BAI GIANG TRONG TAM MU LOGA

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 1




LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN

§ÆNG VIÖT HïNG


BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM
MŨ – LOGA




Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 2



I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA
1) Khái niệm về Lũy thừa
 Lũy thừa với số mũ tự nhiên:
. . ,
=
n
a a a a a

với n là số tự nhiên.
 Lũy thừa với số nguyên âm:
1
,
−
=
n
n
a
a
với n là số tự nhiên.
 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
( )
= =
m
m
n
m
n
n
a a a
với m, n là số tự nhiên.
Đặt biệt, khi m = 1 ta có
1
.
=
n
n
a a

2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa


 Tính chất 1:
0
1
1,
,

= ∀


= ∀


a a
a a a



 Tính chất 2
(tính
đồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n):

1:
0 1:

> > ⇔ >

< < > ⇔ <


m n
m n
a a a m n
a a a m n



 Tính chất 3
(so sánh l
ũ
y th
ừ
a khác c
ơ
s
ố
): v
ớ
i a > b > 0 thì
0
0


> ⇔ >

< ⇔ <


m m
m m
a b m
a b m

Chú ý:
+ Khi xét lu
ỹ
th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
0 và s
ố
m
ũ
nguyên âm thì c
ơ
s
ố
a ph

ả
i khác 0.
+ Khi xét lu
ỹ
th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
không nguyên thì c
ơ
s
ố
a ph
ả
i d
ươ
ng.
3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa


 Nhóm công thức 1:

( ) ( )
.
+
−

=
=
= =
m n m n
m
m n
n
n m
m mn n
a a a
a
a
a
a a a




 Nhóm công thức 2:

( )
1 1
1
3
3
2
; ;
. , , 0
, , 0
= = → = = =

= ∀ ≥
= ∀ ≥ >
m
m
n
m
n n
n n
n n n
n
n
n
a a a a a a a a a
ab a b a b
a a
a b
b
b

Ví dụ 1:
Vi
ế
t các bi
ể
u th
ứ
c sau d
ướ
i d
ạ

ng l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
h
ữ
u t
ỉ
, (coi các bi
ể
u th
ứ
c
đ
ã t
ồ
n t
ạ
i)
a)
2
4
3
.

=
A x x
b)
5
3
.
=
b a
B
a b
c)
5
3
2 2 2 .
=C

d)
3
3
2 3 2
.
3 2 3
=D
e)
4
3
8
.
=
D a

f)
2
5
3
.
=
b b
F
b b

Ví dụ 2:
Có th
ể
k
ế
t lu
ậ
n gì v
ề
s
ố
a trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau?
a)
( ) ( )
2 1
3 3

1 1 .
− −
− < −a a
b)
( ) ( )
3 1
2 1 2 1 .
− −
+ > +a a
c)
0,2
2
1
.
−
 
<
 
 
a
a

d)
( ) ( )
1 1
3 2
1 1 .
− −
− > −a a
e)

( ) ( )
3
2
4
2 2 .
− > −
a a
f)
1 1
2 2
1 1
.
−
   
>
   
   
a a

Ví dụ 3:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:

a)
( ) ( )

1
1 1
2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
−
   
= + − − + + −
   
   
   
A

01. ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 3

b)
4 10 2 5 4 10 2 5 .
= + + + − +B

Ví dụ 4: Cho hàm số
4
( ) .
4 2
=
+
x
x

f x
a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.
b) Tính tổng
1 2 2010
.
2011 2011 2011
     
= + + +
     
     
S f f f
Ví dụ 5: So sánh các cặp số sau
a)
5
2
π
2
 
 
 
và
10
3
π
2
 
 
 

b)

2
π
2
 
 
 
và
3
π
5
 
 
 

c)

10
4
3
5
 
 
 
và
5
2
4
7
 

 
 

d)

3
7
6






và
2
8
7







e)

5
π
6

 
 
 
và
2
π
5
 
 
 

Ví dụ 6: Tìm x thỏa mãn các phương trình sau?
1)
5
4 1024
=
x
2)
1
5 2 8
2 5 125
+
 
=
 
 
x
3)
1 3
1

8
32
−
=
x

4)
( )
2
2
1
3 3
9
−
 
=
 
 
x
x
5)
2 8 27
.
9 27 64
−
   
=
   
   
x x

6)
2
5 6
3
1
2
− +
 
=
 
 
x x

7)
2 8
1 0,25
.32
0,125
8
−
−
 
=
 
 
x
x
8)
0,2 0,008
=

x
9)
3 7 7 3
9 7
49 3
− −
   
=
   
   
x x

10)
( )
( )
1
12 . 3
6
=
x
x
11)
1 1
1
7 .4
28
− −
=
x x

II. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH
1) Khái niệm về Logarith
Logarith c
ơ
s
ố

a
c
ủ
a m
ộ
t s
ố

x
> 0
đượ
c ký hi
ệ
u là
y
và vi
ế
t d
ạ
ng log
= ⇔ =
y
a

y x x a

Ví dụ:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c logarith sau
(
)
2 3
2 2
log 4; log 81; log 32; log 8 2

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
•

2 2
log 4 2 4 2 log 4 2
= ⇔ = ⇔ = → =
y
y y

•

y 4
3 3
log 81 y 3 81 3 y 4 log 81 4
= ⇔ = = ⇔ = → =

•

(
)
(
)
y 10
5
2 2
log 32 y 2 32 2 2 y 10 log 32 10
= ⇔ = = = ⇔ = → =

•
(
)
(
)
(
)
(
)
7
3

2 2
log 8 2 2 8 2 2 . 2 2 7 log 8 2 7
= ⇔ = = = ⇔ = → =
y
y y
Chú ý:
Khi a = 10 thì ta g
ọ
i là logarith c
ơ
s
ố
th
ậ
p phân, ký hi
ệ
u là lgx ho
ặ
c logx
Khi a = e, (v
ớ
i e ≈ 2,712818…)
đượ
c g
ọ
i là logarith c
ơ
s
ố
t

ự
nhiên, hay logarith Nepe, ký hi
ệ
u là lnx, (
đọ
c là len-
x)
2) Các tính chất cơ bản của Logarith
• Bi
ể
u th
ứ
c logarith t
ồ
n t
ạ
i khi c
ơ
s
ố
a > 0 và a ≠ 1, bi
ể
u th
ứ
c d
ướ
i d
ấ
u logarith là x > 0.
•

log 1 0;log 1,
= = ∀
a a
a a

• Tính
đồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n c
ủ
a hàm logarith:
1
log log
0 1
> ⇔ >

> ⇔

< ⇔ < <

a a
b c a
b c
b c a

3) Các công thức tính của Logarith
Công thức 1:

log ,
= ∀ ∈
ℝ
x
a
a x x
,
(1)

Ch
ứ
ng minh:
Theo
đị
nh ngh
ĩ
a thì hi
ể
n nhiên ta có
log
= ⇔ =
x x x
a
a x a a

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 4

Ví dụ 1:
(
)
8
5 4
2 2
2 2 2
log 32 log 2 5;log 16 log 2 log 2 8
= = = = =
Ví dụ 2:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:

a)
3
2
5
1
4
log .
a
a a a

P
a a
=
b)
log .
a
Q a a a a
=
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
1 2 1 2 28
67
1
28 3 67 67
3
2
5
5 3 5 3 15
60
15 4 60 60
1 1
1 1 1 1 3
4
2 4 2 4 4
. . 1 67
log log .
60
.
a a
a a a a a a a a

a a P a
a
a a
a a a a
+ +
−
−
+
 


= = = = = → = = =−




 

b)
Ta có
( )
15
7 15 15
1 3
8
8 16 16
2 4
15
. . . log log .
8

a a
a a a a a a a a a a a a a a Q a a= = = = → = = =
Ví dụ 3:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
1)
1
5
log 125

=
2)
2
log 64

=

3)
16
log 0,125

=


4)

0,125
log 2 2

=


5)
3
3
3
log 3 3

=
6)
7
8
7
7
log 7 343

=

Ví dụ 4:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:

a)
(
)
3 5
log

a
P a a a= =

b)
(
)
2
3
5
4
log

= =
a
Q a a a a

Công thức 2:

log
, 0
= ∀ >
a
x
a x x ,

(2)

Ch
ứ
ng minh:
Đặ
t
(
)
log , 2
= ⇒ = ⇔ =
t t t
a
x t x a a a

Ví dụ 1:
( )
( ) ( ) ( )
3
3
3
5
2
log 4 1
1 1
log 4
log 4
log 6
log 3
2

2 2
2 3, 5 6, 3 3 3 4 2
 
 
= = = = = =
 
 
 

Ví dụ 3:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
1)
8
log 15
2

=
2)
2 2
log 64
2

=

3)
81
log 5
1


3
 


=




 
4)
(
)
3
log 4
3
9

=
Công thức 3:
(
)
log . log log
= +

a a a
x y x y
, (3)
Ch
ứ
ng minh:
Áp dụng công thức (2) ta có
log
log log log log
log
. .
+

=

→ = =

=


a
a a a a
a
x
x y x y
y
x a
x y a a a
y a

Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(1)
ta
đượ
c :
(
)
log log
log . log log log
+
= = + ⇒
a a
x y
a a a a
x y a x y dpcm

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)

(
)
3
2 2 2 2 2 2 2
log 24 log 8.3 log 8 log 3 log 2 log 3 3 log 3
= = + = + = +

b)

(
)
3
3 3 3 3 3 3
log 81 log 27.3 log 27 log 3 log 3 log 3 3 1 4
= = + = + = + =

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
4
2
3 3
3
2 2 2 2 2
4 10
log 4 16 log 4 log 16 log 2 log 2 2 .
3 3
= + = + = + =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 5

b)
1
3
1
3

3
3 3
3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 10
log 27 3 log 27 log 3 log 3 log 3 log log 3 .
3 3 3 3
− −
   
 
 
= + = + = + = − − =−
 
 
 
 
   


c)
(
)
(
)
6 2
3
5 5
2 2 2 2 2 2 2
log 8 32 log 8 log 32 log 2 log 2 log 2 log 2 6 2 8.

= + = + = + = + =

Công thức 4:
log log log
 
= −
 
 
a a a
x
x y
y
,
(4)

Chứng minh:
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(2)
ta có
log
log
log log
log
log
−


=

→ = =

=


a
a
a a
a
a
x
x
x y
y
y
x a
x a
a
y
a
y a

Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(1)

ta
đượ
c :
log log
log log log log
−
 
= = − ⇒
 
 
a a
x y
a a a a
x
a x y dpcm
y

Ví dụ:
4
5
3
32
2 2 2 2 2
3
32 5 4 7
log log 32 log 16 log 2 log 2 .
2 3 6
16
= − = − = − =

Công thức 5:
log .log
=
m
a a
b m b
,
(5)

Ch
ứ
ng minh:
Theo công th
ứ
c
(2)
ta có
(
)
log log .log
= ⇒ = =
a a a
m
b b m b
m
b a b a a

Khi
đ
ó

.log
log log .log
= =
⇒
a
m b
m
a a a
b a m b dpcm

Ví dụ 1:
( )
3 2
2 2 2 5 5 5
1
4
4
2 2 2
log 27 log 3 3log 3; log 36 log 6 2log 6
1 5
log 32 log 32 log 32
4 4
= = = =
= = =

Ví dụ 2:
4
2
2
3

1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 6 .45 1
2log 6 log 400 3log 45 log 6 log 400 log 45 log log 81
log 4.
2 20 3
−
 
− + = − + = = = = −
 
 

Ví dụ 3:
5 5 5 5 5 5 5 5
1 50 3
log 3 log 12 log 50 log 3 log 12 log 50 log log 25 2.
2
2 3
− + = − + = = =

Công thức 6:

1
log log
=
n
a
a
b b
n

, (6)
Chứng minh:
Đặt
(
)
log
= ⇒ = ⇔ =
n
y
n ny
a
b y a b a b

Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được :
1
log log log log
= ⇔ = ⇒ =
ny
a a a a
a b ny b y b
n

hay
1
log log= ⇒
n
a
a
b b dpcm
n

Ví dụ 1 :
1
2
5 1
5
2
2
2
2
2
2
1
log 16 log 16 log 16 2.4 8.
1
2
1
log 64 log 64 log 64 5.6 30.
1
5
= = = =
= = = =

Hệ quả:
T
ừ
các công th
ứ
c
(5)

và
(6)
ta có :
log log
=
n
m
a
a
m
b b
n

Ví dụ 2:
( )
( )
( )
( )
3 1 3
3
1
11
3
4
4
5
2 2 2
5
2
5

3
9 11 11
4
log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 .
1
4 3 3
3
= = = = = =
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 6

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức
1
3 3
5
3
4
1
3
3
27
log 27 log
9
.
1 1
log log
81 3
 
+

 
 
=
 
+
 
 
A
Hướng dẫn giải:


(
)
2
3 3 3 3
log 27 log 3 3 2
= =


1
2
13
3
5
1 3
2
5
3
3
5

27 3 1 13 26
log log log 3 2. .
1
5 5
9
3
2
−
 
 
 
= = = − = −
 
 
 
−
 


1
2
1
3 3
5
4
3
3
4
3
3

1
3
3
27
26
log 27 log
2
9
1 4
5
log log 3 4.2log 3 8 .
81 8 4 5
1 1
log log
81 3
−
 
+
 
−
 
= = − = − → = = =
− +
 
+
 
 
A
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số)
log

log
log
=
c
a
c
b
b
a
, (7)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có
( )
log log
log
log log log .log log
log
= ⇒ = = ⇒ = ⇒
a a
b b
c
c c a c a
c
b
b a b a b a b dpcm
a

Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log log .log

=
a a c
b c b

+ Khi cho b = c thì (7) có dạng
log
1
log .
log log
= =
b
a
b b
b
b
a a

Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho
2 2
log 14 log 49 ?
= → = =
a A
b)
Cho
15 25
log 3 log 15 ?
= → = =
a B
H

ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
(
)
2 2 2 2
log 14 log 2.7 1 log 7 log 7 1.
= ⇔ = = + ⇒ = −
a a a
Khi
đ
ó
(
)
2 2
log 49 2log 7 2 1 .
= = = −
A a
b)
Ta có
3
15
3 3
5
1 1

log 5 1
1 1
log 3
log 15 1 log 5
log 3
1
−

= − =


= ⇔ = = →

+

=

−

a
a a
a a
a
a

( ) ( )
3
25
3 3
1 1

log 15
1 1
log 15 .
1
log 25 2log 5 2 1 2 1
2
= = = = = → =
−
− −
a a
B B
a
a a
a

Ví dụ 2:
Cho
log 3.
a
b
=
Tính
a)
log .
=
b
a
b
A
a

b)
log .
=
ab
b
B
a

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta có
1
log 3 log .
3
= ⇒ =
a b
b a

a)

1 1 1 1
log log log
log log log log
log log
= = − = − = − =
   
− −
   
   
   
b b b
b b a a
a a a
b a
b
A b a
a b a b a
b b
a a

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 7

1 1 1 1 3 1 3 1
.
2
1 2log log 2
3 2 3 2 3 2

1
3
− −
= − = − = → =
− −
− − −
−
b a
A
a b

Cách khác: Ta có được
2
2
2
2
log
log 1
3 1
log log log
log 2
3 2
log
a
a
b
b
b
a
a

a
a
a
b
b
b b b
a
A
b
a b
a a
a
 
 
 
 
 
−
−
= = = = = =
 
 
−
−
 

b)

1 1 1 1
log . log log

log log log log log log
= = − = − = − =
+ +
ab ab ab
b b b
a a a
b
B b a
a ab ab a b a b

1 1 1 1 2 3 1 2 3 1
.
1 1 1 1
1 log
1 3 3 1 3 1
log
2 2 2
2 3
− −
= − = − = → =
+
+ + +
+ +
a
b
B
b
a

Cách khác:

Ta có
( )
2
2
2
2
log
2log 1
2 3 1
log log log .
log 1 log
1 3
a
a
ab
ab
ab
a a
b
b
b b b
a
B
a ab b
a a
−
 
−
= = = = = =
 

+
+
 

Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3
6
log 3.log 36

=

b)
4
3
log 8.log 81

=

c)
3
2 25
1
log .log 2

5
=
Ví dụ 4: Cho
log 7.
a

b
=
Tính
a)
3
log .
=
a b
a
A
b
b)
3
2
log .
=
b
a
B ab

Ví dụ 5: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho
3
25 2
5
49
log 7 ; log 5 log ?
8
= = → = =
a b P

b) Cho
log 2 log ?
= → = =
ab ab
b
a Q
a

Công thức 8:

log log
=
b b
c a
a c
,
(8)
Chứng minh:
Theo công th
ứ
c
(7):

(
)
log
log log .log log log log
log log .log= ⇒ = ⇔ = = ⇒
b
b b a b a b

a
c a c c c a
b b a
c a c a a a a c dpcm

Ví dụ 1:
( )
2
7 7 2
1
log 27
log 2 log 49
log 2
2
2
49 2 2 4; 2 27 27 3 3
= = = = = =

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3
6 9
log 4
log 5 log 36
36 3 3

= + − =A

b)
2

3
3
log 3
2 log 2
log 4
3 .4


27
−
= =B

c)
3 9 9
log 5 log 36 4log 7
81 27 3

C
= + + =


BÀI TẬP LUYỆN TẬP :
Bài 1.
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau

1)
1
4
25
log 5 5
−
2)
3 3
log 729
3)
9
3
log 27

4)
9 3
log 3
5)
(
)
3
3
log 3 3
6)
4log
2
1
3
9
1








7)
27
log 81
1
3
 






 
8)
10
3 2log 3
10
+
9)
8 16
3log 3 2log 5
4
+

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 8

10)
3 27
1
log 2 2log 3
2
9
−
11)
2
2 log 3
4
+
12)
9 1
3
log 2 log 5
3
−

13)
5 7
log 6 log 8
25 49
+
14)

8log3
10
10
15)
7
7 7
log 16
log 15 log 30
−


16)
9 125
2
1 log 4 log 27
2 log 3
3 4 5
+
−
+ +
17)
7log
1
5log
1
68
4925 +

Bài 2. Quy đổi các biểu thức sau theo các ẩn đã cho
a) Cho log

2
3 = a ; log
2
5 = b. Tính
3
2 2 2
log 3; log 135; log 180
theo
a
,
b
.
b)
Cho log
5
3 =
a
, tính log
25
15.
c)
Cho log
9
6 =
a
, tính log
18
32.
d)
Cho lg5 =

a
; lg3 =
b
. Tính log
30
8.
Bài 3.
Ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau
(với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa)
a)

( )
1
lg lg lg
3 2
+
= +
a b
a b
, với a
2
+ b
2
= 7ab.

b)
( ) ( )
1
lg 2 2lg2 lg lg
2
+ − = +
a b a b
, với a
2
+ 4b
2
= 12ab
c)
log log
2 3
log
4 2
+
+
=
c c
c
a b
a b
, với 4a
2
+ 9b
2
= 4ab
d) Cho log

12
18 = a, log
24
54 = b, chứng minh rằng: ab + 5(a – b) = 1.
e)
log
1 log
log
= +
a
a
ab
c
b
c
f)
ax
log log
log
1 log
+
=
+
a a
a
b x
bx
x

g)

log log log
log log log
−
=
−
a b a
b c c
N N N
N N N
, với b
2
= ac. h)
2
1 1 1 ( 1)

log log log 2log
+
+ + + =
k
a a
a a
k k
x x x x


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 9

1. Hàm số mũ y = a
x
(với a > 0, a
≠
1).
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
2. Hàm số logarit
=
log
a
y x
(với a > 0, a
≠
1)

•
Tập xác định: D = (0; +
∞
).

•
Tập giá trị: T = R.

•
Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

•
Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
3. Gi
ớ
i h
ạ
n
đặ
c bi
ệ
t


•

1
0
1
lim(1 ) lim 1
x
x
x x
x e
x
→ →±∞
 
+ = + =
 
 
•

0 0
ln(1 ) ln(1 )
lim 1 lim 1
→ →
+ +
= → =
x u
x u
x u

•
0 0
1 1
lim 1 lim 1
→ →
− −
= → =
x u
x u
e e
x u
•
0 0
sin sin ( )
lim 1 lim 1
( )
x x
x u x
x u x
→ →

= → =

Ví d
ụ
1.
Tính các giới hạn sau:
1)
2
0
1
lim
→
−
x
x
e
x
2)
3
0
1
lim
−
→
−
x
x
e
x
3)

3 2
0
lim
→
−
x x
x
e e
x

4)
0
ln(1 3 )
lim
→
+
x
x
x
5)
0
ln(1 4 )
lim
2
→
+
x
x
x
6)

4
0
1
lim
3
−
→
−
x
x
e
x


H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)

2 2
0 0
1 1
lim lim .2 2
2
→ →
 

− −
= =
 
 
x x
x x
e e
x x

2)
3 3
0 0
1 1 1 1
lim lim .
3 3
3
− −
→ →
 
 
− − −
 
= = −
 
 
−
 
 
 
x x

x x
e e
x
x

3)
(
)
(
)
3 2
3 2 3 2
0 0 0 0
1 1
1 1
lim lim lim lim 3 2 1.
→ → → →
− − −
− − −
= = − = − =
x x
x x x x
x x x x
e e
e e e e
x x x x

4)
0 0
ln(1 3 ) ln(1 3 )

lim lim .3 3
3
→ →
+ +
 
= =
 
 
x x
x x
x x

5)
0 0
ln(1 4 ) ln(1 4 )
lim lim .2 2
2 4
→ →
+ +
 
= =
 
 
x x
x x
x x

6)
4 4
0 0

1 1 4 4
lim lim .
3 4 3 3
− −
→ →
 
− − −
 
= = −
  
−
 
 
x x
x x
e e
x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Tính các giới hạn sau:
1)
(
)
0
ln 1 4
lim
sin
2
x
x

x
→
+

2)
2
2
0
cos
lim
x
x
e x
x
→
−
3)
0
lim
ax bx
x
e e
x
→
−

02. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

Trang 10

4)
sin2 sin
0
lim
x x
x
e e
x
→
−
5) lim
1
x
x
x
x
→+∞
 
 
+
 
6)
1
1
lim 1
x
x
x

x
+
→+∞
 
+
 
 

7)
2 1
1
lim
2
x
x
x
x
−
→+∞
+
 
 
−
 
8)
1
3
3 4
lim
3 2

x
x
x
x
+
→+∞
−
 
 
+
 
9)
2 1
lim
1
x
x
x
x
→+∞
+
 
 
−
 

4. Đạo hàm của hàm mũ và logarith
 Hàm mũ:
.ln
. .ln

x x
u u
y a y a a
y a y u a a

′
= → =


′ ′
= → =


Đặ
c bi
ệ
t, khi a = e thì ta có
.
x x
u u
y e y e
y e y u e

′
= → =


′ ′
= → =



Hàm logarith:
1
log
.ln
log
.ln
a
a
y x y
x a
u
y u y
u a

′
= → =


′

′
= → =



Đặ
c bi
ệ

t, khi a = e thì ta có
1
ln
ln
y x y
x
u
y u y
u

′
= → =


′

′
= → =



Chú ý: B
ả
ng
đạ
o hàm c
ủ
a m
ộ
t s

ố
hàm c
ơ
b
ả
n th
ườ
ng g
ặ
p:
Hàm sơ cấp Hàm hợp


0
′
= → =
y k y


2
1
1 1
.
1
2
−
′
= → = −
′
= → = ⇒

′
= → =
n n
y y
x x
y x y n x
y x y
x



sin cos
cos sin
′

= → =


′
= → = −


y x y x
y x y x



2
2
1

tan
cos
1
cot
sin

′
= → =



−

′
= → =


y x y
x
y x y
x



.
′ ′
= → =
y ku y k u



2
1
1
. .
2
−
′
′
= → = −
′ ′
= → = ⇒
′
′
= → =
n n
u
y y
u u
y u y nu u
u
y u y
u



sin .cos
cos .sin
′ ′


= → =


′ ′
= → = −


y u y u u
y u y u u



2
2
tan
cos
cot
sin
′

′
= → =



′
−

′
= → =



u
y u y
u
u
y u y
u



2
.
′ ′
−

′
= → =



′ ′ ′
= → = +

u uv u v
y y
v v
y u v y uv u v

Ví dụ 2.

Tính
đạ
o hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1)
4
3
3 2
= − +
y x x
2)
2
3
1
3
− +
=
+
x x
y
x
4
3
3 2
= − +
y x x
3)

( )
2
3
sin 2 1
= −
y x
Hướng dẫn giải:
1)
( ) ( )( )
1 3
4
3 3 2 3
4 4
1
3 2 3 2 . 3 3 3 2
4
−
′
= − + = − + → = − − +y x x x x y x x x

2)
1 3
2 2 2 2
3 3
3
1 1 1 1 1
. .
3 3 3 3 3
−
′

     
− + − + − + − +
′
= = → = =
     
+ + + +
     
x x x x x x x x
y y
x x x x

3 3
2 2 2 2
3 3
2 2
1 1 (2 1)( 3) 1 1 1 5 4
. . . .
3 3 3 3
( 3) ( 3)
− −
′
     
− + − + − + − − + + −
= =
     
+ +
+ +
     
x x x x x x x x x x
x x

x x

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 11

3)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
3
3
3 3
2 1 4 1
sin 2 1 sin 2 1 . . sin 2 1 . cos 2 1
3 3
sin 2 1 sin 2 1
′
′
= − =  −  → = − = −
 
− −
y x x y x x
x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
3
1 1 5
1 2
x
y
x
+ +
=
+
2)
11
5
9
9 6
y x
= +
3)
4
4
sin
3
x
y
+
=
4)
(

)
2
4 4
x
y x x e
= − + 5)
(
)
5 2
x
y x x e
−
= − 6)
3
.sin4
x
y e x
−
=
7)
1
3
.
x
y x e
−
=
8)
2
2

x x
x x
e e
y
e e
+
=
−
9)
sin3 4
x x
y e
−
=

10)
cot
cos .
x
y x e
=
11)
cos
2 .
x x
y e
=
12)
(
)

2
ln 4 sinx
y x x= + −

13)
(
)
cos
.ln cos
x
y e x
=
14)
(
)
2
ln 1
y x x
= + +
15)
(
)
ln 2 1
1
x
y
x
+
=
+

16)
(
)
4 2
1
2
log cos
y x x
= − 17)
(
)
ln cot
3 4
x x
y
x
−
=
−
18)
2
(2 1)ln(3 )
y x x x
= − +

Bài 2:
Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng các hàm s
ố
sau th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c ch
ỉ
ra t
ươ
ng
ứ
ng?
1)
( )
2
2
2
. ' 1
x
y x e xy x y
−
= → = −
2)
(
)
1 . '

x x
y x e y y e
= + → − =

3)
4
2 ''' 13 ' 12 0
x x
y e e y y y
−
= + → − − =

5)
.sin '' 2 ' 2 0
x
y e x y y y
−
= → + + =
6)
sin
'.cos .sin '' 0
x
y e y x y x y
= → − − =

7)
2
1
. '' 2 '
2

x x
y x e y y y e
= → − + =

8)
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
1 . 2011 ' 1
1
x x
xy
y x e y e x
x
= + + → = + +
+
9)
1
ln ' 1
1
y
y xy e
x
= → + =
+

10)
( )
1

' .ln 1
1 ln
y xy y y x
x x
= → = −
+ +
11)
( )
( )
2 2 2
1 ln
2 ' 1
1 ln
x
y x y x y
x x
+
= → = +
−

Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình và b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau, v

ớ
i các hàm s
ố
cho d
ướ
i
đ
ây?
1)
(
)
2
'( ) 2 ( ); ( ) 3 1
x
f x f x f x e x x
= = + +

2)
3
1
'( ) ( ) 0; ( ) ln
f x f x f x x x
x
+ = =

3)
2 1 1 2
'( ) 0; ( ) 2. 7 5
x x
f x f x e e x

− −
= = + + −

4)
'( ) '( ); ( ) ln( 5); ( ) ln( 1)
f x g x f x x x g x x
> = + − = −

5)
2 1
1
'( ) '( ); ( ) .5 ; ( ) 5 4 ln5
2
x x
f x g x f x g x x
+
< = = +
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 12



DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Khái niệm: Là phương trình có dạng
x
a b
=
, trong đó 0 <

a
≠ 1.

Cách gi
ả
i:
+ Nếu
b
≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu
b
≤ 0 thì
log
x
a
a b x b
= ⇔ =

Ví d
ụ
m
ẫ
u:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1 2 1
2 2 2 5 2.5

x x x x x
+ + −
+ + = + .
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
1 2 1 2
1
2 2 2 5 2.5 2 2 .2 2 .2 5 2.5 .
5
x x x x x x x x x x+ + −
+ + = + ⇔ + + = +
( )
5
2
2 7 5
1 2 4 .2 1 .5 7.2 .5 5 log 5
5 5 2
x
x x x x
x
   
⇔ + + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ =
   
   

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 1 nghi
ệ
m là
5
2
log 5.
x =


BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
1 2
7 7 7 342
x x x
+ +
+ + = 2)
1 1
5 10.5 18 3.5
x x x
− +
+ + = 3)
1 2 3 1 2
2 2 2 3 3

x x x x x
+ + + − −
+ + = +
4)
1 2
3 3 3 351
x x x
+ +
+ + = 5)
1 2 2 3
2 2 3 3
x x x x
+ + − −
+ = + 6)
1
7.5 2.5 11
x x
−
− =

7)
2 2
14.7 4.3 19.3 7
x x x x
+ = −
8)
1 1 2
4 4 2.6 4.6
x x x x
+ − −

+ = − 9)
1 2
1 1 1
22
2 2 2
x x x+ −
     
+ + =
     
     

DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

Cơ sở phương pháp: Sử dụng các công thức lũy thừa đưa phương trình về dạng
( ) ( )
1
( ) ( )
f x g x
a
a a
f x g x
=

= ⇔

=



Các công thức lũy thừa cơ bản:

( ) ( )
. .
.
1
m n m n
m
m n
n
n m
m m n n m n
m
n
m n
n
n
a a a
a
a
a
a a a a
a a a
a
+
−
−
=
=
= = =
= → =


Ví dụ mẫu:
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
1)
2
3 2 1
2 16
x x x
+ − +
=

2)
2
4
1
3
243
x x− +
=

3)
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
=

Hướng dẫn giải:
1)
2 2
3 2 1 3 2 4 4 2 2
2
2 16 2 2 3 2 4 4 6 0
3
x x x x x x
x
x x x x x
x
+ − + + − +
=

= ⇔ = ⇔ + − = + ⇔ − − = →

= −


Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = –3.
2)
2 2
4 4 5 2
1
1
3 3 3 4 5
5
243
x x x x
x

x x
x
− + − + −
= −

= ⇔ = ⇔ − + = − ⇔

=


Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = 5.
3)
( )
10 5
10 15
16 0,125.8 , 1 .
x x
x x
+ +
− −
=
03. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHẦN 1


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 13

Điều kiện:
10 0 10

15 0 15
x x
x x
− ≠ ≠
 
⇔
 
− ≠ ≠
 

Do
4 3 3
1
16 2 ; 0,125 2 ; 8 2
8
−
= = = =
nên ta có
( )
10 5
4. 3.
3
10 15
10 5
1 2 2 .2 4. 3 3.
10 15
x x
x x
x x
x x

+ +
−
− −
+ +
⇔ = ⇔ = − +
− −

( )
2
0
4( 10) 60
5 150 15 150
20
10 15
x
x
x x x
x
x x
=

+
⇔ = ⇔ − − = − →

=
− −


Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = 20.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

1)
2 9 27
.
3 8 64
x x
   
=
   
   

2)
1 2 1
4.9 3 2
x x
− +
=

3)
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −

Hướng dẫn giải:
1)
3 3
2 9 27 2 9 3 3 3
. . 3.
3 8 64 3 8 4 4 4
x x x x
x
           
= ⇔ = ⇔ = → =
           
           

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
2)
( )
2x 3 0
2x 1
x 1
3 2x
2
x 1 2x 1 2x 3 2x 3
2
2x 1
2
4.9 3 3 3
4.9 3 2 1 3 .2 1 3 . 2 1 1 x .
2
2 2
3.2

−
+
−
−
−
− + − −
+
   
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
   
   

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
3
.
2
x
=

Cách khác:
2 3
1 2 1 1 2 1

81 81 18.81 9 9 3
4.9 3 2 16.81 9.2 16. 9.2.4 .
81 4 16 2 2 2
x x
x
x x x x x
x
− + − +
     
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
     
     

3)
( ) ( )
( )
1
1
1
5 2 5 2 , 1 .
x
x
x
−
−
+
+ = −

Đ
i

ề
u ki
ệ
n:
1 0 1.
x x
+ ≠ ⇔ ≠ −

Do
( )( ) ( )
1
1
5 2 5 2 1 5 2 5 2
5 2
−
+ − = → − = = +
+

( ) ( )
1 1
1
1 1 1 1 0
2
1 1
x
x
x x
x
x x
−

=
 

⇔ − = ⇔ − + = ⇔
 

= −
+ +

 

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m là x = 1 và x = –2.

Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
( )
2
1
1

3
2
2 2 4
x
x
x
−
+
 
  =
 
 
2)
( ) ( )
2
5 6
3 2 3 2
x x−
+ = −
3)
(
)
2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+ − −
− = −

H
ướ

ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
( )
( )
2
1
1
3
2
2 2 4, 1 .
x
x
x
−
+
 
  =
 
 

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:

0
1
x
x
>


≠


( )
(
)
( )
( )
( )
3 1
1
2
3 1
1 2 2 2 2 5 3 0 3 9.
1
x
x x
x
x x x x
x x
+
−
+

⇔ = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ =
−

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m
x
= 9.
2)
( ) ( )
( )
2
5 6
3 2 3 2 , 2 .
x x−
+ = −
Do
( )( ) ( )
( )
( )
1
1
3 2 3 2 1 3 2 3 2 .
3 2

−
+ − = → − = = +
+

( )
( ) ( )
2
5 6
2
2
2 3 2 3 2 5 6 0
3
x x
x
x x
x
− −
=

⇔ + = + ⇔ − + = ⇔

=


V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ

ã cho có nghi
ệ
m
x
= 2 và
x
= 3.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 14

3)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2
2 2 2 2
5 3 2 5 3 5 3.3 5 3 5 5 3.3 3
5 9 5 9
x x x x x x x x x x x x
+ − −
− = − ⇔ − = − ⇔ − = −
2 2
2 2
3
3 25 5 125 5 5
5 3 3.
5 9 3 27 3 3
x x
x x

x
     
⇔ = ⇔ = ⇔ = → = ±
     
     

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m
3.
x = ±

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
( )
2
6 10
0,2 5
x x
x
−
−
=
2)

2
5 2 3
3 2
2 3
x x x
− − +
   
=
   
   
3)
(
)
(
)
4 1 2 3
3 2 2 3 2 2
x x
− +
+ = −
4)
( )
2
1
9. 3 81
x x
x
−
−
= 5)

2
5 4 1
10 1
x x− −
=
6)
2
2
3
1
1
x
x
e
e
−
−
 
=
 
 

7)
( )
1
3
1
16. 4
8
x

x
−
 
=
 
 
8)
2
5 7
4 1
1
9
3
x
x x
−
− −
 
=
 
 
9)
1 4 2
1 2
1
27 .81
9
x x
x x
+ −

− +
=

10)
1 1
3 .
3 27
x x
x
   
=
   
   
11)
( ) ( )
3 2
5 3 2 1
10 3 19 6 10
x x x
− −
− = +
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ MŨ

C
ơ
s
ở
ph
ươ
ng pháp:

Biến đổi phương trình về dạng
( )
2 ( ) ( )
( )

. . 0

f x
f x f x
f x
a
A a B a C
a

=
+ + = →

=




Chú ý:
( )
2
2
1
;
n n n
n

a a a
a
−
= =


Ví dụ mẫu:
Ví dụ 1.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình:
25 30.5 125 0
x x
− + =

Hướng dẫn giải:
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng:
(
)
2

5 30.5 125 0
x x
− + =
.
Đặ
t
5
x
t
=
,
đ
i
ề
u ki
ệ
n
t
> 0.
Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình tr
ở
thành:
2
5
30 125 0
25

t
t t
t
=

− + = ⇔

=


+ V
ớ
i
5 5 5 1
x
t x
= ⇔ = ⇔ =
.
+ V
ớ
i
2
25 5 25 5 5 2
x x
t x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
.
V
ậ
y ph

ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là
x
= 1 và
x
= 2.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
3 3 10
x x
+ −
+ =
.
Hướng dẫn giải:
Ta có
( )
0
2
2
2
3 1 3

0
1
3 3 10 9.3 10 9. 3 10.3 1 0
1
2
3
3 3
9
x
x x x x x
x
x
x
x
+ −
−

= =
=


+ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ ⇔


= −
= =




V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là
0, 2.
x x
= = −

Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
1
5 5 4 0
x x−
− + =
2)
2
3 8.3 15 0
x
x
− + =

3)
2 8 5
3 4.3 27 0
x x
+ +
− + =

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
( )
1
5 5 4 0, 1 .
x x−
− + =

Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x
≥
0.
( )

( )
2
5 1 0 0
5
1 5 4 0 5 4.5 5 0
1
5
1
5 5
x
x x x
x
x
x x
x
x


= = =


⇔ − + = ⇔ + − = → ⇔ ⇔


=

=


=




Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 15

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
2)
( ) ( )
(
)
( )
2
2
3
3
3 3
2
3 8.3 15 0 3 8. 3 15 0
log 5 log 25
3 5
x
x
x x
x
x
x
x


=
=


− + = ⇔ − + = → ⇔


= =

=



V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
3
2; log 25.
x x= =

3)
4
2 8 5 2( 4) 4 2( 4) 4
4 2
3 3 3
3 4.3 27 0 3 4.3 .3 27 0 3 12.3 27 0

3 9 3 2
x
x x x x x x
x
x
x
+
+ + + + + +
+

= ⇒ = −
− + = ⇔ − + = ⇔ − + = →

= = ⇒ = −



V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m là x = –2 và x = –3.

BÀI T
Ậ
P LUY

Ệ
N T
Ậ
P:
1)
2 2
9 3 6 0
x x
− − =
2)
1
2 4 1
x x−
− =
3)
25 5 12 0
x x
− − =

4)
1
100 10 16 0
x x+
− + =
5)
9 10.3 9 0
x x
− + =
6)
2

3 2.3 9
x x−
+ =

DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Loại 1:
Ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
a ,b ,c ,d

trong
đ
ó
.
m n
a c d
b b b
   
= =
   
   
Để giải phương trình dạng này ta chia cả hai vế cho
( )
f x
b

v
ới
{
}
min , , ,
b a b c d
= hay
g
ọ
i m
ộ
t cách dân rã, ta chia c
ả
hai v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình cho bi
ể
u th
ứ
c l
ũ
y th
ừ
a mà có c
ơ
s

ố
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Ví dụ 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
3.9 7.6 6.4 0
x x x
+ − =
.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng

đươ
ng:
2
3 2
1
2 3
3 3
3. 7. 6 0
2 2
3
3 0
2
x
x x
x
x

 
= ⇒ = −

 
 
   

+ − = ⇔
   

   
 


= − <
 

 

.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 1 nghi
ệ
m là x =
−
1.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:

1)
64.9 84.12 27.16 0
x x x
− + =

2)

1 1 1
4 6 9
x x x
− − −
+ =

3)
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0
x x x+ +
+ − =

4) (ĐH khối A – 2006):
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
Chia c
ả
hai v
ế
c

ủ
a (1) cho 9
x
ta
đượ
c
( )
2
2
4 4
12 16 4 4
1
3 3
1 64 84. 27. 0 27. 84. 64 0
2
9 9 3 3
4 16 4
3 9 3
x
x x x x
x
x
x

 
=

 
=
       


 

⇔ − + = ⇔ − + = → ⇔
       

=


       
   
= =

   
   


V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m x = 1 và x = 2.
2) Đ
i
ề
u ki

ệ
n: x
≠
0.
Đặ
t
( )
2
3 1 5
1 9 6 3 3
2 2
, 2 4 6 9 1 0 1 0
4 4 2 2
3 1 5
0
2 2
t
t t t t
t t t
t
t
x

+
 
=

 
       
 


− = ⇔ + = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔
       

       
−
 
= <

 
 


T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
3
1 5
2
2
3 1 5 1 5 1 3
log log .
2 2 2 2
t
t x
t

+
 
+ +
   
= ⇔ = → = − = −
 
   
 
   
 

3)
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0 81.9 45.6 36.4 0
x x x x x x+ +
+ − = ⇔ + − =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 16

2
2
3 4 3
2 9 2
9 6 3 3
81. 45. 36 0 81. 45. 36 0 2.
4 4 2 2
3
1 0

2
x
x x x x
x
x
−

   
= =

   
   
       

⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ → = −
       

       
 

= − <
 

 


Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –2.
4)
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x

+ − − =

3 2
3 3
.
2 2
12 18 27 3 3 3
3 4. 2. 0 2. 4. 3 0 1.
8 8 8 2 2 2
3
. 2 0
2
x
x x x x x x
x
x

 
=

 
 
           

⇔ + − − = ⇔ + − − = ⇔ → =
           

           
 


= − <
 

 


Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
10.25 29.10 10.4 0
x x x
− + =
2)
5.36 3.16 2.81
x x x
= +
3)
25 3.15 2.9 0
x x x
+ + =

4)
2 2 2
15.25 34.15 15.9 0
x x x
− + =
5)
4.49 17.14 392.4
x x x

− =
6)
25 4.9 5.15
x x x
+ =

Loại 2: Phương trình có tích cơ số bằng 1
Cách giải:
Do
( )
( )
( )
( )
1
1 1
f x
f x
f x
ab ab b
a
= ⇔ = → =
T
ừ

đ
ó ta
đặ
t
( ) ( )
1

, ( 0)
f x f x
a t t b
t
= > → =


Chú ý:

Một số cặp a, b liên hợp thường gặp:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( ) ( )( )
2 1 2 1 1 2 3 2 3 1
5 2 5 2 1 7 4 3 7 4 3 1
;
;
+ − = + − =
+ − = + − =


Một số dạng hằng đẳng thức thường gặp:
(
)

( )
2
2
3 2 2 2 1
7 4 3 2 3

± = ±
± = ±

Ví dụ mẫu.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =


2)
(
)
(
)

3 3
3 8 3 8 6
x x
+ + − =

3)
( ) ( )
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
+
− + + =

4)

( ) ( )
2 2
( 1) 2 1
4
2 3 2 3
2 3
x x x− − −
+ + − =
−

H
ướ
ng d
ẫ

n gi
ả
i:
1)
(
)
(
)
( )
2 3 2 3 4, 1 .
x x
+ + − =
Do
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
1
2 3 2 3 1 2 3 . 2 3 1 2 3
2 3
x x x
x
+ − = ⇔ + − = → − =

+

Đặ
t
(
)
(
)
1
2 3 ,( 0) 2 3
x x
t t
t
+ = > → − =
.
Khi
đ
ó
( )
2
1
2 3
1 4 0 4 1 0
2 3
t
t t t
t
t

= +

⇔ + − = ⇔ − + = →

= −



V
ớ
i
(
)
(
)
2
2 3 2 3 2 3 2 3 2.
x
t x
= + ⇔ + = + = + → =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 17

 Với
(
)
( )
(
)
2

1
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2.
x
t x
−
−
= − ⇔ + = − = + = + → = −

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
x
=
±
2.
2)
(
)
(
)
( )
3 3
3 8 3 8 6, 2 .
x x
+ + − =
Do

(
)
(
)
( )( )
(
)
(
)
(
)
( )
3 3 3 3 3
3
3
1
3 8 3 8 3 8 3 8 1 3 8 . 3 8 1 3 8
3 8
x x x
x
+ − = + + = ⇔ + − = → − =
+

Đặ
t
(
)
(
)
3 3

1
3 8 ,( 0) 3 8
x x
t t
t
+ = > → − =
.
Khi
đ
ó
( )
2
1
3 8
2 6 0 6 1 0
3 8
t
t t t
t
t

= +
⇔ + − = ⇔ − + = →

= −



V
ớ

i
(
)
( )
3
3
3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3.
x
x
t x
= + ⇔ + = + ⇔ + = + → =

 Với
(
)
( ) ( ) ( )
1 1
3
3
3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3.
x
x
t x
− −
= − ⇔ + = − = − ⇔ + = − → = −

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3.
3)
( ) ( )
( )

3
5 21 5 21
5 21 7 5 21 2 7. 8, 3 .
2 2
x x
x x
x+
   
− +
− + + = ⇔ + =
   
   

Ta có
5 21 5 21 5 21 5 21 5 21 1
. 1
2 2 2 2 2
5 21
2
x x x x
x
       
− + − − −
= = → =
       
 
     
 
 
+

 
 

Đặ
t
5 21 5 21 1
,( 0)
2 2
x x
t t
t
   
+ −
= > → =
   
   
.
Khi
đ
ó
( )
2
1
1
3 7 8 0 7 8 1 0
1
7
t
t t t
t

t
=


⇔ + − = ⇔ − + = →
=



 Với
5 21
1 1 0.
2
x
t x
 
+
= ⇔ = → =
 
 

 Với
5 21
2
1 5 21 1 1
log .
7 2 7 7
x
t x
+

 
+
 
= ⇔ = → =
 
 
 
 

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
5 21
2
0
1
log
7
x
x
+
=


 
=


 
 



4)

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
( 1) 2 1 2 1 2 1
4
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4
2 3
x x x x x x x− − − − + − −
+ + − = ⇔ − + + − − =
−

( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 3 2 3 4, 4 .
x x x x x x x x− − − −
− + + + − = ⇔ + + − =

Đặ
t
( ) ( )
2 2
2 2
1
2 3 , ( 0) 2 3 .
x x x x
t t
t
− −
= + > → − =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 18

Khi đó
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2 3 2 3

2 3 2 1
1
4 4 0 4 1 0
2 1
2 3
2 3 2 3
x x
x x
t x x
t t t
t
x x
t
−
−

+ = +


= + − =

⇔ + − = ⇔ − + = → ⇔ ⇔



− = −

= −





+ = −



V
ớ
i ph
ươ
ng trình
2 2
2 1 2 1 0 2 2
x x x x x− = ⇔ − − = ⇔ = ±


V
ớ
i ph
ươ
ng trình
2 2
2 1 2 1 0 1.
x x x x x
− = − ⇔ − + = ⇔ =


V
ậ
y ph

ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
1
2 2
x
x
=


= ±



BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
( ) ( )
5 24 5 24 10
x x
+ + − =
2)
7 3 5 7 3 5
7 8
2 2
x x
   
+ −
+ =
   

   
   

3)
(
)
( )
5 2 6 5 2 6 10
x
x
− + + =
4)
(
)
( )
4 15 4 15 8
x
x
− + + =

5)
(
)
(
)
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
6)
( ) ( )

2 2
1
10 3 10 3 10 4
x x −
+ + − = +

7)
(
)
(
)
2
5 21 5 21 5.2
x
x x
+ + − =







Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 19



DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH CƠ BẢN


Khái niệm:
Là phương trình có dạng
(
)
log ( ) log ( ), 1 .
a a
f x g x=
trong
đ
ó f(x) và g(x) là các hàm s
ố
ch
ứ
a
ẩ
n x c
ầ
n gi
ả
i.

Cách gi
ả
i:
-
Đặ
t
đ
i

ề
u ki
ệ
n cho ph
ươ
ng trình có ngh
ĩ
a
0; 1
( ) 0
( ) 0
a a
f x
g x
> ≠


>


>


- Bi
ế
n
đổ
i (1) v
ề
các d

ạ
ng sau:
( )
( ) ( )
1
1
f x g x
a
=
⇔
=


Chú ý:
- Với dạng phương trình
log ( ) ( )
b
a
f x b f x a
= ⇔ =

- Đẩy lũy thừa bậc chẵn:
2
log 2 log
n
a a
x n x
=
, nếu x > 0 thì
log log

n
a a
n x x
=
- V
ớ
i ph
ươ
ng trình sau khi bi
ế
n
đổ
i
đượ
c v
ề
d
ạ
ng
[ ]
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
≥



= ⇔

=



- Các công th
ứ
c Logarith th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng:
( )
log
log ;
log log log ; log log log
1
log log ; log
log
a
n
x
x
a
a a a a a a
m
a a

a
b
a x a x
x
xy x y x y
y
m
x x b
n a
= =
 
= + = −
 
 
= =


Ví d
ụ
m
ẫ
u:
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
( )
2
1 1
3 3

log 3 4 log 2 2
x x x
+ − = +

2)
( )
1
lg lg 1
2
x x
= +

3)
2 1
2
8 1
log log
4 2
x
x
−
=

4)
(
)
2
5
log 2 65 2
x

x x
−
− + =

Hướng dẫn giải:
1)
( )
( )
2
2
1 1
3 3
2 2
1
4
1
3 4 0
log 3 4 log 2 2 2 2 0 1 2.
2
3
3 4 2 2 6 0
x
x
x
x x
x x x x x x
x
x
x x x x x
 >





< −
>
+ − >




 
+ − = + ⇔ + > ⇔ > − ⇔ → =
=

  

  
= −
+ − = + + − =







V
ậ
y ph

ươ
ng trình có nghi
ệ
m x = 2.
2)
( )
( )
( )
( )
2
2
0
0
1 5
0
0
1 1 5
lg lg 1 1 0
2
lg lg 1
2 2
1
2lg lg 1
1 5
2
x
x
x
x
x

x x x x
x x
x x
x x
x
>



>

+
>


>

+

  
=

= + ⇔ + > ⇔ ⇔ ⇔ → =
   

= +
= +


  



= +
−


=





04. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 20

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1 5
.
2
x
+
=

3)
( )
2 1
2

8 1
log log , 3 .
4 2
x
x
−
=

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
8 0
0 8.
0
x
x
x
− >

⇔ < <

>


Khi đó
( ) ( )
1

2
2 2
8 1 8 8 1
3 log log 8 4
4 2 4 4
x x x
x x x x
x
−
− − −
⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ − =

( )
2
2
8 16 4 0 4.
x x x x
⇔ − + = ⇔ − = → =

Nghi
ệ
m
x
= 4 th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki

ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
x
= 4.
4)
(
)
( )
2
5
log 2 65 2, 4
x
x x
−
− + =
Điều kiện:
( )
2 2
5 0 5
5
5 1 4
4
2 65 0
1 64 0,

x x
x
x x
x
x x
x x R


− > <

<



− ≠ ⇔ ≠ ⇔
  
≠

 
− + >
− + > ∀ ∈




Khi
đ
ó

( ) ( )

2
2
4 2 65 5 8 40 0 5.
x x x x x
⇔ − + = − ⇔ + = → = −

Nghi
ệ
m x = –5 th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x = –5.
Bình lu
ậ
n:
Trong các ví d
ụ
3 và 4 chúng ta c
ầ

n ph
ả
i tách riêng
đ
i
ề
u ki
ệ
n ra gi
ả
i tr
ướ
c r
ồ
i sau
đ
ó m
ớ
i gi
ả
i ph
ươ
ng trình.
Ở

ví d
ụ
1 và 2 do các ph
ươ
ng trình t

ươ
ng
đố
i
đơ
n gi
ả
n nên ta m
ớ
i g
ộ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n vào vi
ệ
c gi
ả
i ph
ươ
ng trình ngay.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
(
)

lg 3 2lg 2 lg0,4
x x+ − − =

2)
( ) ( )
5 5 5
1 1
log 5 log 3 log 2 1
2 2
x x x
+ + − = +

3)
( )
2 1
2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
 
+ + − =
 
−
 

Hướng dẫn giải:
1)
(

)
(
)
(
)
lg 3 2lg 2 lg0,4, 1 .
x x+ − − =

Điều kiện:
3 0 3
2.
2 0 2
x x
x
x x
+ > > −
 
⇔ ⇔ >
 
− > >
 

Khi đó,
( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )

( ) ( )
2 2
2 2
3 3
2
1 lg 3 lg 2 lg0,4 lg lg0,4 0,4 2 2 5 3 0
5
2 2
x x
x x x x
x x
+ +
⇔ + − − = ⇔ = ⇔ = = ⇔ − − + =
− −

2
7
2 13 7 0
1
2
x
x x
x
=


⇔ − − = →

= −


Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là x = 7.
2)
( ) ( ) ( )
5 5 5
1 1
log 5 log 3 log 2 1 , 2 .
2 2
x x x+ + − = +

Đ

i
ề
u ki
ệ
n:
5 0 5
3 0 3 3.
2 1 0 1
2
x x
x x x
x
x


+ > > −



− > ⇔ > ⇔ >
 
 
+ >


> −


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

Trang 21

Khi đó,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
5 5 5 5 5
1 1 1
2 log 5 log 3 log 2 1 log 5 3 log 2 1
2 2 2
x x x x x x
⇔ + + − = + ⇔  + −  = +
 

(
)
(
)
2 2
5 3 2 1 2 15 2 1 16 4.
x x x x x x x x
⇔ + − = + ⇔ + − = + ⇔ = → = ±

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề

u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
x
= 4.
3)
( )
( )
2 1
2
1
log 4 15.2 27 2log 0, 3 .
4.2 3
x x
x
 
+ + − =
 
−
 

Điều kiện:

4 15.2 27 0,
4.2 3 0
x x
x
x R

+ + > ∀ ∈


− >



Khi
đ
ó
( )
( ) ( )
2
2 2 2
1 1
3 log 4 15.2 27 2log 0 log 4 15.2 27 0
4.2 3 4.2 3
x x x x
x x
 
   
⇔ + + + = ⇔ + + =
 
   

− −
   
 
 

( )
2
2
2
2
2 3
1 2 15.2 27
4 15.2 27 1 1 15.2 39.2 18 0
2
4.2 3 16.2 24.2 9
2 0
5
x
x x
x x x x
x x x
x

=
+ +
 

⇔ + + = ⇔ = ⇔ − − = →
 


− − +
= − <
 



Giá tr
ị

2 3
x
=
thỏa mãn điều kiện, từ đó ta được
2
2 3 log 3
x
x= ⇔ =
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
BÀI T
Ậ
P LUY
Ệ
N T
Ậ

P:
1)
log
3
(2x + 1)(x – 3) = 2
2)
log
5
(x
2
– 11x + 43) = 2
3)
log
3
(2x + 1) + log
3
(x – 3) = 2
4)
(
)
( )
2
3 3
log 4 3 log 3 21
x x x− + = + 5)
(
)
2
5
log 11 43 2

x x
− + =
6)
1 1
5 5
2 2
log log
10 1
x
x
+
=
+

7)
1
log 4 2
x−
=
8)
2
log 10 log 10 6 0
x x
− − =
9)
(
)
2
log 3 5 3 2
x

x x
− − =

10)
(
)
2
log 2 3 4 2
x
x x
− − =
11)
(
)
2
1
log 3 1 1
x
x x
+
− + =
12)
(
)
2
log 3 8 3 2
x
x x
− + =

13)
(
)
2
1
log 3 7 2 2
x
x x
−
− − =
14)
(
)
3 3 3
log 2 log log 8
x x
− + = 15)
(
)
lg 9 2lg 2 1 2
x x
− + − =

16)
(
)
(
)
4 4 4
log 3 log 1 2 log 8

x x
+ − − = −
17)
2 1
2
2
2log log log 9
x x x
+ + =
18)
(
)
(
)
(
)
9 9 9
log 1 log 1 log 2 3
x x x
+ − − = +

DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI TRÌNH LOGARITH

Chúng ta th
ườ
ng
đặ
t
ẩ
n ph

ụ
khi ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a bi
ể
u th
ứ
c ph
ứ
c t
ạ
p khi th
ự
c hi
ệ
n các phép bi
ế
n
đổ
i.
Đặ
t
log
a
t x
=
thì ta không c
ầ

n
đ
i
ề
u ki
ệ
n gì c
ủ
a t.

M
ộ
t s
ố
bi
ể
u th
ứ
c c
ầ
n l
ư
u ý khi
đẩ
y l
ũ
y th
ừ
a
[ ]

[ ]
2
2
2
log ( ) 2 log ( )
log ( ) log ( )
n
a a
a a
f x n f x
f x f x
=
=

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1)
( ) ( )
2
2
2 2
log 1 5 log 1
x x
− = + −

2)
(
)
(
)
2

2 1
4
log 2 8log 2 5
x x
− − − =

3)
1 1
3 3
log 3. log 2 0
x x
− + =

4)
2
2
1 2
2
log (4 ) log 8
8
x
x
 
+ =
 
 

Hướng dẫn giải:
1)
( ) ( ) ( )

2
2
2 2
log 1 5 log 1 , 1 .
x x− = + −
Điều kiện: x > 1.
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
log 1 log 1 log 1 2log 1 4
t x x x x t
 
= − → − = − =  −  =
 
 

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 22

Khi đó
( )
( )
( )
2
2

5 5
2
4 4
1 3
log 1 1
1
1
2 2
1 4 5 0
5
5
log 1
4
4
1 2 1 2
x
t
x x
t t
t
x
x x
 
 − = −
= −

− = =
 



⇔ − − = ⇔ → ⇔ ⇔
 


=
− =
 



− = = +
 

C
ả
hai nghi
ệ
m
đề
u th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph

ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m là
5
4
3
; 1 2 .
2
x x= = +

2)
(
)
(
)
(
)
2
2 1
4
log 2 8log 2 5, 2 .
x x− − − =
Điều kiện: x < 2.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( )

2 2
2
2 2 2 2
2
log 2 1
8
2 log 2 log 2 5 log 2 4log 2 5 0
log 2 5
2
x
x x x x
x
 − =
⇔ − − − = ⇔ − + − − = ⇔

− = −
−



V
ớ
i
(
)
2
log 2 1 2 2 0.
x x x
− = ⇔ − = ⇔ =


V
ớ
i
( )
2
1 63
log 2 5 2 .
32 32
x x x− = − ⇔ − = ⇔ =

C
ả
hai nghi
ệ
m
đề
u th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình

đ
ã cho có hai nghi
ệ
m là
63
0; .
32
x x= =

3)
(
)
1 1
3 3
log 3. log 2 0, 3 .
x x− + =
Điều kiện:
1
3
0
0 1.
log 0
x
x
x
>


⇔ < ≤


≥



( )
2
1
1
3
3
1 1
1
3 3
1
3
3
1
log 1
log 1
3
3 log 3. log 2 0
log 4 1
log 2
81
x
x
x
x x
x
x

x


=
=

=

 


 
⇔ − + = ⇔ ⇔ →



 
=

=

  
=

 



C
ả

hai nghi
ệ
m
đề
u th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m là
1 1
; .
3 81
x x= =

4)
( )
2
2

1 2
2
log (4 ) log 8, 4 .
8
x
x
 
+ =
 
 
 

Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x > 0.
Ta có
[ ]
( ) ( )
2
2
2
2
1 2 2 2 2
2
2
2
2 2 2 2

log (4 ) log (4 ) log 4 log log 2
log log log 8 2log 3
8
x x x x
x
x x
 
= − = − +  = +
 
 
 
 
= − = −

Khi
đ
ó
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2 2 2
7
2
2
log 1
4 log 2 2log 3 8 log 6log 7 0
1
log 7
2
128

x
x
x x x x
x
x
−
=

=


⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔


= −
= =




V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m
1

2; .
128
x x= =
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1)
5
1
2log 2 log
5
x
x − =

2)
2
9
log 5 log 5 log 5
4
x x x
x+ = +

3)
2 3
2 16 4
log 14log 40log 0
x x x
x x x
− + =

4)
3

3 2 3 2
3 1
log .log log log
2
3
x
x x
x
 
 
− = +
 
 
 
 

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
( )
5
1
2log 2 log , 1 .
5
x

x − =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 23

Điều kiện: x > 0; x ≠ 1.
( )
( )
2
5 5 5 5 5
5
1 1
1 2. log 2 log 5 log 2 0 log 2log 1 0 log 1 5.
2 log
x
x x x x x x
x
⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = → =

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
2)
( )
2
9
log 5 log 5 log 5, 2 .
4
x x x
x+ = +
Điều kiện: x > 0; x ≠ 1.

Ta có
( )
( )
2 2
1 5
log 5
1 9 1 1 1 5
2 2
2 log 5 1 log 5 log 5 log 5 3. log 5 0
1 1
2 4 2 2 2 4
log 5
2 2
x
x x x x x
x

=

     
⇔ + + = + ⇔ − + = →

     
     

=


T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
5
5
log 5 5
5
5
log 5 1
5
5
x
x
x
x
x
x
= 


=
=
→ ⇔



=
=

=




Các nghi
ệ
m này
đề
u th
ỏ
a mãn, v
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
5
5; 5.
x x= =

3)
(
)
2 3
2 16 4
log 14log 40log 0, 3 .
x x x
x x x− + =

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
0
1
0
2
2 1
1
16 1
16
4 1
1
4
x
x
x
x
x
x
x
x
>


>



≠


≠
 
⇔
 
≠
≠
 
 
≠


≠



Khi
đ
ó
( )
( ) ( ) ( )
2 16 4
2 42 20
3 2log 42log 20log 0 0
log 2 log 16 log 4
x x x

x x x
x x x
x x x
⇔ − + = ⇔ − + =

( )
2 42 20 2 42 20
0 0, * .
log log 2 log log 16 log log 4 1 log 2 1 log 16 1 log 4
x x x x x x x x x
x x x
⇔ − + = ⇔ − + =
+ + + + + +

Đặ
t
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
1 21 10
log 2, * 0 1 4 1 2 21 1 1 2 10 1 1 4 0
1 1 4 1 2
x
t t t t t t t
t t t
= ⇔ − + = ⇔ + + − + + + + + =
+ + +

( ) ( )
2 2 2 2
2
8 6 1 21 2 3 1 10 4 5 1 0 6 7 10 0

5
6
t
t t t t t t t t
t
=


⇔ + + − + + + + + = ⇔ − − = →

= −




V
ớ
i
2
2 log 2 2 2 2.
x
t x x= ⇔ = ⇔ = → = ±


V
ớ
i
6
5 5 6 6
5

6 6 5 5
x
5
5 5 1
t log 2 x 2 x 2 x 2
6 6
64
−
− − − −
 
= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = → = =
 
 
 

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ

m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
5
1
2; .
64
x x= =
4)
( )
3
3 2 3 2
3 1
log .log log log , 4 .
2
3
x
x x
x
 
 
− = +
 
 
 
 

Đ

i
ề
u ki
ệ
n: x > 0.
( )
( )
( )
( )
3
3 2 3 3 2 3 2 3 2
1 1 1 1 1
4 1 log .log log log 3 log 1 log .log 3log log
2 2 2 2 2
x x x x x x x x
⇔ − − − = + ⇔ − − + = +

2 2 3 3 2 2 2 3 3
1
log log .log 3log log 0 log 2log .log 6log 0
2
x x x x x x x x x
⇔ − − − = ⇔ − − =

(
)
(
)
2 3 3
log 1 2log 6log 0, * .

x x x⇔ − − =
Do
3 3 2
log log 2.log
x x
=
nên
(
)
(
)
(
)
2 3 3 2 2 3 3
* log 1 2log 6log 2.log 0 log 1 2log 6log 2 0
x x x x x
⇔ − − = ⇔ − − =

2
3
3 3
3 3
1
1
log 0
1 6log 2
1 3
3
log log
1 2log 6log 2 0

2 2 64
8
x
x
x
x
x
x
=
=


=



⇔ ⇔ →
−
 



= =
− − =
=
 


 




Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 24

Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm
3
1; .
8
x x= =
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
a)
3 27
9 243
log log
log (3 ) log (27 )
=
x x
x x

Gi
ả
i.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n

1 1
0 ;
3 27
x x< ≠ ≠ . Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng

( ) ( )
( ) ( )
3 27 3 3
9 243 3 3
3
3
13
3 3 3 3
log log 2log 5log
log (3 ) log (27 ) log 3 3log 27
log 0
1
log 0
5 1 log 6 log 27 log log 13
3
x x x x
x x x x

x
x
x
x x x
x
−
= ⇔ =
=
=

=


⇔ ⇔ ⇔



+ = + = −
=




K
ế
t lu
ậ
n nghi
ệ
m

b)

8
2
4 16
log 4
log
log (2 ) log (8 )
=
x
x
x x

Gi
ả
i.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
1 1
0; ;
2 8
x x x
> ≠ ≠
.
Ph
ươ

ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )
(
)
( )
(
)
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
4log 4 4 2 log
2log 2log
log 2 3log 8 1 log 3 3 log
x x
x x
x x x x
+
⇔ = ⇔ =
+ +

Đặt

2
log
x t
=
ta có
( ) ( )( )
2
2
1
3 3 2 2 1 3 4 0
1
4
16
x
t
t t t t t t
t
x
=

=


+ = + + ⇔ + − = ⇔ ⇔


= −
=



Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1
;2
16
S
 
=
 
 
.
c)
(
)
(
)
1
2 2
log 2 1 .log 2 2 6
+
+ + =
x x

Giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n

x
∈
ℝ

Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2
log 2 1 log 2 log 2 1 6 log 2 1 log 2 1 6 0
x x x x
 
+ + + = ⇔ + + + − =
 

Đặ
t
(
)
2
log 2 1
x
t
+ =
ta thu
đượ
c
2
2
2 1 4 2 3
2
6 0 log 3
1 7
3
2 1 2
8 8
x x
x x
t
t t x
t
 
+ = =
=


 
+ − = ⇔ ⇔ ⇔
⇒
=

 
= −
+ = = −

 
 

K
ế
t lu
ậ
n nghi
ệ
m
{
}
2
log 3
S = .
d)
3 3
4 log 1 log 4
− − =
x x

Gi
ải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
3
x
≥
.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 25

Phương trình đã cho tương đương với
3 3 3 3
1
4 log 1 log 4 8 log 1 log 8
2
x x x x
− − = ⇔ − − =

Đặ
t
(
)
3
log 1

x t t
= ≥
thu
đượ
c
(
)
2 2
8 1 8 64 1 16 64 48 128 0
t t t t t t t
− = + ⇔ − = + + ⇔ − + =


Ví dụ 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau:
a)
3
4 4
3
3
9
49
log (9 ) 2log (27 ) 3log 9
5
+ + =
x

x
x
x x

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
3
0;3 1;9 1; 3 1
x x x x
> ≠ ≠ ≠

Phương trình đã cho tương đương với
3 3
3 3
3
9 9
3 3
3
3 3
3 3 3
49
2log 3 4log 6log 3 8log 6log 3
5
2 4 6 8 6 49
1
1 log 1 log 3 2 3log 2log 3 3 5

log
2
2 4log 6 8log
12 49
1 log 2 3log 2log 1 5
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x x
+ + + + =
⇔ + + + + =
+ + + +
+
+ +
⇔ + + =
+ + +

Đặt
3
2 4 6 8 12 49
log
1 2 3 2 1 5
t t
x t
t t t

+ +
=
⇒
+ + =
+ + +

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
3 2 3 2
3 2 2
171 3 2497
188
171 3 24
49
4 2 6 7 2 8 6 2 3 1 12 3 5 2 2 1 3 5 2
5
5 40 112 108 34 49 6 13 9 2
94 77 99 72 0 1 94 171 72 0
3
1
171 3 2497
3

188
171 3 2497
3
188
t t t t t t t t t t t
t t t t t t
t t t t t t
x
t
t x
x
t
− −
− +
⇔ + + + + + + + + + + = + + +
⇔ + + + = + + +
⇔ + − − = ⇔ − + + =

=

=

− −

⇔ = ⇔ =


− +

=

=


97
188








b)
2
3
3
2
2
58
log (4 ) 2log
8 15
+ =
x
x
x
x
Giải.
Điều kiện
2

0;2 1;2 1
x x x
> ≠ ≠
.
Phương trình đã cho tương đương với
( )
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
58 6 18 1 58
3 log 2 6 log 3log 2 3
15 log 2 2 1 2log 1 log 15
6log 18
1 13
1 2log 1 log 15
x
x x
x
x
x x
x
x x
− + − = ⇔ − + − =
+ + +
−
⇔ − =
+ +

Đặ
t
2
log
x t
=
thu
đượ
c