Cài đặt máy turing và ứng dụng máy turing đánh giá độ phức tạp thuật toán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN ANH TÙNG

CÀI ĐẶT MÁY TURING
VÀ ỨNG DỤNG MÁY TURING ĐÁNH GIÁ ĐỘ
PHỨC TẠP THUẬT TOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN ANH TÙNG

CÀI ĐẶT MÁY TURING
VÀ ỨNG DỤNG MÁY TURING ĐÁNH GIÁ ĐỘ
PHỨC TẠP THUẬT TOÁN
Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã
số: 60480101

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. NGUYỄN XUÂN HUY

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này do chính tôi thực hiện, dưới sự hướng
dẫn khoa học của PGS.TSKH. Nguyễn Xuân Huy, số liệu và kết quả nghiên
cứu trong luận văn này hoàn toàn trung thực và chưa sử dụng để bảo
vệ một công trình khoa học nào, các thông tn, tài liệu trích dẫn trong luận
văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Mọi sự giúp đỡ cho việc hoàn thành luận
văn đều đã được cảm ơn. Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệ m.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Anh Tùng


LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy giáo PGS.TSKH. Nguyễn
Xuân Huy đã định hướng và nhiệt tnh hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá
trình làm luận văn.
Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường Đại học Công
nghệ thông tin và truyền thông, các thầy giáo, cô giáo ở Viện công nghệ
thông tin Hà Nội đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho
chúng em trong thời gian học tập.
Xin chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp, các bạn học viên lớp cao
học CK12I, những người thân trong gia đình đã động viên, chia sẻ, tạo điều
kiện giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015

Học viên

Nguyễn Anh Tùng

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... ii
MỤC LỤC ........................................................................................................ iii
DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ ............................................................ v MỞ
ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chƣơng 1. TỔNG QUAN MÔ HÌNH MÁY TURING ................................ 1
1.1. Giới thiệu chung ..................................................................................... 1
1.2. Cấu trúc máy Turing ............................................................................... 2
1.3. Hoạt động của máy Turing ..................................................................... 6
1.4. Trạng thái và sơ đồ trạng thái của máy Turing....................................... 7
1.5. Máy Turing và định nghĩa thuật toán ................................................... 14
1.5.1. Độ phức tạp thuật toán ...................................................................
14
1.5.2. Ứng dụng máy Turing để đo độ phức tạp thuật toán .....................
20
1.6. Kết luận................................................................................................. 21
Chƣơng 2. CÀI ĐẶT MÁY TURING NGUYÊN THỦY VÀ MỘT SỐ
CẢI TIẾN .................................................................................... 22
2.1. Cài đặt Máy Turing............................................................................... 22
2.1.1. Giao diện chương trình................................................................... 27
2.1.2. Cấu trúc dữ liệu đầu vào ................................................................ 30
2.1.3. Các hàm xử lí dữ liệu ..................................................................... 34
2.2. Phát triển bộ nhớ máy Turing ............................................................... 37
2.2.1. Máy Turing nhiều băng .................................................................. 37
2.2.2. Cài đặt cấu trúc ngăn xếp (Stack) .................................................. 37
2.2.3. Cài đặt cấu trúc hàng đợi (Queue) ................................................. 39
2.2.4. Cài đặt bộ nhớ imem và cmem....................................................... 40

2.4. Kết luận................................................................................................. 42
Chƣơng 3. MỘT SỐ CHƢƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG MÁY TURING
ĐO ĐỘ PHỨC TẠP THUẬT TOÁN ......................................... 44
3.1. Bài toán trừ một vào số tự nhiên ..........................................................
44
3.2. Biểu diễn số thập phân n thành (n+1) vạch | .........................................
47
3.3. Biểu diễn (n+1) vạch | thành số tự nhiên n ...........................................
50
3.4. Cộng hai số tự nhiên lớn ....................................................................... 53
3.5. Kết luận................................................................................................. 62
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 65


DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ
Bảng
Bảng 1.1. So sánh câu lệnh giữa cách viết thông thường và cách viết
gộp............. 6
Bảng 1.2. Trạng thái máy Turing .............................................................................
10
Hình vẽ
Hình 1.1. Mô hình máy Turing ....................................................................... 2
Hình 1.2. Mối quan hệ giữa lớp P và NP ...................................................... 18
Hình 1.3. Minh hoạ một phép dẫn bài toán 1 thành 2 trong thời gian
đa thức........................................................................................... 19
Hình 1.4. Mối quan hệ giữa lớp P, NP và NPC ............................................ 20
Hình 2.1. Giao diện máy Turing ................................................................... 27

Hình 2.2. Chọn tệp mặc định ........................................................................ 28
Hình 2.3. Chọn chương trình do người dùng tạo.......................................... 28
Hình 2.4. Nhập dữ liệu từ bàn phím ............................................................. 29
Hình 2.5. Hiển thị kết quả ............................................................................. 29
Hình 2.6. Hiển thị kết quả trung gian của chương trình ............................... 30


MỞ ĐẦU
Thuật toán là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong tin
học. Thuật toán xuất phát từ nhà khoa học Arập Abu Ja’far Mohammed ibn
Musa al Khowarizmi. Chúng ta có thể xem thuật toán là một công cụ dùng
để giải bài toán được xác định trước. Việc nghiên cứu về thuật toán và độ
phức tạp của thuật toán có vai trò rất quan trọng trong khoa học máy tính vì
máy tính chỉ giải quyết được vấn đề khi đã có hướng dẫn giải chính xác và
phù hợp với điều kiện thực tế (điều kiện về công nghệ và chi phí bộ nhớ, thời
gian). Nếu hướng dẫn giải sai hoặc không phù hợp thì máy tính không
thể giải đúng được bài toán hoặc lãng phí tài nguyên. Trong khoa học máy
tính, thuật toán được định nghĩa là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp
xếp theo một trình tự nhất định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy,
từ input của bài toán, ta nhận được output cần tìm. Đối với một thuật toán
điều rất quan tâm đến đó chính là độ phức tạp của nó, đánh giá càng chính
xác độ phức tạp của thuật toán sẽ giúp cho quá trình lựa chọn và sử dụng.
Trước khi có máy tính điện tử Alan Turing đã trình bày các mô hình
máy Turing vào năm 1936 dành cho các thí nghiệm tưởng tượng để tm hiểu
giới hạn tính toán trên máy móc. Tuy không trực tếp ảnh hưởng tới việc chế
tạo máy tính điện tử nhưng máy Turing là một công cụ đo sự hiệu quả của
thuật toán của một bài toán cụ thể.
Bỏ qua các yếu tố phần cứng của công nghệ hiện hành các bài toán
được giải trên máy tính phải có thuật toán để xử lý và theo Alan Turing, tất cả
các thuật toán đều có thể mô tả lại trên mô hình máy Turing, vậy việc đánh

giá các thuật toán trên máy Turing sẽ cho kết quả chính xác và công bằng
nhất.
Độ phức tạp thuật toán được đánh giá bằng máy Turing theo hai têu
chí là: thời gian (số nhịp làm việc của máy Turing) và bộ nhớ (số ô nhớ cần
sử dụng trong quá trình máy làm việc).


Thời gian (số nhịp làm việc của máy Turing): là số lần dịch chuyển của
đầu đọc trên băng.
Bộ nhớ (số ô nhớ cần sử dụng trong quá trình máy làm việc): là số ô trên
bang mà máy Turing ghi các kí tự trong khi xử lý.
Vì vậy học viên chọn đề tài: “Cài đặt máy Turing và ứng dụng máy
Turing đánh giá độ phức tạp thuật toán” với mục đích nghiên cứu một công
cụ đánh giá thuật toán.
Nội dung chính của luận văn bao gồm:
Chương 1: Luận văn trình bày tổng quan về máy Turing và các vấn đền
liên quan đến thuật toán.
Chương 2: Luận văn cài đặt máy Turing trên ngôn ngữ C++ và cải tiến
một số bộ nhớ tăng hiệu quả làm việc của máy.
Chương 3: Luận văn sử dụng máy Turing để giải một số bài toán và
đánh giá độ phức tạp cụ thể từng bài.


