Bài tập cơ học đất

Ví dụï 7.1 bài toán CU và CD trên đất cố kết thường NC
Đất NC có các đặc trưng: M = 1,02; Γ=3,17; λ = 0,20; κ = 0,05; N = 3,32 được tiến hành
thí nghiệm ba trục thoát nước và không thoát nước.
Hai mẫu đất trên cùng chòu nén cố kết đẳng hướng đến áp lực 200 kPa. Tiếp đến là giữ
nguyên áp lực buồng và tăng áp lực đứng lên từng gia số 20 kPa.
Mẫu A theo điều kiện thoát nước (u=0)
Mẫu B theo điều kiện không thoát nước (ε
v
=0)
Tính các độ biến dạng và áp lực nước lỗ rỗng?
Giải:
Thể tích riêng v cuối giai đoạn nén cố kết đẳng hướng đến p’
c0
, trạng thái ứng suất- biến
dạng mẫu đất nằm trên đường NCL thuộc mặt giới hạn:
v = v
0
= N - λlnp’
c0
= 3,32 - 0,2ln200 = 2,26
lúc này mẫu đất đang nằm trên mặt ngưỡng ban đầu có p’
x
tính

theo công thức (7.25)
298,41200ln
20002,1

0
1'ln
'
ln
'
=−+
×
=−+= p
Mp
q
p
x
 p’
x
= 73,6 kPa
cũng có thể tính p’
x
theo (7.31b)
'
200 200
73,57
2,71828
x
p kPa
e
= = = =73,6kPa
Phương trình mặt ngưỡng ban đầu có dạng:
1
6,73
'

ln
'
=+
p
Mp
q

Mẫu A áp ứng suất lệch theo lộ trình AC - có thoát nước
Cách giải 1: tính theo các giá trò thể tích riêng (hoặc hệ số rỗng) của mẫu đất sau
mỗi gia số ứng suất.
Từ q
0
= 0; p’
0
= 200 kPa và v
0
= 2,26 mẫu đất đang đường NCL thuộc mặt gia tải,
nếu gia tải lộ trình ứng suất sẽ di chuyển trên mặt ngưỡng và sẽ xuất hiện biến dạng
dẻo
Gia tải lần thứ nhất: ∂σ
1
= 20 kPa; ∂σ
3
= 0  ∂q = ∂σ
1
= 20 kPa
và ∂p = ∂p’ = ∂σ
1
/3 = 20/3 = 6,7 kPa
Bước 1. Tính q

1
và p’
1

q
1
= q
0
+ ∂q = 20kPa và p’
1
= p’
0
+ ∂p’ = 200 + 6,7 = 206,7kPa
lúc này trạng thái mẫu đất di chuyển từ điểm C
0
đi trên mặt giới hạn và đến điểm
D1 thuộc mặt ngưỡng mới có giao điểm với NCL tại p’
C1
và cắt CSL tại p’
X1
,

Từ công
thức (7.25) suy ra

425,417,206ln
7,20602,1
20
1'ln
'

ln
'
=−+
×
=−+= p
Mp
q
p
x

p’
x1
= 83,5 kPa
Phương trình mặt ngưỡng C1 có dạng: 1
5,83
'
ln
'
=+
p
Mp
q

Hình 7.1 kết quả ví dụï 7.1 lộ trình thoát nước
Áp dụng công thức (7.37)

Bước 2. tính
%073,000073,0
200
7,206
ln
26,2
05,0
ln
'
0
'
1
0
====
∆

=∆
C
D
C
e
e
v
p
p
vv
v
κ
ε

Bước 3. tính p’
C1
nằm trên trục p’ có q = 0, nên từ công thức (7.25) suy ra:
kPappp
CxC
227425,51lnln
'
1
''
1
=⇒=+=
cũng có thể sử dụng công thức p’
C1
= p’
C0
= 2,718 × 83,5 = 227 kPa

Bước 4. tính biến dạng thể tích dẻo, áp dụng công thức (7.38):

%84,00084,0
200
227
ln
26,2
05,02,0
ln
'
0
'
1
0
==
−
=








−
=∆
C
C

p
v
p
p
v
κλ
ε

Bước 5. tính tổng biến dạng thể tích

%913,0%84,0%073,0 =+=∆+∆=∆
p
v
e
vv
εεε

Bước 6. tính biến dạng dẻo cắt theo công thức

%824,0
02,1
%84,0
'
0
0
==
−
∂
=∂
p

q
M
p
v
p
d
ε
ε

Vì C1 nằm trên đường NCL có thể tính dễ dàng v
C1
= 3,32 – 0,2ln227 = 2,235
Trên đường nở từ C1 có thể tính thể tích riêng tại D1
thi du 12.1
0
20
40
60
80
100
120
0 50 100 150 200 250 300
p' (kPa)
q (kPa)
C
0
C1
C2
D
1

D
2
p’
x0
0

p’
x1
p’c
0
0

X
0
X
1


7,206
227
ln05,0235,2ln
'
1
'
1
11
×+=+=
D
C
CD

p
p
vv
κ
=

2,24

Gia tải lần 2 ∂σ
1
= 20 kPa; ∂σ
3
= 0

∂q = ∂σ
1
= 20 kPa và ∂p = ∂p’ = ∂σ
1
/3 = 20/3 = 6,7 kPa
Bước 1. Tính q
2
và p
2,

q
2
= q
1
+ ∂q = 40kPa và p
2

= p
1
+ ∂p’ = 213,4kPa, lúc này trạng thái mẫu đất đang
di chuyển từ D1 của đường ngưỡng (p’
C1
) trên mặt giới hạn đến điểm D2 của đường
ngưỡng (p’
C2
)

, có giao điểm với CSL tại p’
X2
,

Từ công thức (7.25) suy ra

547,414,213ln
4,21302,1
40
1'ln
'
ln
'
=−+
×
=−+= p
Mp
q
p
x

p’
x2
= 94,36 kPa
Phương trình mặt ngưỡng C2 có dạng: 1
36,94
'
ln
'
=+
p
Mp
q

Tính p’
C2
trên trục p’ có q = 0
1
36,94
ln
'
2
=
C
p
 p’
C2
= 256,5 kPa
hoặc p’
C2

= p’
x2
= 2,7183×94,36 = 256,5 kPa
Bước 2. tính biến dạng đàn hồi thể tích tương đối
%072,000072,0
7,206
4,213
ln
24,2
05,0
ln
'
1
'
2
1
====
∆
=∆
D
D
D
e
e
v
p
p
vv
v
κ

