PTCNN PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

Để download toàn bộ file word các bạn add fr & inbox cho cô Kim Anh để được add vào nhóm kín
Trung tâm sẽ thu phí 1 lần duy nhất là 150k cho toàn bộ tài liệu file word của các chuyên đề & đề
cương bám sát & nâng cao dạy ôn cho học sinh các trường chuyên.
Link Facebook cô Kim Anh: Triệu Kim Anh

HÌNH HỌC 12
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I.

Tọa độ của vecto và điểm trong không gian

1. Định nghĩa.





u  x ; y; z   u  x .i  y.j  z .k





A x ; y; z   OA  x .i  y.j  z .k .

2. Tính chất.



Cho u  x ; y; z , v  x ; y ; z  .







x  mx 



 



u  v  x  x ; y  y ; z  z  ; k .u  kx ; ky; kz  với k   ; u  m.v  y  my  với m   .


z  mz 



 


 
x  y z 

(với xyz  0 ).
 
u, v cùng phương u  0  k   sao cho v  k .u hay
x
y
z






2
u  u  x 2  y2  z 2 .




 
 
u.v  u . v .cos u; v  xx   yy   zz  ;




  
 
u.v
u, v  0 : cos u; v    
u .v




AB  x B  x A ; yB  yA  ;





Điểm M chia đoan thẳng AB A  B  theo tỷ số k  1 , tức là MA  k .MB . Khi đó tọa độ điểm

 

 

M là: x M 


x A  kx B
1k

; yM 

x 2  y 2  z 2 . x 2  y 2  z 2

AB 

yA  kyB
1k

x

 x A   yB  yA   z B  z A  .
2

B

z A  kz B

; zM 

1k

Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: x I 

Trang 1

 
và u  v  xx   yy   zz   0 .

xx   yy   zz 

xA  xB
2

2

2

.
; yI 

yA  yB
2

; zI 

Trung tâm Luyện Thi 123

zA  zB
2

.


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086





x  x B  xC

xG  A


3




y

y
 yC
B
G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó tọa độ của G là: yG  A
.

3


z  z B  zC


zG  A


3







x A  x B  xC  x D


x


G

4



y

y

yC  yD
B
G là trọng tâm của tứ diện ABCD, khi đó tọa độ của G là: yG  A
.

4


z  z B  zC  z D


zG  A


4



3. Tích có hướng của hai vecto.






y
 





Với u  x ; y; z , v  x ; y ; z  . Ta có u, v   
   y 

z

z

;
z z

x

x

;

x x

y 
 .
y  

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,
0

0;
u
,
0

0;
u

,
v


v
,
u
;
u
,
v

u
.
v
.sin
u
, v .h
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
u, v  là một vecto vuông góc với cả hai vecto u, v .
 
 

 
 
u, v là hai vecto cùng phương khi và chỉ khi u, v   0 .
 

 

4. Ứng dụng tích có hướng.
 
 


 
 
 a, b, c đồng phẳng  a, b  .c  0 ; a, b, c không đồng phẳng  a, b  .c  0 .
 
 
  
  




 A, B, C, D đồng phẳng  AB, AC  .AD  0 ; ABCD là một tứ diện  AB, AC  .AD  0 .





 
1  


 Hình bình hành ABCD: S  AB, AD  ;
Tam giác ABC: S  AB, AC


2
  


 Khối hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V  AB, AD  .AA



II.



Khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’: V 



1
Khối tứ diện ABCD: V 
6

1
2

  


AB
 , AC  .AA



  


AB, AC  .AD



Phương trình mặt cầu

1. Phương trình chính tắc:
Trang 2

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

Mặt cầu (S) có tâm I a;b; c  , bán kính R có phương trình chính tắc là:

x  a 

2

 y  b   z  c   R 2
2

2

2. Phương trình tổng quát:





x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 a 2  b 2  c 2  d  0
Khi đó I a;b; c , R  a 2  b 2  c 2  d .
III. Phương trình mặt phẳng:



Mặt phẳng đi qua M x 0 ; y 0 ; z 0  và có vecto pháp tuyến n A, B,C  có phương trình tổng quát là
A x  x 0   B y  y 0   C z  z 0   0, A2  B 2  C 2  0 .





Mỗi mặt phẳng có dạng: Ax  By  Cz  D  0 A  B  C  0 , n A; B;C  là một vecto



2

2

2



pháp tuyến của mặt phẳng đó.


A a; 0; 0, B 0;b; 0,C 0; 0; c abc  0

Mặt phẳng (P) đi qua

có phương trình là:

x y z
   1.
a b c
IV.

Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng.


Đường thẳng đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0  và có 1 vecto chỉ phương là u a;b; c  có:





x  x 0  at


Phương trình tham số là: 
y  y 0  bt với tham số t   .


z  z 0  ct






Phương trình chính tắc là:

x  x0
a



y  y0
b



z  z0
c

với điều kiện abc  0 .

2. Giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cho P   Q   d với P  : Ax  By  Cz  D  0, Q  : A x  B y  C z  D   0 .


Ax  By  Cz  D  0
Đường thẳng d gồm các điểm M x ; y; z  có tọa độ thỏa mãn hệ 
.
 

A x  B y  C z  D   0



 




Khi đó u  nP , nQ  là một vecto chỉ phương của d, với nP A, B,C , nQ A; B ;C  .


V.

Công thức góc và khoảng cách trong không gian tọa độ.
Trang 3

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086




Mặt phẳng (P) có một vtpt nP và mặt phẳng (Q) có một vtpt nQ . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng





(P) và (Q) tính theo công thức: cos P , Q 

 
n
.n
 
P Q
 cos nP , nQ    .
nQ . nQ







 
u.u 
 


Đường thẳng d có 1 vtcp u và đt d  có 1 vtcp u  : cos d, d   cos u, u     .
u . u



 
u.n
 


Đt d có 1 vtcp u và mp(P) có 1 vtpt n . Khi đó: sin d, P   cos u, n    .
u .n



Hai điểm phân biệt A, B: AB 



Khoảng cách từ M x 0 , y 0 , z 0  đến P  : Ax  By  Cz  D  0 được tính theo công thức

 







VI.

B



A2  B 2  C 2

 

 x A   yB  yA   z B  z A  .
2

Ax 0  By 0  Cz 0  D

d M , P  



x



2

2

.

 



u, AM 
Khoảng cách từ A đến d biết d đi qua M và có 1 vtcp u là: d A, d      .
u


Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d . Biết d đi qua M và có 1 vtcp u , d  đi qua M’ và có 1
  
 

u, u  .MM 
vtcp u  : d d, d     
.
 
u, u 



Vị trí tương đối của các thành phần:

1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng.
Cho 2 mặt phẳng   : A1x  B1y  C 1z  D1  0,   : A2x  B2y  C 2z  D2  0 .


A1

     A



2



A1

 ||    A



2



     A A
1

Trang 4

2

B1
B2
B1
B2





C1
C2

C1
C2





D1
D2
D1
D2

.

.

 B1B2  C 1C 2  0 .

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086


 cắt    A

1

: B1 : C 1  A2 : B2 : C 2 .

2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng.



Cho đường thẳng 1 đi qua M 1 và có 1 vtcp u1 , 2 đi qua M 2 và có 1 vtcp u2 .




  


Nếu u1, u2  .M 1M 2  0 thì 1, 2 chéo nhau.



  


Nếu u1, u2  .M 1M 2  0 khi đó 1, 2 đồng phẳng, có 3 khả năng sau:


  





u
 1, u2  .M 1M 2  0



 
.
 1  2     

 


u
,
u

u

,
M
M

0

 1 2  1 1 2

 



 






u
,
u

0


 1 2 
 1 || 2  
     .



u1, M 1M 2   0













u1, u2  .M 1M 2  0

 1 cắt 2  
.
    

u
,
u

0



1

2





3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.


Xét đường thẳng  đi qua điểm A và có 1 vtcp u ; mặt phẳng   có vtpt n .





 


u
 .n  0
.
 ||    


A


,
A








 


u.n  0
.
     


A  , A   



 


     u  k .n (tức là u, n cùng phương).

4. Vị trí tương đối điểm, đường thẳng, mặt phẳng đối với mặt cầu.
 Vị trí tương đối của điểm và mặt cầu (S).
 Nếu IA  R  A nằm ngoài mặt cầu (S).
 Nếu IA  R  A nằm trong mặt cầu (S).
 Nếu IA  R  A nằm trên mặt cầu (S).
 Vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).





 Nếu d I , P   R thì (P) tiếp xúc với (S). Tọa độ tiếp điểm là hình chiếu của I lên (P).

Trang 5

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086





 Nếu d I , P   R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn, tâm của đường tròn





là hình chiếu của I lên (P), bán kính hình tròn r  R 2  d 2 I , P  .





 Nếu d I , P   R thì (P) và (S) không có điểm chung.
 Vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt cầu (S).
 Nếu d I , d   R thì d tiếp xúc với (S). Tọa độ tiếp điểm là hình chiếu của I lên d.
 Nếu d I , d   R thì d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B. Độ dài dây cung AB được xác
định bởi AB  2 R 2  d 2 I , d  .
 Nếu d I , d   R thì d và (S) không có điểm chung.
VII. Các công thức về phân giác
1. Mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng giao nhau.
Cho 2 mặt phẳng   : A1x  B1y  C 1z  D1  0,   : A2x  B2y  C 2z  D2  0 .
Khi đó phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng  ,   là:

A1x  B1y  C 1z  D1
A12  B12  C 12



A2x  B2y  C 2z  D2
A22  B22  C 22

2. Phương trình đường phân giác trong và ngoài của tam giác.
Cho tam giác ABC, khi đó đường phân giác của góc A có vecto chỉ phương là:


1 
1 
u
AB 
AC
AB

AC
 Dấu + ứng với phân giác trong của góc A.
 Dấu – ứng với phân giác ngoài của góc A.



 
Đặc biệt: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì ta có AB.CI  BC .AI  CA.BI  0 .
3. Đường phân giác của 2 đường thẳng cắt nhau.

 
Hai đường thẳng d1, d2 cắt nhau tại điểm A x 0 ; y 0 ; z 0  và có vecto chỉ phương lần lượt là u1, u2 thì

đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có vecto chỉ phương được xác định theo công thức:

1 
1 
u   u1   u2 .
u1
u2
Chi tiết có hai phân giác:

Trang 6

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086



 

1 
1 
Nếu u1.u2  0  u   u1   u2 là vtcp của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường
u1
u2

1 
1 
thẳng và u   u1   u2 là vtcp của phân giác tại bởi góc tù giữa hai đường thẳng.
u1
u2



 

1 
1 
Nếu u1.u2  0  u   u1   u2 là vtcp của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng
u1
u2
và là vtcp của phân giác tại bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng.

VIII. Phương pháp tọa độ trong không gian.
Bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian được giải theo các bước:


B1: Lập hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian.



B2: Tìm tọa độ các điểm.



B3: Chuyển yêu cầu của bài toán hình học không gian sang yêu cầu của bài toán với vecto – tọa
độ.



B4: Thực hiện tính toán.

Trang 7

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

B. HỆ THỐNG BÀI TẬP
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Xác định tọa độ của vecto và của điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 1:

 


1. Cho các vecto a 2; 3;1 và b sin 5t; cos 3t; sin 3t  . Tìm t để a  b .






 

2. Cho vecto a 2 2; 1; 4 . Tìm vecto b || a biết b  10 .






 

3. Cho vecto a 2; 1; 0 . Tìm vecto b || a biết a.b  10 .

Bài 2:



 
1. Tìm tọa độ của vecto u vuông góc với trục Ox biết u  a 3;6; 8 và u  1 .


 
 


2. Tìm tọa độ của vecto u biết u  3; u  a 1;1;1; u  b 1; 1; 3 và u tạo với tia Oz một góc tù.

Bài 3:
1. Cho A 2;5; 3, B 3;7; 4,C x ; y;6 . Hãy tìm x, y để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
2. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Biết A 1; 0;1, B 2;1;2, D 1; 1;1,C  1;1; 0 . Tìm tọa độ các
đỉnh của lại của hình hộp.
Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A 1; 0;1, B 1;1;2,C 1;1; 0 .
1. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy sao cho tam giác BCM cân tại M.
Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A 0; 1; 0, B 0; 0;2,C 0;1;2 .
1. Chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
2. Kẻ đường phân giác AE trong tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm E.
Bài 6:
1. Tìm điểm M thuộc trục Oy biết M cách đều hai điểm A 3;1; 0, B 2; 4;1 .
2. Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (Oxz) biết N cách đều 3 điểm A 1;1;1, B 1;1; 0,C 3;1; 1 .
Bài 7:
1. Cho 3 điểm A 1; 1;2, B 1;2; 0,C 3; 1;1 . Hãy tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho

MA2  MB 2  MC 2 là nhỏ nhất.

Trang 8

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

2. Cho 3 điểm A 1; 1;2, B 2;1; 0,C 0;1; 1 . Hãy tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho

MA2  MB 2  MC 2 là nhỏ nhất.
Bài 8: Cho tam giác ABC có A 1;2;1, B 5; 3; 4,C 8; 3;2 .
1. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy sao cho MA2  MB 2  MC 2 là nhỏ nhất.
Bài 9: Cho các điểm A 3; 2;5, B 2;1; 3,C 5;1; 1 .
1. Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn.
2. Tìm điểm D thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tứ diện ABCD là tứ diện trực tâm (có các cặp cạnh
đối vuông góc với nhau).
Bài 10: Cho hai điểm A 1;6;6, B 3; 6;2 .
1. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA  MB là nhỏ nhất.
 
2. Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho EA  EB là nhỏ nhất.
3. Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho NA  NB là lớn nhất.
Dạng 2: Xét sự đồng phẳng của các vecto. Biểu diễn một vecto cho trước theo 3 vecto không đồng
phẳng.
Bài 11:

  
1. Xét sự đồng phẳng của 3 vecto u, v, w trong mỗi trường hợp sau:



a) u  1; 1;1, v  0;1;2, w  4;2; 3 .




 
 


 
b) u  4i  2 j  5k ; v  3i  j  3k ; u  2i  k .



2. Cho u 2; 1;1, v m; 3; 1, w 1;2;1 . Tìm m để 3 vecto đã cho đồng phẳng.




3. Cho u 1;2; 3, v 2;1; m , w 2; m;1 . Tìm m để 3 vecto đã cho không đồng phẳng.



Bài 12: Cho các vecto u 3;7; 0, v 2; 3;1, w 3; 2; 4 . Chứng minh 3 vecto không đồng phẳng. Khi đó
  

hãy biểu diễn vecto a 4; 12; 3 theo 3 vecto u, v, w .

Dạng 3: Các bài toán về tính diện tích và thể tích trong không gian.
Bài 13:
1. Cho 4 điểm A 1;1;1, B 2; 3; 4,C 6;5;2, D 7;7;5 . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình
bình hành. Tính diện tích của hình bình hành đó.
Trang 9

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

2. Tam giác ABC có các đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz và có trọng tâm
G 1;2; 1 . Tính diện tích của tam giác ABC.

3. Cho A 1;2; 1, B 2;1; 3 . Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho tam giác AMB có diện tích nhỏ
nhất.
Bài 14: Cho 4 điểm A 1; 0;1, B 1;1;2,C 1;1; 0, D 2; 1; 2 .
1. Chứng minh 3 điểm B, C, D không thẳng hàng; 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
2. Tính diện tích tam giác BCD và độ dài đường cao BH của tam giác BCD.
3. Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ A của tứ diện.
Bài 15: Cho các điểm A 1;1; 0, B 0;2;1,C 1; 0;2, D 1;1;1 .
1. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
2. Tìm tọa độ trọng tâm J của tam giác ABC và tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
3. Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD và độ dài các đường cao của tứ diện ABCD.
Bài 16:
1. Cho tam giác ABC có A 1; 0; 0, B 0; 0;1,C 2;1;1 . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoài
tiếp của tam giác ABC.
2. Cho tứ diện ABCD có A 2;1; 1, B 3; 0;1,C 2; 1; 3 và điểm D thuộc trục Oy. Tìm tọa độ
điểm D biết thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 5.
Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu
Bài 17: Viết phương trình mặt cầu:
1. Có tâm J 1; 0; 1 và đường kính bằng 8.
2. Có đường kính AB với A 1;2;1, B 0;2; 3 .
3. Có tâm J 3; 2; 4 và đi qua A 7;2;1 .

4. Có tâm J 2; 1; 3 và tiếp xúc với mp(Oxy).
5. Có tâm J 2; 1; 3 và tiếp xúc với mp(Oxz).
6. Có tâm O 0; 0; 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm K 3; 2; 4 , bán kính R = 1.
Bài 18:
1. Cho B 0; 0;2,C 0;1;2, D 1; 0; 1 . Viết phương trình mặt cầu có tâm J thuộc mặt phẳng (Oyz)
biết mặt cầu đi qua 3 điểm B, C, D.
2. Viết phương trình mặt cầu đi qua A 3; 1;2, B 1;1; 2 và có tâm K thuộc trục Oz.
Trang 10

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

3. D – 2008 Cho 4 điểm A 3; 3; 0, B 3; 0; 3,C 0; 3; 3, D 3; 3; 3 .
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
4. A – 2011 NC Cho mặt cầu S  : x 2  y 2  z 2  4x  4y  4z  0 và điểm A 4; 4; 0 . Viết
phương trình mặt phẳng (OAB) biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Dạng 5: Tập hợp điểm là mặt cầu.
Bài 19:
1. Cho 4 điểm A 2; 0; 0, B 0; 4; 0,C 0; 0;6, D 2; 4;6 . Tìm tập hợp các điểm M trong không gian

   
sao cho MA  MB  MC  MD  4 .
2. Cho 4 điểm A 1; 1;2, B 2;1; 0,C 1;1;1, D 2; 3;1 . Tìm tập hợp các điểm M sao cho

MA2  MB 2  MC 2  MD 2  100 .

3. Cho 3 điểm A a; 0; 0, B 0;b; 0,C 0; 0; c  . Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho

MA2  MB 2  MC 2  MO 2 với O là gốc tọa độ.
Bài 20: Cho 4 điểm A 1;2;1, B 2; 0; 1,C 1; 3; 4, D 0; 2;2 . Chứng minh rằng tập hợp các điểm M
sao cho MA2  MB 2  MC 2  4MD 2 là một mặt cầu. Viết phương trình mặt cầu đó.

Trang 11

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 21:
1. Viết phương trình của mặt phẳng trong các trường hợp sau:

a) Đi qua điểm M 2; 0;1 và nhận n 1;1;1 làm vecto pháp tuyến.


b) Đi qua điểm E 1; 0; 0 và song song với giá của hai vecto u 0;1;1, v 1; 0;2 .

c) Đi qua 3 điểm M 1;1;1, N 4; 3;2, E 5;2;1 .
d) Đi qua điểm M 1; 3; 2 và vuông góc với trục Oy.
e) Đi qua điểm M 1; 3; 2 và vuông góc với EF biết E 0;2; 3, F 1; 4;1 .
f) Đi qua điểm M 1; 3; 2 và song song với mặt phẳng   : 2x  y  3z  4  0 .
2. Tìm m để 4 điểm A 1;2;1, B 2; m; 0,C 4; 2;5, D 6;6;6 đồng phẳng.

Bài 22: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
1. Là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB biết A 1; 2; 4, B 3;6;2 .
2. Đi qua 2 điểm E 3;1; 1, F 2; 1; 4 và vuông góc với mặt phẳng   : 2x  y  3z  4  0 .
3. Đi

qua

N 2; 3;1

và

vuông

góc

với

2

mặt

phẳng

 : 2x  y  2z  5  0,

  : 3x  2y  z  3  0 .
4. Đi qua M 2; 1;2 , song song với Oy và vuông góc với mp   : 2x  y  3z  4  0 .
Bài 23:
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M 1;2; 4 , cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt
tại A, B, C sao cho OA  OB  OC  0 .

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm H 2;1;1 và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho
H là trực tâm của tam giác ABC.
Bài 24:
1. Cho mặt cầu S  : x 2  y 2  z 2  6x  2y  4z  5  0 và điểm M 4; 3; 0 . Viết phương trình
mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu S  : x  1  y  1  z 2  4 .
2

Trang 12

Trung tâm Luyện Thi 123

2


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

a) Biết mp(Q) vuông góc với 2 mặt phẳng   : x  y  z  2  0,   : 2x  y  z  1  0 .
b) Biết mp(Q) song song với mặt phẳng P  : x  2y  2z  1  0 .
3. Viết phương trình mp(Q) đi qua M 0; 3; 3 , biết mp(Q) vuông góc với mp P  : 3y  2z  0 và
mp(Q) tiếp xúc với mặt cầu S  : x  1  y  1  z  2  1 .
2

2

2

Bài 25:

 1 
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M 1; ; 0 và vuông góc với mặt phẳng
 2 

P  : 3x  2z  0 , đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S  : x

2

 y2  z 2  1.

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua E 1;2; 1, F 1; 1;1 và tiếp xúc với mặt cầu

S  : x

2

 y2  z 2  1.

3. D – 2013 NC Cho điểm A 1; 3; 2 và mặt phẳng P  : x  2y  2z  5  0 . Tính khoảng
cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với (P).
Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu liên quan đến phương trình mặt phẳng
Bài 26: (TN-THPT 2003) Cho các điểm A 1; 1;2, B 1; 3;2,C 4; 3;2, D 4; 1;2 .
1. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng.
2. Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng (Oxy). Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A’,
B, C, D. Khi đó viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại A’.
Bài 27:
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm J 2;1;1 biết mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng

 : x  2y  2z  5  0 .

2. Cho các điểm M 3; 2; 2, N 3;2; 0, E 0;2;1, F 1;1;2 . Viết phương trình mặt cầu tâm M,
tiếp xúc với mp(NEF).
Bài 28: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm J 4;1;1 và cắt mặt phẳng   : x  2y  2z  1  0
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính R  2 2 .
Bài 29:
1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A 1; 0; 0, B 0;1; 0,C 0; 0;1 và có tâm J thuộc mặt
phẳng Q  : x  y  z  3  0 .
Trang 13

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm A 1;2; 1, B 1; 0; 3,C 3; 2;1 sao cho mặt
cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng Q  : x  3  0 .
3. D – 2004 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A 2;1; 0, B 1; 0; 0,C 1;1;1 và có tâm thuộc mặt
phẳng P  : x  y  z  2  0 .
4. D – 2012 Chuẩn Cho mặt phẳng P  : 2x  y  2z  10  0 và điểm I 2;1; 3 . Viết phương
trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.
Dạng 8: Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Bài 30:
1. Cho mp P  : x  2y  2z  1  0 và mặt cầu S  : x 2  y 2  z 2  4x  6y  6z  17  0 . Tìm
tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của mp(P) và mc(S).
2. Cho mặt cầu S  : x 2  y 2  z 2  2x  4y  6z  0 . Xác định các giao điểm A, B,C  O của
(S) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Từ đó xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
3. D – 2014 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P  : 6x  3y  2z  1  0 và

mặt cầu S  : x 2  y 2  z 2  6x  4y  2z  11  0 . CMR mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo
giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C).
4. A – 2009 Chuẩn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

P  : 2x  2y  z  4  0 và mặt cầu S  : x

2

 y 2  z 2  2x  4y  6z  11  0 . CMR: (P) cắt

(S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của (C).
5. A + A1 NC

Cho S  : x 2  y 2  z 2  2x  4y  2z  8  0 . Chứng minh rằng mặt phẳng

P  : 2x  3y  z  11  0 tiếp xúc với mặt cầu. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 31:
1. Tìm  để 2 mặt phẳng P  : 4x  y  4z  20  0, Q  : x sin   y cos   z sin 3   2  0
vuông góc với nhau.
2. Cho 2 mặt phẳng P  : 2x  my  3z  m  6  0, Q  : m  3 x  2y  5m  1 z  10  0
Tìm m để 2 mặt phẳng đó: song song; cắt nhau; trùng nhau; vuông góc với nhau?

Trang 14

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086
3. Cho

3

mặt

 : x  y  z  6  0,   : mx  2y  z  m  1  0 ,

phẳng

  : mx  m  1y  z  2m  0 . Tìm m để 3 mặt phẳng đó đôi một vuông góc với nhau. Khi
đó tìm giao điểm chung của 3 mặt phẳng đó.
Bài 32:
1. CMR: mp P  : x  2y  2z  10  0 tiếp xúc với S  : x 2  y 2  z 2  6x  2y  4z  5  0 .
2. Chứng minh rằng mặt cầu

S  : x

2

 y 2  z 2  2x  2y  4z  19  0

và mặt phẳng

P  : x  2y  2z  9  0 cắt nhau. Tìm bán kính của đường tròn giao tuyến.
Dạng 9: Tìm tọa độ của điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 33:
1. Tìm trên trục Oy điểm cách đều 2 mp P  : x  y  z  1  0 và Q  : x  y  z  5  0 .

2. Cho 2 điểm E 0; 0; 3, F 2; 0; 1 và mp P  : 3x  8y  7z  1  0 . Tìm tọa độ điểm G thuộc
mặt phẳng (P) sao cho tam giác EFG đều.
3. Tìm tọa độ F đối xứng với E 2; 3;5 qua mặt phẳng   : 2x  3y  z  17  0 .
Bài 34: Cho A 1;2; 1, B 1;1;1,C 1; 0;1 .
1. Chứng minh tứ diện OABC là tứ diện vuông đỉnh O.
2. Chứng minh ngoài điểm O, còn có 1 điểm S duy nhất sao cho tứ diện SABC là tứ diện vuông đỉnh
S. Tìm tọa độ điểm S.
3. Mp(Oxy) chia tam giác ABC thành 2 phần, tính tỷ số diện tích của 2 phần đó.
Bài 35:
1. Cho P  : 5x  3y  z  6  0 và S  : x 2  y 2  z 2  4x  6y  8z  6  0 . Chứng minh rằng
mp(P) tiếp xúc với mc(S). Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Cho điểm E 3;1; 1 và đường thẳng d là giao tuyến của 2 mp P  : 4x  3y  13  0 và

Q  : y  2z  5  0 . Tìm tọa độ điểm F đối xứng với E qua đường thẳng d.
Bài 36: Cho S 3;1; 2, A 5; 3; 1, B 2; 3; 4,C 1;2; 0 .
1. CMR hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và 3 mặt bên là các tam giác vuông cân.
2. Tìm tọa độ D đối xứng với C qua đường thẳng AB.
Dạng 10: Khoảng cách và góc liên quan đến phương trình mặt phẳng
Bài 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M 1;2; 1, N 1;1;1, E 1; 0;1 .
1. Tính góc giữa mp(MNE) với mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz).
Trang 15

Trung tâm Luyện Thi 123


Cô Kim Anh - 0945066086

Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

2. Viết phương trình mp(Q) đi qua đi qua 2 điểm M, N sao cho khoảng cách từ E đến mp(Q) bằng

2
26

.

Bài 38:
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mp Q  : 2x  y  z 5  0 một góc 600.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua E 3; 0; 0, F 0; 0;1 và tạo với mp(Oxy) một góc 600.
Bài 39: Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua G 2;1; 1 viết mp(Q) vuông góc với
mp P  : x  2y  z  1  0 và mp(Q) tạo với mp(Oxy) một góc bằng 450.

Trang 16

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 40: Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau đây:

1. Đi qua A 2; 0; 1 và có vtcp u 1; 3;5 .
2. Đi qua B 2;1;2 và song song với trục Oz.
3. Đi qua 2 điểm C 2; 3; 1, D 1;2; 4 .




x  1  2t



4. Đi qua E 4; 3;1 và song song với đường thẳng  : y  3t .


z  3  2t



5. Đi qua F 1;2; 1 , song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng P  : x  y  z  3  0 và

Q  : 2x  y  5z  4  0 .
6. Đi qua G 2;1; 0 và vuông góc với mặt phẳng R  : x  2y  2z  1  0 .
7. Đi qua H 2; 1;1 và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là


u1 1;1; 2 và u2 1; 2; 0 .



x  1  2t



Bài 41: Cho đường thẳng d : y  2  3t .


z  3 t




1. Viết phương trình tham số của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mỗi mặt phẳng sau:
(Oxy), (Oyz) (Ozx).
2. Viết phương trình tham số của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng

Q  : x  y  z  7  0 .
Bài 42: Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc) đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau:
1. Đt d :

x 2 y 3 z  4
x 1 y 4 z 4


và đt d  :


.
2
3
5
3
2
1






x  2 t
x  2  2t 






2. Đt d : y  1  t và đt d  y  3
.




z  2t
z  t







Trang 17

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086




x  2y  z  1  0
P  : x  y  3z  1  0
3. Đt 1  P   Q  : 
và đt 2       : 
.



x

y

z

1

0
Q
:
2
x

y

z


0











P  : x  y  z  1  0
  : 2x  y  z  2  0
Bài 43: Cho 1  P   Q  : 
và 2       : 


Q : x  2y  z  1  0
 : x y z 2  0




 
 
1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 2; 1; 3 sao cho d  1 và d cắt 2 .
2. Viết phương trình đường thẳng d  vuông góc với mp   : 2x  y  3z  1  0 , biết đường thẳng
d  cắt cả hai đường thẳng 1, 2 .

Bài 44: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm B 1;2; 3 biết



x  2 t



.
d || Q  : x  2y  z  0 và d vuông góc với  : y  0


z  3 t






x 1 y 1 z 2
P  : x  y  z  3  0
Bài 45: Cho 1  P   Q  : 
và đường thẳng 2 :


.

Q
:

2
x

y

z

2

0
2
1
1





Chứng minh 1, 2 chéo nhau. Khi đó viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M 1;2; 3
cắt cả 1, 2 .
Bài 46:
1. Cho

đường

thẳng



P  : x  y  z  3  0

  P   Q  : 

Q : x y  z 1  0


 

và

mặt

phẳng

 : 2x  y  3z  0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d nằm trong mp  biết d
cắt và vuông góc với  .
2. Cho các điểm A 0;1;2, B 2; 3;1,C 2;2; 1 . Viết phương trình đường phân giác trong góc B
của tam giác ABC.
Bài 47: Cho tam giác ABC có C 3;2; 3 . Biết rằng đường cao AH:
phân giác trong BM:

x 2 y 3 z 3


và đường
1
1
2

x 1 y  4 z  3



. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và tính chu
1
2
1

vi tam giác ABC.
Bài 48: Cho đường thẳng d :
Trang 18

x 3 y 2 z 1


và mp P  : x  y  z  2  0 .
2
1
1
Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086
1. Tìm tọa độ giao điểm M của d và (P).

2. Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P) biết   d và khoảng cách từ M tới  bằng
42 .

Bài

49:

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz

cho

hai

đường

thẳng






P  : 2x  y  1  0
P  : 3x  y  z  3  0
d1  P1   Q1  :  1
và d2  P2   Q2  :  2
. Chứng


Q
:
x

y

z

1

0
Q
:
2
x

y

1

0









 1
 2
minh rằng d1, d2 cắt nhau. Khi đó viết phương trình đường phân giác của các góc tạo với d1, d2 .
Bài 50: Cho hai đường thẳng d1 :

x 1 y 1 z 1
x
y 1 z 3


; d2 : 

.
1
2
2
1
2
2

1. Chứng minh rằng d1, d2 cắt nhau tại điểm A.
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 2; 3;1 sao cho d cắt d1, d2 lần lượt tại N và E tạo
thành tam giác ANE cân tại A.
Bài 51:

1. B – 2004 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 4; 2; 4 và đường thẳng



x  3  2t



d : y  1  t
. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, cắt và vuông góc với d.


z  1  4t



2. A – 2005 Cho d :

x 1 y  3 z  3


và P  : 2x  y  2z  9  0 .
1
2
1

a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P).
b) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng 2.
3. D – 2006 Cho điểm A 1;2; 3 và d1 :

x 2 y 2 z 3
x 1 y 1 z 1


, d2 :


. Tìm
2
1
1
1
2
1

tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 . Viết phương trình đường thẳng  đi
qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 .



x  1  2t


x
y 1 z  2

4. A – 2007 Cho d1 : 

và d2 : y  1  t
.


2
1
1

z 3



a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau.

Trang 19

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp P  : 7x  y  4z  0 và cắt cả 2 đường
thẳng d1, d2 .
5. B – 2009 NC Cho P  : x  2y  2z  5  0 và hai điểm A 3; 0;1, B 1; 1; 3 . Trong các
đường thẳng đi qua A và song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B
đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
6. D – 2009 NC Cho đt  :

x 1 y 2
z



và mp P  : x  2y  3z  4  0 . Viết phương
2
1
1

trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng  .
7. D – 2011 Chuẩn Cho điểm A 1;2; 3 và đường thẳng d :

x 1 y
z 3
 
. Viết phương trình
2
1
2

đường thẳng  đi qua A, vuông góc với d và cắt trục Ox.
8. A + A1 – 2012 NC Cho d :

x 1 y
z 2
 
, P  : x  y  2z  5  0 và điểm A 1; 1;2 .
2
1
1

Viết phương trình đường thẳng  cắt d và (P) tại M, N sao cho A là trung điểm của MN.
9. THPTQG – 2015 Cho A 1; 2;1, B 2;1; 3 và mp P  : x  y  2z  3  0 . Viết phương trình

đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
10. B – 2013 NC Cho 2 điểm A 1; 1;1, B 1;2; 3 và đt  :

x 1 y 2 z 3


. Viết phương
2
1
3

trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với AB và  .
11. B – 2013 Chuẩn Cho điểm A 3;5; 0 , mp P  : 2x  3y  z  7  0 . Viết phương trình đường
thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng với A qua (P).
Bài 52:
1. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A 1;2; 3 và song song với 2 mặt phẳng

P  : 2x  y  2z  1  0, Q  : x  6y  2z  5  0 .
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A 3;2;1 , vuông góc và cắt đường thẳng

:

x
y
z 3
 
.
2
4
1

3. Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của hai đường thẳng

x 2 y 3 z  4
d1 :


,d
2
3
5 2

Trang 20



x  1  3t



: y  4  2t .


z  4 t



Trung tâm Luyện Thi 123

Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

Dạng 12: Viết phương trình mặt cầu liên quan đến phương trình đường thẳng
Bài 53: Cho 2 đường thẳng 1 :

x 7 y 3 z 9
x  3 y 1 z 1


và 2 :


.
1
2
1
7
2
3

1. Tìm điểm A thuộc 1 và điểm B thuộc 2 sao cho AB là đoạn vuông góc chung của 2 đường
thẳng đó.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với 1 tại A và tiếp xúc với 2 tại B.
Bài 54:
1. Cho mp P  : x  2y  z  5  0 và đt d :

x 1 y 1 z 3



. Viết phương trình mặt cầu
2
1
1

(S) có tâm J thuộc d biết mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và có bán kính R  6 .
2. Cho các điểm A 1;2; 1, B 0;2;1,C 1;1; 0 . Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C
và có bán kính bé nhất.
Bài 55:


P  : 5x  4y  3z  20  0
1. Cho  là giao tuyến của 2 mặt phẳng 
. Viết phương trình mặt cầu


Q
:
3
x

4
y

z

8

0






(S) có tâm J 2; 3; 1 , cắt  tại A và B sao cho AB  16 .
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm J 1; 0; 3 và cắt đt  :

x 1 y 1 z 1


tại hai điểm
2
1
2

A, B sao cho tam giác JAB là tam giác vuông.



P  : 2x  4y  z  7  0
3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đt   P   Q  : 
và

Q
:
4
x

5

y

z

11

0







  : x  2y  2z  2  0
mặt cầu (S) tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng 
.

  : 2x  y  2z  4  0




Bài 56:
1. B – 2012 Chuẩn Cho đường thẳng d :

x 1 y
z
 
và hai điểm A 2;1; 0, B 2; 3;2 . Viết

2
1 2

phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc d.
2. D – 2011 NC Cho đt  :

x 1 y  3 z

 và mp P  : 2x  y  2z  0 . Viết phương trình
2
4
1

mặt cầu có tâm thuộc  , bán kình bằng 1 và tiếp xúc với (P).

Trang 21

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

3. A – 2010 NC Cho điểm A 0; 0; 2 và đường thẳng  :

x 2 y 2 z  3


. Tính khoảng

2
3
2

cách từ A đến  . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt  tại hai điểm B, C sao cho BC = 8.
Bài 57: Cho 2 đường thẳng d1 :

x  3 y 1 z  5
x  3 y  3 z 1


, d2 :


. Chứng minh rằng
2
1
1
2
1
1

d1 || d2 . Khi đó viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d1, d2 và vó tâm J thuộc đường thẳng


P  : 2x  y  z  5  0
  P   Q  : 
.

Q  : x  3y  z  3  0





Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng có liên quan đến phương trình đường thẳng
Bài 58: Viết phương trình mp(Q) đi qua E 1;2; 1 biết:



  : x  y  z  3  0
1. Mp(Q) chứa đường thẳng        : 
.

 : x  y  z  1  0




2. Mp(Q) đi qua F 2;1; 3 và song song với đường thẳng d :

x 1 y 1 z  2


.
2
1
3

Bài 59:
1. Viết phương trình mp   đi qua G 2;1; 1 biết

 || d :

  P  : x  2y  z  1  0

và

x 1 y 1
z


.
2
1
1

2. Cho P  : x  2y  2z  1  0, d :

x 1 y  3 z

 . Viết phương trình mp(Q) chứa đường
2
3
2

thẳng d và vuông góc với mp(P).



x  3 t





P  : x  3y  z  0


Bài 60: Cho đường thẳng d : y  1  2t và d  P   Q  : 
.


Q : x  y  z  4  0





z 4



1. Viết phương trình mp   chứa đường thẳng d  và song song với đt d.
2. Viết phương trình mp   song song và cách đều hai đường thẳng d, d  .
Bài 61: Cho mc S  : x 2  y 2  z 2  10x  2y  26z  113  0 , đt d :

x  5 y  1 z  13


và đt
2

3
2



x  7  3t



d  : y  1  2t .


z 8



Trang 22

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với đt d.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với cả hai đường thẳng

d, d  .
Bài 62: Viết phương trình mp   tiếp xúc với mc S  : x 2  y 2  z 2  2x  6y  4z  15  0 biết:



P  : x  y  z  1  0
1. Mp   vuông góc với đt d  P   Q  : 
.

Q  : 2x  y  z  2  0




2. Mp   vuông góc với mp   : x  2y  z  1  0 và mp   song song với đường thẳng

d:

x  2 y 1 z 1


.
1
1
1



x 1 y 4 z 2
P  : x  y  2z  0
Bài 63: Cho 2 đt 1 :



và 2  P   Q  : 
.

Q  : 2x  y  z  2  0
2
3
1




1. Chứng minh rằng 1, 2 cắt nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa cả 2 đường thẳng 1, 2 .
Bài 64:
1. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua M 2;1; 0 biết   song song với đường thẳng



P  : x  2y  z  1  0
d  P   Q  : 
và mp   tạo với trục Oz một góc bằng 300.

Q : x y  z 1  0


 
2. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua E 2;1; 0 biết   || d :

x 1 y 1 z  3



và
2
1
2

  tạo với mp(Oxy) một góc bằng  cho trước. Tìm điều kiện của  để bài toán có nghiệm.
Bài 65: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua A 1; 1;2 biết mp   || d :

x 1 y 1 z 1


và
1
1
1

 tạo với mp(Oyz) một góc bằng 600.


P  : x  y  z  1  0
Bài 66: Viết phương trình mp   chứa đt   P   Q  : 

Q :y z  0


 
1. Biết      : 2x  3y  z  0 .
2. Biết   tạo với trục Oy một góc bằng 450.

Bài 67: Viết phương trình mặt phẳng (Q) trong mỗi TH sau:

Trang 23

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086



P  : 3x  y  z  1  0
1. Mp(Q) đi qua điểm M 2;1; 1 và chứa giao tuyến của 2 mp 
.

R
:
x

y

z

4

0








P  : x  y  z  3  0
2. Mp(Q) || mp   : x  y  z  2  0 và chứa giao tuyến của 2 mp 
.

R  : y  2z  4  0






P  : x  4y  5  0
3. Mp(Q) đi qua giao tuyến của 2 mp 
đồng thời mp(Q) vuông góc với

R  : 3x  y  z  2  0




mp   : 2x  z  7  0 .
Bài 68:
1. THPTQG – 2016 Cho 3 điểm A 3;2; 2, B 1; 0;1,C 2; 1; 3 . Viết phương trình mặt phẳng đi
qua A và vuông góc với BC. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BC.
2. A – 2014 Cho A 1; 0; 1 , đt d :

x 1 y 1
z


và mp P  : 2x  y  2z  1  0 . Tìm tọa
2
2
1

độ giao điểm của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Tìm tọa độ
hình chiếu vuông góc của A lên d.
3. B -2014 Cho mp P  : 2x  y  2z  1  0 và đt d :

x 2
y
z 3


. Tìm tọa độ giao điểm
1
2
3

của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P).
4. D -2013 Chuẩn Cho A 1; 1; 2, B 0;1;1 và P  : x  y  z  1  0 . Tìm hình chiếu vuông
góc vủa A lên (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (P).
5. A + A1 – 2013 Chuẩn Cho  :

x 6 y 1 z 2



và A 1;7; 3 . Viết phương trình mặt
3
2
1

phẳng (P) đi qua A và vuông góc với  . Tìm M thuộc  sao cho AM  2 30 .
6. B – 2012 NC Cho hai điểm A 0; 0; 3, M 1;2; 0 . Viết phương trình mp(P) qua A và cắt các trục
Ox, Oy tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
7. A + A1 – 2012 Chuẩn Cho đt d :

x 1 y
z 2
 
và điểm I 0; 0; 3 . Viết phương trình mặt
1
2
1

cầu (S) có tâm I, cắt d tại A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
8. D – 2010 Chuẩn Cho P  : x  y  z  3  0, Q  : x  y  z  1  0 . Viết phương trình mp(R)
vuông góc với mp(P) và mp(Q) sao cho khoảng cách từ O đến mp(R) bằng 2.

Trang 24

Trung tâm Luyện Thi 123


Chuyên đề: HÌNH GIẢI TÍCH OXYZ

Cô Kim Anh - 0945066086

9. B – 2009 Chuẩn Cho tứ diện ABCD có A 1;2;1, B 2;1; 3,C 2; 1;1, D 0; 3;1 . Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
10. A – 2008 Cho A 2;5; 3 và đt d :

x 1 y
z 2
 
.
2
1
2

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên đt d.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là ngắn nhất.
11. B – 2007 Cho mc S  : x 2  y 2  z 2  2x  4y  2z  3  0 và mp P  : 2x  y  2z  14  0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường
tròn có bán kính bằng 3.
b) Tìm điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) là lớn nhất? là nhỏ nhất?



x  1t


x
y 1 z 1
12. B – 2006 Cho A 0;1;2 , d1 : 


và d2 : 
y  1  2t .

2
1
1

z  2 t



a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1, d2 .
b) Tìm tọa độ M  d1, N  d2 sao cho A, M, N thẳng hàng.
13. A – 2006 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A 0; 0; 0, B 1; 0; 0, D 0;1; 0, A 0; 0;1 .
Gọi M, N là trung điểm của AB, CD.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C , MN .
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A C và tạo với mp(Oxy) một góc  biết cos  

1
6

.



P  : 8x  11y  8z  33  0
Bài 69: Viết phương trình mặt phẳng   chứa   P   Q  : 
và tiếp


Q  : x  y  2z  0




xúc với mặt cầu S  : x 2  y 2  z 2  4x  4y  4z  17  0 .
Dạng 14: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu
Bài 70: Xét vị trí tương đối giữa đt d và mp(P) cho bởi các phương trình sau:
1. d :

x  12 y  9 z  1


, P  : 3x  5y  z  2  0 .
4
3
1



x  2 t



2. d : y  3  4t , P  : 3x  3y  2z  5  0 .


z  3t





Trang 25

Trung tâm Luyện Thi 123