Chuyen de rut gon bieu thuc toan 9

VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC
A. NỘI DUNG
* Kiến thức lý thuyết cần chú ý:
1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (A+B)2 = A2 +2AB +B2
2. (A – B)2 = A2 –2AB +B2
3. A2 –B2 = (A-B )(A+B)
4. (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3
5. (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3
6. A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2)
2. Các công thức biến đổi căn thức:
1. A có nghĩa khi A≥0
2. A2  A
3.

AB 

4.

A
A

B
B

A. B

( Với A 0 ; B > 0 )

5. A 2 B  A
6. A B =

( Với A 0 ; B 0 )

B

( Với B 0 )

A2 B

( Với A 0 ; B 0 )

A B = - A2 B

( Với A < 0 ; B 0 )

7.
8.
9.
10.

A
1

B
B
A
B


C

AB

A B
B

A �B



C
A� B

( Với AB 0 và B 0 )
( Với B > 0 )

C ( A mB )
A  B2



C( A m B )
A B

(ví i A �0, A �B 2 )
(ví i A �0, B �0, A �B)

3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành
nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một phân thức.
4. Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân
với biểu thức liên hợp của tử
GV: Hoàng Nghĩa Quang

1

Trường THCS Lương Thế Vinh


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

( hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu phân
thức,... đưa phân thức về dạng rút gọn.
* Các dạng bài tập:
- Rút gọn biểu thức số.
- Rút gọn biểu thức chứa chữ. Sử dụng kết quả rút gọn đế:
+ Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;
+ Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với một số);
+ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức;
+ Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến.

* DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
I. CÁC VÍ DỤ:
+ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/

20 

45  3 18  72 .

b/ ( 28  2 3  7 ) 7  84 .
c/





�
1
d/ �
�
2
�
Giải:
a/

2

6  5  120 .

20 

1
3

2
2

2

4
5

�1
200 �
:
�
�8

45  3 18  72 =

2 2.5 

32.5  3 32.2  6 2.2

= 2 5  3 5 9 2 6 2
=  2  3 5  (9  6) 2 15 2 



b/

28  2 3  7



5.

7  84 = 2 2.7 . 7  2 3. 7  7 . 7  2 2.21.
= 2.7  2 21  7  2 21
= 14  7   2  2  21 21 .

c/





2

6  5  120 = 6  2 30  5 

2 2.30

= 6  5  2 30  2 30 11 .

GV: Hoàng Nghĩa Quang

2

Trường THCS Lương Thế Vinh


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

+

�

1
d /�
�
2
�

1 3

2 2

1
�
 �
4
�

�1 �
�1
1 2
3
4
2
200 �
:


2

10
.2

:
�
�
2
�8 �
�
2
2
2
5
�
�
�8
�
2 8 2�
.8  2 2  12 2  64 2  54 2
�

2
3
2

2

4
5

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ A 

1
1

5 3
5 3

b/ B 

42 3
6 2

c/

C

1
2
2


2 3
6 3 3

Giải:
a/ A 

1
1



5 3
5 3









c/

C



5

5  3  5  3 2 3

 3
53
2



b/ B 

  5  3

3  5  3

5 3 

42 3
6 2

 3
2

2



2

 2 3 1



3 1



3 1



3 1



2






2

3 1



3 1



2



3 1



3 1



1
2

2
2

1
2
2
1
1
2


2 3
6 3 3  2  3  3 
3 3 1



3





 

  3  1  2  2  3 

3  3  1  2  3 

3 1  2  3

GV: Hoàng Nghĩa Quang

3

Trường THCS Lương Thế Vinh


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức




3

2 34





3 1 2  3

2. 3
3







3 1



3 1



3 1

2





3

2 3









32





3 1 2  3

  3

3 1

3  3  1


  3

3 1
3

3

3

 1

3

3

+ Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ 2 2  3  2    1  2 2   2 6  9
2

b/ 2  3  2  3  6
c/



4
2 5





2



4
2 5



8

2

Giải:
a/ 2 2  3  2    1  2 2   2 6  9
2

BĐVT ta có :
2 2



 

3  2  1 2 2



2

 2 6  2 6  4 2  1  4 2  8  2 6  9  VP

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
b/ 2  3  2  3  6
BĐVT ta có :
2

2 3  2 3 



2 3  2 3

2
3  1  3 1



2





42 3  42 3

2





2

3 1 



2

3 1 3 1 2 3

 6  VP

2
2

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
c/



4
2 5



2





4
2 5



2

8

BĐVT ta có :
4

 2  5

2



4

 2  5

2



GV: Hoàng Nghĩa Quang

22

 2  5

2



22

 2  5
4

2

Trường THCS Lương Thế Vinh



3 1

2


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức




2
2 5

2





2 5

2
2
2



52
52



  5  2
 5  2  5  2
52 2

2 5 42 5 4
 8  VP
54

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
+ Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 2  3 và 10
b/ 2003  2005 và 2 2004
c/ 5 3 và 3 5
Giải:
a/ 2  3 và 10
Ta có:
Và





2 3

10



2



2

 2  3  2 6  5  2 6  5  24

 10  5  5  5  25

Vì 24 < 25 => 24 < 25 => 5  24  5  25



Hay

2 3

 
2

10



2

� 2  3  10

b/ 2003  2005 và 2 2004
Ta có:



2003  2005



2

 2003  2005  2 2003.2005
 4008  2

 2004  1  2004  1

 4008  2 20042  1

Và  2 2004   4.2004  2.2004  2 20042
2

20042  1  20042  20042  1  20042
2
2
Vì  4008  2 2004  1  4008  2 2004





2003  2005

 2
2

2004



2

 2003  2005  2 2004

c/ 5 3 và 3 5
Ta có: 5 3 
Và

3 5

52.3 

75

32.5 

Vì 75 > 45 => 75  45 

45
75 

45  5 3  3 5

*MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1
GV: Hoàng Nghĩa Quang

5

Trường THCS Lương Thế Vinh


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Nhận xét biểu thức trong căn. Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng
làm cho loại toán:
+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.
+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai
2
đúng A  A
hoặc đưa về hằng đẳng thức
+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích
+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức
bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức,
trục căn thức ở mẫu…
II. BÀI TẬP:

1.

a/
b/
c/
2.



Thực hiện phép tính:



12  75  27 : 15 ;
252  700  1008  448 ;

2

8 3 5 7 2



72  5 20  2 2

.

Rút gọn các biểu thức sau:

a/

2  3 1 3


;
2
2

b/

3 2 2  6 4 2;

c/

2 3 � 2 3
2
2 3
:�


� 2
2
6
2 3
�

�
�
.
�
�

3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 3  5 và 2 2  6 ;

b/
c/

7 1
2 21

và

14  13

4.Cho

4 1
;
9 5

và

2 3  11 .

A  11  96

và

B

2 2
1 2  3

Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh A và B.

5. Chứng minh các đẳng thức sau:
GV: Hoàng Nghĩa Quang

6

Trường THCS Lương Thế Vinh


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

a/
b/
c/

 2  2   5 2    3

2 5



2

 20 2  33 ;

8  2 10  2 5  8  2 10  2 5  2  10 ;

1
1
1


 ... 
9
1 2
2 3
99  100

* DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ
I. CÁC VÍ DỤ:
� 1

1

�

a 1


* Ví dụ 1: Cho biểu thức M  �
với a >0 và a �1
�:
a  1 �a  2 a  1
�a  a
a/ Rút gọn biểu thức M.
b/ So sánh giá trị của M với 1.
Giải: Đkxđ: a >0 và a �1

1 � a  1 
� 1

�:

a

a
a

1
�
�a  2 a  1

a/ M  �



1 a
a





a1

b/ Ta có M 


.



a1

2

a 1

a1
a

1 



1



a a1

1  a  a  1 

a  a  1 a  1
2

1
a

1



, vì a > 0 => a  0 =>

a1

:

a 1





a1

2

a1
a
1
a

 0 nên 1 

1
a

1

Vậy M < 1.
* Ví dụ 2: Cho biểu thức


1
P 

 x  x 1

 2


x  1  2  2  x
x 3

x 2

2 x  x 

a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b/ Rút gọn biểu thức P.
c/ Tính giá trị của P với x 3  2 2 .
Giải:

GV: Hoàng Nghĩa Quang

7

Trường THCS Lương Thế Vinh


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức




a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 




x
x

 
x
 x

x 0
x  1 0
2

x 0

x 1

2 0

0

 x 1
1


  x 2
2
 x 3

3

b/ Đkxđ : x 1; x  2; x 3

P 








1
x

x 1


x

x 1

x  x 1
x 1





2 

x 3





x  x 1

2
2

x

 x  3



 

x 1



2

2 x  x 

x



2








2


x  1  2  2  x

x 1 2



x



x 2
2



x 



 x  x  1  x  3 x  1  2  2 x  x  2


.
 x  1  2
x 2 x
 x   x  1

















x  x  1  x  3 x  1  2   2  x
.

 x 2 x
x  x 1
x 3




 x  x 1

  1 

x 1

2.



x

x







2 .  1
x





2

x
x

2

c/ Thay x 3  2 2  2  1 vào biểu thức P 
P

2







21



21

2

2



2

21
21



2

2 1
21

2

x
x



, ta có:

1
21

 2 1

* Nhận xét về phương pháp giải:
Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu ngoặc
trước. Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì không.
Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đồng mẫu thì tính toán rất phức tạp. Ta đã trục căn thức ở
mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng.
* Ví dụ 3: Cho biểu thức
2x
x  1 3  11x
A


với x  3
x  3 3  x x2  9
GV: Hoàng Nghĩa Quang

8

Trường THCS Lương Thế Vinh


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A < 2.

c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
Giải:
a/ Đkxđ: x  3
A

2x
x  1 3  11 x
2x
x 1
3  11 x

 2



x  3 3  x x  9 x  3 x  3  x  3 x  3

2 x x  3   x  1 x  3   3  11 x  2 x 2  6 x  x 2  3 x  x  3  3  11 x


 x  3 x  3
 x  3 x  3
3x 2  9 x
3 x  x  3
3x



 x  3 x  3  x  3 x  3 x  3

b/

Ta

có

A

3x
x 3

,

A

<

2

tức

3x
3x
3x  2 x  3
2
 20
0
x 3
x 3
x 3

3x  2 x  6
x 6

0
 0(*)
x 3
x 3
x6 0
Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi 
x 30

  6 x 3
Vậy với  6  x  3 thì A < 2.
3x
9
9
3 
 
   x  3  U (9)
c/ Ta có A 
x 3
x 3
x 3
Mà U (9)  1;3;9 nên ta có:



x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ )
x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ )
x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ )



x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ )



x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ )




x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ )
Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên.
9
GV: Hoàng Nghĩa Quang
Trường THCS Lương Thế Vinh

là


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

* Ví dụ 4: Cho biểu thức
 2x 1
  1  x3
x
.
B 


  1 x 
3
x

x

1
 x 1



x



với x 0 và x 1

a/ Rút gọn B;
b/ Tìm x để B = 3.
Giải: Đkxđ : x 0 và x 1
 2x 1

  1  x3

x

.

a/ B  3
  1 x 

x

x

1
x

1




x



  x  1 x  x  1 
 

x 1
2x 1  x  x

 x  1. x  x  1 .1  2 x  x 
x  x 1

 x  1. x  x  1 . x  1  x  1




x1 
.
x  1 . x  x 1 

2x 1 

x


x


2

b/ Ta có B  x  1 và B = 3, tức là

x  1 3 

x 4  x 16 ( t/m đkxđ)

Vậy với x = 16 thì B = 3.
* Ví dụ 5: Cho biểu thức
3
3
 1
1 
2
1 1 x  y x  x y  y

A 


.
  :
với x > 0 , y > 0
y  x  y x y 
 x
x 3 y  xy 3

a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0
 1
1 
2
1 1

A


.

 :

a/
y  x  y x y 
 x

 x y
2
x  y 


.

:


xy
xy
x

y



 2
x  y 


:
 xy

xy



GV: Hoàng Nghĩa Quang



x



x3  y x  x y  y3
x 3 y  xy 3



x  y x





xy  y  xy x  y



xy x  y







y  x  y

xy  x  y 

10

Trường THCS Lương Thế Vinh


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức




x y
xy

b/ Ta có 




2

xy

.

x



y

x
xy

A

.

2

y  0 


x

x y 2

x
xy

y



2

Vậy min A = 1 khi

xy
xy



xy 0

x  y 2


Do đó

y

2

16
16

1

xy .

( vì xy = 16 )

�
�x  y
� x  y  4.
�
xy  16
�

* MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN 2

(Đây là dạng toán cơ bản và có tính tổng hợp cao)
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác
không… nếu bài toán chưa cho)
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép
biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử
chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác
không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để
kết luận.
Bước 4: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu của bài toán.
+ Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương
trình.
+ Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại
nghiệm và kết luận.
II. BÀI TẬP:
�

��

�

��

2

�

1

3
x
1

:�

�
Bài1: Cho biểu thức A  �
2
�3 x 2  3x �
��
x 3�
27  3x
1)

�

Rút gọn A

GV: Hoàng Nghĩa Quang

11

Trường THCS Lương Thế Vinh


VietMaths.Net - Chuyờn : Rỳt gn biu thc
2)

Tỡm x A < 1

x
1

Bài 2: Cho biểu thức A =
2 2 x

a)
Rút gọn biểu thức A;
b)
Tìm giá trị của x để A > - 6.


x x x x



x 1 x 1





x
2
1
10 x
B
=

:
x

2

Bài 3: Cho biểu thức




x 4 2 x
x 2
x 2


a)
b)

Rút gọn biểu thức B;
Tìm giá trị của x để A > 0.

Bài 4: Cho biểu thức C =
a)
b)

1
3
1

x 1 x x 1 x x 1

Rút gọn biểu thức C;
Tìm giá trị của x để C < 1.

Bài 5: Rút gọn biểu thức :

GV: Hong Ngha Quang

12

Trng THCS Lng Th Vinh


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

a)

D=

x  2  x2  4
x  2  x2  4



x  2  x2  4
x  2  x2  4

;

b)

� x x �
� x x �
P=�
1

1
�
�
�
�
�
�
�
x

1
x

1
�
�
�
�
;
c)
Q=

1

x 1
:
x2  x x x  x  x

;
d)

H=

x 1 2 x  2
x  2 1

GV: Hoàng Nghĩa Quang

13

Trường THCS Lương Thế Vinh


VietMaths.Net - Chuyờn : Rỳt gn biu thc

2x 3 x 2
Bài 7: Cho các biểu thức P =
và Q =
x 2
a)
b)

Rút gọn biểu thức P và Q;
Tìm giá trị của x để P = Q.

Bài 8: Cho các biểu thức B 1


a)
b)
c)

x 3 x 2x 2
x 2

x 3 x 9 x
x3
:




x 9 x x 6 2 x

x 2

x 3

Rút gọn biểu thức B.
Tỡm x B > 0 .
Vi x > 4 ; x 9 , Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc B( x + 1).

3x 9x 3

1
1 1


:
Bài 9: Cho biểu thức P =

x x 2

x

1
x

2

x 1
a)
Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b)

Tìm các số tự nhiên x để

1
là số tự nhiên;
P

c)
Tính giá trị của P với x = 4 2 3 .
Bài

10:
Cho

biểu

thức

:

x 2
x 3
x 2
x
P=


:
2



x 5 x 6 2 x
x 3
x 1



a)

Rút gọn biểu thức P;

b)

Tìm x để

1
5
.
P
2

Bài 11: Cho A

2x
5 x 1
x 10


với x 0. Chứng
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6

minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 12: Cho biểu thức


a 1


M =
ab

1


a 1
ab a
1 :

ab 1
ab

1



ab a
1
ab 1


a)

Rút gọn M.

b)

Tính giá trị của M nếu a= 2 3 và b=
14

3 1

1 3


VietMaths.Net - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
c)

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M nÕu

15

a  b 4