Kì dị của đường công phẳng

Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN
TRƯÍNG Đ„I HÅC SƯ PH„M
—————————————————

TRÀNH SAO LINH

KÌ DÀ CÕA ĐƯÍNG CONG PHNG

LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC

Thái Nguyên – 2016


Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN
TRƯÍNG Đ„I HÅC SƯ PH„M
—————————————————

TRÀNH SAO LINH

KÌ DÀ CÕA ĐƯÍNG CONG PHNG

Chuyên ngành: Đ„I SÈ VÀ LÝ THUY˜T
SÈ Mã sè: 60.46.01.04

LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC

Ngưíi hưîng d¨n khoa håc
TS. ĐOÀN TRUNG CƯÍNG

Thái Nguyên – 2016

Lới cam oan
Tụi xin cam oan rơng nởi dung trỡnh by trong luên vn ny l trung
thỹc, khụng trựng lp vợi cỏc ã ti khỏc v cỏc thụng tin trớch dăn trong
luên vn ó ủc ch rừ nguỗn gốc.
Thỏi Nguyờn, thỏng 4 nm 2016
Ngới viát luên vn

Trnh Sao Linh

i


Lới cÊm n
Luên vn ủc hon thnh trong khúa 22 o tÔo ThÔc s cừa trớng
Ôi hồc S phÔm Ôi hồc Thỏi Nguyờn, dợi sỹ hợng dăn cừa TS. on
Trung Cớng, Viằn Toỏn hồc. Tụi xin by tọ lũng biát n chõn thnh tợi
thƯy hợng dăn, ngới ó tÔo cho tụi mởt phng phỏp nghiờn cựu khoa
hồc, tinh thƯn lm viằc nghiờm tỳc v ó dnh nhiãu thới gian, cụng sực
hợng dăn tụi hon thnh luên vn.
Tụi cng xin by tọ lũng cÊm n sõu sc tợi cỏc thƯy cụ giỏo cừa trớng
Ôi hồc Thỏi Nguyờn, Viằn Toỏn hồc, nhỳng ngới ó tên tỡnh giÊng dÔy,
khớch lằ, ởng viờn tụi vủt qua nhỳng khú khn trong hồc têp.
Tụi xin chõn thnh cÊm n Ban lónh Ôo Khoa Sau Ôi hồc, Trớng Ôi
hồc S phÔm Ôi hồc Thỏi Nguyờn ó tÔo mồi iãu kiằn thuên lủi, giỳp
ù tụi trong suốt thới gian tụi hồc têp.
Cuối cựng, tụi xin cÊm n gia ỡnh, ngới thõn v bÔn bố ó ởng viờn,
ừng hở tụi tụi cú th hon thnh tốt khúa hồc v luên vn cừa mỡnh.
Thỏi Nguyờn, thỏng 4 nm 2016
Ngới viát luên vn

Trnh Sao Linh

ii


Möc löc

Líi cam đoan

i

Líi c£m ơn

ii

Möc löc

iii

Mð đ¦u

1

1

Ki¸n thùc chu©n bà

3

1.1 Mi·n phân tích duy nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Đưíng cong affin và x¤ £nh
1.2 K¸t thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
5

2.1 Đưíng cong đ¤i sè affin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2 Đưíng cong x¤ £nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3 Bëi giao và c§p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4 Tªp các điºm kì dà và đưíng th¯ng ti¸p xúc . . . . . . . . .

26

3 Đưíng cong ph¯ng bªc 3

32
iii

3.1 Đưíng cong ph¯ng suy rëng. . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.2 Bëi giao cõa các đưíng cong suy rëng. . . . . . . . . . . . .

35

3.3 Đưíng cong bªc 3 b§t kh£ quy . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.4 Phân lo¤i đưíng cong trơn bªc 3 . . . . . . . . . . . . . . .

42

K¸t luªn

50

Tài li»u tham kh£o

51

iv


M Ưu

Hỡnh hồc Ôi số l mởt nhỏnh cừa toỏn hồc, nghiờn cựu vã nghiằm cừa cỏc
phng trỡnh a thực. a thực mởt bián cú bao nhiờu nghiằm? Cõu họi ny
ủc trÊ lới mởt cỏch rừ rng bi "nh lý c bÊn cừa Ôi số". Nhng náu ta
xột trong trớng hủp a thực hai bián thỡ têp nghiằm l vụ hÔn. Nhỳng têp
nh vêy, cú th ủc xem nh l ối tủng cừa hỡnh hồc. Chớnh xỏc hn l
ớng cong phng Ôi số. Vỡ vêy, cú hai con ớng xột tớnh giao nhau
õy. Mởt l tứ Ôi số, v mởt l tứ hỡnh hồc nờn nú khụng ỏng ngÔc nhiờn
khi cỏc tớnh chĐt cừa ớng cong ó ủc nghiờn cựu trong nhiãu thá k .
Mửc ớch cừa luên vn ny l trỡnh by lÔi mởt số kát quÊ vã ớng
cong phng dỹa theo ti liằu "Plane Algebraic Curves" cừa Gerd Fischer v
"Elementary Algebraic Geometry" cừa Klaus Hulek.
Luên vn ny chia lm ba chng:
Chng 1, trỡnh by mởt số kián thực vã miãn phõn tớch duy nhĐt v kát
thực. õy cng l cụng cử c bÊn dựng cho cỏc nh ngha v chựng minh
chng sau.
Chng 2, ủc dnh trỡnh by vã cỏc khỏi niằm trong ớng cong
affine v ớng cong xÔ Ênh, lý thuyát giao... Ngoi ra, cũn trỡnh by vã
khỏi niằm im kỡ d, im trn, ớng thng tiáp xỳc cừa ớng cong...

1


Chương 3, trình bày sü phân lo¤i đưíng cong bªc 3 qua tương đương x¤
£nh cũng như sü phân lo¤i đưíng cong bªc 3 trơn b¬ng cách sû döng J −b§t
bi¸n.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Ngưíi vi¸t luªn văn

Trành Sao Linh

2


Chng 1

Kián thực chuân b
1.1

Miãn phõn tớch duy nhĐt

Mửc ny ủc dnh nhc lÔi nh ngha v mởt số kát quÊ c bÊn vã
miãn phõn tớch duy nhĐt. Trợc hát ta cú nh ngha phƯn tỷ bĐt khÊ quy.
nh ngha 1.1.1. Cho A l mởt miãn nguyờn. Mởt phƯn tỷ a A l bĐt
khÊ quy náu tứ mồi phõn tớch a = bc vợi b, c A, thỡ hoc b hoc c l
phƯn tỷ khÊ nghch trong A.
n

Xột mởt phƯn tỷ 0 = a A. Mởt phõn tớch a = a 1 . . . anr vợi a1 , . . . , ar

r
1
A l cỏc phƯn tỷ bĐt khÊ quy v n1 , . . . , nr N ủc gồi l mởt phõn
tớch bĐt khÊ quy. Ta núi phõn tớch bĐt khÊ quy ú l duy nhĐt náu trong
trớng hủp a cú phõn tớch bĐt khÊ quy khỏc
m

a = b1 1 . . . bsms ,
vợi b1 , . . . , bs A l cỏc phƯn tỷ bĐt khÊ quy, m1 , . . . , ms N, thỡ s = r
v sau mởt cỏch ỏnh số lÔi, ta ủc ni = mi , bi = i ai , i = 1, . . . , r vợi
i l cỏc phƯn tỷ khÊ nghch trong A.

nh ngha 1.1.2. Mởt miãn nguyờn A l mởt miãn phõn tớch duy nhĐt
3


náu mồi phƯn tỷ khỏc 0 v khụng khÊ nghch trong A ãu cú mởt phõn tớch
bĐt khÊ quy duy nhĐt.
Vớ dử 1.1.3. Cho k l mởt trớng. Vnh a thực mởt bián k[x] l mởt
miãn phõn tớch duy nhĐt. Bơng cỏch phõn tớch mởt a thực thnh tớch cỏc
a thực cú bêc thĐp hn, ta thĐy mởt a thực luụn cú phõn tớch bĐt khÊ
quy. Sỹ duy nhĐt cừa phõn tớch ú l hằ quÊ cừa thuêt toỏn chia Euclid.
Tớnh chĐt phõn tớch duy nhĐt khỏ phờ bián v cú ựng dửng quan trồng
trong toỏn hồc. Mởt trong nhỳng lý do l nh lý sau õy.
nh lý 1.1.4. Vnh a thực trờn mởt miãn phõn tớch duy nhĐt l mởt
miãn phõn tớch duy nhĐt.
Vớ dử 1.1.3 l trớng hủp riờng cừa nh lý ny. Thêt vêy, mởt trớng k
luụn l mởt miãn phõn tớch duy nhĐt. Do ú, k[x] l miãn phõn tớch duy
nhĐt theo nh lý 1.1.4.
Tứ Vớ dử 1.1.3 v nh lý 1.1.4, ta cú hằ quÊ quan trồng sau ối vợi phƯn
cuối cừa luên vn.
Hằ quÊ 1.1.5. Cho k l mởt trớng, vnh a thực hai bián k[x, y] l mởt
miãn phõn tớch duy nhĐt.
Chựng minh. Ta cú th coi k[x, y] = k[x][y] l vnh a thực theo bián y trờn
vnh k[x]. Do ú, kát luên l hằ quÊ trỹc tiáp cừa Vớ dử 1.1.3 v nh lý
1.1.4.

4


1.2

Kát thực

Khỏi niằm kát thực cú vai trũ c biờt quan trồng trong lý thuyát ớng
cong phng. Nú cho chỳng ta xột giao cừa cỏc ớng cong, tứ ú dăn án
nhiãu khỏi niằm c s khỏc. Do phƯn ny ớt ủc ã cêp án trong cỏc ti
liằu Ôi số nờn chỳng tụi trỡnh by chựng minh cử th cho cỏc kát quÊ chớnh.
nh ngha 1.2.1. Trờn vnh giao hoỏn cú n v A, xột hai a thực
f (x) = a0 X m + ... + am ,
Kát thực cừa f v g l

Rf,g

g(x) = b0 X n + ... + bn A[X ].



a0

0






0
= det

b0

0





0 ...


a1 ... am
a0 a1

0

... 0

... am

0 ...

...
...

...

b1 ... bn

0

... 0

b0 b1 ...

bn

0 ...

...
...

...

0


0





am


0


0

bn

Ma trên trờn cú cù (m + n) ì (m + n). Ma trên ny cú cỏc hng l tồa
ở cừa a thực X n1 f, X n2 f, . . . , X f, f, X m1 , . . . , X g, g theo c
s X n+m1 , . . . , X, 1. Theo nh ngha Rf,g A. TƯm quan trồng cừa kát
thực l nh lý sau.
nh lý 1.2.2. Cho A l miãn phõn tớch duy nhĐt. Cho f, g A[X ]
vợi
a0 , b0 = 0. Khi ú, hai khng nh sau l tng ng
i) f, g cú nhõn tỷ chung vợi bêc 1 trong A[X ].
5


ii) Rf,g = 0 trong A.
chựng minh nh lý, trợc tiờn ta chựng minh bờ ã sau.
Bờ ã 1.2.3. Náu miãn nguyờn A vợi hai a thực f, g A[X ] cú bêc n,
m
tng ựng. Khi ú, hai khng nh sau l tng ng
i) Tỗn tÔi hai a thực 0 = p(x), q(x) A[X ] cú
bêc
deg(p) < deg(g),

deg(q) < deg(f ), thọa món pf + qg = 0.

ii) Rf,g = 0 trong A.
Chựng minh bờ ã. Vợi A l miãn nguyờn, ký hiằu

K =

na
b

|a, b A, b =
o
0

l trớng cỏc phõn thực trờn A. Xột f, g nh cỏc a thực trờn K . Ta cú
Rf,g = det M vợi M l ma trên vuụng.

a1 ... am 0 ... 0
a0

0
a0 a1 ... am 0 ...



...



0
...
...
M =

b0

b1 ... bn 0 ... 0


0
b0 b1 ... bn 0 ...



...


0 ... ...
...


0


0





am


0

0





bn

Chỳ ý rơng, cỏc hng cừa ma trên ny l tồa ở cừa cỏc a thực


X n−1 f, X n−2 f, . . . , X f, f, X m−1 , . . . , X g, g theo cơ sð X n+m−1 , . . . ,
X, 1. Do vªy, Rf,g = 0 tương đương vîi các hàng cõa M là phö thuëc tuy¸n
tính.


Núi cỏch khỏc, tỗn tÔi 1 , . . . , n , 1 , . . . , m K khụng ỗng thới bơng
0
sao cho
(1 X

n1

f + . . . + n1 X f +
n



X m1 g + . . . + m X g + mg) = 0.

f)+
(1

1

Chỳ ý rơng, bơng cỏch quy ỗng mău số ta cú th giÊ sỷ i , j A. t
t
p(x) = 1 X n1 + . . . + n ,
q(x) = 1 X m1 + . . . + m .
Sỷ dửng bờ ã 1.2.3 suy ra pf + qg = 0.
chựng minh nh lý 1.2.2, ta sỷ dửng A l miãn phõn tớch duy nhĐt
v chựng minh hai khng nh sau l tng ng
i) f v g cú nhõn tỷ chung vợi bêc 1 trong A[X ].
ii) Tỗn tÔi p(x), q(x) A[X ] khụng ỗng thới bơng 0 vợi
deg p < deg g , deg q < deg f, thọa món pf + qg = 0.
Chựng minh. i) ii). GiÊ sỷ h l nhõn tỷ chung thỡ f = f1 h v g = g1 h,
trong ú f1 , g1 A[X ] vợi deg f1 < deg f, deg g1 < deg g. t
p(x) = g1 (x), q(x) = f1 (x) ta cú pf + qg =
0.
ii) i) Vỡ A l miãn phõn tớch duy nhĐt nờn A[X ] cng l miãn phõn
tớch duy nhĐt. Vỡ pf + qg = 0 nờn f | qg. Do A[X ] l miãn phõn tớch
n

duy nhĐt suy ra f = f1 1 ...f rnr vợi f1 , ...fr l cỏc a thực bĐt khÊ quy khỏc
nhau. Náu f, g nguyờn tố cựng nhau thỡ f1 , . . . , fr khụng l ợc cừa g.
7


Vªy,
n

f và g ph£i có nhân tû chung f 1 |q, ..., f nr |q, d¨n đ¸n f |q, mâu thu¨n
vîi
r
1
deg q < deg f.

8


Trên C måi đa thùc đ·u có phân tích thành tích các đa thùc tuy¸n tính.
Đi·u này cho ta mët h» qu£ t§t y¸u.
H» qu£ 1.2.4. Cho f, g ∈ C[X ] vîi deg f, deg g ≥ 1. Khi đó các
kh¯ng đành sau là tương đương
i) f và g có nghi»m chung,
ii) Rf,g = 0.
Trong chùng minh Đành lý Bezout ð chương sau ta c¦n thêm thông tin
v· k¸t thùc cõa các đa thùc thu¦n nh§t vîi các bi¸n khác nhau.
Đành lý 1.2.5. Cho k là mët trưíng và A = k[Y1 , ..., Yr ]. Cho f, g ∈ A[X
],
f = a0 X m + a1 X m−1 + ... +
am , g = b0 X n + b1 X n−1 + ... +
bn ,
trong đó a0 , b0 = 0 và ai , bj là thu¦n nh§t vîi bªc i, j tương ùng. Khi đó
ho°c Rf,g ∈ A là thu¦n nh§t bªc (mn) ho°c Rf,g = 0 .

Đành lý 1.2.6. Cho A là mi·n nguyên và cho
f = (X − c1 ) . . . (X −
cm ), g = (X − d1 ) . . . (X
− dn ),

trong đó c1 , ..., cm , d1 , ..., dn ∈ A. Khi đó,
m

n


Đ°c bi»t,

Rf,g

YY
=
(ci − dj ) = g(c1 ) . . .
g(cm ).
i=1 j=1

Rg,f = f (d1 ) . . . f (dn ) = (−1)m.n Rf,g
.


Chựng minh. Xột cỏc a thực
F = (X Y1 . . . (X Ym ) = X m + F1 X m1 + ... +
Fm , G = (X Z1 ) . . . (X Zn ) = X n + G1 X n1 + ...
+ Gn
trong vnh Z[Y1, . . . , Ym , Z1 , . . . , Zn , X ]. é õy, Fà l cỏc a thực ối
xựng theo Y1 , ..., Ym v l thuƯn nhĐt bêc à; G l cỏc a thực ối xựng
theo Z1 , ..., Zn v l thuƯn nhĐt bêc . Ta nh ngha
R = RF,G

v

S =

Y

(Yi Zj ).

i,j

Sỷ dửng nh lý 1.2.5, cÊ hai a thực trong Z[Y, Z ] l thuƯn nhĐt theo Yi ,
Zj bêc m.n. Náu ta thay thá Zj bơng Yi thỡ F v G cú nhõn tỷ chung
tuyán tớnh. Do ú R cú nghiằm tÔi Zj = Yi v thuêt toỏn chia a thực
cho thĐy Yi Zj l ợc cừa R.
Vợi mồi i, j thỡ S l ợc cừa R v do ú R = aS, vợi a Z no ú. Hằ
số
tỹ do cừa RF,G l
(1)m.n (Z1 ...Zn )m .
Nhng õy cng l mởt n thực trong S, do ú a = 1. Thay thá Yi =
ci , Zj = dj ta ủc iãu cƯn chựng minh.
Ta cú hằ quÊ quan trồng sau cừa nh lý 1.2.6
Hằ quÊ 1.2.7. Cho cỏc a thực f1 , f2 , g = 0 trong A[X ]. Ta
cú
Rf1 f2 ,

g

= Rf1 ,g Rf2 ,g
.

Chùng minh. Chú ý r¬ng k¸t thùc đưñc đành nghĩa theo h» sè đa thùc, do đó
không phö thuëc mð rëng trưíng. Xét mët mð rëng húu h¤n k cõa trưíng
các phân sè Frac(A) cõa A. Ta gåi f1 , f2 , g ∈ k[X ] và chån k sao cho
các


đa thùc này có đõ nghi»m. Sû döng Đành lý 1.2.6 ta suy ra ngay
Rf1 f2 ,

g

= Rf1 ,g Rf2 ,g .


Chng 2

ớng cong affin v xÔ Ênh
Nởi dung chớnh trong phƯn ny trỡnh by vã khỏi niằm c bÊn vã ớng
cong affin v xÔ Ênh, xột giao cừa hai ớng cong, mởt số c im c biằt
trờn ớng cong xột trong C.

2.1

ớng cong Ôi số affin

nh ngha 2.1.1. Vợi f =

P
i,j0

j

aij xi1 x2 . t n = max{i + j : aij = 0}.

Khi ú bêc cừa f l deg(f ) = n.
Vớ dử 2.1.2. deg(x12 x2 + x22 3x2 + 2) = 3.
nh ngha 2.1.3. Mởt têp con C C2 ủc gồi l mởt ớng cong Ôi
số affin náu tỗn tÔi mởt a thực f C[X1 , X2 ] sao cho deg f > 0 v
C = V (f ) = {(x1 , x2 ) C2 : f (x1 , x2 ) = 0}.
Khi ú, V (f ) = V (f ) = V (f k ) vợi C v k N . a thực f
cho bi a tÔp rừ rng khụng l duy nhĐt.
Vớ dử 2.1.4. (y x2 )3 xỏc nh cựng ớng cong nh (y x2 ).


Nhc lÔi l mởt a thực f C[x1 , x2 ] l bĐt khÊ quy náu f l phƯn tỷ
bĐt khÊ quy trong vnh C[x1 , x2 ] nh trong nh ngha 1.1.1.
Vợi mồi a thực f C[x1 , x2 ] vợi deg f > 0, cú ớng cong liờn
kát V (f ) C2 . Náu g l ợc cừa f , tực l f = gh thỡ V (f ) = V (g) V
(h). Vỡ f = gh nờn f (x1 , x2 ) = g(x1 , x2 )h(x1 , x2 ). Ta cú f (x1 , x2 ) =
0 khi v ch khi g(x1 , x2 ) = 0 hoc h(x1 , x2 ) = 0, vỡ (x1 , x2 ) V (f )
nờn hoc (x1 , x2 ) V (g) hoc (x1 , x2 ) V (h) suy ra (x1 , x2 ) V (g) V
(h). Do ú V (g) V (f ).
Vớ dử 2.1.5.
(i) Mồi a thực bêc 1 ãu l a thực bĐt khÊ quy.
(ii) f (x1 , x2 ) = x2 + x2 1 l a thực bĐt khÊ
quy.
1

2

Cõu họi ủc t ra l iãu ngủc lÔi cú ỳng khụng? Cõu trÊ lới l nởi
dung cừa Bờ ã Study. Kát quÊ ny thiát lêp c s Ôi số nghiờn cựu cỏc
ớng cong phng.
nh lý 2.1.6. (Bờ ã Study) Cho hai a thực f, g C[x1 , x2 ], f l
a thực bĐt khÊ quy v deg f > 0. Khi ú V (f ) V (g) khi v ch khi f l
ợc cừa g.
Chựng minh. iãu kiằn cƯn ó ủc chựng minh trờn. Ta chựng minh iãu
kiằn ừ. Ta biu diạn
f (x1 , x2 ) = a0 (x1 )xm +a1 (x1 )xm1 +a2 (x1 )xm2 +. . .
+am
2
2
2
g(x1 , x2 ) = b0 (x1 )xn + b1 (x1 )xn1 + b2 (x1 )xn2 + . . . +



1 (x

bn

1

)x +a (x ),
2

m

1 (x

)x

1


+ b (x ),

2

2

2

vîi a0 (x1 ), a1 (x1 ), . . . , am (x1 ) là các đa thùc theo x1 ,

−

1

2

n

1


v b0 (x2 ), b1 (x2 ), . . . , bn (x2 ) l cỏc a thực theo x2 . Bơng cỏch trỏo ời x1 , x2
náu cƯn, ta giÊ sỷ m >
0.
Bợc 1. Ta chựng minh n >

0.
GiÊ sỷ n = 0. Khi ú, g(x1 , x2 ) = b0 (x2 ) l a thực ch phử thuởc x2 . Vỡ
a0 (x1 ) v b0 (x1 ) l cỏc a thực theo x1 nờn cú hỳu hÔn nghiằm, suy ra tỗn
tÔi u C sao cho a0 (u) = 0 v b0 = 0.
Xột f (u, x2 ) = a0 (u)x2m +. . .+am (u) cú nghiằm x2 = v. Do ú (u, v) V (f
). Mt khỏc, (u, v) / V (g) vỡ g(u, v) = b0 (u) = 0. Mõu thuăn. Vêy n >
0.
Bợc 2. Xột kát thực Rf,g C[x1 ]. Ta s chựng minh Rf,g = 0 bơng
cỏch ch ra Rf,g cú vụ số nghiằm. Vỡ a0 (x1 ), b0 (x1 ) cú hỳu hÔn nghiằm nờn
cú vụ số u C sao cho a0 (u)b0 (u) = 0. Vợi mội u, t
fu (x2 ) = f (u, x2 )
C[x2 ], gu (x2 ) = g(u, x2 )
C[x2 ].
Cỏc a thực fu (x2 ), gu (x2 ) cú bêc lƯn lủt l m, n v cú ừ nghiằm. Hn
nỳa, nghiằm cừa fu (x2 ) l nghiằm cừa gu (x2 ),suy ra Rfu ,gu = 0 . Ta lÔi cú
Rf,g (u) = Rfu ,gu = 0 vợi vụ số u C. Vêy Rf,g =
0.
Bợc 3. Vỡ Rf,g = 0 nờn f v g cú nhõn tỷ chung vợi bêc dng. Mt khỏc,
vỡ f l bĐt khÊ quy nờn f l nhõn tỷ cừa g.
Bờ ã Study cú rĐt nhiãu hằ quÊ quan trồng. Trong phƯn tiáp theo ta s


l¦n lưñt xét mët sè trong các h» qu£ đó. Trưîc h¸t ta có h» qu£ sau.
H» qu£ 2.1.7. Måi đưíng cong đ¤i sè C đ·u có vô sè điºm.