Đề cương tự học Toán cao cấp 1

NGUYỄN QUỐC TIẾN

BÀI GIẢNG TOÁN
CAO CẤP

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011

1
0

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN-TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
1.1 Giới hạn hàm số
1.1.1 Định nghĩa
Cho hàm số f ( x ) xác định trong một lân cận của x0 (có thể trừ tại x0 ). Số L được gọi là
giới hạn của hàm số f ( x ) khi x dần đến x0 nếu:
  0,   0, x  D : (0  x  x0    f ( x)  L   )

và được kí hiệu
lim f ( x)  L hay f ( x )  L khi x  x0 .

x  x0

Giới hạn của hàm số f ( x ) khi x dần đến x0 còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy
số như sau:

lim f ( x)  L    xn  : xn  x0  f ( xn )  L

x  x0

1.1.2 Định lí
Cho f ( x ), u ( x), v( x ) xác định trong một lân cận của x0 có thể trừ tại x0 .
Nếu u ( x)  f ( x)  v( x) với mọi x thuộc lân cận đó và lim u ( x)  lim v ( x )  L thì
x  x0

x  x0

lim f ( x)  L
x  x0

Ví dụ. Chứng minh lim
x0

Thật vậy x :0  x 
lim

sin x

x 0

sin x

1

x


sin x
ta có bất đẳng thức cos x 

 1 , mà lim cos x  1 suy ra
x 0
2
x

1

x

1.1.3 Một số tính chất của giới hạn hàm số
i) Nếu lim f ( x)  L thì giới hạn đó là duy nhất
x  x0

ii) lim C  C (C : hằng số)
x  x0

iii) Nếu f ( x)  g ( x), x thuộc một lân cận nào đó của x0 hoặc ở vô cực thì

lim f ( x)  lim g ( x) (nếu các giới hạn này tồn tại).

x  x0

x  x0

1

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


iv) Nếu f ( x)  g ( x)  h( x), x thuộc một lân cận nào đó của x0 hoặc ở vô cực và

lim f ( x)  L  lim h ( x) thì lim g ( x)  L

x  x0

x  x0

x x
0

v) Giả sử các hàm số f ( x), g ( x) có giới hạn khi x  x0 khi đó ta có các kết quả sau :
lim ( f ( x)  g ( x ))  lim f ( x )  lim g ( x )

x  x0

x  x0

x  x0

lim kf ( x)  k lim f ( x)

x  xo

x  xo

lim f ( x). g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)

x  xo

lim

x  x0

x  xo

x  xo

f ( x)
f ( x) xlim
x
 0
, lim g ( x )  0
g ( x ) lim g ( x) x x0





x  x0

1.2 Vô cùng bé
Giả sử ta xét các hàm trong cùng một quá trình, chẳng hạn khi x  xo . (Những kết quả đạt
được vẫn đúng trong một quá trình khác)

1.2.1 Định nghĩa
Hàm  ( x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) trong quá trình x  xo nếu lim  ( x )  0
x  x0

Ví dụ. sin x, tgx, 1  cos x là những VCB khi x  0 , còn

x 1
là VCB khi x  
x2  2

1.2.2 So sánh hai VCB
Cho  ( x) và  ( x ) là hai VCB trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi x  xo ). Khi đó
tốc độ tiến về 0 của chúng đôi khi có ý nghĩa quan trọng. Cụ thể ta có các định nghĩa:
Nếu lim

 ( x)
 0 thì ta nói  ( x) là VCB bậc cao hơn VCB  ( x) trong quá trình đó (  ( x)
 ( x)

dần tới 0 nhanh hơn  ( x ) khi x  xo )
Nếu lim

 ( x)
 L  0 thì ta nói  ( x) và  ( x ) là hai VCB ngang cấp trong quá trình đó (  ( x)
 ( x)

và  ( x ) dần tới 0 ngang nhau khi x  xo .
Đặc biệt khi L  1 ta nói  ( x) và  ( x ) là hai VCB tương đương, kí hiệu là  ( x)   ( x) .

1.2.3 Một số VCB tương đương cơ bản khi x  0
sin x  x

tgx  x

arctgx  x;

arcsin x  x

2

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


1  cos ax 

(ax )2
2

1
log (1  x) 
x
a
ln a

a x -1  x ln a



1  x 

1   x

ln(1  x)  x

an x n  an 1 x n 1  ...  a p x p  a p x p , (n  p, a p  0)

e x -1  x

Sinh viên có thể tự kiểm tra các tương đương này (xem như bài tập)
Ví dụ. So sánh cấp của các VCB:

 ( x)  sin x  tgx;  ( x)  1  cos x , khi x  0
Ta có:
 ( x)
sin x  tgx
lim
 lim
 lim
x 0  ( x)
x  0 1  cos x
x 0

1 

sin x
cos x 
 lim
0
x  0 cos x
1  cos x




sin x  1 

Do đó,  ( x) là VCB cấp cao hơn  ( x )
Ví dụ. So sánh cấp của các VCB:  ( x)  1  cos x,  ( x)  x 2 , x  0
Ta có: lim
x 0

 ( x)

 lim

 ( x)

1  cos x
x

x 0

2



1

0

2

Do đó,  ( x ) và  ( x) là hai VCB cùng cấp.

1.2.4 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
i) Nếu  ( x )  1 ( x) và  ( x)  1 ( x) trong cùng một quá trình thì trong quá trình ấy

lim

 ( x)
 ( x)
 lim 1
 ( x)
1 ( x )

ii) Cho  ( x ) và  ( x) là hai VCB trong một quá trình và  ( x ) có cấp cao hơn  ( x) . Khi đó
 ( x )   ( x)   ( x) .

Từ hai kết quả trên ta suy ra quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:
Giả sử  ( x ) và  ( x) là hai VCB trong một quá trình nào đó.  ( x ) và  ( x) đều là tổng của
nhiều VCB . Khi đó giới hạn của tỉ số

 ( x)
bằng giới hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp nhất
 ( x)

trong  ( x ) và  ( x) .
Ví dụ. Tìm các giới hạn sau:
1)

lim

x  3sin 2 x  4 sin 3 x
5 x  x3  x8

x 0

Ta có lim

x  3sin 2 x  4 sin 3 x
3

5x  x  x

x 0

2)

lim

x 0 3

1  x 1
1  x 1

8

 lim
x 0

x
5x



1
5

.

3

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


1

Khi x  0 ta có 1  x  1  (1  x) 2  1 

Suy ra

1  x 1
3

3)
Khi

x  0

1  x 1



3
2

. Vậy lim

x 0 3

1  x 1
1  x 1



1
1
1
x ; 3 1  x  1  (1  x) 3  1  x
2
3

3
2

tgx  sin x
x 0
x

lim

, ta có:

tgx  sin x x  x
tgx  sin x

 2 khi x  0 . Do đó lim

2
x 0
x
x
x

tgx  sin x  sin 3 x
.
x 0
x3

4) Tính lim
Ta có

1
x. x 2
sin x(1  cos x )
1
tgx  sin x 
 2  x3 khi x  0
cos x
1
2
Do đó tgx  sin x  sin 3 x 

1 3
3
x  x 3  x3 khi x  0
2
2

3 3
x
tgx  sin x  sin 3 x 2
3
Suy ra
 3  khi x  0
3
x
x
2
Vậy

tgx  sin x  sin 3 x 3

x  x0
x3
2
lim

1.3 Hàm số liên tục
1.3.1 Các định nghĩa
Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục tại xo  D nếu lim f ( x )  f ( x0 ) . Khi đó x0 gọi là
x  x0

điểm liên tục của hàm f ( x ) .
Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trên (a, b) nếu f ( x ) liên tục tại mọi điểm thuộc (a, b) .
Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục bên trái (bên phải) x0  D nếu
lim f ( x )  f ( x0 ) ( lim f ( x)  f ( x0 ) ).

x  x0

x  x0

Hàm f ( x ) được gọi là liên tục trên [a, b] nếu f ( x ) liên tục trên (a, b) và liên tục bên phải tại
a, bên trái tại b.

1.3.2 Tính chất của hàm số liên tục
Giả sử f ( x), g ( x) là hai hàm liên tục trên [a, b] . Khi đó:

4

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


i) f ( x)  g ( x) và f ( x) g ( x) liên tục trên [ a, b] , nếu g ( x)  0 thì

f ( x)
g ( x)

liên tục trên [a, b] .

ii) f ( x) liên tục trên [ a, b] .
iii) Nếu u ( x ) liên tục tại x0 và f (u ) liên tục tại u0  u ( x0 ) thì hàm f 0u ( x) liên tục tại x0 .
iv) f ( x) liên tục trên [a, b] thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất trên đoạn đó.

1.3.3 Điểm gián đoạn
Nếu f ( x ) không liên tục tại x0  D thì ta nói f ( x ) gián đoạn tại x0 và điểm x0 gọi là điểm
gián đoạn.
Hàm f ( x ) gián đoạn tai x0 nhưng tồn tại giới hạn của f(x) tại x0 , x0 thì x0 được gọi là điểm

gián đoạn loại 1. Các điểm gián đoạn khác gọi là điểm gián đoạn loại 2.
Ví dụ. Xét tính liên tục của hàm

1, x  0

1) f ( x )   sin 2 x
 2 , x  0
Ta có
sin 2 x

lim f ( x )  lim
x 0

 2  f (0)  1 .

x

x 0

Vậy f ( x) gián đoạn tại x  0 ,và x  0 là điểm gián đoạn loại 1

1  x, x  0
2) f ( x)  
-1  x, x  0
Hàm số gián đoạn tại x  0 và
lim f ( x)  1, lim f ( x )  1

x  0

x 0

nên x  0 là điểm gián đoạn loại 1
3) f ( x ) 

2x  3
x2

, có điểm gián đoạn tại x0  2

Ta có lim f ( x )   và lim f ( x )  
x 2



x 2



Suy ra x0  2 là điểm gián đoạn loại 2.

BÀI TẬP CHƯƠNG I
Câu 1. Tìm miền xác định của hàm số

5

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


a) y  ln 1  x 2
d) e x

2

 x 1

b) y  arctan

1

c)

x 1

sin x

c)

f)

2

1 x
x  x 1
1 x
2

 x2  x  2

x  2x  3

Câu 2. Tính giới hạn của các dãy số sau:
a) lim ( n 2  n  n ) ; ds
n 

n4  n  n
;ds 1
n
1  n2
 1

1
1
d) lim 

 ... 

n  1.2
2.3
n.( n  1) 


1
2

b) lim

3n  4 n
;ds 0
n 2n  7 n

c) lim

Câu 3. Tính giới hạn của các hàm số sau:
x 2 1
x2 x  2 x  1
a) lim
b)
lim
x 
x 1 x 2  4 x  3
2x2 x  3
x4  a4
xa x3  a 3
2x 1  3
a) lim
x 4
x4

e) lim

3

d) lim
x 1

f) lim( x  x 2  2 x )

x 1
x 1
2

g) lim(2 x  x 2  2 x )

x 

x 

3

x 2
2
x 4  x  3x  4

d) lim

b) lim

x 1 4

x 1
x 1

Câu 4. Tính giới hạn của các hàm số sau:
(1  cos x)2
1  cos 2 x
a) lim
; ds 1/4
b) lim
; ds 1
2

x  0 x sin x tan x
x 0
sin 2 x
sin 3x
tgx  sin x
c) lim
; ds 3/2
d) lim
; ds ½
x 0 ln(2 x  1)
x 0
x3
Câu 5. Tính giới hạn của các hàm số sau:
a) lim(s in x  cos x)cot x ; ds e
b) lim x ln x ; ds 0
x 0

x 0

x

c) lim xe ; ds 0
x 

e) lim
x 0

x  sin 3 x  tan 5 x
;ds 1/3
3x  x 2  9 x 6

d) lim x

1
2( x 1)

x 1

; ds

e

1

f) lim(cos x) x

2

x 0

Câu 6. Tìm a để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng.
1  cos x
( x  0)
1
 x 2
(
x

0)
 x ln x 2 ( x  0)


a) y   x 2
b) y  
c) y  
 a ( x  0)
 a
 a  2 x 2 ( x  0)
( x  0)
 2
Câu 7. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số và chúng thuộc loại nào
 sin x
( x  0)
0 x  0
x 1
x2  x  2

a) y 
b) y 
c) y  
y x
2x  5
x2
1 x  0
a
( x  0)


6

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN

2 CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
2.1 Đạo hàm
2.1.1 Đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y  f ( x) xác định tại x0 và tại lân cận x0 . Khi đó nếu tỉ số

f ( x )  f ( x0 )
x  x0

có giới hạn khi x  x0 thì ta nói f ( x ) khả vi tại x0 hay f ( x ) có đạo hàm tại x0 và giới
hạn đó được gọi là đạo hàm của f ( x) tại x0 . Ký hiệu là f '( x0 ) hay y '( x0 ) .Vậy
f '( x) 

lim
x  x0

f ( x )  f ( x0 )
x  x0

.

Nếu đặt
 x  x0  x
x  x  x0  
 x  x0  x  0

Lúc đó
f '( x0 )  lim

x  0

f ( x0  x )  f ( x0 )
x

Hàm số y  f ( x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại
mọi điểm x0  ( a , b) . Khi đó đạo hàm của hàm số f ( x ) là một hàm số xác định trên
(a, b) . Cho nên ký hiệu của đạo hàm của y  f ( x) trên (a, b) là f '( x) hoặc y '
Vậy y '  f '( x)  lim

f ( x  x )  f ( x)

x  0

x

Ví dụ. Xét hàm số y  f ( x)  x 2
Ta có miền xác định của hàm số là R . Đạo hàm của hàm số trên tập xác định là
y '  lim
x  0

 lim
x  0

f ( x  x )  f ( x )

 lim

x  0
x

( x  x  x )( x  x  x )

x

( x  x) 2  x 2
x
 lim (2 x  x)  2 x
x  0

Do đó y '  f '( x)  ( x 2 ) '  2 x

7

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


2.1.2 Bảng các đạo hàm cơ bản
C' 0

( C  const )

( x ) '   x 1 ,   R 

n

1

'

 x  n

n

x n 1

 ln x  '  1x
(log a x ) ' 

1
x ln a

( e) '  e x

(sin x) '  cos x
(cos x)'  -sin x
1
(tgx)' 
 1  tg 2 x
cos 2 x
1
(cot gx) '   2  (1  cot g 2 x)
sin x
2.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm
Nếu hai hàm u ( x) và v ( x) có đạo hàm tại điểm x thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng
cũng có đạo hàm tại điểm x và:
(u  v ) '  u ' v '
(ku ) '  ku ', k  R
(u.v ) '  u ' v  uv '
u
u ' v - uv '

( )' 
, v0
v
v2

2.1.4 Đạo hàm của hàm hợp
Xét hàm hợp y  y  u ( x)  nếu hàm y  y(u ) có đạo hàm đối với u và u  u ( x) có đạo
hàm đối với x thì y  y  u ( x)  có đạo hàm đối với x và y '( x )  y '(u ).u '( x)
Ví dụ. Xét hàm số y  (1  x 3 )10
Ta có
y '  10(1  x3 )9 (1  x 3 ) '
 10(1  x 3 )9 3 x 2  30 x 2 (1  x 3 ) 9

Ví dụ. Giả sử  ( x),  ( x) có đạo hàm với mọi x  R . Tính đạo hàm của hàm
y   2 ( x)  2 ( x)

Đặt u   2 ( x)   2 ( x) khi đó y  u
Ta có

8

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


y '( x )  y '(u ).u '( x) 


1

 2 ( x) '( x)  2 ( x) '( x) 

2 u
 ( x) '( x)  ( x) '( x)
 2 ( x)   2 ( x)

 1
Ví dụ. Tính các đạo hàm của hàm số sau: y  1  
 x

x

1
Ta có ln y  x ln(1  )
x

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

y'
1
1
 ln(1  ) 
y
x x 1

x

1
1 
 1 
Suy ra y '   1   ln(1  ) 
x x  1 

 x 

2.1.5 Đạo hàm cấp cao
Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x) . Hàm số f '( x) được gọi là đạo hàm cấp một của
f ( x) . Nếu f '( x) khả vi thì đạo hàm của f '( x) được gọi là đạo hàm cấp hai của f ( x ) và
ký hiệu là f ''( x) . Vậy f ''( x)   f '( x )  '
Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n  1 của f ( x ) được gọi là đạo hàm cấp n của

f ( x) ký hiệu f ( n ) ( x) vậy f ( n ) ( x)   f ( n 1) ( x)  '
Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp n của y  f ( x )  xe x
Ta có
y '  e x  xe x  (1  x)e x
y "  e x  (1  x)e x  (2  x )e x
...

Chứng minh bằng quy nạp ta đi đến kết quả sau y ( n )  ( n  x)e x

2.1.6 Vi phân
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên (a, b) và x  (a, b) , nếu hàm số y  f ( x) khả vi
tại điểm x thì số gia của hàm số tại x có thể viết được dưới dạng

f ( x)  f ( x  x) - f ( x)  f '( x)x  o(x )
với o (x) là VCB cấp cao hơn x khi x  0 .
Biểu thức f '( x).x được gọi là vi phân của f ( x ) tại x . Ký hiệu: df ( x) hoặc dy ( x) tức
là

df ( x)  f '( x).x
Xét hàm y  f ( x)  x ta có f '( x)  1 nên df ( x)  dx  1.x  x từ đó ta có

9

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


df ( x)  f '( x).x  f '( x).dx . Để ngắn gọn ta viết df  f '( x).dx
Giả sử y  f ( x), x   (t ) là các hàm số khả vi, khi đó vi phân hàm y  f  (t )  là
df  ( f  (t ) ) ' dt  f '( x) x '(t )dt  f '( x)dx . Vậy dạng vi phân của hàm y  f ( x) không

thay đổi dù x là biến độc lập hay là x là hàm khả vi theo biến t . Tính chất này
gọi là tính bất biến của dạng vi phân.
Ví dụ.. Tìm vi phân của hàm y  ln x
Áp dụng định nghĩa dạng vi phân ta được dy  d (ln x) 

dx
x

2.1.7 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng
Cho hàm y  f ( x) khả vi tại x0 . Theo định nghĩa vi phân ta có số gia của hàm tại x0 là :
f  f ( x0  x) - f ( x0 )  f '( x0 ) x  o( x)

Do đó khi x khá bé ta có công thức gần đúng.
f ( x0  x)  f '( x0 ) x  f ( x0 )

Ví dụ. Tính gần đúng 122
Ta thấy 122  1211
Xét hàm y  f ( x )  x
Áp đụng công thức gần đúng f ( x0  x)  f '( x0 )x  f ( x0 ) suy ra
x0  x 

122 

1
.x  x0 . Chọn x0  121, x  1 ta được
2 x0

1
2 121

.1  121  0, 0454  11  11, 0454

Ví dụ. Tính gần đúng sin 29o
  
Ta thấy sin 290  sin  
 . Xét hàm y  f ( x)  sin x
 6 180 

Ta có sin( x0  x)  cos x0 .x  sin x0 , áp dụng cho x0 



, x  ta được
6
180


    1
3 
  
sin 29 o  sin  
.

 0, 484
  sin  cos .  
 
6
6  180  2 2 180
 6 180 

10

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


2.2 Ứng dụng đạo hàm
2.2.1 Định lí ( Quy tắc L’Hospital).
i) Cho f ( x), g ( x)  0 là hai hàm liên tục và khả vi tại lân cận x0 ( x0 hữu hạn hoặc
 ). Giả sử lim f ( x)  lim g ( x)  0 và g '( x)  0 với mọi x thuộc lân cận x0 . Khi đó nếu
x  xo

f '( x )

lim

x  xo

x  xo

f ( x)

thì lim

L

x  xo

g '( x )

g ( x)

 L.

ii) Cho f ( x), g ( x)  0 là hai hàm liên tục và khả vi tại lân cận x0 . Giả sử
lim f ( x)  lim g ( x)   và g '( x)  0 , với mọi x thuộc lân cận x0 . Khi đó:

x  xo

x  xo

Nếu lim

x  xo

f '( x)

 L thì lim

g '( x )

x  xo

Ví dụ. Tính lim

ax  xa

g ( x)

L

0
(dạng )
0

xa

xa

f ( x)

(a x  x a ) '
a x ln a  ax a 1
 lim
 a a ln a  a a .
xa ( x  a ) '
x a
1

Ta có: lim

a x  xa
 a a ln a  a a
xa x  a

Vậy lim

Ví dụ.. Tính lim
x 

Ta có: lim

x 

x'
x

(e ) '

x
e

(dạng

x

 lim

x 

1
e

x


)


 0 . Vậy lim
x 

x
ex

0

Chú ý : Khi x tiến tới một quá trình nào đó (chẳng hạn x tiến tới x0 ), nếu lim
x  x0

không tồn tại thì không kết luận được cho lim
x  x0

f ( x)
g ( x)

f '( x )
g '( x )

. Nếu áp dụng quy tắc L’Hospital mà

0

hoặc

thì có thể áp dụng quy tắc L’Hospital một lần
0

nữa và tiếp tục cho đến hết dạng vô định.

giới hạn vẫn còn dạng vô định

Ví dụ. Tính lim
x 1

1  cos  x
x2  2x  1

Áp dụng liên tiếp hai lần quy tắc L’Hospital ta được
lim
x 1

 sin  x
2x  2

Vậy lim
x 1




2

lim

1  cos  x
x2  2x  1

x 1



sin  x
x 1



 cos  x  2

.
2 x 1
1
2



lim

2
2

11

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN

Ví dụ. Tính lim
x 0

x3
x  sin x

Áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital ta có:
lim
x 0

x3

 lim

x  sin x

Vậy lim
x 0

x 0

x3

3x2
1  cos x

 lim
x 0

6x
sin x

 lim
x0

6
cos x

6

6

x  sin x

Đối với các dạng vô định   , 0., 00 ,  0 và 1 ta phải đưa các dạng vô định đó về
một trong hai dạng

0

hoặc
sau đó lại áp dụng quy tắc L’Hospital.
0


Ví dụ. Tính lim x.ln x ( dạng 0. )
x 0

Ta biến đổi để đưa giới hạn về dạng




1
ln x
lim x ln x  lim
 lim
x 0
x 0
1
x 0






x

x   lim x  0
1
x 0




x

2

1 
1
Ví dụ. Tính lim   x 
x 0
 x e 1 

(dạng - )

Ta biến đổi giới hạn để đưa về dạng

0
0

x

sau đó áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital
x

x

1 
e 1 x
e 1
e
1
1
 x
 lim
 lim x
 lim x



x
x
x
x 0
x  0 2e  xe
2
 x e  1  x  0 x(e  1) x 0 e  1  xe

lim 

Ví dụ. Tính lim  x  ln 3 x 

(dạng  -  )

x 

Ta có: x  ln 3 x  x(1-

ln 3 x
lim
 lim
x 
x 
x

ln 3 x
) và
x

1
2
x  lim 3 ln x  lim 6 ln x  lim 6 1  0
x 
x 
x 
1
x
x
x

3ln 2 x.

 ln 3 x 
Vậy: lim  x  ln 3 x   lim x 1  .1  
x 
x 
x 

2

Ví dụ. Tính lim x x ( dạng 0)
x 

2
x

Ta có lim x  e

2
lim
ln x
x  x

e

ln x
2 lim
x x

e

1
2 lim x
x 1

 e0  1

x 

12

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


2.2.2 Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên [ a, b] và có đạo hàm hữu hạn trên (a, b) , khi đó ta có
các kết quả sau :
Nếu f ( x ) luôn tăng (giảm) trên [a, b] thì f '( x)  0, x  (a , b) ( f '( x)  0, x  (a, b) )

Nếu f '( x)  0, x  (a, b) ( f '( x)  0, x  (a , b) ) thì trên [a, b] hàm f ( x ) đơn điệu tăng
(giảm)
Việc chứng minh hai kết quả trên dựa vào định nghĩa hàm số tăng (giảm), định nghĩa đạo
hàm và định lí Lagrange. Sinh viên tự chứng minh như bài tập.
Từ hai kết quả trên ta có nhận xét : Nếu hàm f ( x ) có đạo hàm đồng nhất bằng 0 trên [a, b]
thì f ( x) là hàm hằng trên [ a , b] .

2.2.3 Định lí .
Giả sử f ( x ) liên tục trên một lân cận của x0 có đạo hàm trong lân cận đó (có thể trừ x0 )
và x0 là điểm tới hạn của f ( x ) . Khi đó :
i) Nếu f '( x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f ( x ) đạt cực tiểu tại x0
ii) Nếu f '( x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f ( x ) đạt cực đại tại x0
iii) Nếu f '( x) không đổi dấu khi x đi qua x0 thì f ( x ) không đạt cực trị tại x0
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số y  f ( x)  ( x  1) 3 x 2
Miền xác định của hàm số là R
5x - 2
2
Bảng xét dấu của đạo hàm : y '  3 , với các điểm tới hạn là : x  0, x 
5
3 x
2
Ta có hàm số đạt cực đại x  0 và đạt cực tiểu tại x 
5

2.2.4 Định lí .
Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên [ a, b] và khả vi liên tục đến cấp hai trên (a, b) , khi đó:
i) Nếu tại x0  ( a , b), f '( x0 )  0 và f ''( x0 )  0 thì f ( x ) đạt cực đại tại x0
ii) Nếu tại x0  ( a , b), f '( x0 )  0 và f ''( x0 )  0 thì f ( x ) đạt cực tiểu tại x0
Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y 

x3  4
x2

Ta có : TXD  R \ 0

x3  4
lim 2   : đường cong có tiệm cận đứng x  0
x 0
x
3
x 4
lim 2   : đường cong không có tiệm cận ngang
x 
x

13

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


f ( x)
x3  4
lim 3  1
x 
x x x
 x3  4

b  lim  f ( x)  ax   lim  2  x   0
x 
x 

 x

đường cong có tiệm cận xiên y  x
8
y '  1 3 , y '  0  x  2
x
24
y ''  4  0 : đường cong luôn lõm.
x
Ta có bảng biến thiên
Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 và ymin  3
a  lim

Giao điểm của đồ thi với trục hoành (  3 4,0)
Vẽ đồ thị

BÀI TẬP CHƯƠNG II
Câu 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  sin 2 x
b) y  cos(x 2  3x)

c) y  ln( x 2  3 x)

d) y  x 2  x  1

e) y  e  sin x

f) y  x x

g) y  xsin x

h) y  ln x 2  3x

i) y 

x2  x  1
x

Câu 2. Tính đạo hàm cấp 3 của các hàm số sau
1
a) y  sin ax
b) y 
ax  b
c) y  sin 2 x
d) y  x ln x
Câu 3. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau
x2
a) y  ln x 
b) y  1  arctan x
2
1
d) y 
e) y  x 2  4 x  3
2
x  2x

c) y  xe x
f) y  e

x2 4

Câu 4. Tìm cực trị của các hàm số sau
2

a) y  x ln x
b) y  3x  2sin x
c) y  e
Câu 4. Tính các giới hạn sau bằng quy tắc L’hospital

14



x2
2

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


e x  e x  2 x
x 0
x  sin x
x 
 1
d) lim 


x 1  ln x
ln x 
a) lim

ln(cos 2 x)
x 0
sin x

b) lim

e) lim 1  x 

ln x

1 
 1
c) lim 
 2
x  0 x sin x
x 


f) lim x sin x
x0

x0

15

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


3 CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

3.1 Nguyên hàm
3.1.1 Định nghĩa (Nguyên hàm)
Hàm F ( x) được gọi là một nguyên hàm của f ( x) trên (a, b) nếu
F '( x)  f ( x), x   a, b  .


Ví dụ. tg ( x) là một nguyên hàm của 1  tg 2 x trên R \  2 n  1  , sin x  100 là một nguyên
2

hàm của cos x …

Có thể chứng minh được: nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên (a, b) thì mọi
nguyên hàm của f ( x ) trên khoảng đó đều có dạng F ( x)  C với C là một hằng số. Họ vô số
các nguyên hàm đó được gọi là tích phân bất định của hàm f ( x ) ký hiệu

 f ( x)dx . Vậy

 f ( x)dx  F ( x)  C
trong đó dấu



được gọi là dấu tích phân, f ( x) là hàm dưới dấu tích phân, f ( x)dx là biểu

thức dưới dấu tích phân và x là biến số tích phân.

3.1.2 Một số tính chất của tích phân bất định
'

i)   f ( x ) dx   f ( x )

ii )  C. f ( x )dx  C . f ( x) dx , C là hằng số
iii )   f ( x)  g ( x )  dx   f ( x ) dx   g ( x )dx

Việc chứng minh các tính chất trên xem như bài tập.

3.1.3 Tích phân bất định của một số hàm số cơ bản.

 x dx 

 kdx  kx  C
dx

x





1
 C,
   1 x  1

x
 a dx 

ax
 C,
ln a

(   1)

1

2

(  1)

dx
 ln | x | C
x

x
 e dx 

(a  0, a  1)

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C

 (1  tg



x 1
 C,
 1

e x
 C,


(  0)

1

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C

x)dx  tgx  C

 (1  cot g

16

2

x )dx   cot gx  C

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


1



1 x
1

 1 x

2

2

dx  arcsin x  C ,

dx  arctgx  C



dx 

1
a

arctg

a
x
a

 C , ( a  0)
 C , ( a  0)

xa

1

1

1

e

2

2

x

2

x

x

 sin x dx  ln tg 2  C

 cos (ax  b) dx  atg (ax  b)  C
 sin

1
2

dx  arcsin

 x 2  a 2 dx  2a ln x  a  C

 cos x dx  ln tg  2  4   C
1

a x

2

1

1

x

2

a

 a  x dx  ln a  x  C
1

1



1
1
dx   cotg (ax  b )  C
(ax  b)
a

ax b dx  1 eaxb  C , ( a  0)
a
1

1

 ax  b dx  a ln ax  b  C , (a  0)

3.2 Tích phân xác định
3.2.1 Định nghĩa
Cho hàm số f ( x) liên tục trên  a , b  và F ( x) là một nguyên hàm của f ( x ) trên đoạn đó.
Khi đó giá trị F (b)  F (a) được gọi là tích phân xác định của hàm f ( x ) trên  a , b  . Kí hiệu



b

a



b

a

b

f ( x)dx . Người ta thường viết F ( x) a  F (b)  F ( a ) . Vậy
b

f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a ) .
a

Nhận xét. Tích phân xác định không phụ thuộc vào ký hiệu của biến dưới dấu tích phân,

nghĩa là



b

a

b

f ( x) dx   f (u ) du  ...
a

1

Ví dụ. Tính

2

 x dx
0

x3
Ta có
là một nguyên hàm của f ( x)  x 2 , do đó
3

1

x3

x
dx

0
3

1

2


0

1
3


4

Ví dụ. Tính

 tgxdx
0


Ta có trên đoạn [0, ] hàm số  ln(cos x) là một nguyên hàm của tgx nên
4

17

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN



4

 tgxdx   ln(cos x)


4

2
)  ln(1)  ln 2 .
2

  ln(

0

0

3.2.2 Các tính chất của tích phân xác định
Giả sử f ( x), g ( x) là các hàm khả tích trên  a , b  khi đó:
b

b

a

a

i)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx (k  const )
b

b

b

a

a

a

ii )  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x) dx   g ( x) dx
b

b

a

a

iii ) f ( x )  g ( x ), x  [a, b]   f ( x )dx   g ( x )dx
b

c

b

a

a

c

iv)  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x) dx, c   a, b 
b

v ) f ( x) khả tích trên  a , b  và

b

 f ( x)dx  
a

f ( x) dx

a

Khi đi tìm nguyên hàm hay tính tích phân xác định trong nhiều trường hợp hàm dưới dấu
tích phân không đơn giản, không có dạng như những hàm cơ bản nêu trên, ta phải biến đổi
hàm dưới dấu tích phân sao cho có thể áp dụng được các tích phân cơ bản. Có hai phương
pháp để biến đổi tích phân trong trường hợp này.

3.3 Hai phương pháp tính tích phân cơ bản
3.3.1 Phương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến trong tích phân bất định có thể chia làm hai dạng
Dạng 1: Đặt x   (t ) , trong đó  (t ) là hàm khả vi và đơn điệu đối với biến t . Ta có:

 f ( x)dx   f [ (t )] '(t )dt
Ví dụ. Tính



sin 3 x
3

x2

dx

Đặt x  t 3 , x khả vi và đơn điệu với mọi t , suy ra dx  x '(t )dt  3t 2 dt



sin 3 x
3

x2

dx  

Ví dụ. Tính

3t 2 sin t
 3 sin tdt  3cos t  C  3cos 3 x  C
2
t



1  x 2 dx


 
Đặt x  sin t ,    t    t  arcsin x, (1  x  1) . Ta có dx  x '(t )dt  cos tdt
2
 2

18

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


1  x 2  1  sin 2 t  cos 2 t  cos t
 cos t (cos t  0 do 
Suy ra



1  x 2 dx   cos 2 tdt  



t  )
2
2

1  cos 2t

t 1
dt   sin 2t  C
2
2 4

1
1
thay t  arcsin x   1  x 2 dx  arcsin x  x 1  x 2  C
2
2

Dạng 2: Đặt u  u ( x) trong đó u ( x ) là hàm khả vi. Ta có

 f ( x)dx   f [u ( x)]u '( x)dx   f (u )du
Ví dụ. Tính

e5 x dx
 e2x  1

Đặt u  e x  du  u '( x)dx  e x dx . Suy ra

e5 x dx
u 4 du
1
2

 e2 x  1  u 2  1   (u  1  u 2  1)du
u3
e3 x
  u  arctg u 

 e x  arctg (e x )  C
3
3
Ví dụ. Tính

sin 2 xdx
4
x4

 cos

Đặt u  cos 2 x  du  u '( x)dx  2sin x cos xdx . Suy ra

sin 2 xdx

du

1

u2

 cos4 x  4   u 2  4   4 ln u  2  C
1 cos2 x  2
  ln
C
4 cos 2 x  2
Ví dụ. Tính I1

2x


2
4

 1 x

x 1

dx

Đặt u  x 2  du  2 xdx , khi đó:

I

1  2u  1
1 2udu 1 du
du   2

2

2 u 1
2 u  1 2  u2 1
1
1
 ln(u 2  1)  arctgu  C
2
2
1
1
 ln( x 4  1)  arctg ( x 2 )  C

2
2
Áp dụng phương pháp trên khi tính tích phân xác định ta có thể thực hiện như sau:

Đối với dạng 1:

19

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


Đặt x   (t ) với  (t ) có đạo hàm liên tục trên [ ,  ] và [  ( )  a,  (  )  b khi t biến thiên
trong [ ,  ] thì x biến thiên trong [ a , b] . Khi đó





b

f ( x) dx   f ( (t )) '(t ) dt


a

1

Ví dụ. Tính I   x

2

1  x 2 dx

0


)  dx  cos tdt
2

Đặt x  sin t , (0  t 

Ta có x  0  t  0 , x  1  t 


2

Do đó:
 2

1

I x

2

1  x 2 dx 



0

 2

sin 2 t 1  sin 2 t .cos tdt 

0

1

4

 2


0

1
sin 2tdt 
8
2

 sin

2

t cos 2 tdt

0

 2


0

 2

1
sin 4t 

(1  cos 4t ) dt   x 
 
8
4 0
16

Đối với dạng 2:
Đặt u  u ( x) với u ( x ) đơn điệu, khả vi liên tục trên [a, b] và f ( x)dx trở thành g (u )du thỏa

g (u ) liên tục trên [u (a), u (b)] . Khi đó



b

a

u(b)

f ( x)dx 



g (u )du

u (a)


2

Ví dụ. Tính I  

4


2

Ta có I  


cos 2 x
3

sin x

cos3 x
3

dx

sin x


2

cos xdx  

1  sin 2 x



4

4

1

(sin x)

cos x dx

3


2

Đặt u  sin x  du  cos xdx và u ( ) 
, u ( )  1 . Khi đó
4
2
2
1

I


2
2

1 u2
1

u

3

1

du 



1

5

(u 3  u 3 ) du

2
2

3.3.2 Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u  u ( x), v  v( x) là hai hàm khả vi liên tục trên một khoảng nào đó, khi đó:

 udv  uv   vdu
công thức này gọi là công thức tích phân từng phần, thay vì tính tích phân biểu thức udv ta
đi tính tích phân biểu thức vdu có thể đơn giản hơn.

20

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN


Để tính

 f ( x)dx

bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phân tích

f ( x )  g ( x )h ( x) sau đó đặt

u  g ( x)

 dv  h( x)dx
Việc chọn u và dv ở trên, cần thực hiện sao cho u ' đơn giản và v   h( x)dx dễ tính.
Các dạng tích phân sau đây được tính bằng phương pháp tích phân từng phần với cách đặt
tương ứng:

 P ( x) sin axdx,  P
n

n

( x) cos axdx,

 P ( x )e
n

ax

dx: đặt u  Pn ( x)

 P ( x) ln xdx,  P ( x)arctgxdx,  P ( x)arc cot gxdx,  P ( x) arcsin xdx,  P ( x) arccos xdx,...: đặt
n

n

n

n

n

dv  Pn ( x)dx với Pn ( x) là đa thức bậc n theo x
Ví dụ. Tính I   (2 x  3)e 2 x dx
 du  2dx
u  2 x  3

Đặt 


1 2x

2x
 dv  e dx
v  2 e
I

2x  3
2

e 2 x   e 2 x dx 

2x  3
2

1
e 2 x  e 2 x  C  ( x  1)e2 x  C
2

Áp dụng vào tích phân xác định ta tiến hành như sau:
Nếu u ( x), v( x) là hai hàm khả vi liên tục trên [a, b] . Khi đó
b

 udv  uv

b
b
a

a

  vdu

a

Cách đặt u và dv tương tự như trong tích phân bất định.
Ví dụ. Tính các tích phân sau:
e

1) I   ln xdx
1

dx

e
u  ln x  du 
e
Đặt 

x . Khi đó: I  x ln x 1   dx  e ln e  (e  1)  1
 dv  dx v  x
1


2

2) J   e x cos xdx
0


2
u  e x
 du  e x dx

Đặt 
. Khi đó: J  e x sin x 02   e x sin xdx .

 dv  cos xdx v  sin x
0

21

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN



2

Đặt J1   e x sin xdx , ta tiếp tục tích phân từng phần J1
0

u  e x
du  e x dx
Đặt 

 dv  sin xdx v   cos x





2

J1  e x cos x 2   e x cos xdx  e x cos x 2  J

0

0

0

J  e x sin x

 2
0

 J1  e x sin x

 2
0

 e x cos x

 2
0

 J . Vậy ta được

 2
 2
1 x
1
e sin x  e x cos x
0
0

2
2
1
1 1
 J  e 2   (e 2  1)
2
2 2

J

Như vậy ta đã xây dựng khái niệm và chỉ ra cách tính tích phân trong trường hợp các cận
lấy tích phân là hữu hạn và hàm lấy tích phân liên tục . Dưới đây chúng ta sẽ mở rộng khái
niệm tích phân với trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn.

3.4 Tích phân suy rộng


3.4.1 Tích phân suy rộng dạng



f ( x) dx

a

Xét hàm số f ( x) xác định trên [a, ) , khả tích trên mọi đoạn [a, b], b  a . Ta định


b

nghĩa tích phân suy rộng của f ( x ) trên [a, ) là lim

b 



Vậy



f ( x) dx và ký hiệu:

a



f ( x) dx .

a

b

f ( x) dx  lim



b 

a

 f ( x) dx
a


Nếu giới hạn trên là hữu hạn ta nói



f ( x) dx hội tụ, nếu giới hạn vô hạn hoặc không tồn tại

a

ta bảo tích phân phân kì.


Ví dụ.


1



Vậy


1

dx
hội tụ và
x2



Ví dụ.


1

b
 1 b
dx
dx
 1 1

lim
 lim  
 lim      1

2
2

b 
b
x
x
1
 x 1  b  b 1 



dx

x

2

1

1

b

b
dx
dx
 lim   lim  ln x   lim  ln b  ln1  
1  b
x b  1 x b 

22

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN




Vậy

dx
phân kỳ

x


1



Ví dụ.

dx

x



(  R)

1

Nếu   1



1

b

b
 b1  1 
dx

x1


lim
x
dx

lim

lim

   Suy ra
b  1  
b 
x b 1
1




1


Nếu   1 thì


1



dx

x



phân kỳ.

1

dx
phân kỳ
x

Nếu   1



1

b

dx
x1


lim
x
dx


lim
b  1  
x b 1

b

1

 b1
1 
 lim 


b  1  
1 



 1

1
1
 lim 


. Suy ra



1

b    1
(  1)b    1


dx

x



hội tụ

1

b

3.4.2 Tích phân suy rộng dạng



f ( x) dx



Tương tự ta cũng định nghĩa tích phân suy rộng với khoảng lấy tích phân là (, b] và
( , )
Tích phân suy rộng của f ( x) trên (, b] là
b

lim

a 



b

f ( x) dx, (a  b) và ký hiệu

b

Vậy





f ( x) dx .



a
b

f ( x) dx  lim



a 

 f ( x) dx ,
a

b

nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói



b

f ( x) dx hội tụ, ngược lại ta bảo tích phân





f ( x) dx



phân kì.


3.4.3 Tích phân suy rộng dạng



f ( x) dx



b

Tích phân suy rộng của f ( x ) trên (, ) là lim

 f ( x) dx

a 
b  a

23

và được kí hiệu:

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN






f ( x) dx . Với giả thiết f ( x) khả tích trên mọi khoảng [ a, b] , như vậy ta có thể viết








c

f ( x) dx 





f ( x) dx 





f ( x ) dx , c .

c



Tích phân







f ( x) dx và



f ( x) dx cùng hội tụ.

c



0

0

0

x
x
a
 e dx  lim  e dx  lim (1  e )  1 . Vậy

Ví dụ.

a 




Ví dụ.



c

f ( x) dx hội tụ 

a 

a

c

1
1
 1  x 2 dx   1  x 2 dx 



1

 1 x

2

x

 e dx

hội tụ.



dx

c

 lim (arctgc  arctga )  lim (arctgb  arctgc )
a 

b 

  
 arctgc       arctgc  
 2 2


Suy ra

1

 1 x

2

dx hội tụ.



3.5 Các tiêu chuẩn hội tụ
Thông thường chỉ để biết một tích phân suy rộng có hội tụ hay không, người ta không nhất
thiết phải tính ra tích phân đó. Thay vào đó ta sử dụng các kết quả sau đây để kết luận tính

chất hội tụ. Các kết quả ta gọi chung là các tiêu chuẩn hội tụ.

3.5.1 Định lí (Tiêu chuẩn hội tụ thứ nhất)
Cho f ( x), g ( x) là hai hàm không âm trên [ a,  ) , khả tích trên mọi khoảng [ a , b] và
f ( x)  g ( x) . Khi đó


i) Nếu



g ( x) dx hội tụ thì


a





ii) Nếu





f ( x) dx phân kỳ thì

a

 g ( x) dx phân kỳ
a



Ví dụ. Xét

x
1

Ta thấy:

f ( x) dx hội tụ

a

2

1
dx
x

1
1
 2 , x  [1,  ] mà
2
x x x


Ví dụ. Xét


0

3





1

1
dx hội tụ suy ra
x2



x
1

2

1
dx hội tụ
x

1
dx
x 1 1

24

Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN