D10 c3 b3

CÁC DẠNG TOÁN
BÀI 3_CHƯƠNG 3_ĐẠI SỐ 10: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU
ẨN
STT

TÊN DẠNG TOÁN

1

Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

2

Xác định nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn

3

Giải hệ phương trình hai ẩn với hệ số tường minh

4

Giải hệ phương trình ba ẩn với hệ số tường minh

5

Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn có 1 nghiệm duy nhất

6

Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn vô nghiệm, có nghiệm

7

Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn có vô số nghiệm.

8

Tìm điều kiện để hệ 3 ẩn có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

9

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 2 ẩn.

10

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 3 ẩn.

GHI
CHÚ

11
12
13

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
I – LÝ THUYẾT
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn.
ax + by = c (a, b, c ∈ ¡ , a 2 + b 2 ≠ 0)
Có dạng
.
( x0 ; y0 )

( x0 ; y0 )
ax + by = c
Cặp số
gọi là nghiệm của phương trình
nếu
thỏa mãn phương trình
ax + by = c
.


ax + by = c
Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình

d : ax + by = c ⇔ y =

Oxy
trong mặt phẳng

−a
c
x+
b
b

đường thẳng
.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
 a1 x + b1 y = c1

x, y

 a2 x + b2 y = c2
Có dạng
với
là ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.
Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
a b
c b
a
D = 1 1 = a1b2 − a2b1 , Dx = 1 1 = c1b2 − c2b1 , D y = 1
a2 b2
c2 b2
a2
Ký hiệu:
Xét D
Kết qua
D≠0

D=0

Dx ≠ 0

x=

Dy ≠ 0

hoặc
Dx = Dy = 0

là một

Hệ có nghiệm duy nhất
Hệ vô nghiệm.

c1
= a1c2 − a2 c1.
c2

D
Dx
, y= y×
D
D

Hệ có vô số nghiệm.

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp
thế, phương pháp cộng đại số.
Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
(I )
( x; y )
M ( x; y )
Nghiệm
của hệ
là tọa độ điểm
thuộc cả 2 đường thẳng:
(d1 ) : a1 x + b1 y = c1
( d 2 ) : a2 x + b2 y = c2 .
và
a
b

⇔ 1 ≠ 1
⇔ (d1 )
(d 2 )
a2 b2
(I )
•
Hệ
có nghiệm duy nhất
và
cắt nhau
a
b
c
⇔ 1 = 1 ≠ 1
⇔ (d1 )
(d 2 )
a2 b2 c2
(I )
•
Hệ
vô nghiệm
và
song song với nhau
a
b c
⇔ 1 = 1 = 1
⇔ (d1 )
(d 2 )
a2 b2 c2
(I )

•
Hệ
có vô số nghiệm
và
trùng nhau
3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
 a1 x + b1 y + c1 z = d1

 a2 x + b2 y + c2 z = d 2
a x + b y + c z = d
x, y , z
3
3
3
 3
Có dạng:
với
là ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.
Cách giải: Giải bằng phương pháp cộng đại số hoặc bằng phương pháp thế.
II – DẠNG TOÁN


1. Dạng 1: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

ax + by = c

Phương pháp giải: Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình
trong mặt
Oxy
d : ax + by = c

d : ax + by = c
phẳng
là một đường thẳng
. Vẽ đường thẳng
đi qua hai điểm
c
c
A(0; ), B( ;0)
b
a

ax + by = c

thì d là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình
A. VÍ DỤ MINH HỌA

.

Ví dụ 1: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

x− y–2=0

A.

x+ y+2=0

.

B.

2x + y + 2 = 0

.

C.

2x − y – 2 = 0

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Cách 1: Giải theo tự luận

y = ax + b

(1;0), (0; −2)

. Đường thẳng đi qua 2 điểm

Gải sử đường thẳng có phương trình

độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ

nên tọa

a + b = 0
a = 2
⇔

b = −2
b = −2

y = 2x − 2 ⇔ 2x − y − 2 = 0
Vậy đường thẳng có phương trình:
Ta chọn đáp án D.
Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
(1;0), (0; −2)

Nhận thấy đường thẳng đi qua 2 điểm
, ta thay tọa độ 2 điểm vào mỗi phương trình,
phương trình nào thỏa mãn thì đó là đáp án cần chọn.


(1; 0)

Thay điểm
vào đáp án A, ta được:
Chọn đáp án D.

1− = 0

không thỏa mãn. Loại A, tương tự ta loại B và C.

