DẠY TOÁN LỚP 11 HAY VÀ CHUẨN

Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 11
PHẦN 1: ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
1. Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số:
a. Phương pháp:

b. Bài tập:
Bài 1: Tìm tập xác định của mội hàm số sau đây :
1/

2/

3/

4/

6/

8/

7/

9/

11/ f ( x ) =

sin x + 1
;
sin x − 1

π

14/ y = tan  x + ÷;
3


5/

10/

12/ f ( x ) =
15/ y =

2 tan x + 2
;
cos x − 1

sin ( 2 − x )
;
cos 2 x − cos x

2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
a. Phương pháp:

1

13/ f ( x ) =
16/ y =

cot x
;
sin x + 1

1
.
3 cot 2 x + 1


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374

b. Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a/ y = 3cos x + 2 ;

b/ y = 1 − 5sin 3 x ;

π

c/ y = 4 cos  2 x + ÷+ 9 ;
5


d/ f ( x ) = cos x − 3 sin x ; e/ f ( x) = sin 3 x + cos 3 x ; f/ f ( x) = sin 4 x + cos 4 x .
2. Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
a. Phương pháp:

b. Bài tập:
Bài 1: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
a. f ( x) = sin 2 2 x + cos3x

d. f ( x) = tan 7 2 x.sin 5 x

b. f ( x) = cos x 2 − 16
9π 

e. f ( x) = sin  2 x +
÷
2 


II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:
1. Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản:
a. Phương pháp:
2

c. f ( x) = tan x + cotx
3
f. f ( x) = sin ( 3 x + 5π ) + cot ( 2 x − 7π )


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374

b. Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình :
2
;
3

o
o

c/ cot ( x + 20 ) = cot 60 ;

a/ 2sin x + 2 = 0 ;

b/ sin ( x − 2 ) =

d/ 2 cos 2 x + 1 = 0 ;

o
e/ cos ( 2 x + 15 ) = −0,5 ; f/

3 t an3 x + 1 = 0 .

π

π

g/ sin  2 x − ÷ = sin  + x ÷ ; h/ cos ( 2 x + 1) = cos ( 2 x − 1) ;
5

5


i/ sin 3 x = cos 2 x .

Bài 2: Giải các phương trình sau :
2
a/ cos 2 x =

1

;
4

d/ sin x + cos x = 1 ;

b/ 4 cos 2 2 x − 3 = 0 ;
e/ sin 4 x − cos 4 x = 1 ;

c/ cos 2 3x + sin 2 2 x = 1 ;
f/ sin 4 x + cos 4 x = 1 .

Bài 3: Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho :
b/ cot ( x − 5 ) = 3 với −π < x < π .

a/ 2sin 2 x + 1 = 0 với 0 < x < π ;
2. Dạng 2: Phương trình lượng giác thường gặp:

a. Phương trình bậc hai, bậc cao với một hàm số lượng giác.
* Phương pháp:

3


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374

* Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
5π
− x) + 4 = 0
2

2/ sin 3 3 x − cos 3 3x − 3 sin 3 x + 2 = 0
3/ sin 4 x + cos 4 x − 2 sin x cos x − 1 = 0
1
sin 6 x + cos 6 x − sin 2 x
4/
2
= 0 ( A − 06)
2 − 3 sin x

cos x(cos x + 2 sin x) + 3 sin x(sin x + 2 )
=0
sin 2 x − 1
sin 4 x + cos 4 x 1
1
6/
= cot 2 x −
5 sin 2 x
2
8 sin 2 x
π
π
3
4
4
7/ sin x + cos x + sin(3x − ) cos( x − ) =
4
4 2
2
2
8/ 6 sin x + 28 cos 2 x = 5

2
1/ 9 cos x − 5 sin(

5/

Bài 2: Giải các phương trình sau:
1/ cos 3x − 4 cos 2 x + 3 cos x − 4 = 0, ∀x ∈ [ 0;14]
2/ cos 3 x + 3 cos 2 x = 2 + 2 cos x
2 3x
3/ cos x = cos
4
2
4/ cos 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0
1
5/ 2 cos 2 x − 8 cos x + 7 =
cos x

6/ sin 3 x − cos 2 x = 5(sin 5 x − 1)
4x
+ (sin x + cos x) 2 = 0
7/ 2 cos
3
8x
2 6x
+ 1 = 3 cos
8/ 2 cos
5
5
9/ sin 3 x + 2 cos 2 x − 2 = 0

b. phương trình bậc nhất với sin và cos
* Phương pháp:

4


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374

* Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
2/ sin 2 x + 3 cos 2 x = 1 3/ cos 2 2 x − 3 sin 4 x = 2 + sin 2 2 x 6/ sin x − 3 cos x = 2 sin( x +
17π
− 2 x) + 4 cos 2 x = 5 sin x
7/ 3 cos(
2

8/

9/ sin 2 x + 3 cos 2 x = 3 sin x + cos x

10/ sin 4 x − cos x = 3 (cos 4 x + cos(

3 cos 5 − 2 sin 3 x. cos 2 x = sin x

c. Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba với sin và cos
* Phương pháp:

5

3π
+ x))
2

π
)
4


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374

b. Bài tập:
Bài 1: Phương trình bậc hai:
1/ 4 cos 2 x + 3 sin x cos x − sin 2 x = 3
3/ 4 sin 2 x − 5 sin x cos x + cos 2 x = 0

1
2
2 3π
2/ 2 sin x − sin 2 x − sin ( + x) = 2
2
2
x
x
2
− 2 sin x + 3 cos 2 = 1
4/ 4 sin
2
2

Bài 2: Phương trình bậc ba:
1/ 7 sin 3 x + sin 2 x cos x − 4 sin x cos 2 x − 4 cos 3 x = 0 12/ sin x − 4 sin 3 x + cos x = 0
2/ 4 sin 3 x − sin 2 x cos x + 7 cos 3 x − 3 sin x = 0
3/ 4 sin 3 x − sin x − cos x = 0
d. Phương trình đối xứng
* Phương pháp:

6


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
* Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1/ sin x + cos x + 2 sin 2 x − 1 = 0
3
3
3
3/ 1 + sin x + cos x = sin 2 x
2
5/ (1 − sin x cos x)(sin x + cos x ) =

2/ (1 + sin 2 x) cos x + (1 + cos 2 x) sin x = 1 + sin 2 x
4/ sin x − cos x = 1 − 4 sin 2 x
2
2

6/ sin x +

1
1

10
+ cos x +
=
sin x
cos x 3

Bài 2: Giải các phương trình:
1/ tan x + tan 2 x + tan 3 x + cot x + cot 2 x + cot 3 x = 6 2/

3
+ 3 tan 2 x + 4 tan x = 1 − 4 cot x
2
sin x

3
+ 3 tan 2 x + m(tan x + cot x) − 1 = 0
2
sin x
4/ tan 2 x + cot 2 x = 2(tan x − cot x)
5/ tan 4 x + cot 4 x + tan 2 x + cot 2 x = 4
Một số bài tập TNKQ
Câu 1: Chọn từ thích hợp nhất để hoàn thành định nghĩa sau:
“ Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số……… nếu có số T ≠ 0 sao cho
∀x ∈ D ta có: x + T ∈ D, x − T ∈ D và f ( x + T ) = f (x) ”.
a. Chẵn
b. Lẻ
c. Tuần hoàn
d. Bậc nhất
Câu 2: Chọn từ thích hợp nhất để hoàn thành định nghĩa sau:
“ Nếu có ……….. thỏa mãn điều kiện ∀x ∈ D ta có: x + T ∈ D, x − T ∈ D và f ( x + T ) = f (x)

thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm sốtuần hoàn với chu kỳ T”
a. Số nguyên dương T nhỏ nhất
b. Số nguyên dương T lớn nhất
c. Số nguyên âm T nhỏ nhất
d. Số nguyên âm T lớn nhất
Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn:
a. y = tan 3 x. cos x b. y = sin 2 x + cos x c. y = sin 2 x + sin x d. y = sin 2 x + tan x
Câu 4: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ:
π
sin 3x

a. y = sin x. cos x
b. y = cos x + 
c. y =
d. y = tan 2 x
4
tan x


y
=
sin
x
+
tan
x
Câu 5: Hàm số
có chu kỳ tuần hoàn là bao nhiêu: a. π
b. 2 π
c. 3 π

d. 4
π
3/ Tìm m để phương trình :

Câu 6: Hàm số y = 1 − sin 2 x − 1 + sin 2 x có tập xác định là:
3π
7π
π

 3π

+ k 2π 
+ k 2π 
a. ∅
b. R
c.  + k 2π ;
d.  + k 2π ;
4
4
4

4

Câu 7: Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau:
a. Một hàm số lượng giác luôn có GTNN, GTLN trên tập xác định
b. Hàm số y = sin 2 x luôn có GTNN, GTLN trên tập xác định
c. Hàm số y = tan 2 x luôn có GTNN, GTLN trên tập xác định
d. Hàm số y = cot 2 x luôn có GTNN, GTLN trên tập xác định
Câu 8: Hàm số y = sin 2 x đồng biến trên khoảng nào:
 π

π 
 3π 
 3π

a.  0; 
b.  ; π 
c.  π ; 
d.  ;2π 
2 
 4
2 

 2

y
=
cot
x
y
=
sin
x
Câu 9: Hàm số
và
cùng nghịc biến trên khoảng nào:
7


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
 π

 π 3π 
 3π 
 3π

a.  0; 
b.  ; 
c.  π ; 
d.  ;2π 
2 
 2
2 2 

 2

Câu 10: Công thức nghiệm của phương trình sin x = sin α là:
 x = α + k 2π
 x = α + k 2π
a. x = α + k 2π b. x = α + k 2π c. 
d. 
 x = π − α + k 2π
 x = −α + k 2π
Câu 11: Công thức nghiệm của phương trình cos x = cos α là:
 x = α + k 2π
 x = α + k 2π
a. x = α + k 2π b. x = α + k 2π c. 
d. 
 x = π − α + k 2π
 x = −α + k 2π
Câu 12: Đọc lời giải rồi chọn khẳng định đúng:
1

“ Phương trình cos x = −
2
π

x = − + k 2π

π
 π
3
k∈Z ”
B1: Pt ⇔ cos x = − cos B2: ⇔ cos x = cos −  B3: 
π
3
 3
 x = + k 2π

3
a. Lời giải trên đúng b. Lời giải trên sai bước 1 c. Lời giải trên sai bước 2 d. Lời giải trên sai bước 3
π

Câu 13: Phương trình sin  2 x −  = 1 có mấy nghiệm trong khoảng ( − π ;π ) :
2

a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
π
π
5π

2π
3
Câu14: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình: sin 2 x =
là: a. − b. − c. −
d. −
3
6
6
3
2
Câu156: Phương trình nào sau đây có dạng phương trình bậc nhất với sinx và cosx:
a. sin x + cos 3 x = 3 b. 2 sin 2 x + 10 sin x = 1 c. sin 2 x − 2 cos 2 x = 2 d. cos 2 x + sin x + 1 = 0
Câu 16: Tập xác định của phương trình tan2x+cotx=3 là:
kπ

x≠
 x ≠ kπ

π kπ
kπ


2
a. x ≠ +
b. 
c. x ≠
d. 
π kπ
4 2
2

 x ≠ 4 + 2
 x ≠ π + kπ

4
2
Câu 17: Trên đường tròn lượng giác nghiệm của phương trình cos2x.cosx=0 được biểu diễn bởi mấy
điểm: a. 2
b. 4
c. 6
d. 8
Câu 18: Phương trình m sin 3 x − m cos 3x = 2 vô nghiệm với những giá trị nào của m:
a. − 2 < m < 2
b. m ≥ 2
c. − 2 ≤ m ≤ 2
d. − 2 < m < 2
Câu 19: Phương trình sin 3 x + sin x = cos 3 x + cos x có nghiệm là:
π
π
π



 x = kπ
 x = 2 + kπ
 x = 2 + kπ
 x = 2 + k 2π
a. 
b. 
c. 
d. 

 x = π + kπ
π
k
π
π
π
 x = + kπ
x = +
 x = + kπ
8

8
2
4
4



Bài kiểm tra
3
3
1). Giải phương trình cos x - sin x = cos2x.
A). x = k2π , x =

π
2

+ kπ , x =

π

4

+ kπ .

B). x = k2π , x =

8

π
2

+ k2π , x =

π
4

+ k2π .


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
C). x = k2π , x =

π
2

+ k2π , x =

π
4

+ kπ .

π

D). x = kπ , x =

2

+ kπ , x =

π
4

+ kπ .

π π
2). Tìm m để phương trình cos2x - (2m - 1)cosx - m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm x ∈  − ;  .
 2 2

A). - 1 ≤ m < 0
B). 0 ≤ m < 1.
3). Giải phương trình 1 + sinx + cosx + tanx = 0.
A). x = π + k2π , x =
C). x = π + k2π , x =

π
4

π
4

C). 0 ≤ m ≤ 1

D). - 1 < m < 1

+ kπ

B). x = π + k2π , x = −

+ k2π

D). x = π + k2π , x = −

π
4

π
4

+ k2π
+ kπ

4). Giải phương trình sin2x + sin2x.tan2x = 3.
A). x = ±

π
6

+ kπ

B). x = ±

π
6

+ k2π

C). x = ±

π
3

+ kπ

D). x = ±

π
3

+ k2π

5). Phương trình 1 + cosx + cos2x + cos3x - sin2x = 0 tương đương với phương trình.
A). cosx.(cosx + cos3x) = 0.
B). cosx.(cosx - cos2x) = 0.
C). sinx.(cosx + cos2x) = 0.
D). cosx.(cosx + cos2x) = 0.
6). Giải phương trình 1 + sinx + sinx.cosx + 2cosx - cosx.sin2x = 0.
A). x = −

π

2

+ k2π

B). x =

π
2

+ k2π

C). x = π + k2π

D). x = k2π

7). Giải phương trình 4(sin6x + cos6x) + 2(sin4x + cos4x) = 8 - 4cos22x.
A). x = ±

π
3

+

kπ
2

.

B). x = ±

π
24

+

kπ
2

.

C). x = ±

π
12

+

kπ
2

.

D). x = ±

π
6

+

kπ

2

.

8). Phương trình sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x tương đương với phương trình
A). sinx = 0 v sinx =

1
2

. B). sinx = 0 v sinx = 1. C). sinx = 0 v sinx = - 1. D). sinx = 0 v sinx = -

1
2

.

9). Giải phương trình 1 - 5sinx + 2cos2x = 0.

π
π
2π
π
5π
π
+ k2π B). x = + k2π , x =
+ k2π C). x = + k2π , x =
+ k2π D). x = ± + k2π
6
3

3
6
6
3
sin x + cos x
= 3 tương đương với phương trình .
10). Phương trình
sin x - cos x
A). x = ±

π

π

π

π

4

4

4

4

A). cot(x + ) = − 3 B). tan(x + ) = 3 C). tan(x + ) = − 3 D). cot(x + ) = 3
11). Giải phương trình sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x).
A). x =

π
4

+ kπ .

B). x =

π
4

+

kπ
2

.

C). x =

π
4

9

+ k2π .

D). x = −

π
4

+ k2π .


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
π

x − y =
3
12). Giải hệ phương trình 
.
 cos x - cosy = −1
π
2π
2π
π




 x = 6 + k2π
 x = 3 + k2π
 x = 3 + k2π
 x = 2 + k2π
A). 
B). 
C). 
D). 
 y = − π + k2π
 y = π − k2π

 y = π + k2π
 y = π + k2π




6
3
3
6

13). Giải phương trình
π

A). x = ±

4

+ kπ

tan x sin x
2
.
−
=
sin x cot x 2

B). x = ±

14). Giải phương trình

3π
4

+ k2π

C). x = ±

π
4

+ k2π

D). x = ±

3π
4

+ kπ

cos x(cos x + 2sin x) + 3sin x(sin x + 2)
= 1.
sin2x − 1

π
π
π
3π
π
+ k2π B). x = − + kπ C). x = − + k2π , x = −

+ k2π D). x = − + k2π
4
4
4
4
4
15). Giải phương trình sin2x + sin23x - 2cos22x = 0.
A). x = ±

A). x =

π
2

+ kπ , x =

π
8

+

16). Giải phương trình
A). x =

π
2

kπ
4

B). x = kπ , x =

π
8

+

kπ
4

C). x =

π
2

+ kπ , x =

π
8

+

kπ

D). x = kπ , x =

2

π
8

+

kπ
2

tan x − sin x
1
=
.
3
sin x
cos x

+ kπ

B). x = k2π

D). x =

C). Vô nghiệm.

kπ
2

2

17). Giải phương trình sin2x.(cotx + tan2x) = 4cos x.
A). x =
C). x =

π
2

π
2

+ kπ , x = ±
+ kπ , x = ±

π
6

π
3

+ kπ

B). x =

+ k2π

D). x =

π
2

π
2

+ kπ , x = ±
+ kπ , x = ±

π
6

π
3

+ k2π
+ kπ

π π
18). Tìm m để phương trình 2sinx + mcosx = 1- m có nghiệm x ∈  − ;  .
 2 2

A). - 3 ≤ m ≤ 1
B). - 2 ≤ m ≤ 6
C). 1 ≤ m ≤ 3
19). Tìm m để phương trình m.sinx + 5.cosx = m + 1 có nghiệm.
A). m ≤ 12.
B). m ≥ 6
C). m ≤ 24
20). Giải phương trình sin2x + sin23x = cos2x + cos23x.
A). x = ±

π
4

+ k2π B). x = −

π
4

+

kπ
2

,x =

π
8

+

kπ
4

C). x =

π
4

+

kπ
2

,x =

π
8

+

D). - 1 ≤ m ≤ 3
D). m ≥ 3
kπ
4

D). x = −

π
4

+

kπ
2

,x =

21). Tìm m để phương trình cos2x + 2(m + 1)sinx - 2m - 1 = 0 có đúng 3 nghiệm x ∈ (0; π ).
A). -1 < m < 1
B). 0 < m ≤ 1
C). 0 ≤ m < 1
D). 0 < m < 1

10

π
4

+

kπ
2


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
π
1+ sin x
1− sin x
4
+
=
với x ∈ (0; ) .
2
1- sin x
1+ sin x
3

22). Giải phương trình
A). x =

π

B). x =

12

π

C). x =

4

π

D). x =

3

π
6

2

23). Giải phương trình 3 - 4cos x = sinx(1 + 2sinx).
A). x =

π
2

C). x = −

+ k2π , x =
π
2

π
6

+ k2π , x =

+ k2π , x =
π
6

5π
6

+ k2π , x =

+ k2π B). x =

5π
6

π
2

+ k2π , x = −

+ k2π D). x = −

π
2

π
6

+ k2π , x = −

+ k2π , x = −

π
3

π

 x = 6 + k2π
B). 
 y = π + k2π

6

C).

π

 x = 3 + k2π

 y = − π − m2π

6

D).

π

x = − + k2π


6

π
 y = − k2π

3


1

sin x.cosy = - 4
25). Giải hệ phương trình 
.
cos x.sin y = - 3

4
π

π

 x = − 6 + k2π  x = 6 + (k + l )π
A). 
v
 y = − π + k2π  y = 2π + (k − l)π


3

3

π


x = − + (k + l )π  x =



6
B). 
v
y =
 y = π + (k − l )π



3

5π
6
2π
3

+ (k + l )π
+ (k − l )π

π

π
π



5π

x = − + (k + l )π  x = + (k + l )π
 x = − 6 + (k + l)π  x = 6 + (k + l )π



6
6
C). 
v
D). 
v
 y = − 2π + (k − l )π
 y = − π + (k − l )π  y = − 2π + (k − l )π
 y = π + (k − l )π





3

3
3


3


π

 x + y = 3
26). Giải hệ phương trình 
.
 tan x + tan y = 2 3

3
π

 x = 6 + kπ
A). 
 y = π − kπ

6

π

 x = + kπ
3
B). 
 y = −kπ

27). Giải phương trình 4cot2x =

2π


 x = 3 + kπ
C). 
 y = − π − kπ

3

cos2 x − sin2 x
.
cos6 x + sin6 x

11

6

+ k2π , x = −

π

x + y =
3
24). Giải hệ phương trình 
.
sin x + sin y = 1
π

 x = 6 + k2π
A). 
 y = π − k2π


6

5π

π

 x = 6 + k2π
D). 
 y = π − k2π

6

+ k2π
2π
3

+ k2π


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
A). x =

π
4

+ k2π .

B). x =

π

4

+ kπ .

C). x = ±

π
4

+ k2π .

D). x =

π
4

+

kπ
2

28). Giải phương trình tanx + tan2x = - sin3x.cos2x.
A). x =

kπ
3

, x = π + k2π

B). x =

kπ
3

,x =

π
+ k2π
2

C). x =

kπ
3

D). x = k2π

29). Phương trình 2sinx + cotx = 1 + 2sin2x tương đương với phương trình.
A). 2sinx = - 1 v sinx - cosx - 2sinx.cosx = 0. B). 2sinx =1 v sinx + cosx - 2sinx.cosx = 0.
C). 2sinx = - 1 v sinx + cosx - 2sinx.cosx = 0. D). 2sinx =1 v sinx - cosx - 2sinx.cosx = 0.
3

 cos x.cosy = 4
30). Giải hệ phương trình 
.
sin x.sin y = 1

4
π
π



 x = 6 + (k + l )π  x = − 6 + (k + l )π
v
A). 
 y = π + (k − l )π  y = − π + (k − l )π
6
6



π
π


 x = 6 + (k + l )π  x = − 6 + (k + l )π
v
B). 
 y = − π + (k − l )π  y = π + (k − l )π
6
6



π
π


 x = 3 + (k + l )π  x = − 6 + (k + l )π
v

C). 
π
 y = + (k − l )π  y = − π + (k − l )π


6
3

π
π


 x = 3 + (k + l )π  x = − 3 + (k + l )π
v
D). 
π
 y = + (k − l )π  y = − π + (k − l )π


3
3

π

 x + y = 3
31). Tìm m để hệ phương trình 
có nghiệm.
 cos x.cosy = m

4

A). - 2 ≤ m ≤ 2.

B). - 1 ≤ m ≤ 3.

C). - 1 ≤ m ≤ 1.

π

π

3

3

D). - 3 ≤ m ≤ 3.

32). Giải phương trình tan( − x).tan( + 2x) = 1.
A). x =

π
+ kπ .
6

B). x = −

π
+ kπ .
3

C). x = −

π
+ kπ .
6

1
 2
2
sin x + sin y = 2
33). Giải hệ phương trình 
.
x − y = π

3

π

 x = 2 + kπ
A). 
 y = π + kπ

6

π

 x = 6 + kπ
B). 
 y = − π + kπ


6

2π

 x = 3 + kπ
C). 
 y = π + kπ

3

12

π

 x = + kπ
3
D). 
 y = kπ

D). Vô nghiệm.

.


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
34). Giải phương trình 8cot2x =
π

A). x = −

+ kπ

4

(cos2 x − sin2 x).sin2x
.
cos6 x + sin6 x
π

B). x = ±

+

4

3.

2π

3

3

36). Giải phương trình
A). x = ±

π

B). cotg3x =

π
4

+ kπ

D). x =

π

+

4

kπ
2

) = 3 3 tương đương với phương trình.

3.

C). tgx =

+ k2π

C). x = ±

3

D). tg3x =

+ kπ

D). x = ±

3.

1+ sin2 x
− tg2 x = 4 .
2
1− sin x

+ k2π

3

C). x =

2

π

35). Phương tình tan x + tan(x + ) + tan(x +
A). cotgx =

kπ

π

B). x = ±

6

π
3

π
6

+ kπ

37). Giải phương trình 1 + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinx.sin2x.
A). x =
C). x =

π
2

π
2

+ kπ , x = π + k2π

B). x =

+ kπ , x = k2π D). x =

38). Giải phương trình
A). x = k2π , x =

π

2

π
2

π
2

+ kπ , x = ±

π
3

+ k2π

+ k2π , x = k2π

sin10 x + cos10 x
sin6 x + cos6 x
.
=
4
4cos2 2x + sin2 2x

+ k2π

B). x =

kπ
2

. C). x =

π

π

3

3

π
2

+ kπ

D). x = kπ , x =

π
2

+ k2π .

39). Giải phương trình cos( + x) + cos( − x) = 1.
A). x =

k2π
3

C). x =

B). x = k2π .

.

kπ
3

.

D). x =

2π

x+ y =
3
40). Giải hệ phương trình 
.
 tan x.tan y = 3

 x = π + kπ

A). 
π
 y = − 3 − kπ

2π

+ kπ
x =

3
B). 
 y = −kπ

π

 x = 3 + kπ
C). 
 y = π − kπ

3

5π

 x = 6 + kπ
D). 
 y = − π − kπ

6

41). Tìm m để phương trình cos2x - sinx + m = 0 có nghiệm.
5
A). m ≤ − .
4

B). −

42). Giải phương trình

1

5
≤ m ≤ 1. C). − ≤ m ≤ 1.
4
4

cos x(1- 2sin x)
= 3.
2cos2 x − sin x -1

13

D). −

5
≤ m ≤ - 1.
4

π k2π
+
3
3


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
A). x = −

π
6

+ k2π

B). x = ±

π
6

+ k2π

π

C). x =

6

+ k2π D). x = −

π

+ k2π , x = −

6

π
2

+ k2π

43). Tìm m để phương trình cos2x - cosx - m = 0 có nghiệm.
A). −

9
≤ m≤ 2
8

B). −

9
≤ m≤ 1
8

C). m ≥ −

9
5
D). − ≤ m ≤ 2
8
8
π

44). Tìm m để phương trình 2sin2x - (2m + 1)sinx + m = 0 có nghiệm x ∈ (− ;0) .
2

A). - 1 ≤ m < 0.
45). Phương trình

B). 1 < m < 2.

D). 0 < m ≤ 1.

C). - 1 < m < 0.

sin x
1+ cos x 4
+
=
tương đương với các phương trình.
1+ cos x
sin x
3

A). sin x + 3cos x = − 3 v

3sin x + cos x = −1

B). sin x + 3cos x = −1 v

3sin x + cos x = − 3

C). sin x - 3cos x = 3 v

3sin x - cos x = 1

D). sin x - 3cos x = 1 v

3sin x - cos x = 3

sin3x + cos3x 

= cos2x + 3 .
46). Giải phương trình 5 sin x +

1+ 2sin2x ÷


A). x = ±

π
3

+ k2π

B). x = ±

π
6

+ k2π

C). x = ±

π
3

+ kπ

D). x = ±

π
6

+ kπ

47). Giải phương trình sin x.cos x(1+ tgx)(1+ cot gx) = 1.

48). Giải phương trình
A). x = ±

π
3

C). x =

B). x = k2π

A). Vô nghiệm.

kπ

D). x = kπ

2

sin2 x − cos2 x + cos4 x
= 9.
cos2 x − sin2 x + sin4 x

+ kπ . B). x = ±

π
3

+ k2π . C). x = ±

π
6

+ kπ . D). x = ±

π
6

+ k2π .
π 3π

49). Tìm m để phương trình cos2x - (2m +1)cosx + m +1 = 0 có nghiệm x ∈ ( ;
2

A). - 1 ≤ m < 0.

B). 0 < m ≤ 1.

C). 0 ≤ m < 1.

2

).

D). - 1 < m < 0.

2π
50). Tìm m để phương trình (cosx + 1)(cos2x - mcosx) = msin2x có đúng 2 nghiệm x  0;  .

 3

A). -1 < m ≤ 1 B). 0 < m ≤

1
.
2

1
1
C). -1 < m ≤ − . D). − < m ≤ 1
2
2

B. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I. LÝ THUYẾT.
Bài 1: QUY TẮC ĐẾM
1. Quy tắc cộng:
14


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374

2. Quy tắc nhân:

3. Quy tắc bù trừ:

15

Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374

Bài 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
1. Hoán vị:

2. Chỉnh hợp:

3. Tổ hợp:

16


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374

Bài 3: NHỊ THỨC NIU TƠN

17


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
Bài 4: XÁC SUẤT
1. Định nghĩa:

2. Quy tắc cộng xác suất

3. Quy tắc nhân xác suất

4. Quy trình giải bài toán xác suất

II. BÀI TẬP

18


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
1. Phương pháp giải các bài toán đếm:
a. Phương pháp:
Dạng 1: Sắp xếp các đối tượng vào các vị trí
Cho A là tập gồm m phần tử và B là tập gồm n vị trí khác nhau. Yêu cầu bài toán là sắp xếp các
phần tử của tập hợp A vào các vị trí trong tập hợp B theo một điều kiện nào đó.
Cách giải:
Ta xem trong hai tập A và B tập nào ít phần tử hơn thì phần tử của tập đó được chọn phần tử của
tập còn lại.
Dạng 2: Phương pháp lập bảng

 Thí dụ 2: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A,
4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho mỗi lớp có ít nhất 1
học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Hướng dẫn: Ta lập bảng sau để phân chia các trường hợp có thể xảy ra:
TH

Lớp A

Lớp B

Lớp C

(5 hs)

(4 hs)

(3 hs)

1

1

1

2

C51.C41 .C32 = 60

2

1

2

1

C51.C42 .C31 = 90

3

2

1

1

C52 .C41 .C31 = 120

Kết quả

Số cách chọn

270

Dạng 3: Phương pháp tạo “ vách ngăn”
Khi bài toán yêu cầu xếp các 2 hoặc nhiều các phần tử không đứng cạnh nhau. Chúng ta có thể
tạo ra các “vách ngăn” các phần tử này trước khi xếp chúng.

 Thí dụ 4: Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp
sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?
 Thí dụ 5: Cho tập A = {2; 5}. Hỏi có thể lập được nhiêu số có 10 chữ số sao cho không có chữ số 2
nào đứng cạnh nhau.
Dạng 4: Phương pháp “buộc” các phần tử
Đối ngẫu với phương pháp tạo “vách ngăn” là phương pháp “buộc” các phần tử. Các bài tập
dạng này yêu cầu xếp hai hoặc nhiều phần tử đứng cạnh nhau. Ví vậy ta “buộc” các phần tử này
thành một nhóm và coi như một phần tử.

 Thí dụ 5: Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp các học sinh trên thành một hàng ngang sao cho 4 học sinh lớp A đứng cạnh nhau,
3 học sinh lớp B đứng cạnh nhau.
Dạng 5 Phương pháp tìm gián tiếp: Xét bài toán đối
Khi giải bài toán bằng cách giải trực tiếp gặp khó khăn vì xảy ra quá nhiều trường hợp. Chúng ta
tìm gián tiếp bằng cách xét bài toán đối.
 Thí dụ 6: Trong hộp có 20 quả cầu kích thước giống nhau gồm 10 quả cầu xanh; 10 quả cầu vàng.
Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 9 quả cầu sao cho 9 quả lấy ra đó có đủ hai loại đủ cả hai màu?

19


Giỏo viờn: Trn Ngc Hiu- 01659033374
Dng 6: Xp cỏc i tng vo vũng trũn
Khi xp cỏc i tng vo vũng trũn cn lu ý: Hai cỏch xp c gi l ging nhau nu quay mt
gúc no ú cỏch xp ny tr thnh cỏch xp kia.

Thớ d 7: Xp 6 ngi vo mụt bn tic hinh trũn gm 6 gh ngi hi cú bao nhiờu cach xp
b. Bi tp
1) Cú 9 hc sinh trong ú cú Hựng v Dng. Cú bao cach xp 9 hc sinh ny thnh mụt hng ngang
sao cho Hựng v Dng phi cach nhau bi hai bn khac.
2) Cú 9 hc sinh trong ú cú Hựng v Dng. Cú bao cach xp 9 hc sinh ny thnh mụt hng ngang
sao cho Hựng v Dng phi cach nhau bi 4 bn khac.
3) Cú bao nhiờu sụ cú 6 ch sụ khac nhau bit rng cú mt sụ 8 v sụ 9 li cũn ng cnh nhau.
4) a. Có bao nhiêu đờng chéo trong 1 đa giác lồi n cạnh.
b. Một đa giác lồi có bao cạnh để số đờng chéo là 35.
5) Có 100 điểm phân biệt trong không gian, trong đó có 90 điểm đồng
phẳng, ngoài ra không có 4 điểm nào khác đồng phẳng.
i. Có bao nhiêu mặt
phẳng khác nhau? ii. Chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện?
6) Một trờng THPT có 18 h/s giỏi toàn diện, trong đó có 7 h/s khối 12, 6 h/s khối
11, 5 h/s khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 8 h/s đi dự trại hè sao cho mỗi khối
ít nhất 1 h/s đợc chọn? Đ/s: 41811
2. Gii phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh.
1. Phng phỏp:

20

Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374

2. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình
1
2
3
2
x−2
x −1
x
1) C x + 6.C x + 6.C x = 9 x − 14 x ; 2) C5 + C5 + C5 = 25

4) C xo + C xx −1 + C xx − 2 = 79

C 1x

+ 6C x2

1
C 1x

−

+ 6C x3

1
C x2+1

=

5) Ax3 + C xx − 2 = 14 x

2

= 9 x − 14 x
7

6C 1x + 4

1
8) C x

+ C x2

(

+ C x3

2
2
11) Px Ax + 72 = 6 Ax + 2 Px

7x
=
2

5
2 14

− x = x
x
C5 C6 C7

3)
6)

C xx++83 = 5 Ax3+6
9)

Axy++11 .Px− y
Px −1

= 72

)

Bài 2.Giải hệ phương trình
 2 Axy + 5C xy = 90
1)  y
(Đs:x=5,y=2) ;
y
5 Ax − 2C x = 80
4)

C

y
x +1

: C xy +1 : Cxy −1 = 6 : 5 : 2

5C xy − 2 = 3C xy −1
2) 
C xy = C xy −1

 2 Axy + 5C xy = 90
3)  y
y
5 Ax − 2Cx = 80

y
y −1
y −1
y −1
5) ( Ax −1 + yAx −1 ) : Ax : C x = 10 : 2 :1

21

7)
10)


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
4
3
Bài 3. Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mãn phương trình: Cn −1 − Cn −1 −

5 2
An −2 = 0 Bài 4. Giải các bất

4

phương trình
A4
143
3) n + 4 <
( n + 2 ) ! 4 Pn

Cn2+1 3
3
n −1
1) 2 ≥ n 2) An +1 + Cn +1 < 14 ( n + 1)
Cn 10
5) C

4
x −1

−C

3
x −1

5
− Ax2−2 ≤ 0 6) Ax3 + 5 Ax2 ≤ 21x 7)
4

8)

An4+1

<14 Pn
Cnn−−13

9)

11)

Cnn−−12 + Cnn+ 2 >

5 2
An
2

Cnn−−13
1
<
An4+1 14 P3

1 2
6
A2 x − Ax2 ≤ Cx3 + 10 10)
2
x

Pn +5
≤ 60 Ank++32
(n − k )!

Chứng minh một số đẳng thức
= Cnk+1 .CMR:

k −1
n
k
n+3

Bài 5. Sử dụng tính chất C + C
k
n
k −3
n

An4
24
≤
3
n−4
4) An +1 − Cn
23

k
k −1
k −2
3 ≤ k ≤ n ; 2) 2Cnk + 5Cnk +1 + 4Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk++22 + Cnk++33
1) Cn + 3Cn + 3Cn + C = C
k
k −1
k +2
k −3
k −4

k
3) Cn + 4Cn + 6Cn + 4Cn + Cn = Cn + 4 ( Với 4 ≤ k ≤ n )
m
m −1
m −1
m −1
m −1
k
k −1
k
k −1
k
k
4) Cn = Cn−1 + Cn − 2 + ...Cm + Cm−1 (Với 1 ≤ m ≤ n ), HD: Cn + Cn = Cn +1 ⇒ Cn −1 = Cn − Cn−1
3. Nhị thức NiuTơn:

1. Dạng 1: Tìm một số hạng hoặc hệ số của một số hạng
a. Phương pháp:
n

n
k n−k k
- Nhị thức Newton: (a + b) = ∑ C n a b
k =0

k n−k
k
- Số hạng thứ k+1 trong khai triển: Tk +1 = C n a .b
b. Bài tập:
Bài 1. Tìm hệ số của số hạng:

21

10

1 
1

a) chứa x trong khai triển  x + ÷ b) chứa x43 trong khai triển  x 5 +
÷
3 2
x

x 

4

n

n +1
n
 1

c) chứa x trong khai triển  3 + x 5 ÷ biết Cn + 4 − Cn +3 = 7 ( n + 3)
x

8

10



x
d) chứa x y trong khai triển  xy + ÷
y

6

2

40

1 

e) chứa x trong khai triển  x + 2 ÷
x 

31

7

n

−28
 3

1 
3
Bài 2.Tìm số hạng không chứa x trong khai triển a)  x + 4 ÷ b)  x x + x 15 ÷ biết :
x




n
n −1
n −2
Cn + Cn + Cn = 79

22


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
n


1 
c) Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển  x 3 x +
÷ bằng 79 .
15 28
x 

n


3 
0
1
2
5
Bài 3 Cho  x 3 +
÷ .Tìm hệ số của số hạng có chứa x Biết Cn + 3Cn + 9Cn = 631 .
3 2

x 

n

1

Bài 4.Biết trong khai triển  x − ÷ Có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Hãy tính số hạng đứng giữa
3

trong khai triển .
n

 a
b 
+ 3 ÷
Bài 5. Trong khai triển :  3
tìm số hạng chứa a,b có số mũ bằng nhau.
b
a÷


Dạng 2: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
Bài 1.Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng của khai triển
40
101
30
30
1 2 
a) ( 1 + x )
b) ( 1 + 2x ) . c)  + x ÷ c) ( 1 + 2x )

3 3 
k
(HD: Hệ số của số hạng tổng quát Tk +1 = Cn 0 ≤ k ≤ 101
101!
k
k !. ( 101 − k ) !
Tk +1 102 − k
T
C
51
=
≥ 1 ⇔ 0 ≤ k ≤ 51 ; k=51 C101
=
Xét k +1 = 101
;
)
k −1
101!
Tk
k
Tk
C101
( k − 1) !( 102 − k ) !
Dạng 3: Tính tổng, rút gọn.
a. Phương pháp: Mét sè hÖ thøc quan träng:
n
n
0
1
n

1) 2 = (1 + 1) = Cn + Cn + ... + Cn

n
0
1
2
n
n
2) 0 = (1 − 1) = Cn − Cn + Cn − ... + (−1) Cn

n
n 0
n −1 1
0 n
3) (a + 1) = a Cn + a Cn + ... + a Cn vµ (a − 1) n = .....
0

2

2k

1

2 k +1

3

4) Cn + Cn +...+ Cn +...= Cn + Cn +…+ Cn
0

+…=2n-1

2

2k

5)(1+x)n + (1-x)n =2[ Cn + x2 Cn +...+ x2k Cn +…]
1

3

0

6)(1+x)n-(1–x)n =2[x Cn + x3 Cn +...+ x2k+1 Cn +…]
b. Bài tập:
Bài 1 (Vận dụng khai triển đơn thuần)
An0 An1 An2
Ak
An
+
+
+ ... + n + ... + n
0! 1! 2!
k!
n!
2001 0
+ ... + C2002 C1

17 0
1 16 1

2 15 2
17 17
1)Tính: S = 3 C17 − 4 .3 C17 + 4 .3 C17 − ... − 4 C17
0
2001
1
2000
k
2001− k
2)Tính: S = C2002C2002 + C2002C2001 + ... + C2002C2002 − k

A=

k
2001− k
k
2001
(Híng dÉn: C2002C2002− k = 2002C2001 ⇒ S = 2002.2 )
16 0
15 1
1 15
0 16
16
3)CMR: a) 3 C16 − 3 C16 + ... − 3 C16 + 3 C16 = 2

b)

C + C + C + ... + C = C + C + ... + C − 2
1
1

1
n
n
c)NÕu a + b = 1 th× a + b ≥ n −1 , n ∈ N (Híng dÉn: a = + x , b = − x )
2
2
2
0
1
2
n
n
4)Tìm n: Cn + 2Cn + 4Cn + ... + 2 Cn = 243
2
20

4
20

6
20

18
20

1
20

3
20

19
20

23


Giỏo viờn: Trn Ngc Hiu- 01659033374
5)Một tập hợp 100 phần tử có bao nhiêu tập con có nhiều hơn 2 phần tử ?
Bi 2:(Cỏc bi toỏn vi ch s trờn ca t hp ton chn hoc l)
2
4
6
2n
n 1 1
n 3 3
n 5 5
n
1)Rỳt gn: S = C2 n + C2 n + C2 n ... + C2 n ; S = 2 Cn + 2 Cn + 2 Cn + ... + Cn
0
2
4
2000
S = C2000
+ 2C2000
+ 4C2000
+ ... + 21000 C2000
0
2 2
4 4

2000 2000
2000
2001
2)CMR: C2001 + 3 C2001 + 3 C2001 + ... + 3 C2001 = 2 (2 1)
3)Giải PT,BPT:
1
3
5
2 n 1
a. C2 n + C2 n + C2 n ... + C2 n = 2048
0
2 2
4
4
2k
2k
2n 2n
15
16
b. C2 n + 3 C2 n + 3 C2 n + ... + 3 C2 n + ... + 3 C2 n = 2 (2 + 1)
4)Cho tập A có 20 phần tử.
a. Có bao nhiêu tập hợp con của A ?
b. Có bao nhiêu tập con ( khác rỗng) của A mà số phần tử là chẵn ?
c. Có bao nhiêu tập con của A mà số phần tử là l ?
Bi 3:(Khuyt na v ca cỏc t hp chp) Tính:
1
2
3
4
5

6
7
8
9
10
11
a. S = C10 + C10 + C10 + C10 + C10
b. S = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 + C11
1
2
3
1003
c. S = C2007 + C2007 + C2007 + ... + C2007
4. Xỏc sut:

a. Phng phỏp: Vn dng thnh tho cỏc dng toỏn ca bi toỏn m v cỏc quy tc tớnh xỏc
sut.
b. Bi tp:
Bi tp 1: T mụt t gm 6 bn nam v 5 bn n, chn ngu nhiờn 5 bn xp vo bn u theo nhng
th t khac nhau. Tớnh xac sut sao cho trong cach xp trờn cú ỳng 3 bn nam.
Bi tp2: Mụt t chuyờn mụn gm 7 thy v 5 cụ giao, trong ú thy P v cụ Q l v chng. Chn
ngu nhiờn 5 ngi lõp hụi ng chm thi vn ap. Tớnh xac sut sao cho hụi ng cú 3 thy, 3
cụ v nht thit phi cú thy P hoc cụ Q nhng khụng cú c hai
Bi tp3: Sau bn, trong ú cú bn H v K, c xp ngu nhiờn thnh hng dc. Tớnh xac sut sao
cho: a) Hai bn H v K ỳng lin nhau;
b) Hai bn H v K khụng ỳng lin nhau.
Bi tp 4:Ly ngu nhiờn mụt th t mụt hụp cha 20 th c anh sụ t 1 ti 20. Tim xac sut
th c ly ghi sụ:
a)Chn;
b)Chia ht cho 3;

c)L v chia ht cho 3.
Bi tp 5:Mụt lp hc cú 45 HS trong ú 35 HS hc ting Anh, 25 HS hc ting Phap v 15 HS hc
c Anh v Phap. Chn ngu nhiờn mụt HS. Tớnh xac sut cua cac bin cụ sau:
a)A: HS c chn hc ting Anh
b)B: HS c chn ch hc ting Phap
c)C: HS c chn hc c Anh ln Phap d)D: HS c chn khụng hc ting Anh v ting Phap.
Bi tp 7. Cho mụt lc giac u ABCDEF. Vit cac ch cai A, B, C, D, E, F vo 6 th. Ly ngu nhiờn
hai th. Tim xac sut sao cho on thng m cac u mỳt l cac im c ghi trờn 2 th ú l:
a. Cnh cua lc giac. b. ng chộo cua lc giac. c. ng chộo nụi 2 nh ụi din cua lc giac.
Bi tp 8. Xp ngu nhiờn ba bn nam v ba bn n ngi vo sau gh kờ theo hng ngang. Tim xac
sut sao cho.
a) Nam n ngi xen k nhau.
b) Ba bn nam ngi cnh nhau.
Bi tp 10. Trờn mụt cai vũng hinh trũn dựng quay s sụ cú gn 36 con sụ t 01 n 36. Xac sut
banh xe sau khi quay dng mi sụ u nh nhau. Tớnh xac sut khi quay hai ln liờn tip banh
xe dng li gia sụ 1 v sụ 6 ( k c 1 v 6) trong ln quay u v dng li gia sụ 13 v 36 ( k c
24


Giáo viên: Trần Ngọc Hiếu- 01659033374
13 và 36) trong lần quay thứ 2.
Bài tập 12: Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố:
a. Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
b. Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Bài tập 13: Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh. Hộp thứ
hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu.
a) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.
b) ính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.
Bài tập 14: Gieo một con súc sắc cân đối , đồng chất 2 lần và quan sát sự cố xuất hiện .
a/ Mô tả không gian mẫu .

b/ Xác định và tính xác suất các biến cố sau :
A:”Xuất hiện lần đầu mặt chấm chẵn, lần sau xuất hiện mặt chấm lẻ”
B:”Xuất hiện cả 2 lần là mặt chấm chẵn”
C:”Xuất hiện cả 2 mặt có chấm không nhỏ hơn 3”
Bài tập 15 : Gieo một đồng tiền 3 lần và quan sát hiện tượng mặt sấp và mặt ngữa .
a/ Mô tả không gian mẫu .
b/ Xác định và tính xác suất các biến cố sau :
A:”Lần gieo đầu tiên mặt sấp”
B:”Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”
C:”đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
D:”Mặt sấp xẫy ra đúng một lần”
Bài tập 16 : Gieo một đồng tiền và một con súc sắc 1 lần
a/ Mô tả không gian mẫu .
b/ Xác định và tính xác suất các biến cố sau :
A:”đồng tiền suất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm “
B:”Đồng tiền suất hiện mặt ngữa và con súc sắc suất hiện mặt lẻ chấm “
C:”Mặt 6 chấm xuất hiện “
Bài tập17 : Trong một hộp đựng 4 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 4 , lấy ngẫu nhiên hai thẻ
Xác định và tính xác suất các biến cố sau :
A:”Tổng các số trên hai thẻ là chẵn”
B:”Tích các số trên hai thẻ là chẵn” .
Bài tập 18 : Từ một hộp đựng 5 quả cầu được đánh số từ 1 đến 5 , lấy liên tiếp hai lần mỗi lần một quả
và xếp thứ tự từ trái sang phải .
a/ Mô tả không gian mẫu .
b/ Xác định và tính xác suất các biến cố sau :
A:”Chữ số đầu lớn hơn chữ số sau”
B:”Chữ số sau gấp đôi chữ số trước”
C:”Hai chữ số bằng nhau”.
Bài tập 20: Một hộp đựng 5 viên bi trắng , 7 viên bi đỏ , chọn ngẫu nhiên 3 viên bi .
Tính xác suất để :

a/ 3 viên bi cùng màu . b/ có đúng 3 bi đỏ . c/ có ít nhất là hai bi trắng . d/ có đủ hai màu
Bài tập 22 : Có 15 công nhân và 3 kĩ sư. Tính xác suất để lập được một tổ công tác 7 người gồm 1 kĩ
sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên?
Bài tập 23: Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6
chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.
Bài tập 24: Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh. Hộp thứ
hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu.
a.Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.

25

b.Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.