 22
1.4.2.5. Các toán tử chuyên biệt hoá ........................................................................................
23

1.5. Kết luận Chương 1 ................................................................................... 25
CHƯƠNG 2: GIẢI PHÁP TỐI ƯU CÁC THAM SỐ ĐỊNH LƯỢNG NGỮ NGHĨA
CHO PHƯƠNG PHÁP LẬP LUẬN MỜ DỰA TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ


iv
ivi
....................................................................................................
26
2.1. Phương pháp lập luận mờ sử dụng đại số gia tử ......................................
26
2.2. Các giải pháp tối ưu các tham số định lượng ngữ nghĩa..........................
29


iv
2.3. Giải pháp xác định các tham số định lượng ngữ nghĩa tối ưu .................
32
2.3.1. Giải pháp tối ưu các tham số của đại số gia tử .................................
32
2.3.2. Giải pháp xác định mô hình định lượng ngữ nghĩa tối ưu ................
33

2.3.2.1. Phân tích ảnh hưởng các tham số hiệu chỉnh ..............................................................
33
2.3.2.2. Thuật toán xác định mô hình định lượng ngữ nghĩa tối ưu .........................................
34

2.4. Phương pháp lập luận mờ sử dụng đại số gia tử dựa trên các mô hình
định
lượng ngữ nghĩa tối ưu. ...................................................................................
36
2.4.1. Vấn đề xác định giá trị định lượng ngữ nghĩa tối ưu ........................ 36
2.4.2. Sử dụng tham số hiệu chỉnh tối ưu cho phương pháp lập luận mờ
sử
dụng đại số gia tử ........................................................................................
37
2.5. Tổng kết Chương 2 .................................................................................. 39
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LẬP LUẬN XẤP XỈ MỜ SỬ DỤNG
ĐẠI SỐ GIA TỬ VỚI MÔ HÌNH ĐỊNH LƯỢNG NGỮ NGHĨA TỐI ƯU TRONG
ĐIỀU KHIỂN ................................................................. 40
3.1. Mô tả một số bài toán điều khiển logic mờ..............................................
40
3.1.1. Bài toán 1: Xấp xỉ mô hình mờ EX1 của Cao-Kandel [9]................ 40
3.1.2. Bài toán 2: Bài toán hệ con lắc ngược [8]......................................... 41
3.2. Ứng dụng phương pháp lập luận xấp xỉ mờ sử dụng đại số gia tử trong
điều
khiển
................................................................................................................ 43
3.2.1. Phương pháp điều khiển logic mờ truyền thống ...............................
43
3.2.2. Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ sử dụng đại số gia tử trong điều
khiển44

3.2.3. Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ sử dụng đại số gia tử với các mô


v
hình định lượng ngữ nghĩa tối ưu trong điều khiển ....................................
47
3.3. Ứng dụng.................................................................................................. 48
3.3.1. Bài toán 1 .......................................................................................... 48
3.3.2. Bài toán 2 .......................................................................................... 52
3.4. Kết luận Chương 3 ................................................................................... 55
KẾT LUẬN .................................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 58


vi
DANH MỤC BẢNG
Bảng 2. 1. So sánh các giá trị ĐLNN .............................................................. 31
Bảng 3. 1. Mô hình EX1 của Cao-Kandel....................................................... 40
Bảng 3. 2. Các kết quả xấp xỉ EX1 tốt nhất của Cao-Kandel [9].................... 41
Bảng 3. 3. Mô hình FAM cho hệ con lắc ngược ............................................. 43
Bảng 3. 4. Mô hình SAM gốc - xấp xỉ mô hình EX1...................................... 50
Bảng 3. 5. Mô hình SAM (PAR2) – xấp xỉ mô hình EX1 ................................ 50
Bảng 3. 6. Sai số lớn nhất của các phương pháp trên mô hình EX1 ............... 51
Bảng 3. 7. Chuyển nhãn ngôn ngữ cho các biến X1, X2 .................................. 52
Bảng 3. 8. Nhãn ngôn ngữ cho biến u............................................................. 52
Bảng 3. 9. Mô hình SAM gốc của hệ con lắc ngược ...................................... 52
Bảng 3. 10. Mô hình SAM(PAR2) của hệ con lắc ngược................................. 53
Bảng 3. 11. Sai số các phương pháp của hệ con lắc ngược ............................ 55

vi
i
DANH MỤC HÌNH
Hinh 1. 1 Độ đo tính mờ ................................................................................... 8
Hinh 1. 2. Mã hoá nhị phân biểu diễn các cá thể ............................................
17
Hinh 1. 3. Biểu diễn giá trị của  đối với hai lần được chọn.......................... 24
Hình 3. 1. Đường cong thực nghiệm của mô hình EX1 ................................. 41
Hình 3. 2. Mô tả hệ con lắc ngược .................................................................. 42
Hình 3. 3. Sơ đồ phương pháp điều khiển CFC.............................................. 44
Hình 3. 4. Sơ đồ phương pháp điều khiển FCHA ........................................... 45
Hình 3. 5. Kết quả xấp xỉ mô hình EX1 của Cao Kandel ............................... 51
Hình 3. 6. Đồ thị lỗi của hệ con lắc ngược ..................................................... 55


vii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Các ký hiệu:



Tổng độ đo tính mờ của các gia tử âm



Tổng độ đo tính mờ của các gia tử dương



Giá trị định lượng của phần tử trung hòa

AX

Đại số gia tử

AX*

Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ

W

Phần tử trung hòa trong đại số gia tử

�

Ngưỡng hiệu chỉnh định lượng ngữ nghĩa

δ

Tham số hiệu chỉnh giá trị định lượng ngữ nghĩa

c-, c+

Các phần tử sinh

Các chữ viết tắt:
ĐLNN

Định lượng ngữ nghĩa

ĐSGT

Đại số gia tử

GA

Genetic Algorithm

FMCR

Fuzzy Multple Conditional Reasoning

FAM

Fuzzy Associative Memory SAM

Semantc Associative Memory HAR
Hedge Algebras Reasoning OpPAR
Optimal - Parameter
CFC

Conventional Fuzzy Control

FCHA

Fuzzy Control Using Hedge Algebras

FCOPHA

Fuzzy Control using Optimal Hedge Algebras

1
MỞ ĐẦU
Khoa học ngày càng phát triển thì càng có nhiều thiết bị máy móc hỗ trợ
cho đời sống con người. Các thiết bị máy móc càng “thông minh” thì càng
thay thế sức lao động và do đó các thiết bị dạng này dường như là một trong
những cái đích mà con người vươn tới. Như vậy, nhu cầu thiết yếu của cuộc
sống là tạo ra các máy móc có thể hành xử giống với con người. Hay nói cách
khác là các máy phải biết suy luận để đưa ra các quyết định đúng đắn.
Người tên phong trong lĩnh vực này là Zadeh [11]. Trong các công trình
của mình ông đã mô tả một cách toán học những khái niệm mơ hồ mà ta
thường gặp trong cuộc sống như: cao, thấp; đúng, sai bằng các tập mờ. Nhờ
việc xây dựng lý thuyết tập mờ mà con người có thể suy diễn từ khái niệm
mơ hồ này đến khái niệm mơ hồ khác mà bản thân logic kinh điển không làm
được. Trên cơ sở các thông tin không chính xác thu được, người ta có thể
đưa ra những quyết định hiệu quả cho từng tình huống của bài toán.
Tuy nhiên, phương pháp lập luận của con người là vấn đề phức tạp và
không có cấu trúc. Vì vậy kể từ khi lý thuyết tập mờ ra đời cho đến nay, vẫn
chưa có một cơ sở lý thuyết hình thức chặt chẽ theo nghĩa tên đề hoá cho
logic mờ và lập luận mờ.
Để đáp ứng phần nào đối với nhu cầu xây dựng cơ sở toán học cho việc
lập luận ngôn ngữ, N.Cat Ho và Wechler [12] đã đề xuất cách tiếp cận dựa
trên cấu trúc tự nhiên của miền giá trị của các biến ngôn ngữ, trong các công
trình, các tác giả đã chỉ ra rằng, những giá trị của biến ngôn ngữ trong thực tế
đều có thứ tự nhất định về mặt ngữ nghĩa, ví dụ ta hoàn toàn có thể cảm
nhận được rằng, ‘trẻ’ là nhỏ hơn ‘già’, hoặc ‘nhanh’ luôn lớn hơn ‘chậm’.
Với việc định lượng các từ ngôn ngữ của ĐSGT, một số phương pháp lập
luận nội suy ra đời nhằm mục đích giải quyết bài toán lập luận mờ đa điều
kiện, một bài toán được ứng dụng nhiều trong tự nhiên, kỹ thuật [11], các

phương pháp lập luận này được gọi là các phương pháp lập luận xấp xỉ mờ sử
dụng ĐSGT. Tuy nhiên khi thực hiện phương pháp lập luận còn tồn tại: Trong
ĐSGT, việc ánh xạ ĐLNN bảo toàn thứ tự ngữ nghĩa định tính, vì vậy phương
pháp ĐLNN này hàm chứa những lợi thế trong việc chuyển trung thành các
mô hình mờ sang mô hình định lượng (theo trực giác) để giải các bài toán ứng
dụng. Tuy nhiên mô hình định lượng tương đối hợp lý nhưng chưa tối ưu. Vì
vậy ta phải nghiên cứu một số giải


2
pháp tm ra được mô hình ĐLNN tối ưu nhất (các tham số ĐLNN của các ĐSGT
tối ưu) nhưng vẫn phải đảm bảo thứ tự ngữ nghĩa của ĐSGT.
Với lý do như vậy đề tài “Giải pháp tối ưu các tham số ĐLNN của ĐSGT
và ứng dụng cho bài toán lập luận xấp xỉ mờ trong điều khiển” nghiên cứu và
đưa ra giải pháp tối ưu các tham số ĐLNN của phương pháp lập luận mờ dựa
trên ĐSGT.
Giải pháp tối ưu các tham số ngữ nghĩa định lượng này được cài đặt thử
nghiệm trên một số bài toán lập luận xấp xỉ mờ dựa trên ĐSGT trong điều
khiển, các kết quả sẽ được đánh giá và so sánh với các phương pháp lập luận
khác đã được công bố.


3
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Biến ngôn ngữ và mô hình mờ
1.1.1. Biến ngôn ngữ
Một biến ngôn ngữ là biến mà “các giá trị của nó là các từ hoặc câu
trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngôn ngữ nhân tạo”. Ví dụ như khi nói về nhiệt
độ ta có thể xem đây là biến ngôn ngữ có tên gọi NHIỆT_ĐỘ và nó nhận các
giá trị ngôn ngữ như “cao”, “rất cao”, “trung bình”… Đối với mỗi giá trị này,

chúng ta sẽ gán cho chúng một hàm thuộc. Giả sử lấy giới hạn của nhiệt độ
trong đoạn [0,
230oC] và giả sử rằng các giá trị ngôn ngữ được sinh bởi một tập các quy tắc.
Khi đó, một cách hình thức, chúng ta có định nghĩa của biến ngôn ngữ sau
đây:
Định nghĩa 1.1. Biến ngôn ngữ là một bộ gồm năm thành phần (X,T(X),
U, R, M), trong đó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X,
U là không gian tham chiếu của biến cơ sở u, mỗi giá trị ngôn ngữ xem như là
một biến mờ trên U kết hợp với biến cơ sở u, R là một qui tắc cú pháp sinh
các giá trị ngôn ngữ cho tập T(X), M là qui tắc ngữ nghĩa gán mỗi giá trị ngôn
ngữ trong T(X) với một tập mờ trên U.
Ví dụ 1.1. Từ định nghĩa trên ta có tên biến ngôn ngữ X chính là
NHIỆT_ĐỘ, biến cơ sở u có miền xác định là U = [0, 230] tính theo oC. Tập các
giá trị ngôn ngữ tương ứng của biến ngôn ngữ là T(NHIỆT_ĐỘ) = {cao, rất
cao, tương_đối cao, thấp, rất thấp, trung bình, …}. R là một qui tắc để sinh ra
các giá trị này. M là quy tắc gán ngữ nghĩa sao cho mỗi một giá trị ngôn ngữ
sẽ được gán với một tập mờ. Chẳng hạn, đối với giá trị nguyên thủy cao,
M(cao)
= {(u, cao(u) | u  [0, 230]}, được gán như sau:


4
0,

u 
,
 cao(u) = 
15

1,

u  170
170  u  185
185  u

Ngữ nghĩa của các giá trị khác trong T(NHIỆT_ĐỘ) cũng có thể tính thông
qua tập mờ của các giá trị nguyên thủy bởi các phép toán tương ứng với các
gia tử tác động như rất, tương_đối,…


1.1.2. Mô hình mờ
Cấu trúc của một mô hình mờ chính là một tập bao gồm các luật mà
mỗi luật là một mệnh đề dạng “If…then…”, trong đó phần “If” được gọi là
mệnh đề điều kiện hay tiền đề còn phần “then” được gọi là phần kết luận.
Mô hình mờ dạng đơn giản hay còn gọi là mô hình SISO (Single Input
Single Output) là tập các luật mà trong đó mỗi luật chỉ chứa một điều kiện và
một kết luận được cho như sau:
if X = A1

then Y = B1

if X = A2

then Y = B2

(1.1)

........
if X = An

then Y = Bn

trong đó X, Y là các biến ngôn ngữ thuộc không gian U, V tương ứng và
các giá trị ngôn ngữ A1, A2,…, An, B1, B2, …, Bn là các tập mờ.
Tuy nhiên, trong một số lĩnh vực, chẳng hạn như trong điều khiển, sự
phụ thuộc giữa các biến vật lý không chỉ biểu diễn ở dạng đơn giản như mô
hình trên mà nó bao gồm nhiều điều kiện ràng buộc. Vì vậy, một mô hình mờ
ở dạng tổng quát là một tập các luật (mệnh đề If-then) mà phần tiền đề của
mỗi luật là một điều kiện phức được viết như sau:
If X1 = A11 and ... and Xm = A1m then Y = B1
If X1 = A21 and ... and Xm = A2m then Y = B2
........

(1.2) If X1

= An1 and ... and Xm = Anm then Y = Bn
ở đây X1, X2, …, Xm và Y là các biến ngôn ngữ, Aij, Bi (i = 1,…, n; j =
1,…, m) là các giá trị ngôn ngữ tương ứng ([11]).
Hầu hết các ứng dụng trong hệ chuyên gia mờ, phân cụm mờ, điều
khiển mờ,… liên quan đến việc suy diễn thì mô hình mờ là một phần không
thể thiếu và do vậy các ứng dụng này luôn gắn liền với các phương pháp giải
quyết bài toán lập luận xấp xỉ đa điều kiện. Bài toán lập luận xấp xỉ mờ đa
điều kiện được phát biểu như dưới đây:
Cho mô hình mờ (1.2) và các giá trị ngôn ngữ A01, A02, …, A0m tương ứng
với các biến ngôn ngữ X1, X2, …, Xm . Hãy tính giá trị của Y.


Có nhiều phương pháp để giải quyết bài toán này. Các phương pháp cụ
thể sẽ được trình bày ở Mục 1.3.
1.2. Đại số gia tử

Trong mô hình mờ thường dùng các mô tả ngôn ngữ cho các biến vật lý.
Với mỗi biến ngôn ngữ X, gọi X = Dom(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến
X. Miền giá trị X được xem như một ĐSGT AX = (X, G, H, ) trong đó G là tập
các phần tử sinh, H là tập các gia tử còn “” là quan hệ cảm sinh ngữ nghĩa
trên X. Ta cũng giả thiết rằng trong G có chứa các phần tử 0, 1, W với ý nghĩa
là phần tử bé nhất, phần tử lớn nhất và phần tử trung hòa (neutral) trong X.
Nếu tập X và H là các tập sắp thứ tự tuyến tính, khi đó ta nói AX = (X, C,
H, ) là ĐSGT tuyến tính.
Khi tác động gia tử h  H vào phần tử x  X, thì ta thu được phần tử ký
hiệu hx. Với mỗi x  X ta ký hiệu H(x) là tập tất cả các phần tử u thuộc X xuất
phát từ x bằng cách sử dụng các gia tử trong H và ta viết u = hn…h1x, với hn,
…, h1  H.
Bây giờ chúng ta sẽ xét một vài tính chất được phát biểu trong các định
lý
dưới đây của ĐSGT tuyến tính.
Định lý 1.1. ([12]) Cho tập H– và H+ là các tập sắp thứ tự tuyến tính của
ĐSGT AX = (X, G, H, ). Khi đó ta có các khẳng định sau:
(1) Với mỗi u  X thì H(u) là tập sắp thứ tự tuyến tính.
(2) Nếu X được sinh từ G bởi các gia tử và G là tập sắp thứ tự tuyến tính
thì X cũng là tập sắp thứ tự tuyến tính. Hơn nữa nếu u < v, và u, v là
độc lập với nhau, tức là u  H(v) và v  H(u), thì H(u)  H(v).
Một cách tổng quát hơn như đã chứng minh trong tài liệu ([12]), mỗi
miền ngôn ngữ của biến ngôn ngữ có thể được tên đề hóa và được gọi là
ĐSGT AX
= (X, G, H, ), trong đó H là tập thứ tự tuyến tính bộ phận. Chúng ta có định
lý sau.
Định lý 1.2. ([12]) Cho ĐSGT AX = (X, G, H, ). Khi đó ta có các khẳng
định sau:
(1) Các toán tử trong Hc là so sánh được với nhau, c  {+, –}.

(2) Nếu x  X là điểm cố định đối với toán tử h  H, tức là hx = x, thì nó
là điểm cố định đối với các gia tử khác.
(3) Nếu x = hn…h1u thì tồn tại chỉ số i sao cho hi…h1u của x là một biểu
diễn chuẩn của x tương ứng với u (x = hi…h1u và hi…h1u ≠ hi-1…h1u)
và hjx = x với mọi j > i.
(4) Nếu h ≠ k và hx = kx thì x là điểm cố định.
(5) Với bất kỳ gia tử h, k  H, nếu x ≤ hx (x ≥ hx) thì x <≤ hx (x ≥> hx) và
nếu hx < kx, h ≠ k, thì hx <≤ kx.
Trong [9] các tác giả đã chỉ ra rằng mỗi ĐSGT đầy đủ là một dàn với phần
tử đơn vị là 1 và phần tử không là 0.
Để thuận tiện về sau, chúng ta nêu ra định lý kế tiếp dùng để so sánh
hai phần tử trong miền ngôn ngữ của biến ngôn ngữ X.
Định lý 1.3. Cho x = hn…h1u và y = km…k1u là hai biểu diễn chuẩn của x và
y tương ứng với u. Khi đó tồn tại chỉ số j ≤ min{n, m} + 1 sao cho hj’ = kj’ với
mọi j’ < j (ở đây nếu j = min {m, n} + 1 thì hoặc hj là toán tử đơn vị I, hj = I, j = n
+ 1 ≤ m hoặc kj = I, j = m + 1 ≤ n) và
(1) x < y khi và chỉ khi hjxj < kjxj, trong đó xj = hj-1...h1u.
(2) x = y khi và chỉ khi m = n và hjxj = kjxj.
(3) x và y là không so sánh được với nhau khi và chỉ khi hjxj và kjxj là
không so sánh được với nhau.
1.2.1. Độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ
Khái niệm độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ là một khái niệm trừu
tượng không dễ để xác định bằng trực giác và có nhiều cách tiếp cận khác
nhau, để xác định khái niệm này. Thông thường, trong lý thuyết tập mờ, các
cách tiếp cận chủ yếu là dựa trên hình dạng của tập mờ. Với ĐSGT có thể xác
định được độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ một cách hợp lý.
Giá trị ngôn ngữ nào càng đặc trưng thì độ đo tính mờ càng nhỏ. Chẳng
hạn, độ đo tính mờ của giá trị ngôn ngữ More_or_less True (MLtrue), Possibly
True là nhỏ hơn độ đo tính mờ của True. Tuy nhiên trong lý thuyết tập mờ

không thể hiện được điều đó. Thật vậy, giả sử ngữ nghĩa của giá trị ngôn ngữ
được biểu diễn bởi tập mờ. Độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ là khoảng
cách giữa tập mờ biểu thị cho giá trị ngôn ngữ đó với tập rõ gần nó nhất.
Nếu


chúng ta biểu diễn từ true bởi hàm thuộc µtrue(t)= t trên đoạn [0,1] và MLtrue
bởi µMLtrue(t) = tα với α = 2/3 < 1 thì độ đo tính mờ của true bằng 1/4, nhưng
độ đo tính mờ của MLtrue bằng
4  2
10



1
4

Rõ ràng cách xác định độ đo tính mờ như vậy là không thích hợp so với ý
kiến ban đầu đặt ra. Vì vậy để xác định độ đo tính mờ một cách hợp lý, trước
hết chúng ta phải tm ra một số tính chất trực giác về độ đo tính mờ của giá
trị ngôn ngữ. Những tính chất này chính là nền tảng cho việc xác lập các định
nghĩa.
Ký hiệu fm(τ) là độ đo tính mờ của phần tử τ, τ  X và chúng ta cũng giả
sử rằng độ đo tính mờ của mỗi phần tử luôn thuộc đoạn [0,1]. Một số tính
chất trực giác của fm(τ):
(1) fm(τ) = 0, nếu τ là giá trị rõ.
(2) Nếu h là một gia tử và τ là giá trị mờ thì hτ đặc trưng hơn τ, vì vậy ta
có fm(hτ) < fm(τ).
(3) Xét hai phần tử sinh true và false của ĐSGT. Vì đây là các khái niệm
trái ngược nhau nhưng bổ sung cho nhau nên chúng ta có thể chấp

nhận điều kiện sau:
fm(true) + fm(false) ≤ 1.
Chúng ta nhận thấy rằng, nếu fm(true) + fm(false) < 1 thì bắt buộc
phải tồn tại khái niệm τ khác bổ sung cho cả true và false để fm(true) +
fm(false) + fm(τ) = 1. Trường hợp này không tồn tại trong ngôn ngữ tự
nhiên. Vì thế, ta có fm(true) + fm(false) = 1. Từ đó suy ra rằng, nếu c+, c–
là hai phần tử sinh trong X thì:
fm(c+) + fm(c–) = 1
(4) Bây giờ chúng ta xét tập gia tử H = {Very, More, Possibly, Little} và
tập các giá trị H[true] = {VeryTrue, MoreTrue, PossiblyTrue,
LittleTrue}, tất cả các phần tử của tập này đều đặc trưng hơn true.
Theo nhận định ở điểm (2), độ đo tính mờ của true lớn hơn mọi độ
đo của các phần tử trong H[true]. Chúng ta có thể xác định một cách
trực giác rằng độ đo tính mờ của true được thiết lập thông qua độ
đo tính mờ của các phần tử bắt nguồn từ true và chấp nhận điều
kiện sau đây:


fm(Very true) + fm(More true) + fm(Poss. true) + fm(Little true) ≤
fm(true).
Tương tự như thảo luận trong (3), ta có:
fm(Very true) + fm(More true) + fm(Poss. true) + fm(Little true) =
fm(true).
Một cách tổng quát, giả sử τ là giá trị ngôn ngữ bất kỳ thuộc X thì:
fm(Very τ) + fm(More τ) + fm(Poss. τ) + fm(Litle τ) = fm(τ).
Cuối cùng chúng ta có thể biểu diễn độ đo tính mờ của biến ngôn
ngữ
TRUTH như trong Hình 1.1 dưới đây.

True
LitleTrue

W

fm(MLTr)
fm(VLTr)

Poss.

More

True

True

fm(LLTr)

fm(M Tr)

fm(PVTr)
fm(LVTr)

fm(PLTr)

fm(LittleTr)

VeryTrue

fm(PossTr))

1
fm(VVTr)

fm(MVTr)

fm(VeryTrue)

fm(True)

Hình
Độđo
đotính
nhmờ
mờ
Hinh 1. 11.Độ
Định nghĩa 1.2. Xét đại số gia tử AX = (X, G, H, ) của biến ngôn ngữ X. Một
hàm φ: X → [0,1] được gọi là hàm độ đo tính mờ trên X nếu tồn tại một xác
suất P trên X sao cho P xác định trên tập H(τ). Với mỗi phần tử τ  X thì
P(H(τ)) = 0 nếu τ  {0, 1, W} và φ(τ) = P(H(τ)).
Từ định nghĩa ta thấy “kích cỡ” của tập H(τ) thể hiện độ đo tính mờ của
phần tử τ. Chúng ta dễ dàng nhận ra rằng hàm φ thỏa mọi tính chất trực giác
đã đề xuất trên. Cụ thể là:
Tính chất (p1): φ(0) = φ(1) = φ(W) = 0.
Tính chất (p2): φ(hτ) ≤ φ(τ), với mọi τ  X và h  H.
Tính chất (p3): φ(c–) + φ(c+) = 1, với c–, c+ là hai phần tử sinh trong X.


Tính chất (p4):

  (h )   ( ) , τ  X.
hH

Chúng ta cũng có thể viết lại tính chất (p4) như sau:   (h ) /  ( ) 
1,
hH

tổng này không thay đổi với mọi τ  X. Chúng ta có thể xem tỷ lệ φ(hτ)/φ(τ) là
một hằng số và nó đặc trưng cho gia tử h. Ta có tính chất sau:
Tính chất (p5): Tỷ lệ φ(hτ)/φ(τ) không phụ thuộc vào τ và nó được gọi là
độ đo tính mờ của gia tử h, ký hiệu µ(h).
Định lý 1.4. Độ đo tính mờ trên X là duy nhất được xác định bởi các
tham số φ(c–), φ(c+) và µ(h), h  H thỏa các đẳng thức sau: φ(c–) + φ(c+)
= 1,
  (h)  1 và φ(x) được định nghĩa đệ quy bởi công thức φ(hx’) = µ(h)φ(x’),
hH

với x = hx’, h  H.
1.2.2. Hàm định lượng ngữ nghĩa
Nhu cầu tự nhiên trong cách tiếp cận tính toán lập luận của con người là
định lượng các giá trị ngôn ngữ, chẳng hạn như trong các lĩnh vực phân cụm
mờ, điều khiển mờ, …
Theo cách tiếp cận của tập mờ, các giá trị định lượng của mỗi tập mờ là
giá trị khử mờ của hàm thuộc tương ứng. Đối với ĐSGT, vì các giá trị ngôn
ngữ tuân theo thứ tự ngữ nghĩa nên chúng ta sẽ thiết lập hàm định lượng các
từ (giá trị ngôn ngữ) vào đoạn [0,1] đảm bảo thứ tự, hàm này được gọi là
hàm ĐLNN.
Xét ĐSGT AX = (X, G, H, ) trong đó tập gia tử H = H+H– và giả sử rằng
H– = {h–1, h–2, …, h–q} thỏa h–1 < h–2 < …< h–q; H+ ={h1, h2, …, hp} thỏa h1 < h2 < …
< hp, và h0 = I với I là toán tử đơn vị.

Chúng ta cần có các mệnh đề và định nghĩa sau:
Mệnh đề 1.1. Cho fm là hàm độ đo tính mờ trên X. Ta có:
(1) fm(hx) = (h)fm(x), với x  X.
(2) fm(c) + fm(c+) = 1.


(3)

 fm(h c) 

fm(c) , trong đó c  {c, c+}

 fm(h x) 

fm( x) , với x  X.

 q i  p ,i  0

(4)

 q i  p ,i  0

i

i



(5)

1

  (h )  

iq

i

và

p

  (h )   , với ,  > 0 và  +  = 1.
i 1

i

Định nghĩa 1.3. (Sign function) Hàm dấu Sign: X  {−1, 0, 1} là ánh xạ
được xác định đệ quy sau đây, trong đó h, h’  H và c  {c, c+}:
(1) Sign(c) = 1, Sign(c+) = +1,
(2) Sign(h'hx) = Sign(hx), nếu h’hx  hx và h' âm đối với h (hoặc tương
ứng với c, nếu h = I & x = c);
(3) Sign(h'hx) = Sign(hx), nếu h’hx  hx và h' dương đối với h (hoặc tương
ứng với c, nếu h = I & x = c);
(4) Sign(h'hx) = 0, nếu h’hx = hx.
Mệnh đề 1.2. Với bất kỳ gia tử h  H và phần tử x  X, nếu Sign(hx) =
+1 thì ta có hx > x và nếu Sign(hx) = 1 thì hx < x.
Định nghĩa 1.4. Cho fm là hàm độ đo tnh mờ trên tập X. Hàm định
lượng ngữ nghĩa : X  [0,1], kết hợp với hàm fm, được xác định như sau:
(1) (W) =  = fm(c), (c) =  − fm(c) = fm(c),

(c+) =  + fm(c+);
j

(2) (hjx) = (x) + Sign(h j x)  fm(hi x)   (h j x) fm(h j x) , trong đó
i  Sign ( j )




(hjx) = 1 1  Sign(h
x)Sign(h
j
p j h x)(    ) , và
2

j  {j: q  j  p & j  0} = [q^p].
Mệnh đề 1.3.
(1) Với mọi x  X, 0 ≤ (x) ≤ 1.
(2) Với mọi x, y  X, x < y suy ra (x) < (y).
1.2.3. Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ
Để thuận tiện trong các chứng minh dưới đây, chúng ta sẽ nhắc lại một
số
khái niệm về ĐSGT tuyến tính đầy đủ.
Định nghĩa 1.5. Đại số gia tử đầy đủ AX = (X, G, H, , , ≤) được gọi là
tuyến tính nếu tập các phần tử sinh G = {0, c–, W, c+, 1} và tập các gia tử H–
= {h-1, ..., h-q} và H+ = {h1,..., hp} là các tập sắp thứ tự tuyến tnh, trong đó 