Tổng hợp một số dạng bài tập phương trình đường thẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (690.65 KB, 23 trang )
TỔNG HỢP BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng (d1 )x y 0 và 2x y 1 0(d2 ) . Tìm tọa độ các đỉnh hình
vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc (d1), đỉnh C thuộc (d2) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
2. Một tam giác có M ( - 1; 1) là trung điểm của một cạnh, hai cạnh còn lại là : x + y - 2 = 0
và 2x + 6y + 3 = 0 . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác .
3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB=AC. Góc BAC là góc vuông. Biết M(1;-1) là trung
3
2
điểm cạnh BC và G( ;0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ A,B,C
4. Viết pt đường thẳng (d) đi qua M(-2;-4) và cắt hai trục tọa độ hai đoạn thẳng bằng nhau
5. Trong mặt phẳng Oxy cho d: x-2y+15=0 .Tìm điểm M(x1;y1)thuộc d sao cho x12 y 12 nhỏ nhất.
6. Trên mặt phẳng cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxy và tam giác
với đỉnh A(1;1). Các đường cao hạ
từ và lần lượt nằm trên các đường thẳng (d1)và (d2)theo thứ tự có phương trình:2x-y+8=0 và
2x+3y-6=0 Hãy viết phương trình đường thẳng chứa đường cao hạ từ A và xác định tọa độ các đỉnh
B,Ccủa tam giác ABC.
7.Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng (d1):x-y+2=0; 2x+y-5=0 (d2)và điểm M(-1;4).Viết
phương trình đường thẳng cắt (d1), (d2) lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.
8.Cho (d1 ) : x y 3 0 (d2 ) : x y 4 0 (d3 ) : x 2y 0 :Tìm M (d3 ) sao cho d(M ,d1 ) =2d(M ; d 2 )
9.Trong mặt phẳng cho tam giác ABC với các đỉnh A(-6;-3),B(-4;3),C(9;2) .
a. Viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC.
b. Tìm điểm P d sao cho tứ giác abpc là hình thang.
10. Cho A (0;2)và B(- 3; 1).Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
11.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(-1;1),B(-4;-3) . Tìm điểm C thuộc đường thẳng
X+2Y+1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
12.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác biết C (-2 ; - 4), trọng tâm G (0; 4) , M (2; 0) là
trung điểm cạnh BC.Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB.
13.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (2; - 4) , B (0; - 2) và điểm C nằm trên
đường thẳng 3x - y + 1= 0 ; diện tích tam giác ABC bằng 1 ( đơn vị diện tích ). Hãy tìm tọa độ điểm C .
14.Trong mặt phẳng tọa độ trực chuẩn Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A (4 ; 1) và cạnh huyền
BC có phương trình là 3x - y + 5 = 0. Viết phương trình hai cạnh góc vuông AC và AB.
15.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A(2;-1)và hai đường phân giác
trong của hai góc B, C lần lượt có phương trình : x-2y+1=0, x+y+3=0. Viết phương trình cạnh BC.
16.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A. Biết tọa độ A (3 ; 5) , B (7 ; 1)
và đường thẳng BC đi qua điểm M (2; 0). Tìm tọa độ đỉnh C .
17.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (0 ; 1) và hai đường thẳng chứa
các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là 2x - y - 1 = 0 và x + 3y - 1 = 0. Tính diện
tích của tam giác ABC.
18.Trong mặt phẳng cho tam giác ABC biết đỉnh A (3 ; 9) và phương trình các đường trung tuyến BM ,
CN lần lượt là : 3x - 4y + 9 = 0 và y - 6 = 0. Viết phương trình đường trung tuyến AD của tam giác đã
cho .
19.Cho hai đường thẳng (d1)2x-3y+1=0 (d2) 4x+y-5=0 .Gọi Alà giao điểm của (d1) và (d2) . Tìm điểm
B trên (d1)và điểm C trên (d2)sao cho tam giác ABC có trọng tâm là điểm G (3; 5) .
20.Trong mặt phẳng (Oxy) cho hình thoi ABCD có phương trình 2 cạnh và 1 đường chéo là :(AB) : 7x
- 11y + 83 = 0; (CD) : 7x - 11y - 53 = 0; (BD) : 5x - 3y + 1 = 0 Tìm tọa độ của B , D, A và C.
21.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A (-1 ; 0) ; B (4; 0); C (0; m)
.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
22.Một hình thoi có một đường chéo phương trình là : x + 2y - 7 = 0 ; một cạnh phương trình là :
x + 3y - 3 = 0; một đỉnh là ( 0 ; 1). Tìm phương trình các cạnh hình thoi .
23.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Biết A (2 ; 2) và phương trình đường cao kẻ
từ B là x + y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác đã cho
24.Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng (d1) x-y+2=0; (d2) 2x+y-5=0 và điểm M ( - 1; 4).
a. Viết ptđt (d) cắt (d1);(d2)lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.
b. Viết pt đ/tròn (C) qua M tiếp xúc với đường thẳng (d1) tại giao điểm của (d1) với trục tung .
25.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(2;2)và các đường thẳng (d1) x+y-2=0 (d2) :x + y -8 =0
.Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc(d1) và (d2)sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
26.Cho biết ABC ,A(2;-1)và phương trình tia đường phân giác trong của góc
2y+1=0 và x+y+3=0. Tìm B và C
và góc
lần lượt làx-
27.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy,xét tam giác ABC vuông tại A,phương trình
đường thẳng BC là
,các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp
bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G và các đỉnh của tam giác ABC.
1
28.Trong măt phẳng cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ; 0 , phương trình đường thẳng AB là x2
2y+2=0và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
29.Trong mặt phẳng cho đường thẳng (d) có phương trình x+y-3=0và hai điểm A(1;1),B(-3;4) Tìm tọa
độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1.
30.Trong mặt phẳng tam giác có một đỉnh là A(4; 3) , một đường cao và một trung tuyến đi qua hai
đỉnh khác nhau có phương trình lần lượt là : 3x+y+11=0 ; x+y-1=0. Hãy viết phương trình các cạnh
tam giác .
31.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho 3 điểm A (1; 2), B (3; 1), C (4; 3) .
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. Viết phương trình các đường cao của tam giác đó .
32.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng :(d1) x-y=0 và (d2): 2x+y-1=0
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A d1;C d2 ; B , D Ox
33.Trong mặt phẳng xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình BC 3x y 3 0 , các đỉnh A và
B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
34.Trong mặt phẳng cho 2 điểm A(1; 1) , B(2 ; 1) , và đường thẳng d : x - 2y + 2 = 0.
a. Chứng tỏ 2 điểm A, B ở về cùng một phía của d.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho tổng khoảng cách MA + MB bé nhất.
35.Trong mặt phẳng cho A(1;2); B(-5;4) và đường thẳng x 3y 2 0 .Tìm điểm
trên để
ngắn nhất.
36.Cho tam giác ABC có B(2;-7), đường cao vẽ từ A và trung tuyến kẻ từ C là 3x+y+11=0 và
x+2y+7=0 Viết phương trình các cạnh tam giác.
37.Cho x 2y 2 0 1 3x+y-1=0 2 .G/s chúng cắt nhau tại A. Lập phương trình đường thẳng qua
M(-1;1) cắt hai đường thẳng trên tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A
38.Cho tam giác ABC có B(7, 9), C(2,-1), phương trình đường phân giác trong góc A là: x = 7y - 20 =
0. Lập phương trình các cạnh tam giác ABC
39.Cho ABC cóAB:x+y-2=0AC:2x+6y+3=0M(-1,1) là trung điểm của BC. Viết phương trình cạnh
BC.
40.Viết PT đường thẳng đi qua điểm I(-2,3) và cách đều hai điểm A(5,-1) và B(3,7)
41.Viết PT đường thẳng đi qua A(0,1) và tạo với đường thẳng (d): x + 2y +3 = 0 một góc bằng
42.Viết phương trình các đường thẳng // (d): 3x - 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến (d) bằng 1.
43.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1;2) , đường trung tuyến BM , phân giác trong CD
tương ứng có phương trình 2x+y+1=0 và x+y-1=0 ,viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC .
44.Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết: Đỉnh C(2;3) và phương trình đường cao, đường
trung tuyến xuất phát từ A và B lần lượt là(d1): 2x-y-2=0, (d2): x-y-2=0.
45.Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết đỉnh B(-1;-1) và phương trình phân giác ngoài góc B,
đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là: (d): x-3y+1=0 và (d'): 2x+y-4=0.Lập phương trình các
cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(2;1) phương trình trung trực BC và trung tuyến xuất phát từ C có
phương trình là: (d): x+y-3=0 và (d'): 2x-y-1=0.
46.Lập phương rình các cạnh tam giác ABC biết đỉnh A(-3;4), phương trình trung trực BC và phân giác
ngoài góc B lần lượt là: (d): x+2y-4=0 và (d'): 2x+y-4=0
47.Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết: Đỉnh C(4;-3), phân giác trong góc A là (d): 2x3y+6=0, phân giác ngoài góc B là (d'): 2x+3y+6=0.
Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(-3;1), phương trình đường cao và phân giác
ngoài xuất phát từ đỉnh B lần lượt là (d): x+3y+12=0 và (d'): x-6y+18=0.
48.Cho hình thang cân ABCD có A(2;1); B(3;0). Biết đáy lớn là CD đáy nhỏ AB. Biết rằng chân
đường cao H kẻ từ đỉnh A thỏa tam giác ADH vuông cân đỉnh H và có diện tích là 9( đvdt). Viết
phương trình các cạnh hình thang.
49.Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường thẳng :
.Lập phương trình
đường thẳng d đi qua giao điểm của 2 đường thẳng đồng thời chắn trên 2 trục tọa độ những đoạn bằng
nhau.
50.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
và
51.Lập phương trình đường thẳng d qua giao điểm của 2 đường thẳng và tạo với đường thẳng y-1=0
góc
52.Cho điểm M(2;5) và đường thẳng a có phương trình : x+2y-2=0 .
a) Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên a .
b) Tìm tọa độ điểm M1 đối xứng với M qua a .
c) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng a qua M
53.Cho điểm A(1;3) và B(3;7) . Viết phương trình đường thẳng qua A và cách B một khoảng bằng 2.
54.Cho đường thẳng (d): 2x-y+3=0 . Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và cách (d)
một khoảng bằng 5 .
55.Hai cạnh AB và AD của hình hành có phương trình là :x-3y-2=0 và 2x+5y+7=0. Điểm I(2;2) là tâm
hình hành , viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành .
Đề Thi Hình GT phẳng
1. (Đề CT- khối A năm 2008)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,hãy viết phương trình chính tắc của
elip(E) biết rằng (E) có tâm sai bằng
5
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
3
2 . ( K B - 08)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết
rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1),đường phân giác trong của góc
A coá phương trình x -y +2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x +3y -1 = 0.
3. (Đề CT- K D - 08) cho parabol(P): y2 = 16x và điểm A(1;4) .Hai điểm phân biệt B,C (B và C khác
=900.Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố
A) di động trên (P) sao cho góc BAC
định.
4. (KA - 07)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy, cho tam giác ABC có A(0;2) ,
B(-2; -2) và C(4;-2) . gọi H là chân đường cao kẻ từ B ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB và BC , viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H,M,N.
5. (KB - 07)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng :d1 : x + y - 2 = 0
, d2 : x + y - 8 = 0.Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân
tại A.
6.(KD - 07) cho đường tròn (C) :( x - 1 )2 + ( y + 2 )2 = 9 và đường thẳng d : 3x - 4y + m = 0Tìm m để
trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) , ( A, B là các tiếp
điểm ) sao cho tam giác PAB đều.
7. (DBKA - 07)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,cho đường tròn (C) : x2 +y2 = 1.Đường tròn (C')
tâm I(2;2) cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB = 2 .Viết phương trình đường thẳng AB.
8. (DBKA - 07)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy . Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;0) . Biết phương
trình các cạnh AB ,AC theo thứ tự là 4x+y+14=0 , 2x+5y-2=0 . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C
9. (DBKB - 07)Cho đường tròn (C) : x2 + y2 -8x +6y +21 = 0 và đường thẳng d : x + y -1 = 0.Xác định
toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) ,biết A thuộc d.cắt (C) tại các điểm A,B sao cho
AB = 3
10.. (DBKD - 07)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho các điểm A(0;1), B(2;-1) và các đường thẳng
d1 : (m-1)x +(m-2)y +2 –m = 0, d2 : (2-m)x +(m-1)y +3m-5 = 0.
Chứng minh d1và d2 luôn cắt nhau.Gọi p d1 d 2 .Tìm m sao cho PA+PB lớn nhất .
11. (DBKA - 06)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,cho elip (E) :
x2 y 2
1. Viết
12 2
phương trình
Hypebol (H) có hai đường tiệm cận là y 2 x và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elip (E) .
12.(KA - 06)Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho các đường thẳng D1 : x + y + 3 = 0, d2 : x - y 4 = 0, d3 : x - 2y = 0 Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 .x +y +3 = 0,và trung điểm của cạnh AC là M(1;1)
.Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C.
13.(KB - 06) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,Cho đường tròn (C) : x2 +y2 -2x -6y +6 = 0 và điểm
M(-3;1).Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) .Viết phương trình đường
thẳng T1T2.
14. (DBKB - 06) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,cho tam giác ABC cân tại B,với A(1;-1) ,
C(3;5)Đỉnh B nằm trên đường thẳng d: 2x - y = 0.Viết phương trình các đường thẳng AB ,BC.
14. (DBKB - 06) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1) ,đường cao
qua đỉnh B có phương trình là x - 3y -7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình là x + y
+1 = 0 .Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác.
15. (KD - 06) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và
đường thẳng d: x-y+3=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp
đôi bán kính đường
16. (DBKD - 06) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,cho đường thẳng d: x -y +1- 2 = 0 và điểm A(1;1).Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A,gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d.
17. (DBKD - 06) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , lập phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài
trục lớn bằng 4 2 ,các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn.
18. (KA - 05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng
d1 : x y 0 , d2 : 2x y 1 0.
Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 ,đỉnh C thuộc d2 , và các đỉnh B,D
thuộc trục hoành
19. (DBKA - 05)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C1):x2+y2-12x-4y+36 = 0. Viết
phương trình đường tròn (C2) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox ,Oy ,đồng thời tiếp xúc với đường tròn
(C1).
20. (DBKA - 05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 +y2 -4x-6y -12 = 0.Gọi I
là tâm và R là bán kính của (C) .Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d: 2x -y +3 = 0 sao cho MI = 2
R.
21.(KB - 05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình
đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
22. (DBKB - 05)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;5), B(2;3). Viết phương trình
đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R bằng 10 .
23.. (KD - 05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2,0) và elip (E) : x 2 y2 1. Tìm toạ độ các
4
1
điểm A,B thuộc (E) ,biết rằng hai điểm A,B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam
giác đều.
2
2
24. (DBKD - 05)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elip (E) : x y 1. Viết phương trình tiếp
64
9
tuyến d của (E) ,biết d cắt hai trục toạ độ Ox,Oy lần lượt tại A và B Sao cho AO = 2BO.
25. (DBKD - 05)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn :(C1): x2 +y2 = 9
và
(C2) : x2 +y2 -2x -2y -23 =0.Viết phương trình trục đẳng phương d của hai đường tròn (C1) và (C2).Tìm
toạ độ điểm K thuộc d sao cho khoảng cách từ K đến tâm (C1) bằng 5.
26. (CT-KA-04)Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A (0;2) và B ( 3 ;-1). Tìm toạ độ trực
tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
27. (DB--KA-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x –y +1 - 2 = 0 và điểm A(1;1).Viết phương trình đường tròn đi qua A,qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d.
28. (DB-KA-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(0;2) và đường thẳng d: x- 2y +2 = 0Tìm
trên d hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC.
29. (CT-KB-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1,1) ,B( 4;-3) .Tìm điểm C thuộc
đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khaỏng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
30. (DB-KB-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm I(-2;0) và hai đường thẳng d1: 2x - y +5
= 0.d2: x+ y -3 = 0.Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại
A, B sao cho IA 2.IB.
31. (DB-KB-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elip (E) :
tuyến của (E) song song với đường thẳng d: x 2y 1 0.
x 2 y2
1.
8
4
Viết phương trình các tiếp
32. (CT-KD-04) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0); B(4;0);
C(0;m) với m 0. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông
tại G.
33.(DB-KD-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(2;3) và hai đường thẳng :d1: x + y +5 =
0
và d2: x + 2y -7 = 0.Tìm toạ độ các điểm B trên d1 và C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng
tâm là G(2;0).
34. (DB -KA-03)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho parabol và điểm I(0;2) .Tìm toạ độ hai điểm
M,N thuộc (P) sao cho IM 4.IN.
35. (CT -KB-03)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB =
AC, BAC = 900. Biết M(1;-1) là trung điểm cạnh BC và G 2 ;0 là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa
3
độ các đỉnh A, B, C.
36. (DB -KB-03)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x -7y +10 = 0.Viết phương
trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng Δ : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm
A(4;2).
2
2
37. (DB -KB-03)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E): x y 1 và các điểmM(-2;3)
4
1
,N(5;n) .
Viết phương trình các đường thẳng d1,d2 qua M và tiếp xúc với (E). Tìm n để trong số các tiếp tuyến
của (E) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d1,d2.
38. (CT -KD-03) cho đường tròn :(C): (x-1)2 + (y-2)2 = 4 và đường thẳng d: x - y – 1 = 0.Viết phương
trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của
(C) và (C’).
39. (DB -KD-03) cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao
vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là:x – 2y + 1 = 0 và 3x + y – 1 = 0.Tính diện tích tam giác
ABC.
40. (CT -KA-02)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,xét tam giác ABC vuông tại A ,phương trình đường
thẳng BC là : 3x y 3 0 ,Các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp
bằng 2.Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
41. (DB -KA-02) cho đường thẳng d: x-y+1=0 và đường tròn (C) :x2+y2+2x- 4y = 0. Tìm toạ độ điểm
M truộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho góc
AMB =600.
42. (CT -KB-02) cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;0 ,phương trình đường thẳng AB là x-2y+2=0 và
2
AB=2AD. Tìm toạ độ của các đỉnh A,B, C,D, biết rằng đỉnh A có hoành độ âm
43. (DB -KB-02) cho hai đường tròn (C1) : x2+y2 -4y -5 = 0 và (C2) : x2 +y2 -6x +8y +16 = 0.Viết
phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2).
44. (CT -KD-02) cho elip (E) có phương trình x 2 y 2 1.
16
9
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn
tiếp xúc với (E) .Xác định toạ độ của M ,N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất .Tính giá trị nhỏ nhất đó .
45. (DB -KD-02) cho elip (E): x 2 y2 1 và đường thẳng dm:mx –y -1 = 0
9
4
a)Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,đường thẳng dm luôn cắt elip (E) tại 2 điểm phân biệt .
b)Viết phương trình tiếp tuyến của (E) ,biết tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1;-3).
46.(DB -KD-02) cho hai đường tròn (C1) : x2+y2 -10x =0 , (C2) : x2 +y2 +4x -2y -20 = 0.
a. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1) ,(C2) và có tâm nằm trên đường thẳng d:
x +6y -6 = 0.
b.Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1),(C2).
Các bài toán về phương trình đường thẳng
Lý thuyết
Cho ba điểm: A xA ; yA ; B xB ; yB ; C xC ; yC . Ta có:
Tọa độ véctơ AB xB x A ; yB yA
x A xB y A yB
;
.
2
2
x xB xC yA yB yC
;
.
Tọa độ trọng tâm G của ABC là: G A
3
3
Cho hai véctơ: a a1 ; a2 ; b b1 ; b2 . Ta có:
a b a1 b1 ; a2 b2 ; a b a1 b1 ; a2 b2 ; a.b a1 .b1 a2 .b2 ; k.a k.a1 ; k.a2 ; a a12 a22
a.b
cos a; b suy ra a.b 0 a; b 900 , a.b 0 a; b 900 , a.b 0 a; b 900
a.b
Tọa độ trung điểm I của AB là: I
a b a.b 0 ; a / / b
a1
a
2
b1
b2
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A x0 ; y0 và nhận n a; b làm một VTPT
d : a x x0 b y y0 0
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A x0 ; y0 và nhận u a; b làm một VTCP
d :
x x0
y y0
a
b
Phương trình đoạn chắn: đường thẳng d cắt Ox tại A a; 0 và cắt Oy tại B 0; b :
x y
1
a b
Công thức tính khoảng cách từ điểm A x0 ; y0 đến đường thẳng d : ax by c 0 là
d A, d
Công thức tính diện tích tam giác ABC: SABC
ax0 by0 c
a2 b2
1
1
AB.d C, AB AB. AC.sin AB, AC
2
2
Một số câu hỏi:
1. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d khi nào ?
2. Hai điêm A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng d khi nào? Khác phía khi nào?
3. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua điểm I khi nào ?
Câu hỏi đặt ra với các bài toán đường thẳng hình học giải tích là: Từ bài toán ta tìm được những thông tin gì?
Hãy dựa vào đề bài để tìm các thông tin mà bài toán cung cấp.
Kĩ thuật tìm thêm điểm:
x A kxB
xM 1 k
+ Dùng vec-tơ: Điểm M thỏa mãn M A kM B
y kyB
yM A
1 k
+ Kĩ thuật lấy đối xứng qua đường phân giác
Nếu bài toán có trọng tâm hay trung điểm ta thường tham số hóa tọa độ của trung điểm hay trọng tâm
(trường hợp chưa biết tọa độ của các điểm đó)
Cần nhớ: Nếu ta đặt bao nhiêu ẩn thì phải dựa vào đề bài để tìm bấy nhiêu phương trình. Rồi giải các
phương trình đó để tìm ẩn
VD1: Cho A(1;3), B(-2;-1), C(3;-4). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
VD 2: Cho tam giác ABC có A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Viết phương trình đường phân giác trong AD của tam
giác ABC.
VD 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC có đỉnh A( 4; 3). Biết đường phân giác trong và trung
tuyến kẻ từ 1 đỉnh là x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y - 10 = 0. Tìm B, C.
VD 4: Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường
thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C.
VD 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC cân tại C. Biết đỉnh A(1; 3), đường cao (BH): 2x - 3y - 10 =
0 và (AB): 5x + y – 8 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh B, C.
BÀI TẬP
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC có cạnh AC đi qua điểm M(0; -1). Biết AB = 2AM, đường
phân giác trong (AD): x - y = 0, đường cao (CH): 2x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ΔABC.
2. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh (-4; 8) và một đường chéo có phương trình : 7x-y+8=0 . Viết
phương trình chính tắc các cạnh hình vuông.
3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC có trực tâm H(13/5; 13/5). Lập phương trình cạnh BC biết
(AB): 4x – y – 3 = 0 và (AC): x + y – 7 = 0.
4. Trong mặt phẳng Oxy cho ΔABC có trung tuyến (AM): y - 1 = 0, đường cao (AH): x – 2y + 3 = 0 và đỉnh B(1;
3). Lập phương trình đường thẳng AC
5. Cho tam giác ABC, với A(2;1) , B(1; 2) , trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng x y 2 0 .
Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5
6. Cho ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x - 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C
có phương trình x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích
ABC .
7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh
BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H (1; 0) ,
chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3; 1)
9. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( 4; 5). Biết đường thẳng AD đi qua gốc tọa độ O và phương trình của AB:
2x – y + 5 = 0. Lập phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật ABCD.
10. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm
của đường thẳng d1 : x y 3 0 và d2 : x y 6 0 . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục
Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2; 0). Đường thẳng AB có phương trình:
x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó.
12. Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1; 0), B(-2; 4), C(-1; 4), D(3; 5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng
() : 3 x y 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau
13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(2; 1). Lập phương trình đường thẳng đi qua M và cắt ( d1):
x + y – 1 = 0, ( d2): 2x - y = 0 lần lượt tại A, B sao cho MA = 2MB.
14. Cho ABC có điểm A(2 ; –1) và hai đường phân giác trong của góc B, góc C có phương trình lần lượt là x –
2y + 1 = 0 và x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC
15. Trong hệ Oxy cho đường tròn (C): x2+y2=1 và đường tròn (C’) có tâm I(2;2) cắt (C) tại hai điểm A; B sao cho
AB = 2 . Viết phương trình đường thẳng AB.
16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ΔABC vuông tại C, biết điểm A( -2; 0), B( 2; 0) và khoảng cách từ
trọng tâm G đến Ox bằng 1/3. Tìm tọa độ đỉnh C.
17. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 đường thẳng (d1): x – 3y = 0, (d2): 2x + y - 5 = 0 và (d3): x – y = 0. Tìm tọa độ các
đỉnh hình vuông ABCD biết A, C lần lượt thuộc (d1), (d2) và 2 đỉnh còn lại thuộc (d3).
18. Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là : 3 x – y - 3 = 0, các đỉnh A và B thuộc
trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : 3 x 4 y 4 0 . Tìm trên hai điểm A
và B đối xứng nhau qua I(2; 5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 15.
20. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x +
7y – 31 = 0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2;-3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB.
21. Cho hai điểm A(2 ; 1), B(-1 ; -3) và hai đường thẳng d1: x + y + 3 = 0; d2 : x – 5y – 16 = 0. Tìm tọa độ các điểm
C,D lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y 3 = 0 và 2 điểm A(1; 1), B(3; 4). Tìm tọa độ
điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1
23. Cho hai điểm A(1; 2), M(– 1; 1) và hai đường thẳng: (d1): x – y + 1 = 0 và (d2): 2x + y – 3 = 0. Tìm điểm B
thuộc đường thẳng d1, điểm C thuộc đường thẳng d2 sao cho ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC.
24. Cho (): (1-m2)x + 2my + m2 - 4m - 3=0 và (d): x + y – 4 = 0. Tìm toạ độ điểm K (d) để khoảng cách từ K đến
() luôn bằng 1 với mọi m.
25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –7), trực tâm là H(3;–1), tâm đường tròn ngoại
tiếp là I(–2; 0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương
Góc:
Góc giữa hai đường thẳng:
n .n
cos( d1 ; d2 ) cos( n1 ; n2 ) 1 2
n1 . n2
u1 .u2
hoặc cos( d1 ; d2 ) cos(u1 ; u2 )
u1 . u2
1. Xác định góc giữa các cặp đường thẳng sau
a) 1 : x 2 y 5 0;
2 : 3x y 0
b) 1 : x 2 y 4 0;
2 : 2 x y 6 0
2. Cho đường thẳng d : 3 x 2 y 1 0 và M 1; 2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tạo với d
một góc 45o .
3. Cho ABC cân đỉnh A . Biết AB : x y 1 0;
BC : 2 x 3 y 5 0 .
Viết phương trình cạnh AC biết
nó đi qua M 1;1 .
4. Cho ABC đều, biết: A 2; 6 và
BC :
3 x 3 y 6 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại.
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng : 2x + 3y + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm B thuộc
đường thẳng sao cho đường thẳng AB và hợp với nhau góc 450
6. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : 2 x y 5 0 , d2: 3x +6y – 7 = 0. Lập
phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra
một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2
7. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x
– 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. Một số kiến thức cơ bản cần nắm vững
1. Các dạng phương trình đường thẳng
x x0 u1t
* Phương trình tham số:
y y 0 u2 t
* Phương trình tổng quát: ax + by + c = 0.
2. Mối liên hệ giữa các yếu tố của đường thẳng
- Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n (a; b) thì sẽ có vectơ chỉ phương u (b; a) và ngược lại.
u
- Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương u (u1 ; u2 ) thì sẽ có hệ số góc k 2 .
u1
- Nếu đường thẳng d có hệ số góc k thì có một vectơ chỉ phương u (1; k ) .
- Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.
- Nếu d thì nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến và ngược lại.
x x0 u1t
- Nếu M d có phương trình:
thì M có toạ độ là M( x0 u1t ; y0 u2t ).
y y 0 u2 t
- Nếu M d có phương trình: ax by c 0 thì M có toạ độ là M( x0 ;
c ax0
).
b
II. Một số dạng bài tập thường gặp
1. Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng
Bài 1. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d biết:
a) d đi qua A(2; 3) và có vectơ chỉ phương u (7; 2) .
b) d đi qua B(4; -3) và có vectơ pháp tuyến n (7;3) .
c) d đi qua C(-2; 5) và song song với đường thẳng d’: 4x - 5y +10 = 0.
x 1 2t
d) d đi qua điểm D(-5; 3) và vuông góc với đường thẳng d:
.
y 4 9t
Bài 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng biết:
x 1 3t
a) đi qua điểm M(2; 5) và song song với đường thẳng d’:
.
y 4 5t
b) đi qua N(3; 4) và vuông góc với đường thẳng d: 4x - 7y + 3 = 0.
c) đi qua P(2; -5) và có hệ số góc k = 11.
d) đi qua hai điểm E(-3; 3) và F(6; -1).
Bài 3. Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 3) và C(1; -5).
a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác.
c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC.
e) Lập phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A của ABC.
Bài 4. Cho tam giác ABC biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; -2).
a) Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác.
b) Lập phương trình đường cao AH và trung tuyến AM.
Bài 5. Cho tam giác ABC có A(-4; 5), B(6; -1), C(-1; 1).
a) Viết phương trình các đường cao của tam giác đó.
b) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác đó.
c) viết phương trình đường trung trực cạnh BC.
Bài 6. Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x + 3y = 0 và 2x - 5y + 6 = 0, một đỉnh của hình
bình hành là C(4; 1). Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.
2. Một số bài toán về giải tam giác.
Bài 1. Cho tam giác ABC có B(-4; -3), hai đường cao có phương trình là 5x + 3y + 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0.
Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Bài 2. Cho tam giác ABC có B(2; -7), phương trình đường cao qua A là 3x + y + 11 = 0, phương trình trung
tuyến vẽ từ C là x + 2y + 7 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy chho tam giác ABC với M(-2; 2) là trung điểm của BC, cạnh AB có
phương trình x - 2y - 2 = 0, cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác
ABC.
Bài 4. Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng toạ độ là 5x - 2y + 6 = 0 và 4x + 7y - 21 = 0.
Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm tam giác trùng với gốc toạ độ.
Bài 5. Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2; -1) và các cạnh AB: 4x + y + 15 = 0 và
AC: 2x + 5y + 3 = 0.
a) Tìm toạ độ đỉnh A và toạ độ trung điểm M của BC.
b) Tìm toạ độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC.
Bài 6. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1; 3) và hai đường trung tuyến có phương trình x 2y + 1= 0 và y - 1= 0.
Bài 7. Cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 2) và hai đường cao lần lượt có phương trình 9x - 3y - 4 = 0; x + y - 2 =
0. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. (Báo THTT - 10-2007).
Bài 8. Cho tam giác ABC có A(2; -1) và các đường phân giác trong góc B và C lần lượt có phương trình: x - 2y
+ 1= 0 ; x + y + 3 = 0.
Lập phương trình đường thẳng BC. (Báo THTT - 10 -07)
Bài 9. Xác định toạ độ đỉnh B của tam giác ABC biết C(4; 3) và đường phân giác trong, trung tuyến kẻ từ A lần
lượt có phương trình x + 2y - 5 = 0 và 4x + 13y - 10 = 0.(Báo THTT - 10 -07)
Bài 10. Cho tam giác ABC có A(-1; 3), đường cao BH nằm trên đường thẳng y = x, phân giác trong góc C nằm
trên đường thẳng x + 3y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.(Báo THTT - 10 -07)
Bài 11. Cho tam giác ABC có A(-2; 1) và các đường cao có phương trình 2x - y + 1 = 0; 3x + y + 2= 0. Viết
phương trình đường trung tuyến qua đỉnh A của tam giác.(Báo THTT - 10 -07)
Các bài toán về phương trình đường thẳng
Lý thuyết
Cho ba điểm: A xA ; yA ; B xB ; yB ; C xC ; yC . Ta có:
Tọa độ véctơ AB xB x A ; yB yA
Tọa độ trung điểm
Tọa độ trọng tâm
I
G
của
của
x xB y A yB
I A
;
.
2
2
x xB xC y A yB yC
ABC là: G A
;
3
3
AB
là:
.
a a1 ; a2 ; b b1 ; b2 . Ta có:
a b a1 b1 ; a2 b2 ; a b a1 b1 ; a2 b2 ; a.b a1 .b1 a2 .b2 ; k.a k.a1 ; k.a2 ; a a12 a22
a.b
cos a; b suy ra a.b 0 a; b 900 , a.b 0 a; b 900 , a.b 0 a; b 900
a.b
Cho hai véctơ:
a b a.b 0
;
a
a
a / /b 1 2
b1
b2
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm
d : a x x0 b y y0 0
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm
d :
A x0 ; y0
và nhận n a; b làm một VTPT
A x0 ; y0
và nhận u a; b làm một VTCP
x x0
y y0
a
b
Phương trình đoạn chắn: đường thẳng d cắt
Công thức tính khoảng cách từ điểm
A x0 ; y0
Ox tại A a; 0
và cắt
đến đường thẳng
Oy
tại
B 0; b :
d : ax by c 0 là
x y
1
a b
d A, d
ax0 by0 c
a2 b2
Công thức tính diện tích tam giác ABC:
SABC
1
1
AB.d C, AB AB. AC.sin AB, AC
2
2
Một số câu hỏi:
4. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d khi nào ?
5. Hai điêm A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng d khi nào? Khác phía khi nào?
6. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua điểm I khi nào ?
Câu hỏi đặt ra với các bài toán đường thẳng hình học giải tích là: Từ bài toán ta tìm được những
thông tin gì? Hãy dựa vào đề bài để tìm các thông tin mà bài toán cung cấp.
Kĩ thuật tìm thêm điểm:
x A kxB
xM 1 k
+ Dùng vec-tơ: Điểm M thỏa mãn M A kM B
y kyB
yM A
1 k
+ Kĩ thuật lấy đối xứng qua đường phân giác
Nếu bài toán có trọng tâm hay trung điểm ta thường tham số hóa tọa độ của trung điểm hay trọng tâm
(trường hợp chưa biết tọa độ của các điểm đó)
Cần nhớ: Nếu ta đặt bao nhiêu ẩn thì phải dựa vào đề bài để tìm bấy nhiêu phương trình. Rồi giải các
phương trình đó để tìm ẩn
VD1: Cho A(1;3), B(-2;-1), C(3;-4). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
VD 2: Cho tam giác ABC có A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Viết phương trình đường phân giác trong
AD của tam giác ABC.
VD 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC có đỉnh A( 4; 3). Biết đường phân giác trong và
trung tuyến kẻ từ 1 đỉnh là x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y - 10 = 0. Tìm B, C.
VD 4: Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm
trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C.
VD 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC cân tại C. Biết đỉnh A(1; 3), đường cao (BH): 2x
- 3y - 10 = 0 và (AB): 5x + y – 8 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh B, C.
BÀI TẬP
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC có cạnh AC đi qua điểm M(0; -1). Biết AB = 2AM,
đường phân giác trong (AD): x - y = 0, đường cao (CH): 2x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của
ΔABC.
2. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh (-4; 8) và một đường chéo có phương trình : 7xy+8=0 . Viết phương trình chính tắc các cạnh hình vuông.
3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ΔABC có trực tâm H(13/5; 13/5). Lập phương trình cạnh
BC biết (AB): 4x – y – 3 = 0 và (AC): x + y – 7 = 0.
4. Trong mặt phẳng Oxy cho ΔABC có trung tuyến (AM): y - 1 = 0, đường cao (AH): x – 2y + 3 = 0 và
đỉnh B(1; 3). Lập phương trình đường thẳng AC
5. Cho tam giác ABC, với A(2;1) , B(1; 2) , trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng
x y 2 0 . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5
6. Cho ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x - 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến
qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích ABC .
7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực
cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác ABC
8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm
H (1; 0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3; 1)
9. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( 4; 5). Biết đường thẳng AD đi qua gốc tọa độ O và phương trình
của AB: 2x – y + 5 = 0. Lập phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật ABCD.
10. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là
giao điểm của đường thẳng d1 : x y 3 0 và d2 : x y 6 0 . Trung điểm của một cạnh là giao điểm
của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2; 0). Đường thẳng AB có
phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ
nhật đó.
12. Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1; 0), B(-2; 4), C(-1; 4), D(3; 5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường
thẳng () : 3 x y 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau
13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(2; 1). Lập phương trình đường thẳng đi qua M và
cắt ( d1): x + y – 1 = 0, ( d2): 2x - y = 0 lần lượt tại A, B sao cho MA = 2MB.
14. Cho ABC có điểm A(2 ; –1) và hai đường phân giác trong của góc B, góc C có phương trình lần
lượt là x – 2y + 1 = 0 và x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC
15. Trong hệ Oxy cho đường tròn (C): x2+y2=1 và đường tròn (C’) có tâm I(2;2) cắt (C) tại hai điểm A;
B sao cho AB = 2 . Viết phương trình đường thẳng AB.
16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ΔABC vuông tại C, biết điểm A( -2; 0), B( 2; 0) và
khoảng cách từ trọng tâm G đến Ox bằng 1/3. Tìm tọa độ đỉnh C.
17. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 đường thẳng (d1): x – 3y = 0, (d2): 2x + y - 5 = 0 và (d3): x – y = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết A, C lần lượt thuộc (d1), (d2) và 2 đỉnh còn lại thuộc (d3).
18. Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là : 3 x – y - 3 = 0, các đỉnh A
và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC
19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : 3 x 4 y 4 0 . Tìm trên hai
điểm A và B đối xứng nhau qua I(2; 5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 15.
20. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường
thẳng d: x + 7y – 31 = 0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2;-3) thuộc AB và nằm ngoài
đoạn AB.
21. Cho hai điểm A(2 ; 1), B(-1 ; -3) và hai đường thẳng d1: x + y + 3 = 0; d2 : x – 5y – 16 = 0. Tìm tọa
độ các điểm C,D lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y 3 = 0 và 2 điểm A(1; 1), B(3; 4).
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1
23. Cho hai điểm A(1; 2), M(– 1; 1) và hai đường thẳng: (d1): x – y + 1 = 0 và (d2): 2x + y – 3 = 0. Tìm
điểm B thuộc đường thẳng d1, điểm C thuộc đường thẳng d2 sao cho ABC vuông tại A và M là trung
điểm của BC.
24. Cho (): (1-m2)x + 2my + m2 - 4m - 3=0 và (d): x + y – 4 = 0. Tìm toạ độ điểm K (d) để khoảng
cách từ K đến () luôn bằng 1 với mọi m.
25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –7), trực tâm là H(3;–1), tâm đường
tròn ngoại tiếp là I(–2; 0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương
Góc:
Góc giữa hai đường thẳng:
n 1 .n2
cos( d1 ; d2 ) cos( n1 ; n2 )
n1 . n2
hoặc
u1 .u2
cos( d1 ; d2 ) cos(u1 ; u2 )
u1 . u2
1. Xác định góc giữa các cặp đường thẳng sau
2 : 3x y 0
2 : 2 x y 6 0
a) 1 : x 2 y 5 0;
b) 1 : x 2 y 4 0;
2. Cho đường thẳng d : 3 x 2 y 1 0 và M 1; 2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tạo
với d một góc 45o .
3. Cho ABC cân đỉnh A . Biết AB : x y 1 0;
BC : 2 x 3 y 5 0 . Viết phương trình cạnh
AC
biết nó đi qua M 1;1 .
4. Cho ABC đều, biết: A 2; 6 và BC : 3 x 3 y 6 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại.
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng : 2x + 3y + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm
B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và hợp với nhau góc 450
6. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : 2 x y 5 0 , d2: 3x +6y – 7 = 0.
Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và
d2 tạo ra
một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2
7. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường
thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
TỔNG HỢP BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng (d1 )x y 0 và 2x y 1 0(d2 ) . Tìm tọa độ các đỉnh hình
vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc (d1), đỉnh C thuộc (d2) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
2. Một tam giác có M ( - 1; 1) là trung điểm của một cạnh, hai cạnh còn lại là : x + y - 2 = 0
và 2x + 6y + 3 = 0 . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác .
3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB=AC. Góc BAC là góc vuông. Biết M(1;-1) là trung
3
2
điểm cạnh BC và G( ;0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ A,B,C
4. Viết pt đường thẳng (d) đi qua M(-2;-4) và cắt hai trục tọa độ hai đoạn thẳng bằng nhau
5. Trong mặt phẳng Oxy cho d: x-2y+15=0 .Tìm điểm M(x1;y1)thuộc d sao cho x12 y 12 nhỏ nhất.
6. Trên mặt phẳng cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxy và tam giác
với đỉnh A(1;1). Các đường cao hạ
từ và lần lượt nằm trên các đường thẳng (d1)và (d2)theo thứ tự có phương trình:2x-y+8=0 và
2x+3y-6=0 Hãy viết phương trình đường thẳng chứa đường cao hạ từ A và xác định tọa độ các đỉnh
B,Ccủa tam giác ABC.
7.Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng (d1):x-y+2=0; 2x+y-5=0 (d2)và điểm M(-1;4).Viết
phương trình đường thẳng cắt (d1), (d2) lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.
8.Cho (d1 ) : x y 3 0 (d2 ) : x y 4 0 (d3 ) : x 2y 0 :Tìm M (d3 ) sao cho d(M ,d1 ) =2d(M ; d 2 )
9.Trong mặt phẳng cho tam giác ABC với các đỉnh A(-6;-3),B(-4;3),C(9;2) .
a. Viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC.
b. Tìm điểm P d sao cho tứ giác abpc là hình thang.
10. Cho A (0;2)và B(- 3; 1).Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
11.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(-1;1),B(-4;-3) . Tìm điểm C thuộc đường thẳng
X+2Y+1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
12.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác biết C (-2 ; - 4), trọng tâm G (0; 4) , M (2; 0) là
trung điểm cạnh BC.Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB.
13.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (2; - 4) , B (0; - 2) và điểm C nằm trên
đường thẳng 3x - y + 1= 0 ; diện tích tam giác ABC bằng 1 ( đơn vị diện tích ). Hãy tìm tọa độ điểm C .
14.Trong mặt phẳng tọa độ trực chuẩn Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A (4 ; 1) và cạnh huyền
BC có phương trình là 3x - y + 5 = 0. Viết phương trình hai cạnh góc vuông AC và AB.
15.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A(2;-1)và hai đường phân giác
trong của hai góc B, C lần lượt có phương trình : x-2y+1=0, x+y+3=0. Viết phương trình cạnh BC.
16.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A. Biết tọa độ A (3 ; 5) , B (7 ; 1)
và đường thẳng BC đi qua điểm M (2; 0). Tìm tọa độ đỉnh C .
17.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (0 ; 1) và hai đường thẳng chứa
các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là 2x - y - 1 = 0 và x + 3y - 1 = 0. Tính diện
tích của tam giác ABC.
18.Trong mặt phẳng cho tam giác ABC biết đỉnh A (3 ; 9) và phương trình các đường trung tuyến BM ,
CN lần lượt là : 3x - 4y + 9 = 0 và y - 6 = 0. Viết phương trình đường trung tuyến AD của tam giác đã
cho .
19.Cho hai đường thẳng (d1)2x-3y+1=0 (d2) 4x+y-5=0 .Gọi Alà giao điểm của (d1) và (d2) . Tìm điểm
B trên (d1)và điểm C trên (d2)sao cho tam giác ABC có trọng tâm là điểm G (3; 5) .
20.Trong mặt phẳng (Oxy) cho hình thoi ABCD có phương trình 2 cạnh và 1 đường chéo là :(AB) : 7x
- 11y + 83 = 0; (CD) : 7x - 11y - 53 = 0; (BD) : 5x - 3y + 1 = 0 Tìm tọa độ của B , D, A và C.
21.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A (-1 ; 0) ; B (4; 0); C (0; m)
.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
22.Một hình thoi có một đường chéo phương trình là : x + 2y - 7 = 0 ; một cạnh phương trình là :
x + 3y - 3 = 0; một đỉnh là ( 0 ; 1). Tìm phương trình các cạnh hình thoi .
23.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Biết A (2 ; 2) và phương trình đường cao kẻ
từ B là x + y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác đã cho
24.Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng (d1) x-y+2=0; (d2) 2x+y-5=0 và điểm M ( - 1; 4).
a. Viết ptđt (d) cắt (d1);(d2)lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.
b. Viết pt đ/tròn (C) qua M tiếp xúc với đường thẳng (d1) tại giao điểm của (d1) với trục tung .
25.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(2;2)và các đường thẳng (d1) x+y-2=0 (d2) :x + y -8 =0
.Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc(d1) và (d2)sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
26.Cho biết ABC ,A(2;-1)và phương trình tia đường phân giác trong của góc
2y+1=0 và x+y+3=0. Tìm B và C
và góc
lần lượt làx-
27.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy,xét tam giác ABC vuông tại A,phương trình
đường thẳng BC là
,các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp
bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G và các đỉnh của tam giác ABC.
1
28.Trong măt phẳng cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ; 0 , phương trình đường thẳng AB là x2
2y+2=0và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
29.Trong mặt phẳng cho đường thẳng (d) có phương trình x+y-3=0và hai điểm A(1;1),B(-3;4) Tìm tọa
độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1.
30.Trong mặt phẳng tam giác có một đỉnh là A(4; 3) , một đường cao và một trung tuyến đi qua hai
đỉnh khác nhau có phương trình lần lượt là : 3x+y+11=0 ; x+y-1=0. Hãy viết phương trình các cạnh
tam giác .
31.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho 3 điểm A (1; 2), B (3; 1), C (4; 3) .
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. Viết phương trình các đường cao của tam giác đó .
32.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng :(d1) x-y=0 và (d2): 2x+y-1=0
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A d1;C d2 ; B , D Ox
33.Trong mặt phẳng xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình BC 3x y 3 0 , các đỉnh A và
B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
34.Trong mặt phẳng cho 2 điểm A(1; 1) , B(2 ; 1) , và đường thẳng d : x - 2y + 2 = 0.
a. Chứng tỏ 2 điểm A, B ở về cùng một phía của d.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho tổng khoảng cách MA + MB bé nhất.
35.Trong mặt phẳng cho A(1;2); B(-5;4) và đường thẳng x 3y 2 0 .Tìm điểm
trên để
ngắn nhất.
36.Cho tam giác ABC có B(2;-7), đường cao vẽ từ A và trung tuyến kẻ từ C là 3x+y+11=0 và
x+2y+7=0 Viết phương trình các cạnh tam giác.
37.Cho x 2y 2 0 1 3x+y-1=0 2 .G/s chúng cắt nhau tại A. Lập phương trình đường thẳng qua
M(-1;1) cắt hai đường thẳng trên tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A
38.Cho tam giác ABC có B(7, 9), C(2,-1), phương trình đường phân giác trong góc A là: x = 7y - 20 =
0. Lập phương trình các cạnh tam giác ABC
39.Cho ABC cóAB:x+y-2=0AC:2x+6y+3=0M(-1,1) là trung điểm của BC. Viết phương trình cạnh
BC.
40.Viết PT đường thẳng đi qua điểm I(-2,3) và cách đều hai điểm A(5,-1) và B(3,7)
41.Viết PT đường thẳng đi qua A(0,1) và tạo với đường thẳng (d): x + 2y +3 = 0 một góc bằng
42.Viết phương trình các đường thẳng // (d): 3x - 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến (d) bằng 1.
43.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1;2) , đường trung tuyến BM , phân giác trong CD
tương ứng có phương trình 2x+y+1=0 và x+y-1=0 ,viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC .
44.Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết: Đỉnh C(2;3) và phương trình đường cao, đường
trung tuyến xuất phát từ A và B lần lượt là(d1): 2x-y-2=0, (d2): x-y-2=0.
45.Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết đỉnh B(-1;-1) và phương trình phân giác ngoài góc B,
đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là: (d): x-3y+1=0 và (d'): 2x+y-4=0.Lập phương trình các
cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(2;1) phương trình trung trực BC và trung tuyến xuất phát từ C có
phương trình là: (d): x+y-3=0 và (d'): 2x-y-1=0.
46.Lập phương rình các cạnh tam giác ABC biết đỉnh A(-3;4), phương trình trung trực BC và phân giác
ngoài góc B lần lượt là: (d): x+2y-4=0 và (d'): 2x+y-4=0
47.Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết: Đỉnh C(4;-3), phân giác trong góc A là (d): 2x3y+6=0, phân giác ngoài góc B là (d'): 2x+3y+6=0.
Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(-3;1), phương trình đường cao và phân giác
ngoài xuất phát từ đỉnh B lần lượt là (d): x+3y+12=0 và (d'): x-6y+18=0.
48.Cho hình thang cân ABCD có A(2;1); B(3;0). Biết đáy lớn là CD đáy nhỏ AB. Biết rằng chân
đường cao H kẻ từ đỉnh A thỏa tam giác ADH vuông cân đỉnh H và có diện tích là 9( đvdt). Viết
phương trình các cạnh hình thang.
49.Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường thẳng :
.Lập phương trình
đường thẳng d đi qua giao điểm của 2 đường thẳng đồng thời chắn trên 2 trục tọa độ những đoạn bằng
nhau.
50.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
và
51.Lập phương trình đường thẳng d qua giao điểm của 2 đường thẳng và tạo với đường thẳng y-1=0
góc
52.Cho điểm M(2;5) và đường thẳng a có phương trình : x+2y-2=0 .
a) Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên a .
b) Tìm tọa độ điểm M1 đối xứng với M qua a .
c) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng a qua M
53.Cho điểm A(1;3) và B(3;7) . Viết phương trình đường thẳng qua A và cách B một khoảng bằng 2.
54.Cho đường thẳng (d): 2x-y+3=0 . Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và cách (d)
một khoảng bằng 5 .
55.Hai cạnh AB và AD của hình hành có phương trình là :x-3y-2=0 và 2x+5y+7=0. Điểm I(2;2) là tâm
hình hành , viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành .
Đề Thi Hình GT phẳng
1. (Đề CT- khối A năm 2008)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,hãy viết phương trình chính tắc của
elip(E) biết rằng (E) có tâm sai bằng
5
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
3
2 . ( K B - 08)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết
rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1),đường phân giác trong của góc
A coá phương trình x -y +2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x +3y -1 = 0.
3. (Đề CT- K D - 08) cho parabol(P): y2 = 16x và điểm A(1;4) .Hai điểm phân biệt B,C (B và C khác
=900.Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố
A) di động trên (P) sao cho góc BAC
định.
4. (KA - 07)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy, cho tam giác ABC có A(0;2) ,
B(-2; -2) và C(4;-2) . gọi H là chân đường cao kẻ từ B ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB và BC , viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H,M,N.
5. (KB - 07)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng :d1 : x + y - 2 = 0
, d2 : x + y - 8 = 0.Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân
tại A.
6.(KD - 07) cho đường tròn (C) :( x - 1 )2 + ( y + 2 )2 = 9 và đường thẳng d : 3x - 4y + m = 0Tìm m để
trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) , ( A, B là các tiếp
điểm ) sao cho tam giác PAB đều.
7. (DBKA - 07)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,cho đường tròn (C) : x2 +y2 = 1.Đường tròn (C')
tâm I(2;2) cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB = 2 .Viết phương trình đường thẳng AB.
8. (DBKA - 07)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy . Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;0) . Biết phương
trình các cạnh AB ,AC theo thứ tự là 4x+y+14=0 , 2x+5y-2=0 . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C
9. (DBKB - 07)Cho đường tròn (C) : x2 + y2 -8x +6y +21 = 0 và đường thẳng d : x + y -1 = 0.Xác định
toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) ,biết A thuộc d.cắt (C) tại các điểm A,B sao cho
AB = 3
10.. (DBKD - 07)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho các điểm A(0;1), B(2;-1) và các đường thẳng
d1 : (m-1)x +(m-2)y +2 –m = 0, d2 : (2-m)x +(m-1)y +3m-5 = 0.
Chứng minh d1và d2 luôn cắt nhau.Gọi p d1 d 2 .Tìm m sao cho PA+PB lớn nhất .
11. (DBKA - 06)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,cho elip (E) :
x2 y 2
1. Viết
12 2
phương trình
Hypebol (H) có hai đường tiệm cận là y 2 x và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elip (E) .
12.(KA - 06)Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho các đường thẳng D1 : x + y + 3 = 0, d2 : x - y 4 = 0,
d3 : x - 2y = 0 Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 .x +y +3 = 0,và trung điểm của cạnh AC là M(1;1)
.Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C.
13.(KB - 06) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,Cho đường tròn (C) : x2 +y2 -2x -6y +6 = 0 và điểm
M(-3;1).Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) .Viết phương trình đường
thẳng T1T2.
14. (DBKB - 06) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,cho tam giác ABC cân tại B,với A(1;-1) ,
C(3;5)Đỉnh B nằm trên đường thẳng d: 2x - y = 0.Viết phương trình các đường thẳng AB ,BC.
14. (DBKB - 06) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1) ,đường cao
qua đỉnh B có phương trình là x - 3y -7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình là x + y
+1 = 0 .Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác.
15. (KD - 06) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và
đường thẳng d: x-y+3=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp
đôi bán kính đường
16. (DBKD - 06) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy ,cho đường thẳng d: x -y +1- 2 = 0 và điểm A(1;1).Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A,gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d.
17. (DBKD - 06) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , lập phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài
trục lớn bằng 4 2 ,các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn.
18. (KA - 05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng
d1 : x y 0 , d2 : 2x y 1 0.
Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 ,đỉnh C thuộc d2 , và các đỉnh B,D
thuộc trục hoành
19. (DBKA - 05)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C1):x2+y2-12x-4y+36 = 0. Viết
phương trình đường tròn (C2) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox ,Oy ,đồng thời tiếp xúc với đường tròn
(C1).
20. (DBKA - 05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 +y2 -4x-6y -12 = 0.Gọi I
là tâm và R là bán kính của (C) .Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d: 2x -y +3 = 0 sao cho MI = 2
R.
21.(KB - 05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình
đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
22. (DBKB - 05)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;5), B(2;3). Viết phương trình
đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R bằng 10 .
23.. (KD - 05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2,0) và elip (E) : x 2 y2 1. Tìm toạ độ các
4
1
điểm A,B thuộc (E) ,biết rằng hai điểm A,B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam
giác đều.
2
2
24. (DBKD - 05)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elip (E) : x y 1. Viết phương trình tiếp
64
9
tuyến d của (E) ,biết d cắt hai trục toạ độ Ox,Oy lần lượt tại A và B Sao cho AO = 2BO.
25. (DBKD - 05)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn :(C1): x2 +y2 = 9
và
2
2
(C2) : x +y -2x -2y -23 =0.Viết phương trình trục đẳng phương d của hai đường tròn (C1) và (C2).Tìm
toạ độ điểm K thuộc d sao cho khoảng cách từ K đến tâm (C1) bằng 5.
26. (CT-KA-04)Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A (0;2) và B ( 3 ;-1). Tìm toạ độ trực
tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
27. (DB--KA-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x –y +1 - 2 = 0 và điểm A(1;1).Viết phương trình đường tròn đi qua A,qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d.
28. (DB-KA-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(0;2) và đường thẳng d: x- 2y +2 = 0Tìm
trên d hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC.
29. (CT-KB-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1,1) ,B( 4;-3) .Tìm điểm C thuộc
đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khaỏng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
30. (DB-KB-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm I(-2;0) và hai đường thẳng d1: 2x - y +5
= 0.d2: x+ y -3 = 0.Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại
A, B sao cho IA 2.IB.
31. (DB-KB-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elip (E) :
x 2 y2
1.
8
4
Viết phương trình các tiếp
tuyến của (E) song song với đường thẳng d: x 2y 1 0.
32. (CT-KD-04) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0); B(4;0);
C(0;m) với m 0. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông
tại G.
33.(DB-KD-04)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(2;3) và hai đường thẳng :d1: x + y +5 =
0
và d2: x + 2y -7 = 0.Tìm toạ độ các điểm B trên d1 và C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng
tâm là G(2;0).
34. (DB -KA-03)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho parabol và điểm I(0;2) .Tìm toạ độ hai điểm
M,N thuộc (P) sao cho IM 4.IN.
35. (CT -KB-03)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB =
AC, BAC = 900. Biết M(1;-1) là trung điểm cạnh BC và G 2 ;0 là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa
3
độ các đỉnh A, B, C.
36. (DB -KB-03)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x -7y +10 = 0.Viết phương
trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng Δ : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm
A(4;2).
2
2
37. (DB -KB-03)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E): x y 1 và các điểmM(-2;3)
4
1
,N(5;n) .
Viết phương trình các đường thẳng d1,d2 qua M và tiếp xúc với (E). Tìm n để trong số các tiếp tuyến
của (E) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d1,d2.
38. (CT -KD-03) cho đường tròn :(C): (x-1)2 + (y-2)2 = 4 và đường thẳng d: x - y – 1 = 0.Viết phương
trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của
(C) và (C’).
39. (DB -KD-03) cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao
vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là:x – 2y + 1 = 0 và 3x + y – 1 = 0.Tính diện tích tam giác
ABC.
40. (CT -KA-02)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,xét tam giác ABC vuông tại A ,phương trình đường
thẳng BC là : 3x y 3 0 ,Các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp
bằng 2.Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
41. (DB -KA-02) cho đường thẳng d: x-y+1=0 và đường tròn (C) :x2+y2+2x- 4y = 0. Tìm toạ độ điểm
M truộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho góc
AMB =600.
42. (CT -KB-02) cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;0 ,phương trình đường thẳng AB là x-2y+2=0 và
2
AB=2AD. Tìm toạ độ của các đỉnh A,B, C,D, biết rằng đỉnh A có hoành độ âm
43. (DB -KB-02) cho hai đường tròn (C1) : x2+y2 -4y -5 = 0 và (C2) : x2 +y2 -6x +8y +16 = 0.Viết
phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2).
44. (CT -KD-02) cho elip (E) có phương trình x 2 y 2 1.
16
9
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn
tiếp xúc với (E) .Xác định toạ độ của M ,N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất .Tính giá trị nhỏ nhất đó .
45. (DB -KD-02) cho elip (E): x 2 y2 1 và đường thẳng dm:mx –y -1 = 0
9
4
a)Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,đường thẳng dm luôn cắt elip (E) tại 2 điểm phân biệt .
b)Viết phương trình tiếp tuyến của (E) ,biết tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1;-3).
46.(DB -KD-02) cho hai đường tròn (C1) : x2+y2 -10x =0 , (C2) : x2 +y2 +4x -2y -20 = 0.
a. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1) ,(C2) và có tâm nằm trên đường thẳng d:
x +6y -6 = 0.
b.Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1),(C2).