Ví dụ 2: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
3x − 2 y + 6 = 0

A.

.
3x + 2 y + 6 = 0

B.

.
−3 x − 2 y + 6 = 0

C.

.
3x − 2 y + 3 = 0

D.

.
Lời giải

Chọn A.
Cách 1: Giải theo tự luận

y = ax + b

(−2;0), (0;3)

. Đường thẳng đi qua 2 điểm

Gải sử đường thẳng có phương trình

độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ

y=

nên tọa

3

−2a + b = 0
a =
⇔
2

b = 3

b = 3

3
x + 3 ⇔ 3x − 2 y + 6 = 0
2

Vậy đường thẳng có phương trình:
Ta chọn đáp án A.
Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
( −2;0), (0;3)
Nhận thấy đường thẳng đi qua 2 điểm
, ta thay tọa độ 2 điểm vào mỗi phương trình,
phương trình nào thỏa mãn thì đó là đáp án cần chọn.

(−2;0), (0;3)

Thay điểm

vào đáp án A: thỏa mãn. Chọn đáp án A.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT.


Câu 1:

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

x − 2y – 2 = 0

A.
Câu 2:

x + 2y − 2 = 0

.

B.

x − 2y = 0

2x − y – 2 = 0

.

D.

.

x + 2y = 0

.

B.

2x + y = 0

.

C.

2x − y = 0

.

D.

.

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

2x + 5 y +1 = 0

A.
Câu 4:

C.

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

A.
Câu 3:

2x + y − 2 = 0

.

2x − 5 y −1 = 0

.

B.

2x − 5 y + 1 = 0

.

C.

−2 x − 5 y + 1 = 0

.

D.

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

.


3x + 2 y + 7 = 0

A.
Câu 5:

3x + 2 y − 7 = 0

.

B.

−3 x + 2 y − 7 = 0

.

C.

3x − 2 y − 7 = 0

.

D.

.

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

x + 2y = 4

A.

x + 2 y = −4

.

B.

−x + 2 y = 4

.

C.

x − 2y = 4

.

D.

.

THÔNG HIỂU.
Câu 6:

Cho các hình sau:

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

x+ y −3 = 0
Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình
A. Hình 3.
Câu 7:

B. Hình 1.

C. Hình 2.

?
D. Hình 4.

Cho các hình sau:

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình

Hình 4

4x − 2 y − 3 = 0
?


A. Hình 1.
Câu 8:

B. Hình 3.

C. Hình 2.

D. Hình 4.

Cho các hình sau:

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

x − 2y + 5 = 0
Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình

A. Hình 4.

Câu 1
A

B. Hình 1.

Câu 2
A

C. Hình 2.

?
D. Hình 3.

ĐÁP ÁN CÂU HỎI LUYỆN TẬP DẠNG 1
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
C
B
B
C
C

Câu 8
B

2. Dạng 2: Xác định được nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
( x0 ; y0 )
ax0 + by0 = c
ax + by = c
Phương pháp giải: Cặp số
là nghiệm của phương trình
nếu
thỏa mãn.
A. VÍ DỤ MINH HỌA

3x − 2 y − 6 = 0
Ví dụ 1: Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình
 3
 1; ÷
( −2; − 6 )
( 3; − 2 )
 2
A.
.
B.
.
C.
.

?

( 2; 6 )
D.

.

Lời giải
Chọn B.
Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào thỏa mãn thì đó là nghiệm của phương
trình.

−2 x + 5 y − 3 = 0
Ví dụ 2: Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình

?


A.

 5
 0; ÷
 3

( 1;1)
.

B.

.

 −3 
 ;0 ÷
 2 
C.
.

( 6;3)
D.

.

Lời giải
Chọn A.
Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào không thỏa mãn thì đó không phải là
nghiệm của phương trình.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT.

x + 2y −3 = 0
Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình
?

−
3


 0; ÷
( 1;1)
( 5;1)
( 3; − 3)
 2 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
x y
− −1 = 0
2 3
Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình
?
( 0;3)
( 2;3)
( 2; 0 )
( −2; − 3)
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
−4 x + 5 y = −2
Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình
?
1 1
 −1 1 
 −1 −1 
 1 −1 
 ; ÷
 ; ÷
 ; ÷
 ; ÷
 4 5
4 5
 4 5 
4 5 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4x − 5 y = 2
Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình
?

1 1
 −1 1 
 −1 −1 
 1 −1 
 ; ÷
 ; ÷
 ; ÷
 ; ÷
 4 5
4 5
 4 5 
4 5 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
x + y = −2
Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình
?
( −1; − 1)
( −2;0 )
( −3;1)
( 0; 2 )
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
x y
+ = −1
2 3
Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình
?
( 4;9 )
( −2;0 )
( −4;3)
( 0; − 3)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
−3x
1
+ 2y =
2
2
Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình
?

( −1;1)

( 1;1)

A.
.
THÔNG HIỂU

B.

 −1 
 ;0÷
 3 
D.
.

 1
 0; ÷
 4
C.
.

.

x + y = −2

Câu 8:

Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình

?
( x0 ; − 2 − x0 )
( x0 − 2; − x0 )
( −2 − x0 ; x0 )
( −1 − x0 ;1 + x0 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2x + y −1 = 0
Câu 9: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình
?
( x0 ;1 − 2 x0 )
( x0 + 1; − 2 x0 )
( −2 − x0 ; 2 x0 + 3)
( −1 − x0 ;1 + 2 x0 )
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
x − 2y + 3 = 0
Câu 10: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình
?

( 2a − 3; a )
( 2a − 2; a + 1)
( −5 − 2a; a − 1)
( −1 − 2a;1 + a )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
x y 5
− + =0
2 3 6
Câu 11: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình
?
( 2b + 1;3b − 1)
( 2b − 1;3b + 1)
( 2b − 1; − 3b + 1)
( −2b − 1;3b − 1)
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
3x + y − 4 = 0
Câu 12: Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình

?
( t; 4 − 3t )
( t + 1;1 − 3t )
( −t; − 4 + 3t )
( 2t; 4 − 6t )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 1

Câu 2

Câu 3

B

C

D

ĐÁP ÁN CÂU HỎI LUYỆN TẬP DẠNG 2
Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9
A

D

A

A

D

A

Câu
10
A

Câu
11
B

Câu
12
C

3. Dạng 3: Giải hệ phương trình hai ẩn với hệ số tường minh
Phương pháp giải:
Tự luận: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế, hoặc định thức Crame.
Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
a b
c b
a c
D = 1 1 = a1b2 − a2b1 , Dx = 1 1 = c1b2 − c2b1 , D y = 1 1 = a1c2 − a2 c1.
a2 b2

c2 b2
a2 c2
Ký hiệu:
Xét D
Kết qua
D≠0

D=0

Dx ≠ 0

x=

Dy ≠ 0

hoặc
Dx = Dy = 0

Hệ có nghiệm duy nhất
Hệ vô nghiệm.
Hệ có vô số nghiệm.

D
Dx
, y= y×
D
D


ax + by = c

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình

d : ax + by = c
đường thẳng

Oxy
trong mặt phẳng

d : ax + by = c
. Vẽ đường thẳng

đi qua hai điểm
ax + by = c
thì d là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Nghiệm của hệ:
A.

C.

(

 2 x + y = 1

3 x + 2 y = 2

)

là:

2 − 2; 2 2 − 3 .

( 2−

B.

)

2;3 − 2 2 .

D.

(

là một
c
c
A(0; ), B( ;0)
b
a

)

2 + 2; 2 2 − 3 .

( 2−

)

2; 2 2 − 3 .

Lời giải
Chọn C.
Cách 1: Giải theo tự luận: Phương pháp thế

Ta có :

(

)

y = 1 − 2 x ⇒ 3x + 2 1 − 2 x = 2 ⇒ x = 2 − 2 ⇒ y = 3 − 2 2

.

Ta chọn đáp án C
Cách 2: Bấm máy
Sử dụng MTCT: Bấm theo cú pháp: MODE – 5 -1, nhập các hệ số ở 2 phương trình của hệ, bấm
tiếp phím =, = để đọc nghiệm của hệ.
Chọn đáp án C.

x + 2 y = 1

3 x + 6 y = 3

Ví dụ 2: Hệ phương trình:
0.
1.

A.
B.

có bao nhiêu nghiệm ?
2.
C.

Chọn D.
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận

D. Vô số nghiệm.


Ta lập các tỉ số :

⇒

1 2 1
= =
3 6 3

Hệ phương trình có vô số nghiệm

Ta chọn đáp án D.
Cách 2: Sử dụng MTCT
Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Hệ phương trình

6 5
x + y =3


 9 − 10 = 1
 x y

(−3; −5)
A.

B.

1 1
( ; )
3 5

có nghiệm là:
(

(3;5)
C.

D.

−1 −1
; )
3 5

Chọn C.
Lời giải

Cách 1: Giải theo tự luận

1
1
u = ,v =
x
y
Đặt ẩn phụ :

.

Hệ phương trình trở thành

1

u=

6u + 5v = 3
12u + 10v = 6

3
⇔
⇔

9u − 10v = 1 9u − 10v = 1
v = 1

5

x = 3

⇒
y = 5
Ta chọn đáp án C.
Cách 2: Sử dụng MTCT
Đặt ẩn phụ đưa về hệ cơ bản rồi bấm máy, sau đó lấy nghịch đảo là đc nghiệm của hệ.
Chọn đáp án C.


 x − 1 + y = 0

2 x − y = 5

Ví dụ 4 : Hệ phương trình:
có nghiệm là ?
x = −3; y = 2.
x = 2; y = −1.
x = 4; y = −3.
A.
B.
C.

x = −4; y = 3.
D.

Chọn B.
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận
Từ phương trình 2, rút y theo x, rồi thay vào phương trình 1.

Ta có :

 x −1 = 5 − 2x
⇔ 5 − 2x ≥ 0 ∩ 
x −1 + 2x − 5 = 0
 x − 1 = −5 + 2 x ⇔ x = 2 ⇒ y = −1

. Chọn B.

Cách 2: Giải theo trắc nghiệm: Lần lượt thay các đáp án vào hệ, đáp án nào thỏa mãn thì ta chọn
đáp án đó. Chọn B.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Nghiệm của hệ:

(

ìï 2x + y = 1
ï
í
ïï 3x + 2y = 2
ïî

là:

)

(

2 - 2;2 2 - 3

A.

B.

( 2-

)

( 2-

2;3- 2 2

C.

)

2;2 2 - 3

D.

ìï ( 2 + 1)x + y = 2 - 1
ï
í
ïï 2x- ( 2 - 1)y = 2 2
ïî

Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình
æ 1÷
ö

æ 1÷
ö
ç
ç
1;- ÷
- 1; ÷
ç
ç
ç
ç
è 2÷
ø
è 2÷
ø
A.

)

2 + 2;2 2 - 3

B.

là:

( 1;2)
C.

( 1;- 2)
D.

ïìï 2x- 3y = 4
í
ïïî - 6x + 9y =- 12

Câu 3. Tập hợp các nghiệm (x, y) của hệ phương trình :
là tập hợp nào sau đây.
A.Một đường thẳng.
B.Toàn bộ mặt phẳng Oxy.

f
C.Nửa mặt phẳng.

D.
ïìï 2x + 3y = 5
í
ïïî 4x + 6y = 10

Câu 4. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm (x, y) :
A.0
B.1
C.2

D.Vô số

ïìï 3x + 4y = 1
í
ïïî 2x- 5y = 3

Câu 5. Tìm nghiệm của hệ phương trình:

æ
æ 17 7 ö
17
7ö
÷
ç
ç
;
; ÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è23 23ø
è 23 23ø
A.
B.

Câu 6. Tìm (x, y) sao cho :
æ 4
ö
11÷
ç
;
÷
ç

ç
è 19 19÷
ø
A.

æ
17 7 ö
ç
; ÷
÷
ç
÷
ç
è23 23ø

æ 17
ö
7÷
ç
;
÷
ç
ç
è 23 23÷
ø
C.

D.

ïìï 5x- 7y + 3= 0

í
ïïî 2x + y- 1= 0
æ4 11ö
ç
; ÷
÷
ç
÷
ç
è19 19ø

æ 4 11ö
ç
; ÷
÷
ç
÷
ç
è 19 19ø
B.

C.

æ4
ö
11÷
ç
;
÷
ç

÷
ç
è19 19ø
D.

2 x + 3 y = 5
4 x + 6 y = 10

( x; y ) : 
Câu 7. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm
0.
1.
A.
B.

C.

2.

D.Vô số.

3 x + 4 y = 1

2 x − 5 y = 3

Câu 8. Tìm nghiệm của hệ phương trình:
 17 7 
7 
 17
 − ; ÷.

 ; − ÷.
 23 23 
 23 23 
A.
B.

( x; y )
Câu 9. Tìm nghiệm
( –0, 7;0, 6 ) .
A.

của hệ :

C.

7 
 17
 − ; − ÷.
 23 23 

D.

 17 7 
 ; ÷.
 23 23 

0,3 x − 0, 2 y − 0,33 = 0

1, 2 x + 0, 4 y − 0,6 = 0

( 0, 6; –0, 7 ) .
B.

( 0, 7; –0, 6 ) .
C.

D. Vô nghiệm.


Câu 10. Hệ phương trình:
0.
A.

x + 2 y = 2

3 x + 6 y = 3

có bao nhiêu nghiệm ?
1.
2.
B.
C.

Câu 11. Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất?
x − 2 y − 2 = 0
x − 2 y − 2 = 0
 2

y −3 = 0
2 x − y − 3 = 0

A.
.
B.
.
C.

Câu 12. Giải hệ phương trình

x − 3y + 5 = 0

2 y − 4 = 0

( 1; 2 )
A.

B.

Câu 13. Giải hệ phương trình

x − y −1 = 0

2 x − 2 y − 3 = 0

.

D.

 x2 + y − 2 = 0

2 x − 2 y = 0

có nghiệm là

( −1; −2 )
.

D. Vô số nghiệm.

( 10;5 )
.

2 x − y = 3

4 x − 2 y − 6 = 0

C.

( −10; −5 )
.

D.

.

ta được kết quả là?

( x; 2 x − 3) ∀x ∈ ¡

A. có nghiệm

.

B. vô nghiệm.
∀ ( x; y )

C. có nghiệm (2;1).

D. có nghiệm

(

)

 2 + 1 x + y = 2 − 1

 2 x − 2 − 1 y = 2 2

(

)

Câu 14. Nghiệm của hệ phương trình
1
1


1; − ÷.
 −1; ÷.
2
2



A.
B.

Câu 15. Hệ phương trình :
 1 13 
 ; ÷.
2 2 
A.

là:

( 1; 2 ) .

( 1; −2 ) .

C.

D.

2 ( x + y ) + 3 ( x − y ) = 4

( x + y ) + 2 ( x − y ) = 5

. Có nghiệm là
 1 13 
 13 1 
− ;− ÷
 ; ÷.

 2 2
 2 2
B.
.
C.

( x0 ; y0 )
Câu 16. Gọi

.

là nghiệm của hệ phương trình:

3 x − y = 1

6 x − 3 y = 5

D.

x0 + y0
. Tính

 13 1 
 − ; − ÷.
 2 2


A.

−11

3

B.

−2
3

C.

( x0 ; y0 )
Câu 17. Gọi
A.

là nghiệm của hệ phương trình:
16

B.

Câu 18. Gọi

C.

là nghiệm của hệ phương trình:
8

B.

A.

3 2

 x + y = −7


5 − 3 = 1
 x y

( −1; −2 )

Câu 20. Hệ phương trình

x02 + y02
. Tính

9

D.

5

2x02 + y03
. Tính

3503

D.

3439

có nghiệm là:

B.
4
x +


2 −
 x

−3

. Do đó đáp án đúng là C.

( 1; 2 )

A.

C.

1
( −1; − )
2

(−1; 2)
D.

1
=3
y −1
2
=4

y −1
có nghiệm là:
( −1;0 )

(1;0)
A.

C.

x = 8

 y = 15

D.

2
3
x
+
y = 16
 4
3

 5 x − 3 y = 11
 2
5

15

Đáp án sai : Giải hệ PT ta được

Câu 19. Hệ phương trình

2 x + y = 11

5 x − 4 y = 8

25

( x0 ; y0 )

7
3

B.

(−1; 2)
C.

(1; 2)
D.


Câu 21. Hệ phương trình
7 −5
( ; )
9 6
A.

Câu 22. Hệ phương trình

2 7
( ; )
5 5
A.

Câu 23. Hệ phương trình:
x = −3; y = 2.
A.

2
 6
 x − 2y + x + 2y = 3


 3 + 4 = −1
 x − 2 y x + 2 y

có nghiệm là:
3 −87
−3 87
( ;
)
( ;
)
70 140
70 140
B.
C.

 3

 x −1 +


 2 +
 x − 1

(

−7 5
; )
9 6

(

−7 2
; )
2 7

D.

2
=4
y +1
3
=5
y +1

B.

có nghiệm là:

−2 −7
( ; )
5 5

C.

7 −2
( ; )
2 7

D.

 x − 1 + y = 0

 2 x − y = 5

có nghiệm là ?
x = 2; y = −1.

B.

x = 4; y = −3.

x = −4; y = 3.

C.

D.

 x + 3 y = 1


 x + y = −3

Câu 24. Hệ phương trình:
(−5; 2), ( −2; −1).
A.

Câu 25. Hệ phương trình:
−43 3
(
; )
13 13
A.

có nghiệm là ?
(−5; −2), (−2; −1).

B.

(5; −2), (5; 2).

(2;1), (−2;1).

C.

D.

2 x − y = 7

3 x + 5 y = 9

B.

có nghiệm là ?
43 −3
( ; )
13 13

(
C.

−26 3
; )
7 7

(
D.

26 −3
; )
7 7

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

C
Câu

D
Câu

A
Câu

D
Câu

A
Câu

ĐÁP ÁN DẠNG 3
Câu 6 Câu 7 Câu 8
C
Câu

D
Câu

A
Câu

Câu 9

C
Câu

Câu
10
A
Câu

Câu
11
A
Câu

Câu
12
A
Câu

Câu
13
A


14
D

15
B

16

A

17
A

18
C

19
C

20
A

21
B

22
C

23
B

24
A

25
D

4. Dạng 4: Giải hệ phương trình ba ẩn với hệ số tường minh

- Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
ax + by + cz = d ,

a , b, c , d

x, y , z
trong đó

-

là ba ẩn;

a , b, c
là các hệ số và

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác là

không đồng thời bằng
 a1 x + b1 y + c1 z = d1

b2 y + c2 z = d 2
c z = d
3
 3

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

thay vào phương trình thứ hai tính

a1 x + b1 y + c1 z = d1


a2 x + b2 y + c2 z = d 2
a x + b y + c z = d
3
3
3
 3

( 2)

( x0 ; y0 ; z0 )

x, y , z
Trong đó

( 1)

z,

Cách giải: Từ phương trình cuối của hệ (1) ta tính được
y
x.
được rồi thay vào phương trình đầu tính được

-

0.

là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.Mỗi bộ ba số

nghiệm đúng của

( 2) .
ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình
Cách giải:Bằng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, khử bớt ẩn số để đưa về hệ phương
trình dạng tam giác.

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Hệ phương trình

 x − y − z = −1

 7y − z = 5

2z = 4


(−2; −1; 2).

(−2; −1; −2).

(2;1; 2).
A.

có nghiệm là:

B.

C.

Lời giải

Chọn A.

(2; −1; −2).
D.


Giai tự luận:
Từ phương trình cuối suy ra

z = 2.

y = 1.

z

thay giá trị này của vào phương trình thứ hai, ta được
y
x=2
z
Cuối cùng, thay các giá trị của và vừa tìm được vào phương trình đầu ta tìm được
.

( x; y; z ) = (2;1; 2)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
Giai trắc nghiệm:
Bấm máy tính

⇒

Ví dụ 2: Hệ phương trình

Chọn A.

x + y + z = 3

 2 x − y + 2 z = −3
 x − 3 y − 3 z = −5


A. (1; 3;–1)

có nghiệm là:

B. (1; 3;–2)

C. (1; 2; –1)

D. (1; –3; –1)

Lời giải
Chọn A.
Giai tự luận:
Cách 1:
Cộng phương trình thứ nhất và thứ hai theo vế, ta được hệ phương trình sau:
x + y + z = 3

3 x + 3 z = 0
 x − 3 y − 3z = −5


Nhân hai vế phương trình đầu với 3, xong đem cộngtheo vế với phương trình cuối, ta được hệ

x + y + z = 3

x + z = 0
4 x = 4


x = 1,
Từ phương trình cuối ta có

thay vào phương trình hai tính được

y = 3.
vào phương trình đầu thì

(1;3; − 1).
Vậy nghiệm của hệ là

Cách 2:Rút ẩn từ một phương trình thay vào hai phương trình còn lại.

z = −1.

x, z
thay đồng thời


z = 3 − x − y,
đem thay vào hai phương trình còn lại ta được hệ:

Từ phương trình đầu ta rút được

z = 3 − x − y

 2 x − y + 2 z = −3
 x − 3 y − 3z = −5


Thế phương trình đầu vào hai phương trình sau ta có hệ

z = 3 − x − y

 −3 y = −9
4 x = 4


x = 1, y = 3.
Từ hai phương trình cuối dễ tính được

Thay vào phương trình đầu được

z = −1.

(1;3; − 1).
Vậy nghiệm của hệ là
Giai trắc nghiệm:
Bấm máy tính

⇒

Ví dụ 3: Hệ phương trình

Chọn A.

 x + 2 y − 3z = 1

 x − 3 y = −1
 y − 3z = −2


A. (2;1;1).

có nghiệm là

B. (-2;1;1).

C. (2;-1;1).

D. (2;1;-1).

Lời giải
Chọn A.
Giải tương tự Ví dụ 2.

( x0 ; yo ; z0 )
Ví dụ 4: Gọi

là nghiệm của hệ phương trình

3x + y − 3z = 1

 x − y + 2z = 2
− x + 2 y + 2 z = 3


. Tính giá trị của biểu thức

P= x +y +z .
2
0

A.

P = 2.

2
0

2
0

B.

P = 14.

C.

P = 3.

Lời giải

D.

P = 1.


Chọn C.

( x0 ; yo ; z0 )
Tương tự các ví dụ trên, giải được

(1;1;1)
=

thay vào

P

được kết quả

P = 3.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 9:

Nghiệm của hệ phương trình
A. (-10; 7; 9)

3 x − 2 y − z = 7

 −4 x + 3 y − 2 z = 15
 − x − 2 y + 3 z = −5


B. (5; -7; 8)

là:
C. (-10, -7; 9)

D.( -5; -7; -8)

( x; y; z ) = ( 1; 0;1)
Câu 10: Bộ

là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?
 2 x + 3 y + 6 z − 10 = 0
 x + 7 y − z = −2


.
 x + y + z = −5
 −5 x + y + z = 1 .
 y + 4 z = −17
x − y + 2z = 0


A.
B.

C.

2 x − y − z = 1

x + y + z = 2 .
 − x + y − z = −2


D.

x + 2 y = 1

 y + 2z = 2
z + 2x = 3


Câu 11: Hệ phương trình
F = 2 x0 + y0 + 3 z 0

 x + 2 y + z = −2

x − y + z = 4 .
− x − 4 y − z = 5


( x0 ; y0 ; z 0 )

có nghiệm là

thì giá trị của biểu thức

là:
A.4

B.5

C.2

( x; y; z )
Câu 12: Gọi

là nghiệm của hệ phương trình

 −3x + 2 y − z = −2

5 x − 3 y + 2 z = 10
 2 x − 2 y − 3 z = −9


D.6

. Tính giá trị của biểu thức

M = x+ y+ z
.
A. -1

B.35

C.15

D.21


( x0 ; yo ; z0 )
Câu 13: Gọi

là nghiệm của hệ phương trình

3x + y − 3z = 1

 x − y + 2z = 2
− x + 2 y + 2 z = 3


. Tính giá trị của biểu thức

P = x02 + y02 + z02 .
A.

P = 1.

B.

P = 2.

C.

( x0 ; yo ; z0 )

Câu 14: Gọi

là nghiệm của hệ phương trình

P = 3.

D.

 x + y + z = 11

2 x − y + z = 5
3 x + 2 y + z = 24


P = 14.

. Tính giá trị của biểu thức

P = x0 y0 z0 .
A.

P = −40.

B.

P = 40.

C.

( x0 ; yo ; z0 )

Câu 15: Gọi

là nghiệm của hệ phương trình

P = 1200.

D.

x + 2 y = 1

 xz + z = 1
 xz + yz − 3 z = −1


P = −1200.

. Tính giá trị của biểu thức

P = x0 y0 z0 .

P = 0.
A.

B.

P = 1.

2 2 x − 1 +



 2x −1 −


4 2 x − 1 +


Câu 16: Nghiệm của hệ phương trình
(1; 0;0).
(1;1;1).
A.
B.

C.

P = 2.

P = −2.

3
− 4 z +1 = 1
x− y
3
+ z + 1 = −1
x− y
1
− 2 z +1 = 3
x− y
là:
(1;0; −1).

(1;0;1).

C.
Lời giải

Chọn A.

D.

D.


Điều kiện:

Đặt

1

x ≥ 2

x > y
 z ≥ −1



a = 2 x − 1

1

b =

x− y


c = z + 1

Hệ trở thành

 2a + 3b − 4c = 1

 a − 3b + c = −1
 4 a + b − 2c = 3


.

 2x −1 = 1

x = 1
 1

a = 1
=
1
⇔
y=0



x
−

y
b
=
1

z = 0



c = 1
z
+
1
=
1

⇔

Giải hệ ta được

thỏa mãn điều kiện.

(1;0;0).

Vậy hệ có nghiệm

Câu 1
D

Câu 2

C

Câu 3
B

Câu 4
B

Câu 5
C

ĐÁP ÁN DẠNG 4
Câu 6 Câu 7 Câu 8
B
A
A

5. Dạng 5:Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn có một nghiệm duy nhất.
Phương pháp giải
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng
a1 x + b1 y = c1 2
(a1 + b12 ≠ 0, a22 + b22 ≠ 0)

a2 x + b2 y = c2


D=

a1
a2

Cách 1: Tính các định thức:

b1
b2

Dx =

c1
c2

b1
b2

,

Dy =

a1
a2

c1
c2

,

.

 Dx Dy 
 ;

÷
 D D
D ≠ 0.
Hệ có nghiệm duy nhất
khi
a1 b1
≠
a2 b2
Cách 2: Nếu tỉ số:

thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất

 Dx Dy 
 ;
÷
 D D 

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: cho hệ phương trình
A.

mx + y = m

 x + my = m

m ≠ 1.

B.

, m là tham số. Hệ có nghiệm duy nhất khi

m ≠ −1.

C.

m ≠ ±1.

D.

m ≠ 0.

Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
Ta có:

D = m2 − 1

.

Hệ có nghiệm duy nhất khi

D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1.

Cách 2:

Hệ có nghiệm duy nhất khi

m 1

≠ ⇔ m ≠ ±1.
1 m

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm:
A.
C.

m≠3
m ≠ 3.

hay

m ≠ −3.

B.
D.

m≠3

và

m ≠ −3.

m ≠ −3.

3 x − my = 1

−mx + 3 y = m − 4

Lời giải
Chọn B.
Cách 1:

D=

3 −m
= 9 − m2
−m 3

Ta có :
Phương trình có đúng một nghiệm khi

D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3

.

Cách 2:

Hệ có nghiệm duy nhất khi

3
−m
≠
⇔ m ≠ ±3.
−m
3

Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau cắtnhau

( d1 ) : ( m2 –1) x – y + 2m + 5 = 0 ( d 2 ) : 3x – y + 1 = 0
và
A.
C.

m = −2.
m=2

hay

B.
m = −2.

D.

m = 2.
m ≠ ±2.

Lời giải
Chọn D.
Cách 1:

Để hai đường thẳng cắt nhau thì hệ phương trình

(m 2 − 1) x − y = −2m − 5

3 x − y = −1

có nghiệm duy nhất

⇔ D ≠ 0 ⇔ −m 2 + 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2.
Cách 2:
d1

Ta có : Hai đường thẳng

d2

và

cắt nhau khi

m 2 − 1 −1
≠
⇔ m 2 ≠ 4 ⇔ m ≠ ±2.
3
−1


Câu 1:

Câu 2:

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Tìm tát cả các giá trị của a để hệ phương trình
a = ± −1
a ≠ −1.
A.
B.

Tìm tất cả các giá trị của
A.
C.

Câu 3:

Câu 4:

Câu 5:

m

để hệ

 x + ay = 5

 ax + y = 6

 mx + 3 y = 2m − 1

 x + ( m + 2) y = m + 3

B.
hoặc

m ≠ −3.

a ≠ ± −1

D.

m ≠ −3.
m ≠1

và

m ≠ −3.

 mx + (2 − m) y = 5

x + y = 3

m
Tìm tất cả các giá trị của
để hệ phương trình
m ≠1
m≠0
m≠2
B.
C.
A.

Hệ phương trình
3m − 5

 x = 2m − 15

7
y =

2m − 15

A.

D.

có nghiệm duy nhất ?

m ≠ 1.
m ≠1

có nghiệm duy nhất.
a ≠1
C.

có một nghiệm duy nhất?
∀m ∈ R
D.

3x − my = 1

2 x − 5 y = 3

có nghiệm duy nhất là :
3m − 5
3m + 5


 x = 2m + 15
 x = 2m − 15



7
y =
 y = −7
2m + 15
2m − 15


B.
C.

D.

3m + 5

 x = 2m + 15

 y = −7
2m + 15


2 x − y = 1

mx + y = m + 1 m
Cho hệ phương trình
,
là tham số. Hệ có nghiệm duy nhất khi
m = 2.

A.

B.

m = −2.

C.
Lời giải

Chọn A.
Cách 1:

m ≠ −2

D.

m ≠ ±2.