Toán tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi THPT phạm minh phương

PHẠM MINH PHƢƠNG

Một số chuyên đề

TOÁN TỔ HỢP
BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp

Mục lục
Lời nói đầu…………………………………………………………..….…………………….….…6
Bảng kí hiệu…………………………………………………………...………………….….……..6
Chuyên đề 1. Tập hợp ................................................................... Error! Bookmark not defined.
1.1 C{c kh{i niệm cơ bản ..................................................... Error! Bookmark not defined.
1.1.1. Kh{i niệm tập hợp .................................................. Error! Bookmark not defined.
1.1.2. C{c c{ch x{c định tập hợp ..................................... Error! Bookmark not defined.
1.1.3. Tập con ..................................................................... Error! Bookmark not defined.
1.1.4. Tập hợp bằng nhau................................................. Error! Bookmark not defined.
1.1.5. Giao của hai tập hợp .............................................. Error! Bookmark not defined.
1.1.6. Hợp của hai tập hợp ............................................... Error! Bookmark not defined.
1.1.7. Hiệu của hai tập hợp .............................................. Error! Bookmark not defined.
1.1.8. Phần bù của hai tập hợp ........................................ Error! Bookmark not defined.
1.1.9. Tích Đề - C{c ............................................................ Error! Bookmark not defined.
1.1.10.Một số tính chất ........................................................ Error! Bookmark not defined.
1.2 B|i tập .............................................................................. Error! Bookmark not defined.

1.2.1 B|i tập luyện tập ..................................................... Error! Bookmark not defined.
1.2.2 B|i tập tự giải........................................................... Error! Bookmark not defined.
1.3 Hướng dẫn giải b|i tập ................................................. Error! Bookmark not defined.
Chuyên đề 2. Phép đếm ................................................................ Error! Bookmark not defined.
2.1 C{c nguyên lí cơ bản ...................................................... Error! Bookmark not defined.
2.2 Tổ hợp – chỉnh hợp – ho{n vị ....................................... Error! Bookmark not defined.
2.3 B|i tập .............................................................................. Error! Bookmark not defined.
2.4 Hướng dẫn giải b|i tập ................................................. Error! Bookmark not defined.
Chuyên đề 3. Nhị thức Newton................................................... Error! Bookmark not defined.
3.1.1 B|i tập luyện tập ..................................................... Error! Bookmark not defined.
3.1.2 B|i tập tự giải........................................................... Error! Bookmark not defined.
3.2 Hướng dẫn giải b|i tập ................................................. Error! Bookmark not defined.
Chuyên đề 4. Nguyên tắc Dirichlet ............................................ Error! Bookmark not defined.
4.1 Nộ dung nguyên tắc Dirichlet ...................................... Error! Bookmark not defined.
4.2 B|i tập .............................................................................. Error! Bookmark not defined.
4.2.1 B|i tập luyện tập ..................................................... Error! Bookmark not defined.
4.2.2 B|i tập tự giải........................................................... Error! Bookmark not defined.
4.3 Hướng dẫn giải b|i tập ................................................. Error! Bookmark not defined.
Chuyên đề 5. Nguyên tắc cực hạn............................................... Error! Bookmark not defined.
5.1 Nguyên tắc cực hạn ....................................................... Error! Bookmark not defined.
5.2 B|i tập .............................................................................. Error! Bookmark not defined.

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
2


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
5.2.1 B|i tập luyện tập ..................................................... Error! Bookmark not defined.

5.2.2 B|i tập tự giải........................................................... Error! Bookmark not defined.
5.3 Hướng dẫn giải b|i tập ................................................. Error! Bookmark not defined.
Chuyên đề 6. Bất biến ................................................................... Error! Bookmark not defined.
6.1 Thuật to{n ....................................................................... Error! Bookmark not defined.
6.1.1 Định nghĩa thuật to{n ............................................ Error! Bookmark not defined.
6.1.2 C{c b|i to{n về thuật to{n ..................................... Error! Bookmark not defined.
6.1.3 H|m bất biến ........................................................... Error! Bookmark not defined.
6.2 B|i tập .............................................................................. Error! Bookmark not defined.
6.2.1 B|i tập luyện tập ..................................................... Error! Bookmark not defined.
6.2.2 B|i tập tự giải........................................................... Error! Bookmark not defined.
6.3 Hướng dẫn giải b|i tập ................................................. Error! Bookmark not defined.
Chuyên đề 7. Đơn biến và bài toán hội tụ ................................ Error! Bookmark not defined.
7.1 H|m đơn biến ................................................................. Error! Bookmark not defined.
7.2 B|i to{n hội tụ v| b|i to{n ph}n kì .............................. Error! Bookmark not defined.
7.3 B|i tập .............................................................................. Error! Bookmark not defined.
7.3.1 B|i tập luyện tập ..................................................... Error! Bookmark not defined.
7.3.2 B|i tập tự giải........................................................... Error! Bookmark not defined.
7.4 Hướng dẫn giải b|i tập ................................................. Error! Bookmark not defined.
Chuyên đề 8. Một số phƣơng pháp đếm nâng cao .................. Error! Bookmark not defined.
8.1 Phương ph{p truy hồi ................................................... Error! Bookmark not defined.
8.2 Phương ph{p sử dụng song {nh.................................. Error! Bookmark not defined.
8.3 Phƣơng pháp quỹ đạo .................................................. Error! Bookmark not defined.
8.4 Phƣơng pháp sử dụng đa thức và số phức ............... Error! Bookmark not defined.
8.5 Bài tập .............................................................................. Error! Bookmark not defined.
8.5.1 Bài tập luyện tập .................................................... Error! Bookmark not defined.
8.5.2 Bài tập tự giải .......................................................... Error! Bookmark not defined.
8.6 Hƣớng dẫn giải bài tập ................................................ Error! Bookmark not defined.
Chuyên đề 9. Hàm sinh và tổ hợp............................................... Error! Bookmark not defined.
9.1 Khái niệm hàm sinh ..................................................... Error! Bookmark not defined.
9.2 Khai triển Taylor ........................................................... Error! Bookmark not defined.