Chƣơng 1
TỔNG QUAN MÔ HÌNH MÁY TURING
Trong chương này của luận văn học viên giới thiệu lại một số định
nghĩa về máy Turing và thuật toán. Trong đó có mô tả về máy Turing học viên
đã cài đặt, từ đó chỉ ra quan hệ giữa máy Turing và độ phức tạp của thuật
toán.
1.1. Giới thiệu chung

Máy Turing là một mô hình thiết bị xử lý kí tự, tuy đơn giản, nhưng có
thể thực hiện tất cả các thuật toán máy tính. Các máy Turing được
Alan Turing trình bày năm 1936. Các máy Turing không dành cho việc trực
tiếp tạo ra các máy tính thực tế mà dành cho các thí nghiệm tưởng tượng để
tìm hiểu về giới hạn của việc tính toán trên máy móc. Việc nghiên cứu tính
chất máy Turing cho nhiều kiến thức quan trọng trong lĩnh vực khoa học máy
tính và lý thuyết độ phức tạp thuật toán. [2]
Trong luận đề Church-Turing đã khẳng định mọi hàm toán học tính được
đều có thể dùng máy Turing để tính toán do đó có phép định nghĩa về
các khái niệm về sự tính được của hàm hoặc thuật toán.
Máy Turing có nhiều dạng đồng khả năng, tức là có nhiều mô hình và
định nghĩa cho máy Turing nhưng chúng đều tương đương nhau. Về cơ
bản mô hình máy Turing gồm 3 phần chính sau:
- Một bộ điều khiển hữu hạn.
- Một băng chia thành các ô.
- Một đầu đọc-ghi, mỗi lần đọc có thể duyệt qua một ô trên băng để đọc
hay viết ký hiệu.[2]


Bộ điều khiển có số trạng thái hữu hạn trong đó có trạng thái ban đầu
và trạng thái kết thúc. Như vậy khi máy Turing bắt đầu hoạt động sẽ nhận
trạng thái đầu tiên là trạng thái ban đầu, máy chỉ dừng khi đạt trạng thái kết
thúc.
Trên băng mỗi ô có thể giữ một ký hiệu hợp lệ (ký hiệu được phép ghi
trên băng) khởi đầu xem như n ô bên trái ( n  0 ) giữ chuỗi nhập (input), các
ô còn lại là các ký tự trắng (ký tự trắng là ký tự đặc biệt nhưng không thuộc
chuỗi nhập), phần còn lại của băng được coi là vô hạn.
Đầu đọc ghi có thể di chuyển sang trái, phải hoặc đứng yên tùy vào
trạng thái hiện tại và ký tự nhận được. Đầu đọc ghi có thể nhận dạng kí
tự hiện hành và viết đè một ký tự khác vào ô đó để thay ký tự cũ.

Hình 1.1. Mô hình máy Turing
1.2. Cấu trúc máy Turing
Về mặt toán học máy Turing có thể được định nghĩa như
sau: Định nghĩa máy Turing:[7]
Máy Turing là một hệ thống M (Q, , ,  , q0 , B, F ) , trong đó:
Q là tập hữu hạn các trạng thái.
 là bộ ký hiệu nhập.
 là tập hữu hạn các kí tự được phép viết trên băng.


B là ký hiệu thuộc  dùng chỉ khoảng trắng trên băng (Blank).
q0  Q là trạng thái bắt đầu của hệ thống.
F  Q là trạng thái kết thúc của hệ thống.

Hàm chuyển  hoạt động như sau:  : Qx  Qxx (trái, phải, không
dịch chuyển).
Hàm chuyển  được định nghĩa trước và máy Turing chỉ có thể hoạt
động theo hàm chuyển này.
Trong khuôn khổ luận văn, học viên cài đặt máy Turing theo các câu
lệnh để biểu diễn thuật toán. Trong đó mỗi câu lệnh có năm thành phần
dạng (S, C, R, T, Q)
Trong đó:
S: là trạng thái hiện hành của máy Turing.
C: là ký tự tại ô mà con trỏ đang trỏ.
R: là kí tự sẽ điền thay vào vị trị của C, nếu R = _ tức là giữ nguyên kí tự
C. T: là hướng dịch chuyển của con trỏ bao gồm L: dịch trái.
R: là dịch phải.
N: là không dịch chuyển.
Q: là trạng thái máy Turing chuyển đến sau khi thực hiện dãy lệnh.

Ngoài ra chương trình mặc định các trạng thái của máy Turing theo
dạng số nguyên dương, trạng thái bắt đầu là trạng thái 1, trạng thái kết thúc
là trạng thái 0.
Ví dụ:
1abR2


Câu lệnh trên sẽ hoạt động như sau:
Trạng thái hiện hành của máy Turing là 1, con trỏ máy đang chỉ vào ô
chứa kí tự “a”, máy Turing sẽ điền kí tự “b” thay thế vào ô đó. Con trỏ máy
sau đó chuyển dịch sang phải 1 ô, trạng thái máy chuyển thành 2.
Để cải tiến cách soạn thảo học viên cài đặt máy Turing nhận các câu lệnh
trong đó thay thế các thành phần không thay đổi trong lệnh máy thành dấu
gạch dưới. Và có thể dùng câu lệnh gộp khi 1 trạng thái gặp nhiều kí tự khác
nhau nhưng có cùng cách xử lý như nhau.
Ví dụ:
Lệnh 1 _ _ _ _ sẽ hoạt động như sau:
Nếu máy đang ở trạng thái 1.
Ô nhớ đang được con trỏ máy trỏ vào chứa bất cứ ký tự nào;
Giữ nguyên ký tự đó;
Con trỏ không dịch chuyển;
Trạng thái sau khi thực hiện lệnh không thay đổi là trạng thái 1.
Ví dụ: câu lệnh gộp.
1 {a,b,c} _ R _ sẽ hoạt động như sau:
Trạng thái hiện hành của máy Turing là trạng thái “1”.
Đầu đọc ghi trỏ tới một trong các kí tự “a”, “b”, “c” sẽ giữ nguyên kí tự
đó. Đầu đọc ghi dịch chuyển sang phải 1 ô.
Trạng thái máy Turing giữ nguyên là trạng thái “1”.
Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của một số.

- Tư tưởng thuật toán: để xét một số là chẵn hay lẻ chỉ cần chia lấy phần
dư
cho 2, nếu kết quả là 1 suy ra số đó là số lẻ, còn kết quả là 0 số đó là số
chẵn.
Hoặc nếu biểu diễn số cần xét là một dãy các chữ số: X = X1X2 ......Xn1Xn , nếu
chữ số cuối cùng X n {0, 2, 4, 6, 8} thì số cần xét X là số chẵn, nếu chữ số cuối
cùng X n {1,3,5,7,9} thì số cần xét X là số lẻ.
Mã chương trình máy Turing:
1 _ _ R _ // dịch phải chuỗi số.
1#_L2
2 {0,2,4,6,8} 0 L 3 // kí tự “0” biểu thị số chẵn.
2 {1,3,5,7,9} 1 L 3 // kí tự “1” biểu thị số lẻ.
3 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} # L 3 // loại các số không ở trong kết quả.
3 # _ _ 0 // trạng thái 0 là trạng thái kết
thúc. Kết quả của chương trình:
Mô phỏng với số đầu vào là 33.
Input: #33# (2)
Command: 1 _ _ R _  #33# (2)
Command: 1 _ _ R _  #33# (2)
Command: 1 # _ L 2  #33# (2)
Command: 2 3 1 L 3  #31# (2)
Command: 3 3 # R 3  #1# (2)
Command: 3 # _ N 0  #1# (2)
Final output: #1# (1)


Timer = 6
Chương trình trải qua 6 bước để đưa ra kết luận số 33 là số lẻ (tương
ứng với kết quả là “1”).

Vậy với thuật toán trên máy Turing trải qua 6 bước chuyển, số ô sử dụng
là 2.
 So sánh cách soạn thảo viết rõ từng lệnh máy với cách sử dụng
những kí hiệu mà học viên cài đặt:
Bảng 1.1. So sánh câu lệnh giữa cách viết thông thƣờng
và cách viết gộp
Cách viết thông thường
200L3

Cách viết gộp
2 {0,2,4,6,8} 0 L 3

220L3
240L3
260L3
280L3
Hai cách viết trên đều hoạt động giống nhau đó là khi máy Turing ở
trạng thái 2 gặp các kí tự “0”, “2”, “4”, “6”, “8” chuyển thành kí tự “0”, dịch
con trỏ sang trái một ô, chuyển trạng thái máy Turing thành trạng thái “3”.
Nhưng với cách viết thông thường học viên sẽ phải viết 5 dòng lệnh, trong
đó với cách viết lệnh gộp học viên chỉ cần 1 lệnh duy nhất để thực hiện.
1.3. Hoạt động của máy Turing
Máy Turing hoạt động theo cơ chế như sau:[5]


- Đầu đọc ghi đọc một kí tự trên ô của băng, phụ thuộc vào trạng thái
bên trong mà đầu đọc ghi ghi một kí tự hợp lệ vào ô đó (kí tự thuộc tập  ).
- Đầu đọc ghi dịch chuyển sang trái, sang phải hoặc đứng yên tại chỗ.
- Trạng thái bên trong được thay đổi tùy vào kí tự được đọc và trạng
thái hiện hành.

- Máy Turing bắt đầu từ trạng thái ban đầu và dừng khi đạt trạng
thái kết thúc.
Máy Turing được mô tả trong luận văn của học viên hoạt động
theo đúng cơ chế trên, cụ thể trong chương trình học viên quy ước trạng
thái bắt đầu của máy Turing là trạng thái “1”, trạng thái kết thúc là trạng thái
“0”. Vậy một chương trình viết bởi các câu lệnh để mô tả thuật toán sẽ dừng
lại khi gặp câu lệnh dạng (S C R T 0). Các thành phần của câu lệnh đã được
học viên trình bày ở phần 1.2.
1.4. Trạng thái và sơ đồ trạng thái của máy Turing[2]
Một hình thái của máy Turing M được cho bởi α 1 q α2, trong đó q là
*

trạng thái hiện hành của M; α1α2 ∈ Γ là nội dung của băng tính từ đầu băng
cho tới ký hiệu khác Blank bên phải nhất của băng. Giả sử Q và Γ rời nhau:
đầu đọc đang đọc ký hiệu bên trái nhất của α 2 hoặc nếu α2 = ε thì đầu
đọc đọc Blank.
Hàm chuyển
Ta định nghĩa một phép chuyển trạng thái của TM như sau:
Đặt X1X2... Xi-1q Xi... Xn là một hình thái của máy Turing.
+ Giả sử δ (q, Xi) = (p, Y, L), trong đó:


- Nếu i - 1 = n thì Xi là B.
- Nếu i =1 thì không có ID kế tiếp, nghĩa là đầu đọc không được phép
vượt qua cận trái của băng.
- Nếu i > 1 ta viết:
X1X2... Xi-1q Xi... Xn ⊢M X1X2... Xi-2p Xi-1Y Xi+1... Xn
+ Tương tự δ(q, Xi) = (p, Y, R) thì ta viết:
X1X2... Xi-1q Xi... Xn ⊢M X1X2... Xi-1Yp Xi+1... Xn
+ Tương tự δ(q, Xi) = (p, Y, ∅) thì ta viết:

X1X2... Xi-1q Xi... Xn ⊢M X1X2... Xi-1pY Xi+1... Xn
Chú ý rằng nếu i - 1 = n thì chuỗi Xi... Xn là rỗng và vế phải dài hơn vế
trái, nghĩa là TM M mở rộng chuỗi ký hiệu trên băng.
Nếu hai hình thái máy được quan hệ nhau bởi ⊢M thì ta nói hình thái
thứ hai là kết quả của hình thái thứ nhất bằng một lần chuyển, một bước áp
dụng hàm chuyển (hoặc nói hình thái thứ hai thu được từ hình thái thứ
nhất bằng một lần chuyển). Nếu một hình thái thu được từ hình thái khác
*

bằng một số lần chuyển (có thể bằng 0) thì ta ký hiệu quan hệ là ⊢M . Ta
cũng có thể bỏ đi ký hiệu M trong cách viết các quan hệ trên nếu không có
nhầm lẫn.
Ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM.
*

Ký hiệu L(M): tập hợp các chuỗi trong Γ là nguyên nhân đưa TM M đi
vào trạng thái kết thúc khi đã thực hiện việc thay thế từ bên trái các ký hiệu
trên băng của M với trạng thái bắt đầu q0. Một cách hình thức, ta định nghĩa
tập hợp ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM M (Q, ∑, Γ, δ, q0, B, F) là tập:


*

*

*

L(M) = { w | w ∈ Γ và q0 w ⊢M α1 p α2 với p ∈ F còn α1α2 ∈ Γ }
Cho TM nhận diện một ngôn ngữ L là cho lần lượt các từ của L vào TM
xem TM có chấp nhận từ đó không. TM sẽ dừng và đi vào một trong những

trạng thái kết thúc ∈ F (không có phép chuyển kế tiếp) khi từ được chấp
nhận, nhưng nếu TM không chấp nhận một từ nào đó thì TM có thể ngừng ở
một trạng thái ∉ F hoặc cũng có thể nó chạy mãi mà không dừng lại.
n n

Ví dụ: Thiết kế TM chấp nhận ngôn ngữ L = { 0 1 | n ≥ 1}.
Cách 1: Thiết kế bằng định nghĩa của máy Turing:
- Tư tưởng thuật toán:
n n

+ Khởi đầu TM chứa 0 1 bên trái nhất trên băng sau đó là vô hạn
khoảng trống Blank. TM lặp lại quá trình sau:
+ M thay 0 bên trái nhất bằng X rồi chuyển sang phải tới 1 trái nhất, TM
thay 1 này bằng Y rồi dịch chuyển về bên trái cho tới khi gặp X phải nhất nó
chuyển sang phải một ô (tới 0 trái nhất) rồi tếp tục lặp một chu trình mới.
+ Nếu trong khi dịch chuyển sang phải để tm 1 mà TM gặp Blank thì
TM dừng và không chấp nhận input. Tương tự, khi TM đã thay hết 0 bằng X
và kiểm tra còn 1 trên băng thì TM cũng dừng và không chấp nhận input.
+ TM chấp nhận input nếu như cũng không còn ký hiệu 1 nào nữa trên
băng.
- Định nghĩa máy Turing:
Đặt TM M (Q, ∑, Γ, δ, q0, B, F) với các thành phần:
Q = {q0, q1, q2, q3, q4}; ∑= {0, 1}; Γ = {0, 1, X, Y, B} và F = {q4}.
Ta có thể hình dung mỗi trạng thái là một câu lệnh hoặc một nhóm các
câu lệnh trong chương trình. Trạng thái q 0 là trạng thái khởi đầu và nó
làm


cho ký hiệu 0 bên trái nhất thay bằng X. Trạng thái q1 được dùng để tiến sang
phải bỏ qua các số 0 và Y để tìm 1 bên trái nhất. Nếu M tìm thấy 1 nó thay 1

bằng Y rồi đi vào trạng thái q2. Trạng thái q2 đưa M tiến sang trái cho tới X
đầu tên và đi vào trạng thái q0, dịch chuyển sang phải để tới 0 bên trái nhất
và tếp tục một chu trình mới. Khi M tến sang phải trong trạng thái q 1,
nếu B hoặc X được tìm thấy trước 1 thì input bị loại bỏ (không chấp
* *

nhận) vì có chứa nhiều ký hiệu 0 hơn 1 hoặc input không có dạng 0 1 .
Trạng thái q0 còn có vai trò khác. Nếu trạng thái q2 tìm thấy X bên phải
nhất và ngay sau đó là Y thì các số 0 đã được xét hết, do đó ở trạng thái
bắt đầu một chu trình mới q0 không tm thấy ký hiệu 0 nào để thay thành
X mà chỉ gặp Y thì TM đi vào trạng thái q3 duyệt qua các Y để kiểm tra có
hay không có ký hiệu 1 còn lại. Nếu theo ngay sau các Y là B, nghĩa là trên
băng nhập không còn ký hiệu 1 nào nữa thì TM sẽ đi vào q 4 (trạng thái kết
thúc) để chấp nhận input. Ngược lại input bị loại bỏ.
Hàm chuyển δ được cho trong bảng sau:
Bảng 1.2. Trạng thái máy Turing
n n

Trạng thái

hiệu
đoán nhận ngôn ngữ LKí
= {0
1 | n ≥ 1}
0

1

X

Y

B

q0

(q1 , X , R)

-

-

(q3 ,Y , R)

-

q1

(q1 , 0, R)

(q2 ,Y , L)

-

(q1 ,Y , R)

-

q2

(q2 , 0, L)

-

(q0 , X , R)

(q2 ,Y , L)

-

q3

-

-

-

(q3 ,Y , R)

(q4 , B, )


q4

-

-

-

-

-

Ví dụ:
+ Các phép chuyển hình thái của TM M trên input 0011:
q00011 ⊢ Xq1011 ⊢ X0q111 ⊢ X q20Y1 ⊢ q2X0Y1 ⊢ X q00Y1 ⊢ XXq1Y1 ⊢
XXY
q11 ⊢ XX q2YY ⊢ X q2XYY ⊢ XX q0YY ⊢ XXYq3Y ⊢ XXYYq3 ⊢ XXYYq4
Với chuỗi input 0011 máy Turing đạt được trạng thái q4 thuộc tập
trạng thái dừng, nên máy Turing trên đoán nhận được xâu 0011.
+ Các phép chuyển hình thái của TM M trên input 0001
q00001 ⊢ Xq1001 ⊢ X0q101 ⊢ X 00q1 1 ⊢ X0q20Y ⊢ X q200Y ⊢ q2X00Y
⊢
Xq000Y ⊢ XX q10Y ⊢ X q2XYY ⊢ XX 0q1Y ⊢ XX0Yq1
Với chuỗi input 0001 TM M không đạt được trạng thái kết thúc nên
không đoán nhận được xâu 0001 hay xâu input 0001 không thuộc ngôn ngữ L
n n

= { 0 1 | n ≥ 1}.
Cách 2: Thiết kế bằng lệnh máy Turing do học viên cài đặt:
- Tư tưởng thuật toán:
Về cơ bản thuật toán giống với cách 1. Học viên thêm vào kết thúc của
các xâu input kết luận máy TM M có đoán nhận được xâu hay không ở output.
- Mã lệnh chương trình:
10XR2
1Y_R4
1 {1,X,#} _ N 7 // không đoán nhận được xâu
2 {0,Y} _ R 2 // dịch phải để tìm 1

21YL3


2 {X, #} _ N 7
3 {0, Y} _ L 3 //dịch trái để tm X
3X_R1
3 {1,#} _ N 7
4 Y _ R 4 // dịch phải tìm #
4 # _ N 5 // đoán nhận được xâu
4 {0,1,X} _ N 7
5#=R6
6 # D N 0 // đạt trạng thái dừng đoán nhận được
7 {0, 1, X, Y} _ R 7 // dịch phải tm #
7#=R8
8 # K N 0 // đạt trạng thái dừng không đoán nhận được
- Trong đoạn mã lệnh trên ta có:
+ Tập các kí tự được sử dụng = {0,1,X,Y,D,K}
+ Kí tự trắng: #
+ Tập các trạng thái = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
+ Trạng thái bắt đầu: 1
+ Trạng thái kết thúc: 0
- Ví dụ minh họa:
+ Chương trình chạy với input 0011
Input: #0011# (4)
Command: 1 0 X R 2  #X011# (4)
Command: 2 0 _ R _  # X011# (4)


Command: 2 1 Y L 3  # X0Y1# (4)
Command: 3 0 _ L 3  # X0Y1# (4)

Command: 3 X _ R 1  # X0Y1# (4)
Command: 1 0 X R 2  # XXY1# (4)
Command: 2 Y _ R 2  # XXY1# (4)
Command: 2 1 Y L 3  # XXYY# (4)
Command: 3 Y _ L 3  # XXYY# (4)
Command: 3 X _ R 1  # XXYY # (4)
Command: 1 Y _ R 4  # XXYY # (4)
Command: 4 Y _ R 4  # XXYY # (4)
Command: 4 # _ N 5  # XXYY # (4)
Command: 5 # = R 6  # XXYY = # (5)
Command: 6 # D N 0  # XXYY = D# (6)
Final output: #XXYY=D# (6)
Timer = 15
Vậy với input 0011 được máy Turing đoán nhận.
Thời gian hoàn thành là 15 bước chuyển.
Không gian bộ nhớ tối đa là 6 ô.
+ Chương trình chạy với input 010
Input: #010# (3)
Command: 1 0 X R 2  #X10# (3)
Command: 2 1 Y L 3  #XY0# (3)
Command: 3 X _ R 1  #XY0# (3)


Command: 1 Y _ R 4  #XY0# (3)
Command: 4 0 _ N 7  #XY0# (3)
Command: 7 0 _ R 7  #XY0# (3)
Command: 7 # = R 8  #XY0=# (4)
Command: 8 # K N 0  #XY0=K# (5)
Final output: #XY0=K# (5)
Timer = 8

Vậy máy TM M không đoán nhận được input 010.
Bộ nhớ tối đa cần dung là 5 ô.
Chương trình thực hiện sau 8 bước chuyển máy.
1.5. Máy Turing và định nghĩa thuật toán
1.5.1. Độ phức tạp thuật toán
a) Định nghĩa thuật toán[1]
Ta có thể định nghĩa (không chính thức) về thuật toán như sau:
Thuật toán là một dãy hữu hạn các bước, mỗi bước mô tả chính xác
các phép toán, hoặc hành động cần thực hiện… để chuyển input thành
output.
b) Các đặc trưng của thuật toán
- Đầu vào (Input).
Đầu vào của thuật toán chính là các giá trị cần đưa vào khi thuật toán
bắt đầu làm việc. Các giá trị này cần được lấy từ các tập hợp giá trị cụ thể nào
đó.
- Đầu ra (Output).


Mỗi thuật toán có một hoặc nhiều dữ liệu ra. Đó là các dữ liệu có quan
hệ hoàn toàn xác định với các dữ liệu vào, và là kết quả của sự thực hiện
thuật toán.
- Tính xác định.
Ở mỗi bước, các thao tác phải rõ ràng, không gây nên sự nhập
nhằng. Nói rõ hơn là trong cùng một điều kiện, hai bộ xử lí cùng thực hiện
một thuật toán phải cho cùng một kết quả như nhau.
- Tính khả thi.
Tất cả các phép toán có mặt trong thuật toán phải đủ đơn giản. Điều
đó có nghĩa là, các phép toán có thể được thực hiện trực tếp (bằng giấy và
bút).
- Tính dừng.

Với mọi bộ dữ liệu đầu vào (lấy từ các tập của dữ liệu vào), thuật toán
phải dừng sau một số hữu hạn bước thực hiên.
- Tính đơn trị (uniqueness).
Các giá trị trung gian của thuật toán trong từng bước và kết quả
thực hiện thuật toán được xác định một cách đơn trị và chỉ phụ thuộc vào
đầu vào và kết quả của các bước trước.
- Tính tổng quát (generality)-tính phổ dụng
Với mọi tập đầu vào thuộc dạng của bài toán thuật toán đều có thể giải
được. Tức là thuật toán phải dùng để giải được một lớp các bài toán cùng
loại.
Xác định độ phức tạp về thời gian
* Quy tắc tổng: Giả sử T1(n) và T2(n) là thời gian thực hiện hai đoạn
chương trình P1 và P2 mà T1(n) = O(f(n)); T2(n) = O(g(n)) thì thời gian thực


hiện P1 và P2 kế tiếp nhau sẽ là: