D10 c6 b2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (371.56 KB, 36 trang )
CHƯƠNG 6: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG
1. Định nghĩa
Trên đường tròn lượng giác cho cung
Ð
AM
α
có sđ
Ð
AM = α
(còn viết ..)
y
B
M
K
a
A'
A
x
O
H
B'
•
Tung độ
y = OK
của điểm
M
gọi là sin của
α
và kí hiệu là
sin α .
sin α = OK .
•
Hoành độ
x = OH
của điểm
M
gọi là côsin của
α
và kí hiệu là
cos α .
cos α = OH .
•
•
cos α ≠ 0,
Nếu
tỉ số
sin α
tan α =
.
cos α
Nếu
cotg α
):
sin α ≠ 0,
tỉ số
cosα
cot α =
.
sin α
Các giá trị
sin α
cos α
cos α
sin α
gọi là tang của
α
và kí hiệu là
gọi là côtang của
sin α , cos α , tan α , cot α
α
tan α
và kí hiệu là
2. Hệ quả
cos α
sin α
α ∈¡ .
1)
và
xác định với mọi
Hơn nữa, ta có
sin ( α + k 2π ) = sin α , ∀k ∈ ¢;
cos ( α + k 2π ) = cos α , ∀k ∈ ¢.
−1 ≤ OK ≤ 1; −1 ≤ OH ≤ 1
(người ta còn dùng kí hiệu
cot α
nên ta có
)
(người ta còn dùng kí hiệu
được gọi là các giá trị lượng giác của cung
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin
2) Vì
tg α
α.
−1 ≤ sin α ≤ 1
−1 ≤ cos α ≤ 1.
3) Với mọi
4)
5)
tan α
cot α
m∈ ¡
mà
−1 ≤ m ≤ 1
α≠
xác định với mọi
đều tồn tại
α
β
và
π
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
2
sao cho
sin α = m
cos β = m.
và
α ≠ kπ ( k ∈ ¢ ) .
xác định với mọi
6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc
α
phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung
Ð
AM = α
đường tròn lượng giác.
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Góc phần tư
I
II
III
IV
+
−
−
+
sin α
+
+
−
−
tan α
+
−
+
−
cot α
+
−
+
−
Giá trị lượng giác
cos α
Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
Góc
α
sin α
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
450
2
2
600
3
2
900
0
300
1
2
1200
3
2
1350
2
2
1
3
2
2
2
1
2
0
3
3
1
||
3
0
00
cosα
tana
cot a
1
3
3
3
1
0
||
0
-
..
-
3
-
3
3
2
2
–1
–1
π
3π
2
2π
1800
2700
3600
0
–1
0
–1
0
1
0
||
||
0
0
||
trên
II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG
tan α
1. Ý nghĩa hình học của
t 'At
A
Từ
vẽ tiếp tuyến
với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách
chọn gốc tại
Gọi
T
A
.
là giao điểm của
OM
với trục
t ' At.
tan α
được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ
t 'At
Trục
được gọi là trục tang.
y
M
O
a
uuur
AT
tan α = AT
t 'At.
trên trục
Viết:
t
A x
T
t'
cot α
2. Ý nghĩa hình học của
s 'Bs
B
Từ
vẽ tiếp tuyến
với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách
B
chọn gốc tại .
s 'Bs
S
OM
Gọi là giao điểm của
với trục
cot α
được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ
s 'Bs
Trục
được gọi là trục côtang.
uuu
r
BS
cot α = BS
s 'Bs
trên trục
. Viết:
s'
y
B
O
s
S
a
M
x
tan ( α + kπ ) = tan α , ∀k ∈ ¢;
cot ( α + kπ ) = cot α , ∀k ∈ ¢.
Nhận xét:
III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin α
π
α ≠ + kπ , k ∈ ¢
cos α
2
,
cos α
cot α =
sin α α ≠ kπ , k ∈ ¢
,
kπ
α≠
, k ∈¢
tan α .cot α = 1,
2
tan α =
1 + tan 2 α =
1
π
, α ≠ + kπ , k ∈ ¢
2
cos α
2
1 + cot 2 α =
1
,
sin 2 α α ≠ kπ , k ∈ ¢
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau (
α
và
−α
)
Góc bù nhau(
α
và
π −α
)
α
Góc phụ nhau( và
π
sin − α ÷ = cos α
2
cos(−α ) = cos α
sin(π − α ) = sin α
sin(−α ) = − sin α
cos(π − α ) = − cos α
π
cos − α ÷ = sin α
2
tan( −α ) = − tan α
tan(π − α ) = − tan α
π
tan − α ÷ = cot α
2
cot( −α ) = − cot α
cot(π − α ) = − cot α
π
cot − α ÷ = tan α
2
π
−α
2
)
Góc hơn kém
π α
(
và
π +α
π
π
+α
2 α
2
Góc hơn kém ( và
)
π
sin + α ÷ = cos α
2
)
sin(π + α ) = − sin α
cos(π + α ) = − cos α
π
cos + α ÷ = − sin α
2
tan(π + α ) = tan α
π
tan + α ÷ = − cot α
2
cot(π + α ) = cot α
π
cot + α ÷ = − tan α
2
π
Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos - đối, sin – bù, phụ - chéo, hơn kém
tang
π
2
côtang, hơn kém
chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.
B. CÁC DẠNG TOÁN:
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
α
I. PHƯƠNG PHÁP: Dấu của các giá trị lượng giác của góc
phụ thuộc vào vị trí điểm cuối (điểm
Ð
AM = α
ngọn) của cung
trên đường tròn lượng giác. Vì thế cần xác định vị trí điểm M trên đường tròn
lượng giác rồi sử dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Vị trí điểm M thuộc
góc phần tư
I
II
III
IV
+
−
−
+
sin α
+
+
−
−
tan α
+
−
+
−
cot α
+
−
+
−
Giá trị lượng giác
cos α
II. VÍ DỤ MINH HỌA:
π
<α <π
2
Cho
. Xác định dấu của các biểu thức sau:
π
3π
sin + α ÷
tan
−α ÷
2
2
a)
b)
c)
π
cos − + α ÷.tan ( π − α )
2
Lời giải
a) Ta có
c) Ta có
3π
π
3π
π
tan
− α ÷< 0
> −α > −π
0>
−α > −
2
⇒
2
2
2 ⇒
π
π
π
π
cos − + α ÷ > 0
<α <π
0 < − +α <
2
⇒
2
2
2 ⇒
0 < π −α <
Và
Vậy
d)
14π
.cot ( π + α )
9
π
π
π
3π
sin + α ÷ < 0
<α <π
π < +α <
2
⇒
2
2
2 ⇒
−
b) Ta có
sin
π
2 ⇒ tan ( π + α ) > 0
π
cos − + α ÷.tan ( π + α ) > 0
2
.
3π 14π
14π
<
< 2π
sin
<0
⇒
2
9
9
d) Ta có
π
3π
<α <π
< π + α < 2π
⇒ 2
2
sin
Vậy
14π
.cot ( π + α ) > 0
9
cot ( π + α ) < 0
suy ra
.
.
III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:
Câu 1. Điểm cuối của
α
thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng
trong các kết quả sau đây.
A.
sin α > 0.
B.
Câu 2. Điểm cuối của
cos α < 0.
α
C.
tan α < 0.
D.
cot α < 0.
thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây
là
sai ?
A.
sin α > 0.
B.
Câu 3. Điểm cuối của
cos α < 0.
α
C.
tan α > 0.
D.
cot α > 0.
thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây
là
đúng ?
A.
sin α > 0.
B.
cos α > 0.
C.
tan α > 0.
D.
cot α > 0.
Câu 4. Điểm cuối của góc lượng giác
II.
IV.
A. Thứ
B. Thứ
sin α , cos α
α
ở góc phần tư thứ mấy nếu
cùng dấu?
III.
IV.
II
I
C. Thứ hoặc
D. Thứ hoặc
sin α , tanα
α
Câu 5. Điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ mấy nếu
trái dấu?
I.
III.
IV.
IV.
II
II
I
A. Thứ
B. Thứ hoặc
C. Thứ hoặc
D. Thứ hoặc
α
cos α = 1 − sin 2 α .
Câu 6. Điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ mấy nếu
II.
II.
III.
IV.
I
II
I
A. Thứ
B. Thứ hoặc
C. Thứ hoặc
D. Thứ hoặc
α
sin 2 α = sin α .
Câu 7. Điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ mấy nếu
III.
III.
II.
IV.
I
I
III
A. Thứ
B. Thứ hoặc
C. Thứ hoặc
D. Thứ
hoặc
5π
2π < α <
.
2
Câu 8. Cho
Khẳng định nào sau đây đúng?
tan α > 0; cot α > 0.
tan α < 0; cot α < 0.
A.
B.
tan α > 0; cot α < 0.
tan α < 0; cot α > 0.
C.
D.
π
0 <α < .
2
Câu 9. Cho
Khẳng định nào sau đây đúng?
sin ( α − π ) ≥ 0.
sin ( α − π ) ≤ 0.
sin ( α − π ) < 0.
sin ( α − π ) < 0.
A.
B.
C.
D.
π
0 <α < .
2
Câu 10. Cho
Khẳng định nào sau đây đúng?
π
π
cot α + ÷ ≥ 0.
cot α + ÷ > 0.
tan ( α + π ) < 0.
tan ( α + π ) > 0.
2
2
A.
B.
C.
D.
π
<α <π.
2
Câu 11. Cho
Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương ?
π
cot − α ÷.
sin ( π + α ) .
cos ( −α ) .
tan ( π + α ) .
2
A.
B.
C.
D.
3π
π <α < .
2
Câu 12. Cho
Khẳng định nào sau đây đúng?
3
π
3π
tan
− α ÷ < 0.
tan
− α ÷ > 0.
2
2
A.
B.
3π
3π
tan
− α ÷ ≤ 0.
tan
− α ÷ ≥ 0.
2
2
C.
D.
Câu 13. Cho
M ≥ 0.
A.
π
M = cos − + α ÷. tan ( π − α ) .
2
π
<α <π
2
. Xác định dấu của biểu thức
M > 0.
M ≤ 0.
M < 0.
B.
C.
D.
π
3π
M = sin − α ÷.cot ( π + α ) .
π <α <
2
2
Câu 14. Cho
. Xác định dấu của biểu thức
M ≥ 0.
M > 0.
M ≤ 0.
M < 0.
A.
B.
C.
D.
ABC
A
Câu 15. Cho tam giác
có góc tù. Cho các biểu thức sau:
M = sin A + sin B + sin C
N = cos A.cos B.cos C
(1)
(2)
A
B
C
P = cos .sin .cot
Q = cot A tan B cot C
2
2
2
(3)
(4)
Số các biểu thức mang giá trị dương là:
A.
1
B.
2
C.
3
D.
IV. HƯỚNG DẪN GIẢI :
Câu 1. Điểm cuối của
Câu 2. Điểm cuối của
Câu 3. Điểm cuối của
α
α
α
thuộc góc phần tư thứ nhất
thuộc góc phần tư thứ hai
thuộc góc phần tư thứ hai
4
sin α > 0
cos α > 0
tan α > 0
→ cot α > 0
→
sin α < 0
cos α < 0
tan α > 0
→ cot α > 0
→
sin α < 0
cos α > 0
tan α < 0
→ cot α < 0
→
Chọn A.
Chọn A.
Chọn B.
Câu 4. Chọn D.
Câu 5. Chọn C.
Câu 6. Ta có
cos α = 1 − sin 2 α ⇔ cos α = cos 2 α ⇔ cos α = cos α ⇔ cos α .
cos α ⇔ cos α
→ cos α ≥ 0
→
Đẳng thức
IV.
I
hoặc
Chọn D.
điểm cuối của góc lượng giác
α
ở góc phần tư thứ
Câu 7. Ta có
sin 2 α ⇔ sin α ⇔ sin α = sin α .
sin α = sin α
→ sin α ≥ 0
→
Đẳng thức
II.
hoặc
Chọn C.
2π < α <
Câu 8. Ta có
tan α > 0
→
.
cot α > 0
5π
→
2
điểm cuối cung
điểm cuối của góc lượng giác
α −π
Chọn A.
π
π
0 <α <
−π < α − π < −
→
2 →
2
Câu 9.Ta có
sin ( α − π ) < 0.
thuộc góc phần tư thứ
điểm cuối cung
α −π
α
ở góc phần tư thứ
I
thuộc góc phần tư thứ
Chọn D.
Câu 10. Ta có :
π
π
π
π
0 < α < → < α + < π
→ cot α + ÷ < 0
2
2
2
2
.
0 < α < π → π < α + π < 3π
→ tan ( α + π ) > 0
2
2
Chọn D.
Câu 11. Ta có
π
cot − α ÷ = sin α ;
sin ( π + α ) = − sin α ;
cos ( −α ) = cos α ; tan ( π + α ) = tan α .
2
Do
sin α > 0
cos α < 0
π
<α <π
→ tan α < 0
→
2
Câu 12. Ta có
Chọn B.
3π
sin 2 − α ÷ > 0
3π
cos 3π − α > 0
3π
3π
π
tan
− α ÷ > 0.
÷
π <α <
0<
−α <
2
→ 2
→
2 →
2
2
Chọn B.
Câu 13. Ta có :
π
π
π
π
< α < π → 0 < − + α <
→ cos − + α ÷ > 0
2
2
2
2
π < α < π → 0 < π − α < π
→ tan ( π − α ) > 0
2
2
→ M > 0.
Chọn B.
I
III
→
Câu 14. Ta có :
3π
3π
π
π
π
π <α <
→−
< −α < −π → −π < − α < −
→ sin − α ÷< 0
2
2
2
2
2
π < α < 3π → 2π < π + α < 5π
→ cot ( π + α ) > 0
2
2
→ M <0
. Chọn D.
cos A < 0;sin A > 0; t anA < 0;cot A < 0
A
Ta có: tù nên
M > 0; N < 0; P > 0; Q < 0
Do đó:
. Chọn B.
Câu 15.
DẠNG 2:
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
I. PHƯƠNG PHÁP :
•
Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác
•
Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
•
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
II. VÍ DỤ MINH HỌA :
3π
1
sin α − ÷
cos α =
2
3
Ví dụ 1 : Cho
. Khi đó
bằng
2
1
− .
− .
3
3
A.
B.
C.
1
.
3
D.
2
.
3
Lời giải
Chọn C
3π
sin α −
2
π
π
1
÷ = sin α + − 2π ÷ = sin α + ÷ = cos α = .
2
2
3
Ta có
cos150 =
Ví dụ 2: Cho
2+ 3
2
3−2
. Giá trị của
B.
tan15ο
bằng :
2− 3
2
C.
2− 3
D.
2+ 3
4
A.
Lời giải
Chọn C
tan 2 150 =
(
tan α = −
Ví dụ 3 : Cho
4
5
với
3π
< α < 2π
2
Chọn C
.
. Khi đó :
4
5
cos α = −
41
41
A.
,
.
4
5
sin α = −
cos α =
41
41
C.
.
sin α = −
Lời giải
)
2
1
4
−
1
=
−
1
=
2
−
3
cos 2 150
⇒ tan150 = 2 − 3
2+ 3
4
5
cos α =
41
41
B.
,
.
4
5
sin α =
cos α = −
41
41
D.
,
.
sin α =
1 + tan 2 α =
1
16
1
1
41
25 ⇒ cos α = ± 5
2
⇒
1
+
=
⇒
=
⇒
cos
α
=
41
cos 2 α
25 cos 2 α
cos 2 α 25
41
5
3π
< α < 2π ⇒ cos α > 0 → cos α =
41
2
.
4
41
→ sin α = −
III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1
tan α =
cot α
2
Câu 1. Cho biết
. Tính
A.
cot α = 2
cot α =
.
B.
π
cos + ( 2k + 1) π .
4
Câu 2. Tính giá trị của
3
π
cos + ( 2k + 1) π = −
.
2
4
A.
1
π
cos + ( 2k + 1) π = − .
2
4
C.
Câu 3. Cho góc
1
cos α = .
13
A.
Câu 4. Cho góc
tan α = −
A.
α
thỏa mãn
12
sin α =
13
cos α =
B.
α
thỏa mãn
3
.
5
5
.
13
B.
D.
và
C.
5
cos α = −
3
tan α =
B.
1
4
2
.
5
cot α =
.
C.
1
2
.
D.
2
π
cos + ( 2k + 1) π = −
.
2
4
3
π
cos + ( 2k + 1) π =
.
4
2
π
<α <π
2
. Tính
5
cos α = − .
13
π <α <
và
tan α = −
3π
2
4
.
5
cos α .
cos α = −
D.
. Tính
1
.
13
tan α .
tan α = −
2
.
5
C.
D.
4
2017π
2019π
tan α = −
<α <
α
sin α .
3
2
2
Câu 5. Cho góc
thỏa mãn
và
. Tính
3
3
4
4
sin α = − .
sin α = .
sin α = − .
sin α = .
5
5
5
5
A.
B.
C.
D.
12
π
cos α = −
< α < π.
α
tan α .
13
2
Câu 6. Cho góc
thỏa mãn
và
Tính
12
5
5
12
tan α = − .
tan α = .
tan α = − .
tan α = .
5
12
12
5
A.
B.
C.
D.
cot α = 2
.
cos α =
Câu 7. Cho
sin α =
A.
1
5
4
5
0 <α <
với
sin α = −
.
α
B.
1
5
π
2
. Tính
.
tan α = 2
sin α
.
sin α =
3
5
sin α = ±
3
5
C.
.
D.
.
o
o
180 < α < 270 .
P = cos α + sin α .
và
Tính
3 5
5 −1
P=
.
P=
.
2
2
C.
D.
Câu 8. Cho góc
thỏa mãn
3 5
P=−
.
P = 1 − 5.
5
A.
B.
3
sin α =
α
90O < α < 180O.
5
Câu 9. Cho góc
thỏa
và
Khẳng định nào sau đây đúng?
4
4
5
4
cot α = − .
cosα = .
tan α = .
cosα = − .
5
5
4
5
A.
B.
C.
D.
3
cotα =
α
0O < α < 90O.
4
Câu 10. Cho góc
thỏa
và
Khẳng định nào sau đây đúng?
4
4
4
4
cosα = − .
cosα = .
sin α = .
sinα = − .
5
5
5
5
A.
B.
C.
D.
7π
1
π
P = tan
−α ÷
sin ( π + α ) = −
<α <π
2
α
3
2
Câu 11. Cho góc
thỏa mãn
và
. Tính
.
2
2
P=
.
P=−
.
P = 2 2.
P = −2 2.
4
4
A.
B.
C.
D.
α
3cos α + 2 sin α = 2
sin α < 0
sin α .
Câu 12. Cho góc
thỏa mãn
và
. Tính
5
7
9
12
sin α = − .
sin α = − .
sin α = − .
sin α = − .
13
13
13
13
B.
C.
D.
A.
π
α
α
<α <π
tan + cot
cot α = −3 2
2
2
2
Câu 13. Cho
với
. Khi đó giá trị
bằng :
2 19
−2 19
− 19
19
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
IV. HƯỚNG DẪN GIẢI:
⇒ cot α =
Câu 1. Ta có :
tan α .cot α = 1
1
1
= =2
tan α 1
2
. Chọn A.
Câu 2. Ta có
5π
π
5π
cos + ( 2k + 1) π = cos
+ 2kπ ÷ = cos
4
4
4
π
π
2
= cos π + ÷ = − cos = −
.
4
4
2
Câu 3. Ta có
Câu 4. Ta có
5
2
cos α = ± 1 − sin α = ± 13
5
→ cos α = − .
13
π < α < π
2
Chọn B.
Chọn D.
2
2
sin α = ± 1 − cos α = ± 3
2
sin α
2
→ sin α = −
→ tan α =
=
.
3
π
3
cos
α
5
π < α <
2
Chọn B.
Câu 5. Ta có
4 2
1
1
2
1 + − ÷ =
2
1 + tan α = cos 2 α
¬
→ 3 cos α
2017π < α < 2019π
π + 504.2π < α < 3π + 504.2π
2
2
2
2
→ cos α = −
Câu 6. Ta có
3
5
tan α =
. Mà
sin α
4 sin α
4
¬
→− =
→ sin α =
cos α
3 −3
5
5
. Chọn D.
5
2
sin α = ± 1 − cos α = ± 13
5
sin α
5
→ sin α =
→ tan α =
=− .
13
cos α
12
π < α < π .
2
Chọn C.
2
9
4
3
sin α = 1 − cos α = 1 − ÷ =
⇒ sin α = ±
5
25
5
2
Câu 7.
Ta có:
0 <α <
Do
Câu 8. Ta có
2
π
2
nên
sin α > 0
sin α =
. Suy ra,
.
3
5
1
1
1
2
= → cos α = ±
1
cos α =
2
1 + tan α 5
→ cos α = −
5
5
180o < α < 270o
→ sin α = tan α .cos α = −
2
5
sin α + cos α = −
. Do đó,
3
3 5
=−
.
5
5
Chọn A.
Câu 9. Ta có
4
2
4
cos α = ± 1 − sin α = ±
→ cos α = − .
5
5
90° < α < 180°
Chọn D.
1
25
3
2
4
2 = 1 + cot α = 1 + ÷ =
→ sin α = .
sin α
4 16
5
0° < α < 90°
2
Câu 10. Ta có
Câu 11. Ta có
Chọn C.
π
cos α
7π
π
P = tan
− α ÷ = tan 3π + − α ÷ = tan − α ÷ = cot α =
2
sin α
2
2
.
1
1
1
sin ( π + α ) = − ⇔ − sin α = − ⇔ sin α =
3
3
3
Theo giả thiết:
.
2 2
cos α = ± 1 − sin 2 α = ±
2 2
3
→ cos α = −
→ P = −2 2.
3
π < α < π
2
Ta có
Chọn B.
2
3cos α + 2 sin α = 2 ⇔ ( 3cos α + 2sin α ) = 4
Câu 12. Ta có
⇔ 9 cos 2 α + 12 cos α .sin α + 4sin 2 α = 4 ⇔ 5cos 2 α + 12 cos α .sin α = 0
cos α = 0
⇔ cos α ( 5cos α + 12sin α ) = 0 ⇔
.
5cos α + 12sin α = 0
• cosα = 0 ⇒ sin α = 1
• 5cosα + 12sin α = 0
: loại (vì
sin α < 0
).
, ta có hệ phương trình
5
sin
α
=
−
5cos α + 12sin α = 0
13
⇔
.
12
3cos α + 2sin α = 2
cos α =
13
Chọn A.
Câu 13.
1
1 → sin α = ± 1
= 1 + cot 2 α = 1 + 18 = 19 → sin 2 α =
2
19
sin α
19
Vì
1
π
⇒ sin α =
<α <π
19
⇒ sin α > 0
2
tan
Suy ra
Chọn A
α
α
+ cot =
2
2
α
α
+ cos 2
2
2 = 2 = 2 19
α
α
sin α
sin cos
2
2
sin 2
.
DẠNG 3:
TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ
I. PHƯƠNG PHÁP :
•
Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng
giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.
•
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.
II. VÍ DỤ MINH HỌA :
cosa =
Ví dụ 1: a) Cho
2
3
A=
tan a + 3cot a
tan a + cot a
. Tính giá trị của biểu thức
.
sin a - cosa
B =
3
sin a + 3cos3 a + 2sin a
tan a = 3
. Tính giá trị của biểu thức
3
cot α − 2 tan α
sin α =
C=
0
0
90 < α < 180
5
tan α + 3cot α
c) Cho
và
. Tính giá trị của biểu thức
b) Cho
Lời giải
1
1
+2
tan a
cos2 a
A=
=
tan2 a + 3
1
1
=
tan a +
2
tan a + 1
tan a
cos2 a = 1 + 2cos2 a
tan a + 3
a) Ta có
Suy ra
b)
4 17
A = 1 + 2. =
9
9
sin a
cosa
3
cos a cos3 a
B =
tan a ( tan2 a + 1) - ( tan2 a + 1)
3
sin a 3cos3 a 2sin a =
+
+
tan3 a + 3 + 2tan a ( tan2 a + 1)
cos3 a
cos3 a
cos3 a
B =
3( 9 + 1) -
( 9 + 1)
27 + 3 + 2.3( 9 + 1)
=
2
9
Suy ra
c)
4
cosα = 5
9 16
cosα = − 4
2
2
cos α =1 − sin α = 1 −
=
2
2
5
sin α + cos α = 1 ⇒
25 25 ⇔
90 < α < 180
0
Vì
0
⇒ cosα = −
4
5
tan α = −
. Do đó:
3
4
cot α = −
và
4
3
.
C=
cot α − 2 tan α
tan α + 3cot α
.
4
3
− − 2. − ÷
3
4
=
3
4
− + 3. − ÷ = −2
4
3 57
3sin4 a - cos4 a =
Ví dụ 2: Cho
1
2
. Tính
A = 2sin4 a - cos4 a
.
Lời giải
3sin4 a - cos4 a =
1
2⇔
2
3sin4 a - ( 1 - sin2 a ) =
1
2⇔
Ta có
6sin4 a - 2( 1- 2sin2 a + sin4 a ) = 1 ⇔ 4sin4 a + 4sin2 a - 3 = 0
2
2
⇔ ( 2sin a - 1) ( 2sin a + 3) = 0 ⇔ 2sin2 a - 1 = 0
sin2 a =
Suy ra
1
2
2
cos a = 1- sin a
2
æ1÷
ö
A = 2ç
÷
ç
÷
ç2ø
è
Suy ra
Ví dụ 3: Biết
)
.
2
Ta lại có
(Do
2sin2 a + 3 > 0
= 1-
1 1
=
2 2
2
æ1÷
ö 1
ç
÷
ç
÷
ç2ø = 4
è
sin x + cosx = m
. Tính
sin x cosx
sin4 x - cos4 x
và
Lời giải
( sin x + cosx )
2
*) Ta có
= sin2 x + 2sin x cosx + cos2 x = 1 + 2sin x cosx
sin x + cosx = m
Mặt khác
nên
4
4
A = sin x - cos x
m2 = 1 + 2sin a cosa
hay
(*)
m2 - 1
sin a cosa =
2
*) Đặt
. Ta có
2
2
2
A = ( sin x + cos x ) ( sin x - cos2 x ) = ( sin x + cos x ) ( sin x − cos x )
2
⇒ A = ( sin x + cosx )
2
( sin x -
2
cosx ) = ( 1 + 2sin x cosx ) ( 1 - 2sin x cosx )
æ m2 - 1öæ
ö
2
4
m2 - 1÷
÷
A2 = ç
1+
1֍
÷= 3 + 2m - m
ç
ç
ç
֍
2 øè
2 ÷
è
ø
⇒
4
A=
Vậy
3 + 2m2 - m4
2
III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
a
Câu 1. Cho góc
P =-
cosa =
3
5
thỏa mãn
1
.
3
và
1
P= .
3
A.
a
3
.
2
P=
A.
p
< a < 2p
2
.
P =-
B.
thỏa mãn
7
.
3
D.
æ p÷
ö
tanç
a+ ÷= 1
ç
ç
è 4÷
ø
và
6 +3 2
.
4
P=
Câu 3. Cho góc
. Tính
C.
thỏa mãn
a
P = tan2 a - 2tan a +1
7
P= .
3
B.
Câu 2. Cho góc
p
p
4
2
æ pö
P= cosç
a- ÷
÷+ sin a
ç
÷
ç
è
6ø
. Tính
P =-
C.
3
.
2
.
6- 3 2
.
4
P=
D.
æ p÷
ö
cotç
=ça + ÷
÷
ç
è
3ø
p
< a < 2p
2
3
và
. Tính giá trị của biểu thức
æ pö
P = sinç
a+ ÷
÷
ç
÷+ cosa
ç
è
6ø
.
3
.
2
P=
A.
B.
a
Câu 4. Cho góc
P=
A.
30
.
11
4
3
thỏa mãn
B.
a
C.
tan a = -
P=
Câu 5. Cho góc
P =-
P = 1.
và
31
.
11
thỏa mãn
4
.
9
a
A.
Câu 7. Cho góc
A.
P=
a
A.
tan a = 5.
Câu 9. Cho góc
P=
Tính
P = 13.
P = sin4 a - cos4 a.
P=
9
×
32
11
×
13
P=
12
×
13
D.
P = sin a.cosa.
Tính
9
P= ×
8
C.
sinacosa =
thỏa mãn
4
.
19
D.
5
sin a + cosa = .
4
B.
a
P = - 13.
C.
thỏa mãn
P=
D.
C.
10
P= ×
13
9
×
16
4
.
19
Tính
B.
Câu 8. Cho góc
34
.
11
3sin a + 4cosa
P=
.
2sin a - 5cosa
15
P= .
13
thỏa mãn
P=
D.
C.
thỏa mãn
9
P= ×
13
. Tính
3sin a - 2cosa
.
5cosa +7sin a
P =-
B.
a
sin2 a - cosa
.
sin a - cos2 a
P=
32
.
11
P=
1
cot a = .
3
15
P =.
13
3
.
2
Tính
B.
Câu 6. Cho góc
C.
4
P= .
9
A.
D.
p
2
P=
tan a = 2.
P =-
P = - 1.
12
25
1
P= ×
8
D.
sina + cosa > 0.
và
Tính
P = sin3 a + cos3 a.
P=
91
×
125
A.
P=
a
3
.
2
P=
A.
a
Câu 11. Cho góc
A.
a
Câu 12. Cho góc
P = 1.
Câu 13. Cho góc
P = 2- m .
C.
thỏa mãn
Câu 14. Cho góc
P = 1.
Câu 16. Cho góc
a
p
2
P =- 1.
sin a =
thỏa
19+ 2 2
P=
.
9
A.
Câu 17. Cho góc
P = 4.
và
tan a - cot a = 1
2− 3
5
5.
và
P = 5.
P=
2tan a + 3cot a +1
.
tan a + cot a
.Tính
P=
hay
hay
1
2
thì
2+ 3
5
.
.
P= 5+ 3tan a + 6- 4cot a.
.Tính
P = 6.
3sin x + 2 cos x
5+ 7
4
26+ 2 2
.
9
D.
p
2
C.
P = tan a + cot a.
D.
26- 2 2
P=
.
9
-
P =- 4.
5− 7
4
. Tính
900 < a < 1800
3
5
thỏa mãn
Nếu
C.
P = 18.
D.
C.
sin x + cos x =
A.
Tính
P = tan2 a + cot2 a.
và
19- 2 2
P=
.
9
cosa =
B.
D.
P =-
B.
a
P = 115.
C.
1
3
P = 4.
P = tan3 a + cot3 a.
C.
thỏa mãn
B.
D.
P = 16.
B.
Câu 15. Cho góc
P = tan a + cot2 a.
Tính
2
sin a + cosa =
.
2
P = 14.
a
D.
P = 2- m2 .
2
C.
thỏa mãn
P = 12.
A.
. Tính
P = 112.
B.
a
D.
P = 3.
tan a + cot a = 5.
3
.
2
P = sin a - cosa .
Tính
C.
P = sin a - cosa.
P =-
P = m2 - 2.
thỏa mãn
P = 2.
. Tính
1
×
2
tan a + cot a = 2.
P = 110.
A.
Câu 18.
C.
2
P = 100.
A.
P =-
sin a + cosa = m.
thỏa mãn
B.
a
D.
5
sin a + cosa =
2
và
1
P= ×
2
B.
B.
1
P= ×
9
C.
p
0< a <
4
thỏa mãn
P = 2- m.
A.
7
P= ×
5
B.
Câu 10. Cho góc
A.
49
×
25
D.
P = - 6.
bằng
B.
D.
5− 5
7
3− 2
5
hay
hay
5+ 5
4
3+ 2
5
.
.
tan x =
Cõu 19.
Bit
2b
ac
. Giỏ tr ca biu thc
a
A.
Cõu 20.
A = a cos 2 x + 2b sin x.cos x + c sin 2 x
b
a
.
Nu bit
B.
.
C.
sin 4 cos 4
1
+
=
a
b
a+b
1
( a + b)
2
A.
.
B.
thỡ biu thc
1
2
a + b2
b
.
D.
sin 8 cos8
A=
+
a3
b3
.
C.
3
2
.
= tan 1
Cõu 1.Ta cú
Vỡ
.
p
p
4
2 ắắ
đ tan a > 1 ắắ
đ P = tan a - 1.
Theo gi thit:
ỡù
ùù sin a = 1- cos2 a = 4
5
ùùớ
.
ùù p
4
4
1
p
sin a =
tan a =
P=
ùù < a <
5
3
3
2
ợù 4
Chn B.
Cõu 2.Ta cú
Thay
ỡù p
3p
p 9p
ùù < a < 2p ơắ
đ
ùù 2
4
4
4
.
ớ
ổ pử
ùù
ữ
ỗ
tan
a
+
=
1
ữ
ùù
ỗ
ữ
ỗ
ố
4ứ
ùợ
a =p
Cõu 3.Ta cú
Cõu 4.Ta cú
P
, ta c
3
2
a+
p 5p
= .
4
4
a = p.
. Chn C.
ỡù p
5p
p 7p
ùù < a < 2p ơắ
đ
6
3 3
ùùớ 2
ổ pử
ùù
p 11p
3p
a+ ữ
ữ
ùù cotỗ
ỗ
a+ =
a= .
ữ= - 3
ỗ
ố
3ứ
ùợ
3
6
2
a=
Thay
vo
P =-
3p
2
vo
P
P =-
, ta c
3
2
. Chn D.
ỡù
1
9
3
ùù cos2 a =
=
đ cosa =
5
1+ tan2 a 25
ùùớ
ùù p
3
cosa = ùù < a < p
5
ùợ 2
sin a = tan a.cosa =
4
5
.
1
a + b3
3
IV. HNG DN GII :
P = ( tan a - 1)
bng
1
( a + b)
.
D.
bng
sin a =
Thay
4
5
cosa = -
3
5
và
vào
Câu 5.Chia cả tử và mẫu của
P
P
P=
, ta được
cosa
cho
ta được
31
.
11
Chọn B.
4
3tan a - 2 3.2 − 2
=
=
P=
5+ 7tan a
5 + 7.2 19
Chọn D.
1
3
=
3+ 4cot a
1
P=
2- 5.
2- 5cot a
3 = 13
3+ 4.
Câu 6.Chia cả tử và mẫu của
P
sina
cho
ta được
.
Chọn D.
Câu 7.Ta có
P = ( sin2 a - cos2 a ) .( sin2 a + cos2 a ) = sin2 a - cos2 a. ( *)
( *)
Chia hai vế của
cho
cos2 a
⇔ P ( 1+ tan a ) = tan a - 1 ⇔
2
2
P
sin2 a
=
- 1
cos2 a cos2 a
ta được
P=
tan2 a - 1
52 - 1 12
=
.=
2
1+ tan a
1+ 52 13
Chọn D.
25
25
1+ 2sin a.cosa =
( sin a + cosa ) =
16 ⇔
16
2
Câu 8.Từ giả thiết, ta có
→ P = sin a.cosa
9
32
=
Chọn B.
3
a + b = ( a + b) - 3ab( a + b)
3
3
Câu 9.Áp dụng
, ta có
3
P = sin3 a + cos3 a = ( sin a + cosa ) - 3sin a cosa ( sin a + cosa ) .
2
Ta có
Vì
( sin a + cosa ) = sin2 a + 2sin a cosa + cos2 a
sin a + cosa > 0
Thay
sin a + cosa =
.
.
3
vào
24 49
=
25 25
7
5
nên ta chọn
ìï
ïï sin a + cosa = 7
ïï
5
í
ïï
12
ïï sin a cosa =
25
îï
= 1+
æö
7÷
12 7
P =ç
- 3. .
÷
ç
÷
ç
è5ø
25 5
P
=
91
125
, ta được
Chọn A.
2
2
2
( sin a - cosa ) +( sin a + cosa ) = 2 ( sin α + cos α ) = 2
Câu 10.Ta có
.
3
5 =
2
2
( sin a - cosa ) = 2- ( sin a + cosa ) = 2- 4 4
Suy ra
.
2
0< a <
Do
p
4
sin a < cosa
suy ra
P =-
sin a - cosa < 0
nên
. Vậy
3
.
2
Chọn D.
Câu 11.Ta có
2
2
2
2
( sin a - cosa ) +( sin a + cosa ) = 2 ( sin α + cos α ) = 2
2
( sin a - cosa ) = 2- ( sin a + cosa )
2
= 2- m2
Suy ra
→ ( ) P = sin a - cosa = 2 − m 2
Câu 12.Ta có
.
Chọn D.
2
P = tan2 a + cot2 a = ( tan a + cot a ) - 2tan a.cot a = 22 - 2.1 = 2
Chọn B.
3
Câu 13.Ta có
Câu 14.Ta có
P = tan3 a + cot3 a = ( tan a + cot a ) - 3tan a cot a ( tan a + cot a )
= 53 - 3.5 = 110
2
1
2
sin a + cosa =
( sin a + cosa ) =
2 →
2
P=
sin2 a cos2 a
+
cos2 a sin2 a
=
Khi đó
=
⇔
sin 4 α + cos 4 α
sin 2 α .cos 2 α
( sin a + cos a )
2
. Chọn B.
1
sin a cosa = - .
4
2
2
2
2
- 2sin a.cos a
2
=
1 − 2 ( sin α cos α )
2
sin a.cos a
( sin α cos α )
2
2
= 14
Chọn B.
Câu 15.Ta có
tan a - cot a = 1 ⇔
Do
p
2
tan a =
Thay
tan a -
suy ra
1-
tan a < 0
5
2
1
1± 5
=1
tan a =
.
tan a
⇔ tan2 a - tan a - 1= 0 ⇔
2
cot a =
tan a =
1-
nên
5
2
¾¾
®
2
1-
5
và
vào
P
cot a =
P=
2
1
=
.
tan a 1- 5
1-
5
2
+
2
5 =− 5
1-
, ta được
Chọn C.
Câu 16.Ta có
Thay
ìï
ìï
ïï tan a =- 2
ïï cosa = ± 1- sin2 a = ± 2 2
ïí
ïí
4
3
2 2
ïï 0
ïï
cos
a
=0
ïïî 90 < a < 180
ï
cot
a
=2
2
3 → ïî
→
ìï
ïï tan a = - 2
ïí
4
ïï
ïïî cot a = - 2 2
Câu 17.Ta có
vào
P
P=
26- 2 2
9
, ta được
. Chọn C.
ìï
ìï
ïï sin a = ± 1- cos2 a = ± 4
ïï tan a = ïï
ïï
5
í
í
ïï p
4 ïï
sin a = ïï - < a < 0
ï cot a = 5 ïïî
→
îï 2
.
4
3
3
4
.
Thay
Câu 18.
ìï
ïï tan a =ïï
í
ïï
ïï cot a = ïî
4
3
3
4
P =4
P
vào , ta được
. Chọn A.
1
1
3
3
2
sin x + cos x = ⇒ ( sin x + cos x ) = ⇔ 2 sin x.cos x = − ⇒ sin x.cos x = −
2
4
4
8
sin x, cos x
Khi đó
là nghiệm của phương trình
sin x + cos x =
Ta có
1+ 7
sin x =
4
1− 7
1
3
X2 − X − =0
sin x =
4
⇒
2
8
1
2 ⇒ = 2 ( sin x + cos x ) = 1
sin x =
1+ 7
5+ 7
3sin x + 2 cos x =
4 ⇒
4
sin x =
1− 7
5− 7
=
4 ⇒ 3sin x + 2 cos x
4
+) Với
+) Với
.
Chọn A
A = a cos x + 2b sin x.cos x + c sin x
2
Câu 19.
2
⇔
A
= a + 2b tan x + c tan 2 x
2
cos x
2
2b 2
2b
2b
A 1 +
= a + 2b
+ c
÷
2
2
÷
a−c ÷
÷
A
1
+
tan
x
=
a
+
2
b
tan
x
+
c
tan
x
a
−
c
a −c
⇔
⇔
(
)
( a − c ) + ( 2b )
A
2
( a − c)
2
⇔
2
( a − c ) + ( 2b )
A
2
( a − c)
2
⇔
a ( a − c ) + 4b 2 ( a − c ) + c 4b 2
2
=
( a − c)
2
a ( a − c ) + 4b 2 a
2
=
( a − c)
Chọn B
( 1− t )
Câu 20.
Đặt
cos 2 α = t ⇒
a
2
2
+
t2
1
=
b a+b
2
=
(
a. ( a − c ) + 4b 2
2
( a − c)
2
)
⇔ A=a
.
⇔ b ( 1 − t ) + at 2 =
2
ab
ab
ab
⇔ at 2 + bt 2 − 2bt + b =
⇔ ( a + b ) t 2 − 2bt + b =
a+b
a+b
a+b
b
2
⇔ ( a + b ) t 2 − 2b ( a + b ) t + b 2 = 0 ⇔ t = a + b
cos 2 α =
Suy ra
b
a
;sin 2 α =
a+b
a+b
sin 8 α cos8 α
a
b
1
+
=
+
=
3
4
4
3
3
a
b
( a + b) ( a + b) ( a + b)
Vậy:
Chọn C
DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
I. PHƯƠNG PHÁP :
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ, mối liên hệ của các cung
đặc biệt và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi
+ Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi
hai vế cùng bằng một đại lượng khác.
+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc
x
hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử
chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau.
II. VÍ DỤ MINH HỌA :
A=
cos 7500 + sin 420 0
sin ( −3300 ) − cos ( −3900 )
Ví dụ 1 : Biểu thức
A.
−3 − 3
.
B.
2−3 3
có giá trị rút gọn bằng
2 3
3 −1
C.
.
.
1− 3
3
D.
.
Lời giải
Chọn A.
cos 300 + sin 600
2 3
A=
=
= −3 − 3
0
0
sin 30 − cos 30 1 − 3
Ví dụ 2 : Đơn giản biểu thức
A = cos a + sin a
A.
.
Lời giải
.
π
A = cos α − ÷+ sin ( α − π )
2
B.
A = 2sin a
.
, ta được:
A = sin a – cos a
C.
.
D.
A=0
.