9.3 Hệ số nhị thức mở rộng................................................ Error! Bookmark not defined.
9.4 Ứng dụng của hàm sinh ............................................... Error! Bookmark not defined.
9.5 Bài tập .............................................................................. Error! Bookmark not defined.
9.5.1 Bài tập luyện tập .................................................... Error! Bookmark not defined.
9.5.2 Bài tập tự giải .......................................................... Error! Bookmark not defined.
9.6 Hƣớng dẫn giải bài tập ................................................ Error! Bookmark not defined.
Chuyên đề 10. Hình lồi và định lí Helly ................................... Error! Bookmark not defined.
10.1 Hình lồi ........................................................................... Error! Bookmark not defined.

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
3


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
10.2 Định lí Helly .................................................................. Error! Bookmark not defined.
10.3 Bài tập .............................................................................. Error! Bookmark not defined.
10.3.1 Bài tập luyện tập .................................................... Error! Bookmark not defined.
10.3.2 Bài tập tự giải .......................................................... Error! Bookmark not defined.
10.2 Hƣớng dẫn giải bài tập ................................................ Error! Bookmark not defined.
Bài toán tổng hợp…………………………………………………………………………………..7
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………………7
Lời nói đầu
To{n học l| môn học quan trọng trong chương trình phổ thông ở nước ta cũng như c{c nước
kh{c trên thế giới. Việc giảng dạy v| học tập môn To{n trong chương trình phổ thông không
chỉ trang bị cho học sinh những kiến thức cụ thể {p dụng trong cuộc sống v| trong c{c môn học
kh{c m| quan trọng hơn l| rèn luyện cho c{c em phương ph{p tư duy loogic, c{c kĩ năng l|m
việc hiệu quả, khả năng độc lập v| năng lực s{ng tạo. Điều đó sẽ giúp ích cho c{c em trong cả
cuộc đời.

Việc ph{t triển v| bồi dưỡng học sinh năng khiếu môn To{n luôn l| mối quan hệ lớn của mỗi
quốc gia. Ở nước ta, ngay từ những năm 60 của thế kỉ XX,c{c lớp to{n đặc biệt đã được th|nh
lập nhằm bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu to{n học,phục vụ cho đất nước.
Bộ s{ch Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông gồm c{c chuyên đề tự
chọn đặc sắc theo chương trình d|nh cho chuyên To{n m| Bộ gi{o dục v| Đ|o tạo ban h|nh. Bộ
s{ch l| kết tinh từ kinh nghiệm giảng dạy v| bồi dưỡng học sinh năng khiếu của c{c Thầy Cô
gi{o ở trường THPT Chuyên Đại học Sư Phạm H| Nội, Trường THPT Chuyên Đại học Khoa
học Tự nhiên – Đại học Quốc gia H| Nội v| Trường THPT Chuyên Bắc Giang,nhằm cung cấp
cho c{c em học sinh một số kiến thức bổ sung,giúp c{c em hiểu s}u hơn s{ch gi{o khoa, chuẩn
bị cho c{c kì thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh v|o đại học v| thi học sinh giỏi THPT. Bộ s{ch
gồm năm cuốn :
Một số chuyên đề Hình học phẳng bồi dƣỡng học sinh giỏi THPT ;
Một số chuyên đề Đại số bồi dƣỡng học sinh giỏi THPT ;
Một số chuyên đề Toán Tổ hợp bồi dƣỡng học sinh giỏi THPT ;
Một số chuyên đề Giải tích bồi dƣỡng học sinh giỏi THPT ;
Một số chuyên đề Hình học không gian bồi dƣỡng học sinh giỏi THPT .
Cuốn s{ch Một số chuyên đề Toán Tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi THPT gồm 10 chuyên đề để
giảng dạy v| ph}n B|i tập tổng hợp. C{c chuyên đề được c{c t{c giả sử dụng để giảng dạy

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
4


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
chuyên đề cho học sinh lớp 10 to{n v| bồi dưỡng cho đội tuyển to{n của Trường THPT Chuyên
Đại học Sư Phạm hằng năm. Trong mỗi chuyên đề, chúng tôi đều nhắc lại những phần lí thuyết
thiết yếu, bổ sung những kiến thức không có hoặc được nhắc đến một c{ch sơ s|i trong c{c s{ch
gi{o khoa phổ thông. Tiếp theo l| l| c{c ví dụ minh họa cho phần lí thuyết. Chúng tôi cố gắng

chọn lọc c{c ví dụ điển hình, dễ hiểu v| đặc trưng nhất cho phần lí thuyết đó. Phần b|i tập
được chia th|nh hai phần : B|i tập luyện tập, có hướng dẫn giải hoặc có lời giải chi tiết để c{c
bạn có thể so s{nh, đối chiếu, rút kinh nghiệm v| củng cố, đ|o s}u lí thuyết. B|i tập tự giải, gồm
một số b|i to{n tương tự như trong phần ví dụ v| trong phần b|i tập luyện tập, ngo|i ra còn có
những b|i to{n khó v| rất khó d|nh cho những bạn có khả năng có thể tìm hiểu s}u hơn v| có
điều kiện ph{t triển tốt nhất khả năng của mình;
Phần B|i tập tổng hợp gồm những b|i to{n hay được chọn lọc, đòi hỏi những thao t{c tư duy
phức hợp , những quan s{t tinh tế, khả năng ph{n đo{n tốt v| kĩ năng xử lí vấn đề cao để c{c
bạn thử sức. Qua đó, chúng tôi hi vọng c{c bạn phần n|o có thể thấy đượ vẻ đẹp của To{n học
v| những thú vị của việc chinh phục c{c b|i to{n khó, từ đó tăng thêm tình yêu với môn thể
thao trí tuệ bậc nhất n|y.
Cuốn s{ch sẽ l| t|i liệu bổ ích cho c{c bạn học sinh yêu thích môn To{n, tự bồi dưỡng kiến thức
môn to{n v| cho c{c bạn ôn luyện chuẩn bị cho c{c kì thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học v| c{c
kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, th|nh phố, quốc gia v| cả quốc tế nữa. Cuốn s{ch cũng sẽ l| t|i
liệu bổ ích cho c{c thầy cô gi{o trong việc định hướng v| bồi dưỡng học sinh giỏi THPT.
Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của độc giả để bộ s{ch được ho|n thiện hơn .
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về Ban To{n – Tin Nh| xuất bản Gi{o dục Việt Nam ,187B Giảng
Võ,H| Nội.

CÁC TÁC GIẢ

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
5


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp

Các kí hiệu sử dụng trong sách

N:

Tập c{c số tự nhiên

N* :

Tập c{c số tự nhiên kh{c 0

Z:

Tập c{c số nguyên

Q:

Tập c{c số hữu tỉ

R:

Tập c{c số thực

E2 :

Tập c{c điểm của mặt phẳng

 :

Thuộc

:

Không thuộc

 :

Chứa trong

 :

Chứa

 :

Hợp

 :

Giao

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
6


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
n

a
i 1

i

: Tổng của n phần tử a1 , a2 ,......, an

n

 ai
i 1

: Tích của n phần tử a1 , a2 ,......, an

n
i1

Ai

: Hợp của họ n tập hợp A1 , A2 ,.......An

n

Ai
i1

: Giao của họ n tập hợp A1 , A2 ,.......An

Chuyên đề 1
Tập hợp
Tập hợp l| kh{i niệm nền tảng của to{n học v| nhiều ng|nh khoa học kh{c. Sử dụng lí
thuyết tập hợp ta có thể diễn tả c{c kh{i niệm, c{c b|i to{n, đặc biệt l| c{c b|i to{n rời rạc một
c{ch s{ng sủa, giúp cho việc tiếp cận c{c b|i to{n trở nên đơn giản hơn.

Trong phần n|y chúng tôi nhắc lại một số kh{i niệm, tính chất v| quy tắc lí thuyết của
tập hợp,đồng thởi đưa ra hệ thống b|i tập củng cố c{c kh{i niệm, tính chất v| c{c quy tắc đó
nhằm giúp ta tiếp c}n c{c chuyên đề sau hiệu quả, dễ d|ng .
1.1

Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Khái niệm tập hợp
Tập hợp l| một kh{i niệm cơ bản của to{n học,không định nghĩa. Thông thường người ta
dùng kh{i niệm tập hợp để chỉ một nhóm c{c đối tượng đã được chọn ra, hay đã được quy định
từ trước. Người ta thường kí hiệu tập hợp bằng chữ in hay viết chữ hoa :
A,B,C,X,Y,Z,....

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
7


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
Cho tập A. Một đối tượng x được nói đến trong A gọi l| một phần tử của A. Kí hiệu : x  A .
Quy ƣớc :

Tập rỗng  l| tập hợp không có phần tử n|o cả. Tập  l| duy nhất.

Khi tập A có hữu hạn phần tử thì số phần tử của A kí hiệu l| A hay cardA (cardinal) .
1.1.2 Các cách xác định tập hợp
a) Liệt kê các phần tử của tập hợp
Ví dụ. Tập hợp c{c số tự nhiên nhỏ hơn 10 l| :

T= 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9
Quy ƣớc,viết T  a1 , a2 ,...., an  thì ai  a j , i  j .
b) Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp
Ví dụ . Tập hợp c{c số tự nhiên nhỏ hơn 10 l| : T=  x x  N , x  10
1.1.3 Tập con
Cho hai tập hợp A, B. Khi đó :

A  B   x  A  x  B

B

A
Tính chất :
A  B, B  C  A  C
A  A,A
  A,A

1.1.4 Tập hợp bằng nhau
Cho hai tập hợp A, B . Khi đó :

A  B
A=B
B  A
Tính chất :
A = A, A

A = BB = A

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
8

Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
A = B, B = C  A = C
Cho A , B l| hai tập hợp cùng có n phần tử. Khi đó, nếu A  B thì A = B .

1.1.5 Giao của hai tập hợp
A  B   x x  A v| x  B .

1.1.6 Hợp của hai tập hợp
A  B   x x  A hoặc x  B .

1.1.7 Hiệu của hai tập hợp
A \ B   x x  A v| x  B .

1.1.8 Phần bù của hai tập hợp
Cho A  B . Phần bù của A trong B l| tập A  B \ A hay CBA  B \ A .

1.1.9 Tích Đề-các

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
9


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
Định nghĩa: Cho n tập hợp A1 , A2 , <, An . Xét tập hợp A gồm tất cả c{c bộ n phần tử sắp thứ

tự  a1 , <, an  trong đồ ai  Ai ,  i  1, n . Tập A gọi l| tích Đề c{c của n tập hợp

A1 , <, An v| kí hiệu l|:
A  A1  A2  ...  An ,
hay viết tắt l|
n

A   Ai .
i 1

Như vậy

 A   a ,..., a  a  A , i  1, n
n

i 1

i

1

n

i

i

Tính chất
(a) A  B  B  A, A  B .
(b) Giả sử Ai  ki , i  1, n . Khi đó:

n

n

 A  k
i 1

i

i 1

i

1.1.10 Một số tính chất
(a)  B  A  B   A  B  v|  A  B   A   A  B 
(b) A  B  B  A
(c)  A  B   C  A   B  C 
Từ tính chất kết hợp nói trên cho phép tính ta định nghĩa hợp của một họ c{c tập hợp:

 n 1 
Ai   Ai   An .
i 1
 i 1 
n

(d) A  B  B  A
(e) A   B  C    A  B   C
Từ tính chất kết hợp nói trên cho phép ta định nghĩa hợp của một họ c{c tập hợp:

 n 1 
Ai   Ai   An .
i 1
 i 1 
n

(f) Luật ph}n phối:

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
10


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp

 A  B  C   A  C    B  C 
 A  B  C   A  C    B  C 
(g) A \ A   ; A \   A
(h) Công thức D’morgan:

 n 
B \  Ai  
 i 1 

n

 B \ Ai  v|

i 1

 n 
B \  Ai  
 i 1 

n

 B \ Ai 

i 1

Ví dụ 1. Chứng minh công thức D’morgan

 n 
B \  Ai  
 i 1 

n

 B \ Ai  v|

i 1

 n 
B \  Ai  
 i 1 

n

 B \ Ai 

i 1

Lời giải. B|i to{n yêu cầu chứng minh hai tập hợp bằng nhau, ta sử dụng tính chất
A  B  A  B v| B  A .

 Chứng minh

 n 
B \  Ai  
 i 1 

n

 B \ Ai  .

i 1

 n 
Xét x  B \  Ai  , ta có
 i 1 
x  B v| x 

n

Ai .
i 1

Suy ra
x  B v| x  Ai , i  1, n .

Hay

x  B \ Ai , i  1, n .
Do đó
n

x

 B \ Ai  .

i 1

Suy ra

 n 
B \  Ai  
 i 1 

n

 B \ Ai  .

(1)

i 1

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
11

Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
Xét x 

n

 B \ Ai  , ta có

i 1

x  B \ Ai , i  1, n .
Suy ra
x  B v| x  Ai , i  1, n .

hay
x  B v| x 

n

Ai .
i 1

Do đó

 n 
x  B \  Ai  .
 i 1 
Suy ra

 n 
B \  Ai  
 i 1 

n

 B \ Ai  .

(2)

i 1

Từ (1) v| (2) ta có

 n 
B \  Ai  
 i 1 

n

 B \ Ai  .

i 1

 Chứng minh

 n 
B \  Ai  
 i 1 

n

 B \ Ai  .

i 1

 n 
Xét x  B \  Ai  , ta có
 i 1 
x  B v| x 

n

Ai .
i 1

Suy ra x  B v| tồn tại 1  k  n sao cho x  Ak . Do đó
n

x

 B \ Ai  .

i 1

Suy ra

 n 
B \  Ai  

 i 1 

n

 B \ Ai  .

(3)

i 1

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
12


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
Xét x 

n

 B \ Ai  , khi đó tồn tại 1  k  n

sao cho x  B \ Ak . Suy ra

i 1

x  B v| x  Ak .

hay

x  B v| x 

n

Ai .
i 1

Do đó

 n 
x  B \  Ai  .
 i 1 
Suy ra

 n 
B \  Ai  
 i 1 

n

 B \ Ai  .

(4)

i 1

Từ (3) v| (4) ta có

 n 
B \  Ai  

 i 1 

n

 B \ Ai  .

i 1

Ví dụ 2. (Nguyên lý thêm bớt) Cho A , B l| hai tập hợp hữu hạn. Chứng minh rằng

A B  A  B  A B .
Lời giải. Để chứng minh công thức tên ta sửa dụng phương ph{p liệt kê, xuất ph{t từ phần giao
của hai tập hợp A v| B . Giả sử A  B  c1; c2 ;...; c p  v|
A   c1;c2 ;...; c p ; a1; a2 ;...; an  , B  c1; c2 ;...; c p ; b1; b2 ;...; bm  .

Khi đó
A  B  c1; c2 ;...; c p ; a1; a2 ;...; an ; b1; b2 ;...; bm  .

Suy ra

A  n  p , B  m  p , A B  m  n  p .
Vậy

A B  A  B  A B .
Tổng quát. Bằng phương ph{p quy nạp, ta chứng minh được công thức sau đ}y

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
13

Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
n
i 1

n

Ai  

  1

k 1

k 1 1i1 i2 ...ik  n

Ai1  Ai2  ...  Aik ,

trong đó n  2 v| A1 , A2 , <, An l| c{c tập hữu hạn.
Ví dụ 3. Cho a , b l| c{c số nguyên dương sao cho a  b l| một số lẻ. Chia tập c{c số nguyên
dương  th|nh hai tập rời nhau A v| B . Chừng minh rằng luôn tồn tại hai phần tử x , y luôn
thuộc cùng một tập sao cho

x  y a; b .
Lời giải. Do c{c đội tượng trong A v| B không x{c định nên không thể xét tính chất của c{c
phần tử của hai tập n|y. Để giải b|i to{n n|y ta sử dụng phương ph{p phản chứng. Với giả
thiết phản chứng v| điều kiện ban đầu n|o đó ta sẽ liệt kê c{c phần tử thuộc A v| B .
Giả sử phản chứng, không tồn tai hai phần tử x , y n|o thuộc cùng một tập sao cho

x  y a; b .

Giả sử được 1 A , ta có
1 a , 1 b  B .

Suy ra
1  2a , 1  2b  A .

Bằng phương ph{p quy nạp ta chừng minh được với mọi k 

, ta có


1  2ka,1  2kb  A


1   2k  1 a,1   2k  1 b  B
Do a, b kh{c tính chẵn lẻ nên
1  ab  A v| 1  ab  B ,

tr{i với giả thiết A, B l| hai tập rời nhau.
Ví dụ 4. (MOSP – 1997) Chia tập c{c số nguyên dương  th|nh hai tập rời nhau A v| B .
Chừng minh rằng với mọi số nguyên dương n , tồn tại c{c số nguyên dương a, b kh{c nhau, lớn
hơn n sao cho

a; b; a  b  A hoặc a; b; a  b  B .
Tương tự như ví dụ 3, để giải b|i to{n n|y ta sử dụng phương ph{p phản chứng.
Lời giải 1. Nếu một trong hai tập A, B chứa ít hơn 2 phần tử lớn hơn n thì b|i to{n hiển nhiên
đúng. Giả sử mỗi tập đều chứa không ít hơn 2 phẩn tử lớn hơn n v| không có hai phần tử
a, b  n n|o thỏa mãn

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!

14


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp

a; b; a  b  A hoặc a; b; a  b  B .
Xét
a, b  A v| c, d  B  a, b, c, d  n  .

Khi đó

c  d  A v| c, d , a  b  B .
nên

 a  b  c, a  b  d  A

a  c  d , b  c  d  B.
Suy ra


a  b  2c  2d   a  b  c  d    c  d   A


c  d  2a  2b   a  b  c  d    a  b   B
nên

a  b  c  d  A v| a  b  c  d  B .
Suy ra A  B   , vô lý.

Lời giải 2. Ta cũng giả thiết phản chứng rằng không tồn tại a, b  n kh{c nhau sao cho

a; b; a  b  A hoặc a; b; a  b  B .
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. A   : Gọi m l| phần tử lớn nhất của A thì
a  1, a  2, 2a  3  B, a  m ,

Vô lí.
Trường hợp 2. A  , B   : Xét x, y, z  A sao cho x  y  z  n v| y  z  n . Khi đó
x  y, y  z , z  x  B .

Suy ra y  z  A , vô lí.
Lời giải 3. Giả thiết phản chứng rằng không tồn tại a, b  n kh{c nhau sao cho

a; b;a  b  A hoặc a; b;a  b  B .
Một trong hai tập A hoặc B chứa phần tử m  n . Giả sử m  A . Xét tập

X  2m;3m;4 m;...

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
15


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
Do X  B nên tồn tại a  1 sao cho am  A . Khi đó

 a  1 m  B v|  a  1 m  B .
Suy ra

2m   a  1 m   a  1 m  A v| 3m  m  2m  B .
Do đó 2m, am,  a  2  m  A , vô lí.
Ví dụ 5. Cho tập X  1;2;3;...;15 v| M l| tập con của X sao cho tích của ba phần tử kh{c
nhau bất kì của M đều không l| số chính phương.
a) Hãy chỉ ra một tập M gồm 10 phần tử.
b) Hãy x{c định số phần tử lớn nhất của M .
Lời giải.
a) Tập M  1;4;5;6;7;10;11;12;13;14 thỏa mãn.
b) Ta chứng minh số phần tử lớn nhất của M l| 10. Để đ{nh gi{ số phần tử của M , ta
liệt kê c{c bộ ba phần tử của X có tích l| số chính phương. Ta có bộ ba phần tử có
tích l| số chính phương l|:
1; 4;9  ,  2;6;12 ,  3;5;15 ,  7;8;14  .
Mỗi bộ nói trên có ít nhất một phần tử không thuộc M nên M  11 . Giả sử tồn tại tập M có 11
phần tử. Khi đó, ta có 10  M . Do đó, trong mỗi tập

2;5 , 6;15 , 1; 4;9 , 7;8;14
có ít nhất một phần tử không thuộc M . Suy ra: 3;12  M . Suy ra: M  9 , vô lý.
1.2 Bài tập
1.2.1 Bài tập luyện tập
1. Chứng minh c{c tính chất sau của tập hợp
a) A   B \ A   A  B .
b)  A  B  \  A  B    A \ B    B \ A  .
c) E  F  E  F  E  E  F  F .
d) E \ F  E  E  F   .
e) E \  E \ F   F  F  E .
f) A  B  A  B, A  B  A  B

 A, B  X  .

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
16


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
g) A  B  A  B  B v| A  B  A .
h) AI  A, i  1, n 

n

n

Ai  A v|

i 1

Ai  A .

i 1

2. Với mỗi tập X ta gọi P  X  l| tất cả c{c tập con của X . Chứng minh :

A  B  P  A  P  B  .
3. Cho c{c tập A1 , A2 ,..., An sao cho Ai  Aj ,  i  j . Chứng minh rằng có ít nhất một tập hợp

Ai không chứa tập n|o trong c{c tập còn lại.
4. Cho tập hợp S 
a) S 

b)

thỏa mãn c{c tính chất sau:

;

2  3S ;

c) x, y  S : x  y  S , xy  S .
Chứng minh rằng

1
S .
2 3

5. Cho I  1, 2,..., n v| họ tập hợp  X i iI . Với mỗi tập con H của I ta đặt
PH 

X i , QH 
iH

Xi .
iH

Đặt H k  M  I : M  k 1  k  n  . Chứng minh:


QH 
PH
k

 H H k
H H k
nếu

Q

P

H
H
k
H H k
 H H k

n 1
2
n 1
2

6. Cho tập X  1;2;3;...;9 . Chia tập X th|nh hai tập con rời nhau A v| B . Chứng minh
rằng với mọi c{ch chia, luôn tồn tại một tập chứa ba số lập th|nh một cấp số cộng.
7. Chứng minh rằng, có thể chia tập c{c số tự nhiên
lượng sao cho mọi số n 

th|nh hai tập con A, B có cùng lực

tồn tại duy nhất cặp số  a, b   A  B : n  a  b .

8. (CHDC Đức, 1970). Cho tập M có 22222 phần tử. Hỏi M có hay không 50 tập con
M i , i  1,50 thỏa mãn c{c điều kiện sau:

a) Mỗi phần tử của M đều l| phần tử của ít nhất một trong c{c tập con M i .
b) Mỗi tập M i đều có đúng 1111 phần tử.

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
17


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
c) Với hai tập M i , M j bất kỳ  i  j  , giao M i  M j có đúng 22 phần tử.

9. Xét tập X  1;2;3;...;16. Tập con A của X gọi l| có tính chất T nếu A không chưa ba phần
tử n|o đôi một nguyên tố cùng nhau.
a) Hãy chỉ ra một tập con A của X gồm 10 phần tử v| có tính chất T ?
b) Hãy tìm ra số phần tử lớn nhất của tập con A của X có tính chất T ?
10. Cho n l| số nguyên dương, n  5 . Tập X  1;2;3;...;n gọi l| có tính chất T nếu có thể chia

X th|nh hai tập con rời nhau A , B kh{c rỗng sao cho với ba phần tử bất kì thuộc cùng một
tập thì tích của hai phần tử trong ba phần tử đó kh{c phần tử trong ba phần tử đó kh{c phần tử
còn lại. Chẳng hạn, khi n  6 thì X có tính chất T v| A  1;2;3 , B  4,5,6.
a) Chứng minh rằng với mọi 7  n  41, tập X có tính chất T .
b) Chứng minh rằng với mọi 42  n  47, tập X vẫn có tính chất T .
c) Hãy x{c định n lớn nhất sao cho tập X có tính chất T ?
11. Cho tập hợp A  1; 2;3;...;3n   n  2  .
a) Hãy chỉ ra một tập con B của A có 2n phần tử sao cho không có ba phần tử n|o của B lập
th|nh một cấp số cộng khi n  2.
b) Chứng minh rằng: với mọi n  2, tồn tại tập con B của A có 2n phần tử sao cho không có ba
phần tử n|o của tập B lập th|nh cấp số cộng.
12. Cho hai dãy tập hợp  An  v|  Bn  thỏa mãn:

A1  , B1  0
An 1   x  1| x  Bn 
Bn 1   An  Bn  \  An  Bn  , n  1.

a) X{c định c{c tập An , Bn với n  2,3, 4.
b) X{c định n sao cho Bn  0 .

13. Cho tập X  1;2;3;...;2009 v| hai tập con A , B có tổng số phần tử lớn hơn 2010. Chứng
minh rằng tồn tại ít nhất một phần tử của A v| một phần tử của B có tổng bằng 2010.
14. Cho tập hữu hạn X . Ta chọn ra 50 tập con A1 , A2 ,..., A50 , mỗi tập đều chứa qu{ nửa số
phần tử của X . Chứng minh rằng, tồn tại hai tập con A của X sao cho số phần tử của A
không vượt qu{ 5 v| A  Ai  , i  1,50.

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
18


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
15. Một lớp học có số học sinh được xếp loại Giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn học) đều
vượt qua 50% . Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh được xếp loai Giỏi từ 2 môn trở lên
(số học sinh của lớp không ít hơn 10 ).
16. Cho n nguyên dương. Xét tập





M  x   x1; x2 ;...; xn  | xi 1,1 , i  1, n .

Với hai phần tử a   a1; a2 ;...; an  v| b   b1; b2 ;...; bn  thuộc M, ta định nghĩa

ab   a1b1; a2b2 ;...; anbn 
Với a  M v| X  M , ta định nghĩa

aX  ax | x  X .
Chứng minh rằng với mỗi tập con A gồm k phần tử của M đều tồn tại phần tử a  M sao
cho

A  aA 

k2
2n

17. Cho tập Sn  1;2;...; n. Ta định nghĩa phép to{n (*) trên S n thỏa mãn c{c điều kiện sau:
a) a, b  Sn : a  b  Sn .
b) Nếu ab  n thì a  b  ab.
c) a, b  Sn : a  b  b  a (tính chất giao ho{n).
d) a  (b  c)  (a  b)  c (tính chất kết hợp).
e. Nếu a  b  a  c thì b  c (luật giản ước).
Hãy x}y dựng phép to{n (*) khi n  11 v| n  12.
18. (VMO-2005) Tìm hiểu kết quả học tập ở một lớp học người ta thấy:
a) Hơn

2
số học sinh đạt điểm giỏi ở môn To{n cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn Vật lí.
3

b) Hơn

2
số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Vật lí cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn Văn.
3

c) Hơn

2
số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Văn cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn Lịch sử.
3

d) Hơn

2
số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Lịch sử cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn
3

To{n.

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
19


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
Chứng minh rằng trong lớp có ít nhất một học sinh đạt điểm giỏi ở cả bốn môn To{n, Vật lí,
Văn v| Lịch sử.

1.2.2 B|i tập tự giải.

1. Cho A v| B l| c{c tập hợp rỗng v| có hữu hạn phần tử. Biết rằng số phần tử nằm trong cả A
v| B bằng một phần ba số phần tử của A v| hợp của A v| B gồm 9 phần tử. Tìm số phần tử
của mỗi tập?
2. Cho tập X  1, 2,3,..., 49. Tìm số k lớn nhất sao cho tồn tại tập con M của X có k phần tử v|
không chưa s{u số liền tiếp theo.
3. Cho 2011 tập hợp A1 , A2 ,..., A2011 c{c số nguyên thỏa mãn c{c điều kiện sau:
a) Ak  2010, k  1;2011 .

 2011 
b) Ak   Ai  \ Ak ,   1; 2011.
 i 1 
c) Ak  Am  1, k  m.
Chứng minh rằng với số nguyên x bất kì, hoặc x không nằm trong tập hợp Ai n|o hoặc x nằm
trong đúng hai tập.
4. (Tiệp Khắc-1973). Có bao nhiêu cặp tập con không giao nhau của một tập hợp X gồm n phần
tử.
Đáp số:

3n  1
.
2

5. Cho tập X gồm n phần tử. Với mỗi cặp tập con A1 , A2 của X ta tính số phần tử của A1  A2 .
Chứng minh rằng tổng của tất cả c{c số nhận được bằng n.4n1 .
6. Tìm tất cả c{c số tự nhiên n sao cho với mỗi tập hợp tùy ý có n phần tử, luôn tìm được 2004
tập con đôi một không rời nhau.
7. Cho c{c số nguyên dương k v| n thỏa mãn n  k 2  k  1 . Xét n tập A1 , A2 ,..., An thỏa mãn c{c
điều kiện sau:
i) Ai  k , i  1, n.
ii) Ai  Aj  2k  1, i  j .

a) Chứng minh rằng A1  A2  ...  An  1.
b) Tính số phần tử của X  A1  A2  ...  An .

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
20


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
8. Cho P l| một tập con kh{c rỗng của tập c{c số nguyên dương thỏa mãn c{c điều kiện sau:
a) a, b  P : a  b  P.
b) q 

*

, q  1, c  P sao cho c không chia hết cho q.

Chứng minh rằng tập

*

\ P l| một tập hữu hạn.

9. Cho 100 tập hợp đôi một kh{c nhau sao cho cứ 10 tập bất kì thì có hai tập A , B m| A  B v|
với ba tập A , B , C bất kì thỏa mãn B  A v| C  A thì B  C hoặc C  A . Chứng minh rằng
ta có thể chọn ra 12 tập A1 , A2 ,..., A12 trong số c{c tập đã cho sao cho: A1  A2  ...  A12 .
10. (MOSP-1999) Cho X l| tập gồm hữu hạn số dương v| A l| tập con của X . Chứng minh
rằng tồn tại tập con B của X sao cho mỗi phần tử của A đều chia hết cho một số lẻ phần tử
thuộc B .

11. X{c định số nguyên dương k sao cho tập hợp

X  1990;1991;...;199  k
có thể chia th|nh hai tập con rời nhau A v| B sao cho tổng c{c phần tử của A bằng tổng c{c
phần tử của B .
Đáp số: k  3(mod 4) hoặc k  0(mod 4) v| k  92.
12. (AIME 1989) Cho tập X  1, 2,3,...,1989. Xét tập S  X thỏa mãn: không có hai phần tử n|o
của S hơn kém nhau 4 hoặc 7 đơn vị. Hỏi số phần tử lớn nhất của S l| bao nhiêu?
13. Cho n l| số nguyên dương. Chia tập X  1;2;...;2n th|nh hai tập A , B rời nhau. Giả sử c{c
phần tử của A l|

a1  a2  ...  an
v| c{c phần tử B l|

b1  b2  ...  bn .
Chứng minh rằng

a1  b1  a2  b2  ...  an  bn  n2 .
14. (China 1996) Cho 11 tập hợp M1 , M 2 ,..., M11 , mỗi tập có 5 phần tử v| thỏa mãn:
M i  M j  , 1  1  j  11.

Gọi m l| số lớn nhất sao cho tồn tại c{c tập M i1 , M i2 ,..., M im trong số c{c tập đã cho sao cho
m
k 1

M ik   .

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
21

Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
Hỏi gi{ trị nhỏ nhất của m l| bao nhiêu?
Đáp số: m = 4.
15. Cho tập X gồm n phần tử  n  1 v| A1 , A2 ,..., Am l| m tập con của X  m  1 thỏa mãn c{c
điều kiện sau:
a) Ai  3, i  1, n.
b) Ai  Aj  1, i  j.
Chứng minh rằng tồn tại tập con A của X sao cho A   2n  v| A không chưa tập n|o trong
c{c tập A1 , A2 ,..., Am đã cho.
16. Chứng minh rằng có thể chia tập c{c số nguyên dương * th|nh hai tập rời nhau A v| B
sao cho A không chứa cấp số cộng gồm 3 phần tử n|o v| B không chứa cấp số cộng gồm vô
hạn phần tử n|o.
17. Cho n l| số nguyên dương. Chia tập hợp X  1;2;...;3n th|nh ba tập rời nhau A , B v| C,
mỗi tập có n phần tử. Chứng minh rằng có thể chọn ra từ mỗi tập một phần tử sao cho trong ba
phần tử đó, có một phần tử bằng tổng hai phần tử còn lại.
18. (CZE 1994) Chia tập c{c số nguyên dương
*

*

th|nh n tập rời nhau

 A1  A2  A3  ...  An .

Chứng minh rằng tồn tại tập Ap trong số n tập Ai nói trên sao cho tồn tai số nguyên dương m
v| với mọi số nguyên dương k ta có thể tìm được k phần tử a1 , a2 , a3 ,..., ak thuộc Ap m|

0  ai 1  ai  m, i  1, k  1.
19. (China 1999) Cho tập A gồm n phần tử v| A1 , A2 ,..., An l| n tập con của A thỏa mãn

Ai  2, 1  i  n.
Biết rằng, với moi tập con C của A gồm hai phần tử, tồn tai tập Ai sao cho C  Ai . Chứng minh
rằng
Ai  Aj  , 1  i  j  n.

20. (Iran 1999) Cho tập S  1, 2,3,..., n n  2  v| A1 , A2 ,..., Ak l| c{c tập con của S sao cho với mọi
1  p, q, r, s  k ta có

Ap  Aq  Ar  As  n  2.

Chứng minh rằng k  2n2 .

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
22


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
21. (IMO Shortlist 1996) Cho k, m, n l| c{c số nguyên dương thỏa mãn 1  n  m 1  k. Hãy x{c
định số phần tử nhiều nhất của tập con S của tập X  1;2;...;k sao cho không có n phần tử n|o
của S có tổng vượt qu{ m.

1.3

Hƣớng dẫn giải bài tập

1. a) Xét x  A   B / A , ta có

x  A hoặc x  B \ A .
Nếu x  A thì x  A  B . Nếu x  B \ A thì x  B nên x  A  B .
Trong cả hai trường hơp ta đều có x  A  B . Do đó

A   B \ A  A  B. 1
Xét x  A  B , ta có

x  A hoặc x  B .
Nếu x  A thì x  A   B \ A . Nếu xA thì do x  B nên x   B \ A .
Do đó x  A   B \ A . Suy ra

A  B  A   B \ A .  2 
Từ 1 v|  2  ta có

A   B \ A  A  B .
f) Xét x  A  B , ta có xA  B . Suy ra xA hoặc xB hay x  A hoặc x  B . Do đó, x  A  B
. Suy ra
A B  A B .

1

Xét x  A  B , ta có x  A hoặc x  B hay xA hoặc xB . Suy ra xA  B hay x  A  B . Suy
ra
A B  A B .

 2

Từ 1 v|  2  ta có A  B  A  B .

Bạn đọc tự chứng minh c{c tính chất còn lại.
2. Giả sử A  B . Ta chứng minh P  A  P  B  . Thật vậy, xét M  P  A , ta có

M  A  M  B  M  P  B .

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
23


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
Do đó, P  A  P  B  .
Giả sử P  A  P  B  . Ta chứng minh A  B . Thật vậy, xét x  A , ta có

x  P  A  x  P  B   x  B
Do đó, A  B .
3. Giả sử i, j : Ai  Aj , Khi đó ta có thể đ{nh số lại c{c tập hợp sao cho:
Ai1  Ai2  ...  Ain  ...

Suy ra, có nhiều hơn n tập hợp Ai , vô lí.

2  3  S nên

4. Ta có

Suy ra 2 6  S v| 2 6
Suy ra
Vậy

3 2 5

1
2 3







2 3



2

 52 6 S.



2  3  4 3 6 2 S.

 



2  3  4 3 6 2 S .

S .

5. Trường hợp k 

n 1
: Xét x 
PH , ta có
H H k
2

x  PH , H  H k
Giả sử x

H H k

QH . Khi đó, xQH , H  H k . Suy ra, không có k tập n|o cùng chứa X v| như

vậy có ít nhất n   k  1 tập không chứa x .
Vì n   k  1 

n 1
 k nên H  H k : X PH : vô lí.
2

Trường hợp k 

n 1
: Xét x 
QH . Khi đó, tồn tại H *  H k sao cho x  QH * . Do đó
H H k
2

X  X i , i  H * .
Ta chứng minh x 

H H k

PH . Điều đó tương đương với việc chứng minh

H  H k , i  H : X  X i .
Xét H  H k , vì k 

n 1 n
 nêu H  H *   . Do đó, tồn tại i  H  H * hay X i  X .
2
2

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
24


Tài liệu độc, lạ chỉ duy nhất có trên => Truy cập ngay để tải file word đầy đủ

Chuyên đề Đại số Tổ hợp
6. Giả sử phản chứng, không có tập n|o chứa ba số lập th|nh một cấp số cộng. Giả sử được
3  A . Xét ba cấp số cộng

1;3;5 , 3;4;5 , 3;5;7 
ta suy ra 5  B .
Xét ba cấp số cộng

 3;5;7  , 5;6;7  , 5;7;9
ta suy ra 7  A .
Xét ba cấp cố cộng

1;4;7  ,  2;3;4 ,  2;5;8 ,  7;8;9 
ta suy ra 4A v| 4B , vô lí.
7. A l| tập c{c số có chữ số tận cùng kh{c 0 v| số 0, B l| tập c{c số có chữ số tận cùng bằng 0.
8. Giả sử M có 50 tập con M i thỏa mãn c{c yêu cầu b|i to{n. Ta có
M 



Mi
i 1

Đặt Tk  M1  M 2  ...  M k , ta có

T2  M1  M 2  M1  M 2  1111.2  22
T3  T2  M 3  T2  M 3
 T2  M 3   M1  M 3    M 2  M 3   1111.3  3.22

Bằng quy nạp ta chứng minh được
Tk  1111.k 

k  k  1
2

.22.

Suy ra M  T50  1111.50  25.49.22  28600 ,

tr{i với giả thiết M  22222 .
9. a) Để chỉ ra tập con A của X gồm 10 phần tử có tính chất T , đầu tiên ta chọn 8 phần tử
chẵn: 2; 4;6;...;16 . B}y giờ chỉ việc chọn hai phần tử lẻ sao cho chúng không nguyên tố cùng
nhau (chẳng hạn 3 v| 9) ta được tập A thỏa mãn.
b) Giả sử t}m A có tính chất X . Để đ{nh gi{ số phần tử của A , trước tiên ta liệt kê c{c phần tử
của X đôi một nguyên tố cùng nhau:

- Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,...file word!
25