Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề đại số 11 nguyễn phú khánh

bộ tài liệu gồm 400 trang, file word, lời giải chi tiết
Chúng tôi xin trích dẫn một phần nội dung bộ tài liệu
này

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƢỢNG
GIÁC VÀ PHƢƠNG
TRÌNH LƢỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I. Các công thức lƣợng giác
1. Các hằng đẳng thức:
* sin2   cos2   1

với mọi 

* tan .cot   1

với mọi  

k
2

- Website chuyên file word


Giáo án dạy thêm 11

* 1  tan 2  
* 1  cot 2  

1

cos2 
1

với mọi   k2

với mọi   k
sin 2 
2. Hệ thức các cung đặc biệt
a.Hai cung đối nhau:  và 
cos()  cos 
tan()   tan 
b. Hai cung phụ nhau:  và

sin()   sin 
cot()   cot 



2


sin(  )  cos 
2

cot(  )  tan 
2


 )  sin 
2


tan(  )  cot 
2
c. Hai cung bù nhau:  và   
sin(  )  sin 
tan(  )   tan 
cos(

cos(  )   cos 
cot(  )   cot 

d) Hai cung hơn kém nhau  :  và   
sin(  )   sin 
tan(  )  tan 
3. Các công thức lượng giác
a. Công thức cộng
cos(a  b)  cosa.cos b sina.sin b
tan(a  b) 

cos(  )   cos 
cot(  )  cot 

sin(a  b)  sina.cos b  cosa.sin b

tana  tan b
1 tana.tan b

b) Công thức nhân
sin 2a  2sinacosa
cos 2a  cos2 a  sin2 a  1  2sin2 a  2cos2 a  1

sin 3a  3sina  4sin3 a
c. Công thức hạ bậc
1  cos 2a
sin 2 a 
2
1  cos 2a
tan 2 a 
1  cos 2a
d. Công thức biến đổi tích thành tổng

6

cos3a  4cos3 a  3cosa
cos2 a 

1  cos 2a
2

- Website chuyên file word


1
cosa.cos b  [cos(a  b)  cos(a  b)]
2
1
sina.sin b  [cos(a  b)  cos(a  b)]
2
1
sina.cos b  [sin(a  b)  sin(a  b)] .

2
e. Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
ab
ab
ab
cosa  cos b  2 cos
cosa  cos b  2 sin
.cos
.sin
2
2
2
2
ab
ab
ab
ab
sina  sin b  2 sin
s ina - sin b  2 cos
.cos
.sin
2
2
2
2
sin(a  b)
sin(a  b)
.
tana  tan b 

tana  tan b 
cosa cos b
cosa cos b
II. Tính tuần hoàn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số y  f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần

hoàn nếu có số T  0 sao cho với mọi x  D ta có
x  T  D và f(x  T)  f(x) .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được
gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì T .
III. Các hàm số lƣợng giác
1. Hàm số y  sin x
 Tập xác định: D  R
 Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1  sin x  1 x  R
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 



 k2;  k2) , nghịch biến trên
2
2


3
mỗi khoảng (  k2;
 k2) .
2
2
 Hàm số y  sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm

đối xứng.
 Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .
 Đồ thị hàm số y  sin x .
y
-

-5
2
-3

-

-2
-3

3

2
O

1 



2

3

2
5

2

2
2

- Website chuyên file word

2

x


Giáo án dạy thêm 11

2. Hàm số y  cos x
 Tập xác định: D  R
 Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1  cos x  1 x  R
 Hàm số y  cos x nghịch biến trên mỗi khoảng (k2;   k2) , đồng biến

trên mỗi khoảng (  k2; k2) .
 Hàm số y  cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục

đối xứng.
 Hàm số y  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .
 Đồ thị hàm số y  cos x .

Đồ thị hàm số y  cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x

theo véc tơ v  (  ; 0) .

2
y
-

-5
2

-

-2

3


2

-3

-3

1


O

2

3

2

5

2

2

x

2

3. Hàm số y  tan x
 Tập xác định : D 


\   k, k 
2





 Tập giá trị:
 Là hàm số lẻ
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì T  
 


 Hàm đồng biến trên mỗi khoảng    k;  k 
2
2



 Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x 


 k, k 
2

làm một đường tiệm cận.

 Đồ thị

8

- Website chuyên file word


y

-

-2
-5

-3

2

2

4. Hàm số y  cot x
 Tập xác định : D 





-



2

2

5

3


2

2
x

2

O

\k, k 



Tập giá trị:
Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì T  
Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng  k;   k 

 Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x  k, k 
 Đồ thị

làm một đường tiệm cận.

y

-

-2
-5

-3

2

2

-



2

2

5

3


2

2

2
x

O

B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm số
Phƣơng pháp .
 Hàm số y  f(x) có nghĩa  f(x)  0 và f(x) tồn tại
1
có nghĩa  f(x)  0 và f(x) tồn tại.
f(x)
 sin u(x)  0  u(x)  k, k 

 Hàm số y 

- Website chuyên file word

Giáo án dạy thêm 11

 cos u(x)  0  u(x) 


 k, k 
2

.

 1  sin x, cos x  1 .
Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:

1. y  tan(x  )
6

2. y  cot 2 (

2
 3x)
3

Lời giải.

 
2

1. Điều kiện: cos(x  )  0  x    k  x 
 k
6
6 2
3
 2

TXĐ: D  \   k, k   .
3



2
2
2

 3x)  0 
 3x  k  x 
k
3
3
9
3
 2


\  k , k   .
3
9


2. Điều kiện: sin(
TXĐ: D 

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau:
tan 2x

1. y 
 cot(3x  )
sin x  1
6

2. y 

Lời giải.


sin x  1
x   2  k2

1. Điều kiện: 


sin(3x  )  0
x     k
6


18 3
 

 n

; k,n  
Vậy TXĐ: D  \   k2,  
2
18
3





2. Ta có: sin 4x  cos 3x  sin 4x  sin   3x 
2


x 
 7x  
 2 cos    sin 
 
2 4
 2 4

10

- Website chuyên file word

tan 5x
sin 4x  cos 3x






x  10  k 5
cos
5x

0



x 


Điều kiện: cos     0  x   k2
2
2 4


 k2
  7x  

 0
sin 
x   14  7

  2 4 

  k 
 2m
\ 
,  n2,  
.
10
5
2
14
7 

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số sau:
1  sin 2x
1  cos 3x
1. y 
2. y 
cos 3x  1
1  sin 4x

3. y  tan(2x  )
1  cot 2 x
4. y 
4
1  sin 3x
Bài 2 Tìm tập xác định của hàm số sau:
tan 2x
1
1. y 

2. y 
sin 2x  cos 3x
3 sin 2x  cos 2x
cot x


3. y 
4. y  tan(x  ).cot(x  )
2 sin x  1
4
3
Bài 3 Tìm tập xác định của hàm số sau:
2. y  tan 3x.cot 5x

1. y  tan(2x  )
3

4. y  tan 3x  cot(x  )
2  sin x
3
3. y 
2
tan 4x
tan x
6. y 
cos
4x
 sin 3x
sin 3x
5. y 

sin 8x  sin 5x

Vậy TXĐ: D 

Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm số
Phƣơng pháp .
Cho hàm số y  f(x) tuần hoàn với chu kì T
* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc
tơ k.v (với v  (T; 0), k 

) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

* Số nghiệm của phương trình f(x)  k , (với k là hằng số) chính bằng số giao
điểm của hai đồ thị y  f(x) và y  k .

- Website chuyên file word


Giáo án dạy thêm 11

* Nghiệm của bất phương trình f(x)  0 là miền x mà đồ thị hàm số y  f(x)
nằm trên trục Ox .
Chú ý:
 Hàm số f(x)  a sin ux  bcos vx  c ( với u,v 
chu kì T 

2
(u,v)

( (u,v) là ước chung lớn nhất).

 Hàm số f(x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u,v 

kì T 

) là hàm số tuần hoàn với

) là hàm tuần hoàn với chu


.
(u,v)

Các ví dụ
Ví dụ 1.
Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số : f(x)  cos

3x
x
.cos
2
2

Lời giải.
Ta có f(x) 

1
 cos x  cos 2x   hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T0  2 .
2

Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau.
1. f(x)  cos x  cos



3.x



2. f(x)  sin x2

Lời giải.
1. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn  có số thực dương T thỏa
f(x  T)  f(x)  cos(x  T)  cos 3(x  T)  cos x  cos 3x

cos T  1

Cho x  0  cos T  cos 3T  2  

cos 3T  1

m
m
T  2n

 3
vô lí, do m,n  
là số hữu tỉ.
n

n

 3T  2m
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn
 T  0 : f(x  T)  f(x)  sin(x  T)2  sin x2 x 

Cho x  0  sinT2  0  T2  k  T  k
 f(x  k )  f(x) x 

.

Cho x  2k ta có: f( 2k )  sin

12



k2



2

 sin(k2)  0 .

- Website chuyên file word


f(x  k )  sin



k2  k



2





 sin 3k  2k 2   sin(2k 2)

 f(x  k )  0 .

Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn.
Ví dụ 3. Cho a, b,c,d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số
c
là số hữu tỉ.
f(x)  a sincx  bcosdx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi
d
Lời giải.
* Giả sử f(x) là hàm số tuần hoàn  T  0 : f(x  T)  f(x) x
a sin cT  bcosdT  b
cosdT  1
Cho x  0,x  T  

a sin cT  bcosdT  b sin cT  0

dT  2n
c m

 
 .
d 2n
cT  m
c
c k
2k 2l
* Giả sử   k,l  :
 . Đặt T 

d
d l
c
d
Ta có: f(x  T)  f(x) x   f(x) là hàm số tuần hoàn với chu kì

T

2k 2l
.

c
d

Ví dụ 4. Cho hàm số y  f(x) và y  g(x) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ
lần lượt là T1 ,T2 . Chứng minh rằng nếu

T1
là số hữu tỉ thì các hàm số
T2

f(x)  g(x); f(x).g(x) là những hàm số tuần hoàn.

Lời giải.
T
Vì 1 là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên m,n; n  0 sao cho
T2
T1 m
  nT1  mT2  T
T2 n

Khi đó f(x  T)  f(x  nT1 )  f(x) và g(x  T)  g(x  mT2 )  g(x)
Suy ra f(x  T)  g(x  T)  f(x)  g(x) và f(x  T).g(x  T)  f(x).g(x) ,
f(x  T) f(x)
. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

g(x  T) g(x)

Nhận xét:
1. Hàm số f(x)  a sin ux  bcos vx  c ( với u,v 
chu kì T 

) là hàm số tuần hoàn với

2
( (u,v) là ước chung lớn nhất).
(u,v)

- Website chuyên file word


Giáo án dạy thêm 11

2. Hàm số f(x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u,v 

) là hàm tuần hoàn với chu


.
(u,v)
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kì
cơ sở T0 .

kì T 


.
2
Bài 2 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau.
1. y  sin 2x  sin x
2. y  tan x.tan 3x
3. y  sin 3x  2cos 2x

1. f(x)  sin x , T0  2

2. f(x)  tan 2x,

T0 

Bài 3 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau
1. y  sin 2x  sin x
2. y  tan x.tan 3x
3. y  sin 3x  2cos 2x

4. y  sin x

Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Các ví dụ
Ví dụ 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  2sin x
Lời giải.
Hàm số y  2sin x
 TXĐ: D 
 Hàm số y  2sin x là hàm số lẻ
 Hàm số y  2sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T  2 .



 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  k2;  k2  . Nghịch biến trên mỗi
2





khoảng   k2;   k2  .
2





 Đồ thị hàm số đi quan các điểm (k; 0),   k2; 2  .
2


14

- Website chuyên file word


y
-5

3

-

2
-3

2

x

2

O 

5

2

2

2

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  tan 2x
Lời giải.
Hàm số y  tan 2x


\   k ,k 
2
4




 Hàm số y  tan 2x là hàm số lẻ

 TXĐ: D 

 Hàm số y  tan 2x là hàm tuần hoàn với chu kì T 


.
2




 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  k;  k  .
4




 Các đường tiệm cận: x   k .
4
2
k
 Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( ; 0) .
2
y

-7

-5

-3

-



3

5

7

4

4

4

4

4

4

4

4
x

O

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  1  2cos2 x
Lời giải.
Hàm số y  1  2cos2 x
Ta có: y  2  cos 2x

- Website chuyên file word

Giáo án dạy thêm 11

 TXĐ: D 
 Hàm số y  2  cos 2x là hàm số chẵn
 Hàm số y  2  cos 2x là hàm tuần hoàn với chu kì T   .


 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k;   k  , nghịch biến trên mỗi
2




khoảng  k;  k  .
2



 Đồ thị hàm số đi quan các điểm (

k
;1),    k; 3 .
2

y
3

1
x

-2

-3

-

2

-

O 

2

2



3

2

2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  sin 2x
Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  2 cos x

Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  4sin xcos x  1

2. y  4  3sin2 2x

Lời giải.
1 Ta có y  2sin 2x  1 .
Do 1  sin2x  1  2  2sin2x  2  1  2sin2x  1  3
 1  y  3 .


* y  1  sin 2x  1  2x    k2   x    k .
2
4

* y  3  sin 2x  1  x   k .
4

16

- Website chuyên file word


Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
2. Ta có: 0  sin2 x  1  1  4  3sin2 x  4

* y  1  sin 2 x  1  cos x  0  x   k .
2
* y  4  sin 2 x  0  x  k .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 .

Ví dụ 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  6cos2 x  cos2 2x

2. y  (4sin x  3cos x)2  4(4sin x  3cos x)  1

Lời giải.
1. Ta có: y  6cos2 x  (2cos2 x  1)2  4cos4 x  2cos2 x  1
Đặt t  cos2 x  t  0;1 . Khi đó y  4t 2  2t  1  f(t)
t

0

1
7

f(t)

1

Vậy min y  1 đạt được khi cos x  0  x 


 k
2

max y  1 đạt được khi cos2 x  1  x  k

2. Đặt t  4sinx  3cosx  5  t  5 x 
Khi đó: y  t 2  4t  1  (t  2)2  3
Vì t  5; 5  7  t  2  3  0  (t  2)2  49

Do đó 3  y  46
Vậy min y  3; max y  46 .
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ nhận giá trị
dương : y  (3sin x  4cos x)2  6sin x  8cos x  2m  1
Lời giải.
Đặt t  3sin x  4cos x  5  t  5
Ta có: y  t 2  2t  2m  1  (t  1)2  2m  2
Do 5  t  5  0  (t  1)2  36  y  2m  2  min y  2m  2
Hàm số chỉ nhận giá trị dương  y  0 x 

 min y  0

 2m  2  0  m  1 .
Vậy m  1 là giá trị cần tìm.

- Website chuyên file word


Giáo án dạy thêm 11

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y  2sin2 x  4sin xcos x  (3  2m)cos2 x  2 xác
định với mọi x
Lời giải.
Hàm số xác định với mọi x
 2sin2 x  4sin xcos x  (3  2m)cos2 x  2  0 x 

(1)

 cos x  0  (1) đúng
 cos x  0 khi đó ta có: (1)  2 tan2 x  4 tan x  (3  2m)  2(1  tan2 x)  0

 4 tan2 x  4 tan x  1  2m x 
 (2 tan x  1)2  2  2m x 

 2  2m  0  m  1

Ví dụ 5. Cho các góc nhọn x,y thỏa mãn sin2 x  sin2 y  sin(x  y) () .
Chứng minh rằng: x  y 


2

Lời giải.
 
Ta có hàm số y  sin x, y  cos x đồng biến trên khoảng  0; 
 2


 
Và x, y,  x,  y   0;  .
2
2
 2





sin x  sin   y   cos y
x



y

2
 



2

 Giả sử x  y   

2



 y   x sin y  sin
  x   cos x


2
2


Suy ra: sin2 x  sin2 y  sin x.sin x  sin y.sin y
 sin xcos y  sin ycos x  sin(x  y)
Mâu thuẫn với ()






sin x  sin   y   cos y

x


y
 

2

2

 Giả sử x  y   

2



 y   x sin y  sin
  x   cos x


2
2


Suy ra: sin2 x  sin2 y  sin x.sin x  sin y.sin y

 sin xcos y  sin ycos x  sin(x  y)
Mâu thuẫn với ()
18

- Website chuyên file word



 () đúng.
2

Vậy ()  x  y  .
2
 Nếu x  y 

Ví dụ 6. Tìm gtln và gtnn của các hàm sau :
2. y 

1. y  3sin x  4cos x  5

sin x  2 cos x  1
sin x  cos x  2

Lời giải.
1. Xét phương trình : y  3sin x  4cos x  5
 3sin x  4cos x  5  y  0  phương trình có nghiệm
 32  42  (5  y)2  y2  10y  0  0  y  10

Vậy min y  0 ; max y 10 .
2. Do sin x  cosx  2  0 x   hàm số xác định với x 

sin x  2 cos x  1
Xét phương trình : y 
sin x  cos x  2
 (1  y)sin x  (2  y)cos x  1  2y  0
Phương trình có nghiệm  (1  y)2  (2  y)2  (1  2y)2
 y2  y  2  0  2  y  1

Vậy min y  2; max y  1 .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  2sin x  3

2. y  1  2cos2 x  1



3. y  1  3sin  2x  
4


4. y  3  2cos2 3x

5. y  1  2  sin 2x

6. y 

4

1  2 sin 2 x
Bài 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.

2. y  3sin x  4cos x  1
1. y  2sin2 x  cos2 2x

3. y  3sin x  4cos x  1

4. y  2sin2 x  3sin 2x  4cos2 x

5. y  sin2 x  3sin 2x  3cos2 x
6. y  2sin 3x  1

7. y  3  4cos2 2x

8. y  1  2 4  cos 3x

9. y  4sin6x  3cos6x

10. y 

3
1  2  sin 2 x

11. y 

3sin 2x  cos 2x
sin 2x  4 cos2 x  1

- Website chuyên file word


Giáo án dạy thêm 11

Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau: a sin x  bcos x  a 2  b2 sin(x  )
Trong đó   0; 2 và a, b không đồng thời bằng 0.
Bài 4 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.

2. y  3  2sin2 2x  4
1. y  2 cos(3x  )  3
3
4. y  tan2 x  4 tan x  1
2
3. y  sin x  2  sin x
5. y  tan2 x  cot 2 x  3(tan x  cot x)  1
Bài 5 Tìm m để hàm số y  5sin 4x  6cos 4x  2m  1 xác định với mọi x .
Bài 6 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  2  3sin 3x
2. y  1  4sin2 2x
3. y  1  3  2sin x
5. y  4sin 3x  3cos 3x  1
sin 2x  2 cos 2x  3
7. y 
2 sin 2x  cos 2x  4
9. y  3cos x  sin x  2

10. y 

sin 2 2x  3sin 4x

4. y  3  2 2  sin2 4x
6. y  3 cos x  sin x  4
8. y 

2 sin 2 3x  4 sin 3x cos 3x  1
sin 6x  4 cos 6x  10

11. y  3(3sin x  4cos x)2  4(3sin x  4cos x)  1

2 cos2 2x  sin 4x  2
Bài 7 Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x 

1. (3sin x  4cos x)2  6sin x  8cos x  2m  1
3sin 2x  cos 2x

 m 1
sin 2x  4 cos 2 x  1
4 sin 2x  cos 2x  17
3.
2.
3cos 2x  sin 2x  m  1
 
Bài 8 Cho x, y   0;  thỏa cos 2x  cos 2y  2sin(x  y)  2 . Tìm giá trị nhỏ
 2

2.

nhất của P 

sin 4 x cos4 y

.
y

x

Bài 9 Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

k sin x  1
lớn hơn 1 .
cos x  2

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Dạng toán 1: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
20

- Website chuyên file word


1. Phƣơng trình: sin x  m (1)
* Nếu: m  1  Phương trình vô nghiệm
  
* Nếu: m  1      ;  sin   m
 2 2

 x    k2
( k
 (1)  sin x  sin   
 x      k2

).

 


   
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2
2 thì ta viết   arcsin m .
sin   m

*Các trường hợp đặc biệt:

1. sin x  1  x   k2
2

2 sin x  1  x    k2
2
3. sin x  0  x  k

2. Phƣơng trình: cos x  m (2)
* Nếu: m  1  phương trình vô nghiệm
* Nếu: m  1   [0; ] : cos   m
 x    k2

( k  Z ).
 (2)  cosx  cos   
 x    k2
0    
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn 
thì ta viết   arccosm .
cos   m
* Các trường hợp đặc biệt:
1. cos x  1  x  k2
2. cos x  1  x    k2


3. cos x  0  x   k
2

3. Phƣơng trình : tan x  m (3)
  
Với m      ;  : tan   m
 2 2

 (3)  tanx  tan   x    k .

- Website chuyên file word


Giáo án dạy thêm 11

 

   
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2
2 thì ta viết   arctan m .
tan   m

* Các trường hợp đặc biệt:

1. tan x  1  x   k
4

2. tan x  1  x    k
4

3. tan x  0  x  k
4. Phƣơng trình: cot x  m (4)

 
Với m    ( ; ) : cot   m
2 2
 (4)  cot x  cot   x    k .
 

   
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2
2 thì ta viết   arccot m .
cot   m

* Các trường hợp đặc biệt:

1. cot x  1  x   k
4

2. co t x  1  x    k
4

3. cot x  0  x   k
2
Ghi chú:
 u  v  k2
* sin u  sin v  
(k  )
 u    v  k2

* cosu  cosv  u  v  k2

(k  )

u  v  k

* tan u  tan v  
(k,n  )

u,v   n

2
u  v  k
* cot u  cot v  
(k,n  )
u,v  n

Dạng 2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: a sin x  bcos x  c (1) ; với a, b,c 
Cách giải: Chia hai vế cho
22

a 2  b2 và đặt

- Website chuyên file word

và a2  b2  0 .


cos  

a
a 2  b2

;sin  

b
a 2  b2

.

 (1)  sin x.cos   cosx.sin  

c
a b
2

2

 sin(x  ) 

c
a  b2
2

(2).

Chú ý:
 (1) có nghiệm  (2) có nghiệm  a2  b2  c2 .
1


3

cos x   2 sin(x  )
 sin x  3 cos x  2  sin x 
2
3
 2

 3

1

sin x  cos x   2 sin(x  )
 3 sin x  cos x  2 
2
6
 2

 1

1

sin x 
cos x   2 sin(x  ) .
 sin x  cos x  2 
4
2
 2


Dạng 3. Phƣơng trình bậc hai chứa một hàm số lƣợng giác
2

sin u(x) 
sin u(x) 




cos u(x) 
cos u(x) 


Là phương trình có dạng : a
b
c0
 tan u(x)
 tan u(x)




cot u(x) 
cot u(x) 
sin u(x) 


cos u(x) 
Cách giải: Đặt t  

ta có phương trình : at 2  bt  c  0
 tan u(x) 


cot u(x) 
Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x
sin u(x) 
Khi đặt t  
 , ta co điều kiện: t  
 1;1
cos u(x) 
Dạng 4. Phƣơng trình đẳng cấp
Là phương trình có dạng f(sin x,cos x)  0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx

cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x  0 (k là số mũ cao nhất) ta
được phương trình ẩn là tan x .
Dạng 5. Phƣơng trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: a(sin x  cos x)  bsin xcos x  c  0 (3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

- Website chuyên file word


Giáo án dạy thêm 11

 t2  1
 sin x cos x

 


t  sin x  cos x  2 sin  x     2
4  

t   2; 2 


 
Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng
a(sin x  cos x)  bsin xcos x  c  0 (3’)

Để giải phương trình này ta cũng đặt
t    2; 2 


 
 
t  sin x  cos x  2 sin  x    
1  t2
4 

sin x cos x 


2
Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.

B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản

Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1. sin x  cos 2x  0

2. cos2 x  sin 2x  0

3. 2sin(2x  350 )  3

4. sin(2x  1)  cos(3x  1)  0

Lời giải.

1. Phương trình  cos 2x  sin x  cos(  x)
2


2


x  6  k 3
 2x  2  x  k2
, k .


 x     k2
 2x     x  k2


2
2

2. Phương trình cos2 x  2sin xcos x  0
cos x  0
cos x  0
 cos x(cos x  2 sin x)  0  

 tan x  1
 2 sin x  cos x

2

24

- Website chuyên file word




 x  2  k

,k 
 x  arctan 1  k

2

.

3
 sin 600
2


950
 k.1800
x 
 2x  350  600  k3600
2
.



 2x  350  1800  600  k3600
1550
0
 k.180
x 

2


4. Phương trình  cos(3x  1)  sin( 2x  1)  cos   2x  1 
2


3. Phương trình  sin(2x  350 ) 





 x  2  2  k2

 3x  1  2  2x  1  k2
.


 x     k 2
 3x  1     2x  1  k2


10
5
2

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1. cos x  2sin 2x  0

2. sin3 xsin 3x  cos3 xcos 3x  

3. sin2 2x  cos2 2x  cos 3x
4. sin 2x.cos3x  sin 5x.cos6x
5. sin x  sin 2x  sin 3x  cosx  cos2x  cos3x
6. sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x

7. cos2 3xcos 2x  cos2 x  0

Lời giải.
1. Phương trình  cos x  4sin xcos x  0  cos x(1  4sin x)  0


cos x  0
 x  2  k



sin x  1
 x  arcsin 1  k2,x    arcsin 1  k2 

4

4
4
3sin x  sin 3x
cos 3x  3cos x
; cos3 x 
2. Ta có sin3 x 
4
4
Nên phương trình đã cho tương đương với
5
sin 3x  3sin x  sin 3x   cos 3x  cos 3x  3cos x   
2
5
 3  sin 3xsin x  cos 3xcos x   1  
2

- Website chuyên file word

5
2


Giáo án dạy thêm 11

 3cos 4x  

3
1


 cos 4x   x    k , k 
2
2
12
2

.

3. Phương trình  sin2 2x  cos2 2x  cos 3x
 cos 4x   cos 3x  cos    3x 


2
 4x    3x  k2
x k


7
7

 4x    3x  k2
 x    k2
1

1
4. Phương trình  sin 5x  sin x   sin11x  sin x
2
2



 sin 5x  sin11x  x  k hoặc x 
k
16
8
6
5. Phương trình  (sin x  sin 3x)  sin 2x  (cos x  cos 3x)  cos 2x
 2sin 2xcosx  sin 2x  2cos2xcosx  cos2x


2

1
 x   3  k2
cos
x


.
 (2cos x  1)(sin 2x  cos 2x)  0  

2





x k
sin 2x  cos 2x

8
2
6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:
1  cos6x 1  cos8x 1  cos10x 1  cos12x
Phương trình 



2
2
2
2
 cos6x  cos8x  cos10x  cos12x


 x  2  k
cos x  0
.
 2 cos7x cos x  2 cos11x cos x  

x  k  ; x  k 
cos11x  cos7x

2
9

7. Phương trình  (1  cos6x)cos 2x  1  cos 2x  0
 cos6x.cos 2x  1  0  cos8x  cos 4x  2  0

 2cos2 4x  cos 4x  3  0  cos 4x  1  x  k


.
2

Nhận xét:
* Ở cos6x.cos 2x  1  0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay
cos6x  4cos3 2x  3cos 2x và chuyển về phương trình trùng phương đối với
hàm số lượng giác cos 2x .
* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương

trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt t  cos2 x
26

- Website chuyên file word


Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng
công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng .
Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:
1. 3sin x  4cos x  0

2. sin 2x  3 cos 2x  1

3. 2sin 3x  5 cos 3x  5

4. 3cos x  3 sin x  1

5. sin7x  cos 2x  3(sin 2x  cos7x)

6. sin 3x  3 cos 3x  2sin 2x

7. sin x  cos xsin 2x  3 cos 3x  2(cos 4x  sin3 x)
Lời giải.
1. Phương trình  3sin x  4 cos x  tan x  

4
 4
 x  arctan     k .
3
 3


 1

2. Phương trình  2 sin(2x  )  1  sin(2x  )   sin
3
3 2
6

 


 2x  3  6  k2
 x   12  k



, k .
 2x    5  k2
 x    k


3 6
4

3. Ta có 22 

 5

2

 9  52  phương trình vô nghiệm.

4. Phương trình  3 cos x  sin x 
x


1
 arccos
 k2 , k 
6
2 3


1
 cos(x  ) 

6
3
2 3

1

.

5. Phương trình  sin7x  3 cos7x  3 sin 2x  cos 2x






7x   x   k2
x k




6
3
36
3 , k
 cos(7x  )  cos(x  )  






6
3
7x   x   k2
x 
k


6
3
16
4


 3x  3  2x  k2

6. Phương trình  sin(3x  )  sin 2x  
3
 3x      2x  k2

3


 x  3  k2

, k .
 x  4  k 2

15
5

3
1
3
1
7. Phương trình  sin x  sin 3x  3 cos 3x  2 cos 4x  sin x  sin 3x
2
2
2
2

- Website chuyên file word

.


Giáo án dạy thêm 11



x    k2


6
.
 sin 3x  3 cos 3x  2cos 4x  cos(3x  )  cos 4x  

2
3
x 
k


42
7

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
1. cos( sin x)  cos(3 sin x)



2. tan   sin x  1  1
4



Lời giải.
sin x  k
 3 sin x   sin x  k2
1. Phương trình  

sin x  n
 3 sin x   sin x  n2

2
 Xét phương trình sin x  k . Do k  và 1  sin x  1 nên ta có các giá trị
của k : 1,0,1

Từ đó ta có các nghiệm: x  m,x   m, m 
2
n
 Xét phương trình sin x  . Ta có các giá trị của n là: n  2,n  1,n  0

2


Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x   l,x  l,x    l, l 
2
6
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:


x  m,x   m,x    m m  .
2
6


2. Phương trình   sin x  1   k
4
4
 sin x  1  1  4k  sin x  4k  sin x  0  x  m , m  .

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
1.





3  1 sin x 





3  1 cos x  2 2 sin 2x

2. 3sin2 x  5cos2 x  2cos 2x  4sin 2x
3. 5sin x  2  3 1  sin x  tan2 x

 x 
x
4. sin2    tan 2 x  cos2  0
2
2 4

Lời giải.
1. Phương trình  3 sin x  cos x  3 cos x  sin x  2 2 sin 2x


7
 sin(x  )  cos(x  )  2 sin 2x  sin(x  )  sin 2x
6
6
12
28

- Website chuyên file word



7


7
 x  12  k2
 2x  x  12  k2
.


 x  5  k 2 
 2x    x  7   k2


36
3
12
2. Phương trình đã cho tương đương với
3sin2 x  5cos2 x  2(cos2 x  sin2 x)  8sin xcos x

 5sin2 x  8sin xcos x  3cos2 x  0
 5tan2 x  8 tan x  3  0  tan x  1 hoặc tan x 

3
5


3
 k hoặc x  arctan  k
4
5

3. Điều kiện : cos x  0  x   k
2

x

Phương trình  5sin x  2  3(1  sin x)
 5sin x  2  3(1  sin x)

sin 2 x
cos2 x

sin2 x
1  sin 2 x

sin 2 x
 (5sin x  2)(1  sin x)  3sin 2 x
1  sin x


x   k2

1

6
 2sin2 x  3sin x  2  0  sin x   sin  
.
5
2
6
 x    k2

6


4. Điều kiện : cos x  0  x   k .
2
 5sin x  2  3


  sin2 x
 (1  cos x)  0
Phương trình  1  cos(x  )
2  cos2 x

 (1  sin x)


sin2 x
1  sin2 x

 (1  cos x)  0

sin 2 x
 (1  cos x)  0
1  sin x

 (1  cos2 x)  (1  cos x)(1  sin x)  0
 x  k2
cos x  1
.
 (1  cos x)(cos x  sin x)  0  


 tan x  1  x   k


4

- Website chuyên file word