Cong thuc toan THPT, trọn bộ công thức toán luyện thi THPT quốc gia
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.36 MB, 22 trang )
Nam Potato
CÔNG THỨC CẦN NHỚ
Phƣơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
B0
Tam thức bậc hai f ( x) ax 2 bx c
Nếu 0 thì a. f ( x) 0 với mọi x R .
Nếu = 0 thì a. f ( x) 0 với mọi x
b
2a
Hay a. f ( x) 0 với mọi x
𝑥<𝑥
𝑎. 𝑓 𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 > 𝑥1
Nếu 0 thì
2
𝑎. 𝑓 𝑥 < 0 ⇔ x1 < 𝑥 < x2
Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:
0
a ) f ( x ) 0, x R
a 0
0
b) f ( x ) 0, x R
a 0
c ) x1 x2 af ( ) 0
0
d ) x1 x2 af ( ) 0
S
0
2
0
e) x1 x2 af ( ) 0
S
0
2
x
x
0
1
2
f )
af ( ) 0
x1 x2
af ( ) 0
g ) x1 x2
af ( ) 0
c
P x1.x2
a
b
của phương trình ax2 + bx + c = 0 thì S x1 x2
-
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ < 0
𝑎
𝑐
-
Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu ⇔ > 0
-
∆≥ 0
𝑐
>0
-
a
𝑎
𝑏
− >0
𝑎
∆≥ 0
𝑐
>0
𝑎
𝑏
𝐴 = −𝐵
f ( x ) g ( x) f 2 ( x ) g 2 ( x )
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x ) g ( x )
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x ) g ( x ) h( x )
f ( x ) g ( x ) h( x )
f ( x) g ( x) h( x)
− <0
𝑔(𝑥) ≥ 0
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)2
𝑔 𝑥 ≥0
𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ⇔
𝑓 𝑥 =𝑔 𝑥
𝑡 = 𝑓 𝑥 ,𝑡 ≥ 0
𝑎𝑓 𝑥 + b 𝑓 𝑥 +c =0 ⇔
𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) + 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = h(x)
Đặt t = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), t≥0
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇔
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
2
f ( x) [g ( x)]
𝑎
Phương trình có 2 nghiệm âm ⇔
𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴=𝐵
f ( x) 0
f ( x) g ( x) g ( x) 0
2
f ( x) [g ( x)]
𝑐
Phương trình có 2 nghiệm dƣơng ⇔
A B
A B
Phƣơng trình chứa ẩn dƣới dấu căn
af ( ) 0
h) x1 x2
af ( ) 0
af ( ) 0
i ) x1 x2
af ( ) 0
x1 x2
j)
f ( ). f ( ) 0
x1 x2
Định lý vi-et của phƣơng trình bậc hai: Nếu x1 và x2 là nghiệm
Dấu của các nghiệm:
𝐴 =𝐵 ⇔
f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
2
f ( x) [g ( x)]
f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
2
f ( x) [g ( x)]
𝑎
1
Nam Potato
Bất đẳng thức:
Các tính chất của bất đẳng thức:
*a c b a b c
a b
*
ac
a b 0
b c
*
ac bd
*a b a c b c
c d 0
Dãy số
1. Định nghĩa
*a b 0 a b
*a b 3 a 3 b
(un) là dãy số giảm un+1 < un với n N*.
un+1 – un< 0 với n N*
u
n 1 1 với n N* (un > 0).
un
Bất đẳng thức chức giá trò tuyệt đối:
a a a a R
a 0
x a a x a
3. Dãy số bị chặn
(un) bị chặn trên M R: un M, n N*.
(un) bị chặn dưới m R: un m, n N*.
(un) bị chặn m, M R: m un M, n N*.
x a x a x a
a b ab a b
(a, b R )
Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không âm):
ab
*
ab dấu “=” xảy ra khi a = b
2
abc 3
*
abc
3
Dấu “=” xảy ra khi a= b= c
Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số thực):
Cấp số cộng
1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d,
n N*(d: cơng sai)
2. Số hạng tổng qt: un u1 (n 1)d
3. Tính chất của các số hạng: uk
*ab cd (a c )(b d )
2
2
2
2
Dấu “=” xảy ra khi ad= bc
*a1b1 a2b2 c3b3
a
2
1
a a
2
2
2
3
b
2
1
b b
2
2
Dấu “=” xảy ra khi
2
3
n u ( n)
dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …
2. Dãy số tăng, dãy số giảm:
(un) là dãy số tăng un+1 > un với n N*.
un+1 – un > 0 với n N*
u
n 1 1 với n N* ( un > 0).
un
a b 0
*
a n bn
*
n N
c 0
*
ac bc
a b
c 0
*
ac bc
a b
a b
*
ac bd
c d
u : *
a1 a2 a3
b1 b2 b3
với n 2
uk 1 uk 1
với k 2
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
n(u1 un ) n 2u1 (n 1)d
=
Sn u1 u2 ... un
2
2
Cấp số nhân
1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân un+1 = un.q
với n N* (q: cơng bội)
2. Số hạng tổng qt: un u1.q n1 với n 2
3. Tính chất các số hạng: uk2 uk 1.uk 1
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
Tập xác định của các hàm số thƣờng gặp:
P( x )
y
có nghĩa Q( x) 0
Q( x )
y P( x ) có nghĩa P( x ) 0
y
P( x )
Q( x )
với k 2
Sn nu1
n
S u1 (1 q )
n
1 q
,q 1
,q 1
có nghĩa Q( x) 0
y P( x ) Q( x ) có nghĩa P( x ) 0
Các hàm đa thức như: y = ax + bx + c, y = ax + b,... có tập xác định là R.
Q( x ) 0
2
2
Nam Potato
Lƣợng giác:
Dấu của các giá trị lƣợng giác
Phần tư
Giá trị lượng giác
cos
sin
tan
cot
Bảng giá trị lƣợng giác
rad -
2
3
4
I
II
III
IV
+
+
+
+
–
+
–
–
–
–
+
+
+
–
–
–
6
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
-30o
0
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
0
-
x
-180o
-90o
sin
0
-1
3
2
2
2
1
2
0
cos
-1
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
tan
0
||
- 3
-1
-
1
3
0
1
3
1
3
||
cot
||
0
-
1
3
-1
- 3
||
3
1
1
3
0
-
độ
-60o
-45o
1
2
2
2
-
3
2
-1
- 3
-1
-
1
3
0
1
3
-1
- 3
||
-
Giá trị lƣợng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
Góc bù nhau
sin( ) sin
Góc phụ nhau
sin cos
2
Góc hơn kém
Góc hơn kém
2
sin( ) sin
sin cos
2
cos( ) cos
cos sin
2
cos( ) cos
cos sin
2
tan( ) tan
tan cot
2
tan( ) tan
tan cot
2
cot( ) cot
cot tan
2
cot( ) cot
cot tan
2
3
Nam Potato
Hệ thức cơ bản:
sin2 cos2 1 ;
1 cot 2
1
; k , k
sin2
Công thức lƣợng giác
1) Công thức cộng:
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
tana - tanb
tan(a - b) = 1 + tana.tanb
tana + tanb
tan(a + b) = 1 - tana.tanb
2) Công thức nhân đôi :
sin2x = 2sinxcosx = (sinx+cox)2 - 1
cos2x =cos2x–sin2x =2cos2x-1=1– 2sin2x
2tanx
tan2x =
1 tan 2 x
cot 2 x 1
cot2x =
2cotx
3) Công thức nhân 3:
cos3x 4cos3 x 3cos x
sin3x 3sin x 4sin 3 x
3tan x tan 3 x
tan 3x
1 3tan 2 x
3cot x cot 3 x
cot 3x
1 3cot 2 x
4) Công thức hạ bậc:
1 cos 2 x
1 cos2 x
2
2
cos x
sin x
2
2
1 cos2
1 cos2
2
2
tan
cot
1 cos2
1 cos2
1
sin 3 x (3sin x sin 3x)
4
1
cos3 x (cos3x 3cos x)
4
5) Công thức tích thành tổng.
1
cosxcosy= cos( x y ) cos( x y )
2
1
sinxcosy= Sin ( x y ) Sin ( x y)
2
1
sinxsiny= cos( x y ) cos( x y )
2
1
cos x.sin y sin( x y ) sin( x y )
2
tan .cot 1;
1 tan2
1
cos2
k
,k
2
;
2
k , k
6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:
x y
x y
cos
2
2
x y x y
sinx – siny = 2cos
sin
2 2
sinx + siny = 2sin
x y
x y
cos
2
2
x y x y
cosx–cosy = 2sin
sin
2 2
sin( x y )
tanx + tany =
cos xcosy
cosx + cosy = 2cos
sin( x y )
cos xcosy
sin( x y )
cotx + coty =
sin xsiny
sin( y x)
cotx – coty =
sin xsiny
tanx – tany =
Chú ý:
sin 3 x cos3 x (sinx cos x)(1 sinx.cos x)
sin 3 x cos3 x (sinx cos x)(1 sinx.cos x)
1
3 1cos 4 x
sin 4 x cos 4 x 1 sin 2 2 x
2
4
3
5 3cos 4 x
sin 6 x cos6 x 1 sin 2 2 x
4
8
1 sin 2 x sin x cos x
2
sin x cos x 2sin x 2cos x
4
4
sin x cos x 2sin x 2cos x
4
4
4
Nam Potato
Phƣơng trình lƣợng giác
a) Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
Dạng:
x k2
sin x sin
x k2
Dạng:
x k2
cos x cos
x k2
tan x tan x k
Dạng:
Dạng:
Ðk : x,
k
2
cot x cot x k
Ðk : x, k
x arcsin a +k 2
sin
x
a
+)
x arc sin a +k 2 , k
x arc cosa +k 2
,k
+) cosx a
x arccosa +k 2
sin x 0 x k
Đặc biệt:
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2
cos x 0 x k
2
Đặc biệt:
cos x 1 x k2
cos x 1 x k2
tan x 0 x k
Đặc biệt:
tan x 1 x k
4
cot x 0 x k
2
Đặc biệt:
cot x 1 x k
4
+)
tanx a x arc tana+k , k
+) cotx a x arccot a+k , k
b) Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác
Dạng
Đặt ẩn phụ
Điề u kiê ̣n
t sin x
1 t 1
t cos x
1 t 1
a sin2 x b sin x c 0
a cos2 x b cos x c 0
a tan2 x b tan x c 0
t tan x
a cot2 x b cot x c 0
t cot x
x
k , (k )
2
x k, k
Nế u đặt t sin2 x hoặc t sin x thì điều kiện là 0 t 1
c) Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a 2 b2 c2 .
a
b
Cách 1: Đặt: cos
; sin
a 2 b2 sin( x ) c
2
2
2
2
a b
a b
b
c
b
Cách 2:
a sin x cos x c Đặt: tan a sin x cos x.tan c sin( x ) cos
a
a
a
5
Nam Potato
d) Phƣơng trình lƣợng giác đẳng cấp
Dạng: a.sin2 X b.sin x cos x c.cos2 x d
1
a, b, c, d
Cách 1:
cos x 0
k, k
2
Hay x k có phải là nghiệm của
sin
x
1
2
phương trình 1 hay không ? Nế u phải thì nhâ ̣n nghiê ̣m này.
Bƣớc 1. Kiể m tra xem x
cos x 0
k, k
Hay x k . Chia hai vế của 1 cho cos2 x
2
2
sin x 1
(hay sin2 x ), ta đươ ̣c:
sin2 x
sin x cos x
cos2 x
d
1 a. cos2 x b. cos2 x c. cos2 x cos2 x
a tan2 x b tan x c d 1 tan2 x
Bƣớc 2. Khi x
a d tan2 x b tan x c d 0
Bƣớc 3: Đặt t tan x để đưa về phương trình bậc hai đã biết cách giải.
Cách 2: Sử du ̣ng công thức ha ̣ bâ ̣c và nhân đôi
1 cos2x
1 cos2x
sin 2x
; cos2 x
và sin x cos x
vào 1 và rút gọn
2
2
2
lại, ta đươ ̣c: b sin 2x c a cos2x 2d a c
Bước 1: Thế sin2 x
Bước 2: Giải phương trình , tìm nghiệm.
e) Phƣơng trình lƣợng giác đối xứng
Dạng 1.
a sin x cos x b sin x cos x c 0
PP : t sin x cos x, t 2 sin x cos x
Dạng 2.
a sin x cos x b sin x cos x c 0
PP : t sin x cos x, t 2 sin x cos x
Dạng 3.
t2 1
2
1 t2
2
a tan2 x cot2 x b tan x cot x c 0
sin x 0
k
ÐK :
sin 2x 0 x
, k
cos x 0
2
PP : t tan x cot x , t 2 tan2 x cot2 x t2 2
Dạng 4.
a tan2 x cot2 x b tan x cot x c 0
sin x 0
k
ÐK :
sin 2x 0 x
, k
cos
x
0
2
PP : t tan x cot x , t 2 tan2 x cot2 x t2 2
6
Nam Potato
Cần nhớ:
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n
Tổ hợp và xác suất
1) Hoán vị: Pn n! n(n 1)(n 2)...3.2.1
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là:
Cn0 Cn1 Cn2 ... (1)k Cnk ... (1)n Cnn 0
a b a b
n
Qn (n 1)!
Chú ý :
- n! = 1.2.3…n
- n ! n 1!n
- 0! = 1
- n ! n 1!n
- n! = (n–1)!n
n!
= (p+1).(p+2)…n với n>p
p!
k 0
1 x
n
n
a b
C a C a b ... C ab
n
C b C a
k
n
k 0
n k k
b
- Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n
- Nếu bài toán cho khai triển :
i 1
m
n
k
k 0
= Cn0 x n Cn1 x n1 ... 1 Cnn x0
n
n
n
C
n
Cnn Cnn 1 ... Cn0
k
n
k
n
Cnk Cnnk
i
n
x 1 1 Cnk x n k
= Cn0 Cn1 ... 1 Cnn
- Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất
n i
n
k 0
k nk k
- Số hạng thứ k+1 là Cn a b (Số hạng tổng quát)
n
Cn0 Cn1 .x ... Cnn .x n
= Cn0 x0 Cn1 x1 ... 1 Cnn x n
n
- (n+1) số hạng.
n
k
k
0 1 1 1 Cn
Công thức nhị thức Niu – tơn (1) có:
xa xb Cni xa
k 0
n
k 0
4) Nhị thức Niu – tơn:
n n
n
k
n
2 1 1
0 k n
Cnk Cnk1 Cnk11
0 k n
n 1
C .x
n
Cnk Cnnk
n 1
n
k 0
n
n
Ank = n.(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1)
n!
k
3) Tổ hợp: Cn n k !k !
1 n 1
n
k
k 0
-
0 n
n
n
k k
1 x 1 Cn x
n!
= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
(n p)!
n!
k
0 k n
2) Chỉnh hợp: An n k !
n
k
n
Cnk a n k b 1 Cnk a n k bk
-
-
n
xb Cni xaniib thì hệ
n
i 1
Cin
số của x là
sao cho phương trình
a n i bi m có nghiệm i
n( A)
P
(
A
)
5) Xác suất:
n()
Tính chất của xác suất:
0 P(A) 1;
P() = 0
P() = 1
Công thức cộng :
Nếu A và B xung khắc (A B = ) thì:
P(A B) = P(A) + P(B)
Với A, B bất kì: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
P( A ) = 1 – P(A)
Công thức nhân:
Nếu A và B độc lập thì: P(A.B) = P(A). P(B)
Với hai tập hợp hữu hạn A và B bất kì, ta có:
n( A B) n( A) n( B) n( A B)
- C đạt MAX khi :
n 1
n 1
n
hay i
với n lẽ, i với n chẵn.
i
2
2
2
i
n
-
n chẵn: Số hạng chính giữa là
Tn
2
-
n lẻ: Hai số hạng chính giữa là
1
Tn 1 và Tn1
2
2
1
7
Nam Potato
BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM:
(C)’ = 0 (C: hằng số)
Giả sử u =u(x) có đạo hàm theo biến x
(u + v)’ = u’ + v’; (u - v)’ = u’ - v’
(x)’ = 1 ; (Cx)’ = C
(k.u)’ = k.u’ (k là hằng số)
(u1 u2 ... u n )' u1 'u 2 '... u n '
( x )' .x 1
(u )' .u 1.u'
(u.v)’ = u’.v + v’.u
(u.v. w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’
1
1
( )' 2 với (x 0)
x
x
1
1
( )' 2 .u ' ;
u
u
( x )'
1
2 x
với ( x>0)
(sin x)' cos x
(cos x)' sin x
( u )'
1
2 u
C
C
( )' 2 .u '
u
u
.u ' ; (C u )'
C
.u '
2 u
u
u '.v v'.u
( )'
v
v2
(
ax b
ad bc
)'
cx d
(cx d ) 2
(sin u)' cos u.u'
ax 2 bx c (ap bm) x 2 2(aq cm) x bq cp
( 2
)'
mx px q
(mx 2 px q) 2
(cos u)' sin u.u'
ax 2 bx c apx 2 2aqx bq cp
(
)'
px q
( px q) 2
u'
2
(
1
tan
x).u'
2
cos u
(tan x)'
1
1 tan 2 x (x k )
2
cos x
2
(tan u)'
(cot x)'
1
(1 cot 2 x) ; (x k )
2
sin x
(cot u )'
u'
(1 cot 2 x).u '
2
sin u
(e x )' e x
(e u )' e u .u '
(a x )' a x . ln a
(a u )' a u . ln a.u'
(ln x )'
1
x
(ln u )'
(log a x )'
1
x. ln a
(log a u )'
u'
u
(
1
n
)' n 1 ; ( x 0)
n
x
x
(
1
n.u '
)' n1 ; (u 0)
n
u
u
(sin 2 x)' sin 2 x ;
(cos 2 x)' sin 2 x
(sin ax)' a cos ax ;
(cos ax)' a sin ax
a
cos 2 ax
a
(cot ax)'
sin 2 ax
(tan ax)'
1
.u '
u. ln a
8
Nam Potato
Giới hạn của dãy số:
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1
0 (k )
lim 0 ; lim
k
n n
n n
Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
lim n
lim nk (k )
n
lim q (q 1)
lim qn 0 ( q 1) ; lim C C
n
n
n
2. Định lí:
2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
lim (un + vn) = a + b
lim (un – vn) = a – b
lim (un.vn) = a.b
u
a
lim n (nếu b 0)
vn b
b) Nếu un0,n và lim un=a thì a0 và lim
a)Nếu lim un thì lim
un a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn :
u
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 q 1
1 q
x x0
2. Định lí:
lim f ( x ) L
x x0
a) Nếu
lim g( x ) M
x x0
thì: lim f ( x ) g( x ) L M
x x0
* lim f ( x ) g( x ) L M
x x0
* lim f ( x ).g( x ) L.M
f (x) L
(nếu M 0)
x x0 g( x )
M
f(x) 0
b) Nếu lim f ( x ) L thì lim f ( x ) L
x x0
x x0
c) Nếu lim f ( x ) L thì lim f ( x ) L
3. Giới hạn một bên: lim f ( x ) L
x x0
lim f ( x) lim f ( x) L
x x0
x x0
=0
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
0
,
0
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
neáu k chaün
lim x k ;
lim x k
x
x
neáu k leû
c
lim
0
lim c c ;
x x k
x
1
1
lim ;
lim
x 0 x
x 0 x
1
1
lim
lim
x 0 x
x 0 x
2. Định lí:
a) Nếu x x0
lim g( x )
x x0
* lim
x x0
vn
d) Nếu lim un = +, lim vn = a
neáu a 0
thì lim(un.vn) =
neáu a 0
lim f ( x ) L 0
x x0
x x0
c) Nếu lim un =a 0, lim vn = 0
u
neáu a.vn 0
thì lim n =
vn neáu a.vn 0
un
d) Nếu lim un = a thì lim un a
x x0
1
0
un
b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim
c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0
Giới hạn của hàm số:
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x x0 ;
lim c c (c: hằng số)
n
n
* lim
x x0
neáu L. lim g( x ) 0
thì lim f ( x )g( x )
x x0
f ( x)
0
g( x )
lim f ( x ) L 0
b) Nếu x x0
lim g( x ) 0
x x0
thì: lim
x x0
x x0
g( x ) 0
neáu L. xlim
x0
f ( x ) neáu L.g( x ) 0
g( x ) neáu L.g( x ) 0
Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
0
,
, – , 0.
0
thì phải tìm cách khử dạng vô định.
9
Nam Potato
Bấm máy tính giới hạn:
-
Nhập f(x)
CALC:
Khi x x0
Khi x x0 thì nhập x0 109
thì nhập x0 109
Khi x x0 thì nhập x0 109
-
Khi x thì nhập 109
Khi x thì nhập 109
Ấn “=” ra kết quả : _
Hiện ra 1 số thì kết quả là chính số đó
Hiện ra 10 mũ dương thì kết quả là
Hiện ra 10 mũ âm thì kết quả là 0
Hàm số liên tục:
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x0).
B2: Tính lim f ( x ) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f ( x ) , lim f ( x ) )
x x0
x x0
x x0
B3: So sánh lim f ( x ) với f(x0) và rút ra kết luận.
x x0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]:
y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và lim f ( x ) f (a), lim f ( x ) f (b)
x a
x b
4. Hàm số đa thức liên tục trên R.
Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
Hàm số y =
f (x)
liên tục tại x0 nếu g(x0) 0.
g( x )
6. Chứng minh phƣơng trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).
- Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].
- Chứng tỏ f(a).f(b)<0
- Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).
- Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0
có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có
nghiệm.
x
1
a, lim 1 e
x
x
ln( x 1)
1
x
x 0
c, lim
b, lim 1 x
x 0
1
x
e
ex 1
1
x 0 x
s inx
1
x 0 x
d, lim
e, lim
Mở rộng:
Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x ) ,M = max f ( x ) Khi đó với mọi T (m; M)
a;b
a;b
luôn tồn tại ít nhất một số c (a; b) sao cho f(c) = T.
10
Nam Potato
Nguyên hàm – tích phân
f '( x)dx f ( x) C
b. [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx F ( x) G( x) C ;
c. a.f(x)dx a f ( x)dx aF( x) C (a 0) .
a.
CÔNG THỨC CƠ BẢN
dx x C
x dx
x
du u C
1
1
C
u du
dx
ln x C
x
dx
x 2 x C
1 ax b
(ax b) dx a n 1
n 1
n
e
x
C
dx e C
x
x
a dx
CÔNG THỨC HÀM HỢP
ax
C
ln a
cos x.dx sin x C
;
1
cos(nx).dx n sin nx C
sin x.dx cos x C ;
1
sin nx.dx n cos nx C
1
2
cos 2 x dx (1 tg x) tgx C
1
2
sin 2 x dx (1 cot gx) cot gx C
du
ln u C u 0
u
du
2 u C
u
v (b )
a
v(a)
f ( x)dx
g (t )dt G(t )
1
u
e
2
u
1
sin
2
u
u'
u dx
arcsin
x
C
a
v(a )
v(b)
Bƣớc 5: Kết luận : I= G (t )
v(a )
u'
dx
a x
dx
1
x
a 2 x 2 a arctan a C
v(b)
du
ln u C
u
dx 2 u C
u
u'
1
u 2 dx u C
dx
1
ax
a 2 x 2 2a ln a x C
du cot u C
2
1
dx e ax b C ;
a
1
du tan u C
dx
2
ax b
1
C
(n 1).u n 1
cos(ax b)dx a sin(ax b) C
u
1
dx u n dx
n
1
e du e C
cos udu sin u C
sin udu cos u C
cos
1
sin(ax b)dx a cos(ax b) C
au
u
a
du
C 0 a 1
lna
Phƣơng pháp:
Phƣơng pháp đổi biến:
Bƣớc 1: Đặt x=v(t)
Bƣớc 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận
Bƣớc 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt
Bƣớc 4: Tính
b
1
(ax b) dx a ln ax b C
u1
C 1
1
u
CÔNG THỨC MỞ RỘNG
x a
2
ln x x 2 a C
Phƣơng pháp từng phần:
Bƣớc 1: Chọn u và dv
Bƣớc 2: Tính du và v
Bƣớc 3: Tính:
b
b
u( x)v ( x)dx u( x)v( x) a v( x)u ( x)dx
b
'
a
'
a
b
b
hay udv uv b vdu
a
a
a
Bƣớc 4: Kết luận.
11
Nam Potato
Các chọn ẩn phụ đối với phƣơng pháp đổi biến:
Dấu hiệu
Có thể chọn
a2 x2
x | a | sin t , 2 t 2
x | a | cost , 0 t
x2 a2
|a|
x sin t , 2 t 2 ; t 0
x | a | , 0 t ;t
cost
2
x2 a2
x | a | tan t , 2 t 2
x | a | cott , 0 t
ax
hoặc
ax
ax
ax
Đặt x a cos 2t
Đặt x a (b a)sin 2 t
( x a)(b x)
Hàm f ( x, ( x))
Đặt t là mẫu
Đặt t ( x)
Hàm f ( x, n ( x), m ( x))
Đặt t mn ( x)
Hàm số có mẫu
asin x b cos x
c sin x d cos x e
Hàm lẻ với sinx
Hàm lẻ với cosx
Hàm chẵn với sinx và cosx
x
2
Đặt t cos x
Đặt t s inx
Đặt t =tanx
Hàm f ( x)
Đặt t tan
Cách đặt u và dv đối với phƣơng pháp từng phần:
b
b
P( x)e x dx
a
b
b
P( x)ln xdx
a
P( x)cos xdx
e x cos xdx
a
a
u
P(x)
lnx
P(x)
ex
dv
e x dx
P(x)dx
cosxdx
cosxdx
Chú ý: đặt u: “NHẤT LOG, NHÌ ĐA, TAM LƯỢNG, TỨ MŨ”, còn lại đặt dv
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
dx
1 adx
1
ln ax b
Dạng
a ax b a
ax b
Dạng
Dạng:
P( x)
m
1
ax+b dx Q( x) ax+b dx Q( x)dx m ax+b dx
ax
2
ax
2
dx
dx
1
mx n
arctan
c
2
2
bx c
(mx+n) p
mp
p
dx
dx
1
mx n p
ln |
| c
2
2
bx c
(mx+n) p
2mp
mx n p
12
Nam Potato
Dạng:
(mx n)dx
2
bx c
ax
- Nếu mẫu có nghiệm kép x =x1 ta có :
(mx n)
A
B
2
ax bx c x x1 (x-x1)2
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số để tìm A, B.
- Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ta có:
(mx n)
A
B
2
ax bx c x x1 x-x2
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số để tìm A, B.
- Nếu mẫu vơ nghiệm:
m
mb
(2ax b) (n
)
(mx n)dx
m (2ax b)dx
mb
dx
2
a
2
a
dx
(n
) 2
2
2
ax 2 bx c
ax bx c
2a ax bx c
2a ax bx c
m d (ax 2 bx c)
mb
dx
m
mb
dx
2
= 2a ax 2 bx c (n 2a ) ax 2 bx c = 2a ln | ax bx c | (n 2a ) ax 2 bx c
Dạng: I
I
Dạng: I
1
ax bx c
2
1
ax bx c
2
dx
dx
mx n
1
(mx+n) k
2
dx
1
p (mx+n)
2
2
1
ln | (mx n) (mx+n)2 k | c
m
dx
1
mx n
arcsin
c
m
p
m
2ax b
mb
1
dx
dx
dx
2
2
2
2a ax bx c
2a ax bx c
ax bx c
mb d (ax 2 bx c) mb
1
dx
=
2
2
2a ax bx c 2a ax bx c
Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay:
-Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng.
-Chọn công thức tính diện tích:
a
S f ( x) g ( x) dx
b
a
S f ( y ) g ( y ) dy
b
-Chọn công thức tính thể tích:
*Hình phẳng quay quanh trục Ox:
a
V f 2 ( x) g 2 ( x) dx
b
*Hình phẳng quay quanh trục Oy:
a
V f 2 ( y ) g 2 ( y ) dy
b
- Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao điểm.
- Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các giao điểm.
13
Nam Potato
Lũy thừa
8. (am )n (an )m am.n
n
1. a a.a...a
0
a 0
1
3. a n
an
n
am
9.
n
10.
m n
am n
an
6. (a.b)n an .bn
a. n b n a.b
a
2. log a
a
b
3. a
a ( a) a
m
11.
n
12.
n k
13. a
b
n
n
m
n
m
n
1
m
14. n a n
1
n
am
a, voi n 2k 1
x
a m
7. log a b log a b
m
log a b2 2log a b
loga b
b
8. log b 1 log a b ,
a
m
n
a nk a
an
a n an
7. ( )
b
bn
6. log a ( x ) log a ( y )
y
n
4. a .a a
5.
1. loga 1 0 , loga a 1
n thua so
2. a 1
m
Logarit
log a b
4. log a ( x. y) log a x log a y
x
5. log a ( ) log a x log a y
y
1
log a ( ) log a y
y
log a b
9. lg b log b log10 b
10. ln b log e b,
11. log a n b
1
log a b
n
a voi n 2k
Các tính chất về bất đẳng thức:
Cho m, n là các số nguyên dương, ta có:
- Với a>1 thì am a n m n
- Với 0
Cho 0
- a m bm m 0
- a m bm m 0
Công thức đổi cơ số
-
-
log a b
log a b
log c b
log c a
ln b
ln a
1. Phƣơng trình, bất phƣơng trình logarit
* loga x m x a m
0 a 1
*log a f ( x) log a g ( x) f ( x) 0, g ( x) 0
f(x)=g(x)
*Với a>1: log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) 0
* Với 0
1
;
log b a
-
log a b
-
log a b. log b x log a x
log c
log a
a b c b
-
2. Phƣơng trình , bất phƣơng trình mũ:
* a x m x loga m
*a f ( x ) a g ( x )
0 a 1
f ( x) g ( x)
a 1
/ f ( x), g ( x)
*Với a>1: a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x)
*Với 0
14
Nam Potato
Hàm số lũy thừa:
a) Hàm số
y x , với R được gọi là hàm số lũy thừa.
b) Tập xác định của hàm số
y x là:
-
R với nguyên dương
-
R \ 0 với nguyên âm hoặc bằng 0
-
0; với
không nguyên
Hàm số mũ:
a)
b)
-
Hàm số y a (a 0; a 1) được gọi là hàm số mũ cơ số a.
Tình chất:
TXĐ của hàm số mũ là R
Khi a>1 hàm số mũ luôn đồng biến
Khi 0
trên trục hoành.
y
y
x
x
x
y=a
y=a
1
1
x
x
a>1
0
Hàm số logarit
a) Hàm số
y log a x(a 0; a 1) được gọi là hàm số logarit cơ số a.
Hàm số logarit có đạo hàm tại mọi x dương và loga x '
1
x ln a
b) Tính chất
- TXĐ của hàm số logarit là 0;
- Khi a>1: hàm số logarit luôn đồng biến
Khi 0
nằm phía bên phải trục tung.
y
y
y=logax
y=logax
O
x
1
a>1
x
1
O
0
15
Nam Potato
Ứng dụng đạo hàm
1) Tính đơn điệu của hàm số
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm tập xác định.
- Tính đạo hàm y' f ' ( x) tìm
x1 ; x2 ;......; xn
2) Cực trị
các
điểm
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
- Sắp xếp các điểm x1 ; x2 ;......; xn theo thứ tự tăng
dần, lập bảng biến thiên.
- Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số y = f(x;m) đơn
điệu trên miền xác định của nó.
Với hàm bậc 3
- Tìm tập xác định: D=R
- Tính đạo hàm y’
- Suy ra đồng biến, nghịch biến.
-
ax b
cx d
Tìm tập xác định D=R\(
d
)
c
- Tính đạo hàm y’
- Suy ra đồng biến, nghịch biến.
Tìm tham số m để hàm số y = f(x;m) đơn điệu trên
miền D?
Trong đó D có thể là (; ),(; ),(; ),[; ),(; ]..
- Ghi điều kiện để y f ( x; m) đơn điệu trên D,
chẳng hạn:
Đề yêu cầu y f ( x; m) đồng biến trên D
y ' f '( x; m) 0
Đề yêu cầu y f ( x; m) nghịch biến trên D
y ' f '( x; m) 0
-
Đưa m ra khỏi biến số, và đặt vế còn lại là g(x)
m g ( x)
m g ( x)
được:
-
-
x1 ; x2 ;......; xn
điểm
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
xác định.
không xác định.
Với hàm
* Qui tắc tìm cực đai, cực tiểu của hàm số
- Tìm tập xác định.
- Tính đạo hàm y' f ' ( x) tìm các
Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g(x) trên D,
Dựa vào bảng biến thiên kết luận:
m g ( x) m max g ( x)
D
g ( x)
m g ( x) m min
D
- Sắp xếp các điểm x1 ; x2 ;......; xn theo thứ tự tăng
dần, lập bảng biến thiên.
- Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cực tiểu
của hàm số.
Định lý 2:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a; b).
f '( x0 ) 0
x0 được gọi là điểm cực tiểu của f(x).
a)
f ''( x0 ) 0
f '( x0 ) 0
x0 được gọi là điểm cực đại của f(x).
b)
f ''( x0 ) 0
Lƣu ý:
1. Hàm đa thức y = P(x) đạt cực trị tại các nghiệm
đơn của P’(x) = 0.
2. Hàm số y ax3 bx2 cx d a 0
có cưc
đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình
y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
3. Hàm số y
ax 2 bx c
có cưc đại và cực tiểu
a'x b'
khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
phân biệt khác nghiệm của mẫu.
4. Hàm số y P( x) đạt cực trị tại x0 thì giá trị của
Q( x)
hàm số tại điểm cực trị x0 là
y0
P '( x0 )
Q '( x0 )
với P’(x0) và Q’(x0) lần lượt là đạo hàm của
P(x) và Q(x) tại x0.
5. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
2
trị của đồ thị hàm số y ax bx c là
a'x b'
y
2ax b .
a'
6. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d a 0
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :
y = y’(x).g(x) + Ax + B, tại các điểm cực trị thì
y’(x) = 0 nên đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị là: y = Ax + B.
16
Nam Potato
3) GTLN, GTNN
5) Tiệm cận
a) Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn
Định lý: Hàm số y f ( x) liên tục trên đoạn [a;b]
=> tồn tại max f ( x) , min f ( x) .
[a ;b ]
[a ;b ]
Cách tìm:
- Tìm xi [a; b] (i=1; 2; ...; n) tại đó có đạo hàm
bằng 0 hoặc không xác định.
- Tính f (a), f (b), f ( xi ) (i=1; 2; ...; n)
- Tìm
GTLN max{ f (a), f ( x 1 ), f ( x2 ),..., f ( x n ), f (b)}
GTNN min{ f (a), f ( x 1 ), f ( x2 ),..., f ( x n ), f (b)}
b) Cách tìm GTLN, GTNN trên một khoảng
y f ( x) liên tục trên đoạn (a;b), ta xét 2 trường hợp:
x
y’
a
x0
b
-
+
y
a) Đƣờng tiệm cận ngang. (TCN)
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
(là khoảng dạng: (a;), (; b), (;) )
Đường thẳng: y y 0 được gọi là đường tiệm cận
ngang của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các
điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f ( x) y0
lim f ( x) y0 ;
x
x
Chú ý: Có tiện cận ngang khi bậc của tử nhỏ hơn
hoặc bằng bậc của mẫu.
b) Đƣờng tiệm cận đứng. (TCĐ)
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
( là khoảng dạng: (a;), (; b), (;) )
Đường thẳng: x x0 được gọi là đường tiệm cận
đứng của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các
điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f ( x) ;
lim f ( x)
x x0
GTNN
lim
x x0
f ( x) ;
lim
x
y’
a
x0
+
b
-
f ( x)
x x0
x x0
Chú ý: Tiệm cận đứng x
cho mẫu không xác định và
GTLN
x0
thì tại giá trị đó làm
lim f ( x)
x x0
c) Đƣờng tiệm cận xiên (TCX)
Đường y=ax+b (a 0) là tiệm cận xiên của đồ thị
hàm số y= f(x) nếu: lim [f ( x) (ax b)] 0
y
x
4) Tịnh tiến đồ thị hàm số
- Tịnh tiến (C) lên trên y0 đơn vị thì ta được
đồ thị: y f ( x) y0 .
- Tịnh tiến (C) xuống dưới y0 đơn vị thì ta
được đồ thị: y f ( x) y0 .
- Tịnh tiến (C) sang trái x0 đơn vị thì ta
hoặc lim [f ( x) (ax b)] 0
x
Phương pháp tìm TCX:
Cách 1: Tìm a,
f ( x)
a xlim
x
TCX : y ax+b
b lim [f ( x) ax]
x
Cách 2: Chia đa thức
f ( x)
được đồ thị: y f ( x x0 ) .
- Tịnh tiến (C) sang phải x0 đơn vị thì ta
được đồ thị: y f ( x x0 ) .
g ( x)
k
k
r ( x) f ( x) r ( x)
h( x ) h( x )
h( x )
k
0 y=r(x) là
x h( x)
lim [f ( x) r ( x)] lim
x
tiệm cận xiên.
Chú ý: - Đồ thị có TCX khi bậc tử lớn hơn bậc
mẫu 1 bậc.
- Có TCX thì không có TCN
17
Nam Potato
Hệ thức lƣợng trong tam giác
Số phức : z=a+bi
a c
- Số phức bằng nhau : a bi c di
b d
- Số phức đố i của z kí hiệu là z và z a bi
- Số phức liên hơ ̣p của z kí hiệu là z và z a bi .
- Moodun của số phức: | z | a 2 b2
- Các phép toán:
*(a bi) (c di) (a c) (b d )i
*(a bi) (c di) (a c) (b d )i
* (a bi).(c di) (ac bd ) (ad bc)i.
c di (c di)(a bi) ac bd ad bc
*
i
a bi (a bi)(a bi) a 2 b 2 a 2 b 2
- Tính chất:
Tính chất 1: Số phức z là số thực z z
Tính chất 2: Số phức z là số ảo z z
Cho hai số phức
z1 a1 b1i; z2 a2 b2i; a1 , b1 , a2 , b2 ta có:
Tính chất 3: z1 z2 z1 z2
Tính chất 4: z1.z2 z1.z2
z1 z1
; z2 0
z
2 z2
Tính chất 6: | z1.z2 || z1 | . | z2 |
Tính chất 5:
-
2
Phƣơng trin
̀ h bâ ̣c hai: az bz c 0 (a 0)
TH1: a, b, c là các số thực
Nế u 0 thì phương trình có 2 nghiê ̣m thực
b
phân biê ̣t z
2a
Nế u 0 thì phương trình có nghiệm z b
2a
Nế u 0 i () thì phương trình có 2
2
b i
2a
TH2: a, b, c là các số phức
0 thì phương trình có nghiệm z b
2a
0; a bi ( x iy)
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a 2 b2 2ab cos C
b2 c 2 a 2
- cos A
2bc
2
a c 2 b2
- c os B
2ac
2
a b2 c 2
- cos C
2ab
Định lý hàm số sin:
a
b
c
2R
sin A sin B sin C
Công thức tính độ dài đƣờng trung tuyến:
b2 c2 a 2
2
- ma
2
4
2
2
a c b2
- mb2
2
4
2
2
a b c2
- mc2
2
4
Công thức tính độ dài đƣờng phân giác
trong:
-
-
z
|z |
Tính chất 7: 1 1 ; z2 0
z2 | z2 |
Tính chất 8: | z1 z2 | | z1 | | z2 |
nghiê ̣m phức phân biê ̣t z
Định lý cosin:
2
Khi đó phương triǹ h có hai nghiê ̣m z b ( x yi )
2a
-
la
lb
lc
2bc cos
bc
2ac cos
ac
A
2
B
2
2ab cos
ab
C
2
Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
1
- S a.ha b.hb c.hc
2
2
2
1
1
1
- S bc.sin A ab.sin C ac.sin B
2
2
2
abc
- S p.r
4R
- S p( p a)( p b)( p c)
Hệ thức trong tam giác vuông ( bổ sung).
BC2 = AB2 + AC2
AB2 =BC. BH
AC2 =BC. CH
AH2 = BH.CH
AB.AC = BC.AH
𝟏
𝟏
𝟏
𝑨𝑯𝟐 = 𝑨𝑩𝟐 + 𝑨𝑪𝟐
18
Nam Potato
Vecto
- Vecto là đoạn thẳng có hƣớng, kí hiệu là AB ,
a, b, x, y,...
- Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau
gọi là vectơkhơng, kí hiệu 0
- Đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB .
- Hai vectơ cùng phƣơng là hai vectơ có giá song
song hoặc trùng nhau.
- a và b cùng phương (a 0) ! k R : b ka
- Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và
cùng độ dài
- Hƣớng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của
vectơ
- AB cùng phƣơng CD kí hiệu: AB // CD
- AB cùng hƣớng CD kí hiệu: AB CD
- AB ngƣợc hƣớng CD kí hiệu: AB CD
- Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách
giữa điểm đầu
và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí hiệu là | a |,
| AB | AB BA
- Qui tắ
c ba
Cho
điể
m:
ba điểm A, B, C bất kỳ,
ta có: AB BC AC
- Qui tắc hình bình
Cho
hà
nh:
hình bình hành
ABCD, ta có: AB AD AC
- Qui tắ
c hình
: Cho
hình
hộ
p
hộp ABCDABCD
ta có: AB AD AA ' AC '
- Cho I là trung
a đoạn thẳng AB, O tuỳ
điể
m củ
ý. Ta có:
IA
IB
0 ;
OA OB 2OI
- Cho G
làtrọ
ng tâ
m của tam giác ABC, O tuỳ ý.
GA
GB
GC
0;
Ta có:
OA OB OC 3OG
- Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ
ý. Ta có:
GA
GB
GC
GD
0;
OA OB OC OD 4OG
- Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1, O
OA kOB
tuỳ ý. Ta có: MA k MB; OM
1 k
- Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB cùng phương AC 0≠k : AB k AC
- Tích vơ hƣớng của hai véctơ 𝒂 và 𝒃 là một số, kí
hiệu là 𝑎. 𝑏, được xác định bởi:
𝑎. 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos
(𝑎, 𝑏)
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1) Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ
* AB ( xB xA , yB y A )
MA
*Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k:
k ( k 1)
MB
Tọa độ điểm M được xác đònh bởi:
x A kxB
xM 1 k
M
y y A kyB
M
1 k
*Điểm I là trung điểm của AB:
Tọa độ điểm I được xác đònh bởi:
x A xB
xI 2
I
y y A yB
I
2
*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:
Tọa độ điểm G được xác đònh bởi:
xA xB xC
xG
3
G
y
y
B yC
y A
G
3
*Cho tam giác ABC có :
1
AB (a1; a2 ), AC (b1; b2 ) SABC a1b2 a2b1
2
2) Đường thẳng:
a) Phương trình đường thẳng :
-Phương trình tổng quát: Ax By C 0
Vectơ pháp tuyến n ( A; B);
A2 B 2 0
x x0 at
, tR
-Phương trình tham số:
y y0 bt
Vectơ chỉ phương u (a; b) và qua điểm M(x0; y0)
x x0 y y0
-Phương trình chính tắc:
a
b
x y
-Phương trình đoạn chắn: 1
a b
qua A( a; 0) ; B(0; b)
Ax By C 0
b) Góc tạo bởi hai đường thẳng:
A' x B ' y C ' 0
A. A ' B.B '
Cos
A2 B 2 . A '2 B '2
c)Khoảng cách từ một điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường
thẳng: d M / Ax0 By 0 C
A2 B 2
19
Nam Potato
d) Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi
hai đường thẳng:
AX By C
A' x B ' y C '
2
2
A B
A '2 B '2
e) Xác đònh phương trình đường phân giác trong
và phân giác ngoài
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía so
với t1.t2 0
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm khác phía so
với t1.t2 0
Ax By1 C
A ' x2 B ' y2 C '
(t1 1
; t2
)
2
2
A B
A '2 B '2
3) Đường tròn:
Phương trình đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R
2
2
là: x a y b R 2
- Khai triển: x2 y 2 2ax 2by c 0
Với điều kiện a 2 b2 c 0 là phương trình đường
tròn (C) có tâm I(a; b) và R a b c
-Phương tích của một điểm M0 (x0 ; y0) đối với một
đường tròn: PM /(C ) x02 y02 2ax0 2by0 c
2
2
x2 y 2
2 1
(a b); c 2 a 2 b2
2
a
b
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
-Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b)
c
-Tâm sai : e 1
a
a
-Phương trình đường chuẩn: x
e
MF1 a exM
-Bán kính qua tiêu:
MF2 a exM
4) Elip: (E)
-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0(x0;y0) ( E )
x0 x y0 y
2 1
a2
b
x2 y 2
-Điều kiện tiếp xúc của (E): 2 2 1 và :
a
b
2 2
2 2
Ax By C 0 là: A a B b C 2
Tọa
độ trong khơng gian:
AB ( xB x A ; yB yA ; zB zA )
AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 (zB zA )2
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
x xB y A yB zA zB
M A
;
;
2
2
2
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
x xB xC y A yB yC zA zB zC
G A
;
;
3
3
3
Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
x x x xD y A yB yC yD zA zB zC zC
G A B C
;
;
4
4
4
1. Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
x a y b z c
2
2
2
R 2 (1)
Phƣơng trình mặt cầu dạng khai triển:
x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0,
Điều kiện: a2 + b2 + c2 – d > 0
(2)
Tâm I(a; b; c) và bán kính R= a 2 b2 c 2 d
2. Tích có hƣớng của 2 vecto
a a a a
a, b a b 2 3 ; 3 1 ; a1 a2
b2 b3 b3 b1 b1 b2
a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1
[a, b] a;
i , j k ;
[a, b] b
j , k i ;
k , i j
[a, b] a . b .sin a, b
a, b cùng phương [a, b] 0 (chứng minh 3 điểm
thẳng hàng)
Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng
phẳng [a, b].c 0
Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD AB, AD
Diện tích tam giác ABC: S ABC 1 AB, AC
2
Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:
VABCD. A ' B 'C ' D ' [ AB, AD].AA '
Thể tích tứ diện ABCD: VABCD 1 [ AB, AC ]. AD
6
20
Nam Potato
PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
a) Phương trình tổng quát: Ax By Cz D 0
A' x B ' y C ' z D ' 0
x x0 at
b) Phương trình tham số: y y0 bt
z z ct
0
Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là
u (a; b; c)
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng:
x x0 y y0 z z0
, (a 2 b2 c 2 0)
a
b
c
d) Vị trí tƣơng đối của 2 đƣờng thẳng trong KG
- 1 và 2 đồng phẳng u1; u2 .M1M 2 0
u1 ; u2 .M 1M 2 0
- 1 và 2 cắt nhau
a : b : c a : b ' : c '
u1 ; u2 0
- 1 / / 2 u1 ku2 và M1 2 hoặc
M 1 2
u1 ; u2 0
- 1 2 u1 ku2 và M1 2 hoặc
M 1 2
- 1 và 2 chéo nhau u1 k u2 và hệ
x1 a1t x2 b1t '
y1 a2t y2 b2t ' vơ nghiệm hoặc u1; u2 .M1M 2 0
z a t z b t '
2
3
1 3
e) Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng
Cho d : x x0 y y0 z z0 , : Ax By Cz D 0
a
b
c
1, d I aA bB cC 0
aA bB cC 0
2, d
Ax0 By0 Cz0 D 0
aA bB cC 0
3, d
Ax0 By0 Cz0 D 0
u.u ' .M 0 .M '0
u.u '
h) Góc giữa 2 đƣờng thẳng:
u.u '
aa ' bb ' cc '
cos
2
u . u'
a b 2 c 2 a '2 b '2 c '2
i) Góc giữa đt và mp:
sin
A B C
2
Mặt phẳng ( )
Phương trình
Qua gốc tọa độ
Ax + By + Cz = 0
(D = 0)
Song song Ox hay
vng góc (Oyz)
By + Cz + D = 0
Qua (chứa) Ox
By + Cz = 0
Song song Oy hay
vng góc (Oxz)
Ax + Cz + D = 0
Qua (chứa) Oy
Ax + Cz = 0
Song song Oz hay
vng góc (Oxy)
Ax + By + D = 0
Qua (chứa) Oz
Ax + By = 0
Vng góc Oz hay
song song (Oxy)
Cz + D = 0
Trùng (Oxy)
z=0
Vng góc Ox hay
song song (Oyz)
Ax + D = 0
Trùng (Oyz)
x=0
Vng góc Oy hay
song song (Oxz)
By + D = 0
Trùng (Oxz)
y=0
VTPT
n ( A; B; C )
n (0; B; C )
n (0; B; C )
n ( A;0; C )
n ( A;0; C )
n ( A; B;0)
n ( A; B;0)
n (0;0; C )
n (0;0;1)
n ( A;0;0)
n (1;0;0)
n (0; B;0)
n (0;1;0)
A B C D
A' B ' B ' D '
A B C
D
c. / /
A' B ' C ' D '
Khoảng cách từ M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến : Ax By Cz D 0
2
Ax0 By0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
Góc giữa 2 mặt phẳng : AX By Cz D 0 và
cos
a b c
2
d ( M / )
: A ' x B ' y C ' z D ' 0 là:
Aa Bb Cc
2
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 .
- Mặt phẳng ( ) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các
điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) ,có dạng:
x
y
z
( ):
1 được gọi là phương trình mặt
a
b
c
phẳng theo đoạn chắn.
b.
u
d/ '
n (A;B;C) làm vectơ pháp tuyến có dạng:
Vị trí tƣơng đối của 2 mp:
a. d A : B : C A ' : B ' : C '
M M .u
f) Khoảng cách từ điểm M đến d: d 0
M /d
g) Khoảng cách 2 dt chéo nhau:
- Mặt phẳng () đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ
2
2
AA ' BB ' CC '
A2 B 2 C 2 A '2 B '2 C '2
21
Nam Potato
Khối đa diện
1) Hình đa diện: là hình gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện:
a) Hai đa giác bất kì hoặc khơng có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có 1 cạnh chung.
b) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Hình đa diện chia khơng gian thành hai phần (phần bên trong và phần bên ngồi).
Hình đa diện cùng với phần bên trong của nó gọi là khối đa diện.
Mỗi khối đa diện có thể phân chia được thành những khối tứ diện.
2) Khối đa diện: là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
3) Khối đa diện đều: là một khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều bằng nhau và các
cạnh bằng nhau.
Một khối đa diện lồi là đều nếu và chỉ nếu thỏa mãn 3 tính chất:
- Tất cả các mặt của nó là các đa giác đều bằng nhau.
- Các mặt khơng cắt nhau ngồi các cạnh.
- Mỗi đỉnh là giao của một số mặt như nhau (cũng là giao của số cạnh như nhau).
Mỗi khối đa diện đều có thể xác định bởi kí hiệu {p;q} trong đó:
- p = số cạnh của mỗi mặt (hoặc số các đỉnh của mỗi mặt).
- q = số các mặt gặp nhau ở một đỉnh (hoặc số các cạnh gặp nhau ở một đỉnh).
Trong khơng gian ba chiều, có đúng 5 khối đa diện đều lồi.
Loại
Tên gọi
Số đỉnh
Số cạnh
{3;3} Tứ diện đều
4
6
{4;3} Lập phương
8
12
{3;4} Bát diện đều
6
12
{5;3} Mười hai mặt đều
20
30
{3;5} Hai mươi mặt đều
12
30
Số mặt
4
6
8
12
20
Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương
1
1) Thể tích hình chóp: V= Sđáy .h
3
2) Thể tích chóp cụt:
B,B' là diện tích 2 đáy
1
B B ' B.B ' .h
3
h là chiều cao hình chóp
3) Thể tích hình hộp chữ nhật: V= a.b.c
V=
4) Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq 2 Rh
5) Diện tích toàn phần hình trụ: Stp Sxq 2 Sđáy
6) Thể tích hình trụ: V= R 2 h
7) Diện tích xung quanh hình nón: Sxq Rl
1
8) Thể tích hình nón V= R 2 h
3
9) Diện tích xung quanh hình nón cụt:Sxq
2
R R ' l
1 2
R R '2 RR ' h
3
11) Diện tích xung quanh mặt cầu: Sxq 4 R 2
10) Thể tích hình nón cụt: V=
4
12) Thể tích mặt cầu: V= R 3
3
22