ε

Với v là thể tích riêng tại D1
Bước 3. Biến dạng dẻo thể tích tương đối ∆ε
p
v

%82,000818,0
227
5,256
ln)05,02,0(
24,2
1
==






−=
∆
=∆
v
v
p
v
ε

Với v là thể tích riêng tại D1

Bước 4. Tính biến dạng thể tích tương đối

%892,0%82,0%072,0 =+=∆+∆=∆
p
v
e
vv
εεε


Bước 5. Tính biến dạng dẻo cắt

%89,0
7,206
20
02,1
%82,0
'
1
1
=
−
=
−
∂
=∂
p
q
M
p

v
p
d
ε
ε

Tính tuần tự các gia số biến dạng theo từng gia tải nối tiếp đến khi lộ trình ứng suất p’-q
cắt đường CSL trong mặt (p’, q), cần phải tính toán với từng gia tải vì quan hệ ứng suất –
biến dạng là phi tuyến.
cách giải 2: áp dụng trực tiếp các công thức.
Gia tải lần thứ nhất
∂σ
1
= 20 kPa;
∂σ
3
= 0
từ q
0
= 0; p’
0
= 200 kPa và v
0
= 2,26
tính q
1
và p
1
thi du 12.1
0

50
100
150
200
250
300
350
0 50 100 150 200 250 300 350
p' (kPa)
q ( k P a )
p’
c0=

CSL

Với gia tải
∂σ
1
= 20 kPa;
∂σ
3
= 0  q
1
= 20kPa và p
1
= 206,7kPa
∂
q = 20 kPa và
∂
p’= 6,7 kPa

Tính
∂ε
p
v
;
∂ε
p
d
;
∂ε
e
v
và
∂ε
v
00872,07,6)
200
0
02,1(20
20002,126,2
05,02,0
')(
'
0
0
'
0
=







×−+
××
−
=






∂−+∂








−
=∂ p
p
q
Mq
Mvp
p

v
κλ
ε

00855,0
02,1
00872,0
'
0
0
==








−
∂
=∂
p
q
M
p
v
p
d
ε

ε

%074,000074,0
200
7,6
26,2
05,0'
'
0
===
∂
=∂
p
p
v
e
v
κ
ε

Từ
%074,0=∂
e
v
ε
và
%872,0=∂
p
v
ε


%946,0074,0872,0 =+=∂+∂=∂
p
v
e
vv
εεε

Với
%855,0=∂
p
d
ε

Có thể tính biến dạng dọc trục:
%17,1
3
1
=
∂
+∂=∂
v
d
ε
εε

Tính v
1

02,000946,026,2 =×=×=∂⇒
∂
=
vv
vv
v
v
εε

v
1
= v
0
-
∂
v = 2,26 – 0,02 = 2,24
Gia tải lần thứ hai
∂σ
1
= 20 kPa;
∂σ
3
= 0
Từ q
1
= 20kPa và p’
1
= 206,7kPa và v
1
= 2,24

Tính q
2
và p
2
Với gia tải
∂σ
1
= 20 kPa;
∂σ
3
= 0 
∂
q = 20 kPa và
∂
p’= 6,7 kPa
 q
2
= 40kPa và p
2
= 213,4kPa
Tính
∂ε
p
v
;
∂ε
p
d
;
∂ε

e
v
và
∂ε
v
=






×−+
××
−
=






∂−+∂









−
=∂ 7,6)
7,206
20
02,1(20
7,20602,124,2
05,02,0
')(
'
1
1
'
1
p
p
q
Mq
Mvp
p
v
κλ
ε
0,0083
2

00901,0
7,206
20
02,1

00832,0
'
1
1
=
−
=








−
∂
=∂
p
q
M
p
v
p
d
ε
ε


%0724,0000724,0

7,206
7,6
24,2
05,0'
'
1
===
∂
=∂
p
p
v
e
v
κ
ε

Từ
%0724,0=∂
e
v
ε
và
%832,0=∂
p
v
ε

%904,00724,0832,0 =+=∂+∂=∂
p

v
e
vv
εεε

Với
%901,0=∂
p
d
ε


Có thể tính biến dạng dọc trục:
%2,13/904,0901,0
3
1
=+=
∂
+∂=∂
v
d
ε
εε

Tính v
2


02,000904,024,2 =×=×=∂⇒
∂

=
vv
vv
v
v
εε

v
2
= v
1
-
∂
v = 2,24 – 0,02 = 2,22

q
p’
v
Nở - Nén lại

NCL

CSL

p’
∂q

∂p’

C

C
O
O
q
ε
1 v
CSL

ε
1
D
1
D
D
1
D
C
1
C
1
X

X
1

Hình 7.2 Ccác lộ trình ứng suất – biến dạng lần gia tải 1 trong ví dụï 7.1

Gia tải lần thứ ba
∂σ

1
= 20 kPa;
∂σ
3
= 0
Từ q
2
= 40kPa và p’
2
= 213,4kPa và v
2
= 2,22
Tính q3 và p3
Với gia tải
∂σ
1
= 20 kPa;
∂σ
3
= 0 
∂
q = 20 kPa và
∂
p’= 6,7 kPa
 q
3
= 60kPa và p
2
= 220,1kPa
Tính

∂ε
p
v
;
∂ε
p
d
;
∂ε
e
v
và
∂ε
v

=






×−+
××
−
=







∂−+∂








−
=∂ 7,6)
4,213
40
02,1(20
4,21302,122,2
05,02,0
')(
'
2
2
'
22
p
p
q
Mq
Mpv
p

v
κλ
ε
0,006
6
0079,0
4,213
40
02,1
0066,0
'
2
2
=
−
=








−
∂
=∂
p
q
M

p
v
p
d
ε
ε


%071,000071,0
4,213
7,6
22,2
05,0'
'
2
2
===
∂
=∂
p
p
v
e
v
κ
ε

Từ
%071,0=∂
e

v
ε
và
%66,0=∂
p
v
ε

%73,0071,066,0 =+=∂+∂=∂
p
v
e
vv
εεε

Với
%79,0=∂
p
d
ε

Có thể tính biến dạng dọc trục:
%03,1
3
73,0
79,0
3
1
=+=
∂

+∂=∂
v
d
ε
εε

Tính v
2


02,00073,022,2 =×=×=∂⇒
∂
=
vv
vv
v
v
εε

v
3
= v
2
-
∂
v = 2,22 – 0,016 = 2,204

Mẫu B, thí nghiệm không thoát nước, ở cuối giai đoạn nén cố kết đẳng hướng áp ứng
suất lệch ngay: q
0

= 0 và p’
0
= 200 kPa, v
0
= N -
λ
lnp’ =3,32-0,2ln200 = 2,26
v
f
=
Γ
-
λ
lnp’ =3,17-0,2lnp’
f
= 2,26  lnp’
f
= (3,17 - 2,26)/0,2 =  p’
f
= 94,6kPa
[Cuối giai đọan áp ứng suất lệch p’
0
= 200 kPa ứng với v
0
= 2,26 trạng thái mẫu nằm trên
mặt ngưỡng có p’x = 73,7 kPa]
Với gia tải
∂σ
1
= 10 kPa;

∂σ
3
= 0  q
1
= 10kPa và p
1
= 203,3kPa
∂
q = 10 kPa và
∂
p= 3,3 kPa
Tính p’
1
( )
[ ]
01
1
1
'ln
'
vp
Mp
q −Γ+−+−
−
=
κλλ
κλ

( )
[ ]

26,217,305,02,0'2,0
05,02,0
'02,1
10
1
1
−+−+−
−
= Lnp
p

[ ]
kPapLnpp 84,192'06,1'2,0'8.610
111
=⇒+−=

Tính gia số áp lực nước lỗ rỗng
∂
u
1
= p
1
– p’
1
= 203,3 – 192,84= 10,46 kPa
Hoặc
kPa
q
ppu 46,10
3

10
84,192200
3
'
1
'
01
=+−=
∂
+−=∂

Tính gia số ứng suất hữu hiệu trung bình
∂
p’
1

kPappp 16,720084,192'''
011
−=−=−=∂

Vì không thoát nước v
0
= const nên biến dạng thể tích đàn hồi bằng với biến dạng
dẻo nhưng trái dấu và tính như sau:

%0792,0000792,0
20026,2
16,705,0
'
'

00
==
×
×
=
∂
=−∂=∂
pv
p
e
v
p
v
κ
εε

Biến dạng dẻo cắt hoặc biến hình
%078,0
02,1
%0792,01
≈=∂=∂
p
v
p
d
M
εε

Tính biến dạng dọc trục
Mẫu không thoát nước thể tích không đổi

0=∂+∂=∂
e
v
p
vv
εεε

Mô hình Cam Clay không xét biến hình đàn hồi nên tổng biến hình bằng biến hình
dẻo
%078,0=∂=∂
p
dd
εε

%078,0
3
1
=
∂
+∂=∂
v
d
ε
εε

[Cuối giai đoạn gia tải có p’ = 192,84 kPa; q = 10 kPa, v
0
= 2,26, trạng thái mẫu đất đang
ở trên mặt ngưỡng ứng với
( )

kPapp
xx
64,74)3127,4exp(3127,484,192ln05,026,217,3
05,02,0
1
ln
''
==⇒=−−
−
=

Thí nghiệm không thoát nước, ở cuối giai đoạn nén cố kết đẳng hướng áp ứng suất lệch
ngay:
q
0
= 0 và p’
0
= 200 kPa, v
0
= N -
λ
lnp’ =3,32-0,2ln200 = 2,26
v
f
=
Γ
-
λ
lnp’ =3,17-0,2lnp’
f

= 2,26  lnp’
f
= (3,17 - 2,26)/0,2 =  p’
f
= 94,6kPa
[Cuối giai đọan áp ứng suất lệch p’
0
= 200 kPa ứng với v
0
= 2,26 trạng thái mẫu nằm trên
mặt ngưỡng có p’x = 73,7 kPa]
Với gia tải
∂σ
1
= 20 kPa;
∂σ
3
= 0  q
1
= 20kPa và p
1
= 206,7kPa
∂
q = 20 kPa và
∂
p= 6,7 kPa
Tính p’
1
( )
[ ]

01
1
1
'ln
'
vp
Mp
q −Γ+−+−
−
=
κλλ
κλ

( )
[ ]
26,217,305,02,0'2,0
05,02,0
'02,1
20
1
1
−+−+−
−
= Lnp
p

[ ]
kPapLnpp 7,184'06,1'2,0'8.620
111
=⇒+−=

Tính gia số áp lực nước lỗ rỗng
∂
u
1
= p
1
– p’
1
= 206,7 – 184,7 = 22 kPa
Hoặc
kPa
q
ppu 22
3
20
7,184200
3
'
1
'
01
=+−=
∂
+−=∂

Tính gia số ứng suất hữu hiệu trung bình
∂
p’
1

kPappp 3,152007,184'''
011
−=−=−=∂

Vì không thoát nước v
0
= const nên biến dạng thể tích đàn hồi bằng với biến dạng
dẻo nhưng trái dấu và tính như sau:

%169,0
20026,2
3,1505,0
'
'
00
=
×
×
=
∂
=−∂=∂
pv
p
e
v
p
v
κ
εε

Biến dạng dẻo cắt hoặc biến hình
%166,0
02,1
169,01
≈=∂=∂
p
v
p
d
M
εε

Tính biến dạng dọc trục
Mẫu không thoát nước thể tích không đổi
0=∂+∂=∂
e
v
p
vv
εεε

Mô hình Cam Clay không xét biến hình đàn hồi nên tổng biến hình bằng biến hình
dẻo
%166,0=∂=∂
p
dd
εε

%166,0

3
1
=
∂
+∂=∂
v
d
ε
εε

[Cuối giai đoạn gia tải có p’ = 184,7 kPa; q = 20 kPa, v
0
= 2,26, trạng thái mẫu đất đang
ở trên mặt ngưỡng ứng với
( )
kPapp
xx
72,75)3,4exp(327,47,184ln05,026,217,3
05,02,0
1
ln
''
==⇒=−−
−
=


q
p’
v

Nở - Nén lại

NCL

CSL

p’
∂q

∂p’

C
C
O
O
q
ε
1
V, u
CSL

ε
1
U
1
D
U
1
D
U

U
p’
X

Ghi chú quan trọng: khi tính toán không thoát nước, chúng ta vẫn sử dụng cùng bộ
thông số M = 1,02;
Γ
=3,17;
λ
= 0,20;
κ
= 0,05; N = 3,32 với bài toán thoát nước.

c- Trường hợp nén ba trục CD trên mẫu đất cố kết trước nhẹ (OC)
Một mẫu đất cố kết trước là mẫu đất khi áp ứng suất lệch tại trạng thái ứng suất
nhỏ hơn ứng suất đã chòu trong quá khứ. Trong thí nghiệm nén 3 trục, mẫu đất chòu cố
kết đẳng hướng đến p’
C0
rồi giảm áp trong buồng nén về p’
0
, ta có được mẫu đất cố
kết trước và trạng thái đang trong miền đàn hồi.
Nếu p’
0
> p’
X
mẫu đất cố kết trước nhẹ
Và nếu p’
0
< p’

X
mẫu đất cố kết trước nặng.
Từ p’
0
tiến hành áp ứng suất lệch theo AY,trạng thái mẫu đất di chuyển trong miền
đàn hồi nên mẫu đất chỉ có ứng xử đàn hồi cho đến khi lộ trình ứng suất chạm mặt
ngưỡng p’
Y
, xem hình 7.11. Trong giai đoạn này có thể tính thể tích riêng tại mỗi
trạng thái ứng suất rồi suy ra các biến dạng đàn hồi thể tích và biến dạng đàn hồi cắt
và cũng có thể sử dụng
Từ điểm ngưởng Y, nếu gia tăng ứng suất trạng thái mẫu đất sẽ di chuyển trên mặt
giới hạn “tương tự mặt Roscoe” có ứng xử đàn hồi – dẻo và lộ trình trạng thái mẫu
đất (p’, v, q) di chuyển qua các mặt ngưởng (tường đàn hồi) khác nhau, nhờ đặc điểm
này có thể tính được các biến dạng dẻo và đàn hồi của từng gia số ứng suất cho đến
khi lộ trình chạm đường CSL thì mẫu đất bò trượt. Các bước tính các gia số biến dạng
của từng gia số ứng suất tương tự như đất NC.

C
D
Y
D
1
C
0
C
1
v
p’
NCL
CSL
C
1
Y

D
1
C

0
C
1
p’,
ε
p
v

q,
ε
p
d
CSL
p’
D1
p’
Y
p’
C0
p’
C1
p’
X1
p’
X2
D’
1
v
D1
v

D’1
v
Y
v
C0
v
C1
C
0
Pháp tuyến mặt ngưỡng
∂ε
p
∂ε
p
v
∂ε
p
v
p’
0
p’
C0
q
Y
A
A

Hình 7.3 Lộ trình thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước nhẹ

Lộ trình ứng suất A đến Y chỉ có biến dạng đàn hồi
A
YA
e
v
vv
−
=∆
ε

trong đó
'
0
'
0
0
ln
p
p
vv
C
CA
κ
+=

và

'
'
0
0
ln
Y
C
CY
p
p
vv
κ
+=

Trong hình 7.12, xét một gia số ứng suất lệch YD
1
của trạng thái mẫu đất di
chuyển trên mặt giới hạn, từ mặt ngưỡng C
0
C
0
sang C
1
C
1
. trong gia số ứng suất lệch
này độ thay đổi thể tích riêng là :
∆
v = v
Y

– v
D1

Thể tích riêng tại Y có thể tính theo đường nở từ C
0

'
'
0
0
ln
Y
C
CY
p
p
vv
κ
+=

Thể tích riêng tại D
1
có thể tính theo đường nở từ C
1


'
1
'
1

11
ln
D
C
CD
p
p
vv
κ
+=

mặt khác, thể tích riêng tại C
1
có thể tính theo đường NCL từ điểm C
0

'
0
'
1
01
ln
C
C
CC
p
p
vv
λ
−=

Tính
∆
v = v
Y
– v
D1
=
'
1
'
1
1
'
'
0
0
lnln
D
C
C
Y
C
C
p
p
v
p
p
v

κκ
−−+

Thay v
C1
vào biểu thức
∆
v


'
1
'
1
'
0
'
1
'
'
0
'
1
'
1
'
0
'
1
0

'
'
0
0
lnlnlnlnlnln
D
C
C
C
Y
C
D
C
C
C
C
Y
C
C
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
v

p
p
vv
κλκκλκ
−+=−+−+=∆


'
1
'
1
'
0
'
1
''
0
lnlnlnlnlnln
DCCCYC
ppppppv
κκλλκκ
+−−+−=∆


'
1
''
0
'
1

'
0
'
1
lnlnlnlnlnln
DYCCCC
ppppppv
κκκκλλ
+−+−−=∆


'
'
1
'
0
'
1
lnln)(
Y
D
C
C
p
p
p
p
v
κκλ
+−=∆

Biến dạng thể tích tương đối
∆ε
v








+−=
∆
=∆
'
'
1
'
0
'
1
lnln)(
1
Y
D
C
C
v
p

p
p
p
vv
v
κκλε

(7.1)
Với v là thể tích riêng tại Y
Trong đó, biến dạng đàn hồi thể tích tương đối trong biến dạng thể tích tương đối
là:

'
'
1
ln
Y
D
e
e
v
p
p
vv
v
κ
ε
=
∆
=∆

(7.2)
Biến dạng thể tích dẻo có thể suy ra:

'
0
'
1
ln
C
C
e
vv
p
v
p
p
v






−
=∆−∆=∆
κλ
εεε

(7.3)

Biến dạng dẻo cắt có thể suy ra từ công thức :
1
'
p p
d v
q
M
p
ε ε
∂ = ∂
−

Và biến dạng dọc trục tính như công thức 7.59
Các gia số ứng suất lệch tiếp theo tính tương tự như thí nghiệm CD trên mẫu cố kết
thường.
d- Trường hợp nén ba trục CU trên mẫu đất cố kết trước nhẹ (OC)

C
C
0
C
C
1
Y
U
1
v
p’
CSL
NCL
C
C
Y
U
1

CSL

q

p’
C0

p’
0
p’
f
p’
X0
q
f

U
f

v
p’
U1









Hình 7.4 Lộ trình không thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước nhẹ
Trong thí nghiệm CU, từ p’
0
tiến hành áp ứng suất lệch theo AY, trạng thái mẫu
đất di chuyển trong miền đàn hồi theo giao tuyến của mặt v = v
0

= const và tường đàn
hồi chứa điểm A, nên mẫu đất chỉ có ứng xử đàn hồi cho đến khi lộ trình ứng suất
chạm mặt ngưỡng tại Y, xem hình 7.13.
Trong quá trình không thoát nước, thể tích mẫu không đổi nên trong giai đoạn AY
biến dạng đàn hồi thể tích bằng với biến dạng đàn hồi cắt nhưng trái dấu.
e
d
e
v
e
d
e
v
e
εεεεε
∆−=∆⇒∆+∆=∆

Tiếp theo, trong giai đoạn áp ứng suất lệch từ ngưởng Y, theo Cam clay, không có
biến dạng đàn hồi cắt thì gia số biến dạng thể tích đàn hồi bằng với gia số biến dạng
thể tích dẻo nhưng trái dấu.

p
v
e
v
p
v
e
v
εεεε

−∂=∂⇒=∂+∂ 0

gia số biến dạng đàn hồi thể tích được tính theo công thức (7.46)

'
'
'
'
vp
p
vp
p
p
v
e
v
∂
=∂⇒
∂
−=∂
κεκε

Từ điểm ngưởng Y, nếu gia tăng ứng suất lệch trạng thái mẫu đất sẽ di chuyển
trên giao tuyến mặt ngưởng và mặt v = v
0
= const. Lộ trình trạng thái mẫu đất (p’,
v=v
0
, q) di chuyển qua các tường đàn hồi khác nhau, tính toán các biến dạng tương
tự như bài toán CU trên mẫu đất NC.

Ví dụï 7.2 về bài toán CU và CD trên đất cố kết trước nhẹ
Mẫu đất NC có: M = 1,02;
Γ
=3,17;
λ
= 0,20;
κ
= 0,05; N = 3,32
Hai mẫu đất trên cùng chòu nén cố kết đẳng hướng đến áp lực p’
c
= 200 kPa. Tiếp đến
lùi áp lực buồng về p’
0
= 100 kPa rồi giữ yên áp lực ngang và tăng áp lực đứng.
Mẫu A theo điều kiện thoát nước (u = 0)
Mẫu B theo điều kiện không thoát nước (v
0
= const)
a) Phân tích chi tiết khi áp các gia số ứng suất lệch?
b) Tính các gia số biến dạng và gia số áp lực nước lỗ rỗng khi mẫu trượt?
Ghi chú: Nếu chúng ta tính toán theo trạng thái tới hạn sẽ có ngay ứng suất ở lúc bò
trượt.
Tính p’
f
và q
f

p’
f
= 100 + (q

f
/3)  q
f
= 3(p’
f
– 100)
thay p’
f
= 1,02q
f
vào biểu thức trên:

q
f
= 3(1,02q
f
– 100)= 3,06q
f
-300
⇒
2,06 q
f
= 300
⇒
q
f
= 145,63 kPa
p’
f
= 1,02 q

f
= 148,54 kPa
Mẫu đất NC có: M = 1,02;
Γ
=3,17;
λ
= 0,20;
κ
= 0,05; N = 3,32
v
f
= 3,17 – 0,2lnp’
f
⇒
v
f
= 3,17 – 0,2ln148,54 = 2,17

Cũng có thể tính biến dạng thể tích nhưng kết quả sẽ chỉ cho điểm cuối.
Tuy nhiên để có thể tính đầy đủ đặc điểm phi tuyến của quan hệ thể tích riêng theo
trạng thái ứng suất, đặc biệt là các biến dạng cắt trong suốt quá trình chòu tải phải sử
dụng mô hình ứng xử của đất.
Giải: Cuối giai đoạn nén đẳng hướng có thể tích riêng v:
v
c
= N -
λ
lnp’ =3,32-0,2ln200 = 2,26
Lùi áp lực về 100 kPa thể tích riêng sẽ là:
v

0
= 2,26 -0,05(ln100-ln200) = 2,26 – 0,05 (4,6 – 5,3) =2,295
Tính p’
x

Tính p’
x
của mặt ngưỡng có p’
c
= 200 kPa
Sử dụng công thức:
( )
cx
pvp 'ln
1
ln
'
κ
κλ
−−Γ
−
=


( )
' '
1
ln 3,17 2,26 0,05ln 200 4,3 exp(4,3) 73,6
0,2 0,05
x x

p p kPa= − − = ⇒ = =
−

Phương trình mặt ngưỡng có dạng:
ln ' ln 73,6 1
1,02 '
q
p
p
+ − =

Tính p’
C0
= 2,1828p’
x
= 160,7 kPa
Mẫu A: Bài toán thoát nước
Tính tọa độ (p’
y
và q
y
) của điểm ngưỡng Y
Để đơn giản có thể xem khi áp ứng suất lệch từ p’=100kPa lộ trình ứng suất đi trong
miền đàn hồi theo lộ trình AC đến cắt mặt ngưỡng tại điểm ngưỡng Y có tọa độ (p’
y
; q
y
)
, giao điểm của đường ngưỡng
ln ' ln 73,6 1

1,02 '
q
p
p
+ − =
và đường lộ trình AC có phương
trình p’ = 100 + (q/3)
p’
y
= 100 + (q
y
/3)  q
y
= 3(p’
y
-100)
thay giá trò q
y
vào mặt ngưỡng và rút gọn

'
'
'
3 300
ln 4,3 1
1,02
y
y
y
p

p
p
−
+ − =
⇒
(lnp’
y
– 2,36)p’
y
= 294,1  p’
y
= 120,85 kPa
Gia số ứng suất hữu hiệu trung bình trong miền đàn hồi

∂
p’
y
= 120,85 – 100kPa = 20,85 kPa
Suy ra gia số ứng suất lệch tương ứng:
∂
q
y
= q
y
= 3
×
20,85 = 62,55 kPa
Tính thể tích riêng của mẫu trên mặt ngưỡng đầu tiên :
'
)(

'ln
p
q
M
pv
κλ
λκλ
−
−−−+Γ=

v= 3,17 + 0,2 – 0,05 – 0,2ln120,85 –(0,15/1,02)*(62,55/120,85)= 3,32 – 0,959 -
0,076
= 2,285


∂
v = 0,01 
0,1
0,004 0,4%
2,295
e
v
v
v
ε
∂
= = = =

Biến dạng đàn hồi thể tích:

' 20,85
0,05 0,004 0,4%
' 2,295 100
e
v
v p
v v p
ε κ
∂ ∂
= − = = = =
×

Tính module đàn hồi thể tích K’

' 20,85
' 5212.5
0,004
e
v
p
K kPa
ε
∂
= = =

Tính G theo công thức do Randolph đề nghò:
G= 0,5 K’
max
= 2606 kPa
Tính biến dạng đàn hồi cắt

62,55
0,008 0,8%
3 3 2606
e
d
q
G
ε
∂
∂ = = = =
×

Mặt khác, trong thí nghiệm ba trục có:
( ) ( )
rav
εεεεε
∂+∂=∂+∂=∂ 22
31

Và biến dạng cắt
( ) ( )
rad
εεεεε
∂−∂=∂−∂=∂
3
2
3
2
31

nên dễ dàng tính
ε
1
và
ε
3

1
0,4
0,8 0,9%
3 3
v
d
ε
ε ε
∂
∂ = + ∂ = + =

1
3
0,4 0,9
0,25%
2 2
v
ε ε
ε
∂ − ∂
−
∂ = = = −

q
p’
v
Nở - Nén lại

NCL

CSL

p’
∂q
Y
∂p’
Y
C
C
O
O
q
ε
1
v
CSL

ε
1
Y

D
p’
y
q
y
Y
D
∂p’


Hình 7.5 Lộ trình ứng suất – biến dạng trong miền đàn hồi của đất cố kết trước
nhẹ
Ghi chú: trong miền đàn hồi có đầy đủ các biến dạng đàn hồi.
Gia tải lần 1 từ điểm ngưỡng: p’
y
= 120,85 kPa; q
y
= 3
×
20,85 = 62,55 kPa; p’
C0
= 160,7
kPa
và v = 2,285.
Chọn gia số
∂σ
1
= 20 kPa;
∂σ
3

= 0 
∂
q =
∂σ
1
= 20 kPa
và
∂
p =
∂
p’ =
∂σ
1
/3 = 20/3 = 6,7 kPa
Bước 1) Tính q
D1
và p’
D1
(theo hình 7.11)
q
1
= q
y
+
∂
q = 82,55kPa và p’
D1
= p’
y
+

∂
p’ = 120,85 + 6,7 = 127,55kPa
lúc này trạng thái mẫu đất di chuyển từ điểm Y đi trên mặt giới hạn và đến điểm
D1 thuộc mặt ngưỡng mới có giao điểm với NCL tại p’
C1
và cắt CSL tại p’
X1
,

Từ công
thức (7.25) suy ra

'
82,55
ln ln ' 1 ln127,55 1 4,483
' 1,02 127,55
x
q
p p
Mp
= + − = + − =
×
 p’
x1
= 88,5 kPa
Phương trình mặt ngưỡng C1 có dạng:
'
ln 1
' 88,5
q p

Mp
+ =

Tính p’
C1
: p’
C1
= 2,1828
×
p’
x1
= 240,6 kPa

Biến dạng thể tích tương đối
∆ε
v
theo công thức 7.32
1 240,6 127,55
(0,2 0,05)ln 0,05ln
2,285 160,7 120,85
v
ε
 
∆ = − +
 
 
=0,026 + 0,0012 = 0,0272

Trong đó
∆ε

p
v
= 0,026 và
∆ε
e
v
= 0,0012
Biến dạng dẻo cắt có thể suy ra từ công thức :
1 0,026
82,55
1,02
' 127,55
p p
d v
q
M
p
ε ε
∂ = ∂ =
− −
= 0,07

q
p’
v
Nở - Nén lại

NCL

CSL

p’
∂q
Y
∂p’
Y
C
C
O
O
q
ε
1
v
CSL

ε
1
Y
D
1
D
p’
y
q
y
Y
D
D
1

∂q

∂p’

q
f
p’
f

Hình 7.6 Lộ trình ứng suất – biến dạng trên mặt gia tải của đất cố kết trước nhẹ
Mẫu B theo điều kiện không thoát nước (
∂
∂∂
∂ε
εε
ε
v
=0)
Tính p’
x

Cuối giai đọan áp ứng suất lệch p’
c
= 200 kPa ứng với v
c
= 2,26
Tính p’
x
của mặt ngưỡng có p’
c

= 200 kPa
Sử dụng công thức:
( )
cx
pvp 'ln
1
ln
'
κ
κλ
−−Γ
−
=


( )
' '
1
ln 3,17 2,26 0,05ln 200 4,3 exp(4,3) 73,6
0,2 0,05
x x
p p kPa= − − = ⇒ = =
−

Phương trình mặt ngưỡng có dạng
'
ln 1
1,02 ' 73,6
q p
p

+ =

Tính tọa độ (p’
y
và q
y
) của điểm ngưỡng Y trong điều kiện không thoát nước là giao
tuyến của mặt v = const và tường đàn hồi, trong mặt (p’, q)  p’
y
= p’
0
= 100 kPa.
q
y
= (1 - lnp’
y
+ ln73,6)1,03p’
y
= 70,87 kPa
q
p’
v
Nở - Nén lại

NCL

CSL

p’
C

O
O
q
ε
1 v
CSL

ε
1
Y
p’
y
q
y
U

∂q

∂p’


Tính p’
f
và q
f

Cuối giai đoạn nén đẳng hướng có thể tích riêng v:
v
c
= N -

λ
lnp’ =3,32-0,2ln200 = 2,26
Lùi áp lực về 100 kPa thể tích riêng sẽ là:
v
0
= 2,26 -0,05(ln100-ln200) = 2,26 – 0,05 (4,6 – 5,3) =2,295
do điều kiện không thoát nước nên v
f
= v
0
= 2,295 =
Γ
-
λ
lnp’
f
= 3,17 – 0,2 lnp’
f

ln p’
f
= (3,17-2,295)/0,2 = 4,375
p’
f
= 79,44 kPa
d- Trường hợp nén ba trục CD trên mẫu đất cố kết trước nặng (OC)
Một mẫu đất được cố kết đẳng hướng đến điểm C
0
nằm trên mặt ngưởng C
0

C
0
và
p’
C0
, sau đó giảm ứng suất đẳng hướng về điểm A có p’
0
< p’
X0
, mẫu đất có trạng thái
cố kết trước nặng. Tiếp theo, áp ứng suất lệch có thoát nước, mẫu đất bò nén trong
miền đàn hồi theo lộ trình AY là giao tuyến của mặt thoát nước với tường đàn hồi
tương ứng, như trong hình 9. 38 và trong hình 7. 15, giai đoạn này mẫu chỉ có ứng xử

đàn hồi. Tiếp đến, trạng thái mẫu đất di chuyển trên mặt giới hạn “tương đương
Hvorslev” mẫu đất nở ra và bò trượt khi cắt đường CSL tại D
f
. Lộ trình từ Y trên mặt
ngưởng đến điểm D
f
trên đường CSL, mẫu đất có cả biến dạng đàn hồi và biến dạng
dẻo và lộ trình đi qua nhiều mặt ngưởng mặt C
0
C
0
đến C
1
C
1
. Mặt khác, vì ứng xử đàn

hồi – dẻo là phi tuyến nên để lời giải cần tiến hành tính với nhiều gia số ứng suất
giữa Y và D
f
như các trường hợp trên.

Hình 7.7. Lộ trình thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước nặng

e- Trường hợp nén ba trục CU trên mẫu đất cố kết trước nặng (OC)
Tương tự như trên, mẫu đất được cố kết đẳng hướng đến điểm C
0
nằm trên mặt
ngưởng C
0
C
0
và p’
C0
, sau đó giảm ứng suất đẳng hướng về điểm A có p’
0
< p’
X0
, mẫu
đất có trạng thái cố kết trước nặng. Tiếp theo, áp ứng suất lệch trong điều kiện không
thoát nước, mẫu đất bò nén trong miền đàn hồi theo lộ trình AY là giao tuyến của mặt
p’
X0
p’
C0
v
C0

C
0

D
f
C
0
C
1
v
p’
NCL
CSL
C
1
p’
q

CSL
p’
C1
p’
0
’p’
p
’
p’
Y
v
Y
C
0
C

1
v
f
C
0
C
1
D
f
Y

Y

A

A

v
C1


có v = const với tường đàn hồi tương ứng, như trong hình 9.39 và trong hình 7.17, giai
đoạn này thể tích mẫu không đổi nên gia số biến dạng đàn hồi thể tích bằng gia số
biến dạng đàn hồi cắt nhưng trái dấu, mẫu chỉ có ứng xử đàn hồi. Tiếp đến, trạng thái
mẫu đất di chuyển trên mặt ngưỡng bò trượt khi cắt đường CSL tại U
f
. Lộ trình từ Y
trên mặt ngưởng đến điểm U
f
trên đường CSL.

Hình 7.8 Lộ trình không thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước
nặng

Mô hình Cam clay gốc là mô hình đầu tiên đã giải thích khá tường tận các ứng xử
của mẫu đất ở nhiều trạng thái “ban đầu” khác nhau từ NC đến OC nặng, tuy nhiên
C
0
C
0
v
p’
NCL
CSL
C
0
C
1
p’
q

CSL
p’
C0
p’
C1
p’
f
v
f

C
1
p’
Y
C
1
C
0
C
1
p’
X0
U
f
U
f
A

A

Y

q
f

hàm chứa nhiều một số nguy cơ sai số, trong đó nổi bật là vùng xung quanh điểm giao
của mặt ngưỡng và trục p’.
7.3 MÔ HÌNH CAM CLAY CẢI TIẾN [46]
1- Mặt ngưỡng của mô hình Cam clay cải tiến
Ngay sau khi công bố mô hình Cam clay, các tác giả đã công bố mô hình Cam clay

cải tiến bằng cách thay biểu thức năng lượng

' '
p p p
v q q
p q Mp
ε ε ε
∂ + ∂ = ∂
Bằng biểu thức
2 2
' ' ( )
p p p p
v q v q
p q p M
ε ε ε ε
∂ + ∂ = ∂ + ∂

(7.4)
và mặt giới hạn có dạng

)'('
'
2
2
ppp
M
q
c
−=

(7.5)

[ ]
)''('
22
pppMq
c
−=

(7.6)
hay:
( )
0
2
2
''
2
'
=+−
M
q
ppp
c

(7.7)

( )
2'''22
pppMq
c

−=

(7.8)

( )
2'''
pppMq
c
−=
(7.9)
Cách viết thuận tiện để thấy họ mặt giới hạn có dạng ellipse

22
2
'
'
η
+
=
M
M
p
p
c

(7.10)
Trong đó
η
= q/p’
p’

c
ứng suất trung bình cố kết đẳng hướng của mặt ngưỡng
Dạng của ellipse phụ thuộc giá trò M, tất cả các ellipse đều đi qua gốc O, kích
thước của ellipse phụ thuộc p’
c
. Trong quá trình gia tải sau khi trạng thái đất chạm
ngưỡng dẻo bắt đầu có biến dạng dẻo trên mặt tới hạn đi qua các tường đàn hồi p’
c

khác nhau, sự thay đổi p’
c
theo sự thay đổi ứng suất hữu hiệu tác động thông qua vi
phân phương trình ngưỡng, Ví dụï như phương trình (7.52)

0
2
'
'
'
'
22
=
∂
−
+
∂
+
∂
c
c

p
p
M
p
p
η
ηη

(7.11)
Hoặc:

0
'
2
'
'
'
'
2222
22
=
∂
−
∂









+
∂
+
∂
+
−
c
c
p
p
p
q
M
p
p
M
M
η
ηη
η
η
(7.12)
Sau cùng phương trình mặt giới hạn của mô hình Cam Clay cải tiến trong không gian (v,
p’, q) được Burland và giới thiệu năm 1968 có dạng sau:

1
'ln
exp

'
2
−






−
−−
=








κλ
λ
pvN
Mp
q

(7.13)

Hình 7.9 Dạng mặt ngưỡng của Cam clay cải tiến
2- Các đặc điểm cơ bản của mô hình Cam clay cải tiến

X

X

CSL

CSL

CSL

NCL

NCL

p’
c
p’
c
p’
X
= p’
c
/2

p’
c
/2

p’
0

p’
0


p’
0


p’
c
p’,p
q

v

Ln p’

v

Γ

v
X
v
0
X

1

0
50
100
150
200
250
0 50 100 150 200 250 300 350
p' (kPa)
q (kPa)





Hình 7.10 Mặt ngưỡng của Cam clay cải tiến và các thông số cơ bản
Do mặt ngưỡng có dạng ellipse nên:
'
'
2
c
X
p
p =

(7.14)
Với đất cố kết trước nhẹ, với mô hình Camclay cải tiến có nghóa cụ thể là

''
0

'
2
c
c
pp
p
<<

Giao điểm của đường CSL và đường nở có thể viết

2/)(
ln
'
'
0
0
c
X
p
p
vv
κ
+=

(7.15)
Với v
0
là thể tích riêng ứng với p’
0

Mặt khác, trên đường CSL, có thể viết
2
ln
'
c
X
p
v
λ
−Γ=

(7.16)
Từ (7.74) và (7.75) suy ra:

2
lnln
2/)(
ln
2
ln
'
'
00
'
'
0
0
'
c
c

c
p
pv
p
p
v
p
κκκλ
−+=+=−Γ


2
ln
2
lnln
''
'
00
cc
pp
pv
κλκ
−++=Γ


2
ln)(ln
'
'
00

c
p
pv
κλκ
−++=Γ

(7.17)
Như vậy trong mô hình Camclay cải tiến có thể tính thể tích riêng
Γ
ứng với p’ =
1kPa của đường CSL từ thể tích riêng của mẫu đất ở trạng thái ban đầu.
Nếu viết dưới dạng hệ số rỗng công thức (7.76) trở thành:

( )
'
0
'
0
ln
2
ln p
p
ee
c
κκλ
+−+=
Γ

(7.18)
Đất cố kết thường

''
0 c
pp =
. Công thức (7.76) có dạng

2
ln
'
0
c
p
v
λ
+=Γ

(7.19)
3- Các biến dạng của mô hình Cam clay cải tiến

Theo mô hình Cam Clay cải tiến, mặt giới hạn đàn hồi có dạng:


[ ]
0)''('
22
=−−= pppMqf
c

Mặt thế năng dẻo trùng với mặt giới hạn trong tọa trục (p’, q)

[ ]

0)''('
22
=−−== pppMqfg
c


( )
0'
2
2
''
2
=+−=
M
q
pppf
c

Như vậy, phương của vecteur gia số biến dạng dẻo (
∂ε
p
v
;
∂ε
p
d
) theo phương hướng
ra của pháp tuyến trên mặt ngưỡng, có thể viết

η

η
ε
ε
22
)'2(
/
'/
22
'2
−
=
−
=
∂∂
∂∂
=
∂
∂
M
q
ppM
qg
pg
c
p
d
p
v

(7.20)

Mặt ngưỡng đồng dạng ellipse và mở rộng theo giá trò ứng suất cuối giai đoạn nén
đẳng hướng p’
c
nằm trên đường NCL, thể tích riêng ứng với p’
c
luôn có dạng
v = N -
λ
lnp’
Cường độ biến dạng dẻo theo công thức

'
)(
'
vp
p
c
p
v
∂
−=∂
κλε

(7.21)
Như vậy, quan hệ tái bền có dạng

κλ
ε
−
=

∂
∂
'
'
vp
p
p
v
c

(7.22)
Mặt khác, vì p’
c
nằm trên mặt (v, p’) không gây biến dạng cắt
0
'
=
∂
∂
p
d
c
p
ε

Các gia số biến dạng đàn hồi








∂
∂










=






∂
∂
q
p
G
K
e
d

e
v
'
3
1
0
0
'
1
ε
ε

(7.23)
Các gia số biến dạng dẻo
( )
( )
( )








∂
∂



















−
−
+
−
=








∂
∂

q
p
M
M
Mvp
d
p
v
'
4
2
2
)('
22
2
22
22
η
η
η
ηη
η
κλ
ε
ε
(7.24)
4- Các cách tính biến dạng theo mô hình Cam clay thường được sử dụng

- Biến dạng thể tích
Biến dạng thể tích của mẫu đất gồm biến dạng thể tích đàn hồi và biến dạng thể

tích dẻo với các gia số

p
v
e
vv
εεε
∆+∆=∆


Trong thí nghiệm ba trục thoát nước, nén cố kết đẳng hướng đến C (p’
c
) rồi giảm
tải đẳng hướng về A (p’
0
), giữ áp lực ngang, tăng tải đứng và cho thoát nước, mẫu đất
đi trong miền đàn hồi sau đó đạt ngưỡng tại D, tiếp đến đặt một gia tải DE trạng thái
ứng suất – biến dạng di chuyển trên mặt giới hạn, điều này làm đường ngưỡng lớn ra
ứng với p’
C
và p’
G
.
Độ thay đổi tỷ số rỗng ứng với gia tải DE là: e
E
- e
D

Hệ số rỗng tại D có thể tính theo đường nở từ C

'
'
ln
D
C
CD
p
p
ee
κ
+=

Hệ số rỗng tại E có thể tính theo đường nở từ G

'
'
ln
E
G
GE
p
p
ee
κ
+=

mặt khác, hệ số rỗng tại G có thể tính theo đường NCL từ điểm C

'
'

ln
C
G
CG
p
p
ee
λ
−=

Do đó:
'
'
'
'
lnln
D
C
C
E
G
GDE
p
p
e
p
p
eeee
κκ
−−+=−=∆

Thay e
G
vào biểu thức trên:
'
'
'
'
'
'
lnlnln
D
C
C
E
G
C
G
CDE
p
p
e
p
p
p
p
eeee
κκλ
−−+−=−=∆

'
'
'
'
'
'
lnlnln
E
G
C
G
D
C
DE
p
p
p
p
p
p
eee
κλκ
−+=−=∆

κ
(lnp’
C
– lnp’
D
) +

λ
(lnp’
G
– lnp’
C
)-
κ
(lnp’
G
-lnp’
E
) = (
λ
-
κ
)lnp’
G
- (
λ
-
κ
)lnp’
C
+
κ
(lnp’
E
-
lnp’
D

)

( )
'
'
'
'
lnln
C
G
D
E
p
p
p
p
e
κλκ
−+=∆

biến dạng thể tích tương đối
∆ε
v
ứng với gia tải DE

( )







−+
+
=
+
∆
=∆
'
'
'
'
0
lnln
1
1
1
C
G
D
E
o
v
p
p
p
p
ee
e
κλκε

(7.25)
Với e
0
là hệ số rỗng tại D
Trong đó, biến dạng thể tích đàn hồi tương đối trong biến dạng thể tích tương đối
là:

'
'
0
'
ln
111
D
E
ED
o
e
v
p
p
ee
ee
e
e
+
=
+
−

=
+
∆
=∆
κ
ε

(7.26)
Biến dạng thể tích dẻo có thể suy ra như sau: