MỘT số DẠNG TOÁN TỔNG QUÁT TÍCH PHÂN NGUYÊN hàm THEO XU HƯỚNG TRẮC NGHIỆM

TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔNG QUÁT TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM
CHỐNG MÁY TÍNH

A. DẠNG 1:
1. Đề bài:

Cho
Tính
( Trong đó

là các hàm đã cho)

;

2. Kiến thưc cần nắm:
- giá trị tích phân không phụ thuộc cách ký hiệu biến.
=
- cách trình bày tích phân bằng phương pháp đổi biến
- tích chất tích phân
=
=- f(x) là hàm chẵn thì f(-x) = f(x)
- f(x) là hàm lẻ thì f(-x) = -f(x)
3. Phương pháp giải:
 Cách 1: sử dụng phương pháp đổi biến
Bước 1:

=

+

Sau đó đổi biến A(x)= u từ đó tính được tích phân dạng
Bước 2: đổi biến B(x)= t kết hợp

tính được ở bước 1

tính được tích phân
từ đó tính được
 Cách 2: sử dụng kỹ thuật chọn hàm (áp dụng cho 1 số bài)
4. Bài tập:
Câu 1: cho

tính I=
Lời giải:

xét tích phân I
đặt 2x= u => du=2dx => dx =
Dổi cận : x=0 =>u=0
x=2 =>u=8
Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 1


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai
 I=

=

= .16 =8

Câu 2: cho

tính

Đs :19
Câu 3: cho

tính

Đs : 11
Câu 4 : cho

tính

Đs : 8
Câu 5: cho

tính I=
Lời giải:

Xét tích phân



+ 20 =16



= -4

Xét tích phân I=

e2- 5

=

x2 = u => 2xdx =du => xdx =

Đặt

Dổi cận : x=0 => u=0
x=2 => u=4
+ e2- 5

 I=

.(-4) + e2- 5 = e2- 7

=
Câu 6:

=19 tính B=
Lời giải:

Xét tích phân


= 19

+ 14 = 19 

=5 (1)

Xét tích phân
Đặt: 5 - 3x = u => -3dx = du => dx = - du
Dổi cận : x=0 => u=5
x=2 => u = -1
 (1) 
Biên soạn: Lương Hữu Tiến

=5 

= -15
ĐT: 096.569.2690

Page 2


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai
Xét tích phân B=
=

=

=
Xét tích phân
Đặt 6x -7 =u => 6dx = du => dx= du
Dổi cận : x=1 => u= -1
x= 2 => u= 5

 B=

+ = .(-15) + = 2

Câu 7: cho

=8 tính

Câu 8: cho

=12 tính

Câu 9:

tính

Câu 10:

tính

Câu 11: cho F(x) là nguyên hàm của hàm số y=x2cos2x
cos22x)dx

giá trị của tích phân I=

A: 4(F(1)- F(0)) B: 4(F(2)- F(0))

C: 8(F(1)- F(0)) D: 8(F(2)- F(0))

Câu 12: cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thảo mãn

f(x)=6x2 .f(x3)-

. tính

A.2

B.4

C.-1

Câu 13. cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;3] và
Giá trị của tích phân:
A.6

D.6
;

.

là:
B.3

C.4

D.5

B. DẠNG 2:
ÁP DỤNG TÍNH CHẤT
1. Đề bài : Tính 1 giá trị tích phân còn lại khi biết 2 giá trị tích phân.
2. Dấu hiệu nhận biết:

-

Biết 2 giá trị tích phân tính giá trị tích phân thứ 3

-

Các cận liên tiếp nhau (mức độ cơ bản)

-

Biểu thức dưới dấu tích phân là giống nhau đều là hàm f

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 3


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai
-

Đối với bài khó đề bài để ở mức độ khó nhận dạng hơn như: các cận không liên tiếp
nhau, biểu thức dưới dấu tích phân không giống nhau. khi đó ta nhận dạng dựa trên
biết 2 tích phân tính giá trị tích phân thứ 3và có cùng biểu thức hàm f dưới dấu tích
phân. với dạng này ta kết hợp với dạng 1 để xử lý và đưa được về có đầy đủ các dấu
hiệu như trên .

3. Kiến thức bổ trợ
-

Các tính chất ở dạng 1.

-

Khi làm thường kết hợp dạng 1 để xử lý

4. Phương pháp giải
-

Bước 1: biến đổi kết hợp dạng 1 đưa về đầy đủ các dấu hiệu bên trên

-

Bước 2: áp dụng công thức

5. Bài tập
Câu 1: Cho

tính

;

Câu 2: ( Đề thi thử SGDĐT Hà Nội 2017)
cho hàm f(x) là hàm số chẵn , có đạo hàm trên [-6;6] . biết rằng
tính

;

Lời giải:

Do f(x) là hàm chẵn => f(-2x) =f(2x)
 tích phân
Đặt :

=

2x = u => 2dx= du => dx = du

Dổi cận : x=1 => u= 2
x=3 => u= 6
 I=

hay

Mà I=3 =>

=3 =>

Ta có

=6

=

= 8 + 6= 14

Dáp số : 14
Câu 3 : Cho hàm f(x) là hàm số chẵn , có đạo hàm trên [-6;6] . biết rằng
tính

;
Câu 4 : Cho
Câu 5: Cho
Biên soạn: Lương Hữu Tiến

; tính
;
ĐT: 096.569.2690

Page 4


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai
tính
câu 6: Cho

;

tính
câu 7: Cho

tính

;

câu 8: Cho

;

tính

SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

C. DẠNG 3:

Hay

-

1. Dấu hiệu nhận biết
và

Cho
Hay cho
Đặc biệt:

nếu V’(x) = hằng số

Cho

tính

tính
và

tính

. Khi đó đề bài chỉ có dạng :
(Thiếu đi 1 tích phân so với đề tổng quát)

Chú ý:

-ta dễ nhận thấy sẽ sử dụng tích phân từng phần để làm . Nhưng trong đề mức độ nhận
dạng sẽ khó đòi hỏi ta phải quan sát, cần lưu ý :
+ sẽ có 1 hàm chưa xác định
+ trong 2 tích phân xuất hiện sẽ thấy xuất hiện kí hiệu đạo hàm hoặc một biểu thức trong
tích phân này đạo hàm ra sẽ chưá 1 biểu thức nằm trong tích phân kia.
2. Phương pháp giải:
-

Lựa chọn khéo léo U và dV . sử dụng phương pháp tích phân từng phần

-

Ghi nhớ dV=V’.dx hay V’.dx= dV (để dễ lựa chọn dV )
3. Bài tập:

Câu 1: cho hàm số thỏa mãn

=8 và f(e+1)=9. Tính tích phân

I=
A:-1

B: 1

C.17

D: 7

Lời giải

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 5


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

Ta có

=
=

= lnx. f(x+1)
=9–I

= f(e+1)  8= 9- I => I =1

-

chọn B

Câu 2: cho hàm số f(x) xác định và luôn nhận giá trị dương trên R thỏa mãn
10 và f(1)=4. Tính I=
A:-1

B: -2

C.-

D: 3

Lời giải:
Đặt :



= (x+1).



4.



-

-2I

− 2 I => I = 3

chọn D

Câu 3: cho f(x) là hàm số lẻ và thỏa mãn f(1) =2017. Tính I=
A:2017

B: 2018

C.4034

D: 4035

Câu 4: cho hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) trên đoạn [1;2]. Biết 4 F(2) - F(1) =2 và

. Tính I=
A:-3

B: 2

C.-4

D: 10

Câu 5: cho hàm số f(x) và g(x) liên tục có đạo hàm trên R và thỏa mãn f ’(0).f ’(2) ≠0 và
g(x).f ’(x)=x(x-2).ex. tính giá trị tích phân I=
A:-4

B: e-2

C.4

Câu 6: cho hàm số y=f(x) liên tục [0;1] và thỏa mãn

D: -8
10 và

2f(1) –f(0)=2. Tính
Câu 7. Cho F(x)=(x+1)ex là một nguyên hàm của hàm số f(x).e3x . Tìm một nguyên hàm
của hàm số f ’(x).e3x

A. (6-3x)ex +C

B. (-6x-3)ex +C

C. (-2x-1)ex +C

D. (6+3x)ex +C

Câu 8. Cho hai hàm số f(x) va g(x) có đạo hàm trên [1 ;4] và thỏa mãn hệ thức

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 6


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

. Tính I=
A. 8ln2
CHÚ Ý:

B.3ln2

C.6ln2

D. B.4ln2

DẠNG 1+2+3 CÓ THỂ KẾT HỢP KỸ THUẬT CHỌN HÀM

D. DẠNG 4 : SỬ DỤNG KẾT QUẢ DẤU “=” XẢY RA CỦA TÍNH CHẤT
1. Tính chất:
nếu G(x) là 1 hàm liên tục và G(x)
dấu “=” xảy ra (hay

trên [a;b]
khi G(x)=0

2. Dấu hiệu nhận biết :
tính

với f(x) được tìm từ dấu “=” xảy ra của tính chất trên . trong đó f(x)
(bị ẩn đi ,phải chỉ ra) và

sẽ nằm trong
-

chú ý :
thường gặp dạng =[Q(x)]2

+ hàm

(bình phương của 1 hàm) . hay

2

gặp dạng (a ± b)

 đề bài thường xuất hiện yếu tố bình phương ( dấu hiệu nhận dạng)

+ có thể kết hợp dạng 3 .dùng tích phân từng phần để chỉ ra được hàm
3. Định hướng cách giải:
Kết hợp dạng 3 nếu cần và yếu tố có bình phương của đề bài để chỉ ra được hàm
và tính được
Từ đó =>

=0 => hàm f(x)

Từ đó tính được
4. Bài tập.
Câu 1: cho

.

=-7/6

Tính
Câu 2: cho hàm f(x)

0 liên tục trên [0;1] . biết

=6

=-3 tính
Câu 3: cho

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

;

=-7/6. Biết f(1)=2

ĐT: 096.569.2690

Page 7


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai
Tính
Câu 4: cho

;

=-7/6. Biết f(1)=2

Tính
Câu 5: (đề MH BGD 2018)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f(1)=0 ;

=7 và

. Tính
A. .

B.1

C. . .

D.4

Lời giải:
Đặt

=>


(do f(1)=0)


= -3.

Ta có:

= -3.

=7 ;

=-1

= -14 ;



+



=
=0

=0

Mà

nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


-


Do f(1)=0 => C= =>


+ =
=

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

=

ĐT: 096.569.2690

Page 8


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 9


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 10


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

Câu 13: cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên [4;8] và f(x) ≠0 với mọi x [4;8].
=1 và f(4)=

Biết rằng

; f(8)= . tính f(6)

B.

A.

C.

D.

Lời giải:
Xét tích phân I=

Ta có :

dx

I=

+

= 1- J +1 =2 –J (với J =
Biên soạn: Lương Hữu Tiến

)

ĐT: 096.569.2690

Page 11


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

Xét J =
Đặt . đặt f(x)=u => du=f ’(x)dx
 J=

=

=

=4-2=2

 I=2-2=0 mà

=>

Dấu = xảy ra khi
  f(x) =

vì f(4)=
=> f(6) =

= =>

=

dx

=> c = -6
chọn đáp án C.

Bình luận : bài toán này tương đối khó vì nó theo chủ ý của người ra đề. Ở đây đòi hỏi
chúng ta phải phán đoán. Thứ nhất là việc nhận dạng thì nó đã xuất hiện những đặc
điểm trong phần dấu hiệu nhận biết. Vấn đề chúng ta cần phán đoán ở đây chính là vai
trò của b trong dạng (a-b)2 đóng vai trò là một hằng số. Phán đoán này là dựa trên kinh
nghiệm và nhạy bén của người làm chứ không có phương pháp cụ thể. Từ đó với các dữ
liệu bài cho ta tính toán được hằng số đó là ½.
MỘT SỐ BÀI TOÁN KẾT HỢP CÁC DẠNG.

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 12


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 13


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

E. DẠNG 5: SỬ DỤNG KỸ THUẬT ĐẠO HÀM VÀ LẤY NGUYÊN HÀM TÌM
f(x)
Kiến thức cơ bản :
=> F’(x) =f(x)

-

F(x)=

-

Vi phân hàm số: d(f(x)) = f ’(x)dx

Dấu hiệu nhận biết :
-

Khi xuất hiên

thì đạo hàm

-

Khi xuất hiện phương trình : f’(x).H(f(x)) =0 thì khi đó lấy nguyên hàm 2 vế. Để dễ
làm có thể tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến: u=f(x)

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 14


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 15


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 16


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 17


TRUNG TÂM LUYỆN THI THÀNH ĐẠT - ĐC số 38, ngõ 107/33 Lĩnh Nam-Hoàng Mai

Hiện vẫn còn một số dạng toán tổng quát nữa mình chưa kịp tổng hợp. Các em và bạn
bè đọc tài liệu nếu thấy bổ ích thì chia sẻ giúp mình. Mình sẽ viết nốt những dạng còn
lại mà tự bản thân mình rút ra được và chia sẻ đến mọi người.

Biên soạn: Lương Hữu Tiến

ĐT: 096.569.2690

Page 18