Câu 1 (Đặng Việt Hùng-2018): Số hạng chính giữa trong khai triển ( 3x + 2y ) là
4
B. 4 ( 3x ) ( 2y )
2
A. 36C24 x 2 y 2
2
D. C 24 x 2 y 2
C. 6C 24 x 2 y 2
Đáp án A
Số hạng chính giữa trong khai triển ( 3x + 2y ) là C24 . ( 3x ) . ( 2y ) = 36C24 x 2 y 2
2
4
2
Câu 2 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho các số tự nhiên n, k thỏa mãn 0 k n. Trong các
đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng.
A. A kn =
n!
k!
C. Ckn + Ckn +1 = Ckn ++11
B. C kn +1 = C nn +−1k
D. Pn =
n!
( n − k )!
Đáp án C
A kn =
n!
; Ckn +1 = C(nn++11)−k ; Ckn + Ckn +1 = Ckn ++11 ; Pn = n!
( n − k )!
12
x 3
Câu 3 (Đặng Việt Hùng-2018): Tìm số hạng chứa x trong khai triển −
3 x
4
A.
55
9
B.
55 4
x
9
C.
1
81
D. −
1
81
Đáp án
12 − k
12
12
x 3
k x
−
=
C12
.
3 x
3
k =0
12
k
−3
k
. = C12
.x12− 2k .32k −12 ( −1)
x
k =0
k
Tìm số hạng chứa x 4 ứng với 12 − 2k = 4 k = 4
Câu 4 (Đặng Việt Hùng-2018)Tìm hệ số của x 97 trong khai triển đa thức ( x − 2 )
100
97
C. ( −2 ) C100
B. −1293600
A. 1293600
97
.
97
D. 297 C100
Đáp án B
Ta
( x − 2)
100
có:
100
k
= C100
x k . ( −2 )
100 − k
hệ
số
của
x 97
khi
k = 97
=>
hệ
số
k =0
97
C100
. ( −2 ) = −1293600.
3
Câu 5 : (Đặng Việt Hùng-2018) Cho biết C6n = 6. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n
1
của x − .
x
A. 9
B. 6
C. 8
D. Cả ba phương án trên đều sai
Đáp án B
Điều
n 0.
kiện:
C2n = 6
Ta
có
n = 4
n!
= 6 n ( n − 1) = 12 n 2 − n − 12 = 0
2!( n − 2 ) !
n = −3 ( l )
4
4
4
1
4−k
4− k
k k
x
−
=
C
x
.
−
1
=
Ck4 . ( −1) .x 2k −4
4 ( )
4 k =0
k =0
Ta có
hệ số không chứa x khi
2k − 4 = 0 k = 2
Câu 6 (Đặng Việt Hùng-2018)Cho khai triển ( 2x − 1) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a 20 x 20 . Tính
20
a3 ?
A. a 3 = 9120 B. a 3 = −9120 C. a 3 = −1140 D. a 3 = 1140
Đáp án B
Ta
có:
( 2x − 1)
20
20
= Ck20 ( −2x ) ( −1)
k
20 − k
k =0
20
= Ck20 ( −1)
20 − k
k =0
2k x k a 3 = C320 ( −1)
Câu 7: (Đặng Việt Hùng-2018)Cho đa thức P ( x ) = ( 2x − 1)
1000
20 −3
.23 = −9120.
. Khai triển và rút gọn ta
được
P ( x ) = a1000 x1000 + a 999 x999 + ... + a1x + a 0 . Đẳng thức nào sau đây đúng
A. a1000 + a 999 + ... + a1 = 0
B. a1000 + a 999 + ... + a1 = 21000 − 1
C. a1000 + a 999 + ... + a1 = 1
D. a1000 + a 999 + ... + a1 = 21000
Đáp án A
P ( 0 ) = a 0 = ( 2x − 1)1000 x =0 = 1.
Ta có
1000
P (1) = a1000 + a 999 + ... + a1 + a 0 = ( 2x − 1)
x =1 = 1
a1000 + a 999 + ... + a1 = 0.
2
Câu 8 (Đặng Việt Hùng-2018): Trong khai triển đa thức P ( x ) = x +
x
6
( x 0).
của x 3 là
C. 160
B. 80
A. 60
Đáp án A
6
k
1
k
6
6
−
6− k −
−1
Ta có P ( x ) = x + 2x 2 = C6k x 6− k . 2x 2 = C 6k .2 k x 2
k =0
k =0
D. 240
Hệ số
Ép cho 6 − k −
k
= 3 k = 2 hệ số cần tìm là C62 .2 2 = 60.
2
Câu 9: (Đặng Việt Hùng-2018) Hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức ( x − 2 ) là:
10
A. 15360
D. −15360
C. −960
B. 960
Đáp án C
10
10
Xét khai triển ( x − 2 ) = C10k .x10− k ( −2 ) = C10k . ( −2 ) .x10− k
10
k
k =0
k
k =0
Hệ số của x 7 ứng với x10− k = x 7 10 − k = 7 k = 3 .
Vậy hệ số cần tìm là C103 . ( −2 ) = −960
3
Câu 10 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong khai triển ( a + b ) , số hạng tổng quát của khai triển
n
là:
A. Cnk +1a n − k +1b k +1
B. Cnk +1a k +1b n − k +1
D. Cnk +1a n − k b k
C. Cnk +1a n −k b n −k
Đáp án D
n
Ta có: ( a + b ) = Cnk a n − k b k số hạng tổng quát là Cnk a n − k b k
n
k =0
Câu 11 (Đặng Việt Hùng-2018): Hệ số của x 6 trong khai triển (1 − 2x ) thành đa thức là:
10
A. −13440
B. −210
C. 210
D. 13440
Đáp án D
k
Số hạng tổng quát của khai triển là: C10
( −2x ) Cho k = 6 hệ số của x 6 trong khai triển
k
6
= 13440.
là: 26.C10
(
Câu 12 (Đặng Việt Hùng-2018) Khai triển 1 + x + x 2 − x 3
)
10
= a 0 + a1x + ... + a 30 x 30 . Tính
tổng S = a1 + 2a 2 + ... + 30a 30
A. 5.210
C. 410
B. 0
D. 210
Đáp án B
(
) (
9
)
Đạo hàm ta hai vế ta được 10 1 + x + x 2 − x 3 . 1 + 2x − 3x 2 = a1 + 2a 2 x + ... + 30a 30 x 29
Cho x = 1 S = 0.
Câu 13 : (Đặng Việt Hùng-2018) Trong các khai triển sau, khai triển nào sai?
n
A. (1 + x ) = Cnk x n − k
n
k =0
n
B. (1 + x ) = Cnk x k
n
k =0
n
C. (1 + x ) = Cnk x k
n
D. (1 + x ) = Cn0 + Cn1 .x + Cn2 .x 2 + ... + Cnn .x n
n
k =1
Đáp án C
n
n
k =0
k =0
Ta có (1 + x ) = Cnk .1k .x n −k = Cnk .x k .1n −k = Cn0 + Cn1 .x + Cn2 .x 2 + ... + Cnn .x n
n
Câu
14:
(Đặng
Việt
Hùng-2018)
Tìm
hệ
số
x 5 của
trong
khai
triển
P ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) + ... + ( x + 1)
6
7
A. 1287
12
B. 1711
C. 1715
D. 17
Đáp án C
Hệ số của x 5 trong khai triển P ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) + ... + ( x + 1)
6
7
12
là:
C65 + C75 + C85 + C95 + C105 + C115 + C125 = 1715
6
2
Câu 15 (Đặng Việt Hùng-2018): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x 2 + với
x
x0
C. −24 C64
B. 2 2 C62
A. 2 4 C62
D. −22 C64
Đáp án A
6
k
6
6
6−k 2
2
k
12 −3k
.
Ta có x 2 + = C6k ( x 2 ) = C6k ( 2 ) ( x )
x k =0
x
k =0
Số hạng không chứa x 12 − 3k = 0 k = 4 a 4 = C64 24.
Câu 16 : (Đặng Việt Hùng-2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn C1n + C2n = 55, số hạng
n
2
không chứa x trong khai triển của biểu thức x 2 + 2 bằng.
x
A. 322560.
B. 3360.
C. 80640.
D. 13440.
Đáp án D.
Điều kiện n 2.
Ta có C1n + C2n = 55
n
n = 10
n!
n!
1
+
= 55 n + n ( n − 1) = 55
1!( n − 1) ! 2!( n − 2 )!
2
n = −11( l )
10
10 − n
10
2
2
n 3n 2
x 2
Khi đó x 3 + 2 = x 3 + 2 = C10
x
x
x
n =0
10
n 10 − n 5n − 20
= C10
2 x
n =0
Số hạng không chưa x khi 5n − 20 = 0 n = 4 n = 4 số hạng không chứa x là
4
C10
.210− 4 = 13440.
Câu 17 (Đặng Việt Hùng-2018): Biết n là số nguyên dương thỏa mãn A3n + 2A n2 = 100. Hệ
số của x 5 trong khai triển (1 − 3x )
2n
bằng:
5
B. −35 C12
5
A. −35 C10
5
C. 35 C10
5
D. 65 C10
Đáp án A
ĐK: n 3, n
Khi đó A3n + 2An2 = 100
n!
n!
+ 2.
= 100 n ( n − 1)( n − 2 ) + 2n ( n − 1) = 100
( n − 3) ! ( n − 2 ) !
n 3 − 3n 2 + 2n + 2n 2 − 2n = 100 n 3 − n 2 = 100 n = 5
5
Hệ số của x 5 trong khai triển (1 − 3x ) bằng: −35 C10
10
Câu 18 (Đặng Việt Hùng-2018)Hệ số của x 4 y2 trong khai triển Niu tơn của biểu thức
( x + y)
6
là
B. 15
A. 20
D. 30
C. 25
Đáp án B
Ta có Tk +1 = C6k x 6− k y k k = 2 hệ số C62 = 15.
Câu 19 (Đặng Việt Hùng-2018)Tìm hệ số chứa
x9
trong khai triển của
P ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) .
9
A. 10.
10
B. 12.
C. 11.
D. 13.
Đáp án C.
9
= 11.
Tổng hệ số của các hạng tử chứa x 9 là C99 + C10
( −1)
1
1
Câu 20: (Đặng Việt Hùng-2018) Tổng S = −1 + − 2 + ... + n −1 + ... bằng:
10 10
10
n
A.
10
11
B. −
10
11
C. 0
D. +
Đáp án B.
Ta thấy S là cấp số nhân với u1 = −1, q = −
1
10
Câu 21 (Đặng Việt Hùng-2018)Hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển ( x − 2 ) là
9
A. ( −2 ) C59 x 5
B. −4032
9
C. 2 4 C94 x 5
D. 2016
Đáp án D
Ta có Tk +1 = C9k x k ( −2 )
9− k
hệ số của số hạng chứa x 5 là C59 . ( −2 )
9 −5
= 2016 .
Câu 22: (Đặng Việt Hùng-2018)Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức
12
21
3
1
f ( x ) = x 2 + + 2x 3 + 2 thì f(x) có bao nhiêu số hạng?
x
x
A. 30.
B. 32.
C. 29.
D. 35.
Đáp án B.
12 − k
12
3
3
k
xk
Số hạng tổng quát của khai triển x 2 + là C12
x
x
k 12 − k 2k −12
= C12
3 .x
( 0 k 12 )
Khai triển có 12 + 1 = 13 số hạng.
1
Số hạng tổng quát của khai triển 2x 2 + 2
x
21
là C
i
21
( 2x )
3 i
1
2
x
21−i
k
= C12
2i.x 5i − 42 ( 0 i 21)
Khai triển có 21 + 1 = 22 số hạng.
Cho 2k −12 = 5i − 42 5i − 2k = 30
PT này có 3 nghiệm nguyên ( k;i ) là ( 0;6) ; ( 5;8) ; (10;5)
Do đó f ( x ) có 13 + 22 − 3 = 32 số hạng.
Câu 23 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho k, n ( k n ) là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau
đây sai ?
A. Ckn =
n!
.
k!( n − k )!
B. A kn = n!.Ckn .
C. A kn = k!.Ckn .
D. C kn = C nn − k .
Đáp án B.
Ta có A kn = k!.Ckn nên đáp án B sai.
3
Câu 24 : (Đặng Việt Hùng-2018) Số hạng không chứa x trong khai triển 2x − 3
x
x 0, biết n là số nguyên dương thỏa mañ C3n + 2n = A n2 +1 là
4 12
A. −C12
16 .2 .3 .
Đáp án C.
0
.216.
B. C16
4 12
C. C12
16 .2 .3 .
0
D. C16
16 .2 .
2n
với
Ta có C3n + 2n = A 2n +1
( n + 1)! n ( n − 1)( n − 2 ) + 2n = n + 1 n
n!
+ 2n =
( )
6
( n − 3)!.3!
( n − 1)!
n = 8
( n − 1)( n − 2 ) + 12 = 6 ( n + 1) n 2 − 9n + 8 = 0
n = 8.
n = 1
16
k
4
16
16
3
3
16− k
16− k
k 16− k
k
Khi đó 2x − 3 = C16
( 2x ) − 3 = C16k ( 2 ) ( −3) x 3 .
x
x k =0
k =0
4
12
12 4
2 ( −3) .
Số ha ̣ng không chứa x 16 − k = 0 k = 12 k = 12 a12 = C16
3
Câu 25(Đặng Việt Hùng-2018): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển thành đa thức
n
1
của x x + 4 , với
x
x 0 nếu biết rằng C 2n − C1n = 44
A. 165
B. 238
C. 485
D. 525
Đáp án A
Ta có C2n − C1n = 44
n ( n − 1)
n!
− n = 44
− n = 44 n = 11
2
( n − 2 )!.2!
n
11
(
11
1
1
k
. x x
Khi đó x x + 4 = x x + 4 = C11
x
x
k =0
)
11− k
k
11
3
(11− k ) − 4k
1
k
. 4 = C11
.( x )2
x
k =0
Câu 26: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho biểu thức A = ( x + 2y ) . Số hạng thứ 31 trong khai
50
triển Newton của A là
31 19
A. 219 C31
50 x y
19 31
B. 231 C31
50 x y
20 30
C. 230 C30
50 x y
30 20
D. 220 C30
50 x y
Đáp án D
50
k
x k . ( 2y )
Ta có ( x + 2y ) = C50
50
50 − k
k =0
30 20
Số hạng thứ 31 trong khai triển Newton của A là 220 C30
50 x y
Câu 27: (Đặng Việt Hùng-2018) Tìm hệ số của x 4 trong khai triển nhị thức Newton
n
1
5
4
2x + 5 với x 0, biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn A n 18A n − 2 .
x
A. 8064.
Đáp án A.
B. 3360.
C. 13440.
D. 15360.
Ta có A 18A
5
n
4
n −2
n 6
n 6
n!
9 n 10 → n = 10.
( n − 2 )! n ( n − 1)
18.
18
( n − 5)!
( n − 6 )! n − 5
Với n = 10, xứt khai triển nhị thức
10
x
6k
10
10
10 −
1
10− k 1
k
k
10− k
5
2x
+
=
C
.
2x
.
=
C
.2
.x
.
(
)
10
5 10
x
x
x k =0
k =0
Hệ số của x 4 ứng với 10 −
6k
5
.25 = 8064.
= 4 k = 5. Vậy hệ số cần tìm là C10
5